정적분의 성질 - Ⅰ 함수의 극한

p. 160

유제 pp. 161~164

⑴ (x+1)¤ dx- (2x-1) dx

= {(x+1)¤ -(2x-1)} dx

= {(x¤ +2x+1)-(2x-1)} dx

=:_2!(x¤ +2)dx :_2!

:_2!

8

:_2!

8 ⑴ 9 ⑵ 11 9 ⑴ 12 ⑵

10 11 - 12 13

-14 ⑴ ` ⑵ 1 ` ⑶ 28 15 18 3

34 3

1 6 5

6 1 3 39

2 3

Ⅲ다항함수의적분법

091

=[ x‹ +2x]2_!

={ +4}-{- -2}=9

⑵ dx- dy

= dx- dx

= dx+ dx

= { + } dx

= dx

= (2x+6) dx

=[x¤ +6x]³

=(9+18)-(4+12)=11

⑴ (3x¤ +2x) dx- (3t¤ +2t) dt

= (3x¤ +2x) dx- (3x¤ +2x) dx

= (3x¤ +2x) dx+ (3x¤ +2x) dx

= (3x¤ +2x) dx

=[x‹ +x¤ ]2_!

=(8+4)-(-1+1)=12

⑵ (x¤ -2x)dx- (x¤ -2x)dx+ (x¤ -2x)dx

= (x¤ -2x)dx+ (x¤ -2x)dx

- (x¤ -2x)dx

= (x¤ -2x)dx- (x¤ -2x)dx

= (x¤ -2x)dx+ (x¤ -2x)dx

= (x¤ -2x)dx

=[ x‹ -x¤ ]3!

=(9-9)-{ -1}=2 3 1

3 1 3 :!3

:$3 :!4

:#4 :!4

:#4 :@4

:!2

:!2 :#4

:@4 :_2!

:!2 :_1!

:@1 :_1!

:@1

9

:_1!

:2 3

2(x-1)(x+3) : x-1

2 3

2x¤ +4x-6 : x-1

2 3

4x-6 x-1 2x¤

: x-1

2 3

4x-6 :₂³ x-1 2x¤

:₂³ x-1

4x-6 : x-1

2x¤ 2

: x-1

2 3

4y-6 : y-1

2x¤ 2

: x-1

2 3

1 3 8

3 1

3 f(x)dx- f(x)dx+ f(x)dx

=:!3 f(x)dx+:#5 f(x)dx-:@5 f(x)dx

=:!5 f(x)dx-:@5 f(x)dx

=:!5 f(x)dx+:%2 f(x)dx

= f(x)dx

= (x‹ +4x)dx (∵ f(x)=x‹ +4x)

=[ x› +2x¤ ]2!

=(4+8)-{ +2}

주어진 함수 f(x)는 x=1을 기준으로 함수의 식이 다르 므로 적분구간 [0, 3]을 x=1을 기준으로 구간을 나누어 정적분의 값을 계산한다.

⋯ ⋯∴ f(x)dx= f(x)dx+ f(x)dx

= x¤ dx+ (2x-x¤ )dx

=[ x‹ ]1)+[x¤ - x‹ ]3!

= +[(9-9)-{1- }]

= -

=-주어진 함수 f(x)는 x=0, x=1을 기준으로 함수의 식이 다르므로 적분구간 [-1, 3]을 x=0, x=1을 기준으로 구간을 나누어 정적분의 값을 계산한다.

⋯ ⋯ㅇㅇ∴ f(x)dx

= f(x) dx+ f(x) dx+ f(x) dx

= (x+1) dx+ dx+ (-x¤ +2x) dx

=[ x¤ +x]0_!+[x]1)+[- x‹ +x¤ ]3!

=-{ -1}+1+[(-9+9)-{- +1}]

= +1- =5 6 2 3 1 2

1 3 1

:!3 :)1 :_0!

:!3 :)1

:_0!

:_3!

2 1

1 3 2 3 1 3

1 3 1

:!3 :)1

:)3

1 1

39 4

1 4 1 4 :!2 :!2

:!3 :@5

0

:#5

1

정답과해설

092

=9+ =

⑵ |x¤ -3x+2|의 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값을 구하면

ㅇㅇx¤ -3x+2=0, (x-1)(x-2)=0 ㅇㅇ∴ x=1 또는 x=2

따라서 |x¤ -3x+2|를 x=1, x=2를 기준으로 구 간을 나누어 나타내면

⑴ ㅇㅇ|x¤ -3x+2|

⑴|x¤ -3x+2|는 x=1, x=2를 기준으로 식이 다르 므로 적분구간 [0, 2]를 x=1을 기준으로 구간을 나 누어 정적분의 값을 계산한다.

⑴ ㅇㅇ∴ |x¤ -3x+2|dx

= |x¤ -3x+2|dx+ |x¤ -3x+2|dx

= (x¤ -3x+2)dx+ (-x¤ +3x-2)dx

=[ x‹ - x¤ +2x]1)

+[- x‹ + x¤ -2x]2!

={ - +2}

+[{- +6-4}-{- + -2}]

= + =1

⑶ |x¤ -1|의 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값을 구하면

ㅇㅇx¤ -1=0, (x+1)(x-1)=0 ㅇㅇ∴ x=-1 또는 x=1

따라서 |x¤ -1|을 x=-1, x=1을 기준으로 구간 을 나누어 나타내면

⑴ ㅇㅇ|x¤ -1|=g

⑴|x¤ -1|은 x=-1, x=1을 기준으로 식이 다르므로 적분구간 [-3, 2]를 x=-1, x=1을 기준으로 구 간을 나누어 정적분의 값을 계산한다.

⑴ ㅇㅇ∴ |x¤ -1|dx

= |x¤ -1|dx+ |x¤ -1|dx

+:!2 |x¤ -1|dx :_1!

