⑴ (x‹ +2x-1)dx
⑴= x‹ dx+2 x dx- dx
⑴=1x› +x¤ -x+C 4
: :
:
6
:⑵ 3x(x-1)(2x+3)dx
⑴= (6x‹ +3x¤ -9x)dx
⑴=6 x‹ dx+3 x¤ dx-9 x dx
⑴= x› +x‹ - x¤ +C
⑶ 적분변수가 y이므로 x를 상수로 보고 y에 대하여 적 분하면
⑴ ㅇㅇ (1+xy+3x¤ y¤ )dy
⑴ ㅇㅇ= dy+x y dy+3x¤ y¤ dy
⑴ ㅇㅇ=y+ xy¤ +x¤ y‹ +C
⑷ (ax+b)« dx= ¥ (ax+b)« ±⁄ +C (a+0) 이므로
⑴ ㅇㅇ (n+1)(2x-1)« dx
=(n+1) (2x-1)« dx
=(n+1)¥ ¥ (2x-1)« ±⁄ +C
= (2x-1)« ±⁄ +C
⑴ dy
= dy
= (y¤ -y+1)dy
= y¤ dy- y dy+ dy
= y‹ - y¤ +y+C
⑵ (x+1)(x¤ -x+1)dx- (x-1)(x¤ +x+1)dx
= (x‹ +1)dx- (x‹ -1)dx
= {(x‹ +1)-(x‹ -1)} dx
=2 dx
=2x+C : :
: :
: :
1 2 1 3
: :
: :
(y¤ +y+1)(y¤ -y+1) y¤ +y+1 :
y› +y¤ +1 y¤ +y+1
7
:1 2
1 n+1 1 2 : :
1 n+1 1 : a
1 2
: :
: :
9 2 3
2
: :
: :
: 함수 f(x)를 정리하면
ㅇㅇf(x)= (sin x+cos x)¤ dx+ (sin x-cos x)¤ dx
= {(sin x+cos x)¤ +(sin x-cos x)¤ }dx
=2 (sin¤ x+cos¤ x)dx
=2 dxㅇㅇ◀ sin¤ x+cos¤ x=1
=2x+C
ㅇㅇ∴ f(p)-f(0)=2p+C-C
=2p
f '(x)=3x¤ +2x+1이고, f(x)= f '(x) dx이므로
ㅇㅇf(x)= (3x¤ +2x+1) dx
=x‹ +x¤ +x+C yy`㉠ㅇ
ㅇㅇ∴ f(1)=1+1+1+C=3+C yy`㉡ㅇ 또 g(x)=x‹ +x¤ +x의 양변에 x=1을 대입하면
ㅇㅇg(1)=3 yy`㉢ㅇ
이때 주어진 조건 f(1)-g(1)=2에 ㉡, ㉢을 대입하면 ㅇㅇ(3+C)-3=2
ㅇㅇ∴ C=2
C=2를 ㉠에 대입하면 ㅇㅇf(x)=x‹ +x¤ +x+2
ㅇㅇ∴ f(-1)=-1+1-1+2=1
곡선 y=f(x) 위의 점 (x, y)에서의 접선의 기울기가 3x+1이므로
ㅇㅇf '(x)=3x+1
이때 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (3x+1) dx
= x¤ +x+C yy㉠ㅇ
곡선 y=f(x)가 점 {0, }을 지나므로 ㉠에 대입하면
ㅇㅇf(0)=C=
C= 을 ㉠에 대입하면 ㅇㅇf(x)= x¤ +x+
ㅇㅇ∴ f(1)= +1+1=3 2 3 2
1 2 3
2 1 2
1 2
1 2 3
2 : :
0 1
:
9
:: : :
: :
8
Ⅲ다항함수의적분법
081
정답과해설
082
함수 y=f(x)의 그래프가 직선 y=-x+1에 접하므로 직선 y=-x+1은 곡선 y=f(x)의 접선이다.
