확률의 뜻

정답과해설

138

Ⅳ ^확률

2 확률

표본공간을 S라 하면ㅇㅇS={1, 2, 3, 4, 5, 6}

4 이하의 눈이 나오는 사건이 A이므로 ㅇㅇA={1, 2, 3, 4}

사건 A에 대하여 AÇ 을 구하면 ㅇㅇAÇ ={5, 6}

이때 사건 A와 배반인 사건은 AÇ 의 부분집합이므로 사 건 A의 배반사건은

ㅇㅇ∅∅, {5}, {6}, {5, 6}

한 개의 동전을 2회 던질 때, 표본공간을 S라 하면 ㅇㅇS={(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}

2회 모두 같은 면이 나오는 사건이 P이므로 ㅇㅇP={(H, H), (T, T)}

사건 P에 대하여 PÇ 을 구하면 ㅇㅇPÇ ={(H, T), (T, H)}

이때 집합 PÇ 의 원소의 개수가 2개이므로 사건 P와 배 반인 사건 PÇ 의 개수는ㅇㅇ2¤ =4(개)

사건 A와 배반인 사건은 AÇ 의 부분집합이고, 사건 B와 배반인 사건은 BÇ 의 부분집합이므로 사건 C는 AÇ ;BÇ 의 부분집합이다.

이때 AÇ ={1, 3, 5, 7}, BÇ ={2, 5, 8}이므로 ㅇㅇAÇ ;BÇ ={5}

따라서 집합 AÇ ;BÇ 의 원소의 개수가 1개이므로 사건 C의 개수는ㅇㅇ2⁄ =2(개)

3 2 1

개념check | 1 ⑴ {1, 2, 3, 5} ⑵ {3, 5} ⑶ {2, 4, 6}

Ⅳ확률

139

짝수끼리의 합은

ㅇㅇ(2, 2), (2, 4), (2, 6), (4, 2), (4, 4), (4, 6) ㅇㅇ(6, 2), (6, 4), (6, 6) Δ 9가지

ㅇㅇ∴ 9+9=18(가지)

따라서 구하는 확률 b는ㅇㅇb= =

⁄, ¤에서 a+b의 값은ㅇㅇa+b= + =

두 개의 주사위를 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 ㅇㅇ6_6=36(가지)

이차방정식 x¤ -2ax+b=0이 서로 다른 두 실근을 가지 려면 판별식 D>0이어야 하므로

ㅇㅇ =a¤ -b>0ㅇㅇ∴ a¤ >b a¤ >b를 만족하는 순서쌍 (a, b)는 ㅇㅇ(2, 1), (2, 2), (2, 3)

ㅇㅇ(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6) ㅇㅇ(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) ㅇㅇ(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6) ㅇㅇ(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6) ㅇㅇΔ 27가지

따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

집합 A의원소가 4개이므로집합 A의부분집합의개수는 ㅇㅇ2› =16(개)

원소 3이 포함되어 있는 집합 A의 부분집합의 개수는 ㅇㅇ2› —⁄ =2‹ =8(개)

따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

6개의 인형을 일렬로 배열하는 방법의 수는 ㅇㅇ6!가지

⑴ A, B, C의 인형을 이웃하 게 배열하는 방법의 수는 ㅇㅇ(4!_3!)가지 따라서 구하는 확률은

ㅇㅇ =

⑵ A와 B의 인형을 이웃하지 않게 배열하는 방법의 수는 이웃해도 좋은 C, D, E, F를 일렬로 배열하고, 그

사이사이와 양 끝에 A와 B의 인형을 배열하면 되므로 1

5 4!_3!

6!

