이항분포

Ⅴ통계

167

10개의 제품을 고르는 것이므로 10회의 독립시행이고, 불

량품이 나올 확률이 , 불량품이 나오지 않을 확률이

이므로불량품의개수X는이항분포B{10, }을 따른다.

이때 X의확률질량함수는 ㅇㅇP(X=r)=¡ºC® { }®

{ }⁄ ‚ —® (단, r=0, 1, y, 10) 따라서 불량품이 9개 이상 나올 확률 P(Xæ9)는 ㅇㅇP(Xæ9)=P(X=9)+P(X=10)

=¡ºCª { }·

{ }⁄ +¡ºC¡º{ }⁄ ‚ { }‚

= =91_10—⁄ ‚

동전을 던져 나오는 앞면을 H, 뒷면을 T라 할 때, 두 개 의 동전을 동시에 한 번 던져서 나올 수 있는 경우는 ㅇㅇ(H, H), (H, T), (T, H), (T, T) 의 4가지이고, 두 동전 모두 앞면이 나오는 경우는 (H, H)의 1가지이므로 두 동전 모두 앞면이 나올 확률은

이다.

따라서 두 개의 동전을 5회 던지는 시행은 5회의 독립시 행이고, 한 번의 시행에서 두 동전 모두 앞면이 나올 확률 은 , 그렇지 않을 확률은 이므로 X는 이항분포

B{5, }을 따른다.

이때 X의 확률질량함수는 ㅇㅇP(X=r)=∞C® { }®

{ }fi —® `(단, r=0, 1, y, 5) 따라서 X가 2 미만일 확률 P(X<2)는

ㅇㅇP(X<2)=P(X=0)+P(X=1)

=∞Cº { }‚

{ }fi +∞C¡{ }⁄ {3}›

4 1 4 3

4 1 4

3 4 1 4 1

4

3 4 1

4 1 4

6 1

90+1 10⁄ ‚

9 10 1 10 9

10 1 10

9 10 1 10

1 10

9 10 1

10

5 1

= = =

⑴ 18번 전화를 거는 것이므로 18회의 독립시행이고, 전 화를 걸면 3번에 1번 꼴로 통화 연결이 되지 않으므 로 1번 전화를 걸었을 때, 통화가 연결되지 않을 확률 은 이다.

⑴따라서 X는 이항분포 B{18, }을 따르므로 X의 평균 E(X)와 표준편차 r(X)를 구하면

⑴ ㅇㅇE(X)=18_ =6

⑴ ㅇㅇr(X) =Æ…18_… _ ='4=2

⑵ 씨앗 10000개를 뿌리는 것이므로 10000회의 독립시 행이고, 씨앗의 발아율이 10 %이므로 하나의 씨앗이 발아할 확률은 이다.

⑴따라서 X는 이항분포 B {10000, }을 따르므로 X의 평균 E(X)와 표준편차 r(X)를 구하면

⑴ ㅇㅇE(X)=10000_ =1000

⑴ ㅇㅇr(X)=Æ…10000_… _ ='∂900=30

주사위를 한 개 던졌을 때, 2의 눈이 나올 확률은 이므로

ㅇㅇp=

따라서 n회의 독립시행이 이루어지고, 주사위를 한 개 던 져 2의 눈이 나올 확률은 이므로 X는 이항분포

B {n, }을 따른다.

⑴ X의 평균 E(X)=12이므로

⑴ ㅇㅇE(X)=n_ =12ㅇㅇ∴ n=72

⑴X의 분산 V(X)는

⑴ ㅇㅇV(X)=72_ _ =10

⑴이때 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 이므로

⑴ ㅇㅇE(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤

=10+12¤ =154

⑵ 확률변수 Y=-2X+1의 평균 E(Y), 분산 V(Y)를 구하면

5 6 1 6 1 6 1

6

1 6 1

6

1

8

6

1

9 10 1 10 1 10

1 10 1

10 2 3 1 3 1 3

1 3 1

3

7 1

81 128 648 1024 3fi +5_3›

4fi

유제 pp. 280~281

15 91_10—⁄ ‚ 16 17 ⑴ (평균) =6, (표준편차) =2

⑵ (평균) =1000, (표준편차) =30 18 ⑴ 154 ⑵ (평균) =-23, (분산) =40 19 ③

81 128

정답과해설

168

⑴ ㅇㅇE(Y)=E(-2X+1)=-2E(X)+1

=-2_12+1=-23

⑴ ㅇㅇV(Y)=V(-2X+1)=(-2)¤ V(X)