이때 접점을
ㅇㅇ(a, -a+1) yy㉠ㅇ
이라 하면 접선의 기울기가 -1이므로ㅇㅇf '(a)=-1 주어진 조건에서 f '(x)=6x¤ +12x+5이므로 x=a를 대입하면
ㅇㅇf '(a)=6a¤ +12a+5=-1 ㅇㅇ6(a+1)¤ =0⋯ ⋯∴ a=-1
이를 ㉠에 대입하면 접점의 좌표는⋯ ⋯(-1, 2) 이때 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (6x¤ +12x+5)dx
=2x‹ +6x¤ +5x+C yy㉡⋯
접점 (-1, 2)는 곡선 y=f(x) 위의 점이므로 ㉡에 대입 하면
ㅇㅇf(-1)=-2+6-5+C=2⋯ ⋯∴ C=3 C=3을 ㉡에 대입하면
ㅇㅇf(x)=2x‹ +6x¤ +5x+3
ㅇㅇ∴ f(-2)=-16+24-10+3=1
이차함수 f(x)의 부정적분이 F(x)이므로
ㅇㅇF'(x)=f(x) yy㉠ㅇ
주어진 식 xf(x)-F(x)=x‹ -4x¤ 의 양변을 x에 대하 여 미분하면
ㅇㅇf(x)+xf'(x)-F'(x)=3x¤ -8x ㅇㅇf (x)+xf'(x)-f(x)=3x¤ -8x (∵ ㉠) ㅇㅇx f '(x)=x(3x-8)
위의 등식은 x에 대한 항등식이므로 ㅇㅇf '(x)=3x-8
따라서 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (3x-8)dx= x¤ -8x+C yy㉡⋯
이때 f(1)=- 이므로 ㉡의 양변에 x=1을 대입하면
ㅇㅇf(1)= -8+C=- ㅇㅇ∴ C=-6 C=-6을 ㉡에 대입하면
ㅇㅇf(x)= x¤ -8x-6
`다른 풀이`
f(x)는 이차함수이므로
ㅇㅇf(x)=ax¤ +bx+c (a+0) yy`㉠ㅇ 3
2
25 2 3
2 25
2
3 : 2
:
2 1
: :
1
1
로 놓으면 F(x)= f(x)dx에서ㅇㅇF(x)= (ax¤ +bx+c)dx
= x‹ + x¤ +cx+C yy`㉡ㅇ
㉠, ㉡을 주어진 식 xf(x)-F(x)=x‹ -4x¤ 에 대입하면 ㅇㅇx(ax¤ +bx+c)-{ x‹ + x¤ +cx+C}=x‹ -4x¤
ㅇㅇax‹ +bx¤ +cx- x‹ - x¤ -cx-C=x‹ -4x¤
ㅇㅇ x‹ + x¤ -C=x‹ -4x¤
위의 등식은 x에 대한 항등식이므로 ㅇㅇ =1, =-4, C=0 ㅇㅇ∴ a= , b=-8
이를 ㉠에 대입하면ㅇㅇf(x)= x¤ -8x+c
이때 f(1)=- 이므로
ㅇㅇf(1)= -8+c=- ㅇㅇ∴ c=-6
ㅇㅇ∴ f(x)= x¤ -8x-6
f(x) dx=xf(x)-3x› -2x‹ 의 양변을 x에 대하여 미 분하면
ㅇㅇf(x)=f(x)+xf '(x)-12x‹ -6x¤
ㅇㅇx f '(x)=12x‹ +6x¤ =x(12x¤ +6x) 위의 등식은 x에 대한 항등식이므로 ㅇㅇf '(x)=12x¤ +6x
따라서 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (12x¤ +6x) dx
=4x‹ +3x¤ +C yy㉠ㅇ
이때 f(1)=2이므로 ㉠의 양변에 x=1을 대입하면 ㅇㅇf(1)=4+3+C=2ㅇㅇ∴ C=-5
C=-5를 ㉠에 대입하면 ㅇㅇf(x)=4x‹ +3x¤ -5
ㅇㅇ∴ f(-1)=-4+3-5=-6
f(x+y)=f(x)+f(y)-xy에 x=0, y=0을 대입하면 ㅇㅇf(0)=f(0)+f(0)-0ㅇㅇ∴ f(0)=0 yy㉠ㅇ 미분계수의 정의에 의하여 f '(1)의 값을 구하면
4 1
: :
3
:1
3 2
25 2 3
2 25
2
3 2 3
2 b 2 2a
3 b 2 2a
3
b 2 a 3
b 2 a 3 b 2 a 3 :
:
이때 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (x¤ +1)dx= x‹ +x+C
㉠에서 f(0)=0이므로ㅇㅇf(0)=C=0 ㅇㅇ∴ f(x)= x‹ +x
f(x)= f '(x)dx이므로
⁄ x…1일 때
ㅇㅇf(x)= (2x-1)dx=x¤ -x+C¡
¤ x>1일 때
ㅇㅇf(x)= (-x‹ +2)dx=- x› +2x+C™
⁄, ¤에 의하여 함수 f(x)는
ㅇㅇf(x)=
이때 함수 f(x)는 모든 실수 x에 대하여 미분가능하므로 모든 실수 x에 대하여 연속이다.
