Ⅰ 함수의 극한

(1)

정답과 해설

개 념 편

N o t i o n s . p l u s . T y p e

(2)

⑵ f(x)=x¤ 으로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 x의 값이 한없이 커질 때, f(x) 의 값도 한없이 커진다.

⑴ ㅇㅇ∴ x¤ =¶

⑶ f(x)=x¤ 으로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 위의 ⑵의 그림과 같으므로 x의 값이 음이면서 그 절댓값이 한없 이 커질 때, f(x)의 값도 한없이 커진다.

⑴ ㅇㅇ∴ lim x¤ =¶

x⁄-¶

xlim⁄¶

f(x)=x™

O y

x

정답과해설

002 Ⅰ ^{함수의 극한}

1 함수의 극한

개념check | 1 ⑴ 2 ⑵ 4 ⑶ 0 2 ⑴ ¶ ⑵ ¶ ⑶ ¶

1 ⑴ 3 ⑵ 2 ⑶ 2'2 ⑷ 2

2 ⑴ ¶ ⑵ -¶ ⑶ ¶ ⑷ -¶ 3 ¶

유제 pp. 12~13

⑴ f(x)=x¤ -2로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 x의 값이 2에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 2에 한없 이 가까워진다.

⑴ ㅇㅇ∴ (x¤ -2)=2

⑵ f(x)= =x+2

⑴(x+2)로 놓으면 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림 과 같으므로 x의 값이 2에 한없이 가까워질 때, f(x) 의 값은 4에 한없이 가까 워진다.

⑴ ㅇㅇ∴ =4

⑶ f(x)= 로 놓으면

⑴y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 x의 값이 한없이 커질 때,

f(x)의 값은 0에 한없이 가까워진다.

⑴ ㅇㅇ∴ =0

⑴ f(x)= 로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 x의 값이 0에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값은 한없이 커 진다.

⑴ ㅇㅇ∴ 1 =¶

lim x¤

x⁄0

f(x)=-- O

y

x 1

x™ 1

2

x¤

1 lim x

x⁄¶

f(x)=-

O y

x 1 x 1

x

x¤ -4 lim x-2

x⁄2

x™-4 f(x)=----x-2

O 2 4 2 -2

y

x x¤ -4

x-2 limx⁄2

O 2

-2 2 y

x f(x)=x™

1

-2

⑴ f(x)= =x¤ +x+1(x+1)로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른

쪽 그림과 같으므로 x의 값이 1에 한없이 가까워 질 때, f(x)의 값은 3에 한없이 가까워진다.

⋯ ⋯∴ =3

⑵ f(x)= 로 놓으면

⋯ ⋯f(x)= = =1+

y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같으므로 x 의 값이 2에 한없이 가까 워질 때, f(x)의 값은 2 에 한없이 가까워진다.

⋯ ⋯∴ =2

⑶ f(x)='ƒ2x+6으로 놓 으면 y=f(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으므 로 x의 값이 1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값 은 2'2에 한없이 가까워 진다.

⑶ ㅇㅇ∴ lim'ƒ2x+6=2'2

x⁄1

y

x 2'2

f(x)=' ∂ ∂2x+6

O

-3 1

x lim x-1

x⁄2

O y

x 1

2

2 1

f(x)= x x-1 1 x-1 (x-1)+1

x-1 x

x-1 x x-1

x‹ -1 lim x-1

x⁄1

y

x x£-1

3

O 1

1 1 --2 f(x)=----x-1 x‹ -1

1

x-1

01

^{함수의 극한}

p. 11

(3)

Ⅰ함수의극한

003

⑷ f(x)=2- 로 놓으 면 y=f(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으 므로 x의 값이 음이면 서 그 절댓값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 2 에 한없이 가까워진다.

ㅇㅇ∴ {2- }=2

⑴ f(x)=1+ 로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오 른쪽 그림과 같으므로 x 의 값이 0에 한없이 가 까워질 때, f(x)의 값은 한없이 커진다.

ㅇㅇ∴ {1+ }=¶

⑵ f( x) =2- 로 놓으면 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같으 므로 x의 값이 -1에 한 없이 가까워질 때, f(x) 의 값은 음이면서 그 절댓 값이 한없이 커진다.

⑶ ㅇㅇ∴ [2- ]=-¶

⑶ f(x)=x¤ +3x-2로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 한없이 커질 때, f(x)의 값은 한없이 커진다.

⑶ ㅇㅇ∴ (x¤ +3x-2)=¶

⑷ f(x)=-'ƒ1-x로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 x의 값이 음이면서 그 절댓값 이 한없이 커질 때, f(x) 의 값은 음이면서 그 절댓 값이 한없이 커진다.

⑶ ㅇㅇ∴ lim (-'ƒ1-x)=-¶

x⁄-¶

y x

f(x)=-' ∂ ∂1-x O

1

xlim⁄¶

1 (x+1)¤

xlim⁄-1

O 1 -1

2 y

x

1 (x+1)™ f(x)=2------- 1

(x+1)¤

1 lim x¤

x⁄0

y

O x 1

f(x)=1+1 x² 1

2

x¤

1 lim x¤

x⁄-¶

O 2 y

x 1 x™ f(x)=2--- 1

x¤ f(x)= =| |

로 놓으면 y=f(x)의 그래프

는 y= 의 그래프의

y<0인 부분을 x축에 대하여 대칭이동한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

따라서 x의 값이 -1에 한없이 가까워질 때, f(x)의 값 은 한없이 커진다.

ㅇㅇ∴ 1 =¶

|x+1|

xlim⁄-1

1 x+1

O -1

1 y

x f(x)=---1

|x+1|

1 x+1 1

|x+1|

3

O -2 y

x 3 -2

17 -4 f(x)=x™

+3x-2

개념check | 1 ⑴ 0 ⑵ -¶ ⑶ ¶

⑴ f(x)=x(x-1)로 놓으면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x의 값이 x>1이면서 1에 한없이 가 까워질 때, f(x)의 값은 0 에 한없이 가까워진다.

⑴ ㅇㅇ∴ x(x-1)=0

⑵ f(x)= 로 놓으면

⑴y=f(x)의 그래프는 오른 쪽 그림과 같으므로 x의 값이 x<0이면서 0에 한 없이 가까워질 때, f(x)의 값은 음이면서 그 절댓값 이 한없이 커진다.

⑴ ㅇㅇ∴ =-¶

⑶ f(x)=- 로 놓으 면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x의값이 x<1이면서 1에 한없이 가까워질 때, f(x) 의 값은 한없이 커진다.

⑴ ㅇㅇ∴ - 1 =¶

lim x-1

x⁄1-0

1 x-1

1 lim x

x⁄-0

O

y 1

x

x f(x)=- 1

x

xlim⁄1+0

O 1

y

x f(x)=x(x-1)

1

O 1 y

x f(x)=---1

x-1

02

^{우극한과 좌극한}

p. 15

(4)

정답과해설

004

4 1 5 ②

6 ⑴ 존재하지 않는다.⋯ ⑵ 존재하지 않는다.

7 존재하지 않는다. 8 0

9 ⑴ 1⋯ ⑵ 2⋯ ⑶ 존재하지 않는다.⋯ ⑷ 존재하지 않는다.

10 0 11 -3

유제 ^{pp. 16~18}

오른쪽 y=f(x)의 그래프 에서 x=2에서의 함수

f(x)의 우극한과 좌극한 을 각각 구하면

x ⁄ 2+0일 때,ㅇㅇf(x) ⁄ 1

ㅇㅇ∴ f(x)=1 yy`㉠ㅇ

x ⁄ 2-0일 때,ㅇㅇf(x) ⁄ 1

ㅇㅇ∴ f(x)=1 yy`㉡ㅇ

㉠, ㉡에 의하여

ㅇㅇ f(x)= f(x)=1 ㅇㅇ∴ f(x)=1

주어진 함수 y=f(x)의 그래프를 이용하여 x=0, x=1, x=2, x=3, x=4에서의 극한값을 조사해 본다.