=4_10=40

V(X), V(Y), V(Z)를 각각 구하면 ㅇㅇV(X)=n_ _ = n ㅇㅇV(Y) =n_ _ = n

ㅇㅇV(Z) =n_ _ = n

ㅇㅇ∴ V(X) : V(Y) : V(Z)= n : n : n

=36 : 32 : 27 3 16 2 9 1 4 3 16 3 4 1 4

2 9 2 3 1 3

1 4 1 2 1 2

9 1

유제 ^{p. 283}

| - |<0.05를 변형하면

ㅇㅇ| - |<0.05, - < - <

ㅇㅇ∴ <X< yy㉠ㅇ

n=50일 때, | - |<0.05를 만족하는 X의 값의 범위는

ㅇㅇ <X< (∵ ㉠) ㅇㅇ∴ 5.833y<X<10.833y

이때 X가 취할 수 있는 값은 자연수이므로 ㅇㅇX=6, X=7, X=8, X=9, X=10 따라서 P{| - |<0.05}의 값은

ㅇㅇP {| - |<0.05}

=P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)

+P(X=9)+P(X=10) ㅇㅇ=0.112+0.140+0.151+0.141+0.116

=0.660 1 6 X 50

1 6 X 50

650 60 350

60

1 6 X 50

13n 60 7n

60

1 20 1 6 X

n 1 20 1

6 X

n 1 6 X

0

n

2

20 0.660

04

이항분포의 그래프의 성질과 큰 수의 법칙

1 2 ④ 3 ④ 4 0 5 49

6 7 6 8 13

9 P(X=x)=3C { } { }

3-(단, x=-3, 0, 3 6)

x+3

2 3

3

x+3

1 3 x+3 3

3

821 3125 3 4

pp. 284~285

연습 문제

확률의 총합은 1이므로

ㅇㅇP(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)=1 ㅇㅇ + +k=1ㅇㅇ∴ k=

ㅇㅇ∴ P(X=0)=

X¤ +X-2<0을 풀면

ㅇㅇ(X+2)(X-1)<0, -2<X<1 ㅇㅇ∴ X=-1, X=0

따라서 구하는 확률은

ㅇㅇP(X¤ +X-2<0)=P(X=-1)+P(X=0)

= + =

임의의 사건 A에 대하여 ㅇㅇ0…P(A)…1

이므로 주어진 확률변수 X의 확률분포를 나타낸 표에서 ㅇㅇ0…a…1, 0… …1, 0…a¤ …1

ㅇㅇ∴ 0…a…1 yy㉠ㅇ

확률의 총합은 1이므로

ㅇㅇa+ +a¤ =1, 2a¤ +3a-2=0

ㅇㅇ(a+2)(2a-1)=0ㅇㅇ∴ a= (∵ ㉠) 따라서 X의 확률분포는 다음 표와 같다.

X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)=(-1)_ +0_ +1_ =-따라서 확률변수 Y=2X+1의 평균 E(Y)는 ㅇㅇE(Y)=E(2X+1)=2E(X)+1

=2_{- }+1=

1 2 1

4

1 4 1 4 1 4 1 2

1 2 a

2

a 2

2

3 4 1 4 1 2 1 4

1 4 1

2 1 4

1

X -1 0 1 합계

P(X=x) 1 1

4 1

4 1

2

Ⅴ통계

169

10개의 제품 중 불량품은 4개이고, 10개 중 3개를 뽑는

것이므로 불량품의 개수 X가 취할 수 있는 값은 ㅇㅇ0, 1, 2, 3

10개의 제품 중에서 3개의 제품을 택하는 경우의 수는

¡ºC£이고, 임의로 택한 제품 중에서 불량품이 x개인 경우 의 수는 ¢C

≈_§C£–

≈이므로 X의 확률질량함수는 ㅇㅇP(X=x)= (단, x=0, 1, 2, 3) 따라서 X의 확률분포는 다음 표와 같다.

