정답과해설
174
= (ax‹ +bx¤ +cx) dx
=2b x¤ dx
=2b[ x‹ ]
0 1
= b=0 ㅇㅇ∴ b=0
X¤ 의 평균 E(X¤ )= x¤ f(x) dx는
ㅇㅇE(X¤ )= x¤ (ax¤ +c) dx
= (ax› +cx¤ ) dx
=2 (ax› +cx¤ ) dx
=2[ xfi + x‹ ]
0 1
=2 { + } yy㉡ㅇ
이때 주어진 조건에서 r(X)= 이므로
ㅇㅇV(X)={r(X)}¤ =
이를 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에 대입하면 ㅇㅇ =2 { + }-0¤ (∵ ㉡, E(X)=0) ㅇㅇ = +
ㅇㅇ∴ 3a+5c= yy㉢ㅇ
㉠, ㉢을 연립하면 ㅇㅇa=- , c=
ㅇㅇ∴ a+b+c=- +0+3=0 4 3 4 3 4 3 4
3 2 c 3 a 5 1 10
c 3 a 5 1 5
1 5
1 '5 c
3 a 5
c 3 a 5 :0
1
:-1 1
:-1 1
:-1 1
2 3
1 3 :01 :-1
1
우함수 기함수
우함수
유제 pp. 295~299
⑴ P(1…Z…1.5)=P(0…Z…1.5)-P(0…Z…1)
=0.4332-0.3413=0.0919
⑵ P(-1.5…Z…-0.5)=P(0.5…Z…1.5)
=P(0…Z…1.5)
-P(0…Z…0.5)
=0.4332-0.1915=0.2417
⑶ P(Z…-1.5)=P(Zæ1.5)
=0.5-P(0…Z…1.5)
=0.5-0.4332=0.0668
⑷ P(-1…Z…0.5)=P(-1…Z…0)+P(0…Z…0.5)
=P(0…Z…1)+P(0…Z…0.5)
=0.3413+0.1915=0.5328
⑴ P(Zæa)=0.9772를 그림으로 나타내면 다음 그림의
9
0.5 z
O 1
-1 f(z)
O 1.5 z -1.5
f(z) 0.5 z O -0.5 1.5 -1.5
f(z) O 1 1.5 z f(z)
8
8 ⑴ 0.0919 ⑵ 0.2417 ⑶ 0.0668 ⑷ 0.5328 9 ⑴ -2 ⑵ 1.5 10 ⑴ 0.1359 ⑵ 0.6247 11 -35 12 1.65
13 ⑴ 62.47 % ⑵ 228명
14 730개 15 179.6점 16 75점 17 ②
Ⅴ통계
175
어두운 부분의 넓이와 같으므로
⑴ ㅇㅇP(Zæa)
⑴ ㅇㅇ=P(0…Z…-a)+0.5
⑴ ㅇㅇ=0.9772
⑴ ㅇㅇ∴ P(0…Z…-a)=0.4772
⑴이때 P(0…Z…2)=0.4772이므로 a=-2
⑵ |Z|…b이면 ㅇㅇ-b…Z…b
⑴P(-b… Z… b)=0.8664 를 그림으로 나타내면 오른 쪽 그림의 어두운 부분의 넓이와 같으므로
⑴ ㅇㅇ2_P(0…Z…b)=0.8664
⑴ ㅇㅇ∴ P(0…Z…b)=0.4332
⑴이때 P(0…Z…1.5)=0.4332이므로ㅇㅇb=1.5
확률변수 X의 평균 m=3, 표준편차 r=4이므로 X를 Z= 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분 포 N(0, 1)을 따른다.
⑴ P(7…X…11)
⑴=P { …Z… }
⑴=P(1…Z…2)
⑴=P(0…Z…2)-P(0…Z…1)
⑴=0.4772-0.3413=0.1359
⑵ P(1…X…9)
=P { …Z… }
=P(-0.5…Z…1.5)
=P(-0.5…Z…0)+P(0…Z…1.5)
=P(0…Z…0.5)+P(0…Z…1.5)
=0.1915+0.4332=0.6247
확률변수 X가 정규분포 N(10, 3¤ )을 따르므로 X를 Z= 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분 포 N(0, 1)을 따른다.
