이항정리

p. 221

(x+1)fi =∞Cº xfi +∞C¡ x› +∞C™ x‹ +∞C£ x¤ +∞C¢ x+∞C∞

=xfi +5x› +10x‹ +10x¤ +5x+1

파스칼의 삼각형의 원리 «C®=«–¡C®–¡+«–¡C®에 의하여 ㅇㅇ§C£+§C¢=¶C¢=¶C£

2 1

유제 pp. 222~226

6 ⑴ 40 ⑵ 40 ⑶ 60 7 -2 8 80 9 ⑴ 16 ⑵ -10 10 165 11 2560 12 4 13 ⑴ -120 ⑵ 140 14 4 15 ④

16 ⑴ 35 ⑵ 70 17 ④

⑴ (x+2)fi 의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면 ㅇㅇ∞C® xfi —® 2® =∞C® 2® xfi —® yy㉠ㅇ

⑴x‹항은 5-r=3일 때이므로

⑴ ㅇㅇr=2

⑴㉠의 ∞C® 2® 에 r=2를 대입하면 ㅇㅇ∞C™ 2¤ =40

⑵ {x¤ + }fi 의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면

⑴ ㅇㅇ∞C® (x¤ )fi —® { }®

=∞C® 2® x⁄ ‚ —‹ ® yy㉠ㅇ

⑴x›항은 10-3r=4일 때이므로

⑴ ㅇㅇr=2

⑴㉠의 ∞C® 2® 에 r=2를 대입하면 2

x 2

x

6

⑴ ㅇㅇ∞C™ 2¤ =40

⑶ {2x- }fl 의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면

⑴ ㅇㅇ§C® (2x)fl —® {- }® =§C® 2fl —® (-1)® xfl —® y—®

yy㉠ㅇ

⑴ =x¤ y—›항은 6-r=2, -r=-4일 때이므로

⑴ ㅇㅇr=4

⑴㉠의 §C® 2fl —® (-1)® 에 r=4를 대입하면 ㅇㅇ§C¢ 2¤ (-1)› =60

{ax- }› 의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면 ㅇㅇ¢C® (ax)› —® {- }® = ¢C® a› —® (-1)® x› —¤ ® yy ㉠ㅇ x¤항은 4-2r=2일 때이므로

ㅇㅇr=1

㉠의 ¢C® a› —® (-1)® 에 r=1을 대입하면 ㅇㅇ¢C¡ a‹ (-1)=-4a‹

이때 x¤ 의 계수는 32이므로

ㅇㅇ-4a‹ =32ㅇㅇ∴ a=-2 (∵ a는 실수)

(1+2x)« 의 전개식의 일반항을 구하면

ㅇㅇ«C® 2® x® yy㉠ㅇ x›항은 r=4일 때이므로 ㉠의 «C® 2® 에 r=4를 대입하면 ㅇㅇ«C¢ 2›

이때 x› 의 계수는 80이므로

ㅇㅇ«C¢ 2› =80, «C¢=5ㅇㅇ∴ n=5

따라서 x‹ 의 계수는 ㉠의 «C® 2® 에 n=5, r=3을 대입 하면

ㅇㅇ∞C£ 2‹ =80

⑴ (1+x)‹ 의 전개식의 일반항을 구하면

⑴ ㅇㅇ£C® x® yy㉠ㅇ

⑴(2-x)› 의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면

⑴ ㅇㅇ¢Cß 2› —ß (-x)ß =¢Cß 2› —ß (-1)ß xß yy㉡ㅇ

⑴이때 (1+x)‹ (2-x)› 의 전개식에서 x항은

⑴ ㅇㅇ⁄㉠의 상수항과 ㉡의 x항

⑴ ㅇㅇ¤㉠의 x항과 ㉡의 상수항

⑴이 곱해질 때 나타난다.

