Ⅱ다항함수의미분법
053
⑵ f(x)=3x› +8x‹ -6ax¤ 에서 ㅇㅇf '(x)=12x‹ +24x¤ -12ax
=12x(x¤ +2x-a)
⑴함수 f(x)가 극댓값을 가지려면 삼차방정식 f '(x)=0 이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.
이때 삼차방정식 12x(x¤ +2x-a)=0의 한 근이 x=0이므로 x¤ +2x-a=0은 0이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
⑴⁄ g(x)=x¤ +2x-a라 하면 g(x)=0은 0을 제외한 근을 가져야 하므로
ㅇㅇg(0)+0
ㅇㅇ∴ a+0 yy㉠ㅇ
⑴¤ 이차방정식 x¤ +2x-a=0의 판별식 D>0이어 야 하므로
ㅇㅇ =1+a>0
ㅇㅇ∴ a>-1 yy㉡ㅇ
⑴㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ㅇㅇ-1<a<0 또는 a>0
`다른 풀이`
⑴ f(x)=x› -4x‹ +2ax¤ +1에서 ㅇㅇf '(x)=4x‹ -12x¤ +4ax
=4x(x¤ -3x+a)
⑴함수 f(x)가 극댓값을 갖지 않을 조건은 f(x)가 극댓 값을 가질 조건, 즉 삼차방정식 f '(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가질 조건을 구하여 그 결과를 부정한다.
따라서 f '(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 삼 차방정식 4x(x¤ -3x+a)=0의 한 근이 x=0이므로 이차방정식 x¤ -3x+a=0은 0이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
⑴⁄ g(x)=x¤ -3x+a라 하면 g(x)=0은 0을 제외 한 근을 가져야 하므로
ㅇㅇg(0)+0
ㅇㅇ∴ a+0 yy㉠ㅇ
⑴¤ 이차방정식 x¤ -3x+a=0의 판별식 D>0이어 야 하므로
ㅇㅇD=9-4a>0
ㅇㅇ∴ a< yy㉡ㅇ
⑴㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
ㅇㅇa<0 또는 0<a< yy㉢ㅇ
㉢을 부정하여 a의 값의 범위를 구하면 ㅇㅇa=0 또는 aæ9
4 9 4 9 4 D
4
⑴ `f(x)=-x‹ +3x¤ 에서
ㅇㅇf '(x)=-3x¤ +6x=-3x(x-2)
⑴`f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=0 또는 x=2
⑴닫힌 구간 [-2, 3]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표 로 나타내면 다음과 같다.
⑵따라서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇx=-2일 때ㅇㅇ(최댓값)=20 ㅇㅇx=0, x=3일 때ㅇㅇ(최솟값)=0
⑵ `f(x)= x› -x‹에서
ㅇㅇf '(x)=x‹ -3x¤ =x¤ (x-3)
`f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=0 또는 x=3
닫힌 구간 [-1, 3]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표 로 나타내면 다음과 같다.
⑵따라서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇx=-1일 때ㅇㅇ(최댓값)=
ㅇㅇx=3일 때ㅇㅇ(최솟값)=-27 4 5 4 1
4
0 2
20 ⑴ 최댓값：20, 최솟값：0 ⑵ 최댓값： , 최솟값：-21 ⑴ 최댓값：없다, 최솟값：-1 ⑵ 최댓값：없다, 최솟값：-2 22 1 23 3 24 2
25 ⑴ 최댓값：없다, 최솟값：3 ⑵ 최댓값：5, 최솟값：-11 12 ⑶ 최댓값： ,
최솟값：-26 2 27 - 8 28 15 27
2'3 9 2'3
9
27 4 5
4
유제 pp. 101~104
정답과해설
054
⑴ f(x)=x‹ -6x¤ +9x-1에서
ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+9=3(x¤ -4x+3)
=3(x-1)(x-3)
⑶`f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=1 또는 x=3
⑶반닫힌 구간 [0, ¶)에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑵따라서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇ최댓값은 없고,
ㅇㅇx=0, x=3일 때ㅇㅇ(최솟값)=-1
⑵ `f(x)=3x› -4x‹ -1에서
ㅇㅇf '(x)=12x‹ -12x¤ =12x¤ (x-1)
⑶`f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=0 또는 x=1
⑶열린 구간 (-¶, ¶)에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑵따라서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇ최댓값은 없고,
x=1일 때ㅇㅇ(최솟값)=-2
`f(x)=3ax¤ -ax‹ 에서
ㅇㅇf '(x)=6ax-3ax¤ =3ax(2-x)
`f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=0 또는 x=2
a>0이므로 닫힌 구간 [-1, 4]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
a>0이므로 4a, 0, -16a의 대소 관계는
ㅇㅇ-16a<0<4a yy㉠ㅇ
2 2
1
2
따라서 함수 f(x)의 최솟값은 -16a이고, 주어진 조건에서 최솟값은 -4이므로 ㅇㅇ-16a=-4ㅇㅇ∴ a=
㉠에서 함수 f(x)의 최댓값은 4a이므로 ㅇㅇ(최댓값)=4a=4_ =1
`f(x)=ax› -4ax‹ +b에서
ㅇㅇf '(x)=4ax‹ -12ax¤ =4ax¤ (x-3)
`f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=3(∵ 1…x…4)
a>0이므로 1…x…4에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표 로 나타내면 다음과 같다.
