정답과해설
056
2x-y=2에서ㅇㅇy=2x-2 y=2x-2를 x¤ y에 대입하면 ㅇㅇx¤ y=x¤ (2x-2)=2x‹ -2x¤
f(x)=2x‹ -2x¤ 이라 하면 ㅇㅇf '(x)=6x¤ -4x=2x(3x-2) f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx= (∵ x>0)
x>0에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음 과 같다.
따라서 함수 f(x)의 최솟값은 ㅇㅇx= 일 때
ㅇㅇ(최솟값)=-x¤ -x+y-6=0에서ㅇㅇy=-x¤ +x+6 yy㉠ㅇ yæ4이므로ㅇㅇy=-x¤ +x+6æ4
ㅇㅇx¤ -x-2…0, (x+1)(x-2)…0 ㅇㅇ∴ -1…x…2
그런데 주어진 조건에서 xæ0이므로
ㅇㅇ0…x…2 yy㉡ㅇ
이때 ㉠을 xy-5x+8에 대입하면 ㅇㅇxy-5x+8=x(-x¤ +x+6)-5x+8
=-x‹ +x¤ +x+8 f(x)=-x‹ +x¤ +x+8이라 하면
ㅇㅇf '(x)=-3x¤ +2x+1=-(3x+1)(x-1) f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=1 (∵ ㉡)
0…x…2에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇx=1일 때ㅇㅇ(최댓값)=9 ㅇㅇx=2일 때ㅇㅇ(최솟값)=6 ㅇㅇ∴ (최댓값)+(최솟값)=9+6=15
8 2
8 27 2
3 2 3
7 2
주어진 조건을 좌표평면에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다.
이때 제 1 사분면에 있는 직 사각형의 꼭짓점을
P(x, y)라 하면 점 P는 곡 선 y=3-x¤ 위의 점이므로 ㅇㅇP(x, 3-x¤ )
그런데 x>0, y=3-x¤ >0이므로ㅇㅇ0<x<'3 직사각형의 넓이를 S(x)라 하면
ㅇㅇS(x)=2x¥2y=4x(3-x¤ )=4(3x-x‹ ) S'(x)를 구하면
ㅇㅇS'(x)=4(3-3x¤ )=-12(x+1)(x-1) S'(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=1(∵ 0<x<'3)
0<x<'3에서 함수 S(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 S(x)는 x=1에서 최대이므로 최댓값은 ㅇㅇ(최댓값)=S(1)=8
점 P의 x좌표를 a라 하면ㅇㅇP(a, a¤ +1) 따라서 두 점 O(0, 0), A(10, 0)에 대하여 ㅇㅇOP” ¤ +AP” ¤
=a¤ +(a¤ +1)¤ +(a-10)¤ +(a¤ +1)¤
=a› +3a¤ +1+a› +3a¤ -20a+101
=2a› +6a¤ -20a+102 이때 OP”¤ +AP”¤ =f(a)라 하면 ㅇㅇf(a)=2a› +6a¤ -20a+102
f '(a)를 구하면
ㅇㅇf '(a)=8a‹ +12a-20 조립제법을 이용하여 인수분해하면
0 3
x y
y=x¤ -3
y=3-x¤
O 3
-3
-'3 '3
P(x, y)
9 2
x 0 y y
f '(x) - 0 +
f(x) ↘
-↗ 극소
8 27 2 3
x 0 y 1 y 2
f '(x) + + 0 -
-f(x) 8 ↗ 9
↘ 6
극대
29 8 30 90 31 cm 32 cm‹
33 128 34 2：1
20'5 9 5
3
유제 pp. 105~107
Ⅱ다항함수의미분법
057
ㅇㅇ∴ f'(a)=(a-1)(8a‹ +8a+20)=4(a-1)(2a¤ +2a+5) f '(a)=0인 x의 값은
ㅇㅇa=1 {∵ 2a¤ +2a+5=2{a+ }2 + >0}
함수 f(a)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
함수 f(a)는 a=1에서 극소이면서 최소이므로 f(a)의 최솟값은
(최솟값)=f(1)=90
따라서 OP”¤ +AP”¤ 의 최솟값은 90이다.