⑴⁄㉠의 상수항은 r=0일 때이므로 ㉠의 £C®에 r=0 을 대입하면

⑴ ⁄ ㅇㅇ£Cº=1 Δ (㉠의 상수항)=1

9 8

1 x 1

7

x x¤

y›

1 y 1

y

정답과해설

132

⑴ ⁄㉡의 x항은 s=1일 때이므로 ㉡의 ¢Cß 2› —ß (-1)ß 에 s=1을 대입하면

⑴ ⁄ ㅇㅇ¢C¡ 2‹ (-1)=-32 Δ (㉡의 x항)=-32x

⑴ ⁄따라서 ㉠의 상수항과 ㉡의 x항의 곱은

⑴ ⁄ ㅇㅇ1_(-32x)=-32x

⑴¤㉠의 x항은 r=1일 때이므로 ㉠의 £C®에 r=1 을 대입하면

⑴ ⁄ ㅇㅇ£C¡=3 Δ (㉠의 x항)=3x

⑴ ⁄㉡의 상수항은 s=0일 때이므로 ㉡의 ¢Cß2› —ß (-1)ß 에 s=0을 대입하면

⑴ ⁄ ㅇㅇ¢Cº 2› =16 Δ (㉡의 상수항)=16

⑴ ⁄따라서 ㉠의 x항과 ㉡의 상수항의 곱은

⑴ ⁄ ㅇㅇ3x_16=48x

⑴⁄, ¤에 의하여 x의 계수는

⑴ ㅇㅇ-32+48=16

⑵ {x- }fi

의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면

⑴ ㅇㅇ∞C® xfi —® {- }®

=∞C® (-1)® xfi —¤ ® yy㉠ㅇ

⑴이때 (x¤ -x){x- }fi

의 전개식에서 x¤ 항은

⑴ ㅇㅇ⁄(x¤ -x)의 x¤ 과 ㉠의 상수항

⑴ ㅇㅇ¤(x¤ -x)의 -x와 ㉠의 x항

⑴이 곱해질 때 나타난다.

⑴⁄㉠의 상수항은 5-2r=0일 때이므로

⑴ ⁄ ㅇㅇr=

⑴ ⁄그런데 r는 정수이므로 r의 값이 존재하지 않는다.

⑴ ⁄따라서 상수항은 존재하지 않으므로 (x¤ -x)의 x¤

과 ㉠의 상수항의 곱은 존재하지 않는다.

⑴¤㉠의 x항은 5-2r=1일 때이므로

⑴ ⁄ ㅇㅇr=2

⑴ ⁄㉠의 ∞C®(-1)® 에 r=2를 대입하면

⑴ ⁄ ㅇㅇ∞C™ (-1)¤ =10 Δ (㉠의 x항)=10x

⑴ ⁄따라서 (x¤ -x)의 -x와 ㉠의 x항의 곱은

⑴ ⁄ ㅇㅇ(-x)_10x=-10x¤

⑴⁄, ¤에 의하여 x¤ 의 계수는 -10이다.

주어진 식은 첫째항이 1+x¤ , 공비가 1+x¤ , 항의 개수 가 10인 등비수열의 합이므로

ㅇㅇ =

yy㉠ㅇ

㉠에서 x› 의 계수는 (1+x¤ )⁄ ⁄ 의 전개식의 xfl 의 계수와 (1+x¤ )⁄ ⁄ -(1+x¤ )

x¤

(1+x¤ ){(1+x¤ )⁄ ‚ -1}

(1+x¤ )-1

0 1

5 2

1 x 1 x 1

x

같으므로 (1+x¤ )⁄ ⁄ 의 전개식의 일반항을 구하면 ㅇㅇ¡¡C® x¤ ® yy㉡ㅇ xfl 항은 2r=6일 때이므로

ㅇㅇr=3

㉡의 ¡¡C®에 r=3을 대입하면 ㅇㅇ¡¡C£=165

`다른 풀이`

주어진 식에서 x› 항이 나오는 식은 ㅇㅇ(1+x¤ )¤ , (1+x¤ )‹ , y, (1+x¤ )⁄ ‚ (1+x¤ )« 의 전개식의 일반항을 구하면