X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)=0_ +1_ +2_ +3_

= X¤의 평균 E(X¤ )은

ㅇㅇE(X¤ )=0¤ _ +1¤ _ +2¤ _

+3¤ _ ㅇㅇE(X¤ )=2

X의 분산 V(X)는

ㅇㅇV(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

=2-{ }¤ = X의 표준편차 r(X)는 ㅇㅇr(X)="√V(X)=æ– =

ㅇㅇ∴ E(X)= , r(X)=

확률의 총합은 1이므로

ㅇㅇa+b+c=1 yy㉠ㅇ

X의 평균 E(X)=2이므로 ㅇㅇE(X)=1_a+2_b+3_c

=a+2b+3c=2 yy㉡ㅇ

X의 분산 V(X)= 이므로

ㅇㅇV(X)=(1¤ _a+2¤ _b+3¤ _c)-2¤

=a+4b+9c-4=

ㅇㅇ∴ a+4b+9c= yy㉢ㅇ

㉡-㉠을 하면ㅇㅇb+2c=1 yy㉣ㅇ 9

2 1 2 1

2

4

'∂14 5 6

5

'∂14 5 14 25 14 25 6 5

4 120 36

120 60

120 20

120 6 5

4 120 36

120 60

120 20

120

¢C≈_§C£–

≈¡ºC£

3

_{㉢-㉠을 하면ㅇㅇ3b+8c=} yy㉤ㅇ

㉤-3_㉣을 하면ㅇㅇ2c= ㅇㅇ∴ c=

c= 을 ㉣에 대입하면ㅇㅇb+ =1ㅇㅇ∴ b=

b= , c= 을 ㉠에 대입하면

ㅇㅇa+ + =1ㅇㅇ∴ a=

ㅇㅇ∴ a-b+c= - + =0

주어진 식에서

ㅇㅇ x¤ P(X=x)=E(X¤ ) yy㉠ㅇ

ㅇㅇ (x-m)¤ P(X=x)=V(X) yy㉡ㅇ 이때 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 이므로

ㅇㅇE(X¤ )-V(X)={E(X)}¤

위의 식에 ㉠, ㉡을 대입하면

ㅇㅇ x¤ P(X=x)- (x-m)¤ P(X=x)={E(X)}¤

yy㉢ㅇ X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)= xP(X=x)

= x¥ {∵ P(X=x)= }

= x¤

= _ =7

ㅇㅇ∴ {E(X)}¤ =49 이를 ㉢에 대입하면

ㅇㅇ x¤ P(X=x)- (x-m)¤ P(X=x)=49

5번의 각각의 타석에서 안타를 치는 것이므로 5회의 독립 시행이고, 선수의 타율이 2할이므로 안타를 칠 확률이

= , 안타를 치지 못하는 확률이 = 이다.

따라서안타를친횟수 X는이항분포 B{5, }을 따른다.

이때 X의 확률질량함수는 ㅇㅇP(X=r)=∞C® { }®

{4}fi —® (단, r=0, 1, y, 5) 5

1 5

1 5 4 5 8 10 1

5 2 10

6

¡10 x=1

¡10 x=1

10_11_21 6 1

55

¡10 x=1

1 55

x 55 x

55

¡10 x=1

¡10 x=1

¡10 x=1

¡10 x=1

¡10 x=1

¡10 x=1

5

1 4 1 2 1 4

1 4 1

4 1 2

1 4 1 2

1 2 1

2 1

4

1 4 1

2 7 2

X 0 1 2 3 합계

P(X=x) ;1™2º0; ;1§2º0; ;1£2§0; ;12$0; 1

정답과해설

170

5번의 타석에서 안타를 적어도 2번 이상 칠 확률은 1에서 2번 미만 칠 확률을 빼면 되므로

ㅇㅇP(Xæ2)=1-P(X<2)

=1-{P(X=0)+P(X=1)}

=1-[∞Cº { }‚

{ }fi +∞C¡{ }⁄ { }›

]

=1-=1- =

1에서 8까지 적혀 있는 카드 중에서 선택한 2장의 카드에 적혀 있는 숫자의 차가 확률변수 X이므로 X가 취할 수 있는 값은

ㅇㅇ1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

이고, 8장의 카드에서 2장의 카드를 뽑는 경우의 수는

•C™=28이므로 그 각각의 확률은 X=1：(1, 2), (2, 3), (3, 4), X=5：(4, 5), (5, 6), (6, 7), X=5：(7, 8)

X=2：(1, 3), (2, 4), (3, 5), X=5：(4, 6), (5, 7), (6, 8) X=3：(1, 4), (2, 5), (3, 6), X=5：(4, 7), (5, 8)

