정답과해설
038
⑴ 도함수의 정의에 의하여 ㅇㅇf '(x)=
ㅇㅇf '(x)=
ㅇㅇf '(x)=
=
= (h+2x+1) ㅇㅇf '(x)=2x+1
⑵ 미분법의 공식에 의하여 ㅇㅇf '(x)=(x¤ )'+(x)'
=2x+1 limh⁄0
h(h+2x+1) lim h
h⁄0
h¤ +2xh+h lim h
h⁄0
{(x+h)¤ +(x+h)}-(x¤ +x) lim h
h⁄0
f(x+h)-f(x) lim h
h⁄0
1
개념check | 1 해설 참조
⑴ y '=4{(3x¤ )'-(4x)'+(2)'}
=4(3¥2x-4¥1+0)
=24x-16
⑵ y '=(-4x‹ )'+(2x¤ )'-(1)'
=-4¥3x¤ +2¥2x-0
=-12x¤ +4x
⑶ y '=(-7xfi )'-(2x‹ )'+(5)'
=-7¥5x› -2¥3x¤ +0
=-35x› -6x¤
⑷ y '={ xfl }'-{ x› }'+{ x¤ }'+(1)'
= ¥6xfi - ¥4x‹ + ¥2x+0
=2xfi -3x‹ +x 1 2 3
4 1
3
1 2 3
4 1
3
1
1 ⑴ y '=24x-16 ⑵ y '=-12x¤ +4x
⑶ y '=-35x› -6x¤ ⑷ y '=2xfi -3x‹ +x 2 - 3 -21
4 ⑴ y '=9x¤ -8x+4 ⑵ y '=18x¤ +26x
⑶ y '=10(3x+1)(3x¤ +2x+1)›
⑷ y '=(7x-3)(x-1)(x+1)›
5 -20 L/초 1 4
유제 pp. 70~71
f(x)=ax¤ +bx+c에서 f(1)=0이므로
ㅇㅇf(1)=a+b+c=0 yy`㉠ㅇ 함수 f(x)를 미분하면
ㅇㅇf '(x)=2ax+b f '(-1)=1, f '(1)=0이므로
ㅇㅇf '(-1)=-2a+b=1 yy`㉡ㅇ ㅇㅇf '(1)=2a+b=0 yy`㉢ㅇ
㉡, ㉢을 연립하여 풀면ㅇㅇa=- , b=
a, b의 값을 ㉠에 대입하면
ㅇㅇc=-ㅇㅇ∴ f(x)=- x¤ +
x-ㅇㅇ∴ f(2)=- ¥4+
¥2-
=-곡선 f(x)=x‹ -ax¤ -bx+2가 점 (1, -1)을 지나므로 ㅇㅇf(1)=-1
ㅇㅇ∴ f(1)=1-a-b+2=-1
ㅇㅇ∴ a+b=4 yy㉠ㅇ
또 점 (1, -1)에서의 접선의 기울기가 2이므로 ㅇㅇf '(1)=2 yy㉡ㅇ 함수 f(x)를 미분하면
ㅇㅇf '(x)=3x¤ -2ax-b
ㅇㅇ∴ f '(1)=3-2a-b=2 (∵ ㉡)
ㅇㅇ∴ 2a+b=1 yy㉢ㅇ
㉠, ㉢을 연립하여 풀면ㅇㅇa=-3, b=7 ㅇㅇ∴ ab=-3_7=-21
⑴ y '=(3x-1)'(x¤ -x+1)+(3x-1)(x¤ -x+1)'
=3(x¤ -x+1)+(3x-1)(2x-1)
=3x¤ -3x+3+6x¤ -5x+1
=9x¤ -8x+4
⑵ y '=(x+2)'(2x-1)(3x+2)
+(x+2)(2x-1)'(3x+2) +(x+2)(2x-1)(3x+2)'
⑵ y '=(2x-1)(3x+2)+2(x+2)(3x+2)
+3(x+2)(2x-1)
⑵ y '=6x¤ +x-2+6x¤ +16x+8+6x¤ +9x-6