따라서 함수 f(x)는 x=1에서도 연속이다.
함수 f(x)가 x=1에서 연속이기 위한 조건은 ㅇㅇ `f(x)= `f(x)
ㅇㅇ (x¤ -x+C¡)= {- x› +2x+C™}
ㅇㅇ1-1+C¡=- +2+C™
ㅇㅇ∴
C™-C¡=-ㅇㅇ∴ f(2)-f(0)=(-4+4+C™)-C¡
=C™-C¡=-f '(x)=x+|x-1|을 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값 x=1을 기준으로 구간을 나누어 나타내면
⁄ x…1일 때,ㅇㅇf '(x)=x-(x-1)=1
¤ x>1일 때,ㅇㅇf '(x)=x+(x-1)=2x-1
⁄, ¤에 의하여 도함수 f '(x)는 ㅇㅇf '(x)=g
따라서 f(x)= f '(x)dx이므로
‹ x…1일 때
ㅇㅇf (x)=: dx=x+C¡
:
1 (x…1) 2x-1 (x>1)
7 1
7 4 7
4 1 4
1 lim 4
x⁄1+0 xlim⁄1-0
xlim⁄1+0 xlim⁄1-0
x¤ -x+C¡ (x…1) -;4!;x› +2x+C™ (x>1) ({
9
1 : 4
:
6
:1
1 3
1 : 3
: ㅇㅇf '(1)=lim
h⁄0
=limh⁄0
(∵ f(x+y)=f(x)+f(y)-xy)
=limh⁄0
=limh⁄0 -1=3 (∵ f '(1)=3) ㅇㅇ∴ lim
h⁄0 =4 yy㉡ㅇ
또 도함수의 정의에 의하여 f '(x)를 구하면 ㅇㅇf '(x)=lim
h⁄0
=limh⁄0
(∵ f(x+y)=f(x)+f(y)-xy)
=lim
h⁄0
=limh⁄0 -x
=4-x (∵ ㉡) ㅇㅇ∴ f '(x)=-x+4 이때 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (-x+4)dx=- x¤ +4x+C
㉠에서 f(0)=0이므로ㅇㅇf(0)=C=0 ㅇㅇ∴ f(x)=- x¤ +4x
ㅇㅇ∴ f(2)=-2+8=6
f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)에 x=0, y=0을 대 입하면
ㅇㅇf(0)=f(0)+f(0)+0ㅇㅇ∴ f(0)=0 yy㉠ㅇ 도함수의 정의에 의하여 f'(x)를 구하면
ㅇㅇf '(x)=lim
h⁄0
=lim
h⁄0
(∵ f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y))
=limh⁄0
=lim
h⁄0 +lim
h⁄0x(x+h)
=1+x¤ {∵ limh⁄0 =1}
ㅇㅇ∴ f'(x)=x¤ +1
f(h) h f(h)
h
f(h)+xh(x+h) h
f(x)+f(h)+xh(x+h)-f(x) h
f(x+h)-f(x) h
5 1
1 2
1 : 2
: f(h)
h f(h)-xh
h
f(x)+f(h)-xh-f(x) h
f(x+h)-f(x) h f(h)
h f(h)
h f(h)-h
h
f(1)+f(h)-h-f(1) h
f(1+h)-f(1) h
Ⅲ다항함수의적분법
083
삼차함수인 도함수 y=f '(x)의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 x=0, x=2이고 도함수 y=f '(x)의 그래프가 x=2에서 x축과 접하므로
ㅇㅇf '(x)=ax(x-2)¤ (a+0) yy`㉠ㅇ 으로 놓을 수 있다.