:_-#1 :_2#

x¤ -1 (x<-1 또는 x>1) -x¤ +1 (-1…x…1) 1

6 5 6

3 2 1 3 8

3 3 2 1 3

3 2 1 3 3

2 1 3

:!2 :)1

:)2

x¤ -3x+2 (x<1 또는 x>2) -x¤ +3x-2 (1…x…2)

34 3 7 [ x ] (x-1)(x-2) dx의 적분구간 [0, 2]에서 [x]의 3

값을 구하면

0…x<1일 때,ㅇㅇ[ x ]=0 1…x<2일 때,ㅇㅇ[ x ]=1 x=2일 때,ㅇㅇ[ x ]=2

따라서 [x]는 x=1, x=2를 기준으로 그 값이 다르므로 적분구간 [0, 2]를 x=1, x=2를 기준으로 구간을 나누 어 정적분의 값을 계산한다.

ㅇㅇ∴ [ x ] (x-1)(x-2) dx

= [ x ] (x-1)(x-2) dx

+ [ x ] (x-1)(x-2) dx + [ x ](x-1)(x-2) dx

=0+ (x-1)(x-2) dx+0

= (x¤ -3x+2)dx

=[ x‹ - x¤ +2x]2!

={ -6+4}-{ - +2}

= -

=-⑴ x|x-4|를 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값 x=4를 기준으로 구간을 나누어 나타내면

ㅇㅇx|x-4|=[

x|x-4|는 x=4를 기준으로 식이 다르므로 적분구 간 [1, 5]를 x=4를 기준으로 구간을 나누어 정적분 의 값을 계산한다.

⑴ ㅇㅇ∴ x|x-4|dx

= x|x-4|dx+ x|x-4|dx

= (-x¤ +4x) dx+ (x¤ -4x) dx

=[- x‹ +2x¤ ]4!+[ x‹ -2x¤ ]5$

=[{- +32}-{- +2}]

+[{ -50}-{64-32}]

3 125

3 1 3 64

1 3 1

: 5 1

:1 5

-x¤ +4x (x…4) x¤ -4x (x>4)

4 1

1 6 5 6 2 3

3 2 1 3 8

3 3 2 1 3 :!2

:1 2

:2 2

:1 2

:0 1

:0 2

3

1

Ⅲ다항함수의적분법

093

⑴ ㅇㅇ= (x¤ -1)dx+ (-x¤ +1) dx

+ (x¤ -1) dx

⑴ ㅇㅇ=[ x‹ -x]-_1#+[- x‹ +x]1_!+[ x‹ -x]2!

⑴ ㅇㅇ=[{- +1}-(-9+3)]+[{- +1}

-{ -1}]+[{ -2}-{ -1}]

⑴ ㅇㅇ= + + =

f(x)=xﬂ -1이므로ㅇㅇg(x)=|f(x-1)|로 놓으면 ㅇㅇg(x)=|(x-1)ﬂ -1|

이때 g(x)의 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값을 구하면

ㅇㅇ(x-1)ﬂ -1=0, {(x-1)¤ }‹ -1=0

ㅇㅇX‹ -1=0 ◀ (x-1)¤ =X ㅇㅇ(X-1)(X¤ +X+1)=0

ㅇㅇ∴ X=1 (∵ X¤ +X+1>0)

ㅇㅇ∴ (x-1)¤ =1 ^{◀ X=(x-1)¤}

ㅇㅇx¤ -2x+1=1, x(x-2)=0 ㅇㅇ∴ x=0 또는 x=2

따라서 g(x)를 x=0, x=2를 기준으로 구간을 나누어 나타내면

ㅇㅇg(x)=[

g(x)는 x=0, x=2를 기준으로 함수의 식이 다르므로 적분구간 [1, 3]을 x=2를 기준으로 구간을 나누어 정적 분의 값을 계산한다.

ㅇㅇ∴ | f(x-1)|dx

= g(x) dx

= g(x) dx+ g(x) dx

= {-(x-1)ﬂ +1} dx+ {(x-1)ﬂ -1} dx

=[- (x-1)‡ +x]2!+[ (x-1)‡ -x]3@

=[{- +2}-1]+[{ -3}-{ -2}]

= +

=18 120

7 6 7

1 7 128

7 1

1 7 1

: 3 1

:1 3

(x-1)ﬂ -1 (x<0 또는 x>2) -(x-1)ﬂ +1 (0…x…2)

5 1

28 3 4 3 4 3 20

1 3 8

3 1

1 3 1

3 1

:!2 :_1!

:_-#1

17 ⑴ - ⑵ -48 18 1 19 80 20 50 3

4 3

유제 pp. 167~168

06

특수한 함수의 정적분

⑴ x(1-x)¤ dx

= (x‹ -2x¤ +x) dx

= (x‹ +x) dx+ (-2x¤ ) dx

=0+2 (-2x¤ ) dx

=2[- x‹

]1)=-⑵ (4x‹ -3x¤ +2x+1)dx- (4t‹ -3t¤ +2t+1)dt

= (4x‹ -3x¤ +2x+1)dx

- (4x‹ -3x¤ +2x+1)dx

= (4x‹ -3x¤ +2x+1)dx

+ (4x‹ -3x¤ +2x+1)dx

= (4x‹ -3x¤ +2x+1)dx

= (4x‹ +2x)dx+ (-3x¤ +1)dx

=0+2 (-3x¤ +1)dx

=2[-x‹ +x]3)

=2(-27+3)=-48

주어진 식을 정리하면 ㅇㅇ { f(x)+g(x-2)} dx

= f(x) dx+ g(x-2) dx y`㉠ㅇ 이때 f(-x)=f(x), 즉 f(x)는 우함수이므로

ㅇㅇ f(x) dx=2 f(x) dx

=2¥4=8 {∵ :)2 f(x) dx=4} y`㉡ㅇ :)2

:_2@

7 1

:)3

:_3#

:!3 :_1#

:#1 :_1#

4 3 2

3 :)1

:_1!

6

:_1!

