속도와 가속도

물로켓의 t초 후의 속도를 v라 하면

ㅇㅇv= =19.6-9.8t yy㉠ㅇ

⑴ 물로켓이 다시 지면에 떨어진다는 것은 x=0이 되는 경우이므로

⑵ ㅇㅇ24.5+19.6t-4.9t¤ =0

⑵ ㅇㅇt¤ -4t-5=0

⑵ ㅇㅇ∴ t=-1 또는 t=5

⑵ ㅇㅇ∴ t=5 (∵ t>0)

⑵t=5를 ㉠에 대입하여 물로켓이 다시 지면에 떨어지는 순간의 속도 v를 구하면

⑵ ㅇㅇv=19.6-49=-29.4 (m/초)

⑵ 물로켓이 최고점에 도달하는 순간의 속도 v=0이므로

㉠에서

⑵ ㅇㅇ19.6-9.8t=0 ㅇㅇ∴ t=2(초)

⑵t=2를 x=24.5+19.6t-4.9t¤ 에 대입하여 지면에서 최고점까지의 높이 x를 구하면

⑵ ㅇㅇx=24.5+19.6_2-4.9_4=44.1 (m)

점 P의 t초 후의 속도를 v라 하면

ㅇㅇv= =6t¤ -42t+60=6(t-2)(t-5) 점 P가 운동 방향을 바꾸는 순간의 속도 v=0이므로 ㅇㅇ6(t-2)(t-5)=0

ㅇㅇ∴ t=2 또는 t=5 x=2t‹ -21t¤ +60t에서

t=2일 때의 점 P의 좌표를 x¡이라 하면 ㅇㅇx¡=2¥2‹ -21¥2¤ +60¥2=52 t=5일 때의 점 P의 좌표를 x™라 하면 ㅇㅇx™=2¥5‹ -21¥5¤ +60¥5=25 따라서 두 점 사이의 거리는 ㅇㅇ|x¡-x™|=|52-25|=27

자전거가 브레이크를 잡은 지 t초 후의 속도를 v라 하면 ㅇㅇv= =26-13t

자전거가 정지할 때의 속도 v=0이므로 ㅇㅇ26-13t=0

ㅇㅇ∴ t=2

t=2를 s=26t-6.5t¤ 에 대입하여 브레이크를 잡은 후 2 초 동안 자전거가 달린 거리 s를 구하면

ㅇㅇs=26_2-6.5_4

=52-26=26(m) ds

dt

7 1

dx dt

6 1

dx dt

5

1

정답과해설

068

s(t)=t‹ +at¤ +bt+4로 놓으면 t=3일 때 점 P의 위치 가 -5이므로

ㅇㅇs(3)=-5, 27+9a+3b+4=-5

ㅇㅇ∴ 3a+b+12=0 yy㉠ㅇ

t초 후의 속도를 v(t)라 하면

ㅇㅇv(t)=s'(t)=3t¤ +2at+b yy㉡ㅇ t=3일 때 점 P가 운동 방향을 바꾸므로 t=3일 때 점 P 의 속도 v(3)=0이다.

따라서 ㉡에서ㅇㅇ27+6a+b=0 yy㉢ㅇ

㉠, ㉢을 연립하여 풀면ㅇㅇa=-5, b=3 a=-5, b=3을 ㉡에 대입하면

ㅇㅇv(t)=3t¤ -10t+3=(3t-1)(t-3) 점 P가 운동 방향을 바꾸면 속도 v(t)=0이므로 ㅇㅇ(3t-1)(t-3)=0

ㅇㅇ∴ t= 또는 t=3

따라서 점 P가 t=3 이외에 운동 방향을 바꾸는 시각은 t= 이다.

t초 후의 점 P의 위치가 f(t)=t‹ -9t¤ +24t이므로 속도 를 v(t)라 하면

ㅇㅇv(t)=f '(t)=3t¤ -18t+24

v'(t)를 구하면ㅇㅇv'(t)=6t-18=6(t-3) v'(t)=0인 t의 값은ㅇㅇt=3

1…t…6에서 함수 v(t)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.