7

1 2 8 16

6

3 4 27 36 D

4

5

4 3 1 2 5 6

1 2 18 36

ㅇㅇ(4!_∞P™)가지 따라서 구하는 확률은

ㅇㅇ =

10명의 학생을 일렬로 세우는 방법의 수는 ㅇㅇ10!가지

A반 학생 4명을 한 묶 음으로, B반 학생 3명 을 한 묶음으로 생각하 여 C반 학생 3명과 일 렬로 세우는 방법의 수는 ㅇㅇ5!가지

A반 학생 4명의 자리를 바꾸는 방법의 수는 ㅇㅇ4!가지

B반 학생 3명의 자리를 바꾸는 방법의 수는 ㅇㅇ3!가지

이므로 A반은 A반끼리, B반은 B반끼리 이웃하여 서 는 방법의 수는

ㅇㅇ(5!_4!_3!)가지 따라서 구하는 확률은

ㅇㅇ =

9명의 관람객을 일렬로 세우는 방법의 수는 ㅇㅇ9!가지

어른 4명과 아이 5명을 교대로 세우려면 다음 그림과 같 이 어른 4명을 일렬로 세운 후, 그 사이사이와 양 끝의 5 개의 자리에 아이 5명을 일렬로 세우면 된다.

ㅇㅇ

어른 4명을 일렬로 세우고, 그 사이사이와 양 끝의 5개의 자리에 아이 5명을 일렬로 세우는 방법의 수는

ㅇㅇ(4!_5!)가지 따라서 구하는 확률은

ㅇㅇ =

0, 1, 2, 3, 4의 숫자를 한 번씩 이 용하여 세 자리의 정수를 만드는 방 법의 수는 백의 자리에는 0을 제외 한 1, 2, 3, 4의 수가 올 수 있고,

십의 자리, 일의 자리엔 나머지 4개의 수 중 2개를 택하여 배열하면 되므로

ㅇㅇ4_¢P™=48(가지)

0 1

1 126 4!_5!

9!

9

1 210 5!_4!_3!

10!

8

2 3 4!_∞P™

6!

A B C D E F π π

ø ø ø ø 3!π

4!

○C○D○E○F○

ø ø ø ø ø 4!

A, B : ∞P™

일 십 백 ø ø ø4

¢P™

A A A A B B B C C C 5!

4! 3!

아 어 아 어 아 어 아 어 아

0, 1, 2, 3, 4의 숫자를 이용 하여 세 자리의 홀수를 만드는 방법의 수는 백의 자리에는 0 을 제외한 1, 2, 3, 4의 수가

올 수 있고, 일의 자리의 수는 1 또는 3이어야 하므로 ㅇㅇ(3_3)+(3_3)=18(가지)

따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

10개의 사탕 중에서 4개를 꺼내는 경우의 수는 ㅇㅇ¡ºC¢=210(가지)

⑴ 포도맛 사탕 3개 중에서 2개를 꺼내고, 딸기맛 사탕 2개 중에서 2개를 꺼내는 경우의 수는

ㅇㅇ£C™_™C™=3(가지)

따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

⑵ 복숭아맛 사탕 5개에서 1개를 꺼내고, 나머지 5개의 사탕에서 3개를 꺼내는 경우의 수는

ㅇㅇ∞C¡_∞C£=50(가지) 따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

남자 6명 중에서 3명, 여자 4명 중에서 2명을 뽑아 일렬 로 세우는 경우의 수는

ㅇㅇ(§C£_¢C™_5!)가지 위와 같은 조건에서 여자끼리 이웃하는 경우의 수는 ㅇㅇ(§C£_¢C™_4!_2!)가지 따라서 구하는 확률은

ㅇㅇ =

8개의 점 중에서 세 점을 뽑는 경우의 수는 ㅇㅇ•C£=56(가지)

이때 3개의 점을 연결하여 삼각형이 되기 위해서는 세 점 이 직선 l 또는 m 위에 있지 않아야 한다.

따라서 삼각형을 만들려면 3개의 점을 ㅇㅇ직선 l에서 2개, 직선 m에서 1개 또는 ㅇㅇ직선 l에서 1개, 직선 m에서 2개 뽑아야 한다.