ㅇㅇ«C® x¤ ® yy㉠ㅇ x› 항은 2r=4일 때이므로

ㅇㅇr=2

㉠의 «C®에 r=2를 대입하면

ㅇㅇ«C™ yy㉡ㅇ

㉡을 이용하여 각각의 항에서 x› 의 계수를 구하면 ㅇㅇ™C™, £C™, y, ¡ºC™

이므로 모두 더하면 x› 의 계수는 파스칼의 삼각형의 성질 에 의하여

ㅇㅇ™C™+£C™+¢C™+y+¡ºC™=¡¡C£=165

주어진 식은 첫째항이 1+2x, 공비가 1+2x, 항의 개수 가 9인 등비수열의 합이므로

ㅇㅇ (1+2x)« =

= yy㉠ㅇ

㉠에서 x° 의 계수는 (1+2x)⁄ ‚ 의 전개식의 x· 의 계수에 을 곱한 것과 같으므로 (1+2x)⁄ ‚ 의 전개식의 일반항 을 구하면

ㅇㅇ¡ºC® 2® x® yy㉡ㅇ x·항은 r=9일 때이므로 ㉡의 ¡ºC® 2® 에 r=9를 대입하면 ㅇㅇ¡ºCª 2· =10¥2·

따라서 x° 의 계수는 ㅇㅇ _10¥2· =2560

`다른 풀이`

주어진 식에서 x° 항이 나오는 식은 ㅇㅇ(1+2x)° , (1+2x)·

(1+2x)« 의 전개식의 일반항을 구하면

ㅇㅇ«C® 2® x® yy㉠ㅇ x°항은 r=8일 때이므로 ㉠의 «C® 2® 에 r=8을 대입하면

ㅇㅇ«C• 2° yy㉡ㅇ

1 2 1 2

(1+2x)⁄ ‚ -(1+2x) 2x

(1+2x){(1+2x)· -1}

(1+2x)-1

¡9 n=1

1

1

Ⅳ확률

133

㉡을 이용하여 각각의 항에서 x° 의 계수를 구하면 ㅇㅇ•C• 2° , ªC• 2°

이므로 모두 더하면 x° 의 계수는 파스칼의 삼각형의 성질 에 의하여

ㅇㅇ•C• 2° +ªC• 2° =2°(•C•+ªC•)=¡ºCª 2° =2560

주어진 식은 첫째항이 1+x‹ , 공비가 1+x‹ , 항의 개수가 n인 등비수열의 합이므로

ㅇㅇ =

yy㉠ㅇ

㉠에서 xfl 의 계수는 (1+x‹ )« ±⁄ 의 전개식의 x· 의 계수와 같으므로 (1+x‹ )« ±⁄ 의 전개식의 일반항을 구하면 ㅇㅇ«≠¡C® x‹ ® yy㉡ㅇ x· 항은 3r=9일 때이므로

ㅇㅇr=3

㉡의 «≠¡C®에 r=3을 대입하면 ㅇㅇ«≠¡C£

이때 xfl 의 계수는 10이므로 ㅇㅇ«≠¡C£=10

ㅇㅇ∴ n+1=5ㅇㅇ∴ n=4

`다른 풀이`

주어진 식에서 xfl 항이 나오는 식은 ㅇㅇ(1+x‹ )¤ , (1+x‹ )‹ , y, (1+x‹ )«

(1+x‹ )« 의 전개식의 일반항을 구하면

ㅇㅇ«C® x‹ ® yy㉠ㅇ xfl항은 3r=6일 때이므로

ㅇㅇr=2

㉠의 «C®에 r=2를 대입하면

ㅇㅇ«C™ yy㉡ㅇ

㉡을 이용하여 각각의 항에서 xfl 의 계수를 구하면 ㅇㅇ™C™, £C™, y, «C™

이므로 모두 더하면 xfl 의 계수는 파스칼의 삼각형의 성질 에 의하여

ㅇㅇ™C™+£C™+y+«C™=«≠¡C£=10

«≠¡C£=10에서

ㅇㅇn+1=5ㅇㅇ∴ n=4

⑴ (x+y-2z)fl 의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면 ㅇㅇ xπ yœ (-2z)® = (-2)® xπ yœ z®

(단, p+q+r=6, pæ0, qæ0, ræ0) 6!

p!q!r!

6!

p!q!r!

3 1

(1+x‹ )« ±⁄ -(1+x‹ ) x‹

(1+x‹ ){(1+x‹ )« -1}

(1+x‹ )-1

2 1

⑵x‹ y¤ z항은 p=3, q=2, r=1일 때이므로 x‹ y¤ z의 계 수는

ㅇㅇ (-2)⁄ =-120

⑵ {x¤ +2- }fi 의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면

ㅇㅇ (x¤ )π 2œ {- }® = 2œ (-1)® x¤ π —®

(단, p+q+r=5, pæ0, qæ0, ræ0)

⑵x¤항은 2p-r=2일 때이므로

ㅇㅇ2p-r=2 yy㉠ㅇ

㉠의 pæ0, ræ0인 정수해는 무수히 많지만 조건에 서 p+q+r=5, qæ0이므로

ㅇㅇp+r…5 yy㉡ㅇ

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 순서쌍 (p, r)를 구하면 ㅇㅇ(p, r)=(1, 0), (2, 2)

이고, p+q+r=5이므로 ㅇㅇq=4, q=1

ㅇㅇ∴ p=1, q=4, r=0 또는 p=2, q=1, r=2 따라서 x¤ 의 계수는

ㅇㅇ 2›(-1)‚ + 2⁄(-1)¤

=80+60=140

(ax¤ +2x-1)fi 의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면 ㅇㅇ (ax¤ )π (2x)œ (-1)®

ㅇㅇ= aπ 2œ (-1)® x¤ π ±œ

ㅇㅇ (단, p+q+r=5, pæ0, qæ0, ræ0) x‹ 항은 2p+q=3일 때이므로

ㅇㅇ2p+q=3 yy㉠ㅇ

㉠의 pæ0, qæ0인 정수해는 무수히 많지만 조건에서 p+q+r=5, ræ0이므로

ㅇㅇp+q…5 yy㉡ㅇ

㉠, ㉡을 동시에 만족하는 순서쌍 (p, q)를 구하면 ㅇㅇ(p, q)=(0, 3), (1, 1)

이고, p+q+r=5이므로 ㅇㅇr=2, r=3

ㅇㅇ∴ p=0, q=3, r=2 또는 p=1, q=1, r=3 따라서 x‹ 의 계수는

ㅇㅇ a‚ 2‹(-1)¤ + a⁄ 2⁄(-1)‹

ㅇㅇ=80-40a

이때 x‹ 의 계수는 -80이므로 ㅇㅇ80-40a=-80ㅇㅇ∴ a=4

5!