함수 v(t)는 t=3에서 극소이면서 최소이고, t=6에서 최대이므로 속력 |v(t)|는 t=6에서 최댓값을 갖는다.

따라서 점 P의 속력의 최댓값은 ㅇㅇ|v(6)|=24

놀이 기구의 t초 후의 속도를 v(t)라 하면 ㅇㅇv(t)=f '(t)=t‹ -3t¤ -9t+1 v '(t)를 구하면

ㅇㅇv '(t)=3t¤ -6t-9=3(t+1)(t-3) v '(t)=0인 t의 값은ㅇㅇt=3 (∵ 1…t…4)

1…t…4에서 함수 v(t)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다 음과 같다.

0 2

9 1

1 3

1 3

8 1

구하는 것은 v(t)의 최대 속력 |v(t)|이므로 t=3일 때 ㅇㅇ|v(3)|=|-26|=26

따라서 놀이 기구의 최대 속력은 26 m/초이고, 그때의 시각은 t=3(초)이다.

ㄱ. 가속도는 속도에 대한 그래프의 접선의 기울기이다. 이 때 1…t…2에서 함수 y=v(t)=2이므로 가속도 a는 ㅇㅇa=v'=0(∴ 참)

ㄴ. t=3과 t=5에서 v=0이므로 출발 후 점 P가 멈춘 곳은 두 곳이다. (∴ 참)

ㄷ. 시각 t에서의 위치를 x라 할 때, 시각 t에서의 점 P 의 위치를 나타내면 다음 그림과 같다.

ㅇㅇ

따라서 t=5일 때, 점 P의 위치는 방향을 바꾼 후 출 발 지점에서 가장 가깝게 된다. (∴ 거짓)

따라서보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

속도 v=0일 때 점 P의 운동 방향은 바뀐다.

이때 속도 v는 시각 t에 따른 위치 x=f(t)의 그래프의 접선의 기울기이다.

따라서 v=0, 즉 접선의 기울기가 0일 때 점 P의 운동 방향이 바뀌므로 점 P가 처음으로 운동 방향을 바꾸는 시 각은 t=b이다.

2 2

5초 후

출발 3초 후

x

1 2

t 1 y 3 y 6

v'(t) - - 0 + +

v(t) 9 ↘ -3

↗ 24

극소

t 1 y 3 y 4

v'(t) - - 0 + +

v(t) -10 ↘ -26

↗ -19

극소

오른쪽 그림과 같이 가로등 A의 바로 밑의 지점을 B라 하고, t초 후에 지 점 B로부터 x m

떨어진 지점 E에 ^E

C

A

B

D 2.5 m

1.5 mx m y m

3 2

23 5 m/초, 3 m/초 24 180 cm¤ /초 25 300 cm‹ /초

유제 pp. 124~125

14

시각에 대한 길이·넓이·부피의 변화율

Ⅱ다항함수의미분법

069

도달했을 때의 머리 끝의 그림자 C와 지점 B 사이의 거리

를 y m라 하자.

이때 그림자는 사람이 점 B를 출발하면서 점점 길어지므 로 그림자 끝이 움직이는 속도와 그림자의 길이의 변화율 을 구하려면 그림자 끝의 위치와 그림자의 길이를 구해야 한다.

따라서 매초 2 m의 속도로 걸으므로 t초 후의 사람의 위 치 x는

ㅇㅇx=2t (m) yy㉠ㅇ

△ABC ª △DEC이므로

ㅇㅇ2.5：y=1.5：( y-x), 1.5y=2.5y-2.5x

ㅇㅇ∴ y=2.5x yy㉡ㅇ

㉠을 ㉡에 대입하면 t초 후의 그림자 끝의 위치 y는 ㅇㅇy=2.5_2t=5t (m) yy㉢ㅇ 따라서 그림자 끝이 움직이는 속도는

ㅇㅇ =5 (m/초)

또 t초 후의 그림자의 길이를 l이라 하면 ㅇㅇl=y-x

=5t-2t=3t (m) (∵ ㉠, ㉢) 따라서 그림자의 길이의 변화율은 ㅇㅇ =3(m/초)