X=4：(1, 5), (2, 6), (3, 7), X=5：(4, 8)

X=5：(1, 6), (2, 7), (3, 8) Δ P(X=5)=

X=6：(1, 7), (2, 8) Δ P(X=6)=

X=7：(1, 8) Δ P(X=7)=

X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)=1_ +2_ +3_ +4_

+5_ +6_ +7_

=3

1 28 2

28 3

28

4 28 5

28 6

28 7

28

1 28

2 28

3 28

7

821 3125 2304

3125 4fi +5_4›

5fi

4 5 1 5 4

5 1 5

X¤ 의 평균 E(X¤ )은

ㅇㅇE(X¤ )=1¤ _ +2¤ _ +3¤ _ +4¤ _

+5¤ _ +6¤ _ +7¤ _

=12 X의 분산 V(X)는

ㅇㅇV(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

=12-3¤ =3

ㅇㅇ∴ E(X)+V(X)=3+3=6

5개의 동전을 던지는 것은 5회의 독립시행이고, 앞면이 나올 확률은 , 나오지 않을 확률은 이므로 앞면의 개

수에 따라 받는 상금 X는 이항분포 B{5, }을 따른다.

따라서 X의 기댓값 E(X)는

ㅇㅇE(X)=E(10« )= 10≈ P(X=x)

= 10≈ ¥∞CÆ { }

≈

{ } fi —≈

= ∞CÆ { }

≈

{ } fi —≈

={ + } fi={ }

fi

주어진 조건에서 E(X)={ }fi 이므로 ㅇㅇa=11, b=2ㅇㅇ∴ a+b=13

카드를 3회 꺼내는 것은 3회의 독립시행이고, 3의 배수 가 써 있는 카드를 꺼낼 확률이 = , 그 이외의 수가 써 있는 카드를 꺼낼 확률이 = 이므로 X는 이항분

포 B{3, }을 따른다.

이때 3의 배수를 ○, 그 이외의 수를 ×라 하면 카드를 3 회 꺼냈을 때 나올 수 있는 좌표는

ㅇㅇ(○, ○, ○) Δ 6 ㅇㅇ(○, ○, ×), (○, ×, ○), (×, ○, ○) Δ 3 ㅇㅇ(○, ×, ×), (×, ○, ×), (×, ×, ○) Δ 0 ㅇㅇ(×, ×, ×) Δ -3

1 3

2 3 4 6

1 3 2 6

9

a b 11

2 1 2 10

2

1 2 10

2

¡5 x=0

1 2 1 2

¡5 x=0

¡5 x=0

1 2 1 2 1

2

8

1 28 2

28 3

28

4 28 5

28 6

28 7

28

Δ P(X=4)= 4 28 Δ P(X=1)= 7

28

Δ P(X=2)= 6 28

Δ P(X=3)= 5 28

X 1 2 3 4 5 6 7 합계

P(X=x) 1 1

28 2 28 3 28 4 28 5 28 6 28 7 28

Tip 이항정리

n이 자연수일 때,

ㅇㅇㅇㅇ(a+b)« =¡¡ⁿⁿ «C® a« —® b®

rr==00

Ⅴ통계

171

인형이 위치한 좌표가 확률변수 X이므로 X가 취할 수

있는 값은 ㅇㅇ-3, 0, 3, 6

이고, 이에 따른 각각의 확률을 구하면 ㅇㅇP(X=-3)=£Cº { }‚

{ }‹ ㅇㅇP(X=0)=£C¡ { }⁄

{ }¤ ㅇㅇP(X=3)=£C™ { }¤

{ }⁄ ㅇㅇP(X=6)=£C£ { }‹

{ }‚ 이를 확률질량함수로 나타내면 ㅇㅇP(X=x)=3C { } { }

3-(단, x=-3, 0, 3, 6)

x+3

2 3

3

x+3

1 3 x+3 3

3

2 3 1 3

2 3 1 3

2 3 1 3

2 3 1 3

유제 pp. 287~288

확률밀도함수가 되기 위한 조건은

⁄ 주어진 x의 범위에서 f(x)æ0이다.

¤ 정의역 내에서 그려진 함수의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이가 1이다.

각 함수의 그래프를 그려 보면

ㄱ. ㄴ.

ㄷ.