ㅇㅇ∴ P(Xæk)=P{Zæ } yy㉠⋯
또 확률변수 Y가 정규분포 N(5, 2¤ )을 따르므로 Y를 Z= 로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.
Y-5 2
k-10 3 X-10
3
1 1
9-3 4 1-3
4
11-3 4 7-3
4 X-3
4
0 1
-b O b z f(z) a O z
f(z) ㅇㅇ∴ P(Y…-k)=P{Z… } yy㉡⋯
주어진 조건에서 ㉠=㉡이므 로 이를 그림으로 나타내면 오 른쪽 그림과 같다.
ㅇㅇ∴
=-ㅇㅇ2(k-10)=-3(-k-5) ㅇㅇ2k-20=3k+15 ㅇㅇ∴ k=-35
확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따르므로 X를 Z= 으로 표준화하면 확률변수 Z는 표준정규분 포 N(0, 1)을 따른다.
m-kr…X…m+kr를 표준화하여 Z의 범위를 구하면
ㅇㅇ …Z…
ㅇㅇ∴ -k…Z…k
이때 P(m-kr…X…m+kr)=0.9010이므로 ㅇㅇP(-k…Z…k)=0.9010
ㅇㅇ2P(0…Z…k)=0.9010 ㅇㅇ∴ P(0…Z…k)=0.4505
주어진 조건인 P(0…Z…1.65)=0.4505와 비교하면 ㅇㅇk=1.65
신입생의 키를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(165, 4¤ )을 따른다.
⑴ 구하는 확률은ㅇㅇP(163…X…171)
⑴163…X…171을 Z= 로 표준화하면
⑴ ㅇㅇP(163…X…171)
=P { …Z… }
=P(-0.5…Z…1.5)
=P(-0.5…Z…0)+P(0…Z…1.5)
=P(0…Z…0.5)+P(0…Z…1.5)
=0.1915+0.4332
=0.6247
⑴따라서 키가 163 cm 이상 171 cm 이하인 신입생은 전체의 62.47 %%에 해당한다.
⑵ 구하는 확률은ㅇㅇP(Xæ173)
⑴Xæ173을 Z=X-165로 표준화하면 4
171-165 4 163-165
4
X-165 4
3 1
(m+kr)-m r (m-kr)-m
r X-m
r
2 1
-k-5 2 k-10
3 z
O f(z)
2 -k-5
3 k-10
㉡ ㉠
-k-5 2
정답과해설
176
⑴ ㅇㅇP(Xæ173)=P{Zæ }
=P(Zæ2)
=0.5-P(0…Z…2)
=0.5-0.4772
=0.0228
⑴따라서 키가 173 cm 이상인 신입생 수는
⑴ ㅇㅇ10000_0.0228=228(명)
생산되는 파이프의 지름의 길이를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(150, 2¤ )을 따르고, 출고 합격을 받는 제품은 지름의 길이가 147…X…155이므로
147…X…155를 Z= 으로 표준화하면
ㅇㅇP(147…X…155)
=P { …Z… }
=P(-1.5…Z…2.5)
=P(-1.5…Z…0)+P(0…Z…2.5)
=P(0…Z…1.5)+P(0…Z…2.5)
=0.4332+0.4938=0.9270 따라서 출고 합격을 받은 제품의 수는 ㅇㅇ10000_0.9270=9270(개) 이므로 출고 불합격을 받은 제품의 수는 ㅇㅇ10000-9270=730(개)
전체 시험 응시자 1000명에 대하여 합격자 25명이 차지 하는 비율은
ㅇㅇ =0.025
응시자의 시험 성적을 X, 최저 합격점을 a라 하면 ㅇㅇP(Xæa)=0.025
확률변수 X는 정규분포 N(160, 10¤ )을 따르므로
Xæa를 Z= 으로 표준화하면
ㅇㅇP(Xæa)=P{Zæ }
=0.5-P {0…Z… }
=0.025
ㅇㅇ∴ P{0…Z… }=0.475 이때 P(0…Z…1.96)=0.475이므로 ㅇㅇ =1.96ㅇㅇ∴ a=179.6
따라서 이 시험에 합격하기 위한 최저 점수는 179.6점이다.