늘어나는 정사각형의 각 변의 길이의 증가 속도는 3 cm/초이므로 t초 후의 정사각형의 한 변의 길이는 ㅇㅇ(15+3t) cm yy㉠ㅇ 정사각형의 넓이 S는

ㅇㅇS=(15+3t)¤ (cm¤ ) 시각 t에 대한 넓이 S의 변화율은

ㅇㅇ =2(15+3t)¥3=18t+90 yy㉡ㅇ 정사각형의 넓이가 900 cm¤ 가 될 때, 한 변의 길이는 30 cm이므로 ㉠에서

ㅇㅇ15+3t=30ㅇㅇ∴ t=5(초)

따라서 t=5일 때, 정사각형의 넓이의 변화율은 ㉡에서 ㅇㅇ18_5+90=180 (cm¤ /초)

길어지는 정육면체의 모서리의 길이의 증가 속도는 1 cm/초이므로 t초 후의 정육면체의 한 모서리의 길이를 x cm라 하면

ㅇㅇx=t (cm) yy㉠ㅇ

정육면체의 부피 V는 ㅇㅇV=t‹ (cm‹ )

5 2

dS dt

4 2

dl dt dy dt

시각 t에 대한 부피 V의 변화율은

ㅇㅇ =3t¤ yy㉡ㅇ

㉠에서 x=10이면 t=10이므로 이때의 부피의 변화율은

㉡에서

ㅇㅇ3¥10¤ =300 (cm‹ /초) dV

dt

f(x)=x‹ -6x¤ +9x-k로 놓으면

ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0인 x의 값은

ㅇㅇx=1 또는 x=3

삼차방정식 f(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 ㅇㅇ(극댓값)_(극솟값)<0

이고 극댓값 또는 극솟값은 f(1) 또는 f(3)이므로 ㅇㅇf(1)f(3)=(4-k)(-k)<0

ㅇㅇ∴ 0<k<4

x› -4x‹ >a-2를 변형하면 ㅇㅇx› -4x‹ -a+2>0 f(x)=x› -4x‹ -a+2로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=4x‹ -12x¤ =4x¤ (x-3) f '(x)=0인 x의 값은

ㅇㅇx=0 또는 x=3

함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 f(x)는 x=3에서 극소이면서 최소이므로 f(x)의 최솟값은

ㅇㅇf(3)=-a-25

따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x)>0이 성립하려면 ㅇㅇ( f(x)의 최솟값)>0

이어야 하므로

ㅇㅇf(3)=-a-25>0 ㅇㅇ∴ a<-25

2 1

1 0<k<4 2 ① 3 ② 4 1<k<8

5 ⑤ 6 ① 7 ⑤ 8 6'3

pp. 126~127

연습 문제

x y 0 y 3 y

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) ↘ -a+2 ↘ -a-25

극소 ↗

정답과해설

070

t시간 후 기름에 오염된 해수면의 넓이 S의 변화율은 ㅇㅇ = t+1

따라서 t=5일 때, 오염된 해수면의 넓이의 변화율은 ㅇㅇ _5+1= (km¤ /시)

주어진 방정식을 변형하면 ㅇㅇ2x‹ -3x¤ -12x+1=k f(x)=2x‹ -3x¤ -12x+1로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=6x¤ -6x-12=6(x+1)(x-2) f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=-1 또는 x=2 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후, 교점의 x좌표가 두 개는 음수, 하나는 양수가 되도록 직선 y=k를 그리면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 실수 k의 값의 범위는 ㅇㅇ1<k<8

① t=d와 t=h에서 v(t)=0이고, t=d와 t=h의 좌 우에서 속도 v(t)의 부호가 바뀌므로 점 P는 운동 방 향을 두 번 바꾼다. (∴ 참)

② 속도 v(t)에 대하여 가속도는 v'(t)이므로 y=v(t) 의 그래프에서 가속도는 y=v(t)의 그래프의 시각 t 에서의 접선의 기울기와 같다.