⁄의 성질을 만족하는 것은ㅇㅇㄱ, ㄴ

ㄱ, ㄴ의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이를 각각 구하면 ㄱ. f(x) dx=: 2x dx=[x¤ ]2)=4

0

: 2 0

2

y

O 1 x 1 -1 2

-1 -2

y=h(x)

y

O 1 x 3 y=g(x) y

O x 4

2 y=f(x)

1

1 ㄴ 2 3 4 ⑴ ⑵ 1

6 2 3 4

5 1

4

05

연속확률변수와 확률밀도함수

ㄴ. g(x) dx= 3x¤ dx=[x‹ ]1)=1

¤의 성질을 만족하는 것은ㅇㅇㄴ

따라서 ⁄, ¤의 성질을 동시에 만족하는 함수, 즉 확률 밀도함수인 것은 ㄴ이다.

f(x)=g 이고, f(x)가

-1…x…1을 만족하는 확률변수 X의 확률밀도함수이 면 `f(x) dx=1이므로

ㅇㅇ a|x| dx= (-ax) dx+ ax dx

=-a[ x¤ ]⁰

-1+a[ x¤ ]¹

0

= a+ a=1 ㅇㅇ∴ a=1

ㅇㅇ∴ f(x)=[

P {- …X… }= `f(x) dx이므로

ㅇㅇP {- …X… }

= (-x) dx+ x dx

=[- x¤ ]⁰

-;2!;+[ x¤ ]

0

;2!;

= + =

f(x)=g 이고, f(x)가 0…x…4를

만족하는 확률변수 X의 확률밀도함수이면 f(x) dx=1이므로

ㅇㅇ x¤ dx+ a(4-x) dx

= [ x‹ ]₀²+a[4x- x¤ ]₂⁴

= a+2a

= a=1

ㅇㅇ∴ a= 3 10 10

3 4 3

1 2 1

3 a 2

:2

a 4

: 2

0 2

:0 4

;2A;x¤ (0…x…2) a(4-x) (2…x…4)

3

1 4 1 8 1 8

1 2 1

2

:0

: ⁰ ;2!;

-;2!;

1 2 1

2

:-;2!;

1 ;2!;

2 1

2

-x (-1…x…0) x (0…x…1)

1 2 1 2

1 2 1

2

:0

: 1 -1

: 0 -1

1

:-1 1

-ax (-1…x…0) ax (0…x…1)

2

:0

: 1 0

1

정답과해설

172

ㅇㅇ∴ f(x)=

[

P(1…X…3)= f(x) dx이므로

ㅇㅇP(1…X…3)= x¤ dx+ (4-x)`dx

= [ x‹ ]

1 2

+ [4x- x¤ ]

2 3

= +

=

⑴ y=f(x) (0…x…3)의 그래프와 x축 사이의 영역의 넓이가 1이므로

⑴ ㅇㅇ _3_a=1ㅇㅇ∴ a=

⑵ ⑴에 의하여 a= 이므로 두 점 {1, }, (3, 0)을 지나는 1…x…3에서의 함수 f(x)는

ㅇㅇf(x)= (x-3)

ㅇㅇ∴ f(x)=- x+1(1…x…3)

따라서 직선 y=- x+1 (1…x…3) 위의 한 점의 x좌표가 2일 때, y좌표는

ㅇㅇy=- +1=

이므로 P(2…X…3)은 오른쪽 그림의 어두운 부 분의 넓이와 같으므로

⑴ ㅇㅇP(2…X…3)= _1_ =1 6 1 3 1 2

1 3

2 3 y

O 1 2 3 x y=f(x) 1

3 2 3

1 3 1 3 0-;3@;

3-1

2 3 2

3

2 3 1

2

4

4 5

9 20 7 20

1 2 3

10 1

3 3 20

3 : 10

2

3 3

: 20

1 2

:1 3

;2£0;x¤ (0…x…2)

;1£0;(4-x) (2…x…4)

`f(x)=3x¤ 이 0…x…1을 만족하는 확률변수 X의 확률 밀도함수이므로

⑴ X의 평균 E(X)= x f(x)`dx는

ㅇㅇE(X)= x¥3x¤ dx= 3x‹ dx

=[ x› ]

0 1

= yy㉠ㅇ

⑵ X¤ 의 평균 E(X¤ )= x¤ f(x)`dx는

ㅇㅇE(X¤ )= x¤ ¥3x¤ dx

=[ xfi ]