1!1!3!

5!

0!3!2!

5!

p!q!r!

5!

p!q!r!

4 1

5!

2!1!2!

5!

1!4!0!

5!

p!q!r!

1 x 5!

p!q!r!

1 x 6!

3!2!1!

정답과해설

134

풀이 1

™C™+£C™+¢C™+y+¡ºC™

=£C£+£C™+¢C™+y+¡ºC™ (∵ ™C™=£C£=1)

=¢C£+¢C™+y+¡ºC™ (∵ £C™+£C£=¢C£)

=∞C£+y+¡ºC™ (∵ ¢C™+¢C£=∞C£)

⋯

=¡¡C£

풀이 2

™Cμ+£Cμ+¢Cμ+y+«Cμ=«≠¡Cμ≠¡을 이용하면 ㅇㅇ™C™+£C™+¢C™+y+¡ºC™=¡¡C£

⑴ ^{풀이 1}

™Cº+£C¡+¢C™+∞C£+§C¢

=£Cº+£C¡+¢C™+∞C£+§C¢ (∵ ™Cº=£Cº=1)

=¢C¡+¢C™+∞C£+§C¢ (∵ £Cº+£C¡=¢C¡)

=∞C™+∞C£+§C¢ (∵ ¢C¡+¢C™=∞C™)

=§C£+§C¢ (∵ ∞C™+∞C£=§C£)

=¶C¢

=35 풀이 2

™Cº+£C¡+¢C™+y+«C«–™=«≠¡C«–™를 이용하면 ㅇㅇ™Cº+£C¡+¢C™+∞C£+§C¢=¶C¢=35

⑵ 풀이 1

£C£+¢C£+∞C£+§C£+¶C£

=¢C¢+¢C£+∞C£+§C£+¶C£ (∵ £C£=¢C¢=1)

=∞C¢+∞C£+§C£+¶C£ (∵ ¢C£+¢C¢=∞C¢)

=§C¢+§C£+¶C£ (∵ ∞C£+∞C¢=§C¢)

=¶C¢+¶C£ (∵ §C£+§C¢=¶C¢)