따라서 t=c일 때 점 P의 가속도는 v'(c)의 값과 같 고, v'(c)<0이므로 가속도는 음의 값이다. (∴ 참)

③ t=b에서 접선의 기울기는 0이므로ㅇㅇv'(b)=0 따라서 t=b에서의 가속도는 0이다. (∴ 참)

④ 0<t…h일 때, t=0에서 t=d까지 한쪽 방향으로 계 속 운동하였으므로 t=d일 때 원점으로부터 가장 멀 리 떨어진 곳에 위치한다. (∴ 참)

⑤ t=d에서부터는 다시 원점 방향으로 이동하지만 어디 에서 원점과 가장 가까워지는지는 알 수 없다. (∴ 거짓) 따라서 보기에서 옳지 않은 것은 ⑤⑤이다.

5

x y y=f(x) y=k

-19 8

-1O

1 2

4

9 4 1

4 1 4 dS

dt

3

곡선 y=x‹ -3a¤ x+2b‹ 이 x축과 서로 다른 두 점에서

만나려면 방정식 x‹ -3a¤ x+2b‹ =0이 중근과 다른 한 실 근을 가져야 한다.

f(x)=x‹ -3a¤ x+2b‹ 으로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -3a¤ =3(x+a)(x-a) f '(x)=0인 x의 값은

ㅇㅇx=-a 또는 x=a

삼차방정식 f(x)=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 ㅇㅇ(극댓값)_(극솟값)=0

이고 a+0이므로 극댓값 또는 극솟값은 f(-a) 또는 f(a)이다.

ㅇㅇ∴ f(-a)f(a)=0

ㅇㅇ(2a‹ +2b‹ )(-2a‹ +2b‹ )=0 ㅇㅇ(a‹ +b‹ )(a‹ -b‹ )=0

ㅇㅇ{(a+b)(a¤ -ab+b¤ )}{(a-b)(a¤ +ab+b¤ )}=0 ㅇㅇ∴ a+b=0 또는 a-b=0

(∵ a¤ -ab+b¤ >0, a¤ +ab+b¤ >0) ㅇㅇ∴ b=-a 또는 b=a

따라서 보기에서 점 (a, b)의 자취를 나타내는 그래프의 개형으로 적당한 것은 ①①이다.

ㄱ. a=b=c이면ㅇㅇf '(x)=(x-a)‹

f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=a

함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 f(x)는 x=a에서 최소이 므로 최솟값은 f(a)이다. 그런데 최솟값 f(a)>0이면 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른 쪽 그림과 같으므로 방정식

f(x)=0의 실근은 존재하지 않는다. (∴ 거짓) ㄴ. a=b+c(a<c)이고 f(a)<0이면

ㅇㅇf '(x)=(x-a)¤ (x-c) f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=a 또는 x=c

함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

x a

y=f(x)

7 6

x y -1 y 2 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 8

↘ -19

극대 극소 ↗

x y a y

f '(x) - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗

x y a y c y

f '(x) - 0 - 0 +

f(x) ↘ ↘ 극소 ↗

Ⅱ다항함수의미분법

071

함수 f(x)는 x=c에서 최소이고, 주어진 조건에서

f(a)<0이므로 함수 f(x)의 최솟값 f(c)는 f(c)<0 이다.

따라서 함수 y=f(x)의 그래프 의 개형은 오른쪽 그림과 같으므 로 방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는다. (∴ 참) ㄷ. a<b<c이면

ㅇㅇf '(x)=(x-a)(x-b)(x-c) f '(x)=0인 x의 값은

ㅇㅇx=a 또는 x=b 또는 x=c

함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

함수 f(x)는 x=a 또는 x=c에서 극소이고 x=b 에서 극대이다.

그런데 주어진 조건에서 극댓값 f(b)<0이므로 함수 y=f(x)의 그래프의 개형은 오른쪽 그림과 같다.

