p. 181
유제 pp. 182~184
⑴ 주어진 식을 변형하면
ㅇㅇ (2n+k)‹ = 4 {2+ }‹ ¥
이때 2+ =2+ k를 x로 바꾸면 적분구간은 [2, 3]이므로 정적분으로 나타내어 값을 계산하면 ㅇㅇ 4 {2+ }‹ ¥
=4 x‹ dx=[x› ]3@
=81-16=65
⑵ 주어진 식을 변형하면
ㅇㅇ = {1+ }¤ ¥
이때 1+ =1+ k를 x로 바꾸면 적분구간은 [1, 4]이므로 정적분으로 나타내어 값을 계산하면 ㅇㅇ {1+ }¤ ¥
= x¤ dx= [ x‹ ]4!
= { - }=7 1 3 64
3 1 3
1 3 1 : 3
1
1 4
3
3 n 3k
n
¡n k=1
1 lim 3
nڦ
4-1 n 3k
n
3 n 3k
n
¡n k=1
1 lim 3
nڦ
(n+3k)¤
n‹
¡n k=1 nlim⁄¶
:2 3
1 n k n
¡n k=1
lim
nڦ
3-2 n k
n
1 n k n
¡n k=1 nlim⁄¶
¡n k=1
4 lim n›
nڦ
8 1
18 ⑴ 65 ⑵ 7 19 20 5
21 ⑴ ⑵ 22 2 23 5
6 28
3 65
4
1 3 ㅇㅇ {1+ }¤
= {1+ k}¤ ¥
= (1+x)¤ dx
⑶ 1+ k=1+ k를 x로 바꾸면 적분구간은 [1, 4]이고, 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각
, {1+ k}¤
이므로 정적분으로 나타내면 ㅇㅇ {1+ }¤
= {1+ k}¤ ¥
=::` x¤ dx
1 1 4 4
3 n 4-1
n
¡n k=1 nlim⁄¶
3 n 3k
n
¡n k=1 nlim⁄¶
4-1 n 4-1
n
4-1 n 3
n ::`00
3 3
3 n 3-0
n
¡n k=1 nlim⁄¶
3 n 3k
n
¡n k=1 nlim⁄¶
Ⅲ다항함수의적분법
105
주어진 등식의 좌변에서 a+ k를 x로 바꾸면 적분구간은 [a, 4]이므로 정적분으로 나타내면
ㅇㅇ f {a+ k}¥
= f {a+ k}¥ ¥
= f(x)dx
b f(x)dx와 비교하면
ㅇㅇb= , a=1ㅇㅇ∴ a=1, b=
ㅇㅇ∴ ab=
주어진 식을 변형하면
ㅇㅇ {1+ }¤ = {1+ }¤ ¥
이때 1+ =1+ k를 x로 바꾸면 적분구간은 [1, 3]이므로 정적분으로 나타내면
ㅇㅇ {1+ }¤ ¥ = x¤ dx
x¤ dx와 비교하면
ㅇㅇ1= , b=3ㅇㅇ∴ a=2, b=3 ㅇㅇ∴ a+b=5
⑴ 주어진 식을¡를 이용하여 간단히 나타내면 ㅇㅇ {(2n+1)‹ +(2n+2)‹ +y+(2n+n)‹ }
= ¥
= [{2+ }‹ +{2+ }‹
+y+{2+ }‹ ]¥
ㅇㅇ= {2+ }‹ ¥
이때 2+ =2+ k를 x로 바꾸면 적분구간은 [2, 3]이므로 정적분으로 나타내어 값을 계산하면 ㅇㅇ {2+ }‹ ¥ = x‹ dx=[ x› ]
2 3
= -4=65 4 81
4
1 : 4
2
1 3
n k n
¡n k=1 nlim⁄¶
3-2 n k
n
1 n k n
¡n k=1 nlim⁄¶
1 n n n 2
n 1
lim n
nڦ
1 n (2n+1)‹ +(2n+2)‹ +y+(2n+n)‹
lim n‹
nڦ
1 lim n›
nڦ
1 2
a 2 :1
b
:1
a 3
2 2 n 2k
n
¡n k=1
a lim 2
nڦ
3-1 n 2k
n
2 n 2k
n
¡n k=1
a lim 2
nڦ
2k n a n
¡n k=1 nlim⁄¶
0 2
1 3
1 3 1
4-a :1
4
:a
1 4
4-a
1 4-a 4-a
n 4-a
n
¡n k=1
lim
nڦ
1 n 4-a
n
¡n k=1 nlim⁄¶
4-a
9
n1
⑵ 주어진 식을¡를 이용하여 간단히 나타내면ㅇㅇ [{2+ }¤ +{2+ }¤ +y+{2+ }¤ ] ㅇㅇ= {2+ }¤ ¥
= {2+ }¤ ¥
이때 2+ =2+ k를 x로 바꾸면 적분구간은 [2, 4]이므로 정적분으로 나타내어 값을 계산하면 ㅇㅇ {2+ }¤ ¥
= x¤ dx= [ x‹ ]4@
= { - }=
구간 [0, 2]를 n등분하였으므로
ㅇㅇOA”¡’= , OA”™”= , y, OA”˚’= , y
따라서 점 A˚의 좌표는ㅇㅇ{ , 0}
또한 점 B˚의 좌표는ㅇㅇ{ , { }‹ } ㅇㅇ∴ A’˚B˚”={ }‹
ㅇㅇ∴ A’˚B˚”= { }‹
= { }‹ ¥
이때 = k를 x로 바꾸면 적분구간은 [0, 2]이 므로 정적분으로 나타내어 값을 계산하면
ㅇㅇ { }‹ ¥ = x‹ dx
= [ x› ]2)=2