1

기함수 우함수

정답과해설

094

1 -3 2 2 3 ⑤ 4 5 4

6 7 1 8 49 9 10 ③

11 ③ 12 4 ‹'2

7 2 17

5 12

pp. 169~171

연습 문제

dx+ dy+ (z¤ +z+1)dz

= dx+ dx+ (x¤ +x+1) dx

= dx- (x¤ +x+1) dx

= {(x¤ -x+1)-(x¤ +x+1)} dx

= (-2x)dx=[-x¤ ]2!=-3

|x-1|+k를 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값 x=1을 기준으로 구간을 나누어 나타내면

ㅇㅇ|x-1|+k=g-x+1+k (x…1) x-1+k (x>1)

2

:!2 :!2

(x+1)(x¤ -x+1) :!2 :!2 x+1

x‹ +1 :!2 :!2 x+1

1 :@1 :!2 x+1 x‹

:!2 x+1

1 :@1 :!2 y+1 x‹

:!2 x+1

1

또 g(x-2)는 g(x)를 x축의 방향으로 2만큼 평행이동 한 것이므로

ㅇㅇ g(x-2) dx= g(x) dx

이때 g(-x)=-g(x), 즉 g(x)는 기함수이므로 ㅇㅇ g(x) dx=- g(x) dx

=-7 {∵ g(x) dx=7} y`㉢ㅇ

㉡, ㉢을 ㉠에 대입하면

ㅇㅇ { f(x)+g(x-2)} dx=8-7=1

조건`Ⅰ의 -2…x…2에서 정의된 함수 f(x)에서 ㅇㅇf(-x)=|(-x)¤ -4|=|x¤ -4|=f(x) 이므로 f(x)는 우함수이다.

ㅇㅇ∴ f(x) dx=2 f(x) dx yy`㉠ㅇ 조건 Ⅱ의 f(x+4)=f(x)에서 f(x)는 주기가 4인 주기 함수이므로

ㅇㅇ f(x)dx

= f(x) dx+ f(x) dx+ f(x) dx

=2 f(x) dx+2 f(x) dx+ f(x) dx (∵ ㉠)

=5 f(x) dx

그런데 0…x…2에서 f(x)=|x¤ -4|=-x¤ +4이므로 ㅇㅇ5 f(x) dx=5:)2 (-x¤ +4) dx

=5[- x‹ +4x]2)

=5 {- +8}

조건 Ⅱ의 f(x+2)=f(x)에서 f(x)는 주기가 2인 주기 함수이므로

ㅇㅇ f(x)dx= f(x)dx

ㅇㅇ∴ f(x)dx=5`(∵ 조건 Ⅰ) yy`㉠ㅇ 또 조건 Ⅱ의 f(-x) =f(x)에서 f(x)는 우함수이므로

:-2 -1

: 1 -2

-1

9 1

80 3

8 3 1 3 :)2

:)2

:)2 :)2

:)2

:_0@

:_2@

:^8 :@6

:_2@

:_8@

:)2 :_2@

8 1

:_2@

:)4 :)4 :_0$

:_0$

:_2@

ㅇㅇ f(x)dx= f(x)dx

ㅇㅇ∴ f(x)dx=5`(∵ 조건 Ⅰ) yy`㉡ㅇ

㉠+㉡을 하면

ㅇㅇ f(x)dx+ f(x)dx=10

ㅇㅇ∴ f(x)dx=10 yy`㉢ㅇ

조건 Ⅱ에서 f(x)는 주기가 2인 주기함수이므로 ㅇㅇ f(x)dx

ㅇㅇ= f(x)dx+ f(x)dx+ f(x)dx

+ f(x)dx+ f(x)dx

ㅇㅇ=5 f(x)dx

=5¥10`(∵ ㉢)=50 :-2

: 6 2

: 2 -2

: 0 -4

-2

:-4 6

:-2 0

:-1

: 0 -2

-1

:_-1⁰

: 1 -1

|x-1|+k는 x=1을 기준으로 함수의 식이 다르므로 적분구간 [-1, 2]를 x=1을 기준으로 구간을 나누어 정 적분의 값을 계산하면

ㅇㅇ (|x-1|+k)dx

= (-x+1+k)dx+ (x-1+k)dx

=2 (1+k)dx+ (x-1+k)dx

=2[(1+k)x]1)+[ x¤ +(-1+k)x]2!

=2(1+k)+[(2-2+2k)-{ -1+k}]

=2+2k+k+ =3k+

이때 (|x-1|+k)dx= 이므로

⋯ ⋯3k+ = ⋯ ⋯∴ k=2

정삼각뿔의 높이를 n등분하면 주어진 정삼각뿔은 (n-1) 개의 닮은 삼각기둥으로 쪼개어진다.

이때 각 삼각기둥의 높이는 이고, 맨 위의 삼각기 둥의 밑면의 한 변의 길이를 x라 하면

ㅇㅇx : a= : hㅇㅇ∴ x=

같은 방법으로 각 삼각기둥의 밑면의 한 변의 길이를 위에 서부터 차례로 구하면

ㅇㅇ , , , y,

따라서 만들어진 각각의 삼각기둥의 밑면의 넓이는 위에 서부터 차례로

ㅇㅇ { }2 , { }2 , { }2 ,

y, [ ]2

이므로 개의 삼각기둥의 부피의 합을 V«이라 하면 ㅇㅇV«= { }2 ¥ + { }2 ¥

+y+ [ ]2 ¥

ㅇㅇV«= ¥ {1¤ +2¤ +y+(n-1)¤ }

= ¥ ^n-1¡¡k¤

k=1

a¤ h (다)

n‹

'3 4

a¤ h n‹

'3 4

h n (n-1)a

n '3

4 h n 2a

n '3

4 h n a n '3

(나)n-1

( )a

(나)n-1

'3 4 3a

n '3

4 2a

n '3

4 a n '3

(n-1)a n 3a

n 2a

n a n

a n h

(가)

;nH;

3

17 2 5 2

17 :_2! 2

5 2 1

1 2 1

2 :!2 :)1

:!2 :_1!

:_2!