따라서 방정식 f(x)=0은 서로 다른 두 실근을 갖는 다. (∴ 참)

따라서^보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

직선 y= x의 기울기는 이므로 이 직선이 x축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 h라 하면

ㅇㅇtan h= ㅇㅇ∴ h=

이때 점 P에서 직선 y= x에 내린 수선의 발을 H라 하면 △OPH는 직각삼각형이므로 ㅇㅇOH”=OP” cos

= OP” yy`㉠ㅇ

또 ∠OQP+∠QOP= 이므로 ㅇㅇ∠OQP+ =

ㅇㅇ∴ ∠OQP=p 6 p 3 p 6

p 3 '3

2 p 6 '3

3

O y

x p 3 p

6 p 6

P H

Q y='33x p

6 '3

3

'3 3 '3

8

3

x c b a

y=f(x) x c a

y=f(x)

따라서 △OPQ는 이등변삼각형이고 점 P가 t초 동안 움 직인 거리 OP”=t‹ +t¤ +t이므로 점 Q가 t초 동안 움직 인 거리를 g(t)라 하면

ㅇㅇg(t)=OQ”=2OH”='3 OP” (∵ ㉠)

='3(t‹ +t¤ +t) t초 후의 점 Q의 속도는 g '(t)이므로 ㅇㅇg '(t)='3(3t¤ +2t+1)

따라서 원점을 출발한 후 1초가 되는 순간 점 Q의 속도 g '(1)은

ㅇㅇg '(1)=6'3

x y a y b y c y

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

f(x)=ax¤ +bx+c에서 ㅇㅇf '(x)=2ax+b

주어진 조건에서 f(2)=8, f '(0)=1, f '(1)=3이므로 ㅇㅇf(2)=4a+2b+c=8 yy㉠ㅇ ㅇㅇf '(0)=b=1 yy㉡ㅇ ㅇㅇf '(1)=2a+b=3 yy㉢ㅇ

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 ㅇㅇa=1, b=1, c=2 ㅇㅇ∴ a+b+c=1+1+2=4

함수 f(x)가 x=-3에서 극솟값 -1을 가지므로 ㅇㅇf(-3)=-1, f '(-3)=0 yy㉠ㅇ g(x)=x‹ f(x)로 놓으면

ㅇㅇg '(x)=3x¤ f(x)+x‹ f '(x)

x=-3에서 곡선 y=g(x)의 접선의 기울기는 g'(-3) 이므로

ㅇㅇg '(-3)=3¥(-3)¤ ¥f(-3)+(-3)‹ ¥f '(-3)(∵ ㉠)

=-27+0=-27

2 0

1 0

01 ⑤ 02 -27 03 ③ 04 90˘ 05 ④

06 aæ- 07 6 08 ② 09 ⑤

10 ⑤ 11 0…t<2 12 ③ 13 -1 14 -1 15 ④ 16 ⑤ 17 ② 18 ⑤ 19 -2 20 ⑤ 21 ③ 22 12 23 ① 24 ② 25 ④ 26 ③

27 x=0에서 연속이고 미분가능하다. 28 31개 29 16 30 ④ 31 p 32 ① 33 1

28 8

3 7

3

대단원 실전 문제 pp. 128~134

정답과해설

072

f(x)=x‹ -x이므로 f '(a)= 에서

ㅇㅇf '(a)=

= =

=a(a-1) yy㉠ㅇ

f '(x)를 구하면ㅇㅇf '(x)=3x¤ -1

ㅇㅇ∴ f '(a)=3a¤ -1 yy㉡ㅇ

㉠=㉡이므로

ㅇㅇa(a-1)=3a¤ -1, 2a¤ +a-1=0 ㅇㅇ∴ a= (∵ a>-1)

f(x)=x¤ , g(x)=(x-1)¤ 으로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=2x, g'(x)=2(x-1)

두 곡선의 교점의 x좌표를 t라 하면 x=t에서의 함수 f(x), g(x)의 함숫값이 같으므로ㅇㅇf(t)=g(t)

ㅇㅇt¤ =(t-1)¤ , -2t+1=0ㅇㅇ∴ t=

두 곡선 y=f(x), y=g(x)의 x= 에서의 접선의 기울 기를 구하면

ㅇㅇf '{ }=2¥ =1

ㅇㅇg'{ }=2{ -1}=-1 이때 두 곡선의 기울기의 곱

ㅇㅇf '{ }_g'{ }=1_(-1)=-1 이므로 두 접선이 이루는 각의 크기는 90˘이다.