a-160 10
a-160 10
a-160 10 a-160
10 X-160
10 25
1000
5 1
155-150 2 147-150
2
X-150 2
4 1
173-165
4 수험생이 받은 점수를 X, 상위 7 %에 들기 위한 최소 점
수를 a라 하면 ㅇㅇP(Xæa)=0.07
확률변수 X는 정규분포 N(60, 10¤ )을 따르므로
Xæa를 Z= 으로 표준화하면
ㅇㅇP(Xæa)=P{Zæ }
=0.5-P {0…Z… }
=0.07
ㅇㅇ∴ P{0…Z… }=0.43 이때 P(0…Z…1.5)=0.43이므로 ㅇㅇ =1.5ㅇㅇ∴ a=75
따라서 상위 7 %에 들기 위한 최소 점수는 75점이다.
한국, 미국, 일본의 대졸 신입 사원의 월급을 각각 확률변 수 A, B, C라 하면
ㅇㅇA는 정규분포ㅇㅇN(80, 10¤ ) ㅇㅇB는 정규분포ㅇㅇN(2000, 300¤ ) ㅇㅇC는 정규분포ㅇㅇN(18, 2.5¤ ) 을 따른다.
각각의 확률변수 A, B, C를 표준화하면 ㅇㅇ한국：94 zÅ= =1.4 ㅇㅇ미국：2250 zı= ?0.83
ㅇㅇ일본：21 zÇ= =1.2 ㅇㅇ∴ zı<zÇ<zÅ
따라서 자국 내에서 상대적으로 월급을 많이 받는 사람을 차례대로 적으면 A, C, B이다.
21-18 2.5 111⁄표준화
2250-2000 300 111⁄표준화
94-80 10 111⁄표준화
7 1
a-60 10
a-60 10
a-60 10 a-60
10 X-60
10
6 1
개념check | 1 ⑴ N(50, 5¤ ) ⑵ N(360, 180)
⑴ 확률변수 X가 이항분포 B(100, 0.5)를 따르므로
⑴ ㅇㅇE(X)=100_0.5=50
⑴ ㅇㅇV(X)=100_0.5_0.5=25=5¤
1
08
이항분포와 정규분포의 관계p. 300
Ⅴ통계
177
이때 시행 횟수 n=100은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(50, 5¤ )을 따른다.
⑵ 확률변수 X가 이항분포 B{720, }을 따르므로
⑴ ㅇㅇE(X)=720_ =360
⑴ ㅇㅇV(X)=720_ _ =180
이때 시행 횟수 n=720은 충분히 크므로 확률변수 X 는 근사적으로 정규분포 N(360, 180)을 따른다.
1 2 1 2 1 2
1 2
유제 pp. 301~302
한 개의 주사위를 180회 던져 1의 눈이 나오는 횟수를 확 률변수 X라 할 때, 주사위를 던져 1의 눈이 나올 확률은 이고, 모두 180회의 독립시행을 하므로 X는 이항분포
B {180, }을 따른다.
X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=180_ =30
ㅇㅇV(X)=180_ _ =25=5¤
이때 시행 횟수 n=180은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(30, 5¤ )을 따른다.
따라서 1의 눈이 20회 이상 35회 이하로 나올 확률은 ㅇㅇP(20…X…35)
20…X…35를 Z= 으로 표준화하면
ㅇㅇP(20…X…35)
=P { …Z… }
=P(-2…Z…1)
=P(-2…Z…0)+P(0…Z…1)
=P(0…Z…2)+P(0…Z…1)
=0.4772+0.3413=0.8185
Z, _ 퀴즈 100문제에서 맞힌 문제의 개수를 확률변수 X라 할 때, 맞힐 확률은 이고, 모두 100회의 독립시
행을 하므로 X는 이항분포 B{100, } 을 따른다.