BC”를 n등분한 점이 P¡, P™, y, P«–¡이므로
ㅇㅇBP”¡’= , BP”™’= ,
ㅇㅇ y, BP”˚’= , y
또 ∠ABC=∠ABP˚이므로 정삼각형 △ABC에서 ㅇㅇ∠ABC=∠ABP˚=
따라서 △ABP˚에서 제이코사인법칙을 이용하여 A’P˚”¤
을 구하면
p 3 k n 2 n 1
n
A
C B yP˚ y
1
3 2
1 4 1 2 1:)2 2 2 n 2k
n
¡n k=1
1 lim 2
nڦ
2-0 n 2k
n
2 n 2k
n
¡n k=1
1 lim 2
nڦ
2k n
¡n k=1
1 lim n
nڦ
¡n k=1
1 lim n
nڦ
2k n
2k n 2k
n 2k
n
2k n 4
n 2
n
2 2
28 3 8 3 64
3 1 2
1 3 1 :24 2
1 2
2 n 2k
n
¡n k=1
1 lim 2
nڦ
4-2 n 2k
n
2 n 2k
n
¡n k=1
1 lim 2
nڦ
1 n 2k
n
¡n k=1 nlim⁄¶
2n n 4
n 2
n 1 lim n
nڦ
정답과해설
106
ㅇㅇA’P˚”¤ =AB”¤ +BP˚”¤ -2AB”¥BP˚”¥cos (∠ABP˚)
=1¤ +{ }¤ -2¥1¥ ¥cos
={ }¤ - +1
ㅇㅇ∴ limn⁄¶ ;Kn+!A’P˚”¤ =limn⁄¶;Kn+![{ }¤ - +1]¥
이때 = k를 x로 바꾸면 적분구간은 [0, 1]이 므로 정적분으로 나타내어 값을 계산하면
ㅇㅇlim
n⁄¶;Kn+![{ }¤ - +1]¥
= (x¤ -x+1)dx
=[ x‹ - x¤ +x]1)
={ - +1}=5 6 1
2 1 3
1 2 1 3 :)1
1 n k n k n 1-0
n k n
1 n k n k n 1
n k n k n
p 3 k n k
n
정적분 f(t)dt, g(t)dt는 모두 상수이므로
⋯ ⋯ g(t)dt=a (a는 상수) yy㉠⋯
⋯ ⋯ f(t)dt=b (b는 상수) yy㉡⋯
로 놓으면 함수 f(x), g(x)는
⋯ ⋯f(x)=x¤ +a, g(x)=bx 이를 각각 ㉠, ㉡에 대입하면
⋯ ⋯a= g(t)dt= bt dt
=[ bt¤ ]1)= b
⋯ ⋯∴ b=2a yy㉢⋯
⋯ ⋯b= f(t)dt= (t¤ +a)dt
=[ t‹ +at]1)= +a1 3 1
3
:)1 :)1
1 2 1
2
:)1 :)1
:)1 :)1
:)1
1
:)11 ② 2 3 ① 4 ③ 5 -6'3
6 1 7 ③ 8 1 9 9 10 15
11 ④ 12 15 31
5
pp. 185~187
연습 문제
⋯ ⋯∴ a-b=- yy㉣⋯
㉢, ㉣을 연립하여 풀면⋯ ⋯a= , b=
따라서 함수 f(x), g(x)는
⋯ ⋯f(x)=x¤ + , g(x)= x
⋯ ⋯∴ f(1)+g(1)={1+ }+ =2
주어진 식을¡를 이용하여 간단히 나타내면 ㅇㅇ {(2n-1)› +(2n-2)› +y+(2n-n)› }
ㅇㅇ= [{ }› +{ }› +y+{ }› ] ㅇㅇ= {2- }›
ㅇㅇ= [-{-2+ }]› ¥
ㅇㅇ= {-2+ }› ¥
이때 -2+ =-2+ k를 x로 바꾸면 적 분 구간은 [-2, -1]이므로 정적분으로 나타내어 값을 계산하면
ㅇㅇ {-2+ }› ¥
= x› dx=[ xfi ]-_1@
=- -{- }=
f(x)= (t¤ -t-2)dt의 적분구간에 변수 x가 있으므 로 양변을 x에 대하여 미분하면
⋯ ⋯f'(x)=x¤ -x-2=(x+1)(x-2) f '(x)=0인 x의 값은⋯ ⋯x=-1 또는 x=2 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 f(x)는 x=-1에서 극대이고, x=2에서 극소이므로 극댓값과 극솟값을 각각 구하면
⋯ ⋯ (극댓값)=f(-1)=:_-!1 (t¤ -t-2)dt=0
3
:_/!31 5 32
5 1 5
1 :-2-1 5
1 n k n
¡n k=1 nlim⁄¶
-1-(-2) n k
n
1 n k n
¡n k=1 nlim⁄¶
1 n k n
¡n k=1
lim
nڦ
k n
¡n k=1
1 lim n
nڦ
2n-n n 2n-2
n 2n-1
n 1 lim n
nڦ
1 lim nfi
nڦ
2
2 3 1 3 2 3 1
3
2 3 1 3 1
3
x y -1 y 2 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
Ⅲ다항함수의적분법
107
⋯ ⋯ (극솟값)=f(2)=:_2! (t¤ -t-2)dt
=[ t‹ - t¤ -2t]2_!
