정답과해설
042
Ⅱ 다항함수의 미분법
⑴ f(x)=x¤ -3x+8로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=2x-3
따라서 주어진 곡선 위의 점 (1, 6)에서의 접선의 기 울기는 f '(1)이므로
ㅇㅇf '(1)=2¥1-3=-1
⑵ f(x)=x‹ -2x¤ +x+3으로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -4x+1
따라서 주어진 곡선 위의 점 (-1, -1)에서의 접선 의 기울기는 f '(-1)이므로
ㅇㅇf '(-1)=3¥(-1)¤ -4¥(-1)+1=8
1
⑴ f(x)=x¤ +4x-3으로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=2x+4
⑴점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)이므로
⑴ ㅇㅇf '(1)=2¥1+4=6
⑴따라서 기울기가 6이고 점 (1, 2)를 지나는 접선의 방 정식은
⑴ ㅇㅇy-2=6(x-1) ㅇㅇ∴ y=6x-4
⑵ f(x)=x‹ -x+1로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=3x¤ -1
⑴점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(1)이므로
⑴ ㅇㅇf '(1)=3¥1-1=2
1
⑴이 접선에 수직인 직선의 기울기는
⑴ ㅇㅇ-
=-⑴따라서 기울기가 - 이고 점 (1, 1)을 지나는 직선 의 방정식은
⑴ ㅇㅇy-1=- (x-1)ㅇㅇ∴ y=- x+
`f(x)= x‹ +ax+b로 놓으면ㅇㅇf '(x)=x¤ +a 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=-2이므로 ㅇㅇf '(1)=1+a=-2ㅇㅇ∴ a=-3
따라서 곡선 f(x)= x‹ -3x+b가 점 (1, 1)을 지나므로
ㅇㅇ -3+b=1ㅇㅇ∴ b=
ㅇㅇ∴ 2a+3b=2¥(-3)+3¥ =5
`f(x)=x¤ -3x+k로 놓으면ㅇㅇf '(x)=2x-3 x=1에서의 접선의 기울기는 f '(1)이므로 ㅇㅇf '(1)=2¥1-3=-1
이 접선에 수직인 직선의 기울기는 ㅇㅇ- =1
또 x=1일 때 f(1)=-2+k이므로 기울기가 1이고 점 (1, -2+k)를 지나는 직선의 방정식은
ㅇㅇy-(-2+k)=1¥(x-1)ㅇㅇ∴ y=x-3+k 이 식이 y=x-4와 일치해야 하므로
ㅇㅇ-3+k=-4ㅇㅇ∴ k=-1
⑴ `f(x)=x‹ -x+3으로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3x¤ -1
⑴접점의 x좌표를 a라 하면 접점의 좌표는
⑴ ㅇㅇ(a, a‹ -a+3) yy㉠ㅇ
⑴x=a에서의 접선의 기울기가 2이므로
⑴ ㅇㅇf '(a)=3a¤ -1=2, a¤ =1
⑴ ㅇㅇ∴ a=1 또는 a=-1 yy㉡ㅇ
⑴㉡을 ㉠에 대입하면 접점의 좌표는
⑴ ㅇㅇ(1, 3), (-1, 3)
⑴따라서 기울기가 2이고 점 (1, 3)을 지나는 접선의 방 정식은
⑴ ㅇㅇy-3=2(x-1)ㅇㅇ∴ y=2x+1
⑴또 기울기가 2이고 점 (-1, 3)을 지나는 접선의 방 정식은
⑴ ㅇㅇy-3=2(x+1)ㅇㅇ∴ y=2x+5
4
1 f '(1)
3
11 3 11 3 1
3
1 3 1
2