⁄ 직선 l에서 2개, 직선 m에서 1개의 점을 택하는 경우 ㅇㅇ£C™_∞C¡=15(가지)

¤ 직선 l에서 1개, 직선 m에서 2개의 점을 택하는 경우 ㅇㅇ£C¡_∞C™=30(가지)

3 1

2 5

§C£_¢C™_4!_2!

§C£_¢C™_5!

2 1

5 21 50 210

1 70 3 210

1 1

3 8 18 48

⁄, ¤를 만족하는 삼각형의 개수는 ㅇㅇ15+30=45(가지)

따라서 구하는 확률은ㅇㅇ

3개의 주머니에 같은 모양의 구슬 15개를 나누어 넣는 방 법의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 15개를 택 하는 중복조합의 수와 같으므로

ㅇㅇ£H¡∞=¡¶C¡∞=136(가지)

3개의 주머니 모두 적어도 2개씩의 구슬을 넣게 되므로 남게 될 구슬의 개수는

ㅇㅇ15-2_3=9(개)

따라서 3개의 주머니에 9개의 구슬을 넣는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 9개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로

ㅇㅇ£Hª=¡¡Cª=55(가지) 따라서 구하는 확률은ㅇㅇ

총 경기가 200경기이고, 버디의 기록은 35개이므로 앞으 로의 경기에서 버디를 기록할 확률은ㅇㅇ

보기의 기록은 40개이므로 앞으로의 경기에서 보기를 기 록할 확률은ㅇㅇ

따라서 버디를 기록할 확률과 보기를 기록할 확률의 합은 ㅇㅇ + = =

바구니 속에 들어 있는 삶은 달걀의 개수를 n이라 하면 16개 중 2개의 달걀을 꺼낼 때, 모두 삶은 달걀일 확률은

ㅇㅇ = yy`㉠

이 시행에서 12번에 1번 꼴로 2개 모두 삶은 달걀을 꺼 냈으므로 통계적 확률은

ㅇㅇ yy`㉡

㉠=㉡이므로 n의 값을 구하면 ㅇㅇ = , n(n-1)=20 ㅇㅇn¤ -n-20=0, (n-5)(n+4)=0 ㅇㅇ∴ n=5 (∵ n>0)

따라서 바구니 속에는 5개의 삶은 달걀이 들어 있다고 볼 수 있다.

1 12 n(n-1)

240 1 12

n(n-1) 240

«C™

¡§C™

6 1

3 8 75 200 40 200 35 200

40 200

35 200

5 1

55 136

4 1

45 56

여 여 남 남

남 π

ø ø ø ø 2!π 4!

1, 3백 십 십

백 ø3

ø3 ø3

ø3

정답과해설

140

Ⅳ확률

141

오른쪽 그림과 같이 점 P가 변 AB

를 지름으로 하는 반원 위에 있을 때, ßPAB는 직각삼각형이므로 이 반원의 외부에 점 P를 잡으면 ßPAB는 예각삼각형이 된다.

이때 점 P를 만족하는 영역은 그림의 어두운 부분과 같다.

따라서 구하는 확률은 ㅇㅇ

ㅇㅇ=

=1-AP”=x, AQ”=y라 하면 두 점 P, Q는 길이가 2인 선분 AB위의 점이므로

ㅇㅇ0…x…2, 0…y…2 yy`㉠ㅇ 한편 PQ”…1인 경우를 x, y에 대한 식으로 나타내면 ㅇㅇ|x-y|…1 yy`㉡ㅇ 이때 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는

점 (x, y)의 영역을 나타내면 오른 쪽 그림의 어두운 부분(경계선 포함) 과 같다.