ㅇㅇㅇㅇ

① x=0에서의 함수 f(x)의 우극한을 구하면 x ⁄ +0일 때,ㅇㅇf(x) ⁄ 0

② ㅇㅇ∴ lim_x_⁄+0f(x)=0

② x=1에서의 함수 f(x)의 우극한과 좌극한을 각각 구 하면

x ⁄ 1+0일 때,ㅇㅇf(x) ⁄ 1

② ㅇㅇ∴ lim_x_⁄1+0f(x)=1 yy`㉠ㅇ

②x ⁄ 1-0일 때,ㅇㅇf(x) ⁄ -1

② ㅇㅇ∴ lim_x_⁄1-0f(x)=-1 yy`㉡ㅇ

②㉠, ㉡에 의하여

② ㅇㅇlim_x_⁄1+0 f(x)+ lim_x_⁄1-0 f(x)

②따라서 lim_x_⁄1f(x)의 값은 존재하지 않는다.

O y

3 x

2 4

1 1

-1 2

3 y=f(x)

5

limx⁄2

xlim⁄2-0 xlim⁄2+0

4

y=f(x)

O y

x 1

2 2

③ x=2에서의 함수 f(x)의 우극한과 좌극한을 각각 구 하면

x ⁄ 2+0일 때,ㅇㅇf(x) ⁄ 2

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2+0f(x)=2 yy`㉢ㅇ

②x ⁄ 2-0일 때,ㅇㅇf(x) ⁄ 2

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2-0f(x)=2 yy`㉣ㅇ

②㉢, ㉣에 의하여ㅇㅇlim

x⁄2+0f(x)= lim_x_⁄2-0f(x)=2

② ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2f(x)=2

④ x=3에서의 함수 f(x)의 우극한을 구하면 x ⁄ 3+0일 때,ㅇㅇf(x) ⁄ 0

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄3+0f(x)=0

⑤ x=4에서의 함수 f(x)의 좌극한을 구하면 x ⁄ 4-0일 때,ㅇㅇf(x) ⁄ 3

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄4-0f(x)=3

따라서 보기에서 극한값이 존재하지 않는 것은 ②②이다.

⑴ f(x)= 로 놓 으면 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같 으므로 x=1에서의 함 수 f(x)의 우극한과 좌 극한을 각각 조사하면

⑴ ㅇㅇlim

x⁄1+0f(x)=¶, lim

x⁄1-0f(x)=¶

⑴따라서 x=1에서의 우극한과 좌극한이 존재하지 않으 므로 lim_x_⁄1 의 값은 존재하지 않는다.

⑵ x=3에서의 우극한과 좌극한을 각각 구하면 x ⁄ 3+0일 때, x>3이므로

ㅇㅇ|x-3|=x-3 ㅇㅇ∴ lim_x_⁄3+0 = lim

x⁄3+0

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄3-0 = lim

x⁄3+0x=3 y`㉠ㅇ

x ⁄ 3-0일 때, x<3이므로 ㅇㅇ|x-3|=-(x-3) ㅇㅇ∴ lim_x_⁄3-0 = lim

x⁄3-0

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄3-0 = lim

x⁄3-0(-x)=-3 y`㉡ㅇ

㉠, ㉡에 의하여 ㅇㅇlim

x⁄3+0 +lim

x⁄3-0

따라서 lim_x_⁄3 x¤ -3x의 값은 존재하지 않는다.

|x-3|

x¤ -3x

|x-3|

x¤ -3x

|x-3|

x(x-3) -(x-3) x¤ -3x

|x-3|

x(x-3) x-3 x¤ -3x

|x-3|

1 (x-1)¤

O 1

1 y

x f(x)= 1

(x-1)™ 1

(x-1)¤

6

(5)

Ⅰ함수의극한

005

주어진 함수 f(x)의 그래프는 오

른쪽 그림과 같다.

x=1에서의 함수 f(x)의 우극 한과 좌극한을 각각 구하면 ㅇㅇ` lim

x⁄1+0f(x)= lim

x⁄1+0(x+1)

=2 yy㉠ㅇ

ㅇㅇ lim

x⁄1-0f(x)= lim

x⁄1-0{1- }

=0 yy㉡ㅇ

㉠, ㉡에 의하여

ㅇㅇ` lim_x⁄1+0f(x)+ lim_x⁄1-0f(x) 따라서 lim

x⁄1f(x)의 값은 존재하지 않는다.

x=2에서의 우극한과 좌극한을 각각 구하면 x ⁄ 2+0일 때, x>2이므로

ㅇㅇ|x-2|=x-2

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2+0 = lim

x⁄2+0

= lim

x⁄2+0(x-3)

=-1 ㅇㅇ∴ a=-1

x ⁄ 2-0일 때, x<2이므로 ㅇㅇ|x-2|=-(x-2) ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2-0 = lim

x⁄2-0

= lim

x⁄2-0{-(x-3)}

=1 ㅇㅇ∴ b=1

ㅇㅇ∴ a+b=0

⑴ 가우스 기호의 성질에 의하여 1<x+1<2, 즉 0<x<1이면

⑴ ㅇㅇ[x+1]=1

⑴ ㅇㅇ∴ lim_x_⁄+0 = lim

x⁄+0(x+1)

=1

⑵ 가우스 기호의 성질에 의하여

-2…x-1<-1, 즉 -1…x<0이면

⑴ ㅇㅇ[x-1]=-2

⑴ ㅇㅇ∴ lim_x⁄-0 = lim

x⁄-0

=2 -2 x-1 [x-1]

x-1 x+1 [x+1]

9

(x-2)(x-3) -(x-2) x¤ -5x+6

|x-2|

(x-2)(x-3) (x-2) x¤ -5x+6

|x-2|

8

1 x¤

y

x y=f(x) 1O

1 -1

3 2 2

7

⑶ 가우스 기호의 성질에 의하여

1<x+1<2, 즉 0<x<1이면

⑴ ㅇㅇ[x+1]=1 yy`㉠ㅇ

⑴0…x+1<1, 즉 -1…x<0이면

⑴ ㅇㅇ[x+1]=0 yy`㉡ㅇ

⑴㉠에 의하여

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄+0 = lim

x⁄+0 =1

⑴㉡에 의하여

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄-0 = lim

x⁄-0 =0

⑴ ㅇㅇ∴ lim

x⁄+0 +lim

x⁄-0

⑴따라서 lim_x_⁄0 의 값은 존재하지 않는다.

⑷ 가우스 기호의 성질에 의하여 -1<x-1<0, 즉 0<x<1이면

⑴ ㅇㅇ[x-1]=-1 yy`㉠ㅇ

⑴-2…x-1<-1, 즉 -1…x<0이면

⑴ ㅇㅇ[x-1]=-2 yy`㉡ㅇ

⑴㉠에 의하여

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄+0 = lim

x⁄+0 =1

⑴㉡에 의하여

⑴ ㅇㅇlim

x⁄-0 = lim

x⁄-0 =

⑴ ㅇㅇ∴ lim_x_⁄+0 +lim

x⁄-0

⑴따라서 lim_x_⁄0 의 값은 존재하지 않는다.

``f(x)= 로 놓으면, 가우스 기호의 성질에 의하여 0…x<1이면 [x]=0

1<x<2이면 [x]=1

또한 xæ-1이면 |x+1|=x+1 ㅇㅇ∴ f(x)= (0…x<1)

0 (1…x<2) ㅇㅇ∴ lim

x⁄1+0 =0

`lim_x_⁄2f(x)의 값이 존재하기 위해서는 x=2에서의 우극한과 좌극한이 일치해야 한다.