33 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
f '(1)
개념check | 1 ⑴ -1 ⑵ 8
1 ⑴ y=6x-4 ⑵ y=- x+ 2 5 3 -1 4 ⑴ y=2x+1, y=2x+5
⑵ y=4x-14 ⑶ y=x+5, y=x-27 5 32 6 1 7 ⑴ y=2x+1, y=-2x+9 ⑵ y=3x+2 8 ㄱ, ㄴ 9 3'2 10 - 11 a=-1, y=2x+1
12 - 13 y=2x-2 14 y= x+2 5 1 5 1
11
4 3
3 2 1 2
유제 pp. 77~81
Ⅱ다항함수의미분법
043
⑵ `f(x)=x¤ -4x+2로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=2x-4
⑴접점의 x좌표를 a라 하면 접점의 좌표는
⑴ ㅇㅇ(a, a¤ -4a+2) yy㉠ㅇ
⑴직선 4x-y+1=0에 평행한 x=a에서의 접선의 기 울기는 4이므로
⑴ ㅇㅇf '(a)=2a-4=4ㅇㅇ∴ a=4 yy㉡ㅇ
⑴㉡을 ㉠에 대입하면 접점의 좌표는
⑴ ㅇㅇ(4, 2)
⑴따라서 기울기가 4이고 점 (4, 2)를 지나는 접선의 방 정식은
⑴ ㅇㅇy-2=4(x-4)ㅇㅇ∴ y=4x-14
⑶ `f(x)=x‹ -3x¤ -8x로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=3x¤ -6x-8
⑴접점의 x좌표를 a라 하면 접점의 좌표는
⑴ ㅇㅇ(a, a‹ -3a¤ -8a) yy㉠ㅇ
⑴x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 45˘인 접선의 기울기는 tan 45˘=1이므로
⑴ ㅇㅇf '(a)=3a¤ -6a-8=1, a¤ -2a-3=0
⑴ ㅇㅇ∴ a=-1 또는 a=3
⑴㉡을 ㉠에 대입하면 접점의 좌표는
⑴ ㅇㅇ(-1, 4), (3, -24)
⑴따라서 기울기가 1이고 점(-1, 4), (3, -24)를 각 각 지나는 접선의 방정식은
⑴ ㅇㅇy-4=x+1, y+24=x-3
⑴ ㅇㅇ∴ y=x+5, y=x-27
`f(x)=x¤ -5x+1로 놓으면ㅇㅇf '(x)=2x-5 접점의 x좌표를 a라 하면 접점의 좌표는
ㅇㅇ(a, a¤ -5a+1) yy㉠ㅇ x=a에서의 접선의 기울기는
ㅇㅇf '(a)=2a-5
직선 y=-x+1의 기울기는 -1이고 접선은 직선 y=-x+1과 수직으로 만나므로
ㅇㅇ(2a-5)_(-1)=-1ㅇㅇ∴ a=3
a=3을 ㉠에 대입하면 접점의 좌표는ㅇㅇ(3, -5) 따라서 기울기가 1이고 점 (3, -5)를 지나는 접선의 방 정식은
ㅇㅇy-(-5)=x-3 ㅇㅇ∴ y=x-8
따라서 직선 y=x-8과 x축 및 y축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S라 하면
ㅇㅇS=1_8_8=32 2
y=x-8 y
O x
S 8
-8
5
f(x)=x‹ -x¤ +1로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3x¤ -2x 접점의 x좌표를 t라 하면 접점의 좌표는 ㅇㅇ(t, t‹ -t¤ +1)
x=t에서의 접선의 기울기는 ㅇㅇf '(t)=3t¤ -2t
기울기가 3t¤ -2t이고 점 (t, t‹ -t¤ +1)을 지나는 접선 의 방정식은
ㅇㅇy-(t‹ -t¤ +1)=(3t¤ -2t)(x-t)
ㅇㅇ∴ y=(3t¤ -2t)x-2t‹ +t¤ +1 yy`㉠ㅇ 접선 ㉠이 직선 y=ax와 일치하므로