={ -2-4}-{- - +2}
=-따라서 극댓값과 극솟값의 합은
⋯ ⋯0+{-
}=-f(x)+ t f '(t)dt= x‹ + x¤ +2x+1⋯ ⋯y ㉠의 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분 하면
⋯ ⋯f'(x)+x f'(x)=x¤ +3x+2
⋯ ⋯(x+1) f'(x)=(x+1)(x+2) 위의 등식은 x에 대한 항등식이므로
⋯ ⋯f'(x)=x+2
이때 f(x)= f '(x)dx이므로
⋯ ⋯f(x)= (x+2)dx
= x¤ +2x+C (C는 적분상수) yy㉡⋯
한편 x=0을 ㉠`에 대입하면
⋯ ⋯f(0)+0=1⋯ ⋯∴ f(0)=1 yy㉢⋯
또 x=0을 ㉡`에 대입하면
⋯ ⋯f(0)=C=1 (∵ ㉢) C=1을 ㉡`에 대입하면
⋯ ⋯f(x)= x¤ +2x+1
⋯ ⋯∴ :)1 f(2x¤ )dx=:)1 [ (2x¤ )¤ +2¥2x¤ +1] dx
=:)1 (2x› +4x¤ +1) dx
=[ xfi + x‹ +x]1)
= + +1=
:?a x(t+2)f(t)dt=-x› +12x¤ 을 정리하면
⋯ ⋯x:?a (t+2)f(t)dt=-x(x‹ -12x) 위의 등식은 x에 대한 항등식이므로
5
41 15 4
3 2 5
4 3 2 5
1 2 1
2 1 2 : :
3 2 1 :)/ 3
4
9 2 9 2
9 2
1 2 1 3 8
3 1 2 1 3
⋯ ⋯:?a (t+2)f(t)dt=-(x‹ -12x)
⋯ ⋯-:A/ (t+2)f(t)dt=-(x‹ -12x)
⋯ ⋯∴ :A/ (t+2)f(t)dt=x‹ -12x yy㉠⋯
㉠의 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미분하면
⋯ ⋯(x+2)f(x)=3x¤ -12
=3(x+2)(x-2) 위의 등식은 x에 대한 항등식이므로
⋯ ⋯f(x)=3(x-2)
⋯ ⋯∴ f(1)=-3
한편 ㉠의 양변에 x=a를 대입하면
⋯ ⋯0=a‹ -12a, a(a+2'3)(a-2'3)=0
⋯ ⋯∴ a=2'3 (∵ a>0)
⋯ ⋯∴ af(1)=2'3_(-3)
=-6'3
:A/ f(t)dt=(x-1)|x-a|에서 절댓값 기호 안의 식이 0 이 되는 x의 값 x=a를 기준으로 구간을 나누어 나타내면
⁄ x<a일 때
ㅇㅇ:A/ f(t)dt=-(x-1)(x-a)
=-x¤ +(a+1)x-a
⁄ 이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 ㅇㅇf(x)=-2x+a+1
¤ xæa일 때
⁄ ㅇㅇ:A/ f(t)dt=(x-1)(x-a)
=x¤ -(a+1)x+a
⁄ 이 식의 양변을 x에 대하여 미분하면 ㅇㅇf(x)=2x-(a+1)=2x-a-1
⁄, ¤에 의하여 ㅇㅇf(x)=[
이때 함수 f(x)는 모든 실수에서 연속이므로 x=a에서 도 연속이다.
따라서 함수 f(x)가 x=a에서 연속이기 위한 조건은
ㅇㅇ f(x)= f(x)
ㅇㅇ (-2x+a+1)= (2x-a-1) ㅇㅇ-2a+a+1=2a-a-1
ㅇㅇ2a=2ㅇㅇ∴ a=1
xlim⁄a+0 xlim⁄a-0
xlim⁄a+0 xlim⁄a-0
-2x+a+1 (x<a) 2x-a-1 (xæa)
6
정답과해설
108
주어진 식을 변형하면
ㅇㅇ [2a+ ]¤
= [2a+ ]¤
이때 2n=m으로 놓으면 n ⁄ ¶일때, m ⁄ ¶이므로
ㅇㅇ [2a+ ]¤
ㄱ. = k를 x로 바꾸는 경우
ㄱ.적분구간은 [0, 1]이므로 정적분을 이용하여 나타내면 ㄱ. ㅇㅇ [2a+ ]¤
= (2-2a) [2a+(2-2a) ]¤ ¥
= (2-2a){2a+(2-2a)x}¤ dx
ㄴ. = k를 x로 바꾸는 경우
ㄱ.적분구간은 [0, 2-2a]이므로 정적분을 이용하여 나 타내면
ㄱ. ㅇㅇ [2a+ ]¤
= (2a+x)¤ dx
ㄷ. 2a+ =2a+ k를 x
로 바꾸는 경우 적분구간은 [2a, 2]이므로 정적분을 이용하여 나타내면
⁄ ㅇㅇ [2a+ ]¤
= x¤ dx
따라서보기에서 주어진 극한값과 같은 것은 ㄷ이다.