따라서 구하는 확률은 ㅇㅇ

= =

이차방정식 x¤ +4ax+5a=0이 실근을 가지려면 판별식 Dæ0이어야 하므로

ㅇㅇ =(2a)¤ -5a=a(4a-5)æ0

ㅇㅇ∴ a…0 또는 aæ yy`㉠ㅇ 이때 주어진 조건 -4…a…6과 ㉠을 수직선 위에 나타 내면

ㅇㅇ

ㅇㅇ∴ -4…a…0 또는 …a…6 따라서 구하는 확률은

ㅇㅇ(a의 구간의 길이) (전체 구간의 길이)

5 4

-4 5 a

-4 6

0 5 4 D

4

9 1

3 4 2_2-2_{;2!;_1_1}

2_2 (어두운 부분의 넓이) (전체 정사각형의 넓이)

y

1 x 1 2

O 2

8 1

p 8 1-;2!;_p_{;2!;}¤

1_1 (어두운 부분의 넓이)

(åABCD의 넓이)

A P

P

B D

1

1

7

C

1

ㅇㅇ= = =7

8 :£4∞:

10 {0-(-4)}+{6-;4%;}

6-(-4)

1 2 3 4 5

6 7 252 8 9 10 5

9 1

27 3

16 1

3

1 462 1

2 7

20 1

4 5

12

pp. 242~243

연습 문제

두 개의 주사위를 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 ㅇㅇ6_6=36(가지)

나오는 두 눈의 수의 곱이 6의 배수일 경우의 수는 ㅇㅇ곱이 6인 경우 ：(1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1) ㅇㅇ곱이 12인 경우：(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2) ㅇㅇ곱이 18인 경우：(3, 6), (6, 3)

ㅇㅇ곱이 24인 경우：(4, 6), (6, 4) ㅇㅇ곱이 30인 경우：(5, 6), (6, 5) ㅇㅇ곱이 36인 경우：(6, 6) ㅇㅇΔ 15가지

따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

집합 A의 부분집합의 개수는 ㅇㅇ2fl =64(개)

원소 a를 포함하고, 원소 f는 포함하지 않는 부분집합의 개수는

ㅇㅇ2fl —⁄ —⁄ =2› =16(개) 따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

5장의 카드로 네 자리 정수를 만드는 경우의 수는 ㅇㅇ∞P¢=120(가지)

4200보다 큰 수가 나오는 경우의 수는 ㅇㅇ5

ㅇㅇ4 5 ㅇㅇ4 3 ㅇㅇ4 2

⁄ 5 인 수의 개수

4개의 수 중 3개를 택하여 나열하는 경우의 수는 ㅇㅇ¢P£=24(가지)

¤ 4 5 , 4 3 , 4 2 인 수의 개수 3개의 수 중 2개를 택하여 나열하는 경우의 수는 ㅇㅇ£P™=6(가지)

일 십 일

십 일

십 일 십 백

일 십 일

십 일

십 일 십 백

3

1 4 16 64

2

5 12 15 36

1

정답과해설

142

⁄, ¤에서 4200보다 큰 수가 나오는 경우의 수는 ㅇㅇ24+6_3=42(가지)

따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

6장의 카드 중에서 3장의 카드를 꺼내는 경우의 수는 ㅇㅇ§C£=20(가지)

이때 세 수의 합이 짝수이려면

ㅇㅇ(짝수)+(짝수)+(짝수) 또는 (홀수)+(홀수)+(짝수)

⁄(짝수)+(짝수)+(짝수)인 경우

짝수가적힌 3장의카드중에서 3장을뽑는경우의수는 ㅇㅇ£C£=1(가지)

¤(홀수)+(홀수)+(짝수)인 경우

홀수가 적힌 3장의 카드 중에서 2장, 짝수가 적힌 3 장의 카드 중에서 1장을 뽑는 경우의 수는

ㅇㅇ£C™_£C¡=9(가지)

⁄, ¤에서 세 수의 합이 짝수인 경우의 수는 ㅇㅇ1+9=10(가지)

따라서 구하는 확률은 ㅇㅇ =

12명을 일렬로 세우는 경우의 수는 ㅇㅇ12!가지

한국 선수 6명과 일본 선수 6명을 교대로 세우는 방법은 다음 그림과 같은 2가지이다.

