⑴f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=0 또는 x=1
⑴함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑴x=0에서 극대, x=1에서 극소 이므로
⑴ ㅇㅇ극댓값：f(0)=6
⑴ ㅇㅇ극솟값：f(1)=5
⑴따라서 함수 y=f(x)의 그래프 는 오른쪽 그림과 같다.
⑵ f(x)=-x‹ +3x+1에서
⑴ ㅇㅇf '(x)=-3x¤ +3=-3(x¤ -1)
=-3(x+1)(x-1)
⑴f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=-1 또는 x=1
⑵함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑴x=-1에서 극소, x=1에 서 극대이므로
⑴ ㅇㅇ극댓값：f(1)=3
⑴ ㅇㅇ극솟값：f(-1)=-1
⑴따라서 함수 y=f(x)의 그 래프는 오른쪽 그림과 같다.
⑴ f(x)=x› -2x¤ +3에서
⑴ ㅇㅇf '(x)=4x‹ -4x
=4x(x¤ -1)
=4x(x+1)(x-1)
⑴f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=-1 또는 x=0 또는 x=1
⑴함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
7
y=f(x) y
x O
1 1 3
-1 -1
y=f(x) y
O 1 x 6 5
x y 0 y 1 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 6
↘ 5
극대 극소 ↗
x y -1 y 1 y
f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘ -1
↗ 3
극소 극대 ↘
x y -1 y 0 y 1 y
f '(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ 2
↗ 3
↘ 2
극소 극대 극소 ↗
정답과해설
050
⑴x=-1, x=1에서 극소,
⑴x=0에서 극대이므로
⑴ ㅇㅇ극댓값：f(0)=3
⑴ ㅇㅇ극솟값：f(-1)=2, f(1)=2
⑴따라서 함수 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다.
⑵ f(x)=-x› +4x‹ 에서
⑴ ㅇㅇf '(x)=-4x‹ +12x¤ =-4x¤ (x-3)
⑵f '(x)=0인 x의 값은
⑴ ㅇㅇx=0(중근) 또는 x=3
⑵함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑵x=0의 좌우에서 f '(x)의 부 호가 (+)를 유지하며 바뀌지 않으므로 x=0에서 극값을 갖 지 않고, x=3에서 극대이다.
⑴ ㅇㅇ극댓값：f(3)=27
⑴ ㅇㅇ극솟값：없다.
⑵따라서 함수 y=f(x)의 그래 프는 오른쪽 그림과 같다.
f(x)=-2x‹ +ax¤ +bx+c에서 ㅇㅇf '(x)=-6x¤ +2ax+b x=1에서 극댓값을 가지므로
ㅇㅇf '(1)=-6+2a+b=0 yy㉠ㅇ
x=-1에서 극솟값 -2를 가지므로 ㅇㅇf(-1)=-2, f '(-1)=0
f(-1)=-2에서ㅇㅇ2+a-b+c=-2 yy㉡ㅇ f '(-1)=0에서ㅇㅇ-6-2a+b=0 yy㉢ㅇ
㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 ㅇㅇa=0, b=6, c=2 ㅇㅇ∴ f(x)=-2x‹ +6x+2
구하는 극댓값은 x=1에서 f(x)의 함숫값이므로 ㅇㅇf(1)=-2+6+2=6
`f(x)=x‹ +ax¤ +bx+c에서 ㅇㅇf '(x)=3x¤ +2ax+b x=0, x=2에서 극값을 가지므로
9 8
y
y=f(x) O 3 x 27
y=f(x) y
O 1 x -1
3 2
ㅇㅇf '(0)=b=0 yy`㉠ㅇ ㅇㅇf '(2)=12+4a+b=0 yy`㉡ㅇ
㉠, ㉡을 연립하여 풀면ㅇㅇa=-3, b=0 ㅇㅇ∴ f(x)=x‹ -3x¤ +c
ㅇㅇ∴ f '(x)=3x¤ -6x=3x(x-2) 따라서 f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=0 또는 x=2
함수 f(x)의 증가, 감소를 조사하면 다음 표와 같다.