ㅇㅇ3t¤ -2t=a yy`㉡ㅇ ㅇㅇ-2t‹ +t¤ +1=0 Δ 2t‹ -t¤ -1=0 yy`㉢ㅇ
㉢을 조립제법을 이용하여 인수분해하면
ㅇㅇ
ㅇㅇ∴ (t-1)(2t¤ +t+1)=0 ㅇㅇ∴ t=1 (∵ 2t¤ +t+1>0) t=1을 ㉡에 대입하면
ㅇㅇ3¥1¤ -2¥1=aㅇㅇ∴ a=1
⑴ f(x)=-x¤ +4x로 놓으면ㅇㅇf '(x)=-2x+4 접점의 x좌표를 t라 하면 접점의 좌표는 ㅇㅇ(t, -t¤ +4t)
x=t에서의 접선의 기울기는 ㅇㅇf '(t)=-2t+4
기울기가 -2t+4이고 점 (t, -t¤ +4t)를 지나는 접선의 방정식은
ㅇㅇy-(-t¤ +4t)=(-2t+4)(x-t)
ㅇㅇ∴ y=(-2t+4)x+t¤ yy㉠ㅇ 이 직선이 점 (2, 5)를 지나므로
ㅇㅇ5=(-2t+4)¥2+t¤ , t¤ -4t+3=0
ㅇㅇ∴ t=1 또는 t=3 yy㉡ㅇ 따라서 ㉡을 ㉠에 대입하여 접선의 방정식을 구하면 t=1일 때ㅇㅇy=2x+1
t=3일 때ㅇㅇy=-2x+9
⑵ f(x)=x‹ +4로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3x¤
접점의 x좌표를 t라 하면 접점의 좌표는 ㅇㅇ(t, t‹ +4)
x=t에서의 접선의 기울기는 ㅇㅇf '(t)=3t¤
기울기가 3t¤ 이고 점 (t, t‹ +4)를 지나는 접선의 방 정식은
7
1 2 -1 0 -1 F≥ 2 1 ≥1 2 1 1 Ï≥ 0
6
정답과해설
044
ㅇㅇy-(t‹ +4)=3t¤ (x-t)
ㅇㅇ∴ y=3t¤ x-2t‹ +4 yy㉠ㅇ 이 직선이 점 (0, 2)를 지나므로
ㅇㅇ2=-2t‹ +4, t‹ =1 ㅇㅇ(t-1)(t¤ +t+1)=0 ㅇㅇ∴ t=1 (∵ t¤ +t+1>0)
t=1을 ㉠에 대입하여 접선의 방정식을 구하면 ㅇㅇy=3x+2
`f(x)=x‹ 으로 놓으면 f '(x)=3x¤
접점의 x좌표를 t라 하면 접점의 좌표는 ㅇㅇ(t, t‹ )
x=t에서의 접선의 기울기는
ㅇㅇf '(t)=3t¤ yy㉠ㅇ
기울기가 3t¤ 이고 점 (t, t‹ )을 지나는 접선의 방정식은 ㅇㅇy-t‹ =3t¤ (x-t)
ㅇㅇ∴ y=3t¤ x-2t‹
이 직선이 점 (2, 4)를 지나므로 ㅇㅇ4=6t¤ -2t‹ , t‹ -3t¤ +2=0 ㅇㅇ∴ (t-1)(t¤ -2t-2)=0
ㅇㅇ∴ t=1 또는 t=1—'3 yy㉡ㅇ 따라서 ㉡을 ㉠에 대입하면 구하는 접선의 기울기는 ㅇㅇf '(1)=3¥1¤ =3
ㅇㅇf '(1+'3 )=3¥(1+'3 )¤ =12+6'3 ㅇㅇf '(1-'3 )=3¥(1-'3)¤ =12-6'3
이므로보기에서 접선의 기울기가 될 수 있는 것은 ㄱ, ㄴ 이다.
f(x)= x› +3으로 놓으면ㅇㅇf '(x)=x‹
접점의 x좌표를 t(t>0)라 하면 접점 P의 좌표는
ㅇㅇP{t, t› +3} yy㉠ㅇ
x=t에서의 접선의 기울기는 ㅇㅇf '(t)=t‹
기울기가 t‹ 이고 점 {t, t› +3}을 지나는 접선의 방정 식은
ㅇㅇy-{ t› +3}=t‹ (x-t)
ㅇㅇ∴ y=t‹ x- t› +3 이 직선이 점 (0, 0)을 지나므로 ㅇㅇ0=0-3 t› +3, t› =4
4 3 4 1 4
1 4 1
4 1
9
48
ㅇㅇ(t+'2 )(t-'2 )(t¤ +2)=0 ㅇㅇ∴ t='2 (∵ t>0)
따라서 t='2 를 ㉠에 대입하면 접점 P의 좌표는 ㅇㅇP('2, 4)