ㅇㅇ

한국 선수 6명을 일렬로 세우는 방법의 수는 ㅇㅇ6!가지

한국 선수를 세우고 난 후, 그 사이사이 또는 한쪽 끝의 6 개의 자리에 일본 선수 6명을 일렬로 세우는 방법의 수는 ㅇㅇ6!가지

이므로 한국 선수 6명과 일본 선수 6명을 교대로 세우는 방법의 수는

ㅇㅇ(2_6!_6!)가지 따라서 구하는 확률은

ㅇㅇ =

원을 4등분하였을 때 생긴 부채꼴의 넓이를 a라 하면 전 체 넓이는 4a이다.

이때 2점 과녁의 넓이는 ㅇㅇ a+ a+2_ a=4a

3 1 4 1

3 1 2

6

1 462 2_6!_6!

12!

5

1 2 10 20

4

7 20 42 120

따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

주사위를 두 번 던져서 나올 수 있는 모든 경우의 수는 ㅇㅇ6_6=36(가지)

이차방정식 x¤ +2ax+b=0이 허근을 가지려면 판별식 D<0이어야 하므로

ㅇㅇ =a¤ -b<0

ㅇㅇ∴ b>a¤ yy㉠⋯

㉠을 만족하는 순서쌍 (a, b)는

ㅇㅇ(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6) (2, 5), (2, 6)

ㅇㅇΔ 7가지

따라서 구하는 확률 는

ㅇㅇ = ㅇㅇ∴ p=36, q=7 ㅇㅇ∴ pq=36_7=252

840을 소인수분해하면 ㅇㅇ840=2‹ _3⁄ _5⁄ _7⁄

이므로 약수의 개수는

ㅇㅇ(3+1)(1+1)(1+1)(1+1)=32(개) 100을 소인수분해하면

ㅇㅇ100=2¤ _5¤

이므로 100의 약수 중 840의 약수는 ㅇㅇ2¤ _5⁄의 약수

여기서 2¤ _5⁄ 의 약수의 개수는 ㅇㅇ(2+1)(1+1)=6(개) 따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

한 개의 주사위를 세 번 던질 때, 나오는 경우의 수는 ㅇㅇ6_6_6=216 (가지)

(x-y)(y-z)=1이려면

ㅇㅇx-y=1, y-z=1 또는 x-y=-1, y-z=-1

⁄ x-y=1, y-z=1을 만족하는 순서쌍 (x, y, z)는 (3, 2, 1), (4, 3, 2), (5, 4, 3), (6, 5, 4)의 4가지

¤ x-y=-1, y-z=-1을 만족하는 순서쌍 (x, y, z)는

(1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6)의 4가지

⁄, ¤에서 구하는 경우의 수는 ㅇㅇ4+4=8(가지)

9

3 16 6 32

8

7 36 q p

q p D

4

7

1 3

;3$; a 4a

한 일

일 한

한 일

일 한

한 일

일 한

한 일

일 한

한 일

일 한

한 일

일 한

Ⅳ확률

143

따라서 구하는 확률은ㅇㅇ =

슬기와 신재가 학교 앞 음식점에 도착한 시각을 각각 6시 x분, 6시 y분이라 하면

ㅇㅇ0…x…60, 0…y…60 yy`㉠ㅇ 두 사람이 만나기 위해서는

ㅇㅇ|x-y|…20 yy`㉡ㅇ 이때 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 점

(x, y)의 영역을 나타내면 오른쪽 그림의 어두운 부분(경계선 포함)과 같다.

따라서 구하는 확률은 ㅇㅇ

ㅇㅇ= =5

9 60_60-2_{;2!;_40_40}

60_60 (어두운 부분의 넓이) (전체 정사각형의 넓이)

y

x 20

40 60

20 40 60 O

0 1

1 27 8 216

Ⅳ ^확률

3 확률의 계산

개념check | 1 ⑴ ⑵ 2 7 8 3

10 1 2

문서에서 Ⅰ 함수의 극한 (페이지 138-143)