따라서 x=0에서 극댓값을 가지고 주어진 조건에서 극댓 값은 3이므로
ㅇㅇf(0)=c=3ㅇㅇ∴ c=3 ㅇㅇ∴ a+b+c=-3+0+3=0
f(x)는 삼차함수이므로
ㅇㅇf(x)=ax‹ +bx¤ +cx+d(a+0, a, b, c, d는 상수) 로 놓으면ㅇㅇf '(x)=3ax¤ +2bx+c
x=-1에서 극솟값 -2를 가지므로 ㅇㅇf '(-1)=0, f(-1)=-2 f '(-1)=0에서
ㅇㅇ3a-2b+c=0 yy`㉠ㅇ f(-1)=-2에서
ㅇㅇ-a+b-c+d=-2 yy`㉡ㅇ 또 곡선 y=f(x) 위의 점 (1, 1)에서의 접선의 방정식이 y=2x-1이므로
ㅇㅇf '(1)=2, f(1)=1 f '(1)=2에서
ㅇㅇ3a+2b+c=2 yy`㉢ㅇ f(1)=1에서
ㅇㅇa+b+c+d=1 yy`㉣ㅇ
㉣-㉡을 하면ㅇㅇ2a+2c=3 yy`㉤ㅇ
㉠+㉢을 하면ㅇㅇ6a+2c=2 yy`㉥ㅇ
㉤, ㉥을 연립하여 풀면ㅇㅇa=- , c=
a=- , c= 을 ㉠에 대입하면
ㅇㅇ- -2b+ =0ㅇㅇ∴ b=
a=- , b= , c=7을 ㉣에 대입하면 4
1 2 1 4
1 2 7
4 3
4 7 4 1 4
7 4 1 4
0 1
x y 0 y 3 y
f '(x) + 0 + 0
-f(x) ↗ 0 ↗ 27
극대 ↘
x y 0 y 2 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ c
↘ c-4
극대 극소 ↗
Ⅱ다항함수의미분법
051
ㅇㅇ- + + +d=1ㅇㅇ∴ d=-1ㅇㅇ∴ f(x)=- x‹ + x¤ + x-1 ㅇㅇ∴ f(2)=-2+2+ -1=
y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 ㅇㅇx=-1, x=0
f '(x)의 부호를 조사하여 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 y=f(x)의 그래프의 개형이 될 수 있는 것은
②
②이다.
함수 y=f'(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 ㅇㅇx=-1, x=1, x=3, x=5
f '(x)의 부호를 조사하여 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
따라서 함수 y=f(x)는 x=-1, x=5에서 극소, x=3 에서 극대이다.
함수 y=f '(x)의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표는 x=0, x=2, x=4
f '(x)의 부호를 조사하여 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
① 함수 f(x)는 x=0, x=4에서 극대이다. (∴ 거짓)
② 함수 f(x)는 0<x<2에서 감소한다. (∴ 거짓)
③ 함수 f(x)는 x=0, x=4에서 극대, x=2에서 극소 이므로 모두 3개의 극값을 갖는다. (∴ 거짓)
④ 함수 f(x)는 x>4에서 감소한다. (∴ 거짓)
⑤ 함수 f(x)는 x=2에서 극소이다. (∴ 참) 따라서 보기에서 옳은 것은 ⑤⑤이다.
3 1
2 1
1 1
5 2 7 2
7 4 1 2 1 4 7 4 1 2 1
4 주어진 y=f(x)의 그래프에서
⁄ x=a, x=b, x=c에서 y=f(x)는 극값을 가지므로 f '(a)=0, f '(b)=0, f '(c)=0
따라서 y=f '(x)의 그래프는 x=a, x=b, x=c에 서 x축과 만난다.
¤ x의 구간에서 함수 y=f(x)의 증가, 감소를 조사하면 x<a, 0<x<b, x>c에서 f(x)는 감소하므로 x<a, 0<x<b, x>c에서 f '(x)<0이다.
a<x<0, b<x<c에서 f(x)는 증가하므로 a<x<0, b<x<c에서 f '(x)>0이다.
‹ x=0에서 y=f(x)의 그래프의 모양이 뾰족하므로 f '(0)은 존재하지 않는다.
따라서 ⁄, ¤, ‹에 의하여 y=f '(x)의 그래프의 개형 으로 적당한 것은 ②②이다.
4 1
x y -1 y 0 y
f '(x) + 0 + 0
-f(x) ↗ ↗ 극대 ↘
x y -1 y 1 y 3 y 5 y
f '(x) - 0 + 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ 극소 ↗ ↗ 극대 ↘ 극소 ↗
x y 0 y 2 y 4 y
f '(x) + 0 - 0 + 0
-f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗ 극대 ↘
15 0<a<3 16 p 17 <a<1 18 - <a<-'3 또는 '3<a<
19 ⑴ a=0 또는 aæ9 ⑵ -1<a<0 또는 a>0 4
7 4 7
4
2 3
유제 pp. 97~99
08
함수가 극값을 가질 조건과 갖지 않을 조건f(x)=x‹ -ax¤ +(a¤ -2a)x에서 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -2ax+a¤ -2a
함수 f(x)가 극값을 가지려면 이차방정식 f '(x)=0이 서 로 다른 두 실근을 가져야 한다.