0 1

= yy㉡ㅇ

⑵㉠, ㉡을 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에 대입하면

⑵ ㅇㅇV(X)= -{ }¤ =

⑶ r(X)="√V(X)=æ≠ =

연속확률변수 X에 대하여 E(X)=2, V(X)=3이므로

⑴ E(2X+1)=2E(X)+1

=2_2+1=5

⑵ V(2X+1)=2¤ V(X)

=4_3=12

⑶ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 이므로 ㅇㅇE(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤

=3+2¤ =7

2

'∂15 20 3 80

3 80 3 4 3 5

3 5 3

5 :0

1

:0 1

3 4 3

4

:0

: 1 0

1

:0 1

1

개념check | 1 ⑴ ⑵ ⑶ 2 ⑴ 5 ⑵ 12 ⑶ 7

'∂15 20 3

80 3 4

06

연속확률변수의 평균, 분산, 표준편차

p. 290

유제 ^{p. 291}

`f(x)=g 이고,

`f(x)가 -2…x…2를 만족하는 확률변수 X의 확률밀도 함수이면 `f(x) dx=1이므로

ㅇㅇ k|x¤ -1| dx

= k(x¤ -1) dx+ k(-x¤ +1) dx

+ k(x¤ -1) dx

=k{[ x‹ -x]-_1@+2[- x‹ +x]1)+[ x‹ -x]2!}1 3

1 3 1

3

:₁² :-1

: 1 -2

-1

:-2 2

:-2 2

k(x¤ -1) (-2…x…-1, 1…x…2) k(-x¤ +1) (-1…x…1)

5

5 '2 6 2 7 0 3

우함수

Ⅴ통계

173

=k{ + + }

=4k=1 ㅇㅇ∴ k=

ㅇㅇ∴ f(x)=

X의 평균 E(X)= x f(x) dx는 ㅇㅇE(X)

= x(x¤ -1) dx+ x(-x¤ +1) dx

+ x(x¤ -1) dx

ㅇㅇ= [ (x‹ -x) dx+ (x‹ -x) dx]

ㅇㅇ= {[ x› - x¤]-_1@+[ x› - x¤ ]2!}

ㅇㅇ= {- + }=0 yy㉠ㅇ

X¤의 평균 E(X¤ )= x¤ f(x) dx는 ㅇㅇE(X¤ )

= x¤(x¤ -1) dx+ x¤(-x¤ +1) dx

+ x¤ (x¤ -1) dx

ㅇㅇ= [ (x› -x¤ ) dx+2 (-x› +x¤ ) dx

+ (x› -x¤ ) dx]

ㅇㅇ= {[ xfi - x‹]-_1@+2[- xfi + x‹ ]1) +[ xfi - x‹ ]2!}

= [{ - }+2 {- + }+{ - }]

= _8=2 yy㉡ㅇ

㉠, ㉡을 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에 대입하면 ㅇㅇV(X)=2-0¤ =2

ㅇㅇ∴ r(X)="√V(X)='2

y=f(x)의 그래프에서 -2…x…2를 만족하는 확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)를 구하면

6

1 4

7 3 31

5 1 3 1 5 7

3 31

5 1 4

1 3 1 5 1 3 1 5 1

3 1 5 1 4

:1 2

:0

: 1 -2

1 -1

4

1 : 4

1 2

1 : 4

-1

1 1

: 4

-2 -1

:-2 2

9 4 9 4 1 4

1 2 1 4 1

2 1 4 1 4

:1

: 2 -2

1 -1

4

1 : 4

1 2

1 :_-1¹ 4 1

:_-2^-1 4

:-2 2

;4!; (x¤ -1) (-2…x…-1, 1…x…2)

;4!; (-x¤ +1) (-1…x…1) (

{ 9 1 4

4 3 4 3 4 3

기함수

우함수

ㅇㅇf(x)=

X의 평균 E(X)= x f(x) dx는 ㅇㅇE(X)

= x { x+ } dx+ x {- x+ } dx

= { x¤ + x} dx+ {- x¤ + x} dx

=[ x‹ + x¤]⁰

-2+[- x‹ + x¤]

0 2

=-{- +1}+{- +1}=0 yy㉠ㅇ

X¤ 의 평균 E(X¤ )= x¤ f(x) dx는 ㅇㅇE(X¤ )