잘라 낼 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 상자의 밑면의 가로와 세로의 길이는
ㅇㅇ(가로의 길이)=(15-2x) cm ㅇㅇ(세로의 길이)=(8-2x) cm 각 변의 길이는 0보다 커야 하므로
ㅇㅇx>0, 8-2x>0, 15-2x>0ㅇㅇ∴ 0<x<4 상자의 부피를 V(x)라 하면
ㅇㅇV(x)=x(8-2x)(15-2x)
=2(2x‹ -23x¤ +60x) V'(x)를 구하면
ㅇㅇV'(x)=2(6x¤ -46x+60)
=4(3x-5)(x-6)
V'(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx= (∵ 0<x<4) 0<x<4에서 함수 V(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 V(x)는 x= 에서 최대이므로 상자의 부 피가 최대가 되도록 할 때, 잘라 낼 정사각형의 한 변의 길 이는 5 cm이다.
3
5 3
5 3
1 3
9 2 1 2 -1 8 0 12 -20
8 8 20
8 8 20 0
a y 1 y
f '(a) - 0 +
f(a) ↘ 90
극소 ↗
x 0 y y 4
V'(x) + 0
-V(x) ↗ 극대 ↘
5 3
직육면체의 밑면의 한 변의 길이를 xcm, 높이를 ycm라 하면 직육면체를 만드는 데 드는 비용은
ㅇㅇ{(밑면의 넓이)+4_(옆면의 넓이)}_10
+(윗면의 넓이)_20 ㅇㅇ=(x¤ +4xy)_10+x¤ _20
=30x¤ +40xy
주어진 조건에서 직육면체를 만드는 데 드는 비용은 200 이므로
ㅇㅇ30x¤ +40xy=200, 3x¤ +4xy=20
ㅇㅇ∴ y= (20-3x¤ ) yy`㉠ㅇ 직육면체의 밑면의 변의 길이와 높이는 0보다 커야 하므로 ㅇㅇx>0, (20-3x¤ )>0
ㅇㅇ∴ 0<x<
직육면체의 부피를 V(x)라 하면
ㅇㅇV(x)=x¤ y=x¤ ¥ (20-3x¤ ) (∵ ㉠)
= (20x-3x‹ ) V'(x)를 구하면
ㅇㅇV'(x)= (20-9x¤ )
= ('2å0-3x)('2å0+3x)
V'(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx= {∵ 0<x< }
0<x< 에서 함수 V(x)의 증가, 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.
함수 V(x)는 x= 에서 극대이면서 최대이므로 V(x)의 최댓값은
ㅇㅇ(최댓값)=V{ }= [20_ -3 { }3 ]
=
따라서 상자의 최대 부피는 20'5 cm‹이다.
9 20'5
9
2'5 3 2'5
3 1
4 2'5
3 2'5
3 2'1å5
3
2'1å5 3 2'5
3 1
4 1 4
1 4
1 4x 2'1å5
3 1 4x
1 4x
2 3
x 0 y y
V'(x) + 0
-V(x) ↗ ↘
극대 20'5 9
2'1å5 3 2'5
3
정답과해설
058
다음 그림과 같이 정사각기둥의 밑면의 한 변의 길이를 x, 높이를 h라 하자.
이때 정사각기둥의 밑면의 대각선의 길이는
"√x¤ +x¤ ='2x이므로 ㅇㅇA'B'”= x
△OABª△OA'B'이므로 ㅇㅇ12：(12-h)=6： x ㅇㅇ6(12-h)=6'2x
ㅇㅇ∴ h=12-'2x yy`㉠ㅇ
정사각기둥의 밑면의 변의 길이와 높이는 0보다 커야 하 므로
ㅇㅇx>0, h=12-'2x>0 ㅇㅇ∴ 0<x<6'2
정사각기둥의 부피를 V(x)라 하면 ㅇㅇV(x)=x¤ h=x¤ (12-'2x)(∴㉠)
=12x¤ -'2x‹
V'(x)를 구하면 ㅇㅇV'(x)=24x-3'2x¤
=3x(8-'2x) V'(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=4'2 (∵ 0<x<6'2)
0<x<6'2에서 함수 V(x)의 증가, 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
함수 V(x)는 x=4'2일 때 극대이면서 최대이므로 V(x)의 최댓값은
(최댓값)=V(4'2)=12_(4'2)¤ -'2(4'2 )‹
=128
따라서 정사각기둥의 부피의 최댓값은 128이다.