따라서 이차방정식 ㅇㅇ3x¤ -2ax+a¤ -2a=0 의 판별식 D>0이어야 하므로 ㅇㅇ =a¤ -3(a¤ -2a)>0 ㅇㅇa(a-3)<0
ㅇㅇ∴ 0<a<3
f(x)=(p-2)x‹ +3(q-1)x¤ -3px+5에서 ㅇㅇf '(x)=3(p-2)x¤ +6(q-1)x-3p
삼차함수 f(x)가 극값을 갖지 않으려면 f '(x)=0이 중근 또는 허근을 가져야 한다.
6 1
D 4
5
1
정답과해설
052
따라서 이차방정식
ㅇㅇ(p-2)x¤ +2(q-1)x-p=0 의 판별식 D…0이어야 하므로 ㅇㅇ =(q-1)¤ +p(p-2)…0 ㅇㅇp¤ -2p+(q-1)¤ …0
ㅇㅇ∴ (p-1)¤ +(q-1)¤ …1 yy`㉠ㅇ 부등식 ㉠이 나타내는 영역
은 오른쪽 그림과 같이 중심 이 (1, 1), 반지름의 길이 가 1인 원의 내부(경계선 포함)이므로 그 넓이는 ㅇㅇp¥1¤ =p
f(x)= x‹ -ax¤ +(3a-2)x- 에서 ㅇㅇf '(x)=x¤ -2ax+3a-2
함수 f(x)가 0<x<1에서 극댓값 을, x>1에서 극솟값을 가지려면 이차방정식 f '(x)=0의 서로 다른 두 실근 중 한 근이 0<x<1에 있 고, 다른 한 근은 x>1에 있어야 하므로 ㅇㅇ⁄ f '(0)>0
ㅇㅇ¤ f '(1)<0
⁄ f '(0)>0에서
ㅇㅇ3a-2>0ㅇㅇ∴ a> yy`㉠ㅇ
¤ f '(1)<0에서
ㅇㅇ1-2a+3a-2<0ㅇㅇ∴ a<1 yy`㉡ㅇ
㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ㅇㅇ <a<1
f(x)=x‹ -3ax¤ +9x-1에서 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -6ax+9 함수 f(x)가 -2<x<2에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지려 면 이차방정식 f '(x)=0의 서로 다른 두 실근이 -2<x<2에 있어야 하므로
ㅇㅇ⁄ f '(x)=0의 판별식 D>0
¤ f '(-2)>0
‹ f '(2)>0
› -2<(y=f '(x)의 축)<2
y=f '(x)
-2 2 x
축
8 1
2 3
2 3
0 x 1
y=f '(x) 1
2 1
7
31
(p-1)™ +(q-1)™ q =1
O 1 p 1 D
4
따라서 각각의 경우의 a의 값의 범위를 구하면
⁄ 이차방정식 3x¤ -6ax+9=0의 판별식 D>0에서 ㅇㅇ =9a¤ -27>0, (a+'3 )(a-'3 )>0 ㅇㅇ∴ a<-'3 또는 a>'3 y㉠ㅇ
¤ f '(-2)>0에서
ㅇㅇ12+12a+9>0ㅇㅇ∴ a>- y㉡ㅇ
‹ f '(2)>0에서
ㅇㅇ12-12a+9>0ㅇㅇ∴ a< y㉢ㅇ
› -2<(y=f '(x)의 축)<2에서
ㅇㅇ-2<- <2ㅇㅇ∴ -2<a<2 y㉣ㅇ
㉠, ㉡, ㉢, ㉣의 공통 범위를 구하면
ㅇㅇ∴ - <a<-'3 또는 '3<a<
⑴ f(x)=x› -4x‹ +2ax¤ +1에서 ㅇㅇf '(x)=4x‹ -12x¤ +4ax
=4x(x¤ -3x+a)
⑴함수 f(x)가 극댓값을 갖지 않을 조건은 삼차방정식 f '(x)=0이 중근을 갖거나 허근을 가져야 한다.