ㅇㅇ∴ OP”="√('2 )¤ +4¤ =3'2
f(x)=ax‹ +bx, g(x)=bx¤ +cx+1로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3ax¤ +b, g '(x)=2bx+c 두 곡선이 모두 점 (1, 0)을 지나므로
ㅇㅇf(1)=a+b=0 yy`㉠ㅇ ㅇㅇg(1)=b+c+1=0 yy`㉡ㅇ x=1에서의 접선의 기울기가 같으므로
ㅇㅇf '(1)=g '(1) ㅇㅇ3a+b=2b+c
ㅇㅇ∴ 3a-b-c=0 yy`㉢ㅇ
㉠에서 a=-b이므로 이를 ㉢에 대입하면
ㅇㅇ-3b-b-c=0ㅇㅇ∴ 4b+c=0 yy`㉣ㅇ
㉡, ㉣을 연립하면ㅇㅇb= , c=-
a=-b이므로ㅇㅇa=-ㅇㅇ∴ a+b+c=- + +{-
}=-f(x)=x‹ +ax+3, g(x)=x¤ +2로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ +a, g '(x)=2x
두 곡선이 x=t에서 접한다고 하면
x=t에서의 함수 f(x), g(x)의 함숫값이 같으므로 ㅇㅇf(t)=g(t)
ㅇㅇ∴ t‹ +at+3=t¤ +2 yy㉠ㅇ 또 x=t에서의 접선의 기울기가 같으므로
ㅇㅇf '(t)=g '(t)
ㅇㅇ∴ 3t¤ +a=2t Δ a=2t-3t¤ yy㉡ㅇ
㉡을 ㉠에 대입하여 정리하면 ㅇㅇt‹ +(2t-3t¤ )¥t+3=t¤ +2 ㅇㅇ2t‹ -t¤ -1=0
ㅇㅇ∴ (t-1)(2t¤ +t+1)=0 ㅇㅇ∴ t=1 (∵ 2t¤ +t+1>0) 따라서 t=1을 ㉡에 대입하면 ㅇㅇa=2-3=-1
이때 x=1에서의 접선의 기울기는 ㅇㅇg'(1)=2
이고, 접점의 좌표는 (1, 3)이므로 구하는 공통접선의 방 정식은
ㅇㅇy-3=2(x-1) ∴ y=2x+1
1 1
4 3 4 3 1 3 1 3
1 3
4 3 1
3
0
1
Ⅱ다항함수의미분법
045
f(x)=x¤ -3, g(x)=ax¤ 으로 놓으면ㅇㅇf '(x)=2x, g '(x)=2ax 두 곡선의 교점의 x좌표를 t라 하면
x=t에서의 함수 f(x), g(x)의 함숫값이 같으므로 ㅇㅇf(t)=g(t)
ㅇㅇ∴ t¤ -3=at¤ yy㉠ㅇ 또 x=t에서의 곡선 y=f(x), y=g(x)의 두 접선의 기 울기의 곱이 -1이므로
ㅇㅇf '(t)¥g'(t)=-1 ㅇㅇ2t¥2at=-1
ㅇㅇ∴ 4at¤ =-1 yy㉡ㅇ
㉠을 ㉡에 대입하면
ㅇㅇ4(t¤ -3)=-1 ∴ t¤ =
t¤ = 을 ㉡에 대입하면
ㅇㅇ4a¥ =-1ㅇㅇ∴
a=-x ⁄ 1일 때 (분모) ⁄ 0이고 극한값이 존재하므로 ㅇㅇ(분자) ⁄ 0 Δ f(x)=0
ㅇㅇ∴ f(1)=0 yy㉠ㅇ
`f(1)=0을 주어진 식에 대입하면
ㅇㅇ = =2
ㅇㅇ∴ f '(1)=2 yy㉡ㅇ
㉠에 의하여 곡선 y=f(x)는 점 (1, 0)을 지나고 ㉡에 의 하여 x=1에서의 접선의 기울기가 2이므로 구하는 접선 의 방정식은
ㅇㅇy=2(x-1)ㅇㅇ∴ y=2x-2
점 (3, a)의 직선 y=x에 대한 대칭점은 ㅇㅇ(a, 3)
점 (a, 3)은 곡선 f(x)=x‹ +2x 위의 점이므로 ㅇㅇa‹ +2a=3, a‹ +2a-3=0
ㅇㅇ(a-1)(a¤ +a+3)=0
ㅇㅇ∴ a=1 {∵ a¤ +a+3={a+ }¤ + >0}
f '(x)=3x¤ +2이므로 x=1에서의 접선의 기울기는 ㅇㅇf '(1)=5
따라서 기울기가 5이고 점 (1, 3)을 지나는 접선의 방정 식은