'2 2 '2
2
A B
B'
x x
h
6
12 A'
O
2 x '2
3
3
r+h=a(a는 상수)라 하면ㅇㅇh=a-r yy㉠ㅇ원기둥의 밑면의 반지름의 길이와 높이는 0보다 커야 하 므로
ㅇㅇr>0, h=a-r>0ㅇㅇ∴ 0<r<a 원기둥의 부피를 V(r)라 하면
ㅇㅇV(r)=pr¤ h=pr¤ (a-r) (∵ ㉠)
=p(ar¤ -r‹ ) V'(r)를 구하면
ㅇㅇV'(r)=p(2ar-3r¤ )=pr(2a-3r) V'(r)=0인 r의 값은ㅇㅇr= a (∵ 0<r<a) 0<r<a에서 함수 V(r)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 V(r)는 r= a에서 최대이므로
ㅇㅇr：h=r：(a-r)= a：1a=2：1 3
2 3 2 3
2 3
4 3
x 0 y 4'2 y 6'2
V'(x) + 0
-V(x) ↗ 128
극대 ↘
r 0 y a y a
V'(r) + 0
-V(r) ↗ 극대 ↘
2 3
f(x)=logª (5-x)+log£ (x+4)의 진수 조건을 구하면 ㅇㅇ5-x>0, x+4>0
ㅇㅇ∴ -4<x<5 함수 f(x)를 정리하면
ㅇㅇf(x)=logª (5-x)+log£ (x+4)
=logª (5-x)+logª (x+4)¤
=logª (5-x)(x+4)¤
g(x)=(5-x)(x+4)¤ 이라 하면
ㅇㅇg'(x)=-(x+4)¤ +(5-x)¥2(x+4)
=-3(x+4)(x-2)
g '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=2 (∵ -4<x<5) -4<x<5에서 함수 g(x)의 증가, 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
1
1 +log£ 2 2 ② 3 ⑤ 4 ③
5 9<a<12 6 ② 7 ⑤ 8 ② 9 ③ 10 p 11 125 12 ⑤
2 8
9 3
2
pp. 108~110
연습 문제
Ⅱ다항함수의미분법
059
따라서 함수 g(x)는 x=2일 때 최대이므로 최댓값은ㅇㅇ(최댓값)=g(2)=108
이때 f(x)=logª g(x)에서 (밑)=9>1이므로 g(x)가 최 대이면 f(x)도 최대이다.
따라서 f(x)의 최댓값은
ㅇㅇlogª g(2)=logª 108= log£(3‹ ¥2¤ )
= (3+2 log£ 2)= +log£ 2
f '(x)=(x-1)(x-2)¤ (x-3)‹ (x-4)› =0에서 ㅇㅇx=1또는 x=2 또는 x=3 또는 x=4 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
그런데 x=2, x=4의 좌우에서 f '(x)의 부호가 바뀌지 않으므로 x=2, x=4에서 극값을 갖지 않는다.
따라서 x=1, x=3에서 극값을 가지므로 함수 f(x)의 극값의 개수는 2개이다.
y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 x=a또는 x=b
f '(x)의 부호를 조사하여 함수 f(x)의 증가, 감소를 조사 하면 다음 표와 같다.
따라서 보기에서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은 ⑤⑤이다.
‘ f(a)=f(b)이면 a=b이다.’의 대우는 ㅇㅇ‘a+b이면 f(a)+f(b)이다.’
이므로 임의의 실수 a, b에 대하여 f(a)=f(b)이면 a=b를 만족하는 함수 f(x)는 일대일함수이다.
이때 f(x)가 일대일함수이면 f(x)는 증가함수 또는 감소 함수이고, `f(x)의 x‹ 의 계수가 양수이므로 f(x)는 증가
4 3 2
3 2 1
2
1 2
함수이다.
즉 f(x)=2x‹ +3x¤ +kx+3에서 ㅇㅇf '(x)=6x¤ +6x+k
실수 전체의 구간에서 함수 f(x)가 증가하므로 모든 실수 x에 대하여
ㅇㅇf '(x)=6x¤ +6x+kæ0
따라서 이차방정식 6x¤ +6x+k=0의 판별식 D…0이어 야 하므로
ㅇㅇ =9-6k…0ㅇㅇ∴ kæ
f(x)=x‹ -6x¤ +ax+1에서 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+a
함수 f(x)가 -2<x<3에서 극댓값 과 극솟값을 모두 가지려면 이차방정 식 f '(x)=0의 서로 다른 두 실근이 -2<x<3에 있어야 하므로 ㅇㅇ⁄ f '(x)=0의 판별식 D>0 ㅇㅇ¤ f '(-2)>0
ㅇㅇ‹ f '(3)>0
ㅇㅇ›-2<(y=f '(x)의 축)<3
따라서 각각의 경우의 a의 값의 범위를 구하면
⁄ 이차방정식 3x¤ -12x+a=0의 판별식 D>0에서 ㅇㅇ =36-3a>0ㅇㅇ∴ a<12 yy㉠ㅇ
¤ `f '(-2)>0에서
ㅇㅇ12+24+a>0ㅇㅇ∴ a>-36 yy㉡ㅇ
‹ `f '(3)>0에서
ㅇㅇ27-36+a>0ㅇㅇ∴ a>9 yy㉢ㅇ
› -2<(y=f '(x)의 축)<3에서
(y=f '(x)의 축)=- =2이므로 -2<2<3을 만족한다.