주어진 식의 분자에 a¤ f(a)를 빼고 더하면 ㅇㅇ

ㅇㅇ=

ㅇㅇ=

ㅇㅇ= [ -f(a)]

ㅇㅇ= [ ¥ -f(a)]

ㅇㅇ= ¥ -f(a)

ㅇㅇ=1 af '(a)-f(a) 2

a¤

lim x+a

x⁄a

f(x)-f(a) lim x-a

x⁄a

a¤

x+a f(x)-f(a) lim x-a

x⁄a

a¤ { f(x)-f(a)}

(x-a)(x+a) limx⁄a

a¤ { f(x)-f(a)}-f(a)(x¤ -a¤ ) x¤ -a¤

limx⁄a

a¤ f(x)-a¤ f(a)+a¤ f(a)-x¤ f(a) x¤ -a¤

limx⁄a

a¤ f(x)-x¤ f(a) x¤ -a¤

limx⁄a

5 0

1 2 1

2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

1 2

4 0

1 2

a(a+1)(a-1) a+1 a‹ -a

a+1

a‹ -a-{(-1)‹ +1}

a+1

f(a)-f(-1)

3

a+1

0

^f(x)= x‹ +ax¤ +(a+6)x+3에서

ㅇㅇf '(x)=x¤ +2ax+a+6 f '(x)의 축은

ㅇㅇx=- =-a

함수 f(x)가 열린 구간 (0, 1)에서 증가하므로 다음 그림 과 같이 0<x<1에서 f '(x)æ0이어야 한다.

⁄ -a<0, f '(0)æ0이면

⁄ ㅇㅇa>0, a+6æ0

⁄ ㅇㅇ∴ a>0

¤ -a>1, f '(1)æ0이면

⁄ ㅇㅇa<-1, 3a+7æ0

⁄ ㅇㅇ∴ - …a<-1

‹ f '(x)=0의 판별식을 D라 하면

⁄ ㅇㅇ0…-a…1, =a¤ -a-6…0

⁄ ㅇㅇ∴ -1…a…0, -2…a…3

⁄ ㅇㅇ∴ -1…a…0

⁄, ¤, ‹에 의하여 구하는 a의 값의 범위는

ㅇㅇaæ-함수 f(x)=[ 으로 놓으면

함수 f(x)가 x=1에서 미분가능할 조건은 ㅇㅇ⁄ g(1)=h(1)

ㅇㅇ¤ g '(1)=h'(1) 이때 f '(x)를 구하면 ㅇㅇf '(x)=[

⁄ g(1)=h(1)에 의하여

⁄ ㅇㅇa+b=2 yy㉠ㅇ

¤ g'(1)=h'(1)에 의하여

⁄ ㅇㅇa=4

a=4를 ㉠에 대입하면ㅇㅇb=-2 ㅇㅇ∴ a-b=4-(-2)=6

g '(x)=a (x>1) h'(x)=4x (x<1) g(x)=ax+b (xæ1) h(x)=2x¤ (x<1)

7 0

7 3

D 4 7 3

O 1

y

x x=-a

⁄ ¤

O 1

y

x x=-a

‹ y=f '(x)

y=f '(x) 2a

2¥1 1

6

3

0

Ⅱ다항함수의미분법

073

가 존재한다는 것은 x=a에서의 미분

계수 f '(a)가 존재한다는 의미이므로 집합 A는 x=a에 서 미분계수가 존재하는 a의 집합이다.

또 f(a)= f(x)이면 함수 f(x)는 x=a에서 연속 이므로 집합 B는 x=a에서 연속이 되는 a의 집합이다.

함수 f(x)가 x=a에서 미분가능하면 연속이므로 집합 A의 원소는 모두 집합 B의 원소이지만, 집합 B의 원소 는 모두 집합 A의 원소인 것은 아니다.