f(x)는 미분가능한 함수이고, f(x)-x¤ + t f(t)dt가 (x-1)¤ 으로 나누어 떨어지므로 그때의 몫을 Q(x)라 하면 ㅇㅇf(x)-x¤ + t f(t)dt=(x-1)¤ Q(x) yy`㉠⋯
㉠의 양변에 x=1을 대입하면 ㅇㅇf(1)-1+:!1 tf(t)dt=0
ㅇㅇf(1)-1+0=0ㅇㅇ∴ f(1)=1 yy`㉡⋯
한편 ㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
ㅇㅇf '(x)-2x+xf(x)=2(x-1)Q(x)+(x-1)¤ Q'(x) 위의 식의 양변에 x=1을 대입하면
:!/
8
:!/:@2A
(2-2a)k m 2-2a
m
¡m k=1 mlim⁄¶
{(2-2a)+2a}-2a m (2-2a)k
m :)™–™å
(2-2a)k m 2-2a
m
¡m k=1 mlim⁄¶
(2-2a)-0 m (2-2a)k
m :)1
1 m k m
¡m k=1 mlim⁄¶
(2-2a)k m 2-2a
m
¡m k=1
lim
mڦ
1-0 m k m
(2-2a)k m 2-2a
m
¡m k=1 mlim⁄¶
(2-2a)k 2n 2-2a
2n
¡2n k=1 nlim⁄¶
(1-a)k n 1-a
n
¡2n k=1
lim
nڦ
7
ㅇㅇf '(1)-2+f(1)=0, f '(1)-2+1=0 (∵ ㉡) ㅇㅇ∴ f '(1)=1따라서 f '(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 나머지 정리에 의하여 f '(1)이므로 구하는 나머지는 1이다.
g(t)=t¤ -1이라 하고 g(t)의 한 부정적분을 G(t)라 하면
ㅇㅇ (t¤ -1)dt
= g(t)dt
= [G(t)]
=
= ¥
=G '( f(1))¥f'(1)
=g( f(1))¥f'(1)
=g(2)¥3 (∵ f(1)=2, f '(1)=3)
=3¥3 (∵ g(2)=2¤ -1=3)
=9
△ABC는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 ㅇㅇAB”=øπAC” ¤ +BC”¤
='ƒ9+36=3'5
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
이때 AB”를 n등분한 점이 P¡, P™, y, P«–¡이므로 ㅇㅇBP¡”= , BP™”= , y, BP˚”= , y 또 ∠ABC=∠P˚BC이므로 직각삼각형 ABC에서 ㅇㅇcos (∠ABC)=cos (∠P˚BC)
= =2'5 yy㉠ㅇ
5 6 3'5
3'5k n 6'5
n 3'5
n
3 A(=P«)
B C
(=Pº) 6
3'5 yP˚
y
0 1
f(x)-f(1) x-1 G( f(x))-G( f(1))
f(x)-f(1) limx⁄1
G( f(x))-G( f(1)) lim x-1
x⁄1
f(x) f(1)
1 limx-1
x⁄1
:f(1)f(x) 1 limx-1
x⁄1
:f(1)
1 f(x)
lim x-1
x⁄1
9
Tip 나머지정리
⑴ 다항식 f(x)를 일차식 x-a로 나누었을 때의 나머지 R는 ㅇㅇR=f(a)
⑵ 다항식 f(x)를 일차식 ax+b로 나누었을 때의 나머지 R는
ㅇㅇR=f {- }b a
Ⅲ다항함수의적분법
109
따라서 △BCP˚에서 제이코사인법칙을 이용하여 CP˚”¤을 구하면
ㅇㅇCP˚”¤ =BC”¤ +BP˚”¤ -2BC”¥BP˚”¥cos (∠P˚BC)
=6¤ +{ }¤ -2¥6¥ ¥ (∵ ㉠)
=45{ }¤ -72¥ +36
⋯ ⋯∴ CP”˚’¤
= [45 { }¤ -72¥ +36]¥
이때 = k를 x로 바꾸면 적분구간은 [0, 1]이므로
⋯ ⋯ [45 { }¤ -72¥ +36]¥
=:)1 (45x¤ -72x+36)dx
=[15x‹ -36x¤ +36x]1)
=15-36+36=15
주어진 식을 전개하면
ㅇㅇf(x)=x- (t-x)t¤ dt
=x- t‹ dt+x t¤ dt
ㄱ. 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대하여 미 분하면
ㅇㅇf '(x)=1-x‹ + t¤ dt+x‹
=1+ t¤ dt yy㉠⋯
ㄱ. ㅇㅇ∴ f '(0)=1+ t¤ dt=1(∴ 거짓) ㄴ. ㉠에서
ㄱ. ㅇㅇf '(x)=1+ t¤ dt
=1+[ t‹ ]
0 x
=1+ x‹ >0 (∵ x>0)
ㄱ. 따라서 x>0일 때, 함수 f(x)는 증가한다. (∴ 참) ㄷ. ㄴ에서 함수 f(x)는 x>0일 때 증가하므로 구간
[0, 3]에서 함수 f(x)의 최댓값은 f(3)이다.
ㄱ. ㅇㅇ∴ f(3)=3- (t-3)t¤ dt
=3-: (t‹ -3t¤ )dt
0 3
:0 3
1 3 1 3 :0
x
:0 0
:0 x
:0 x
:0
: x 0
x
:0 x
1 1
1 n k
n k
n
¡n k=1 nlim⁄¶
1-0 n k n
1 n k
n k
n
¡n k=1 nlim⁄¶
¡n k=1
1 lim n
nڦ
k n k
n
2'5 5 3'5k
n 3'5k
n
=3-[ t› -t‹ ]3)
=3-{ -27}= (∴ 참) 따라서보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
[그림 1]의 k번째 직사각형은 가로의 길이가 이고, 세
로의 길이가 { }¤ 이므로 직사각형들의 넓이의 합 A를 구하면
ㅇㅇA= ¥ { }¤
= k¤
[그림 2]의 k번째 직사각형은 가로의 길이가 이고, 세
로의 길이가 [ ]¤ 이므로 직사각형들의 넓이의 합 B를 구하면
ㅇㅇB= ¥ [ ]¤
= (k-1)¤
ㅇㅇ∴ A-B
= k¤ - (k-1)¤
= {k¤ -(k-1)¤ }
= [(1¤ -0)+(2¤ -1¤ )+y+{n¤ -(n-1)¤ }]
= ¥n¤ = A-B…0.1일 때
ㅇㅇ …0.1ㅇㅇ∴ næ15
따라서 A-B…0.1을 만족하는 자연수 n의 최솟값은 15 이다.