Ⅲ다항함수의적분법

095

우함수 기함수

따라서 구하는 부피를 V라 하면 ㅇㅇV= V«= ¥ k¤

= ¥ ¥

= a¤ h

= a¤ h¥ = a¤ h

곡선 y=f(x) 위의 임의의 점 (x, y)에서의 접선의 기울 기가 2x-2이므로ㅇㅇf '(x)=2x-2

이때 f(x)= f '(x) dx이므로

ㅇㅇf(x)= (2x-2) dx

=x¤ -2x+C (C는 적분상수) yy`㉠ㅇ 또 f(x) dx=1이므로

ㅇㅇ (x¤ -2x+C) dx=1 [ x‹ -x¤ +Cx]1)=1

ㅇㅇ -1+C=1ㅇㅇ∴ C=

C= 를 ㉠에 대입하면ㅇㅇf(x)=x¤ -2x+

ㅇㅇ∴ x f(x) dx= x{x¤ -2x+ } dx

= {x‹ -2x¤ + x} dx

=[ x› - x‹ + x¤ ]1)

= - + =

주어진 세 식

ㅇㅇ f(x) dx=3 yy`㉠ㅇ

ㅇㅇ f(x) dx=-5 yy`㉡ㅇ

ㅇㅇ f(x) dx=7 yy`㉢ㅇ

에서 ㉠+㉢을 하면

ㅇㅇ f(x) dx+ f(x) dx=3+7

ㅇㅇ∴ :_5!f(x) dx=10 yy`㉣ㅇ :!5

:_1!

:!5 :%0 :_1!

5

5 12 5 6 2 3 1 4

5 6 2 3 1 4

5 : 3

0 1

5 :₀¹ 3

:₀¹

5 3 5

5 3 1

3 1 3 :0

:0 1

: :

4

'3 12 2 6 '3

n(n-1)(2n-1) lim 6n‹

n⁄¶

'3 4

(n-1)n(2n-1) 6 a¤ h

n‹

'3 lim 4

n⁄¶

n-1¡

k=1

a¤ h n‹

'3 lim 4

n⁄¶

nlim⁄¶

정답과해설

096

ㅇㅇ:#3_A f(x) dx=:#^3+af(x) dx 이때 a=2이면

ㅇㅇ:!3 f(x) dx=:#5 f(x) dx yy㉠ㅇ 조건 Ⅱ에서:!2 f(x) dx=1, :@5 f(x) dx=3이므로

ㅇㅇ:!5 f(x) dx=:!2 f(x) dx+:@5 f(x) dx

=1+3=4 yy㉡ㅇ

또한

ㅇㅇ:!5 f(x) dx=:!3 f(x) dx+:#5 f(x) dx

=2:!3 f(x) dx (∵ ㉠)

=4 (∵ ㉡)

2:!3 f(x) dx=4에서ㅇㅇ:!3 f(x) dx=2 yy㉢ㅇ :!3 f(x) dx=:!2 f(x) dx+:@3 f(x) dx이므로

ㅇㅇ∴:@3 f(x) dx=:!3 f(x) dx-:!2 f(x) dx

=2-1 (∵ ㉢, 조건 Ⅱ)

함수 f(x)=g y㉠에서 함수

f(x)는 연속함수이므로 x=1에서도 연속이다.

함수 f(x)가 x=1에서 연속이기 위한 조건은

ㅇㅇ f(x)= f(x)

ㅇㅇ (3x¤ -5x+a)= (3x+4) ㅇㅇ∴ 3-5+a=3+4ㅇㅇ∴ a=9 이를 ㉠에 대입하면

ㅇㅇf(x)=g

따라서 함수 f(x)는 x=1을 기준으로 함수의 식이 다르 므로 적분구간 [-1, 3]을 x=1을 기준으로 구간을 나누 어 정적분의 값을 계산한다.

ㅇㅇ∴ f(x) dx

= f(x) dx+ f(x) dx

= (3x¤ -5x+9) dx+ (3x+4) dx

=2 (3x¤ +9) dx+: (3x+4) dx

: 3 0

: 3 -1

:-1 3

3x¤ -5x+9 (x…1) 3x+4 (x>1)

xlim⁄1+0 xlim⁄1-0

3x¤ -5x+a (x…1) 3x+4 (x>1)

8

또 ㉡+㉣을 하면

ㅇㅇ f(x) dx+ f(x) dx=-5+10

ㅇㅇ∴ f(x) dx=5 yy`㉤ㅇ

ㅇㅇ∴ { f(x)-3x¤ } dx

= f(x) dx- 3x¤ dx

=5-[x‹ ]0_! (∵ ㉤)

=5-1=4

함수 f(x)=2ax+b이고 f(x) dx=1이므로

ㅇㅇ (2ax+b) dx=1,[ax¤ +bx]1)=1

ㅇㅇa+b=1ㅇㅇ∴ b=1-a yy`㉠ㅇ

[ { f(x)}¤ -ax¤ ] dx를 구하면

ㅇㅇ [ { f(x)}¤ -ax¤ ] dx

= {(2ax+b)¤ -ax¤ } dx

= {(4a¤ x¤ +4abx+b¤ )-ax¤ } dx

= {(4a¤ -a)x¤ +4abx+b¤ } dx

=[ x‹ +2abx¤ +b¤ x]1)

= +2ab+b¤

= a¤ - a+2a(1-a)+(1-a)¤ (∵ ㉠)

= a¤ - a+2a-2a¤ +1-2a+a¤

= a¤ - a+1

= {a- }2 +

따라서 주어진 정적분은 a= 일 때, 최솟값이 이므로

ㅇㅇa= , b= ㅇㅇ∴ a+b=

조건 Ⅰ에서 f(3+x)=f(3-x)이므로 함수 y=f(x)의 그래프는 직선 x=3에 대하여 대칭이다.

따라서 임의의 실수 a에 대하여

7

17 12 11

12 1

11 12 1

2 11 12 1 2 1 3

1 3 1 3

1 3 4 3

1 3 4 3 4a¤ -a

3 4a¤ -a

3 :0

:0 1

:)1 :)1

6

:)1

:_0!

:_5!

:%0

기함수

우함수

Ⅲ다항함수의적분법

097

=2[x‹ +9x]1)+[ x¤ +4x]3!