ㅇㅇy-3=5(x-1)ㅇㅇ∴ y=5x-2 11
4 1 2
4 1
f(x)-f(1) lim x-1
x⁄1
f(x) lim x-1
x⁄1
limx⁄1
3 1
1 11 11
4 11
4
11 4
2
1
이때 곡선 y=f —⁄ (x) 위의 점 (3, a)에서의 접선은 곡선y=f(x) 위의 접선 y=5x-2와 직선 y=x에 대하여 대 칭이므로
ㅇㅇx=5y-2ㅇㅇ∴ y= x+2 5 1 5
f(x)=x‹ -2x+1로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3x¤ -2 접점의 x좌표를 t라 하면 접점의 좌표는
ㅇㅇ(t, t‹ -2t+1) yy`㉠ㅇ x=t에서의 접선의 기울기는
ㅇㅇf '(t)=3t¤ -2
따라서 기울기가 3t¤ -2이고 점 (t, t‹ -2t+1)을 지나 는 접선의 방정식은
ㅇㅇy-(t‹ -2t+1)=(3t¤ -2)(x-t) ㅇㅇ∴ y=(3t¤ -2)x-2t‹ +1 이 직선이 점 (0, -1)을 지나므로 ㅇㅇ-1=-2t‹ +1
ㅇㅇt‹ -1=0, (t-1)(t¤ +t+1)=0 ㅇㅇ∴ t=1 (∵ t¤ +t+1>0)
t=1을 ㉠에 대입하면 접점의 좌표는ㅇㅇ(1, 0) 이때 접선의 기울기가 f '(1)=1이므로 접선에 수직인 직 선의 기울기는 -1이다.
따라서 기울기가 -1이고 점 (1, 0)을 지나는 직선의 방 정식은
ㅇㅇy-0=-(x-1)ㅇㅇ∴ y=-x+1
`f(x)=-x‹ +6x¤ +4x-1로 놓으면
ㅇㅇf '(x)=-3x¤ +12x+4=-3(x-2)¤ +16 이므로 x=2일 때, (최댓값)=16
따라서 x=2일 때 기울기가 16으로 최대인 접선의 접점 의 좌표는 (2, 23)
따라서 기울기가 16이고 점 (2, 23)을 지나는 접선의 방 정식은
ㅇㅇy-23=16(x-2)ㅇㅇ∴ y=16x-9
2 1
1 y=-x+1 2 y=16x-9
3 y=4x+7 4 -2 5 y=12x-16
6 3 7 1 또는 3 8 y= x+
9 3개 10 ① 11 ④
16 9 1 9
pp. 82~83
연습 문제
정답과해설
046
y=x‹ +ax¤ +(2a+1)x+a+5를 a에 대하여 정리하면 ㅇㅇa(x+1)¤ +(x‹ +x+5-y)=0
이 식은 a에 대한 항등식이므로 ㅇㅇx+1=0, x‹ +x+5-y=0 ㅇㅇ∴ x=-1, y=3
따라서 a의 값에 관계없이 일정한 점 P는ㅇㅇP(-1, 3) f(x)=x‹ +ax¤ +(2a+1)x+a+5로 놓으면
ㅇㅇf '(x)=3x¤ +2ax+2a+1
x=-1에서의 접선의 기울기는 f '(-1)이므로 ㅇㅇf '(-1)=3-2a+2a+1=4
따라서 기울기가 4이고 점 P(-1, 3)을 지나는 접선의 방정식은
ㅇㅇy-3=4(x+1)ㅇㅇ∴ y=4x+7 f(x)=x‹ +ax+b로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3x¤ +a 접점의 x좌표를 t라 하면 접점의 좌표는 ㅇㅇ(t, t‹ +at+b)
x=t에서의 접선의 기울기는 f '(t)이므로 ㅇㅇf '(t)=3t¤ +a
따라서 기울기가 3t¤ +a이고 점 (t, t‹ +at+b)를 지나 는 접선의 방정식은
ㅇㅇy-(t‹ +at+b)=(3t¤ +a)(x-t) ㅇㅇ∴ y=(3t¤ +a)x-2t‹ +b
이 접선이 직선 y=2x-1과 일치하므로
ㅇㅇ3t¤ +a=2ㅇㅇ∴ a=2-3t¤ yy㉠ㅇ ㅇㅇ-2t‹ +b=-1ㅇㅇ∴ b=2t‹ -1 yy㉡ㅇ 그런데 곡선 y=f(x)가 점 (1, 1)을 지나므로