따라서 x=2에서의 함수 f(x)의 우극한과 좌극한을 각 각 구하면

1 1

[x]-1

|x+1|

-1 ( x+1 { 9 [x]-1

|x+1|

0 1

x-1 [x-1]

1 2 x-1

-2 x-1

[x-1]

x-1 -1 x-1

[x-1]

[x+1]

x+1

[x+1]

x+1 [x+1]

x+1

0 x+1 [x+1]

x+1

1 x+1 [x+1]

x+1

(6)

정답과해설

006

2<x<3일 때,ㅇㅇ[x]=2

⋯ ⋯∴ lim

x⁄2+0[x]=2

⋯ ⋯∴ lim

x⁄2+0([x]¤ +a[x])=4+2a yy㉠ㅇ 1…x<2일 때,ㅇㅇ[x]=1

ㅇㅇ∴ lim

x⁄2-0[x]=1

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2-0([x]¤ +a[x])=1+a yy㉡ㅇ

㉠=㉡이므로

ㅇㅇ4+2a=1+a⋯ ⋯∴ a=-3

개념check | 1 ⑴ 2⋯ ⑵ -1

2 ⑴ -6⋯ ⑵ 13⋯ ⑶ 18⋯ ⑷ 3

⑴ lim_x⁄-1(x-1)(3x+2)=lim_x⁄-1(3x¤ -x-2)

=3 lim

x⁄-1x¤ -lim

x⁄-1x-lim

x⁄-12

=3+1-2

=2

⑵ lim

x⁄-2 =

=

=-1

⑴ lim

x⁄a{-2 f(x)}=-2lim

x⁄af(x)

⑴ lim

x⁄a{-2 f(x)}=-2¥3

=-6

⑵ lim_x⁄a{3 f(x)+2g(x)}=3lim_x⁄af(x)+2lim

x⁄ag(x)

⑷ lim

x⁄a{3 f(x)+2g(x)}=3¥3+2¥2

=13

⑶ lim

x⁄a{3 f(x)g(x)}=3lim

x⁄af(x)¥lim

x⁄ag(x)

⑵ lim

x⁄a{3 f(x)g(x)}=3¥3¥2

=18

⑷ lim

x⁄a =2¥ =2¥;2#;=3 lim

x⁄af(x) lim

x⁄ag(x) 2f(x)

g(x)

2

-6+1 4+1 3 lim

x⁄-2x+lim

x⁄-21 lim

x⁄-2x¤ +lim

x⁄-21 3x+1

x¤ +1

1

12 -2 13 14 ⑴ -2⋯ ⑵ -1⋯ ⑶ 2⋯ ⑷ 2

15 12 16 ⑴ ⋯ ⑵ 0⋯ ⑶ 1⋯ ⑷ -

17 ⑴ 1⋯ ⑵ 2 18 12 19 ⑴ - ⋯ ⑵

20 ⑴ -1⋯ ⑵ 21 1 2 1

18

1 5 1 4 2 5 1

2 1 2

유제 ^{pp. 20~25}

주어진 식을 변형하면 ㅇㅇlim_x_⁄¶

ㅇㅇ=lim_x_⁄¶

ㅇㅇ=

(∵ lim_x_⁄¶f(x)=1, lim_x_⁄¶{ f(x)-2g(x)}=3) ㅇㅇ=-2

주어진 식을 변형하면 ㅇㅇlim_x_⁄1 =lim

x⁄1

=limx⁄1 ¥lim

x⁄1

= lim

x⁄1

이때 x-1=t로 치환하면 x=t+1이고, x ⁄ 1일 때 t ⁄ 0이므로

⋯ ⋯ lim

x⁄1 = lim

t⁄0

= lim

x⁄0

= ¥1=

⑴ 분모, 분자에 x=-1을 대입하면 꼴이므로 분모, 분자를 인수분해하면

ㅇㅇlim

x⁄-1 = lim

x⁄-1

⑴분모, 분자를 0으로 하는 공통인수 x-1, x+1을 약 분한 후 x=-1을 대입하면

ㅇㅇlim

x⁄-1 = lim

x⁄-1(x-1)=-2 (x-1)¤ (x+1)

(x+1)(x-1)

(x-1)¤ (x+1) (x+1)(x-1) x‹ -x¤ -x+1

x¤ -1

0

4

0

1

1 2 1 2

f(x) x 1 2

f(t) t 1 2 f(x-1)

x-1 1

2

f(x-1) x-1 1

2

1 x+1 f(x-1)

x-1 f(x-1) (x+1)(x-1) f(x-1)

x¤ -1

3 1

4¥1+2¥3 1-2¥3

4 f(x)+2{ f(x)-2g(x)}

f(x)-2{ f(x)-2g(x)}

6 f(x)-4g(x) -f(x)+4g(x)

2 1

03

^{함수의 극한의 성질}

p. 19

(7)

Ⅰ함수의극한

007

⑵ 분모, 분자에 x=-2를 대입하면 꼴이므로 분모, 분자를 인수분해하면

⋯ ⋯ lim

x⁄-2

= lim_x⁄-2

⑴분모, 분자를 0으로 하는 공통인수 x+2를 약분한 후 x=-2를 대입하면

ㅇㅇlim

x⁄-2

= lim

x⁄-2 = =-1

⑶ 분모, 분자에 x=0을 대입하면 꼴이므로 분모를 유리화하면

ㅇㅇlim_x_⁄0 =lim

x⁄0

=limx⁄0

⑴분모, 분자를 0으로 하는 공통인수 x¤ 을 약분한 후 x=0을 대입하면

ㅇㅇlim_x_⁄0 =lim_x_⁄0(1+"√1-x¤ )

=1+1=2

⑷ 분모, 분자에 x=-1을 대입하면 꼴이므로 분모, 분자를 각각 유리화하면

ㅇㅇlim

x⁄-1

=limx⁄-1

⑴분모, 분자를 0으로 하는 공통인수 x+1을 약분한 후 x=-1을 대입하면

ㅇㅇlim

x⁄-1

=limx⁄-1 = =2

분모, 분자에 x=-8을 대입하면 꼴이므로 분모를 유 리화하여 극한값을 구하면

0

5

0

1

4+4 2+2 'ƒx+17+4

'ƒx+5+2 (x+1)('ƒx+17+4)

(x+1)('ƒx+5+2) (x+1)('ƒx+17+4)

(x+1)('ƒx+5+2)

('ƒx+5-2)('ƒx+5+2)('ƒx+17+4) ('ƒx+17-4)('ƒx+17+4)('ƒx+5+2) 'ƒx+5-2

'ƒx+17-4

0 0 x¤(1+"√1-x¤ )

x¤

x¤(1+"√1-x¤ ) x¤

x¤(1+"√1-x¤ ) (1-"√1-x¤ )(1+"√1-x¤ ) x¤

1-"√1-x¤

0 0 5 -5 3x¤ +x-5

2x-1

(x+2)(3x¤ +x-5) (x+2)(2x-1) (x+2)(3x¤ +x-5)

(x+2)(2x-1) 3x‹ +7x¤ -3x-10

2x¤ +3x-2

0

0 ㅇㅇlim

x⁄-8 = lim

x⁄-8

= lim

x⁄-8

ㅇㅇ lim_x_⁄-8 = lim

x⁄-8( ‹øx¤μ -2 ‹'x+4) ㅇㅇ lim_x_⁄-8 =‹'6å4-2 ‹'∂-8+4=12

⑴ 꼴이므로 분모의 최고차항인 x¤ 으로 분모, 분자 를 나누면

⋯ ⋯ lim_x_⁄¶ =lim

x⁄¶

= =;2!;