⑵ y '=18x¤ +26x
⑶ y '=5(3x¤ +2x+1)› (3x¤ +2x+1)'
=5(3x¤ +2x+1)› (6x+2)
=10(3x+1)(3x¤ +2x+1)›
4 3
1 4
1 4 1 2 1 4
1 4 1 2 1 4
1 4
1 2 1 4
Ⅱ다항함수의미분법
039
함수 f(x)=x‹ +2x-1을 미분하면ㅇㅇf '(x)=3x¤ +2 yy㉠ㅇ
⑴ 주어진 식의 분자에 f(1)을 빼고 더하면
⑴ ㅇㅇ
⑴ ㅇㅇ=
⑴ ㅇㅇ= +
⑴ ㅇㅇ= _
+ _
⑴ ㅇㅇ= f '(1)+ f '(1)
⑴ ㅇㅇ=f '(1)
=3¥1¤ +2 (∵ ㉠)
=5
1 2 1
2
1 2 f(1-h)-f(1) lim -h
h⁄0
1 2 f(1+h)-f(1) lim h
h⁄0
f(1-h)-f(1) lim -2h
h⁄0
f(1+h)-f(1) lim 2h
h⁄0
f(1+h)-f(1)+f(1)-f(1-h) lim 2h
h⁄0
f(1+h)-f(1-h) lim 2h
h⁄0
6
6 ⑴ 5 ⑵ 10 7 f '(x)=2x 8 40
9 6 10 199 11 7x-4 12 -6
유제 pp. 72~74
⑵ f(1)=1‹ +2-1=2이므로
⑴ ㅇㅇ
⑴ ㅇㅇ=
⑴ ㅇㅇ= [ _(x+1)]
⑴ ㅇㅇ= ¥ (x+1)
⑴ ㅇㅇ=2 f '(1)=2¥(3¥1¤ +2) (∵ ㉠)
⑴ ㅇㅇ=10
함수 f(x)가 이차함수이므로
ㅇㅇf(x)=ax¤ +bx+c (a+0, a, b, c는 상수) y`㉠ㅇ
로 놓고 =1에 ㉠을 대입하면
ㅇㅇ =1ㅇㅇ∴ a=1 y`㉡ㅇ
=1의 좌변을 변형하면
ㅇㅇ =1
ㅇㅇ f '(1)=1ㅇㅇ∴ f'(1)=2 y`㉢ㅇ
㉠에서 함수 f(x)를 미분하면ㅇㅇf '(x)=2ax+b
㉢에 의하여 f '(1)=2이므로ㅇㅇf '(1)=2a+b=2 ㅇㅇ2+b=2 (∵ ㉡)ㅇㅇ∴ b=0
ㅇㅇ∴ f '(x)=2x
f(x)=x⁄ ‚ +x· +x° +x‡ +xfl 으로 놓으면
ㅇㅇf '(x)=10x· +9x° +8x‡ +7xfl +6xfi yy`㉠ㅇ 또 함숫값 f(1)은
ㅇㅇf(1)=1+1+1+1+1=5
x⁄ ‚ +x· +x° +x‡ +xfl -5=f(x)-f(1)이므로 주어진 식 을 변형하면
ㅇㅇ
=
=f '(1)=10+9+8+7+6 (∵ ㉠)
=40
f(x)=x« +x¤ +x로 놓으면
ㅇㅇf '(x)=nxn-1+2x+1 yy`㉠ㅇ 또 함숫값 f(1)은
ㅇㅇf(1)=1+1+1=3
x« +x¤ +x-3=f(x)-f(1)이므로 주어진 식을 변형하면
9
f(x)-f(1) lim x-1
x⁄1
x⁄ ‚ +x· +x° +x‡ +xfl -5 lim x-1
x⁄1
8
1 2
f(1+h)-f(1) lim h
h⁄0
1 2
f(1+h)-f(1) lim 2h
h⁄0
ax¤ +bx+c x¤ +2x-3 lim
xڦ
f(x) x¤ +2x-3
xlimڦ
7
limx⁄1
f(x¤ )-f(1) x¤ -1 limx⁄1
f(x¤ )-f(1) x¤ -1 limx⁄1