=•C¢

=70 풀이 2

£Cμ+¢Cμ+∞Cμ+y+«Cμ=«≠¡Cμ≠¡을 이용하면 ㅇㅇ£C£+¢C£+∞C£+§C£+¶C£=•C¢=70

™º¡£C™º+™º¡™C¡ª+™º¡¡C¡•+™º¡ºC¡¶+™ººªC¡§+™ººªC¡∞

=™º¡£C™º+™º¡™C¡ª+™º¡¡C¡•+™º¡ºC¡¶+™º¡ºC¡§

=™º¡£C™º+™º¡™C¡ª+™º¡¡C¡•+™º¡¡C¡¶

=™º¡£C™º+™º¡™C¡ª+™º¡™C¡•

=™º¡£C™º+™º¡£C¡ª

=™º¡¢C™º

7 1

6 1

5 1

⑴ «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2« 이므로

⑴ ㅇㅇ«C¡+«C™+y+«C«=2« -«Cº=2« -1

⑴200<«C¡+«C™+y+«C«<300에서

⑴ ㅇㅇ200<2« -1<300, 201<2« <301

⑴이때 2‡ =128, 2° =256, 2· =512이므로

⑴ ㅇㅇn=8

⑵ «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2« 을 이용하기 위하여

¡∞C•+¡∞Cª+y+¡∞C¡∞를 변형하면

⑴ ㅇㅇ¡∞Cº+y+¡∞C§+¡∞C¶+¡∞C•+¡∞Cª+y+¡∞C¡∞

⑴ ㅇㅇ=2⁄ fi yy㉠ㅇ

⑴㉠에서 ¡∞Cº=¡∞C¡∞, y, ¡∞C§=¡∞Cª, ¡∞C¶=¡∞C•이 므로

⑴ ㅇㅇ2 ¡∞C•+2 ¡∞Cª+y+2 ¡∞C¡∞=2⁄ fi

⑴ ㅇㅇ2(¡∞C•+¡∞Cª+y+¡∞C¡∞)=2⁄ fi

⑴ ㅇㅇ¡∞C•+¡∞Cª+y+¡∞C¡∞=2⁄ fi —⁄ =2⁄ ›

⑴ ㅇㅇ∴ log™ (¡∞C•+¡∞Cª+y+¡∞C¡∞)=log™ 2⁄ › =14

⑶ «Cº-«C¡+«C™-y+(-1)« «C«=0을 이용하기 위하여

£ºC¡-£ºC™+£ºC£-£ºC¢+y+£ºC™ª를 변형하면

⑴ ㅇㅇ£ºCº-£ºC¡+£ºC™-y-£ºC™ª+£ºC£º

⑴ ㅇㅇ=£ºCº-(£ºC¡-£ºC™+y+£ºC™ª)+£ºC£º

⑴ ㅇㅇ=0

⑴ ㅇㅇ∴ £ºC¡-£ºC™+y+£ºC™ª=£ºCº+£ºC£º

=1+1=2

⑴ «Cº+«C¡+«C™+y+«C«=2« 이므로

⑴ ㅇㅇlog™ { ¡ºC˚}=log™ (¡ºCº+¡ºC¡+y+¡ºC¡º)

=log™ 2⁄ ‚ =10

⑵ «Cº+«C™+«C¢+y=«C¡+«C£+«C∞+y=2« —⁄ 이 므로

⑴ ㅇㅇlog¢ { £ªC™˚}= log¢ (£ªCº+£ªC™+y+£ªC£•)

= log¢ (2‹ · —⁄ )

= log¢ 2‹ °

= log¢ 4⁄ · =19

¡19 k=0

¡10 k=0

9 1

8 1

유제 pp. 228~230

18 ⑴ 8 ⑵ 14 ⑶ 2 19 ⑴ 10 ⑵ 19 20 7 21 ⑴ 4⁄ ‚ ⑵ { }‡ 22 7 23 31

24 ⑴ 5fi ⑵ 1-3¤ ‚ 25 -1024 2

2 3

03 ^(1+x)«

의 전개식과 이항계수의 성질

Ⅳ확률

135

«C¡+2 «C™+3 «C£+y+n «C«=n¥2« —⁄ 이므로 ㅇㅇn¥2« —⁄ =448=7¥2‡ —⁄

ㅇㅇ∴ n=7

⑴ (1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™ x¤ +y+«C« x« 의 양변 에 x=3, n=10을 대입하면

⑴ ㅇㅇ¡ºCº+3 ¡ºC¡+3¤ ¡ºC™+y+3⁄ ‚ ¡ºC¡º=(1+3)⁄ ‚

=4⁄ ‚

⑵ (1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™ x¤ +y+«C« x« 의 양변 에 x=- , n=7을 대입하면

⑴ ㅇㅇ¶Cº+{- }¶C¡+{- }¤

¶C™+y+{- }‡¶C¶

⑴ ㅇㅇ=¶Cº- +

-y-={1- }‡

={ }‡

21=1+20이므로 (1+x)« 의 전개식에 의하여 21¤ ⁄ =(1+20)¤ ⁄

=1+™¡C¡ 20+™¡C™ 20¤ +™¡C£ 20‹ +y+™¡C™¡ 20¤ ⁄

=1+21_20+210_20¤

+20‹ (™¡C£+™¡C¢ 20+y+™¡C™¡ 20⁄ ° )

=1+420+84000

+20‹(™¡C£+™¡C¢ 20+y+™¡C™¡ 20⁄ ° )

=20‹ (™¡C£+y+™¡C™¡ 20⁄ ° )+84421

㉠

이때 ㉠은 천의 자리 이상의 수이므로 21¤ ⁄ 의 백의 자리의 숫자, 십의 자리의 숫자, 일의 자리의 숫자는 각각 84421 에서 4, 2, 1이다.

ㅇㅇ∴ a=4, b=2, c=1ㅇㅇ∴ a+b+c=7 31=1+30이므로 (1+x)« 의 전개식에 의하여 31‹ ⁄ =(1+30)‹ ⁄

=1+£¡C¡ 30+£¡C™ 30¤ +£¡C£ 30‹ +y+£¡C£¡ 30‹ ⁄

=1+31_30+30¤ (£¡C™+£¡C£ 30+y+£¡C£¡ 30¤ · )

=1+(1+30)30+30¤ (£¡C™+£¡C£ 30+y+£¡C£¡ 30¤ · )

=1+30+30¤ +30¤(£¡C™+£¡C£ 30+y+£¡C£¡ 30¤ · ) 31‹ ⁄=31+30¤ (1+£¡C™+£¡C£ 30+y+£¡C£¡ 30¤ · )

㉠

이때 ㉠에서 30¤ =900이므로 ㉠은 900의 배수이다.

따라서 31‹ ⁄ 을 900으로 나눈 나머지는 31이다.