ㅇㅇf(1)=1+a+b=1
ㅇㅇ∴ a+b=0 yy㉢ㅇ
㉠, ㉡을 ㉢에 대입하여 정리하면 ㅇㅇ2t‹ -3t¤ +1=0
ㅇㅇ(2t+1)(t-1)¤ =0
ㅇㅇ∴ t=- 또는 t=1 yy`㉣ㅇ
㉣을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면
ㅇㅇa= , b=- 또는 a=-1, b=1 이때 a<b이므로ㅇㅇa=-1, b=1 ㅇㅇ∴ a-b=-2
f(x)=x‹ 으로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3x¤
접점의 x좌표를 a라 하면 접점의 좌표는 ㅇㅇ(a, a‹ )
x=a에서의 접선의 기울기는 f '(a)이므로 ㅇㅇf '(a)=3a¤
5
5 4 5
4 1 2
4
3
따라서 기울기가 3a¤ 이고 점 (a, a‹ )을 지나는 접선의 방정식은
ㅇㅇy-a‹ =3a¤ (x-a)
ㅇㅇ∴ y=3a¤ x-2a‹ yy`㉠ㅇ 또 g(x)=x‹ -32로 놓으면ㅇㅇg '(x)=3x¤
곡선 y=g(x)의 접점의 x좌표를 b라 하면 접점의 좌표는 ㅇㅇ(b, b‹ -32)
x=b에서의 접선의 기울기는 g '(b)이므로 ㅇㅇg '(b)=3b¤
따라서 기울기가 3b¤ 이고 점 (b, b‹ -32)를 지나는 접선 의 방정식은
ㅇㅇy-(b‹ -32)=3b¤ (x-b)
ㅇㅇ∴ y=3b¤ x-2b‹ -32 yy`㉡ㅇ
㉠, ㉡이 일치해야 하므로
ㅇㅇ3a¤ =3b¤ yy`㉢ㅇ ㅇㅇ-2a‹ =-2b‹ -32 yy`㉣ㅇ
㉢에서ㅇㅇa¤ -b¤ =0
ㅇㅇ(a+b)(a-b)=0ㅇㅇ∴ a=b 또는 a=-b a=b를 ㉣에 대입하면
ㅇㅇ-2a‹ =-2a‹ -32 ㅇㅇ0¥a‹ =32ㅇㅇ∴ 해가 없다.
a=-b를 ㉣에 대입하면 ㅇㅇ-2a‹ =2a‹ -32, a‹ -8=0 ㅇㅇ(a-2)(a¤ +2a+4)=0
ㅇㅇ∴ a=2 (∵ a¤ +2a+4=(a+1)¤ +3>0) ㅇㅇ∴ b=-2
a=2 또는 b=-2를 ㉠ 또는 ㉡에 대입하여 구하는 공통접선의 방정식을 구하면
ㅇㅇy=12x-16
f(x)= x‹ -ax¤ 으로 놓으면ㅇㅇf '(x)=x¤ -2ax 주어진 접선의 기울기가 2이므로
ㅇㅇf '(x)=x¤ -2ax=2
이때 두 접선의 접점의 x좌표가 각각 a, b이므로 a, b는 방정식
ㅇㅇx¤ -2ax-2=0 의 두 근이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여
ㅇㅇa+b=2a, ab=-2 yy`㉠ㅇ
이때 a¤ +b¤ =40이므로 ㅇㅇa¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab ㅇㅇ40=4a¤ +4 (∵ ㉠)
ㅇㅇa¤ =9ㅇㅇ∴ a=3 (∵ a>0) 1
6
3Ⅱ다항함수의미분법
047
`f(x)=-x¤ +4x-3에서 ㅇㅇf '(x)=-2x+4
이때 접점의 x좌표를 a라 하면 접점의 좌표는 ㅇㅇ(a, -a¤ +4a-3)
또한 x=a에서 접선의 기울기는 ㅇㅇf '(a)=-2a+4
따라서 기울기가 -2a+4이고 점 (a, -a¤ +4a-3)을 지나는 접선의 방정식은
ㅇㅇy-(-a¤ +4a-3)=(-2a+4)(x-a) ㅇㅇy=(-2a+4)x+2a¤ -4a-a¤ +4a-3 ㅇㅇ∴ y=(-2a+4)x+a¤ -3