⁄ f '(x)=0이 중근을 갖는 경우
⑴ ⁄ 1 이차방정식 x¤ -3x+a=0의 한 근이 x=0 인 경우
ㅇㅇ0¤ -3¥0+a=0ㅇㅇ∴ a=0 yy ㉠ㅇ
⑴ ⁄ 2 이차방정식 x¤ -3x+a=0이 중근을 가지는 경우
이차방정식 x¤ -3x+a=0의 판별식 D=0이 어야 하므로
ㅇㅇD=3¤ -4a=0ㅇㅇ∴ a= yy㉡ㅇ
⑴¤ f '(x)=0이 허근을 갖는 경우
⑴ ⁄ 이차방정식 x¤ -3x+a=0의 판별식 D<0이어 야 하므로
ㅇㅇD=3¤ -4a<0ㅇㅇ∴ a> yy㉢ㅇ
⑴㉠, ㉡, ㉢에 의하여ㅇㅇa=0 또는 aæ9 4 9 4
9 4
9 1
7 4 7
4
2 a -2 -7 -'3 '3
4
7 4
㉣
㉡
㉢
㉠ ㉠
-6a 2¥3
7 4
7 4 D
4
Ⅱ다항함수의미분법
053
⑵ f(x)=3x› +8x‹ -6ax¤ 에서 ㅇㅇf '(x)=12x‹ +24x¤ -12ax
=12x(x¤ +2x-a)
⑴함수 f(x)가 극댓값을 가지려면 삼차방정식 f '(x)=0 이 서로 다른 세 실근을 가져야 한다.
이때 삼차방정식 12x(x¤ +2x-a)=0의 한 근이 x=0이므로 x¤ +2x-a=0은 0이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
⑴⁄ g(x)=x¤ +2x-a라 하면 g(x)=0은 0을 제외한 근을 가져야 하므로
ㅇㅇg(0)+0
ㅇㅇ∴ a+0 yy㉠ㅇ
⑴¤ 이차방정식 x¤ +2x-a=0의 판별식 D>0이어 야 하므로
ㅇㅇ =1+a>0
ㅇㅇ∴ a>-1 yy㉡ㅇ
⑴㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ㅇㅇ-1<a<0 또는 a>0
`다른 풀이`
⑴ f(x)=x› -4x‹ +2ax¤ +1에서 ㅇㅇf '(x)=4x‹ -12x¤ +4ax
=4x(x¤ -3x+a)
⑴함수 f(x)가 극댓값을 갖지 않을 조건은 f(x)가 극댓 값을 가질 조건, 즉 삼차방정식 f '(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가질 조건을 구하여 그 결과를 부정한다.
따라서 f '(x)=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 삼 차방정식 4x(x¤ -3x+a)=0의 한 근이 x=0이므로 이차방정식 x¤ -3x+a=0은 0이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
⑴⁄ g(x)=x¤ -3x+a라 하면 g(x)=0은 0을 제외 한 근을 가져야 하므로
ㅇㅇg(0)+0
ㅇㅇ∴ a+0 yy㉠ㅇ
⑴¤ 이차방정식 x¤ -3x+a=0의 판별식 D>0이어 야 하므로
ㅇㅇD=9-4a>0
ㅇㅇ∴ a< yy㉡ㅇ
⑴㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면
ㅇㅇa<0 또는 0<a< yy㉢ㅇ
㉢을 부정하여 a의 값의 범위를 구하면 ㅇㅇa=0 또는 aæ9
4 9 4 9 4 D
4
⑴ `f(x)=-x‹ +3x¤ 에서
ㅇㅇf '(x)=-3x¤ +6x=-3x(x-2)
⑴`f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=0 또는 x=2
⑴닫힌 구간 [-2, 3]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표 로 나타내면 다음과 같다.
⑵따라서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇx=-2일 때ㅇㅇ(최댓값)=20 ㅇㅇx=0, x=3일 때ㅇㅇ(최솟값)=0
⑵ `f(x)= x› -x‹에서
ㅇㅇf '(x)=x‹ -3x¤ =x¤ (x-3)
`f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=0 또는 x=3
닫힌 구간 [-1, 3]에서 함수 f(x)의 증가, 감소를 표 로 나타내면 다음과 같다.
⑵따라서 함수 f(x)의 최댓값과 최솟값은 ㅇㅇx=-1일 때ㅇㅇ(최댓값)=
ㅇㅇx=3일 때ㅇㅇ(최솟값)=-27 4 5 4 1
4
0 2
20 ⑴ 최댓값：20, 최솟값：0 ⑵ 최댓값： , 최솟값：-21 ⑴ 최댓값：없다, 최솟값：-1 ⑵ 최댓값：없다, 최솟값：-2 22 1 23 3 24 2
25 ⑴ 최댓값：없다, 최솟값：3 ⑵ 최댓값：5, 최솟값：-11 12 ⑶ 최댓값： ,
최솟값：-26 2 27 - 8 28 15 27
2'3 9 2'3
9
27 4 5
4
유제 pp. 101~104