1 2 1
2
9 1
35-30 5 20-30
5
X-30 5
5 6 1 6 1 6 1
6 1 6
8 1
18 0.8185 19 0.0013 20 0.1587 21 0.1359
X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=100_ =50
ㅇㅇV(X)=100_ _ =25=5¤
이때 시행 횟수 n=100은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(50, 5¤ )을 따른다.
따라서 65개 이상 문제를 맞힐 확률은ㅇㅇP(Xæ65)
Xæ65를 Z= 으로 표준화하면
ㅇㅇP(Xæ65)=P{Zæ }
=P(Zæ3)
=0.5-P(0…Z…3)
=0.5-0.4987=0.0013
한 개의 주사위를 72회 던져서 3의 배수가 나오는 횟수를 확률변수 X라 할 때, 주사위를 던져 3의 배수가 나올 확 률은 = 이고, 모두 72회의 독립시행을 하므로 X는
이항분포 B{72, }을 따른다.
X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=72_ =24
ㅇㅇV(X)=72_ _ =16=4¤
이때 시행 횟수 n=72는 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(24, 4¤ )을 따른다.
3의 배수가 아닌 수가 나오는 횟수는ㅇㅇ72-X 획득한 상금을 Y라 하면
ㅇㅇY=1500_X+(-300)_(72-X)
=1800X-21600
따라서 상금을 28800원 이상 받을 확률은 ㅇㅇP(Yæ28800)=P(1800X-21600æ28800)
=P(1800Xæ50400)
=P(Xæ28)
Xæ28을 Z= 로 표준화하면
ㅇㅇP(Xæ28)=P{Zæ }
=P(Zæ1)=0.5-P(0…Z…1)
=0.5-0.3413=0.1587
150개 지역을 조사하여 석유가 발견되는 지역의 수를 확 률변수 X라 할 때, 석유가 발견될 확률은 2이고, 모두
5
1 2
28-24 4 X-24
4 2 3 1 3 1 3 1 3 1 3 2 6
0 2
65-50 5 X-50
5 1 2 1 2 1 2
정답과해설
178
150회의 독립시행을 하므로 X는 이항분포 B {150, }를 따른다.
X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=150_ =60
ㅇㅇV(X)=150_ _ =36=6¤
이때 시행 횟수 n=150은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(60, 6¤ )을 따른다.
석유가 발견되지 않은 지역의 수는ㅇㅇ150-X 정유회사의 이익금을 Y라 하면
ㅇㅇY=5_X+(-1)_(150-X)=6X-150 따라서 정유회사의 이익이 246억 이상 282억 이하가 될 확률은
ㅇㅇP(246…Y…282)=P(246…6X-150…282)
=P(396…6X…432)
=P(66…X…72)
66…X…72를 Z= 으로 표준화하면
ㅇㅇP(66…X…72)=P{ …Z… }
=P(1…Z…2)
=P(0…Z…2)-P(0…Z…1)
=0.4772-0.3413=0.1359 72-60
6 66-60
6 X-60
6 3 5 2 5 2 5 2
5
1 2 ③ 3 국어 4 ④ 5 p=r<q 6 0.9974 7 ⑤ 8 0.0062 9 0.5228 10 ④ 11 15 12 0.8351
16 9 20
pp. 303~305
연습 문제
`f(x)가 0…x…3을 만족하는 확률변수 X의 확률밀도함 수이면 f(x) dx=1이므로
ㅇㅇ {- x¤ +kx} dx=[- x‹ + x¤]
0 3
=-2+ k=1
ㅇㅇ∴ k=
ㅇㅇ∴ f(x)=- x¤ +2x (0…x…3) 3
2 9 2 3
9 2
k 2 2 27 2
: 9
0 3
:0 3
1
X의 평균 E(X)= x f(x) dx는
ㅇㅇ x {- x¤ + x} dx
= {- x‹ + x¤ } dx
=[- x› + x‹]
0 3
=- +6= yy㉠⋯
X¤ 의 평균 E(X¤ )= x¤ f(x) dx는 ㅇㅇ x¤ {- x¤ + x} dx
= {- x› + x‹ } dx
=[- xfi + x›]03
=- + = yy㉡⋯
㉠, ㉡을 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에 대입하면 ㅇㅇV(X)= -{ }¤ =
수험생의 점수를 확률변수 X라 할 때, X는 정규분포 N(170, 5¤ )을 따르고, 구하는 확률은 P(165…X…180) 이므로 165…X…180을 Z= 으로 표준화하면 ㅇㅇP(165…X…180)
=P { …Z… }
=P(-1…Z…2)
=P(-1…Z…0)+P(0…Z…2)
=P(0…Z…1)+P(0…Z…2)
=0.3413+0.4772
=0.8185
따라서 165점 이상 180점 이하인 수험생은 전체의 81.85 %%이다.