⑵ x=-t로 치환하면 t=-x이고, x ⁄ -¶일 때 t ⁄ ¶이므로

ㅇㅇlim

x⁄-¶ =lim

t⁄¶

⑴ 꼴이므로 분모의 최고차항인 t¤ 으로 분모, 분자를 나누면

⑴ ㅇㅇlim_t_⁄¶ =lim

t⁄¶

= =0

⑶ 꼴이므로 분모의 최고차항인 x로 분모, 분자를 나누면

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄¶ =lim

x⁄¶

= =1

⑷ x=-t로 치환하면 t=-x이고, x ⁄ -¶일 때 t ⁄ ¶이므로

⑴ ㅇㅇlim

x⁄-¶ =lim

t⁄¶

⑴ 꼴이므로 분모의 최고차항인 t로 분모, 분자를 나 누면

⑴ ㅇㅇlim_t_⁄¶ =lim

t⁄¶ -2 =-;5@;

-2t øtπ¤ +1+4t

¶

-2t øtπ¤ +1 +4t 2x

øxπ¤ +1-4x 1 '0∂+1-0

1 x

ø1π+x¤ -1

¶

-0+0 2-0+0 -t+3

2t¤ -t+5

¶

-t+3 2t¤ -t+5 x+3

2x¤ +x+5

1-0+0 2+0 x¤ -x+2

2x¤ +3

¶

6

¶

1

(x+8)(‹øx¤μ -2 ‹'x+4) x+8

(x+8)(‹øx¤μ -2 ‹'x+4) (‹'x+2)(‹øx¤μ -2 ‹'x+4) x+8

‹'x+2

1- + 2+ 3 x¤

2 x¤

1 x

Æ¬ +1-1 x 1

x¤

- +

2- + 5 t¤

1 t

3 t¤

1 t

Æ1¬+1+4 t¤

(8)

정답과해설

008

⑴ 무리식이 들어 있는 ¶-¶ 꼴이므로 분모, 분자를 각 각 유리화하여 꼴로 변형하면

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄¶

= lim

x⁄¶

⑴ ㅇㅇ= lim

x⁄¶

= lim

x⁄¶

= =1

⑵ ㅇㅇ` lim_x_⁄-¶(øxπ¤ -4x+3+x)=lim_t_⁄¶(øt¤π +4t+3-t)

⑵무리식이 들어 있는 ¶-¶ 꼴이므로 분자를 유리화 하여 꼴로 변형하면

⑵ ㅇㅇlim

t⁄¶(øt¤π +4t+3-t)

⑵ ㅇㅇ=lim

t⁄¶

=limt⁄¶

=limt⁄¶ = =2

무리식이 들어 있는 ¶-¶ 꼴이므로 분자를 유리화하여 꼴로 변형하면

ㅇㅇlim

x⁄¶(øx¤π +ax-øx¤π -ax ) ㅇㅇ= lim

x⁄¶

ㅇㅇ= lim

x⁄¶

ㅇㅇ= lim

x⁄¶

ㅇㅇ= lim

x⁄¶ = =a=4

ㅇㅇ∴ 3a=12

2a 1+1 2a

2ax øxπ¤ +ax+øxπ¤ -ax

(x¤ +ax)-(x¤ -ax) øxπ¤ +ax+øxπ¤ -ax

(øxπ¤ +ax-øxπ¤ -ax )(øxπ¤ +ax+øxπ¤ -ax ) øxπ¤ +ax+øxπ¤ -ax

¶

8 1

4 1+1 4t+3

øtπ¤ +4t+3+t

(øtπ¤ +4t+3-t)(øtπ¤ +4t+3+t) øtπ¤ +4t+3+t

¶

¶ 1+1 1+1

'ƒx+1+'x 'ƒx+2+'ƒx+1

('ƒx+2-'ƒx+1)('ƒx+2+'ƒx+1)('ƒx+1+'x) ('ƒx+1-'x)('ƒx+1+'x)('ƒx+2+'ƒx+1) 'ƒx+2-'ƒx+1

'ƒx+1-'x

¶

7 1

æ1≠+ +'1 æ1≠+ +æ1≠+1

x 2

x 1 x

⑴ 주어진 식에 x=0을 대입하면 ¶_0 꼴이므로 - 을 변형하면

ㅇㅇlim_x_⁄0 [ - ]

⑴ ㅇㅇ=lim_x_⁄0 ¥

=limx⁄0

=-

⑵ 주어진 식에 x=0을 대입하면 ¶_0 꼴이므로 - 을 변형하면

ㅇㅇlim_x_⁄0 { - }

ㅇㅇ=lim_x_⁄0 ¥ ㅇㅇ=lim_x⁄0 ¥

ㅇㅇ=lim_x_⁄0

ㅇㅇ=

⑴ 무리식이 들어 있는 ¶_0 꼴이므로 1- 를 변형하면

⋯ ⋯ lim_x_⁄¶x {1- }

=limx⁄¶x¥

=limx⁄¶x¥

=limx⁄¶

⑴⋯ ⋯ =lim

x⁄¶

⑴⋯ ⋯ =

⑴⋯ ⋯ =-1 -2 1+1

-2 -2x x+øxπ¤ +2x

-2x 'x('x+'ƒx+2 )

('x-'ƒx+2)('x+'ƒx+2) 'x('x+'ƒx+2 ) 'x-'ƒx+2

'x 'ƒx+2 'x

'ƒx+2

0

'x

2

1 5

1 5-'5x

x '5 ('5-x) 1

x

'5-('5-x) '5 ('5-x) 1

x

1 '5 1 '5-x 1 x 1 '5 1 '5-x

1 4

-x-4 4(x+2)¤

-x(x+4) 4x(x+2)¤

4-(x+2)¤

4(x+2)¤

1 x

1 4 1 (x+2)¤

1 x

1 4 1 (x+2)¤

9 1

1+Æ1¬+2 x 4+

Æ1¬+ +3+1 t¤

4 t

3 t

Æ1¬+ +Æ1¬-a x a

x

(9)

Ⅰ함수의극한

009

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄-¶x¤ { + }

⑴ ㅇㅇ=lim

t⁄¶t¤ { - }

⑴무리식이 들어 있는 ¶_0 꼴이므로 - 를 변형하면

⑴ ㅇㅇlim

t⁄¶t¤ { - }

⑴ ㅇㅇ=lim

t⁄¶t¤ ¥

⑴ ㅇㅇ=lim

t⁄¶t¤ ¥

⑴ ㅇㅇ=lim

t⁄¶

⑴ ㅇㅇ=lim

t⁄¶

⑴ ㅇㅇ=lim

t⁄¶

⑴ ㅇㅇ= =;1¡8;

점 P는 곡선 y='x 위의 점 이므로 점 P의 좌표를 ㅇㅇP(x, 'x )

로 놓으면 오른쪽 그림에서 점 Q의 좌표는

ㅇㅇQ(x, 1)

ㅇㅇ∴ PQ”=|'x-1|

ㅇㅇ∴ AQ”=|x-1|

P ⁄ A일 때, x ⁄ 1이므로 ㅇㅇlim

P⁄A =lim

x⁄1

=limx⁄1

=limx⁄1

=limx⁄1

=1 2

1

|'x+1|

|x-1|

|(x-1)('x+1)|

|('x-1)('x+1)|

|(x-1)('x+1)|

|'x-1|

|x-1|

PQ”

AQ”

1 2

1 9+9

1 t¤

9t¤ +3+ø8π1t› +27t¤

3t¤

3 (9t¤ +3+3tø9πt¤ +3) (ø9πt¤ +3-3t)(ø9πt¤ +3+3t)