a>0이므로 -3a+b, -27a+b, b의 대소 관계는 ㅇㅇ-27a+b<-3a+b<b
따라서 함수 f(x)의 최댓값은 b, 최솟값은 -27a+b이 고, 주어진 조건에서 최댓값은 9, 최솟값은 0이므로 ㅇㅇ(최댓값)=b=9
ㅇㅇ(최솟값)=-27a+b=0ㅇㅇ∴ a=
ㅇㅇ∴ ab= ¥9=3 f(x)=x‹ +ax¤ +bx+2에서 ㅇㅇf '(x)=3x¤ +2ax+b
함수 f(x)가 x=2에서 극솟값 -2를 가지므로
ㅇㅇf(2)=8+4a+2b+2=-2 yy㉠ㅇ ㅇㅇf '(2)=12+4a+b=0 yy㉡ㅇ
㉠, ㉡을 연립하여 풀면ㅇㅇa=-3, b=0 f(x)=x‹ -3x¤ +2이므로
ㅇㅇf '(x)=3x¤ -6x=3x(x-2)
f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=0 또는 x=2
구간 [0, 3]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
따라서 함수 f(x)는 x=0 또는 x=3일 때, 최댓값 2를 가진다.
4 2
1 3
1 3
3 2
1 4
1 4
x 0 y 1 y 3 y
f '(x) + + 0 - 0 +
f(x) -1 ↗ 3
↘ -1
극대 극소 ↗
x y 0 y 1 y
f '(x) - 0 - 0 +
f(x) ↘ -1 ↘ -2
극소 ↗
x -1 y 0 y 2 y 4
f '(x) - - 0 + 0 -
-f(x) 4a ↘ 0
↗ 4a
↘ -16a
극소 극대
x 1 y 3 y 4
f '(x) - - 0 + +
f(x) -3a+b ↘ -27a+b
↗ b
극소
x 0 y 2 y 3
f '(x) 0 - 0 + +
f(x) 2 ↘ -2
↗ 2
극소
Ⅱ다항함수의미분법
055
⑴ x¤ -4x+4=t로 놓으면 ㅇㅇx¤ -4x+4=(x-2)¤
ㅇㅇ∴ tæ0 (∵ xæ0) g(t)=2t‹ -2t¤ -2t+5라 하면
ㅇㅇg '(t)=6t¤ -4t-2=2(3t+1)(t-1) g '(t)=0인 t의 값은
ㅇㅇt=1(∵ tæ0)
tæ0에서 함수 g(t)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.
따라서 함수 g(t)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇ최댓값은 없고,
ㅇㅇt=1일 때ㅇㅇ(최솟값)=3
⑵ log™ x=t로 놓으면 1…x…8이므로 ㅇㅇ0…log™ x…3
ㅇㅇ∴ 0…t…3
g(t)=t‹ -12t+5라 하면
ㅇㅇg '(t)=3t¤ -12=3(t+2)(t-2) g '(t)=0인 t의 값은
ㅇㅇt=2 (∵ 0…t…3)
0…t…3에서 함수 g(t)의 증가, 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
따라서 함수 g(t)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇt=0일 때ㅇㅇ(최댓값)=5 ㅇㅇt=2일 때ㅇㅇ(최솟값)=-11
⑶ cos¤ x=1-sin¤ x이므로
ㅇㅇf(x)=sin x(1-sin¤ x)=-sin‹ x+sin x sin x=t로 놓으면
ㅇㅇ-1…sin x…1 ㅇㅇ∴ -1…t…1 g(t)=-t‹ +t라 하면
ㅇㅇg '(t)=-3t¤ +1=-3{t+ } {t-'3} 3 '3
3
5 2
t 0 y 1 y
g '(t) - - 0 +
g(t) 5 ↘ 3
극소 ↗
t 0 y 2 y 3
g '(t) - - 0 + +
g(t) 5 ↘ -11
↗ -4
극소
g '(t)=0인 t의 값은 ㅇㅇt=- 또는 t=
-1…t…1에서 함수 g(t)의 증가, 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
따라서 함수 g(t)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇt= 일 때ㅇㅇ(최댓값)=
ㅇㅇt=- 일 때
ㅇㅇ(최솟값)=-2 log§ x+log§ y의 진수 조건을 구하면 ㅇㅇx>0, y=3- >0(∵ x+3y=9)
ㅇㅇ∴ 0<x<9 yy㉠ㅇ 2 log§ x+log§ y를 정리하면
ㅇㅇ2 log§ x+log§ y=log§ x¤ +log§ {3- }
(∵ x+3y=9)
=log§ x¤ {3- }
f(x)=x¤ {3- }=3x¤ - 이라 하면 ㅇㅇf '(x)=6x-x¤ =-x(x-6) f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=6 (∵ ㉠)
0<x<9에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 f(x)의 최댓값은 ㅇㅇx=6일 때ㅇㅇ(최댓값)=36
이때 2log§ x+log§ y=log§ f(x)에서 (밑)=6>1이므로 f(x)가 최대이면 2log§ x+log§ y도 최대이다.