f(x¤ )-f(1) lim x-1
x⁄1
f(x¤ )-2 lim x-1
x⁄1
⑷ y '={(x+1)‹ }'(x¤ -1)¤ +(x+1)‹ {(x¤ -1)¤ }'
={3(x+1)¤ (x+1)'}(x¤ -1)¤
+(x+1)‹ {2(x¤ -1)(x¤ -1)'}
⑵ y '={3(x+1)¤ ¥1}(x¤ -1)¤ +(x+1)‹ {2(x¤ -1)¥2x}
⑵ y '=3(x+1)¤ (x¤ -1)¤ +4x(x+1)‹ (x¤ -1)
=(7x¤ +4x-3)(x+1)¤ (x¤ -1)
=(7x-3)(x-1)(x+1)›
수족관에 남아 있는 물의 부피 V를 t에 대하여 미분하면 ㅇㅇV'=200¥2 {1- } {1- }'
=400 {1- }¥{- }
=-40 {1- }
따라서 5초 후에 남아 있는 물의 부피의 순간변화율은 ㅇㅇ-40 {1- 5 }=-20 (L/초)
10 t 10
1 10 t
10
t 10 t
10
5
04
도함수와 그 계산의 활용정답과해설
040
ㅇㅇ =
ㅇㅇ= [ _ ]
ㅇㅇ= ¥ = f '(1)
ㅇㅇ= (n+2+1) (∵ ㉠)= =3 ㅇㅇ∴ n=6
다항식 x⁄ ‚ ‚ +ax+b의 인수가 (x+1)¤ 이므로 ㅇㅇx⁄ ‚ ‚ +ax+b=(x+1)¤ Q(x) (단, Q(x)는 다항식)
yy㉠ㅇ 로 놓고 ㉠의 양변에 x=-1을 대입하면
ㅇㅇ1-a+b=0 yy㉡ㅇ
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
ㅇㅇ100x· · +a=2(x+1)Q(x)+(x+1)¤ Q'(x) 이 식의 양변에 x=-1을 대입하면
ㅇㅇ-100+a=0ㅇㅇ∴ a=100 a=100을 ㉡에 대입하면ㅇㅇb=99 ㅇㅇ∴ a+b=100+99=199
다항식 x° -x+3을 (x-1)¤ 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b (a, b는 상수)라 하면
ㅇㅇx° -x+3=(x-1)¤ Q(x)+ax+b yy㉠ㅇ
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
ㅇㅇ1-1+3=a+bㅇㅇ∴ a+b=3 yy㉡ㅇ
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
ㅇㅇ8x‡ -1=2(x-1)Q(x)+(x-1)¤ Q'(x)+a 이 식의 양변에 x=1을 대입하면
ㅇㅇ8-1=aㅇㅇ∴ a=7 a=7을 ㉡에 대입하면 ㅇㅇ7+b=3ㅇㅇ∴ b=-4 따라서 구하는 나머지는 7x-4이다.
1 1
0 1
n+3 3 1
3
1 3 1 limx+2
x⁄1
f(x)-f(1) lim x-1
x⁄1
1 x+2 f(x)-f(1)
lim x-1
x⁄1
f(x)-f(1) (x-1)(x+2) limx⁄1
x« +x¤ +x-3 x¤ +x-2
limx⁄1 f(x)=[ 로 놓으면 함수 f(x)가
모든 실수 x에 대하여 미분가능하므로 x=1에서도 미분 가능하다.