이 직선이 점 (t, 0)을 지나므로 ㅇㅇ(-2a+4)t+a¤ -3=0 ㅇㅇa¤ -2ta+4t-3=0
이때 점 (t, 0)에서 그을 수 있는 접선이 오직 하나이므로 위의 이차방정식 a¤ -2ta+4t-3=0의 판별식 D는 ㅇㅇ =t¤ -4t+3=0
ㅇㅇ(t-1)(t-3)=0 ㅇㅇ∴ t=1 또는 t=3
점 (2, a)의 직선 y=x에 대한 대칭점은 ㅇㅇ(a, 2)
점 (a, 2)는 곡선 f(x)=x‹ -3x 위의 점이므로 ㅇㅇa‹ -3a=2
ㅇㅇa‹ -3a-2=0 ㅇㅇ(a+1)(a¤ -a-2)=0 ㅇㅇ(a+1)¤ (a-2)=0 ㅇㅇ∴ a=-1 또는 a=2 ㅇㅇ∴ (2, 2) (∵ x>1)
`f '(x)=3x¤ -3이므로 x=2에서의 접선의 기울기를 구 하면
ㅇㅇf '(2)=9
따라서 기울기가 9이고 점 (2, 2)를 지나는 접선의 방정 식은
ㅇㅇy-2=9(x-2) ㅇㅇ∴ y=9x-16
이때 곡선 y=f —⁄ (x) 위의 점 (2, a)에서의 접선은 곡선 y=f(x) 위의 접선 y=9x-16과 직선 y=x에 대하여 대칭이므로
ㅇㅇx=9y-16 ㅇㅇ∴ y= x+16
9 1 9
8
D 4
7
`f(x)=x¤ -2x-3에서ㅇㅇf '(x)=2x-2
이때 접점의 x좌표를 a라 하면 접점의 좌표는 ㅇㅇ(a, a¤ -2a-3)
또한 x=a에서의 접선의 기울기는 ㅇㅇf '(a)=2a-2
따라서 기울기가 2a-2이고 점 (a, a¤ -2a-3)을 지나 는 접선의 방정식은
ㅇㅇy-(a¤ -2a-3)=(2a-2)(x-a) ㅇㅇ∴ y=(2a-2)x-a¤ -3 이 직선이 점 (t, 0)을 지나므로
ㅇㅇ(2a-2)t-a¤ -3=0, a¤ -2ta+2t+3=0 이때 점 (t, 0)에서 그을 수 있는 접선이 없으므로 위의 이차방정식 a¤ -2ta+2t+3=0의 판별식 D는 ㅇㅇ =t¤ -2t-3<0ㅇㅇ∴ -1<t<3
따라서 -1<t<3을 만족하는 정수 t는 0, 1, 2로 모두 3개이다.
`f(x)=x¤ +a로 놓으면ㅇㅇf '(x)=2x 점 P의 x좌표를 t라 하면ㅇㅇP(t, t¤ +a) x=t에서의 접선의 기울기는ㅇㅇf '(t)=2t
따라서 기울기가 2t이고 점 P(t, t¤ +a)를 지나는 접선 의 방정식은
ㅇㅇy-(t¤ +a)=2t(x-t)
ㅇㅇ∴ y=2tx-t¤ +a yy`㉠ㅇ 이 접선과 곡선 y=x¤ 의 교점 Q, R의 x좌표를 각각 a, b(a>b)라 하면 두 점 Q, R의 좌표는
ㅇㅇQ(a, a¤ ), R(b, b¤ )
이때 a, b는 접선 ㉠과 곡선 y=x¤ 을 연립한 방정식 ㅇㅇ2tx-t¤ +a=x¤
ㅇㅇx¤ -2tx+t¤ -a=0 의 두 근이므로
ㅇㅇx=t—"√t¤ -(t¤ -a)=t—'a ㅇㅇ∴ a=t+'a, b=t-'a (∵ a>b) 따라서 두 점 Q, R의 좌표는
ㅇㅇQ(t+'a, (t+'a)¤ ), R(t-'a, (t-'a)¤ ) 이때 PQ”, PR”의 길이를 구하면
ㅇㅇPQ”="√{t-(t+'a)}¤ +{t¤ +√a-(t+'a)¤ }¤
="√a+4at¤
ㅇㅇPR”="√{t-(t-'a)}¤ +{t¤ +√a-(t-'a)¤ }¤
="√a+4at¤
ㅇㅇ∴ PQ”：PR”="√a+4at¤ ："√a+4at¤ =1：：1
0 1
D 4
9
정답과해설
048
`f(x)=x› 으로 놓으면ㅇㅇf '(x)=4x‹
x=1에서의 접선의 기울기는ㅇㅇf '(1)=4
기울기가 4이고 점 (1, 1)을 지나는 접선의 방정식은 ㅇㅇy-1=4(x-1)ㅇㅇ∴ y=4x-3