㉠, ㉡, ㉢의 공통 범위를 구하면ㅇㅇ9<a<12
f(x)=x› -4ax‹ +2x¤ +1에서 ㅇㅇf '(x)=4x‹ -12ax¤ +4x
=4x(x¤ -3ax+1)
⁄ x<0에서 감소하므로ㅇㅇf '(x)…0 즉 4x(x¤ -3ax+1)…0에서 x<0이므로 ㅇㅇx¤ -3ax+1æ0
¤ x>0에서 증가하므로ㅇㅇf '(x)æ0 즉 4x(x¤ -3ax+1)æ0에서 x>0이므로 ㅇㅇx¤ -3ax+1æ0
6
-12 2¥3 D
4
3 x -2
y=f '(x)
축
5
3 2 D
4
x -4 y 2 y 5
g '(x) + 0
-g(x) ↗ 108
극대 ↘
x y 1 y 2 y 3 y 4 y
f '(x) + 0 - 0 - 0 + 0 +
f(x) ↗ 극대 ↘ ↘ 극소 ↗ ↗
x y a y b y
f '(x) + 0 + 0
-f(x) ↗ ↗ 극대 ↘
정답과해설
060
⁄, ¤에서 모든 실수 x에 대하여 ㅇㅇx¤ -3ax+1æ0
이므로 이차방정식 x¤ -3ax+1=0의 판별식 D…0이다.
ㅇㅇ∴ D=9a¤ -4…0, (3a+2)(3a-2)…0 ㅇㅇ∴ - …a…
`f(x)=|x-1|에 대하여 y=( fΩfΩf )(x)의 그래프는 다음과 같다.
⁄ y=|x-1|-1의 그래프는
⁄ 절댓값 기호를 없앤 y=x-2 의 그래프에서 y+1=|x-1|
이므로 y=-1을 기준으로 y<-1인 부분을 대칭이동한 것 이므로 오른쪽[그림 1]과 같다.
¤ y=||x-1|-1|의 그래 프는 y=|x-1|-1의 그래프에서 y=0`(x축)을 기준으로 y<0인 부분을 대칭이동한 것이므로 오 른쪽[그림 2]와 같다.
‹ y=||x-1|-1|-1의 그래프는 y=||x-1|-1|
의 그래프에서 y축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것이므로 다음[그림 3]과 같다.
› y=|||x-1|-1|-1|의 그래프는
y=||x-1|-1|-1의 그래프에서 y=0(x축)을 기 준으로 y<0인 부분을 대칭이동한 것이므로 다음 [그림 4]와 같다.
따라서 위의[그림 4]에서 함수 y=( fΩfΩf )(x)의 그래 프는 x=0, x=2에서 극대이고 x=-1, x=1, x=3 에서 극소이므로 함수 y=( fΩfΩf )(x)가 극값을 갖게 하는 x의 개수는 5개이다.
O 1
1
-1
-1 2 3
y
x y=|||x-1|-1|-1|
O 1
-1
-1 2 3
y
x y=||x-1|-1|-1
O 1
1
-1
2 y
x y=||x-1|-1|
O 2
y
x
-2 -1
y=|x-1|-1
7
2 3 2
3
g(x)=xf(x)에서
ㅇㅇ g(x)=g '(x)=f(x)+xf '(x) 또 그래프에서 f(-2)=0, f(0)=0이고 x=-1, x=1, x=2에서 극값을 가지므로 ㅇㅇf '(-1)=0, f '(1)=0, f '(2)=0
① g '(-2)=f(-2)-2f '(-2)
=0-2f '(-2)=-2f '(-2)
①x=-2에서 함수 f(x)는 증가하므로
① ㅇㅇf '(-2)>0 ∴ g '(-2)<0
② g '(-1)=f(-1)-f '(-1)
=f(-1)-0=f(-1)
①f(-1)>0이므로ㅇㅇg '(-1)>0
①따라서 -1은 주어진 집합의 원소이다.