=2(1+9)+[{ +12}-{ +4}]

=20+20=40

f(x) dx=b이므로ㅇㅇb=40 ㅇㅇ∴ a+b=9+40=49

` f(x)= 으로 놓고 적분구간 [0, 2]에서 x의 값의 범위를

ㅇㅇ0…x<1, x=1, 1<x…2 일 때로 나누어 lim_n_⁄¶f(x)를 구하면

⁄ 0…x<1일 때, lim_n_⁄¶x« =lim

n⁄¶x« ±⁄ =0이므로

⁄ ⋯ ⋯lim_n_⁄¶f(x)= =x

¤ x=1일 때, lim_n⁄¶x« =lim_n⁄¶x« ±⁄ =1이므로

⁄ ⋯ ⋯lim_n_⁄¶f(x)= =

‹ 1<x…2일때, lim_n_⁄¶x« 은발산, lim_n_⁄¶ =lim

n⁄¶ =0

이므로 분모, 분자를 x« 으로 나누면

⁄ ⋯ ⋯lim_n_⁄¶f(x)=lim_n_⁄¶ = =2x

⁄, ¤, ‹에 의하여

⋯ ⋯lim_n_⁄¶f(x)=

따라서 f(x)는 x=1을 기준으로 식이 다르므로 적 분구간 [0, 2]를 x=1을 기준으로 구간을 나누어 정적분 의 값을 계산한다.

⋯ ⋯∴ lim

n⁄¶ dx

= x dx+ dx+:!2 2x dx

=[ x¤ ]1)+0+[x¤ ]2!

= +(4-1)=

주어진 삼차함수 y=f(x)의 그래프는 x=1에서 극대, x=3에서 극소이므로

0 1

7 2 1

2 1 2

3:!1 :)1 2

x+2x« ±⁄

:)2 1+x«

nlim⁄¶

x (0…x<1)

;2#; (x=1) 2x (1<x…2) (O

{O 9

0+2x 0+1

1 x«

1 x« —⁄

3 2 1+2¥1

1+1 x+2¥0

1+0 x+2x« ±⁄

9

1+x«

:-1 3

3 2 27

2 3 2

+2x 1 +1 x«

1 x« —⁄

x y 1 y 3 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

이를 이용하여 도함수 y=f '(x) 의 그래프의 개형을 그리면 오른 쪽 그림과 같다.

따라서

ㅇㅇf '(x)=a(x-1)(x-3)

=ax¤ -4ax+3a (a>0) yy㉠ㅇ 로 놓을 수 있다.

이때 f(x)= f '(x) dx이므로

ㅇㅇf(x)= (ax¤ -4ax+3a) dx

= x‹ -2ax¤ +3ax+C `(C는 적분상수) 이때 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값 1, x=3에서 극솟 값 -3을 가지므로 f(1)=1, f(3)=-3에서

ㅇㅇf(1)= -2a+3a+C=1

ㅇㅇ∴ a+C=1 yy㉡ㅇ

ㅇㅇf(3)=9a-18a+9a+C=-3

ㅇㅇ∴ C=-3 yy㉢ㅇ

㉢을 ㉡에 대입하면ㅇㅇa=3 a=3을 ㉠에 대입하면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+9

| f '(x)|=|3x¤ -12x+9|를 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값 x=1, x=3을 기준으로 구간을 나누어 나 타내면

ㅇㅇ| f '(x)|=g

따라서 | f '(x)|는 x=1, x=3을 기준으로 함수의 식이 다르므로 적분구간 [0, 2]를 x=1을 기준으로 구간을 나 누어 정적분의 값을 계산한다.

ㅇㅇ∴ | f '(x)|dx

= | f '(x)|dx+ | f '(x)|dx

= (3x¤ -12x+9) dx+ (-3x¤ +12x-9) dx

=[x‹ -6x¤ +9x]1)+[-x‹ +6x¤ -9x]2!

=(1-6+9)+{(-8+24-18)-(-1+6-9)}

=4+2=6

:!2 :)1

:)2

3x¤ -12x+9 (x<1 또는 x>3) -3x¤ +12x-9 (1…x…3) 4

3 a 3 a 3 : :

x y

O 1 3

y=f '(x)

정답과해설

098

나이다.

이때 구간 [0, c]에서 f(x)<0이므로 이 구간에서 ㅇㅇ f(t) dt<0

그런데 구간 [0, c]에서 가의 그래프는 양의 값을 가 지고, 구간 [b, c]에서 나의 그래프는 양의 값을 가지 므로 이를 만족하는 y= f(t) dt의 그래프는 없다.

따라서 y=f(x)의 그래프는 나, y=f '(x)의 그래프는 가, y= f(t) dt의 그래프는 다이다.

A지역의 넓이를 A라 하면 ㅇㅇA=4_4- x¤ dx

=16-2 x¤ dx

=16-2[ x‹ ]2)

=16-=

B영역을 좌표평면 위에 나타 내었을 때, 농부가 받을 토지 의 영역의 위쪽 경계선이 그래 프와 만나는 지점의 x좌표를 k(k>0)라 하고, 그때의 넓이 를 B라 하면

ㅇㅇB=2k_ k¤ - x¤ dx

=k‹ -2 x¤ dx

=k‹ - x¤ dx

=k‹ -[ x‹ ]k)

=k‹ - = 이때 A=B이므로 ㅇㅇ = ㅇㅇk‹ =16

ㅇㅇ∴ k=‹'1å6=2 ‹'2

따라서 구하는 위쪽 경계선의 길이는 2k이므로 ㅇㅇ2k=4 ‹'2

2k‹

3 32

2k‹

3 k‹

3 1 3 :)k

1 :)k 2

1 :_kK 2 1 2

k x

-k O

y=1 2x² 1

2k¤

32 3

16 3

1 3 :)2

:_2@

y y=x¤

O x

-2 2

4 A

2 1

::0 x

:0 x

세 그래프가 증가, 감소를 하는 구간과 양수, 음수인 구간 을 표시하여 주어진 그래프를 나타내면 다음과 같다.