국어, 영어, 수학, 사회, 과학 성적을 각각 확률변수 A, B, C, D, E라 하면
ㅇㅇA는 정규분포 N(65, 18¤ ) ㅇㅇB는 정규분포 N(60, 20¤ ) ㅇㅇC는 정규분포 N(40, 22¤ ) ㅇㅇD는 정규분포 N(70, 20¤ ) ㅇㅇE는 정규분포 N(63, 16¤ ) 을 따른다.
3
180-170 5 165-170
5
X-170 5
2
9 20 3 2 27 10
27 10 27
2 54
5
1 6 2 45
2 3 2 : 9
0 3
2 3 2 : 9
0 3
:03 3 2 9 2
2 9 1 18
2 3 2 :03 9
2 3 2 : 9
0 3
:0 3
Ⅴ통계
179
각각의 확률변수 A, B, C, D, E를 표준화하면ㅇㅇ국어：891⁄ zÅ= ?1.33 ㅇㅇ영어：821⁄ zı= =1.1 ㅇㅇ수학：641⁄ zÇ= ?1.09 ㅇㅇ사회：901⁄ zÎ= =1
ㅇㅇ과학：751⁄ z´= =0.75 ㅇㅇ∴ z´<zÎ<zÇ<zı<zÅ
따라서 비상이는 국어 과목을 상대적으로 가장 잘 한다고 말할 수 있다.
주사위를 720번 던져서 1의 눈이 나오는 횟수를 확률변 수 X라 할 때, 주사위를 던져 1의 눈이 나오는 확률은 이고, 모두 720번의 독립시행을 하므로 X는 이항분
포 B{720, }을 따른다.
X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=720_ =120
ㅇㅇV(X)=720_ _ =100=10¤
이때 시행 횟수 n=720은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(120, 10¤ )을 따른다.
ㅇㅇ∴ m=120, r=10 ㅇㅇ∴ P(110…X…140) ㅇㅇ=P(120-10…X…120+20)
=P(m-r…X…m+2r)
=P(m-r…X…m)+P(m…X…m+2r)
=P(m…X…m+r)+P(m…X…m+2r)
= _0.683+ _0.954
=0.8185
확률변수 X, Y가 각각 정규분포 N(40, a¤ ), N(40, b¤ ) 을 따르므로 Z= , Z= 으로 표준화하면
ㅇㅇp=P(Xæ50)=P{Zæ }=P {Zæ } ㅇㅇq=P(Yæ50)=P{Zæ }=P {Zæ }
ㅇㅇr=P(X…30)=P{Z… }=P {Z…-10} a 30-40
a
10 b 50-40
b
10 a 50-40
a Y-40
b X-40
a
5
1 2 1
2
5 6 1 6 1 6 1 6 1
6
4
75-63 16 90-70
20 64-40
22 82-60
20 89-65
18
주어진 조건 0<a<b에서 ㅇㅇ <
이므로 세 확률 p, q, r를 표준정규분포곡선에 나타내 면 오른쪽 그림과 같다.