이때 도함수 y=f '(x)의 그래프는 점 (1, 2)를 지나므로 ㅇㅇf '(1)=a¥1(-1)¤ =2ㅇㅇ∴ a=2
이를 ㉠에 대입하면
ㅇㅇf '(x)=2x(x-2)¤ =2x‹ -8x¤ +8x 이때 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (2x‹ -8x¤ +8x)dx
= x› - x‹ +4x¤ +C yy㉡ㅇ 또 주어진 도함수 y=f '(x)의 그래프에서 f '(x)=0인 x 의 값은ㅇㅇx=0또는 x=2
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극소이고, 함수 f(x)의 극 솟값이 이므로ㅇㅇf(0)=
㉡의 양변에 x=0을 대입하면 ㅇㅇf(0)=C=
C= 을 ㉡에 대입하면 ㅇㅇf(x)= x› - x‹ +4x¤ +
ㅇㅇ∴ f(1)= - +4+1=2 6 8 3 1 2
1 6 8
3 1 2 1 6
1 6
1 6 1
6
8 3 1 2 : :
9
› x>1일 때
1
ㅇㅇf(x)= (2x-1)dx=x¤ -x+C™
‹, ›에 의하여 함수 f(x)는
ㅇㅇf(x)=g yy`㉠ㅇ
이때 함수 f(x)는 연속함수이므로 x=1에서도 연속이다.
함수 f(x)가 x=1에서 연속이기 위한 조건은 ㅇㅇ `f(x)= `f(x)
ㅇㅇ (x+C¡)= (x¤ -x+C™)
ㅇㅇ∴ 1+C¡=C™ yy㉡ㅇ
또 f(-1)=2이므로 ㉠에서
ㅇㅇf(-1)=-1+C¡=2ㅇㅇ∴ C¡=3 C¡=3을 ㉡에 대입하면ㅇㅇC™=4 C¡=3, C™=4를 ㉠에 대입하면 ㅇㅇf(x)=g
ㅇㅇ∴ f(3)=9-3+4=10
도함수 f '(x)는 최고차항의 계수가 -2인 이차함수이고, 도함수 y=f '(x)의 그래프와 x축의 교점의 x좌표가 x=0, x=1이므로
ㅇㅇf '(x)=-2x(x-1)=-2x¤ +2x 로 놓을 수 있다.
이때 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (-2x¤ +2x)dx
=- x‹ +x¤ +C yy`㉠ㅇ
f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=0 또는 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 f(x)는 x=1에서 극댓값 M, x=0에서 극 솟값 m을 가지므로
ㅇㅇM=f(1)=- +1+C= +C(∵ ㉠) ㅇㅇm=f(0)=C (∵ ㉠)
ㅇㅇ∴ M-m= +C-C=1 3 1
3
1 3 2
3 2 3 :
:
8 1
x+3 (x…1) x¤ -x+4 (x>1)
lim
x⁄1+0
lim
x⁄1-0
xlim⁄1+0 xlim⁄1-0
x+C¡ (x…1) x¤ -x+C™ (x>1)
:
정답과해설
084
x y 0 y 2 y
f '(x) - 0 + 0 +
f(x) ↘ 극소 ↗ ↗
x y 0 y 1 y
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
1 ④ 2 x= 3 - x› + x‹ - x¤ +C
4 ④ 5 18 6 -4 7 8 ⑤
9 3 10 ② 11 ③ 12 ④
11 6
1 2 2 3 1 4 1
2
pp. 147~149
연습 문제
Ⅲ다항함수의적분법
085
ㅇㅇP(1000)=5000000-3000000+2000000+2000000
=6000000(원)=600(만 원)
도함수 y=f'(x)의 그래프는 위로 볼록하고, x축과의 교 점의 x좌표가 x=-1, x=3이므로
ㅇㅇf '(x)=a(x+1)(x-3) (a<0) 으로 놓을 수 있다.