3 2n
3 2n 3
2n‹
3 2n‹
¡n k=1
3 2n‹
¡n k=1
3 2n‹
¡n k=1
3 2n‹
¡n k=1
3 2n‹
3(k-1) 2n 4 9 3 2n
¡n k=1
3(k-1) 2n 4 9
3 2n
¡n k=1
3 2n‹
3k 2n 4 9 3 2n
¡n k=1
3k 2n 4 9
3
2
2n1
39 4 81
4 1 4
정답과해설
110
⑴ 곡선 y=-x¤ +4x와 x축의 교점의 x좌표를 구하면
⋯ ⋯-x¤ +4x=0, -x(x-4)=0
⋯ ⋯∴ x=0 또는 x=4
⑴따라서 곡선 y=-x¤ +4x와 x축으로 둘러싸인 부분은 오른 쪽 그림의 어두운 부분과 같다.
이때 구간 [0, 4]에서
-x¤ +4xæ0이므로 구하는 넓 이를 S라 하면
⋯ ⋯S= (-x¤ +4x)dx
=[- x‹ +2x¤ ]4)
=- +32=
⑵ 곡선 y=x¤ -x-2와 x축의 교점의 x좌표를 구하면
⋯ ⋯ ⋯ ⋯x¤ -x-2=0, (x+1)(x-2)=0
⋯ ⋯ ⋯ ⋯∴ x=-1 또는 x=2
⑴따라서 곡선 y=x¤ -x-2 와 x축으로 둘러싸인 부분 은 오른쪽 그림의 어두운 부 분과 같다.
이때 구간 [-1, 2]에서 x¤ -x-2…0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
⋯ ⋯S= |x¤ -x-2|dx=- (x¤ -x-2)dx
=-[ x‹ - x¤ -2x]2_!
=-{ -2-4}+{- - +2}
= + =9
2 7 6 10
3
1 2 1 3 8
3 1 2 1 3
:_2!
:_2!
O 2
-1 -2
y
x y=x¤ -x-2 32
3 64
3 1 3 :)4
O 4
y
x y=-x¤ +4x
1
유제 pp. 190~191
1 ⑴ ⋯ ⑵ ⋯ ⑶ ⋯ ⑷
2 ⑴ 36⋯ ⑵ 2⋯ ⑶ ⋯ `⑷ 23 6 8 3
253 12 37
12 9 2 32
3
09
곡선과 축 사이의 넓이⑶ 곡선 y=x‹ -2x¤ -x+2와 x축의 교점의 x좌표를 구하면
ㅇㅇx‹ -2x¤ -x+2=0, (x+1)(x-1)(x-2)=0 ㅇㅇ∴ x=-1 또는 x=1 또는 x=2
따라서 곡선 y=x‹ -2x¤ -x+2와 x축으로 둘러싸 인 부분은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.
⑶
⑶이때 구간 [-1, 1]에서 x‹ -2x¤ -x+2æ0, 구간 [1, 2]에서 x‹ -2x¤ -x+2…0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
⑶ ㅇㅇS= |x‹ -2x¤ -x+2|dx
= (x‹ -2x¤ -x+2)dx
- (x‹ -2x¤ -x+2)dx
=2 (-2x¤ +2)dx- (x‹ -2x¤ -x+2)dx
=2[- x‹+2x]1)-[ x› - x‹- x¤ +2x]2!
=2{- +2}-[{4- -2+4}
-{ - - +2}]
= - + =
⑷ 곡선 y=x‹ -x¤ -6x와 x축의 교점의 x좌표를 구하면 ㅇㅇx‹ -x¤ -6x=0, x(x+2)(x-3)=0
ㅇㅇ∴ x=-2 또는 x=0 또는 x=3
⑶따라서 곡선 y=x‹ -x¤ -6x와 x축으로 둘러싸인 부 분은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.
⑶
⑶이때 구간 [-2, 0]에서 x‹ -x¤ -6xæ0이고, 구간 [0, 3]에서 x‹ -x¤ -6x…0이므로 구하는 넓이를 S 라 하면
-2 O 3
y y=x£ -x™
-6x
x 37
12 13 12 2 3 8 3
1 2 2 3 1 4 16
3 2
3
1 2 2 3 1 4 2
3
:!2 :)1
:!2 :_1!
:_2!
O 2
-1 1
2 y
x y=x‹ -2x¤ -x+2
우함수
기함수
Ⅲ 다항함수의 적분법 3 정적분의
활용
Ⅲ다항함수의적분법
111
⋯ ⋯S= |x‹ -x¤ -6x|dx
= (x‹ -x¤ -6x)dx-:)3 (x‹ -x¤ -6x)dx
=[ x› - x‹ -3x¤ ]0_@
-[ x› - x‹ -3x¤ ]3)
=-{4+ -12}-{ -9-27}
= + =
⑴ 곡선 x=y¤ -6y와 y축의 교점의 y좌표를 구하면 ㅇㅇy¤ -6y=0, y( y-6)=0
ㅇㅇ∴ y=0 또는 y=6 따라서 곡선 x=y¤ -6y와 y축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 어두운 부분 과 같다.