함수 f(x)가 x=1에서 미분가능할 조건은 ㅇㅇ⁄ g(1)=h(1)
ㅇㅇ¤ g'(1)=h'(1) 이때 f '(x)를 구하면 ㅇㅇf '(x)=[
⁄ g(1)=h(1)에 의하여 ㅇㅇ1+a=b+1ㅇㅇ∴ a=b
¤ g'(1)=h'(1)에 의하여ㅇㅇ3+2a=b
⁄, ¤에 의하여ㅇㅇa=-3, b=-3 ㅇㅇ∴ a+b=-6
g '(x)=3x¤ +2ax (x>1) h'(x)=b (x<1) g(x)=x‹ +ax¤ (xæ1) h(x)=bx+1 (x<1)
2 1
Tip 나누는 식의 차수에 따른 나머지의 표현
나누는 식이 n차식이면 나머지의 차수는 (n-1)차 이하이므 로 나누는 식의 차수에 따른 나머지의 표현은 다음과 같다. (단, a, b, c는 상수)
나누는 식 나머지
일차식 상수 Δ a
이차식 일차식 이하 Δ ax+b 삼차식 이차식 이하 Δ ax¤ +bx+c
⋯ ⋯
1 -4 2 99 3 3 4 -1 5 5 6 4 p. 75
연습 문제
함수 f(x)가 이차함수이므로
ㅇㅇf(x)=ax¤ +bx+c (a+0, a, b, c는 상수) y ㉠ㅇ 로 놓고 함수 f(x)를 미분하면
ㅇㅇf '(x)=2ax+b y㉡ㅇ
㉠, ㉡을 (x-1)f '(x)=2f(x)에 대입하면 ㅇㅇ(x-1)(2ax+b)=2(ax¤ +bx+c) ㅇㅇ2ax¤ +(b-2a)x-b=2ax¤ +2bx+2c ㅇㅇ(2a+b)x+b+2c=0
이 식은 x에 대한 항등식이므로
ㅇㅇ2a+b=0 y ㉢, b+2c=0 y㉣ㅇ 또 주어진 조건에서 f(0)=-1이므로 ㉠에서
ㅇㅇc=-1
c=-1을 ㉣에 대입하면 ㅇㅇb=2, a=-1 (∵ ㉢) ㅇㅇ∴ f(x)=-x¤ +2x-1
ㅇㅇ∴ f(-1)=-1+2¥(-1)-1=-4
f(x)=x⁄ ‚ ‚ -x· · +x· ° 으로 놓으면
ㅇㅇf '(x)=100x· · -99x· ° +98x· ‡ yy㉠ㅇ 또 함숫값 f(1)은
ㅇㅇf(1)=1-1+1=1
2
1
Ⅱ다항함수의미분법
041
x⁄ ‚ ‚ -x· · +x· ° -1=f(x)-f(1)이므로 주어진 식을 변형하면
ㅇㅇ =
=f '(1)
=100-99+98 (∵ ㉠)
=99
다항식 xfi +ax‹ +b를 (x-1)¤ 으로 나누었을 때의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 -4x+1이므로
ㅇㅇxfi +ax‹ +b=(x-1)¤ Q(x)-4x+1 yy㉠ㅇ
㉠의 양변에 x=1을 대입하면
ㅇㅇ1+a+b=-4+1ㅇㅇ∴ a+b=-4 yy㉡ㅇ
㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면
ㅇㅇ5x› +3ax¤ =2(x-1)Q(x)+(x-1)¤ Q'(x)-4 이 식의 양변에 x=1을 대입하면
ㅇㅇ5+3a=-4ㅇㅇ∴ a=-3 a=-3을 ㉡에 대입하면ㅇㅇb=-1 ㅇㅇ∴ ab=(-3)¥(-1)=3
f(x)=[ 로 놓으면 함수
f(x)가 모든 실수 x에 대하여 미분가능하므로 x=0에서 도 미분가능하다.
함수 f(x)가 x=0에서 미분가능할 조건은 ㅇㅇ⁄ g(0)=h(0)
ㅇㅇ¤ g'(0)=h'(0) 이때 f '(x)를 구하면 ㅇㅇf '(x)=[
⁄ g(0)=h(0)에 의하여ㅇㅇb=1
¤ g '(0)=h'(0)에 의하여ㅇㅇa=-2
⁄, ¤에 의하여
ㅇㅇa+b=-2+1=-1
=1에서 x ⁄ 3일 때 (분모) ⁄ 0이고, 극 한값이 존재하므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다.