= x¤ { x+ } dx+ x¤ {- x+ } dx

= { x‹ + x¤ } dx+ {- x‹ + x¤ } dx

=[ x› + x‹]⁰_-2+[- x› + x‹]₀²

=-{1- }+{-1+ }= yy㉡ㅇ

㉠, ㉡을 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에 대입하면 ㅇㅇV(X)= -0¤ =

`f(x)가 -1…x…1을 만족하는 확률변수 X의 확률밀도 함수이면 `f(x) dx=1이므로

ㅇㅇ (ax¤ +bx+c) dx

=2 (ax¤ +c) dx

=2[ x‹ +cx]₀¹

=2 { +c}=1

ㅇㅇ∴ a+3c= yy㉠ㅇ

X의 평균 E(X)= x f(x) dx이고, 주어진 조건에서 E(X)=0이므로

ㅇㅇE(X)=: x(ax¤ +bx+c) dx

-1 1

:_-1¹ 3 2 a 3 a 3 :0

1

:-1 1

:-1 1

7

2 3 2

3

2 3 4 3 4

3

1 6 1 16 1

6 1 16

1 2 1 : 4

0

1 2

2 1 : 4

-2 0

1 2 1 : 4

0

1 2

2 1 : 4

-2 0

:-2 2

2 3 2

3

1 4 1 12 1

4 1 12

1 2 1 : 4

0

1 2

2 1 : 4

-2 0

1 2 1 : 4

0

1 2

2 1 : 4

-2 0

:-2 2

;4!;x+;2!; (-2…x…0) -;4!;x+;2!; (0…x…2) (

{ 9

우함수

기함수

정답과해설

174

= (ax‹ +bx¤ +cx) dx

=2b x¤ dx

=2b[ x‹ ]

0 1

= b=0 ㅇㅇ∴ b=0

X¤ 의 평균 E(X¤ )= x¤ f(x) dx는

ㅇㅇE(X¤ )= x¤ (ax¤ +c) dx

= (ax› +cx¤ ) dx

=2 (ax› +cx¤ ) dx

=2[ xfi + x‹ ]

0 1

=2 { + } yy㉡ㅇ

이때 주어진 조건에서 r(X)= 이므로

ㅇㅇV(X)={r(X)}¤ =

이를 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에 대입하면 ㅇㅇ =2 { + }-0¤ (∵ ㉡, E(X)=0) ㅇㅇ = +

ㅇㅇ∴ 3a+5c= yy㉢ㅇ

㉠, ㉢을 연립하면 ㅇㅇa=- , c=

ㅇㅇ∴ a+b+c=- +0+3=0 4 3 4 3 4 3 4

3 2 c 3 a 5 1 10

c 3 a 5 1 5

1 5

1 '5 c

3 a 5

c 3 a 5 :0

1

:-1 1

:-1 1

:-1 1

2 3

1 3 :₀¹ :-1

1

우함수 기함수

우함수

유제 pp. 295~299

⑴ P(1…Z…1.5)=P(0…Z…1.5)-P(0…Z…1)

=0.4332-0.3413=0.0919

⑵ P(-1.5…Z…-0.5)=P(0.5…Z…1.5)

=P(0…Z…1.5)

-P(0…Z…0.5)

=0.4332-0.1915=0.2417

⑶ P(Z…-1.5)=P(Zæ1.5)

=0.5-P(0…Z…1.5)

=0.5-0.4332=0.0668

⑷ P(-1…Z…0.5)=P(-1…Z…0)+P(0…Z…0.5)

=P(0…Z…1)+P(0…Z…0.5)

=0.3413+0.1915=0.5328

⑴ P(Zæa)=0.9772를 그림으로 나타내면 다음 그림의

9

0.5 z

O 1

-1 f(z)

O 1.5 z -1.5

f(z) 0.5 z O -0.5 1.5 -1.5

f(z) O 1 1.5 z f(z)

8

8 ⑴ 0.0919 ⑵ 0.2417 ⑶ 0.0668 ⑷ 0.5328 9 ⑴ -2 ⑵ 1.5 10 ⑴ 0.1359 ⑵ 0.6247 11 -35 12 1.65

13 ⑴ 62.47 % ⑵ 228명

14 730개 15 179.6점 16 75점 17 ②

문서에서 Ⅰ 함수의 극한 (페이지 167-174)