이때 구간 [0, 6]에서
y¤ -6y…0이므로 구하는 넓이를 S라 하면 ㅇㅇS= |y¤ -6y|dy
=- ( y¤ -6y)dy
=-[ y‹ -3y¤ ]6)
=-(72-108)=36
⑵ 곡선 x=4y‹ +2y와 직선 y=1 및 y축으로 둘러싸 인 부분은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.
이때 구간 [0, 1]에서 4y‹ +2yæ0이므로 구하는 넓이 를 S라 하면
ㅇㅇS= (4y‹ +2y)dy=[y› +y¤ ]1)=2
⑶ 곡선 y='x+2의 그래프 와 직선 y=4 및 y축으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의어두운부분과같다.
y='x+2를 x에 대하여 정리하면
ㅇㅇ'x=y-2ㅇㅇ∴ x=( y-2)¤
이때 구간 [2, 4]에서 ( y-2)¤ æ0이므로 구하는 넓이 를 S라 하면
O 4
2 4 y
x y=4 y='x+2 :0
1
O 1
6 y
x x=4y£
+2y y=1 1
3 :)6 :)6
O 6
x y x=y¤ -6y
2
253 12 63
4 16
3
81 4 8
3
1 3 1 4 1
3 1 4 :_0@
:_3@ ㅇㅇS= ( y-2)¤ dy= ( y¤ -4y+4) dy
=[ y‹ -2y¤ +4y]4@
={ -32+16}-{ -8+8}
= - =
⑷ 곡선 y¤ =-2(x-2)와 y축의 교점의 y좌표를 구하면 ㅇㅇy¤ =-2(0-2), y¤ =4
ㅇㅇ∴ y=-2 또는 y=2 따라서 곡선
y¤ =-2(x-2)와 두 직 선 y=0, y=3 및 y축 으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.
⑶y¤ =-2(x-2)를 x에 대하여 정리하면 ㅇㅇx-2=- y¤ㅇㅇ∴ x=- y¤ +2
이때 구간 [0, 2]에서 - y¤ +2æ0, 구간 [2, 3]에 서 - y¤ +2…0이므로 구하는 넓이를 S라 하면
ㅇㅇS= |- y¤ +2|dy
= {- y¤ +2} dy- {- y¤ +2} dy
=[- y‹ +2y]2)-[- y‹ +2y]3@
={- +4}-[{- +6}-{- +4}]
= + =23 6 7 6 8 3
4 3 9
2 4
3
1 6 1
6
1 :@3 2 1
:)2 2 1 :)2 2 1 2
1 2
1 2 1
2 8 3 8 3 16
3
8 3 64
3 1 3
:@4 :@4
O 2
2
-2 3 y
x
y¤ =-2(x-2)
y=3
유제 pp. 194~197
3 ⑴ ⋯ ⑵ 9⋯ ⑶ ⋯ ⑷ 4
5 ⑴ ⋯ ⑵ ⋯ ⑶ 6 7
8 5 9 2(‹'4-2) 10 2(‹'2-1) 6
4 3 1
3 8
3 27
2 9 2
31 3 37
12 253
12 9
2
10
두 곡선 사이의 넓이정답과해설
112
⑴ 곡선 y=x¤ -2x-1과 직선 y=-x+1의 교점의 x 좌표를 구하면
⑴ ㅇㅇx¤ -2x-1=-x+1
⑴ ㅇㅇx¤ -x-2=0, (x+1)(x-2)=0
⑴ ㅇㅇ∴ x=-1 또는 x=2
⑴따라서 곡선 y=x¤ -2x-1과 직선 y=-x+1로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.
⑴이때 구간 [-1, 2]에서
⑴ ㅇㅇ-x+1æx¤ -2x-1
⑴이므로 구하는 넓이를 S라 하면
⑴ ㅇㅇS= {(-x+1)-(x¤ -2x-1)} dx
= (-x¤ +x+2)dx
=[- x‹ + x¤ +2x]2_!
={- +2+4}-{ + -2}
=
⑵ 두 곡선 y=x¤ -x-1과 y=-x¤ -3x+3의 교점의 x좌표를 구하면
⑴ ㅇㅇx¤ -x-1=-x¤ -3x+3
⑴ ㅇㅇ2x¤ +2x-4=0, x¤ +x-2=0
⑴ ㅇㅇ(x+2)(x-1)=0
⑴ ㅇㅇ∴ x=-2 또는 x=1
⑴따라서 두 곡선
⑴y=x¤ -x-1, y=-x¤ -3x+3으 로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.
⑴이때 구간 [-2, 1]
에서
⑴ ㅇㅇ-x¤ -3x+3æx¤ -x-1
⑴이므로 구하는 넓이를 S라 하면
⑴ ㅇㅇS= {(-x¤ -3x+3)-(x¤ -x-1)} dx
= (-2x¤ -2x+4)dx
=[- x‹ -x¤ +4x]1_@
={- -1+4}-{16-4-8}=9 3
2 3 2 3 :_1@
:_1@
y=-x¤ -3x+3 y=x¤ -x-1
1 y
-2 x -1
5 3 O 9
2
1 2 1 3 8
3 1 2 1 3 :_2!