3ø9πt¤ +3 (ø9πt¤ +3+3t) ø9πt¤ +3-3t

3ø9πt¤ +3 t ø9πt¤ +3 1

3

t ø9πt¤ +3 1

3 t

ø9πt¤ +3 1

3 x ø9πx¤ +3 1

3

9+ +æ81≠+27 t¤

3 t¤

22 ⑴ a=4, b=3⋯ ⑵ a=2, b=- 23 36 24 a=1, b=-10, c=8 25 14 26 -3

1 4

유제 ^{pp. 26~28}

⑴ x ⁄ -1일때 (분모) ⁄ 0이고, 극한값이존재하므로

⑴ ㅇㅇ(분자)⁄ 0 Δ lim

x⁄-1(x¤ +ax+b)=0

⑴ ㅇㅇ∴ 1-a+b=0⋯ ⋯∴ b=a-1 yy㉠

⑴㉠을 주어진 식에 대입하면

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄-1 =2

⑴ ㅇㅇlim

x⁄-1 =2

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄-1(x+a-1)=2

⑴ ㅇㅇ∴ a-2=2⋯ ⋯∴ a=4

⑴이를 ㉠에 대입하면⋯ ⋯b=3

⑵ x ⁄ 1일 때 (분자) ⁄ 0이고, 0이 아닌 극한값이 존재 하므로

⑴ ㅇㅇ(분모)⁄ 0 Δ lim

x⁄1('ƒa-x-'x )=0

⑴ ㅇㅇ∴ 'ƒa-1-1=0⋯ ⋯∴ a=2⋯

⑴이를 주어진 식에 대입하면

⑴ ㅇㅇlim

x⁄1 =b

limx⁄1 =b

⑴ ㅇㅇ∴ b=-

limx⁄1 = 에서 x ⁄ 1일 때 (분자) ⁄ 0이고, 0이 아닌 극한값이 존재하므로

ㅇㅇ(분모)⁄ 0 Δ lim

x⁄1f(x)=0 ㅇㅇlim_x⁄1(x‹ +ax¤ +bx)=0

ㅇㅇ∴ 1+a+b=0ㅇㅇ∴ b=-a-1 yy㉠⋯

㉠을 f(x)=x‹ +ax¤ +bx에 대입하면 ㅇㅇf(x)=x‹ +ax¤ -(a+1)x

=x(x-1)(x+a+1) 1

4 x-1

3

f(x)

2

1 4 '2ƒ-x+'x -2('ƒx+3+2)

(x-1)('2ƒ-x+'x ) 2(1-x)('ƒx+3+2)

('ƒx+3-2)('ƒx+3+2)('ƒ2-x+'x ) ('ƒ2-x-'x )('ƒ2-x+'x )('ƒx+3+2)

'ƒx+3-2 'ƒ2-x-'x

(x+1)(x+a-1) x+1 x¤ +ax+a-1

x+1

2 2

O

P(x, 'x)

Q(x, 1) A(1, 1)

1 1 y

x x

y='x

04

^{함수의 극한의 응용}^{- 미정계수의 결정}

(10)

정답과해설

010

ㅇㅇ(분자)⁄ 0 Δ lim

x⁄0(2x‹ +x¤ +ax+b)=0 ㅇㅇ∴ b=0

이를 ㉠에 대입하면

ㅇㅇlim_x_⁄0 =-3

ㅇㅇlim_x_⁄0(2x¤ +x+a)=-3ㅇㅇ∴ a=-3 ㅇㅇ∴ f(x)=2x‹ +x¤ -3x

ㅇㅇ∴ f(2)=16+4-6=14

xlim⁄¶ =3은 x ⁄ ¶일 때, 극한값이 존재하므로 ㅇㅇ(분모의 차수)=(분자의 차수)

또한 극한값이 3이므로 f(x)는 최고차항의 계수가 3인 이차식이다.

ㅇㅇ∴ a=0, b=3ㅇㅇ∴ f(x)=3x¤ +cx+d

`lim_x_⁄4 =2에 두 함수 f(x), g(x)의 식을 대입하면

ㅇㅇlim_x_⁄4 =2 yy㉠ㅇ 이때 x ⁄ 4일때 (분모) ⁄ 0이고, 극한값이존재하므로 ㅇㅇ(분자)⁄ 0 Δ lim

x⁄4(3x¤ +cx+d)=0

ㅇㅇ∴ d=-4c-48 yy㉡ㅇ 이를 ㉠에 대입하면

ㅇㅇlim_x_⁄4 =2

ㅇㅇlim_x_⁄4 =2, =2 ㅇㅇ∴ c=-14, d=8 (∵ ㉡) ㅇㅇ∴ f(x)=3x¤ -14x+8

⋯ ⋯∴ f(1)=3-14+8=-3 24+c

5 3x+c+12

x+1

(x-4)(3x+c+12) (x-4)(x+1) 3x¤ +cx-4c-48

x¤ -3x-4 3x¤ +cx+d

x¤ -3x-4 f(x)

g(x) f(x)

6

g(x)

2

2x‹ +x¤ +ax x

⑴ 모든 실수 x에 대하여

⑴ ㅇㅇ-1…cos x…1

⑴x ⁄ ¶일 때, x>0이므로 양변을 x로 나누면

⑴ ㅇㅇ- … …1 x cos x

x 1 x

7 2

27 ⑴ 0⋯ ⑵ 0 28 2

유제 ^{p. 29}

이를 주어진 등식에 대입하면 ㅇㅇlim

x⁄1 =

ㅇㅇlim

x⁄1 =

ㅇㅇlim

x⁄1 =

ㅇㅇ∴ = ⋯ ⋯∴ a=2 이를 ㉠에 대입하면⋯ ⋯b=-3 ㅇㅇ∴ f(x)=x‹ +2x¤ -3x ㅇㅇ∴ f(3)=3‹ +2¥3¤ -3¥3=36

limx⁄2 =6에서 x ⁄ 2일 때, (분모) ⁄ 0이고, 극한 값이 존재하므로

ㅇㅇ(분자)⁄ 0 Δ lim

x⁄2 f(x)=0

이때 f(2)=0이므로 f(x)는 x-2를 인수로 가진다.

또 주어진 조건에서 f(x)는 x-1을 인수로 가지므로 f(x)는 x-1, x-2를 인수로 가진다.

따라서 삼차함수 f(x)를

ㅇㅇf(x)=(x-1)(x-2)(x-a)(a는 상수) yy`㉠ㅇ 라 하면

ㅇㅇlim

x⁄2 =6

ㅇㅇlim

x⁄2 =6

ㅇㅇlim

x⁄2(x-1)(x-a)=6 ㅇㅇ∴ 2-a=6ㅇㅇ∴ a=-4 이를 ㉠에 대입하면

ㅇㅇf(x)=(x-1)(x-2)(x+4) ㅇㅇ∴ f(x)=x‹ +x¤ -10x+8

이를 f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c와 비교하면 ㅇㅇa=1, b=-10, c=8

Ⅰ은 x ⁄ ¶일 때, 극한값이 존재하므로 ㅇㅇ(분모의 차수)=(분자의 차수)

또한 극한값은 1이므로 f(x)-2x‹ 은 최고차항의 계수가 1인 이차식이다.

따라서 f(x)-2x‹ =x¤ +ax+b`(a, b는 상수)라 하면 ㅇㅇf(x)=2x‹ +x¤ +ax+b

이를 Ⅱ에 대입하면 ㅇㅇlim

x⁄0 =-3 yy`㉠ㅇ

이때 x ⁄ 0일 때 (분모) ⁄ 0이고, 극한값이 존재하 므로

2x‹ +x¤ +ax+b x

5 2

(x-1)(x-2)(x-a) x-2 f(x) x-2 f(x)

4

x-2

2

1 4 1 a+2

1 4 1

x(x+a+1)

1 4 x-1

x(x-1)(x+a+1) 1 4 x-1

f(x)

05

함수의 극한의 대소 관계

(11)

주어진 함수 y=f(x)의 그래프를 이용하여 x=-3, x=1, x=2, x=3에서의 극한값을 조사해 본다.