ㅇㅇ { f(x)-2}=0ㅇㅇ∴ f(3)=2 yy`㉠ㅇ 미분계수의 정의에 의하여
ㅇㅇ = (∵ ㉠)
=f '(3)=1 yy`㉡ㅇ
f(x)-f(3) lim x-3
x⁄3
f(x)-2 lim x-3
x⁄3
lim
x⁄3
f(x)-2 lim x-3
x⁄3
5
g '(x)=a (x>0) h'(x)=2ax-2 (x<0) g(x)=ax+b (x>0) h(x)=ax¤ -2x+1 (x…0)
4 3
f(x)-f(1) lim x-1
x⁄1
x⁄ ‚ ‚ -x· · +x· ° -1 lim x-1
x⁄1
또 =2에서 x ⁄ 3일 때 (분모) ⁄ 0이고, 극한값이 존재하므로 (분자) ⁄ 0이어야 한다.
ㅇㅇ { g(x)-1}=0ㅇㅇ∴ g(3)=1 yy`㉢ㅇ 미분계수의 정의에 의하여
ㅇㅇ = (∵ ㉢)
=g'(3)=2 yy`㉣ㅇ
함수 h(x)=f(x)g(x)를 미분하면 ㅇㅇh'(x)=f '(x)g(x)+f(x)g'(x)
x=3에서 함수 h(x)의 미분계수는 h'(3)이므로 ㅇㅇh'(3)=f '(3)g(3)+f(3)g'(3)
=1¥1+2¥2 (∵ ㉠, ㉡, ㉢, ㉣)
=5
주어진 조건에서 f(0)=g(0)=2012이므로 f(x), g(x)는 상수항이 2012인 이차함수이다.
따라서 두 이차함수 f(x), g(x)를
ㅇㅇf(x)=ax¤ +bx+2012 (a+0, a, b는 상수) ㅇㅇg(x)=cx¤ +dx+2012 (c+0, c, d는 상수) 으로 놓고 각각을 미분하면
ㅇㅇf '(x)=2ax+b, g'(x)=2cx+d
위에서 구한 f(x), g(x), f '(x), g'(x)를 주어진 등식 ㅇㅇf '( g(x))=2f(x), g'( f(x))=2g(x)
에 각각 대입하면
ㅇㅇ2a(cx¤ +dx+2012)+b=2(ax¤ +bx+2012) ㅇㅇ∴ 2acx¤ +2adx+4024a+b=2ax¤ +2bx+4024
yy`㉠ㅇ ㅇㅇ2c(ax¤ +bx+2012)+d=2(cx¤ +dx+2012) ㅇㅇ∴ 2acx¤ +2bcx+4024c+d=2cx¤ +2dx+4024
yy`㉡ㅇ
㉠, ㉡의 양변에서 x¤ 의 계수를 각각 비교하면 ㅇㅇ2ac=2aㅇㅇ∴ c=1 (∵ a+0)
ㅇㅇ2ac=2cㅇㅇ∴ a=1 (∵ c+0) yy`㉢ㅇ
㉠의 양변에서 상수항을 비교하면 ㅇㅇ4024a+b=4024
ㅇㅇ4024+b=4024 (∵ ㉢) ㅇㅇ∴ b=0
㉡의 양변에서 x의 계수를 비교하면 ㅇㅇ2bc=2dㅇㅇ∴ d=0 (∵ b=0)
따라서 f(x)=x¤ +2012, g(x)=x¤ +2012이므로 ㅇㅇf '(x)=2x, g'(x)=2x
ㅇㅇ∴ f '(1)+g'(1)=2+2=4
6
g(x)-g(3) lim x-3
x⁄3
g(x)-1 lim x-3
x⁄3
limx⁄3
g(x)-1 lim x-3
x⁄3
정답과해설
042
Ⅱ 다항함수의 미분법
⑴ f(x)=x¤ -3x+8로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=2x-3
따라서 주어진 곡선 위의 점 (1, 6)에서의 접선의 기 울기는 f '(1)이므로
ㅇㅇf '(1)=2¥1-3=-1
⑵ f(x)=x‹ -2x¤ +x+3으로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -4x+1
따라서 주어진 곡선 위의 점 (-1, -1)에서의 접선 의 기울기는 f '(-1)이므로