이때 주어진 그래프에서 f'(0)=6이므로 ㅇㅇf '(0)=-3a=6⋯ ⋯∴ a=-2 ㅇㅇ∴ f'(x)=-2(x+1)(x-3)
=-2x¤ +4x+6 따라서 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (-2x¤ +4x+6)dx
=- x‹ +2x¤ +6x+C 함수 y=f(x)의 그래프가 원점을 지나므로 ㅇㅇf(0)=C=0
ㅇㅇ∴ f(x)=- x‹ +2x¤ +6x
또 주어진 도함수 y=f'(x)의 그래프에서 f'(x)=0인 x 의 값은
ㅇㅇx=-1 또는 x=3
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 f(x)는 x=3에서 극대이므로 극댓값은 f(3)이다.
ㅇㅇ∴ f(3)=-18+18+18=18
다항함수 f(x)의 부정적분이 F(x)이므로
ㅇㅇF'(x)=f(x) yy`㉠⋯
주어진 등식 F(x)=xf(x)- x‹ +2x¤의 양변을 x에 대하여 미분하면
ㅇㅇF'(x)=f(x)+xf '(x)-2x¤ +4x ㅇㅇf(x)=f(x)+xf '(x)-2x¤ +4x (∵ ㉠) ㅇㅇxf '(x)=2x¤ -4x=x(2x-4) 위의 등식은 x에 대한 항등식이므로 ㅇㅇf'(x)=2x-4
2 3
6
2 3 2 3 :
:
5
f(x)dx=F(x)의 양변을 x에 대하여 미분하면 ㅇㅇf(x)=F'(x)
이때 F'(x)=x¤ +C이므로ㅇㅇf(x)=x¤ +C 또한 f(1)=2이므로
ㅇㅇf(1)=1+C=2⋯ ⋯∴ C=1 ㅇㅇ∴ f(x)=x¤ +1
ㅇㅇ∴ f(2)=4+1=5
로그의 밑의 조건에 의하여ㅇㅇx>0, x+1 yy㉠ㅇ
[ f(x) dx]=f(x)이므로
ㅇㅇlogÆ [ { x¤ dx}]=2x‹ +x¤ -5x+4 ㅇㅇlogÆ x¤ =2x‹ +x¤ -5x+4
ㅇㅇ2=2x‹ +x¤ -5x+4, 2x‹ +x¤ -5x+2=0 ㅇㅇ(x+2)(2x-1)(x-1)=0
ㅇㅇ∴ x= (∵ ㉠)
f(x)를 미분하였으므로 ㅇㅇf '(x)=-3x¤ +4x-1 따라서 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (-3x¤ +4x-1) dx
=-x‹ +2x¤ -x+C¡
이때 f(1)=0이므로
ㅇㅇf(1)=-1+2-1+C¡=0ㅇㅇ∴ C¡=0 ㅇㅇ∴ f(x)=-x‹ +2x¤ -x
따라서 f(x)를 적분하면 ㅇㅇ (-x‹ +2x¤ -x) dx
=- x› + x‹ - x¤ +C
P(x)= P'(x)dx이므로
ㅇㅇP(x)= (0.015x¤ -6x+2000)dx
=0.005x‹ -3x¤ +2000x+C 이때 P(0)=2000000이므로
ㅇㅇP(0)=C=2000000
ㅇㅇ∴ P(x)=0.005x‹ -3x¤ +2000x+2000000 따라서 식용유 1000 L를 생산하는 데 필요한 총비용은 P(1000)이므로
:
4
:1 2 2 3 1 4 :
: :
3
1 2 d : dx d :
dx
2 1
:x y -1 y 3 y
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
정답과해설
086
따라서 f(x)=: f'(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)=: (2x-4)dx=x¤ -4x+C 이때 f(0)=0이므로ㅇㅇf(0)=C=0 ㅇㅇ∴ f(x)=x¤ -4x=(x-2)¤ -4 따라서 함수 f(x)의 최솟값은 -4이다.