③ g '(0)=f(0)+0¥f '(0)=0
④ g '(1)=f(1)+f '(1)=f(1)+0=f(1)
④f(1)<0이므로ㅇㅇg'(1)<0
⑤ g '(2)=f(2)+2f '(2)=f(2)+2¥0=f(2)
④f(2)<0이므로ㅇㅇg '(2)<0
따라서 보기에서 g(x)>0을 만족하는 것은 x=-1 이다.
함수 f(x)=ax› +bx‹ +cx¤ +dx+e의 그래프에서 x ⁄ ¶일 때 f(x) ⁄ ¶이므로ㅇㅇa>0 y절편이 양이므로ㅇㅇe>0
주어진 함수 y=f(x)의 그래프에서 극값을 갖는 x의 값 은 3개이므로 f '(x)=4ax‹ +3bx¤ +2cx+d에서 f '(x)=0은 서로 다른 세 개의 양의 실근을 갖는다.
따라서 4ax‹ +3bx¤ +2cx+d=0의 세 근을 a, b, c라 하면 근과 계수의 관계에 의하여
ㅇㅇa+b+c=- >0ㅇㅇ∴ b<0 (∵ a>0) ㅇㅇab+bc+ca= >0ㅇㅇ∴ c>0 (∵ a>0)
ㅇㅇabc=- >0ㅇㅇ∴ d<0 (∵ a>0) 따라서 양수인 것은 a, c, e로 모두 3개이다.
오른쪽 그림과 같이 원기둥의 밑 면의 반지름의 길이를 r, 높이를 2x라 하면
ㅇㅇr¤ =1-x¤ yy㉠ㅇ 이때 구의 반지름의 길이가 1이 므로ㅇㅇ0<x<1
1 r
2x x
0 1
d 4a
2c 4a 3b 4a
9
d dx d
dx
8
[그림 1]
[그림 2]
[그림 3]
[그림 4]
Ⅱ다항함수의미분법
061
원기둥의 부피를 V(x)라 하면ㅇㅇV(x)=pr¤ ¥2x=p(1-x¤ )¥2x (∵ ㉠)
=2p(-x‹ +x) V'(x)를 구하면
ㅇㅇV'(x)=2p(-3x¤ +1)
=-6p {x+ } {x- }
V'(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx= (∵ 0<x<1) 0<x<1에서 함수 V(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 V(x)는 x= 일 때 최대이므로 최댓값은
ㅇㅇ(최댓값)=V{ }= p
또 원기둥의 높이는 2x이므로 이다.
따라서 원기둥의 높이와 부피의 최댓값의 곱은 ㅇㅇ _ p= p
오른쪽 그림과 같이 잘라 낼 사각형의 한 변의 길이를 x 라 하면 삼각기둥의 밑면의 한 변의 길이는
ㅇㅇ15-2x
이때 x>0, 15-2x>0이 므로ㅇㅇ0<x<
또 삼각기둥의 높이를 h라 하면 정 삼각형에서 잘라 내었으므로 ㅇㅇh=x_tan 30˘= y㉠ 삼각기둥의 부피를 V(x)라 하면 ㅇㅇV(x)= (15-2x)¤ ¥h
= (15-2x)¤ ¥ (∵ ㉠)
=1x(2x-15)¤
4
x '3 '3
4 '3
4
x
'3 30˘
x h 15
2
x
15-2x
15-2x
x h
x x
1 1
8 9 4'3
9 2'3
3
2'3 3 4'3
9 '3
3 '3
3 '3
3 '3
3 '3
3
V'(x)를 구하면
ㅇㅇV'(x)= (2x-15)¤ + x¥2(2x-15)¥2
= (2x-15){(2x-15)+4x}
= (2x-15)(2x-5) V'(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx= {∵ 0<x< }
0<x< 에서 함수 V(x)의 증가, 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.
따라서 함수 V(x)는 x= 일 때 최대이므로 최댓값은
ㅇㅇ(최댓값)=V{ }=
=1에서 x ⁄ a일 때 (분모) ⁄ 0이고, 극한 값이 존재하므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다.