⑴ (3x+2y)fi 을 전개한 꼴을

⑴ ㅇㅇ(3x+2y)fi =aºxfi +a¡x› y+a™x‹ y¤ +y+a∞ yfi

⑴ 으로 놓자.

4 2

3 2

2 2

2 3 1 3

¶C¶

3‡

¶C™

3¤

¶C¡

3

1 3 1

3 1

3 1 3

1 2

0

2

^⑴위의 식의 양변에 x=1, y=1을 대입하면

⑴ ㅇㅇaº+a¡+a™+a£+a¢+a∞=5fi

⑴따라서 (3x+2y)fi 의 전개식에서 계수의 총합은 5fi 이다.

⑵ (x‹ -x¤ -1)¤ ‚ 을 전개한 꼴을

⑵ ㅇㅇ(x‹ -x¤ -1)¤ ‚ =1+a¡x+a™x¤ +a£x‹

+y+a§ºxfl ‚

⑵으로 놓자.

⑵위의 식의 양변에 x=1, x=-1을 각각 대입하면

⑵ ㅇㅇ1+a¡+a™+a£+y+a∞ª+a§º=1 y㉠ㅇ

⑵ ㅇㅇ1-a¡+a™-a£+y-a∞ª+a§º=3¤ ‚ y㉡ㅇ

⑵주어진 식의 홀수차 항의 계수의 합은

⑵ ㅇㅇa¡+a£+a∞+y+a∞ª

⑵이므로 ㉠-㉡을 하면

⑵ ㅇㅇ2a¡+2a£+2a∞+y+2a∞ª=1-3¤ ‚

⑵ ㅇㅇ∴ a¡+a£+y+a∞ª=

(1+i)« (i='∂-1)의 전개식에 의하여

ㅇㅇ(1+i)¤ ‚ =™ºCº+™ºC¡ i+™ºC™ i¤ +y+™ºC™º i¤ ‚

=™ºCº-™ºC™+™ºC¢-™ºC§+™ºC•-™ºC¡º +™ºC¡™-™ºC¡¢+™ºC¡§-™ºC¡•+™ºC™º +i(™ºC¡-™ºC£+™ºC∞-™ºC¶+™ºCª -™ºC¡¡+™ºC¡£-™ºC¡∞+™ºC¡¶-™ºC¡ª) 이때 (1+i)¤ ‚ ={(1+i)¤ }⁄ ‚ =(2i)⁄ ‚ =-1024이므로 ㅇㅇ-1024=™ºCº-™ºC™+™ºC¢-™ºC§+™ºC•-™ºC¡º +™ºC¡™-™ºC¡¢+™ºC¡§-™ºC¡•+™ºC™º +i(™ºC¡-™ºC£+™ºC∞-™ºC¶+™ºCª -™ºC¡¡+™ºC¡£-™ºC¡∞+™ºC¡¶-™ºC¡ª) 따라서 복소수가 서로 같을 조건에 의하여

ㅇㅇ™ºCº-™ºC™+™ºC¢-™ºC§+™ºC•-y-™ºC¡•+™ºC™º

=-1024

5 2

1-3¤ ‚ 2

1 ③ 2 ④ 3 66가지 4 455 5 ④ 6 -1 또는 11 7 ① 8 56개 9 ② 10 ㄱ, ㄴ 11 2 12 466개

pp. 231~233

연습 문제

서로 다른 4차 단항식의 개수는 서로 다른 3개의 문자 x, y, z에서 중복을 허락하여 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

ㅇㅇ£H¢=§C¢=15(개)

1

정답과해설

136

세 명의 후보를 A, B, C라 하면 각 후보가 6명의 유권 자로부터 받은 득표의 수를 각각 2, 3, 1이라 할 때, AABBBC로 결과가 나오므로 이는 서로 다른 3개에서 순서를 고려하지 않고 중복을 허락하여 6개를 택하는 중 복조합의 수와 같다.

ㅇㅇ∴ £H§=•C§=28(개)

3명의 학생 A, B, C가 각각 적어도 2개의 구슬을 나누 어 가지므로 남게 될 구슬의 개수는

ㅇㅇ16-(3_2)=10(개)

따라서 3명의 학생에게 10개의 구슬을 나누어 주는 방법 의 수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 10개를 택하 는 중복조합의 수와 같으므로

ㅇㅇ£H¡º=¡™C¡º=66(가지)

™Cº+£C¡+¢C™+y+¡¢C¡™

=£Cº+£C¡+¢C™+y+¡¢C¡™ (∵ ™Cº=£Cº=1)

=¢C¡+¢C™+y+¡¢C¡™ (∵ £Cº+£C¡=¢C¡)

=∞C™+∞C£+y+¡¢C¡™(∵ ¢C¡+¢C™=∞C™)

=y

=¡¢C¡¡+¡¢C¡™

=¡∞C¡™=¡∞C£ (∵ ¡¢C¡¡+¡¢C¡™=¡∞C¡™)

= =455

x, y, z는 xæ-1, yæ-1, zæ-1인 정수이므로 ㅇㅇx+1æ0, y+1æ0, z+1æ0

이때 x+1=p, y+1=q, z+1=r라 하면 주어진 방정 식 x+y+z=9는

ㅇㅇ(x+1)+(y+1)+(z+1)=9+3

ㅇㅇ∴ p+q+r=12 yy`㉠⋯

와 같다.