f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+ab¤ +a¤ b에 a=0, b=0을 대입하면
ㅇㅇf(0)=f(0)+f(0)⋯ ⋯∴ f(0)=0 yy㉠⋯
도함수의 정의에 의하여 f'(x)를 구하면 ㅇㅇf '(x)=lim
h⁄0
=limh⁄0
(∵ f(a+b)=f(a)+f(b)+ab+ab¤ +a¤ b)
=limh⁄0[ +x+xh+x¤ ]
=lim
h⁄0 +lim
h⁄0(x+xh+x¤ )
=1+x+0+x¤ {∵ limh⁄0 =1}
=x¤ +x+1 ㅇㅇ∴ f'(x)=x¤ +x+1 이때 f(x)= f'(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (x¤ +x+1)dx= x‹ + x¤ +x+C
㉠에서 f(0)=0이므로ㅇㅇf(0)=C=0 ㅇㅇ∴ f(x)= x‹ + x¤ +x ㅇㅇ∴ f(1)= + +1=
{ f(x)+g(x)}=2에서 양변을 x에 대하여 적분하면
ㅇㅇf(x)+g(x)= 2 dx=2x+C¡ yy㉠ㅇ
{ f(x)-g(x)}=2x-5에서 양변을 x에 대하여 적분 하면
ㅇㅇf(x)-g(x)= (2x-5)`dx
=x¤ -5x+C™ yy㉡ㅇ
이때 f(0)=-1, g(0)=-4이므로 ㉠, ㉡의 양변에 x=0을 대입하면
: d
dx
: d
8
dx11 6 1
2 1 3
1 2 1 3
1 2 1 : 3
:
f(h) h f(h)
h f(h)
h
f(x)+f(h)+xh+xh¤ +x¤ h-f(x) h
f(x+h)-f(x) h
7
ㅇㅇf(0)+g(0)=C¡=-5 ㅇㅇf(0)-g(0)=C™=3 ㅇㅇ∴ C¡=-5, C™=3
C¡=-5, C™=3을 ㉠, ㉡에 각각 대입하면
ㅇㅇgf(x)+g(x)=2x-5 yy㉢ㅇ f(x)-g(x)=x¤ -5x+3 yy㉣ㅇ
㉢+㉣을 하면 ㅇㅇ2 f(x)=x¤ -3x-2 ㅇㅇ∴ f(x)= x¤ - x-1
㉢-㉣을 하면
ㅇㅇ2 g(x)=-x¤ +7x-8 ㅇㅇ∴ g(x)=- x¤ + x-4 ㅇㅇ∴ f(-1)-g(1)
ㅇㅇ={ + -1}+{1+ -4}=2
곡선 y=f(x) 위의 점 P(a, f(a))에서의 접선의 기울기 는 f '(a)이므로 접선의 방정식은
ㅇㅇy-f(a)=f'(a)(x-a)
ㅇㅇ∴ y=f'(a)x-a f'(a)+f(a) yy㉠ㅇ 이때 점 P(a, f(a))에서의 접선의 방정식이
ㅇㅇy=(a+1)x+g(a) 이므로 ㉠과 비교하면
ㅇㅇf '(a)=a+1 yy㉡ㅇ ㅇㅇg(a)=-af'(a)+f(a) yy㉢ㅇ
㉡은 임의의 실수 a에 대하여 성립하므로
ㅇㅇf '(x)=x+1 yy㉣ㅇ 로 놓으면 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (x+1)dx= x¤ +x+C yy㉤ㅇ 이때 곡선 y=f(x)가 원점을 지나므로
ㅇㅇf(0)=C=0 C=0을 ㉤에 대입하면
ㅇㅇf(x)= x¤ +x yy㉥ㅇ 또 ㉢도 임의의 실수 a에 대하여 성립하므로
ㅇㅇg(x)=-xf'(x)+f(x) 로 놓고 ㉣, ㉥을 위의 식에 대입하면 ㅇㅇg(x)=-x(x+1)+ x¤ +x=- x¤
ㅇㅇ∴ f(3)+g(-3)={ +3}+{- }=3 9 2 9
2
1 2 1
2 1
2
1 : 2
:
9
7 2 3
2 1 2
7 2 1 2
3 2 1 2
Ⅲ다항함수의적분법
087
㉡, ㉢을 연립하여 풀면ㅇㅇa= , b=
ㅇㅇ∴ 2a-b= - =1
n<x<n+1 (n은 정수)일 때 [x]=n이므로 ㅇㅇf '(x)=x-[x]=x-n
이때 f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= (x-n)dx
= x¤ -nx+C (n<x<n+1) yy`㉠ㅇ 함수 f(x)는 n…x<n+1에서 연속이므로 x=n에서도 연속이다.