ㅇㅇ∴ f(x)=0ㅇㅇ∴ f(a)=0 yy`㉠ㅇ
ㅇㅇ∴ =
=f '(a)=1 yy`㉡ㅇ
또 =2에서 x ⁄ b일 때 (분모) ⁄ 0이고, 극한값이 존재하므로 (분자)⁄ 0이어야 한다.
ㅇㅇ∴ { f(x)-1}=0ㅇㅇ∴ f(b)=1 yy`㉢ㅇ
ㅇㅇ∴ =
=f '(b)=2 yy`㉣ㅇ 따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 ㉠, ㉢에 의하여 두 점 (a, 0), (b, 1)을 지나고 ㉡, ㉣에 의하여 f '(a)>0,
`f '(b)>0이므로 x=a, x=b에서 증가상태에 있어야 한다.
따라서 보기에서 이를 만족하는 함수 y=f(x)의 그래프 의 개형이 될 수 있는 것은 ⑤⑤이다.
f(x)-f(b) lim x-b
x⁄b
f(x)-1 lim x-b
x⁄b
lim
x⁄b
f(x)-1 lim x-b
x⁄b
f(x)-f(a) lim x-a
x⁄a
f(x) lim x-a
x⁄a
lim
x⁄a
f(x) lim x-a
x⁄a
2 1
125 2 5 2
5 2 15
2
15 2 5
2 3 4 1 4
1 4 1
4
x 0 y y 1
V'(x) + 0
-V(x) ↗ p
↘ 극대 4'3
9 '3
3
x 0 y y
V'(x) + 0
-V(x) ↗ ↘
극대 125 2
15 2 5
2
정답과해설
062
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 그 그래 프가 x축과 두 점에서 만나 므로 방정식
x‹ -6x¤ +9x-4=0의 서로 다른 실근의 개수는 2개이다.
`다른 풀이`
위의 표에서 극댓값과 극솟값을 구하면 ㅇㅇ극댓값：f(1)=0
ㅇㅇ극솟값：f(3)=-4 ㅇㅇ∴ f(1)f(3)=0_(-4)=0
따라서 방정식 x‹ -6x¤ +9x-4=0은 중근과 다른 한 실근을 가지므로 서로 다른 실근의 개수는 2개이다.
⑶ f(x)=x‹ -3x¤ +5로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -6x=3x(x-2) f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=0 또는 x=2
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 그 그래 프가 x축과 한 점에서 만나므 로 방정식 x‹ -3x¤ +5=0의 서로 다른 실근의 개수는 1개 이다.
`다른 풀이`
위의 표에서 극댓값과 극솟값을 구하면 ㅇㅇ극댓값：f(0)=5
ㅇㅇ극솟값：f(2)=1 ㅇㅇ∴ f(0)f(2)=5_1>0
따라서 방정식 x‹ -3x¤ +5=0은 한 실근과 두 허근을 가지므로 서로 다른 실근의 개수는 1개이다.
⑴ f(x)=x› -4x‹ -2x¤ +12x+3으로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=4x‹ -12x¤ -4x+12
=4(x‹ -3x¤ -x+3) 조립제법을 이용하여 인수분해하면
2
x y
O 2
1 5
y=f(x) x y
O
-4
1 3
y=f(x)
⑴ f(x)=x‹ -3x+1로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1)
⑴f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=-1 또는 x=1
⑴함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑴위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 그 그래 프가 x축과 서로 다른 세 점 에서 만나므로 방정식 x‹ -3x+1=0의 서로 다른 실근의 개수는 3개이다.
`다른 풀이`
⑴위의 표에서 극댓값과 극솟값을 구하면
⑴ ㅇㅇ극댓값：f(-1)=3
⑴ ㅇㅇ극솟값：f(1)=-1
⑴ ㅇㅇ∴ f(-1)f(1)=3_(-1)=-3<0
⑴따라서 방정식 x‹ -3x+1=0은 서로 다른 세 실근을 가지므로 서로 다른 실근의 개수는 3개이다.
⑵ f(x)=x‹ -6x¤ +9x-4로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3)
⑴f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=1 또는 x=3
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
y=f(x) y
O x 1 1 3
-1 -1
1
1 ⑴ 3개 ⑵ 2개 ⑶ 1개 2 ⑴ 4개 ⑵ 0개 3 a<- 또는 a> 4 -4<a<1 5 ⑴ a=7 ⑵ 0<a<7 ⑶ -20<a<0 ⑷ a<-20 6 0 또는 1 7 0<a<5
104 27 5
2
유제 pp. 112~114