이때 함수 y=f(x)의 그래프가 각각 가, 나, 다인 경우로 나누어 생각하면

⁄ 함수 y=f(x)의 그래프가 가인 경우

구간 [0, a]에서 함수 f(x)는 증가하고, f(x)>0이 므로 이 구간에서

ㅇㅇf '(x)>0, f(t) dt>0

이때 구간 [0, a]에서 나, 다의 그래프는 모두 음의 값 을 가지므로 이를 만족하는 y=f '(x),

y= f(t) dt의 그래프는 없다.

¤ 함수 y=f(x)의 그래프가 나인 경우

구간 [0, c], [e, f ]에서 함수 f(x)는 증가하므로 이 구간에서

ㅇㅇf '(x)>0

이고, 구간 [c, e]에서 함수 f(x)는 감소하므로 이 구 간에서

ㅇㅇf '(x)<0

따라서 이를 만족하는 도함수 y=f '(x)의 그래프는 가이다.

또 구간 [0, b]에서 f(x)<0이므로 이 구간에서 ㅇㅇ f(t) dt<0

이고, f(x) dx>0, f(x) dx<0이므로 이들

의 정적분 값의 크기에 따라 y= f(t) dt의 그래프 는 다와 같이 나타낼 수 있다.

‹ 함수 y=f(x)의 그래프가 다인 경우

구간 [b, d]에서 함수 f(x)는 증가하므로 이 구간에서 ㅇㅇf '(x)>0

이고, 구간 [0, b], [d, f ]에서 함수 f(x)는 감소하므 로 이 구간에서

ㅇㅇf '(x)<0

따라서 이를 만족하는 도함수 y=f '(x)의 그래프는 :0

: f b

:₀^x :₀^x

:0 x

x 가

나

다 O

a b

d e

f c

1 1

우함수

Ⅲ다항함수의적분법

099

f(t)dt=f(x)이므로

⑴ f(x)= (2t-6)dt=2x-6

⑵ f(x)= (t› -4t‹ +2t-3)dt

=x› -4x‹ +2x-3

⑴ f(t)dt=f(a)이므로

ㅇㅇ (2t› -3t¤ +2)dt

=2-3+2=1

⑵ f(t)dt=f(a)이므로

ㅇㅇ (t‹ -4t+3)dt

=2‹ -4¥2+3=3 :2

1 x+2

lim x

x⁄0

1 x+a

lim x

x⁄0

1 x

lim x-1

x⁄1

1 x

limx-a

x⁄a

2

:-3

d x

dx :2

d x

dx :a

d x

1

개념check | 1 ⑴ f(x)=2x-6 ⋯

⑵ f(x)=x› -4x‹ +2x-3 2 ⑴ 1 ⑵ 3

07

정적분으로 나타내어진 함수

p. 172

유제 pp. 173~179

정적분 f(t)dt는 상수이므로

ㅇㅇ f(t)dt=a (a는 상수) yy㉠ㅇ 로 놓으면 함수 f(x)는

ㅇㅇf(x)=3x¤ -2x+a yy㉡ㅇ :0

1

1 4 2 f(x)=x¤ +4x+ 3 4 4 12 5 f(x)=3x¤ -4x 6 2 7 14 8 1 9 f(x)=6x-4 10 f(x)=x¤ +1 11 3 12 -2 13 극댓값： , 극솟값：- 14 -1

15 ⑴ 최댓값： ,

최솟값：-⑵ 최댓값：1, 최솟값：

16 ⑴ 3 ⑵ 6 17 ⑴ 114 ⑵ 12 1

2 2 3 7

1 4 1

4 19

㉡을 ㉠에 대입하면 ㅇㅇa= (3t¤ -2t+a)dt

=[t‹ -t¤ +at]

0 2

=8-4+2a=4+2a a=4+2a이므로ㅇㅇa=-4

이를 ㉡에 대입하면ㅇㅇf(x)=3x¤ -2x-4 ㅇㅇ∴ f(2)=12-4-4=4

정적분 t f(t)dt는 상수이므로

ㅇㅇ t f(t)dt=a (a는 상수) yy㉠ㅇ 로 놓으면 함수 f(x)는

ㅇㅇf(x)=x¤ +4x+a yy㉡ㅇ

㉡을 ㉠에 대입하면 ㅇㅇa= t(t¤ +4t+a)dt

= (t‹ +4t¤ +at)dt

=[ t› + t‹ + at¤ ]

0 1

= + + a

= + a

a= + a이므로ㅇㅇa=

이를 ㉡에 대입하면 ㅇㅇf(x)=x¤ +4x+

정적분 f '(t)dt는 상수이므로

ㅇㅇ f '(t)dt=a (a는 상수) yy㉠ㅇ 로 놓으면 함수 f(x)는

ㅇㅇf(x)=x‹ +x+a yy㉡ㅇ 양변을 x에 대하여 미분하면

ㅇㅇf '(x)=3x¤ +1 yy㉢ㅇ

㉢을 ㉠에 대입하면

ㅇㅇa= (3t¤ +1)dt=[t‹ +t]

0 1

=2 이를 ㉡에 대입하면ㅇㅇf(x)=x‹ +x+2 ㅇㅇ∴ f(1)=1+1+2=4

:0 1

3

19 6

19 6 1

2 19 12

1 2 19 12

1 2 4 3 1 4

1 2 4 3 1 4 :₀¹ :0

:0 1

2

:0 2

정답과해설

100

f(x)=x¤ + (x¤ -t)f(t)dt의 우변을 전개하면

ㅇㅇf(x)=x¤ +x¤ f(t)dt- t f(t)dt 이때 정적분 f(t)dt, t f(t)dt는 상수이므로

ㅇㅇ f(t)dt=a, t f(t)dt=b (a, b는 상수) 로 놓으면 함수 f(x)는

ㅇㅇf(x)=x¤ +ax¤ -b=(1+a)x¤ -b yy㉠ㅇ

㉠을 f(t)dt=a에 대입하면

ㅇㅇa= {(1+a)t¤ -b} dt

=2 {(1+a)t¤ -b} dt

=2[ t‹ -bt]1)