따라서 함수 f(x)가 x=n에서 연속이기 위한 조건은 ㅇㅇ f(x)=f(n)
ㅇㅇ { x¤ -nx+C}=f(n)
ㅇㅇ n¤ -n¤ +C=0 (∵ f(n)=0)ㅇㅇ∴ C= n¤
C= n¤을 ㉠에 대입하면
ㅇㅇf(x)= x¤ -nx+ n¤
= (x-n)¤
n…x<n+1 (n은 정수)에서 함수 f(x)를 구하면
ㅇㅇf(x)=
따라서 보기에서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형으로 적 당한 것은 ④④이다.
⋯ ⋯
;2!; (x+1)¤ (-1…x<0)
;2!; x¤ (0…x<1)
;2!; (x-1)¤ (1…x<2)
;2!; (x-2)¤ (2…x<3)
;2!; (x-3)¤ (3…x<4)
⋯ ⋯
(OOO OOOO OOO{
OOOO OOOO OO9 1 2
1 2 1
2 1 2
1 2 1
2 1 lim 2
x⁄n+0 xlim⁄n+0
1 2 : :
2 1
11 2 13
2
11 2 13 f(x)= (x¤ -x+1)dx의 양변을 x에 대하여 미분하면 4
ㅇㅇf '(x)= [ (x¤ -x+1)dx]
=x¤ -x+1 yy`㉠ㅇ
미분계수의 정의를 이용하여 주어진 식을 정리하면 ㅇㅇlim
h⁄0
=limh⁄0
=lim
h⁄0[ - ]
=limh⁄0 ¥(1+h)
+limh⁄0
=f '(1)+f '(1)
=2 f '(1)=2(1-1+1) (∵ ㉠)
=2
f '(x)=g(x)이고, f(x)= f '(x)dx이므로
ㅇㅇf(x)= g(x)dx
= {x‹ + x¤ -6x-a} dx
= x› + x‹ -3x¤ -ax+C 이때 f(0)=b이므로ㅇㅇf(0)=C=b
ㅇㅇ∴ f(x)= x› + x‹ -3x¤ -ax+b yy`㉠ㅇ 또 h(x)=g'(x)이므로
ㅇㅇh(x)=g'(x)={x‹ + x¤ -6x-a}'
=3x¤ +3x-6
=3(x+2)(x-1)
이때 f(x)가 h(x)로 나누어 떨어지므로 몫을 Q(x)라 하면 ㅇㅇf(x)=h(x)Q(x)
=3(x+2)(x-1)Q(x) 따라서 인수정리에 의하여 ㅇㅇf(-2)=0, f(1)=0
x=-2, x=1을 각각 ㉠에 대입하면 ㅇㅇf(-2)=4-4-12+2a+b=0
ㅇㅇ∴ 2a+b=12 yy`㉡ㅇ ㅇㅇf(1)= + -3-a+b=0
ㅇㅇ∴ a-b=-9 yy`㉢ㅇ 4
1 2 1 4
3 2 1 2 1 4
1 2 1 4
3 : 2 :
1
:1
f(1-h)-f(1) -h f(1+h+h¤ )-f(1)
h(1+h)
f(1-h)-f(1) h f(1+h+h¤ )-f(1)
h
f(1+h+h¤ )-f(1)+f(1)-f(1-h) h
f(1+h+h¤ )-f(1-h) h
d : dx
0
:1
Tip 인수정리
다항식 f(x)가 일차식 x-a로 나누어 떨어지기 위한 필요 충분조건은
ㅇㅇf(a)=0
정답과해설
088
Ⅲ 다항함수의 적분법
2 정적분
유제 pp. 152~154
1 ④ 2 ④ 3 ④ 4 (가) r (나) 2pr