ㅇㅇf '(-1)=3¥(-1)¤ -4¥(-1)+1=8
1
⑴ f(x)=x¤ +4x-3으로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=2x+4
⑴점 (1, 2)에서의 접선의 기울기는 f '(1)이므로
⑴ ㅇㅇf '(1)=2¥1+4=6
⑴따라서 기울기가 6이고 점 (1, 2)를 지나는 접선의 방 정식은
⑴ ㅇㅇy-2=6(x-1) ㅇㅇ∴ y=6x-4
⑵ f(x)=x‹ -x+1로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=3x¤ -1
⑴점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(1)이므로
⑴ ㅇㅇf '(1)=3¥1-1=2
1
⑴이 접선에 수직인 직선의 기울기는
⑴ ㅇㅇ-
=-⑴따라서 기울기가 - 이고 점 (1, 1)을 지나는 직선 의 방정식은
⑴ ㅇㅇy-1=- (x-1)ㅇㅇ∴ y=- x+
`f(x)= x‹ +ax+b로 놓으면ㅇㅇf '(x)=x¤ +a 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 f '(1)=-2이므로 ㅇㅇf '(1)=1+a=-2ㅇㅇ∴ a=-3
따라서 곡선 f(x)= x‹ -3x+b가 점 (1, 1)을 지나므로
ㅇㅇ -3+b=1ㅇㅇ∴ b=
ㅇㅇ∴ 2a+3b=2¥(-3)+3¥ =5
`f(x)=x¤ -3x+k로 놓으면ㅇㅇf '(x)=2x-3 x=1에서의 접선의 기울기는 f '(1)이므로 ㅇㅇf '(1)=2¥1-3=-1
이 접선에 수직인 직선의 기울기는 ㅇㅇ- =1
또 x=1일 때 f(1)=-2+k이므로 기울기가 1이고 점 (1, -2+k)를 지나는 직선의 방정식은
ㅇㅇy-(-2+k)=1¥(x-1)ㅇㅇ∴ y=x-3+k 이 식이 y=x-4와 일치해야 하므로
ㅇㅇ-3+k=-4ㅇㅇ∴ k=-1
⑴ `f(x)=x‹ -x+3으로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3x¤ -1
⑴접점의 x좌표를 a라 하면 접점의 좌표는
⑴ ㅇㅇ(a, a‹ -a+3) yy㉠ㅇ
⑴x=a에서의 접선의 기울기가 2이므로
⑴ ㅇㅇf '(a)=3a¤ -1=2, a¤ =1
⑴ ㅇㅇ∴ a=1 또는 a=-1 yy㉡ㅇ
⑴㉡을 ㉠에 대입하면 접점의 좌표는
⑴ ㅇㅇ(1, 3), (-1, 3)
⑴따라서 기울기가 2이고 점 (1, 3)을 지나는 접선의 방 정식은
⑴ ㅇㅇy-3=2(x-1)ㅇㅇ∴ y=2x+1
⑴또 기울기가 2이고 점 (-1, 3)을 지나는 접선의 방 정식은
⑴ ㅇㅇy-3=2(x+1)ㅇㅇ∴ y=2x+5
4
1 f '(1)
3
11 3 11 3 1
3
1 3 1
2
33 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
f '(1)
개념check | 1 ⑴ -1 ⑵ 8
1 ⑴ y=6x-4 ⑵ y=- x+ 2 5 3 -1 4 ⑴ y=2x+1, y=2x+5
⑵ y=4x-14 ⑶ y=x+5, y=x-27 5 32 6 1 7 ⑴ y=2x+1, y=-2x+9 ⑵ y=3x+2 8 ㄱ, ㄴ 9 3'2 10 - 11 a=-1, y=2x+1
12 - 13 y=2x-2 14 y= x+2 5 1 5 1
11
4 3
3 2 1 2
유제 pp. 77~81