:_2!
y=x¤ -2x-1
y=-x+1 -1 O
2 1
-1 y
x 2 1
3
⑶ 두 곡선 y=x‹ -6x와 y=x¤ 의 교점의 x좌표를 구하면⑴ ㅇㅇx‹ -6x=x¤ , x‹ -x¤ -6x=0
⑴ ㅇㅇx(x+2)(x-3)=0
⑴ ㅇㅇ∴ x=-2 또는 x=0 또는 x=3
⑴따라서두곡선 y=x‹ -6x, y=x¤ 으로 둘러싸인 부분 은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.
⑴이때 구간 [-2, 0]에서 ㅇㅇx‹ -6xæx¤
이고, 구간 [0, 3]에서
⑴ ㅇㅇx¤ æx‹ -6x
⑴이므로 구하는 넓이를 S라 하면
⑴ ㅇㅇS= {(x‹ -6x)-x¤ } dx
+ {x¤ -(x‹ -6x)} dx
= (x‹ -x¤ -6x)dx+ (-x‹ +x¤ +6x)dx
=[ x› - x‹ -3x¤ ]0_@
+[- x› + x‹ +3x¤ ]3)
=-{4+ -12}+{- +9+27}
=
⑷ 두 곡선 y=x‹ 과 y=2x-x¤ 의 교점의 x좌표를 구하면
⑴ ㅇㅇx‹ =2x-x¤, x‹ +x¤ -2x=0
⑴ ㅇㅇx(x+2)(x-1)=0
⑴ ㅇㅇ∴ x=-2 또는 x=0 또는 x=1
⑴따라서 두 곡선 y=x‹ , y=2x-x¤으로 둘러싸인 도형은 오른쪽 그림의 어 두운 부분과 같다.
⑴이때 구간 [-2, 0]에서
⑴ ㅇㅇx‹ æ2x-x¤
⑴이고, 구간 [0, 1]에서
⑴ ㅇㅇ2x-x¤ æx‹
⑴이므로 구하는 넓이를 S 라 하면
ㅇㅇS= {x‹ -(2x-x¤ )} dx+ {(2x-x¤ )-x‹ } dx
ㅇㅇS=:_0@(x‹ +x¤ -2x)dx+:)1 (-x‹ -x¤ +2x)dx :)1
:_0@
y=2x-x¤
y
x 1
-2 O
-8 1
y=x‹
253 12
81 4 8
3
1 3 1 4 1
3 1 4
:)3 :_0@
:)3 :_0@
-2 3 x
y
4 9
O y=x£
-6x y=x™
Ⅲ다항함수의적분법
113
ㅇㅇS=[ x› + x‹ -x¤ ]0_@+[- x› - x‹ +x¤ ]1)ㅇㅇS=-{4- -4}+{- - +1}=
y=|x(x-1)|을 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값 x=0, x=1을 기준으로구간을나누어 나타내면 ㅇㅇy=[
곡선 y=x¤ -x와 직선 y=x+3의 교점의 x좌표를 구 하면
ㅇㅇx¤ -x=x+3, x¤ -2x-3=0 ㅇㅇ(x+1)(x-3)=0
ㅇㅇ∴ x=-1 또는 x=3 따라서 곡선과 직선 y=x+3으로 둘러싸인 부 분은 오른쪽 그림의 어두운 부분과 같다.
이때 구간 [-1, 0], [1, 3]
에서
ㅇㅇx+3æx¤ -x 이고, 구간 [0, 1]에서 ㅇㅇx+3æ-x¤ +x
이므로 구하는 넓이를 S라 하면 ㅇㅇS=:_0! {(x+3)-(x¤ -x)}dx
+:)1 {(x+3)-(-x¤ +x)}dx +:!3 {(x+3)-(x¤ -x)}dx
=:_0! (-x¤ +2x+3)dx+:)1 (x¤ +3)dx +:!3 (-x¤ +2x+3)dx
=[- x‹ +x¤ +3x]0_!+[ x‹ +3x]1)
+[- x‹ +x¤ +3x]3!
=-{ +1-3}+{ +3}
+[(-9+9+9)-{- +1+3}]
=
⑴ 곡선 x=y¤ 과직선 y=x-2의교점의 y좌표를구하면
5
31 3
1 3 1
3 1
3
1 3 1 3 1
3
y=x+3
O 6
2 3
3 1 -1
y
x S
y=-x™+x y=x™-x
x¤ -x `(x…0 또는 xæ1) -x¤ +x (0…x…1)
4
37 12 1
3 1 4 8
3
1 3 1 4 1
3 1 4
⑴ ㅇㅇy=y¤ -2, y¤ -y-2=0
⑴ ㅇㅇ(y+1)(y-2)=0
⑴ ㅇㅇ∴ y=-1 또는 y=2
⑴따라서 곡선 x=y¤ 과 직 선 y=x-2로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그림의 어 두운 부분과 같다.
y=x-2를 x에 대하여 정리하면
ㅇㅇx=y+2
⑴이때 구간 [-1, 2]에서
⑴ ㅇㅇy+2æy¤
⑴이므로 구하는 넓이를 S라 하면
⑴ ㅇㅇS= {(y+2)-y¤ } dy
= (-y¤ +y+2)dy
=[- y‹ + y¤ +2y]2_!