=2 { -b}

a=2 { -b}이므로ㅇㅇ3a=2(1+a)-6b

ㅇㅇ∴ a+6b=2 yy㉡ㅇ

또 ㉠을 t f(t)dt=b에 대입하면

ㅇㅇb= t {(1+a)t¤ -b} dt

= {(1+a)t‹ -bt}dt=0 yy㉢ㅇ

㉢을 ㉡에 대입하면ㅇㅇa=2 따라서 a=2, b=0을 ㉠에 대입하면 ㅇㅇf(x)=3x¤

ㅇㅇ∴ f(2)=12

정적분 f(t)dt, f(t)dt는 상수이므로

ㅇㅇ f(t)dt=a, f(t)dt=b (a, b는 상수) 로 놓으면 함수 f(x)는

ㅇㅇf(x)=3x¤ +4ax+b yy㉠ㅇ

㉠을 f(t)dt=a에 대입하면

ㅇㅇa= (3t¤ +4at+b)dt

=[t‹ +2at¤ +bt]₀¹

=1+2a+b :0

:0 1

: 2 0

5

:_-1¹ :-1 1

:-1 1

1+a 3

1+a 3 1+a

3 :0

:-1 1

:-1

: 1 -1

:-1

: 1 -1

:_-1¹ :_-1¹

:-1

4

1 a=1+2a+b이므로ㅇㅇa+b=-1 yy㉡ㅇ

또 ㉠을 f(t)dt=b에 대입하면 ㅇㅇb= (3t¤ +4at+b)dt

=[t‹ +2at¤ +bt]

0 2

=8+8a+2b

b=8+8a+2b이므로ㅇㅇ8a+b=-8 yy㉢ㅇ

㉡, ㉢을 연립하여 풀면ㅇㅇa=-1, b=0 따라서 a=-1, b=0을 ㉠에 대입하면 ㅇㅇf(x)=3x¤ -4x

f(t)dt=x‹ -ax+3ㅇㅇy㉠의 적분구간에 변수 x 가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분하면

ㅇㅇ f(t)dt= (x‹ -ax+3)

ㅇㅇ∴ f(x)=3x¤ -a {∵ f(t)dt=f(x)}

ㅇㅇyy㉡ㅇ 또 x=3을 ㉠에 대입하면

ㅇㅇ f(t)dt=27-3a+3

ㅇㅇ0=30-3a {∵ f(t)dt=0}ㅇㅇ∴ a=10 a=10을 ㉡에 대입하면ㅇㅇf(x)=3x¤ -10 ㅇㅇ∴ f(2)=12-10=2

f(t)dt=3x‹ +5x¤ -2xㅇㅇy㉠의 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분하면

ㅇㅇ f(t)dt= (3x‹ +5x¤ -2x)

ㅇㅇ∴ f(x)=9x¤ +10x-2 {∵ f(t)dt=f(x)}

yy㉡ㅇ 또 x=a를 ㉠`에 대입하면

ㅇㅇ f(t)dt=3a‹ +5a¤ -2a

ㅇㅇ0=3a‹ +5a¤ -2a {∵ f(t)dt=0}

ㅇㅇa(3a¤ +5a-2)=0, a(a+2)(3a-1)=0 ㅇㅇ∴ a=-2 (∵ a는 0이 아닌 정수) ㅇㅇ∴ f(a)=f(-2)=36-20-2 (∵ ㉡)

=14

:a a

d x

dx d

: dx

d x

dx :a

7

:3 3

d x

dx d : dx

d x

dx :₃^x

6

:0 2

우함수

기함수

Ⅲ다항함수의적분법

101

f(t)dt=x‹ -3x¤ +2x의 적분구간에 변수 x가 있으

므로 양변을 x에 대하여 미분하면 ㅇㅇ f(t)dt= (x‹ -3x¤ +2x)

f(t)dt=f(u(x))u'(x)-f(v(x))v'(x)이므로 ㅇㅇ2x f(x¤ )-2f(2x)=3x¤ -6x+2 yy㉠ㅇ x=2를 ㉠에 대입하면

ㅇㅇ4 f(4)-2f(4)=12-12+2, 2 f(4)=2 ㅇㅇ∴ f(4)=1

(x-t)f(t)dt=x‹ -ax¤ +bxㅇㅇy㉠의 좌변을 전 개하면

ㅇㅇx f(t)dt- t f(t)dt=x‹ -ax¤ +bx

적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분 하면

ㅇㅇ f(t)dt+x¥[ f(t)dt]- t f(t)dt

= (x‹ -ax¤ +bx)

ㅇㅇ f(t)dt+xf(x)-xf(x)=3x¤ -2ax+b

ㅇㅇ∴ f(t)dt=3x¤ -2ax+b yy㉡ㅇ 이 식의 양변을 다시 한번 x에 대하여 미분하면

ㅇㅇf(x)=6x-2a yy㉢ㅇ 한편 x=1을 ㉠에 대입하면

ㅇㅇ (1-t)f(t)dt=1-a+b

ㅇㅇ0=1-a+bㅇㅇ∴ a-b=1 yy㉣ㅇ 또 x=1을 ㉡에 대입하면

ㅇㅇ f(t)dt=3-2a+b

ㅇㅇ0=3-2a+bㅇㅇ∴ 2a-b=3 yy㉤ㅇ

㉣, ㉤을 연립하여 풀면ㅇㅇa=2, b=1 a=2를 ㉢에 대입하면

ㅇㅇf(x)=6x-4

(x-t)f'(t)dt= x‹의 좌변을 전개하면

ㅇㅇx f '(t)dt- t f '(t)dt= x‹

적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분 하면

1 : 3

: x 0

1 :₀^x 3

0 1

:1 1

:1 x

d dx

d x

: dx

d x

: dx

1 x

: x 1

9

:v(x)

d u(x)

d : dx

d x¤

dx :2x

8

x¤ ^ㅇㅇ f'(t)dt+x¥[ f'(t)dt]- tf'(t)dt

= { x‹ } ㅇㅇ f '(t)dt+xf'(x)-xf'(x)=x¤

ㅇㅇ∴ f '(t)dt=x¤

이 식의 양변을 다시 한번 x에 대하여 미분하면 ㅇㅇf '(x)=2x

이때 f(x)= f '(x)dx이므로

ㅇㅇf(x)= 2x`dx

=x¤ +C (C는 적분상수) yy㉠ㅇ f(0)=1이므로 x=0을 ㉠에 대입하면

ㅇㅇf(0)=C=1 ㅇㅇ∴ f(x)=x¤ +1

x f(x)= x‹ - x¤ + + f(t)dtㅇㅇy㉠의 적분 구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분하면 ㅇㅇf(x)+xf'(x)=2x¤ -x+f(x)