ㅇㅇ∴ A,B

다항식 f(x)를 (x+1)¤ 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면

ㅇㅇf(x)=(x+1)¤ Q(x)+ax+b y㉠ㅇ

㉠의 양변에 x=-1을 대입하면 ㅇㅇf(-1)=-a+b

ㅇㅇ∴ a-b=-2 (∵ f(-1)=2) y㉡ㅇ

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면

ㅇㅇf '(x)=2(x+1)Q(x)+(x+1)¤ Q'(x)+a y ㉢ㅇ

㉢의 양변에 x=-1을 대입하면 ㅇㅇf '(-1)=a

ㅇㅇ∴ a=3 (∵ f '(-1)=3) a=3을 ㉡에 대입하면 ㅇㅇ3-b=-2 ㅇㅇ∴ b=5

따라서 구하는 나머지는 ㅇㅇax+b=3x+5

함수 y=f(x)의 그래프 위의 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 각각 A, B라 하면

ㅇㅇA(a, f(a)), B(b, f(b))

ㄱ. 원점과 두 점 A, B를 잇는 직선의 기울기를 각각 구 하면

ㅇㅇ(직선 OA의 기울기)=

ㅇㅇ(직선 OB의 기울기)=

오른쪽 그래프에서 (직선 OA의 기울기)

<(직선 OB의 기울기) ㄱ. ㅇㅇ∴ <

ㅇㅇ(∴ 거짓) f(b)

b f(a)

a

O

A B

y

y=f(x) x

a b

f(a) f(b) f(b)

b f(a)

a

0 1

9 0

limx⁄a

f(x)-f(a) lim x-a

x⁄a

8

0

ㄴ. 직선 AB의 기울기를 구하면

ㅇㅇ(직선 AB의 기울기)=

ㄴ.오른쪽 그래프에서 직선 AB의 기울기는 -1보다 크므로

ㅇㅇ >-1

b-a>0(∵ 0<a<b)이므로 ㅇㅇf(b)-f(a)>a-b (∴ 참)

ㄷ. 두 점 A(a, f(a)), B(b, f(b))에서의 접선의 기울기 를 구하면

ㄴ. ㅇㅇ(점 A에서의 접선의 기울기)= f '(a) ㅇㅇ(점 B에서의 접선의 기울기)= f '(b) 오른쪽 그래프에서 두

점 A, B에서의 접선 의 기울기를 비교하면 ㅇㅇf '(a)< f '(b)

(∴ 참)

따라서보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

시각 t에서 두 점 P, Q의 속도는 ㅇㅇf '(t)=2t-4

ㅇㅇg'(t)=t+3

두 점이 서로 반대 방향으로 움직이므로 ㅇㅇf '(t)g'(t)<0

ㅇㅇ(2t-4)(t+3)<0 ㅇㅇ∴ -3<t<2

그런데 tæ0이므로 구하는 시각 t의 값의 범위는 ㅇㅇ0…t<2

세 점 A, B, C의 x좌표를 각각 a, b, c라 하면 ㅇㅇf(x)=(x-a)(x-b)(x-c)

f '(x)를 구하면

ㅇㅇf '(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)

+(x-a)(x-b) y ㉠ㅇ 점 C에서의 접선의 기울기는 f '(c)이므로 x=c를 ㉠에 대입하면

ㅇㅇf '(c)=(c-a)(c-b)

이때 c-a=AC”, c-b=BC”이므로 점 C에서의 접선 의 기울기는

ㅇㅇf '(c)=AC”¥BC”

2 1

1 1

O A

B y

x

a b

y=f(x) f(b)-f(a)

b-a

y A x O

B

a b

y=f(x)

y=-x f(a)

f(b)

f(b)-f(a) b-a

정답과해설

074

F(x)=f(x)-g(x)로 놓으면

ㅇㅇF(x)=(x‹ -x¤ -x+1)-(-x¤ +2x+a)

=x‹ -3x+1-a F'(x)를 구하면

ㅇㅇF'(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1) F'(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=1 (∵ 0…x…2)`

구간 [0, 2]에서 함수 F(x)의 증가, 감소를 표로 나타내 면 다음과 같다.