ㅇㅇ∴ p=r<q
확률변수 X가 정규분포 N(m, r¤ )을 따르므로
a…X…a+6r를 Z= 으로 표준화하면
ㅇㅇP(a…X…a+6r)
=P { …Z… }
=P { …Z… +6}
과 +6의 차이가
6이므로 P(a…X…a+6r)가 최댓값을 갖는 경우는 오른쪽 그 림과 같다.
ㅇㅇ∴ P(a…X…a+6r)…P(-3…Z…3)
=2P(0…Z…3)
=2_0.4987=0.9974 따라서 P(a…X…a+6r)의 최댓값은 0.9974이다.
전체 수험생 2000명에 대하여 경찰청에 근무할 합격자 46명이 차지하는 비율은
ㅇㅇ =0.023
수험생의 성적을 X, 최저 합격점을 a라 하면 ㅇㅇP(Xæa)=0.023
확률변수 X는 정규분포 N(278, 41¤ )을 따르므로
Xæa를 Z= 로 표준화하면
ㅇㅇP(Xæa)=P{Zæ }
=0.5-P {0…Z… }
=0.023
ㅇㅇ∴ P{0…Z… }=0.477 이때 P(0…Z…2)=0.477이므로
ㅇㅇ =2ㅇㅇ∴ a=360
따라서 경찰청에 근무할 합격자의 최저 점수는 360점이다.
a-278 41
a-278 41
a-278 41 a-278
41 X-278
41 46
2000
7
O 3 z -3
a-m f(z) r a-m
r
a-m r a-m
r
a+6r-m r a-m
r
X-m r
6
10 a 10
b
z r
q p
O 10 -a -10
--a- 10 -b -f(z)
정답과해설
180
한 권의 참고서에서 192개의 문제를 풀어서 맞힌 개수를 확률변수 X라 할 때, 한 문제를 맞힐 확률은 이고, 모 두 192회의 독립시행을 하므로 X는 이항분포
B {192, }을 따른다.
X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=192_ =48
ㅇㅇV(X)=192_ _ =36=6¤
이때 시행 횟수 n=192는 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(48, 6¤ )을 따른다.
희정이가 틀린 문제 수는ㅇㅇ192-X 부모님께 받을 용돈을 Y라 하면 ㅇㅇY=400_X+(-100)_(192-X)
=500X-19200
따라서 용돈을 12300원 이상 받을 확률은 ㅇㅇP(Yæ12300)=P(500X-19200æ12300)
=P(500Xæ31500)
=P(Xæ63)
Xæ63을 Z= 로 표준화하면
ㅇㅇP(Xæ63)=P{Zæ }
=P(Zæ2.5)
=0.5-P(0…Z…2.5)
=0.5-0.4938
=0.0062
방정식 x¤ +bx+1=0이 실근을 가지려면 판별식 D는 ㅇㅇD=b¤ -4æ0
ㅇㅇ(b+2)(b-2)æ0ㅇㅇ∴ b…-2 또는 bæ2 따라서 구하는 확률은 P(b…-2 또는 bæ2)이고, 확률 변수 b는 정규분포 N(2, 2¤ )을 따르므로 b를 Z=
로 표준화하면
ㅇㅇP(b…-2 또는 bæ2)
=P(b…-2)+P(bæ2)
=P {Z… }+P {Zæ }
=P(Z…-2)+P(Zæ0)
=P(Zæ2)+P(Zæ0)
=0.5-P(0…Z…2)+0.5
=1-0.4772=0.5228
2-2 2 -2-2
2
b-2 2
9
63-48 6 X-48
6 3 4 1 4 1 4 1
4
1 4
8
400석의 예약을 받은 결과, 취소된 예약 좌석의 수를 확률변수 X라 할 때, 예약을 취소할 확률은 이고, 모두
400회의 독립시행을 하므로 X는 이항분포 B{400, } 을 따른다.