⁄ x=-3에서의 함수 f(x)의 우극한과 좌극한을 각각 구하면

⁄ ㅇㅇ⋯ lim_x_⁄-3+0f(x)=2, ⋯ lim_x_⁄-3-0f(x)=2

⁄ ㅇㅇ∴ ⋯lim_x_⁄-3+0f(x)=⋯lim_x_⁄-3-0f(x)=2

⁄ ㅇㅇ∴ ⋯lim_x⁄-3f(x)=2⋯ ⋯◀ ㄷ

¤ x=1에서의 함수 f(x)의 우극한과 좌극한을 각각 구 하면

⁄ ㅇㅇ⋯lim_x_⁄1+0f(x)=-1, ⋯ lim_x_⁄1-0f(x)=-1

⁄ ㅇㅇ∴ ⋯lim_x_⁄1+0f(x)=⋯lim_x_⁄1-0f(x)=-1

⁄ ㅇㅇ∴ lim_x_⁄1f(x)=-1⋯ ⋯◀ ㄴ

‹ x=2에서의 함수 f(x)의 우극한과 좌극한을 각각 구 하면

⁄ ㅇㅇ⋯lim_x_⁄2+0f(x)=3^⋯⋯^{◀ ㅁ}

⁄ ㅇㅇ⋯lim_x_⁄2-0f(x)=2^⋯⋯^{◀ ㄹ}

⁄ ㅇㅇ∴ ⋯lim_x_⁄2+0f(x)+⋯lim_x_⁄2-0f(x)

⁄ 따라서 lim_x⁄2f(x)의 값은 존재하지 않는다. ◀ ㅂ

› x=3에서의 그래프는 연결되어 있으므로 극한값이 존 재하고 그 값은 함숫값 f(3)과 같다. ◀ ㄱ

따라서보기에서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㄹ, ㅁ으로 모두 5개이다.

ㄱ. x=2에서의 우극한과 좌극한을 각각 구하면 ㄱ. 2<x<3일 때,ㅇㅇ[x]=2

ㄱ. ㅇㅇlim

x⁄2+0( [x]-1)=2-1=1 yy`㉠ㅇ ㄱ.1…x<2일 때,ㅇㅇ[x]=1

ㄱ. ㅇㅇlim

x⁄2-0( [x]-1)=1-1=0 yy`㉡ㅇ ㄱ. ㉠, ㉡에 의하여

ㄱ. ㅇㅇlim

x⁄2+0( [x]-1)+ lim_x_⁄2-0( [x]-1) ㄱ. 따라서 lim_x_⁄2( [x]-1)의 값은 존재하지 않는다.

ㄴ. x=0에서의 우극한과 좌극한을 각각 구하면 x ⁄ +0일 때, x>0이므로ㅇㅇ|x|=x

3

y

y=f(x) x 2

3

1

-3 O

-1

3 2

2

Ⅰ함수의극한

011

⑴이때 lim

x⁄¶{- }=lim_x_⁄¶ =0이므로

⑴ ㅇㅇlim

x⁄¶ =0

⑵ x+0인 모든 실수 x에 대하여

⑴ ㅇㅇ-1…cos …1

⑵x ⁄ 0일 때, x¤ >0이므로 양변에 x¤ 을 곱하면

⑴ ㅇㅇ-x¤ …x¤ cos …x¤

⑴이때 lim_x_⁄0(-x¤ )=lim_x_⁄0x¤ =0이므로

⑴ ㅇㅇlim

x⁄0x¤ cos =0

<f(x)< 에서

ㅇㅇlim

x⁄¶ =lim

x⁄¶ =2

ㅇㅇ∴ lim

x⁄¶f(x)=2

2x¤ +5x x¤

2x-3 x

2x¤ +5x x¤

2x-3

8

x

2

1 x

1 x 1 x cos x

x

1 x 1

x

1 ④ 2 ④ 3 ③ 4 2 5 ④

6 7 ⑤ 8 1 9 ① 10 ②

11 ③ 12 ⑤ 13 2 14 ⑤ 1

3

pp. 30~33

연습 문제

각각의 극한값을 구하여 비교하면

① lim_x⁄0(x¤ -3x+1)=0-3¥0+1=1

② lim

x⁄¶ =lim

x⁄¶ =;2!;

③ lim_x_⁄3'ƒx+1='4=2

④ lim_x⁄2 =lim

x⁄2

=limx⁄2(x+2)

=4

⑤ f(x)= 로 놓으면 y=f(x) 의 그래프는 오른쪽 그림과 같 으므로

ㅇㅇlim

x⁄-¶ =0

따라서 보기에서 극한값이 가장 큰 것은 ④④이다.

1 x

O y

f(x)=-

x 1 x 1

x

(x-2)(x+2) x-2 x¤ -4

x-2 x¤ -3x+1

2x¤ +1

1

1- + 2+ 1 x¤

1 x¤

3 x

(12)

정답과해설

012

ㅇㅇlim

x⁄+0 = lim

x⁄+0

= lim

x⁄+0x¤ =0 yy`㉠ㅇ ㄱ.x ⁄ -0일 때, x<0이므로ㅇㅇ|x|=-x

ㅇㅇlim

x⁄-0 = lim

x⁄-0

= lim

x⁄-0(-x¤ )=0 yy`㉡ㅇ ㄱ.㉠, ㉡에 의하여

ㄱ. ㅇㅇlim

x⁄+0 = lim

x⁄-0 =0

ㄱ. ㅇㅇ∴ lim_x_⁄0 =0

ㄷ. lim_x_⁄9 =lim

x⁄9

=limx⁄9

=

ㄹ. x=1에서의 우극한과 좌극한을 각각 구하면 ㄷ.x ⁄ 1+0일 때, x>1이므로

ㄷ. ㅇㅇ|x-1|=x-1 ㄷ. ㅇㅇ∴ lim_x⁄1+0 =lim

x⁄1+0

=limx⁄1+0(x+1)

ㄷ. ㅇㅇ∴ lim_x_⁄1+0 =2 yy`㉠ㅇ ㄷ.x ⁄ 1-0일 때, x<1이므로

ㄷ. ㅇㅇ|x-1|=-(x-1) ㄷ. ㅇㅇ∴ lim_x_⁄1-0 =lim

x⁄1-0

=limx⁄1-0{-(x+1)}

ㄷ. ㅇㅇ∴ lim_x⁄1-0 =-2 yy`㉡ㅇ ㄷ.㉠, ㉡에 의하여

ㄷ. ㅇㅇlim_x_⁄1+0 +lim

x⁄1-0

ㄷ.따라서 lim

x⁄1 의 값은 존재하지 않는다.