따라서 p, q, r는 음이 아닌 정수이므로 구하는 해의 개 수는 방정식 ㉠의 음이 아닌 정수해를 구하는 것과 같다.

이때 방정식 ㉠의 해는 서로 다른 3개의 문자 p, q, r에 서 12개를 택하여 만들 수 있으므로 방정식 ㉠의 해의 개 수는 서로 다른 3개에서 12개를 택하는 중복조합의 수와 같다.

ㅇㅇ∴ £H¡™=¡¢C¡™=91(개)

(1+ax)¤ 의 전개식의 일반항을 구하면

ㅇㅇ™C® a® x® yy㉠ㅇ

(1-x)fi 의 전개식의 일반항을 구하면

ㅇㅇ∞Cß(-1)ß xß yy㉡ㅇ

6 5

15¥14¥13 3¥2¥1

4 3

2

이때 (1+ax)¤ (1-x)fi 의 전개식에서 x¤ 항은

ㅇㅇ⁄ ㉠의 상수항과 ㉡의 x¤ 항 ㅇㅇ¤ ㉠의 x항과 ㉡의 x항 ㅇㅇ‹ ㉠의 x¤ 항과 ㉡의 상수항 이 곱해질 때 나타난다.

⁄ ㉠의 상수항은 r=0일 때이므로 ㉠의 ™C® a® 에 r=0 을 대입하면

ㅇㅇ™Cº a‚ =1 Δ (㉠의 상수항)=1

⁄ ㉡의 x¤ 항은 s=2일 때이므로 ㉡의 ∞Cß (-1)ß 에 s=2를 대입하면

⁄ ㅇㅇ∞C™(-1)¤ =10 Δ (㉡의 x¤ 항)=10x¤

⁄ 따라서 ㉠의 상수항과 ㉡의 x¤ 항의 곱은

⁄ ㅇㅇ1_10x¤ =10x¤

¤ ㉠의 x항은 r=1일 때이므로 ㉠의 ™C® a® 에 r=1을 대입하면

ㅇㅇ™C¡ a⁄ =2a Δ (㉠의 x항)=2ax

⁄ ㉡의 x항은 s=1일 때이므로 ㉡의 ∞Cß (-1)ß 에 s=1을 대입하면

⁄ ㅇㅇ∞C¡(-1)⁄ =-5 Δ (㉡의 x항)=-5x

⁄ 따라서 ㉠의 x항과 ㉡의 x항의 곱은

⁄ ㅇㅇ2ax_(-5x)=-10ax¤

‹ ㉠의 x¤ 항은 r=2일 때이므로 ㉠의 ™C® a® 에 r=2를 대입하면

ㅇㅇ™C™ a¤ =a¤ Δ (㉠의 x¤ 항)=a¤ x¤

⁄ ㉡의 상수항은 s=0일 때이므로 ㉡의 ∞Cß (-1)ß 에 s=0을 대입하면

⁄ ㅇㅇ∞Cº (-1)‚ =1 Δ (㉡의 상수항)=1

⁄ 따라서 ㉠의 x¤ 항과 ㉡의 상수항의 곱은

⁄ ㅇㅇa¤ x¤ _1=a¤ x¤

⁄, ¤, ‹에 의하여 x¤ 의 계수는 ㅇㅇa¤ -10a+10

이때 x¤ 의 계수는 21이므로

ㅇㅇa¤ -10a+10=21, a¤ -10a-11=0 ㅇㅇ(a+1)(a-11)=0

ㅇㅇ∴ a=-1 또는 a=11

주어진 식은 첫째항이 x-1, 공비가

-(x-1)=-x+1, 항의 개수가 10인 등비수열의 합이 므로

ㅇㅇ =

yy㉠ㅇ

㉠에서 x¤ 의 계수는 (x-1)⁄ ⁄ 의 전개식의 x‹ 의 계수에 -1을 곱한 것과 같으므로 (x-1)⁄ ⁄ 의 일반항을 구하면

(x-1)⁄ ⁄ -(x-1) -x (x-1){(-x+1)⁄ ‚ -1}

(-x+1)-1

7

Ⅳ확률

137

ㅇㅇ¡¡C® x⁄ ⁄ —® (-1)® yy㉡ㅇ

x‹ 항은 11-r=3일 때이므로 ㅇㅇr=8

㉡의 ¡¡C®(-1)® 에 r=8을 대입하면 ㅇㅇ¡¡C•(-1)° =¡¡C£=165 따라서 x¤ 의 계수는 ㅇㅇ-1_165=-165