X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=400_ =40
ㅇㅇV(X)=400_ _ =36=6¤
이때 시행 횟수 n=400은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(40, 6¤ )을 따른다.
극장에 온 손님 모두가 영화를 관람하게 될 확률은 예약을 취소하는 손님이 (400-372)명 이상, 즉 28명 이상일 확 률이므로 구하는 확률은ㅇㅇP(Xæ28)
Xæ28을 Z= 으로 표준화하면
ㅇㅇP(Xæ28)=P{Zæ }
=P(Zæ-2)
=0.5+P(0…Z…2)
=0.5+0.4772
=0.9772
f(x)가 0…x…20을 만족하는 확률변수 X의 확률밀도 함수이면 f(x) dx=1이므로
ㅇㅇ ax dx=a[ x¤ ]
0 20
=200a=1
ㅇㅇ∴ a= ㅇㅇ∴ f(x)=
[
10일 이상 사용하게 될 확률은 ㅇㅇP(10…X…20)= x dx
= [ x¤ ]2!0)
= (200-50)=
구하는 확률은 적어도 하나가 10일 이상 사용하게 될 확 률이므로 두 개의 전구 모두 10일 이상 사용하지 못할 확 률을 1에서 빼면
ㅇㅇ1-{1- } {1- }=1- =15 16 1 16 3
4 3 4
3 4 1
200 1 2 1 200
1 : 200
10 20
;20!0;x (0…x…20) 0 (x<0, x>20) 1
200 1 : 2
0 20
:0 20
1 1
28-40 6 X-40
6 9 10 1 10
1 10
1 10 1
10
0
1
Ⅴ통계
181
1회의 시행에서 사건 A가 일어날 확률을 p라 할 때, 확률변수 X의 확률질량함수는 ㅇㅇP(X=r)=«C®p® q« —®
(q=1-p, r=0, 1, 2, y, n) 이므로 주어진 식을 확률변수 X에 대한 확률로 나타내면 ㅇㅇ¡∞ºC•¢{ }
° › { }
fl fl+¡∞ºC•∞{ }
° fi { }
fl fi
+y+¡∞ºC¡º∞{ }
⁄ ‚ fi { }
› fi ㅇㅇ=P(X=84)+(X=85)+y+P(X=105) ㅇㅇ=P(84…X…105)
이는 150회의 독립시행에서 어떤 사건이 일어날 확률이 이고, X가 이항분포 B{150, }을 따를 때, P(84…X…105)의 값을 의미한다.
X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=150_ =90
ㅇㅇV(X)=150_ _ =36=6¤
이때 시행 횟수 n=150은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(90, 6¤ )을 따른다.
따라서 84…X…105를 Z= 으로 표준화하면 ㅇㅇP(84…X…105)
=P { …Z… }
=P(-1…Z…2.5)
=P(-1…Z…0)+P(0…Z…2.5)
=P(0…Z…1)+P(0…Z…2.5)
=0.3413+0.4938
=0.8351
105-90 6 84-90
6
X-90 6 2 5 3 5 3 5
3 5 3
5
2 5 3 5 2 5 3 5 2
5 3 5
2 1
Ⅴ 통계
2 통계적 추정
개념check | 1 ⑴ 16가지 ⑵ 12가지 ⑶ 6가지
⑴ 복원추출하는 방법의 수는 4장의 카드에서 중복을 허 락하여 2장을 뽑는 경우의 수와 같으므로
ㅇㅇ4_4=16(가지)
⑵ 비복원추출로 1장씩 2번 뽑는 방법의 수는 4장의 카 드에서 2장의 카드를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수 와 같으므로
ㅇㅇ¢P™=4_3=12(가지)
⑶ 비복원추출로 동시에 2장을 뽑는 방법의 수는 4장의 카드에서 2장의 카드를 순서에 상관없이 뽑는 경우의 수와 같으므로
ㅇㅇ¢C™=4_3=6(가지) 2_1