ㅇㅇ∴ xf'(x)=2x¤ -x=x(2x-1) 위의 등식은 x에 대한 항등식이므로 ㅇㅇf '(x)=2x-1

이때 f(x)= f '(x)dx이므로

ㅇㅇf(x)= (2x-1)dx

=x¤ -x+C (C는 적분상수) yy㉡ㅇ 한편 x=1을 ㉠에 대입하면

ㅇㅇf(1)= - + + f(t)dt

= - + +0=1 yy㉢ㅇ

또 x=1을 ㉡에 대입하면

ㅇㅇf(1)=1-1+C=C yy㉣ㅇ

㉢ =㉣이므로ㅇㅇC=1

C=1을 ㉡에 대입하면ㅇㅇf(x)=x¤ -x+1 ㅇㅇ∴ f(2)=4-2+1=3

f(t)dt=- f(t)dt이므로

ㅇㅇx f(x)= x‹ +: f(t)dt yy㉠ㅇ

2 x

3 :3

: x x

2

1

5 6 1 2 2 3

5 1

6 1 2 2 3 : :

5 x

6 1 2 2

1

: : :0

:0 x

1 3 d dx :0

d x

: dx

d x

: dx

0 x

정답과해설

102

적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분 하면

ㅇㅇf(x)+xf'(x)=2x¤ +f(x) ㅇㅇ∴ xf'(x)=2x¤ =x¥2x 위의 등식은 x에 대한 항등식이므로 ㅇㅇf '(x)=2x

이때 f(x)= f '(x)dx이므로

ㅇㅇf(x)= 2x dx

=x¤ +C(C는 적분상수) yy㉡ㅇ 한편 x=3을 ㉠에 대입하면

ㅇㅇ3 f(3)=18+ f(t)dtㅇㅇ∴ f(3)=6 yy ㉢ㅇ 또 x=3을 ㉡에 대입하면

ㅇㅇf(3)=9+C yy㉣ㅇ

㉢=㉣이므로ㅇㅇ6=9+Cㅇㅇ∴ C=-3 C=-3을 ㉡에 대입하면ㅇㅇf(x)=x¤ -3 ㅇㅇ∴ f(1)=1-3=-2

f(x)= (t‹ -t)dt의 적분구간에 변수 x가 있으므 로 양변을 x에 대하여 미분하면

ㅇㅇf '(x)={(x+1)‹ -(x+1)}-(x‹ -x)

=x‹ +3x¤ +3x+1-x-1-x‹ +x

=3x¤ +3x=3x(x+1)

f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=-1 또는 x=0 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극대, x=0에서 극소 이므로 극댓값 f(-1), 극솟값 f(0)을 구하면

ㅇㅇf(-1)= (t‹ -t)dt=[ t› - t¤ ]

-1 0

ㅇㅇf(0)= (t‹ -t)dt=[ t› - t¤ ]

0 1

=-따라서 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값은 ㅇㅇ(극댓값)= ,

(극솟값)=-f(x)= (t¤ +at+b) dtㅇㅇy㉠의 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분하면

ㅇㅇf '(x)=x¤ +ax+b yy㉡ㅇ

4

1

1 4 1

2 1 : 4

0 1

1 4 1

2 1 : 4

-1 0

3

x+1

1

:3 3

: :

이때 함수 f(x)가 x=1에서 극댓값 를 가지므로

ㅇㅇf '(1)=0, f (1)=

x=1을 ㉡에 대입하면 f'(1)=0이므로

ㅇㅇf '(1)=1+a+b=0ㅇㅇ∴ a+b=-1 yy㉢ㅇ x=1을 ㉠에 대입하면 f (1)= 이므로

ㅇㅇf (1)= (t¤ +at+b) dt

=[ t‹ + at¤ +bt]1)

= + a+b=

ㅇㅇ∴ a+2b=2 yy㉣ㅇ

㉢, ㉣을 연립하여 풀면ㅇㅇa=-4, b=3 ㅇㅇ∴ a+b=-4+3=-1

⑴ f(x)= (-t¤ -t+2)dt의 적분구간에 변수 x가 있 으므로 양변을 x에 대하여 미분하면

ㅇㅇf '(x)=-x¤ -x+2=-(x+2)(x-1) f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=-2또는 x=1 구간 [0, 2]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.

따라서 x=1일 때, 함수 f(x)는 극대이므로 f(1)의 값을 구하면

ㅇㅇf(1)= (-t¤ -t+2)dt

=[- t‹ - t¤ +2t]

0 1

=- - +2=

또 x=0, x=2에서의 함숫값을 각각 구하면 ㅇㅇf(0)= (-t¤ -t+2)dt=0

ㅇㅇf(2)= (-t¤ -t+2)dt

=[- t‹ - t¤ +2t]

0 2

=- -2+4=-2 3 8

3 1 2 1 3 :0

:₀⁰

7 6 1 2 1 3

1 2 1 3 :0

5

1

4 3 1

2 1 3

1 2 1 3 :0

4 3 4 3

4 3

x y -1 y 0 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x 0 y 1 y 2

f '(x) + + 0 -

-f(x) ↗ ↗ 극대 ↘ ↘

문서에서 Ⅰ 함수의 극한 (페이지 90-104)