이 접선과 x축과의 교점의 좌표는 ㅇㅇ{ , 0}ㅇㅇ∴ a¡=
또 접점 (a«, a«› )에서의 접선의 기울기가 f '(a«)=4a«‹
이므로 접선의 방정식은
ㅇㅇy-a«› =4a«‹ (x-a«)ㅇㅇ∴ y=4 a«‹ x-3a«›
이 접선과 x축과의 교점의 좌표는 ㅇㅇ{ a«, 0}ㅇㅇ∴ a«≠¡= a«
따라서 수열 {a«}은 첫째항이 , 공비가 인 등비수 열이므로 일반항 a«은
ㅇㅇa«= ¥{ }
n-1
={ }
n
ㅇㅇ∴ a¡º={ } 3 10
4 3
4 3
4 3 4
3 4 3
4 3 4 3
4
3 4 3
4
1
1
ㅇㅇf '(x)=6x¤ -30x+36=6(x¤ -5x+6)
=6(x-2)(x-3)
ㅇㅇ∴ f '(k)=6(k-2)(k-3)<0 (∵ ㉠) ㅇㅇ∴ 2<k<3
⑴ f(x)=x‹ -3x+1로 놓으면
ㅇㅇf '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1) f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=-1 또는 x=1 x<-1, -1<x<1, x>1로 x의 구간을 나누어 f '(x)의 값의 부호의 변화와 함수 f(x)의 증가, 감소 를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑵따라서 함수 f(x)는 x<-1 또는 x>1에서 증가하 고, -1<x<1에서 감소한다.
⑵ f(x)=x‹ -6x¤ +12x-1로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+12
=3(x¤ -4x+4)=3(x-2)¤
⑵f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=2
⑵x<2, x>2로 x의 구간을 나누어 f '(x)의 값의 부호 의 변화와 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.
⑵따라서 함수 f(x)는 모든 실수에서 증가한다.
f(x)=x‹ -6x¤ +ax+7에서 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+a
이때 함수 f(x)가 감소하는 x의 값의 범위가 1…x…b이 므로 x=1, x=b는 이차방정식
ㅇㅇ3x¤ -12x+a=0 의 두 근이다.
따라서 근과 계수의 관계에 의하여 ㅇㅇ1+b= ㅇㅇ∴ b=3
ㅇㅇ1¥b= ㅇㅇ∴ a=9 ㅇㅇ∴ a+b=9+3=12
a 3
12 3
4 3
⑴ f(x)=3x¤ -2x-5에서ㅇㅇf '(x)=6x-2 x=-1에서의 미분계수를 구하면 ㅇㅇf '(-1)=-6-2=-8
f '(-1)<0이므로 함수 f(x)는 x=-1에서 감소상 태에 있다.
⑵ f(x)=-x‹ -2x¤ +6에서ㅇㅇf '(x)=-3x¤ -4x x=-1에서의 미분계수를 구하면
ㅇㅇf '(-1)=-3+4=1
f '(-1)>0이므로 함수 f(x)는 x=-1에서 증가상 태에 있다.
함수 f(x)가 x=k에서 감소상태에 있으므로
ㅇㅇf '(k)<0 yy`㉠ㅇ
f(x)=2x‹ -15x¤ +36x-9에서
2 1
1 ⑴ 감소상태 ⑵ 증가상태 2 2<k<3 3 ⑴ x<-1 또는 x>1에서 증가, -1<x<1에서 감소
⑵ 모든 실수에서 증가
4 12 5 ⑴ 0…a… 9 ⑵ aæ3 4
유제 pp. 87~88