={- +2+4}-{ + -2}=
⑵ 곡선 y='ƒx+6과 직선 y=x의 교점의 y좌표를 구 하면
ㅇㅇy='ƒy+6 yy㉠⋯
ㅇㅇy¤ =y+6, y¤ -y-6=0
ㅇㅇ(y+2)(y-3)=0ㅇㅇ∴ y=-2 또는 y=3 이때 y=-2, y=3을 ㉠에 각각 대입하면 y=-2일 때ㅇㅇ(좌변)=-2, (우변)='ƒ-2+6=2 ㅇㅇ∴ (좌변)+(우변)
y=3일 때ㅇㅇ(좌변)=3, (우변)='ƒ3+6=3 ㅇㅇ∴ (좌변)=(우변)
따라서 y=-2는 무연근이므로 곡선 y='ƒx+6과 직선 y=x의 교점의 y좌표는 y=3이다.
따라서 곡선 y='ƒx+6과 두 직선 y=x, y=0로 둘 러싸인 부분은 다음 그림의 어두운 부분과 같다.
⑴
⑴y='ƒx+6을 x에 대하여 정리하면 ㅇㅇy¤ =x+6ㅇㅇ∴ x=y¤ -6
⑴이때 구간 [0, 3]에서 ㅇㅇyæy¤ -6
이므로 구하는 넓이를 S라 하면 y 3
3
-6 O x
y= x+6 y=x
'6
9 2 1
2 1 3 8
3 1 2 1 3 :_2!
:_2!
y
O x 2
4 -1
-2 1
y=x-2 x=y™
정답과해설
114
ㅇㅇS= { y-(y¤ -6)} dy
= (-y¤ +y+6)dy
=[- y‹ + y¤ +6y]3)
=-9+ +18
=
⑶ 두 곡선 y='x+2와 y=2'x의 교점의 y좌표를 구 하면
⑶ ㅇㅇy= +2 {∵ 'x= }
⑶ ㅇㅇ2y=y+4ㅇㅇ∴ y=4
⑶따라서 두 곡선 y='x+2, y=2'x와 직선 x=0으로 둘러싸인 부분은 오른쪽 그 림의 어두운 부분과 같다.
y='x+2, y=2'x를 x 에 대하여 각각 정리하면
ㅇㅇ'x=y-2ㅇㅇ∴ x=(y-2)¤ (yæ2) ㅇㅇ'x= yㅇㅇ∴ x= y¤ (yæ0)
⑶이때 구간 [0, 2]에서
⑶ ㅇㅇ y¤ æ0
⑶이고, 구간 [2, 4]에서
⑶ ㅇㅇ y¤ æ(y-2)¤
⑶이므로 구하는 넓이를 S라 하면
⑶ ㅇㅇS= y¤ dy+ [ y¤ -(y-2)¤ ] dy
= y¤ dy+ {- y¤ +4y-4} dy
=[ y‹]2)+[- y‹ +2y¤ -4y]4@
= +(-16+32-16)-(-2+8-8)
=
f(x)=x¤ +2로 놓으면ㅇㅇf '(x)=2x 점 (1, 3)에서의 접선의 기울기를 구하면 ㅇㅇf '(1)=2¥1=2
이므로 점 (1, 3)에서의 접선의 방정식은 ㅇㅇy-3=2¥(x-1)ㅇㅇ∴ y=2x+1
6
8 3 2 3
1 4 1
12
3 :@4 4 1
:)2 4
1 :@4 4 1
:)2 4 1 4 1 4
1 4 1
2
y='x+2 y=2'x
O 4 2
4 y
x y
2 y
2 27
2 9 2
1 2 1 3 :)3
:)3 따라서 곡선 y=x¤ +2와 접선
y=2x+1 및 y축으로 둘러싸 인 부분은 오른쪽 그림의 어두 운 부분과 같다.
이때 구간 [0, 1]에서 ㅇㅇx¤ +2æ2x+1
이므로 구하는 넓이를 S라 하면 ㅇㅇS= {(x¤ +2)-(2x+1)}dx
= (x¤ -2x+1)dx
=[ x‹ -x¤ +x]1)=
f(x)=x‹ -x¤ +2로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3x¤ -2x 점 (1, 2)에서의 접선의 기울기를 구하면 ㅇㅇf '(1)=3-2=1
이므로 점 (1, 2)에서의 접선의 방정식은 ㅇㅇy-2=1¥(x-1)ㅇㅇ∴ y=x+1
이때 곡선 y=x‹ -x¤ +2와 접선 y=x+1의 교점의 x 좌표를 구하면
ㅇㅇx‹ -x¤ +2=x+1, x‹ -x¤ -x+1=0 ㅇㅇ(x+1)(x-1)¤ =0
ㅇㅇ∴ x=-1 또는 x=1(중근) 따라서 곡선 y=x‹ -x¤ +2 와 접선 y=x+1로 둘러싸 인 부분은 오른쪽 그림의 어 두운 부분과 같다.
이때 구간 [-1, 1]에서 ㅇㅇx‹ -x¤ +2æx+1 이므로 구하는 넓이를 S라 하면
ㅇㅇS= {(x‹ -x¤ +2)-(x+1)} dx
= (x‹ -x¤ -x+1)dx
=2 (-x¤ +1)dx
=2[- x‹ +x]1)=
f(x)=-x¤ +5x-4로 놓으면ㅇㅇf '(x)=-2x+5 접점을 (a, -a¤ +5a-4)로 놓으면 접선의 기울기는 f '(a)이므로
ㅇㅇf '(a)=-2a+5
8
4 3 1
3 :)1 :_1!
:_1!
y
O 1 x 1 -1
2 y=x‹
y=x+1
-x¤ +2
7
1 3 1
3 :)1 :)1
y
x y=2x+1 y=x™
+2
O 1
1 3 2
우함수
기함수