함수 F(x)는 x=1에서 극소이면서 최소이므로 함수 F(x)의 최솟값은

ㅇㅇF(1)=-1-a

따라서 구간 [0, 2]에서 F(x)æ0이 성립하려면 ㅇㅇ(F(x)의 최솟값)æ0

이어야 하므로

ㅇㅇF(1)=-1-aæ0ㅇㅇ∴ a…-1 따라서 실수 a의 최댓값은 -1이다.

f(x)=x‹ -x로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3x¤ -1

접점의 x좌표를 t라 하면 접점의 좌표는ㅇㅇ(t, t‹ -t) x=t에서의 접선의 기울기는

ㅇㅇf '(t)=3t¤ -1

따라서 기울기가 3t¤ -1이고 점 (t, t‹ -t)를 지나는 접선 의 방정식은

ㅇㅇy-(t‹ -t)=(3t¤ -1)(x-t) ㅇㅇ∴ y=(3t¤ -1)x-2t‹

이 직선이 점 (1, a)를 지나므로

ㅇㅇa=3t¤ -1-2t‹ㅇㅇ∴ 2t‹ -3t¤ +1+a=0 점 (1, a)에서 곡선 y=x‹ -x에 두 개의 접선을 그을 수 있으므로 삼차방정식 2t‹ -3t¤ +1+a=0은 중근과 다른 한 실근을 갖는다.

g(t)=2t‹ -3t¤ +1+a로 놓으면 ㅇㅇg '(t)=6t¤ -6t=6t(t-1)

g '(t)=0인 t의 값은ㅇㅇt=0 또는 t=1

삼차방정식 g(t)=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 ㅇㅇ(극댓값)_(극솟값)=0

이고 극댓값 또는 극솟값은 g(0) 또는 g(1)이므로 ㅇㅇg(0)g(1)=(1+a)¥a=0

ㅇㅇ∴ a=-1 또는 a=0

따라서 구하는 모든 실수 a의 값의 합은 -1이다.

4 1

3

1

방정식 f(x)=0의 서로 다른 세 실근은 공차가 3인 등차

수열을 이루므로 세 실근을 ㅇㅇa-3, a, a+3

이라 하면 최고차항의 계수가 1인 삼차함수 f(x)는 ㅇㅇf(x)=(x-a+3)(x-a)(x-a-3)

f '(x)를 구하면

ㅇㅇf '(x)=(x-a)(x-a-3)+(x-a+3)(x-a-3) +(x-a+3)(x-a)

=3(x¤ -2ax+a¤ -3)

=3(x-a+'3 )(x-a-'3 ) f '(x)=0인 x의 값은

ㅇㅇx=a-'3 또는 x=a+'3

함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 f(x)의 극댓값과 극솟값의 차는 ㅇㅇf(a-'3 )-f(a+'3 )=6'3-(-6'3 )

=12'3

y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 ㅇㅇx=-3, x=2, x=4

f '(x)의 부호를 조사하여 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타 내면 다음과 같다.

① 함수 f(x)는 x<-3, 2<x<4에서 f '(x)<0이므 로 감소하고, -3<x<2, x>4에서 f '(x)>0이므로 증가한다. (∴ 거짓)

②, ③ f '(-3)=f '(2)=f '(4)=0이고 x=2의 좌우에서 f '(x)의 부호가 양에서 음으로 바뀌므로 x=2에서 극 대이다.

또 x=-3, x=4에서 f '(x)의 부호가 음에서 양으 로 바뀌므로 x=-3, x=4에서 극소이다. (∴ 거짓)

④ 함수 f(x)는 ②, ③에 의하여 3개의 극값을 가진다.

(∴ 거짓)

⑤ 함수 f(x)는 x>4에서 f '(x)>0이므로 증가한다.

(∴ 참) 따라서 보기에서 옳은 것은 ⑤⑤이다.

6 1

5 1

x y a-'3 y a+'3 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 6'3

↘ -6'3

극대 극소 ↗

x y -3 y 2 y 4 y

f '(x) - 0 + 0 - 0 +

f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

x 0 y 1 y 2

F'(x) - - 0 + +

F(x) 1-a ↘ -1-a

↗ 3-a

극소

문서에서 Ⅰ 함수의 극한 (페이지 67-80)