따라서 2 log§ x+log§ y의 최댓값은 ㅇㅇlog§ f(6)=log§ 36=log§ 6¤ =2
x‹
3 x
3
x 3
x 3 x
3
6 2
2'3 9 '3
3
2'3 9 '3
3
'3 3 '3
3
t -1 y - y y 1
g '(t) - - 0 + 0 -
-g(t) 0 ↘
-↗ ↘ 0
극소 극대
2'3 9 2'3
9
'3 3 '3
3
x 0 y 6 y 9
f '(x) + 0
-f(x) ↗ 36
극대 ↘
정답과해설
056
2x-y=2에서ㅇㅇy=2x-2 y=2x-2를 x¤ y에 대입하면 ㅇㅇx¤ y=x¤ (2x-2)=2x‹ -2x¤
f(x)=2x‹ -2x¤ 이라 하면 ㅇㅇf '(x)=6x¤ -4x=2x(3x-2) f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx= (∵ x>0)
x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.
따라서 함수 f(x)의 최솟값은 ㅇㅇx= 일 때
ㅇㅇ(최솟값)=-x¤ -x+y-6=0에서ㅇㅇy=-x¤ +x+6 yy㉠ㅇ yæ4이므로ㅇㅇy=-x¤ +x+6æ4
ㅇㅇx¤ -x-2…0, (x+1)(x-2)…0 ㅇㅇ∴ -1…x…2
그런데 주어진 조건에서 xæ0이므로
ㅇㅇ0…x…2 yy㉡ㅇ
이때 ㉠을 xy-5x+8에 대입하면 ㅇㅇxy-5x+8=x(-x¤ +x+6)-5x+8
=-x‹ +x¤ +x+8 f(x)=-x‹ +x¤ +x+8이라 하면
ㅇㅇf '(x)=-3x¤ +2x+1=-(3x+1)(x-1) f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=1 (∵ ㉡)
0…x…2에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇx=1일 때ㅇㅇ(최댓값)=9 ㅇㅇx=2일 때ㅇㅇ(최솟값)=6 ㅇㅇ∴ (최댓값)+(최솟값)=9+6=15
8 2
8 27 2
3 2 3
7 2
주어진 조건을 좌표평면에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다.
이때 제 1 사분면에 있는 직 사각형의 꼭짓점을
P(x, y)라 하면 점 P는 곡 선 y=3-x¤ 위의 점이므로 ㅇㅇP(x, 3-x¤ )
그런데 x>0, y=3-x¤ >0이므로ㅇㅇ0<x<'3 직사각형의 넓이를 S(x)라 하면
ㅇㅇS(x)=2x¥2y=4x(3-x¤ )=4(3x-x‹ ) S'(x)를 구하면
ㅇㅇS'(x)=4(3-3x¤ )=-12(x+1)(x-1) S'(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=1(∵ 0<x<'3)
0<x<'3에서 함수 S(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 S(x)는 x=1에서 최대이므로 최댓값은 ㅇㅇ(최댓값)=S(1)=8
점 P의 x좌표를 a라 하면ㅇㅇP(a, a¤ +1) 따라서 두 점 O(0, 0), A(10, 0)에 대하여 ㅇㅇOP” ¤ +AP” ¤
=a¤ +(a¤ +1)¤ +(a-10)¤ +(a¤ +1)¤
=a› +3a¤ +1+a› +3a¤ -20a+101
=2a› +6a¤ -20a+102 이때 OP”¤ +AP”¤ =f(a)라 하면 ㅇㅇf(a)=2a› +6a¤ -20a+102
f '(a)를 구하면
ㅇㅇf '(a)=8a‹ +12a-20 조립제법을 이용하여 인수분해하면
0 3
x y
y=x¤ -3
y=3-x¤
O 3
-3
-'3 '3
P(x, y)
9 2
x 0 y y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘
-↗ 극소
8 27 2 3
x 0 y 1 y 2
f '(x) + + 0 -
-f(x) 8 ↗ 9
↘ 6
극대
29 8 30 90 31 cm 32 cm‹
33 128 34 2：1
20'5 9 5
3
유제 pp. 105~107