따라서보기에서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

곡선 x¤ +(y-1)¤ =1(y…1) 위의 점 (x, y)에 대하여 ㅇㅇ(y-1)¤ =1-x¤

ㅇㅇy-1=-"√1-x¤ (∵ y…1) ㅇㅇ∴ y=1-"√1-x¤

4

x¤ -1

|x-1|

x¤ -1

|x-1|

x¤ -1

|x-1|

(x+1)(x-1) -(x-1) x¤ -1

|x-1|

(x+1)(x-1) x-1 x¤ -1

|x-1|

1 6

1 'x+3

x-9 (x-9)('x+3) ('x-3)('x+3)

(x-9)('x+3) 'x-3

x-9 x‹

|x|

x‹

|x|

x‹

|x|

x‹

-x x‹

|x|

x‹

x x‹

|x| ㅇㅇ∴ lim_x_⁄0 =lim

x⁄0

=limx⁄0

=limx⁄0

=limx⁄0(1+"√1-x¤ )=2

[ ]= -h`(0…h<1)로 놓으면 ㅇㅇlim_x_⁄¶ [ ]=lim_x_⁄¶ { -h}

=limx⁄¶{4- }=4

<f(x)< 에서

ㅇㅇlim_x_⁄¶ =lim

x⁄¶ =

ㅇㅇlim_x_⁄¶ =lim

x⁄¶ =

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄¶f(x)=

무리식이 들어 있는 ¶-¶ 꼴이므로 분모와 분자를 각 각 유리화하여 꼴로 변형하면

x⁄¶lim

= lim

x⁄¶

= lim_x_⁄¶

= lim

x⁄¶

= = =3(∵ a+b='2)

limx⁄¶f(x)=¶, lim_x_⁄¶{3f(x)-2g(x)}=1이므로

ㅇㅇlim_x_⁄¶ 3f(x)-2g(x)=0 yy`㉠ㅇ f(x)

8

3(a+b) '2 (a+b)(3+3)

'2+'2

(a¤ -b¤ )("√9x+a+"√9x+b) (a-b)("√2x+a¤ +"√2x+b¤ )

("√2x+a¤ -"√2x+b¤ )("√2x+a¤ +"√2x+b¤ )("√9x+a +"√9x+b) ('ƒ9x+a-'ƒ9x+b)('ƒ9x+a+'ƒ9x+b)("√2x+a¤ +"√2x+b¤ )

"√2x+a¤ -"√2x+b¤

'ƒ9x+a-'ƒ9x+b

¶

7

1 3

1 3 2x¤ +3x+2

6x¤ +1

1 3 x¤ +1

3x¤ -4x+1

2x¤ +3x+2 6x¤ +1 x¤ +1

3x¤ -4x+1

6

12h x x 3 12

x x

3 12

x x 3 x

5

3

x¤(1+"√1-x¤ ) x¤

x¤ (1+"√1-x¤ ) (1-"√1-x¤ )(1+"√1-x¤ )

x¤

1-"√1-x¤

x¤

y

(a-b)(a+b){æ–9+ +æ–9+ } (a-b){æ–2+ +æ–2+ }

b¤

x a¤

x

b x a

x 1+

3- +1 x¤

4 x

1 x¤

2+ + 6+ 1 x¤

2 x¤

3 x

(13)

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄¶

ㅇㅇ=lim_x_⁄¶

ㅇㅇ=lim_x_⁄¶ =1 (∵ ㉠)

limx⁄¶ =1 yy`㉠ㅇ

limx⁄2 =1 yy`㉡ㅇ

㉠은 x ⁄ ¶일 때, 극한값이 존재하므로 ㅇㅇ(분모의 차수)=(분자의 차수)

또한 극한값이 1이므로 f(x)는 최고차항의 계수가 2인 이차식이다.

따라서 f(x)=2x¤ +ax+b`(a, b는 상수)로 놓고 ㉡에 대 입하면

ㅇㅇlim_x_⁄2 =1 yy`㉢ㅇ

㉢에서 x ⁄ 2일 때 (분모) ⁄ 0이고, 극한값이 존재하 므로

ㅇㅇ(분자)⁄ 0 Δ lim

x⁄2(2x¤ +ax+b)=0

ㅇㅇ∴ 8+2a+b=0ㅇㅇ∴ b=-2a-8 yy`㉣ㅇ

㉣을 ㉢에 대입하면

ㅇㅇlim_x_⁄2 =1

ㅇㅇ∴ =1ㅇㅇ∴ a=-5 a=-5를 ㉣에 대입하면ㅇㅇb=2 ㅇㅇ∴ f(x)=2x¤ -5x+2 ㅇㅇ∴ f(1)=-1

원점 O가 중심이고 반 지름의 길이가 1인 원 의 방정식은

ㅇㅇx¤ +y¤ =1 이므로 원 위의 한 점 P의 x좌표를 x라 하 면 y좌표는

A(1, 0) O Q x

-1 1

-1 y

P(x, 1-x™)

=1 x™+y™

0 1

a+8 3 2x+a+4

x+1

(x-2)(2x+a+4) (x-2)(x+1) 2x¤ +ax-2a-8

(x-2)(x+1) 2x¤ +ax+b

x¤ -x-2 f(x) x¤ -x-2

f(x) 2x¤ +x+1

9

-2 {3f(x)-2g(x)}+7f(x) -3 {3f(x)-2g(x)}+7f(x)

f(x)+4g(x) -2f(x)+6g(x)

Ⅰ함수의극한

013

-2¥ +7

-3¥3f(x)-2g(x)+7 f(x) 3f(x)-2g(x)

f(x)

ㅇㅇy¤ =1-x¤ , y=—"ç1-x¤

이때 점 P(x, y)는 제 1 사분면 위에 있으므로 ㅇㅇx>0, y>0ㅇㅇ∴ y="ç1-x¤

ㅇㅇ∴ P(x, "ç1-x¤ )

또한 1-x¤ =y¤ >0이므로ㅇㅇ-1<x<1

그런데 x>0이므로ㅇㅇ0<x<1 yy`㉠ㅇ ㅇㅇ∴ P(x, "ç1-x¤ )`(0<x<1)

따라서 △OQP의 넓이는 ㅇㅇ△OQP= x"ç1-x¤

또한 A(1, 0)이므로 PA”를 구하면 ㅇㅇPA”="√(x-1)¤ +("ç1-x¤ )¤ ='∂2-2x 따라서 점 P가 점 A에 가까워지면 x2⁄ 1이므로 ㅇㅇlim

P⁄A =lim

x⁄1

ㅇㅇlim

P⁄A =lim

x⁄1 `(∵ ㉠)

ㅇㅇlim

P⁄A =lim

x⁄1

=

ㄱ. [반례] f(x)=

이라 하면 y=f(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 f(0)=1이지만 limx⁄0f(x)=-1 (∴ 거짓)

ㄴ. [반례] f(x)= , g(x)= 이고 a=1 이라 하면

ㅇㅇlim_x_⁄1f(x)=lim_x_⁄1 =¶

ㅇㅇlim

x⁄1g(x)=lim_x⁄1 =¶

이지만

ㅇㅇlim_x_⁄1 =lim

x⁄1 = (∴ 거짓) ㄷ. 함수의 극한의 대소 관계에 의하여

f(x)<g(x)<h(x)이고, lim_x_⁄af(x)=lim_x_⁄ah(x)=a ㄷ. 이면

ㄷ. ㅇㅇlim

x⁄ag(x)=a(∴ 참) 따라서^보기에서 옳은 것은 ㄷ이다.

1 2 (x-1)¤

2(x-1)¤

f(x) g(x)

2 (x-1)¤

1 (x-1)¤

2 (x-1)¤

1 (x-1)¤

O -1 1 y

x y=f(x) x¤ -1(x+0)

1 (x=0)

1

[

1

1 2

;2!;x'∂1+x '2

;2!;x¥'∂1-x¥'∂1+x '2¥'∂1-x

;2!;x"ç1-x¤

'∂2-2x

△OQP PA”

1 2

(14)

ㄱ. x=2에서의 함수 f(x)+g(x)의 우극한과 좌극한을 각각 구하면

ㄱ. ㅇㅇlim_x_⁄2+0{ f(x)+g(x)}=0+3=3 ㄱ. ㅇㅇlim_x_⁄2-0{ f(x)+g(x)}=0-3=-3

ㄱ. ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2+0{ f(x)+g(x)}+ lim_x_⁄2-0{ f(x)+g(x)}

ㄱ.따라서 lim_x_⁄2{ f(x)+g(x)}의 값은 존재하지 않는다.

ㄴ. x=2에서의 함수 f(x)g(x)의 우극한과 좌극한을 각 각 구하면

ㄱ. ㅇㅇlim_x_⁄2+0f(x)g(x)=0_3=0 ㄱ. ㅇㅇlim_x_⁄2-0f(x)g(x)=0_(-3)=0 ㄱ. ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2+0f(x)g(x)= lim_x_⁄2-0f(x)g(x)=0 ㄱ. ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2f(x)g(x)=0

ㄷ. x=2에서의 함수 { f(x)}¤ +{ g(x)}¤ 의 우극한과 좌극 한을 각각 구하면

ㄱ. ㅇㅇlim_x_⁄2+0[ { f(x)}¤ +{ g(x)}¤ ] ㄱ. ㅇㅇ= lim

x⁄2+0{ f(x)}¤ + lim_x_⁄2+0{ g(x)}¤

ㄱ. ㅇㅇ=0+3¤ =9

ㄱ. ㅇㅇlim_x_⁄2-0[ {`f(x)}¤ +{g(x)}¤ ] ㄱ. ㅇㅇ= lim

x⁄2-0{ f(x)}¤ + lim_x_⁄2-0{ g(x)}¤

ㄱ. ㅇㅇ=0+(-3)¤ =9

ㄱ. ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2+0[ {`f(x)}¤ +{g(x)}¤ ] ㄱ. ㅇㅇ= lim

x⁄2-0[ {`f(x)}¤ +{g(x)}¤ ]=9 ㄱ. ㅇㅇ∴ lim_x⁄2 [ {`f(x)}¤ +{ g(x)}¤ ]=9

따라서보기에서 극한값이 존재하는 것은 ㄴ, ㄷ이다.

x ⁄ 2-0일 때, g(x) ⁄ 1-0이므로 ㅇㅇlim

x⁄2-0 f( g(x))= lim_x_⁄1-0f(x)=0 x ⁄ 1일 때, f(x) ⁄ +0이므로 ㅇㅇlim

x⁄1g(`f(x))= lim_x_⁄+0 g(x)=2

ㅇㅇ∴ lim_x_⁄2-0f( g(x))+lim_x_⁄1g( f(x))=0+2=2

조건 Ⅰ을 전개하여 식을 변형하면 ㅇㅇx+f(x)=g(x)¥x-f(x)g(x) ㅇㅇ∴ f(x){ g(x)+1}=x{ g(x)-1}

이때 x+0, g(x)+-1이면 ㅇㅇ = g(x)-1

g(x)+1 f(x)

x

4 1

3 1

2

1

_{ㄱ. lim}

x⁄0 =lim

x⁄0

=

ㄴ. lim_x_⁄0f(x)=lim_x_⁄0 ¥x

=limx⁄0 ¥lim

x⁄0x

= ¥0 (∵ ㄱ)

=0

ㄷ. lim_x_⁄0 =lim

x⁄0

= (∵ ㄱ)

=-1

따라서보기에서 극한값이 존재하는 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

x¤ -f(x) x¤ +f(x) 1 3

f(x) x f(x)

x 1 3 2-1 2+1

g(x)-1 g(x)+1 f(x)

x

정답과해설

014

0- 0+1

3 1 3 x- x+f(x)

x f(x)

x

(15)

Ⅰ함수의극한

015

개념check | 1 ⑴ x=1에서 정의되지 않는다.

⑵ lim

x⁄1f(x)의 값이 존재하지 않는다.

⑶ lim

x⁄1f(x)+f(1)

⑷ x=1에서 불연속이다.

함수 f(x)= 의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같다.

⑴ x=1에서의 함숫값 f(1)이 존재하지 않으므로 함수 f(x) 는 x=1에서 정의되어 있지 않다.

⑵ lim_x_⁄1+0f(x)=¶, lim_x_⁄1-0f(x)=-¶이므로 극한값

⑵ lim

x`⁄⁄1 f(x)는 존재하지 않는다.

⑶ ⑴, ⑵에 의하여ㅇㅇlim_x_`⁄_⁄1 f(x)+f(1)

⑷ ⑴, ⑵, ⑶에의하여함수 f(x)는 x=1에서불연속이다.

1

x-1

Ⅰ ^{함수의 극한}

2 함수의 연속

O -1

1 y

x y=f(x)

1 ⑴ x=2에서 불연속⋯ ⑵ x=0에서 불연속

⑶ x=1에서 불연속 ⑷ x=1에서 연속

2 ⑤ 3 ④

4 ⑴ (-¶, 1), (1, ¶) ⋯ ⑵ (-¶, ¶)⋯

⑶ (-¶, -1), (-1, ¶)⋯ ⑷ (-¶, ¶)

⑸ (-1, ¶)⋯ ⑹ [-3, 3]

5 a=-2, b=3 6 1 7 12 6

유제 ^{pp. 37~40}

⑴ x>2일 때, x-2>0이므로

⑴ ㅇㅇf(x)= =

=

=x+2

⑴x<2일 때, x-2<0이므로

⑴ ㅇㅇf(x)= =

= (x-2)(x+2) =-x-2 -(x-2)

x¤ -4 -(x-2) x¤ -4

|x-2|

(x-2)(x+2) x-2

x¤ -4 x-2 x¤ -4

|x-2|

y=f(x)

O -2 -4 4

-2 2

y

x

1

06

^{함수의 연속 1}

p. 36

⑴x=2일 때, f(x)의 분모가 0이 되므로 함수 f(x)는 x=2에서 정의되지 않는다.

⑴따라서 함수 f(x)는 x=2에서 불연속이다.

⑵ x=0에서의 함숫값을 구하면 ㅇㅇf(0)=0-[0]=0

⑴-1…x<0일 때, [x]=-1 이므로

⑴ ㅇㅇf(x)=x+1

⑴0…x<1일 때, [x]=0이므로

⑴ ㅇㅇf(x)=x

⑴x ⁄ 0일 때, 우극한과 좌극한을 각각 구하면

⑴ ㅇㅇlim

x⁄+0(x-[x])=lim_x⁄+0x=0

⑴ ㅇㅇlim

x⁄-0(x-[x])= lim_x⁄-0(x+1)=1

⑴ ㅇㅇ∴ lim_x⁄+0(x-[x])+ lim

x⁄-0(x-[x])

⑴따라서 극한값 lim_x_⁄0f(x)가 존재하지 않으므로 함수

⑴f(x)는 x=0에서 불연속이다.

⑶ x+1일 때, 함수 f(x)는

⑴ ㅇㅇf(x)=

=

=x+2

⑴x=1에서의 함숫값을 구하면

⑴ ㅇㅇf(1)=2 yy㉠ㅇ

⑴x ⁄ 1일 때, 극한값을 구하면

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄1f(x)=lim_x_⁄1(x+2)=3 yy㉡ㅇ

⑴㉠, ㉡에서

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄1f(x)+f(1)

⑴따라서 함수 f(x)는 x=1에서 불연속이다.

⑷ x+1일 때, 함수 f(x)는

⑴ ㅇf(x)=

=

=x¤ +x+1

⑴x=1에서의 함숫값을 구하면

⑴ ㅇㅇf(1)=3 yy㉠ㅇ

⑴x ⁄ 1일 때, 극한값을 구하면

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄1f(x)=lim_x_⁄1(x¤ +x+1)=3 yy㉡ㅇ

⑴㉠, ㉡에서

⑴ ㅇㅇlim_x_⁄1f(x)=f(1)

⑴따라서 함수 f(x)는 x=1에서 연속이다.

(x-1)(x¤ +x+1) x-1 x‹ -1 x-1

O 1 3

1 y

x y=f(x) (x+2)(x-1)

x-1 x¤ +x-2

x-1

O -2

1 3 2 y

x y=f(x) y=f(x)

O 1

-1 1 2

y

x y y