주어진 조건에 의하여 정의역의 원소 1, 2, 3, 4, 5에 대 한 함숫값 f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)의 대소 관계는 ㅇㅇf(1)…f(2)…f(3)…f(4)…f(5) yy㉠ㅇ 따라서 이를 만족하는 함수 f의 개수는 정의역의 원소 5 개에 대응할 공역의 원소 4개 중 5개를 순서에 상관없이 중복을 허락하여 뽑은 후, ㉠의 크기순으로 배열하면 되는 중복조합의 수와 같으므로

ㅇㅇ¢H∞=•C∞=56(개)

{x+ + }‡ 의 전개식의 일반항을 구하여 정리하면 ㅇㅇ xπ { }œ

{ }® = 2œ a® xπ —œ —¤ ® (단, p+q+r=7, pæ0, qæ0, ræ0)

`f(x)의 상수항은 p-q-2r=0일 때이므로

ㅇㅇp-q-2r=0 yy㉠ㅇ

㉠의 pæ0, qæ0, ræ0인 정수해는 무수히 많지만 조건 에서 p+q+r=7이므로 이를 만족하는 p, q, r의 값을 구하면

ㅇㅇp=4, q=2, r=1 따라서 f(x)의 상수항은 ㅇㅇ 2¤ a⁄ =420a

이때 상수항은 420이므로ㅇㅇa=1 a=1이므로 f(1)의 값을 구하면 ㅇㅇf(1)=(1+2+1)‡ =4‡ =2⁄ ›

ㅇㅇ∴ log 2⁄ › =14 log 2=4.214 (∵ log 2=0.301) 따라서 2⁄ › 의 정수 부분의 자릿수는 5이다.

ㄱ. (1+x)« =«Cº+«C¡ x+«C™ x¤ +y+«C« x« 이므로 양변에 x=4를 대입하면

ㅇㅇ«Cº+4 «C¡+4¤ «C™+y+4« «C«=5« (∴ 참) ㄴ. (1+x)‹ « =£«Cº+£«C¡ x+£«C™ x¤ +y+£«C£« x‹ « 이

므로 양변에 x=1을 대입하면

ㅇㅇ£«Cº+£«C¡+£«C™+y+£«C£«=2‹ « =8« (∴ 참) ㄷ. k=2n이므로

0 1

7!

4!2!1!

7!

p!q!r!

a x¤

2 x 7!

p!q!r!

a x¤

2

9

x

8

ㅇㅇ˚Cº+˚C¡+˚C™+y+˚C˚=2˚ yy㉠ㅇ ㅇㅇ˚Cº-˚C¡+˚C™-y+˚C˚=0 yy㉡ㅇ ㄷ.㉡에서 ˚C¡, ˚C£, ˚C∞, y, ˚C˚–¡의 항을 우변으로

이항한 후, 좌변과 우변을 바꾸면 ㅇㅇ˚C¡+˚C£+˚C∞+y+˚C˚–¡

=˚Cº+˚C™+˚C¢+y+˚C˚

ㄷ.이므로 이를 ㉠에 대입하면

ㅇㅇ2 ˚Cº+2 ˚C™+2 ˚C¢+y+2 ˚C˚=2˚

ㅇㅇ2(˚Cº+˚C™+˚C¢+y+˚C˚)=2˚

ㅇㅇ∴ ˚Cº+˚C™+˚C¢+y+˚C˚=2˚ —⁄ =2¤ « —⁄

(∴ 거짓) 따라서^보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

4=5-1, 6=5+1이므로 (x-1)« , (x+1)« 의 전개식에 의하여

ㅇㅇa¢•=4› ° +6› °

=(5-1)› ° +(5+1)› °

=¢•Cº 5› ° (-1)‚ +¢•C¡ 5› ‡ (-1)⁄ +¢•C™ 5› fl (-1)¤

+y+¢•C¢¶ 5⁄ (-1)› ‡ +¢•C¢• 5‚ (-1)› ° +¢•Cº 5› ° ¥1‚ +¢•C¡ 5› ‡ ¥1⁄ +¢•C™ 5› fl ¥1¤

+y+¢•C¢¶ 5⁄ ¥1› ‡ +¢•C¢• 5‚ ¥1› ° ㅇㅇa¢•=5› ° -¢•C¡ 5› ‡ +¢•C™ 5› fl -y-¢•C¢¶ 5+1

+5› ° +¢•C¡ 5› ‡ +¢•C™ 5› fl +y+¢•C¢¶ 5+1 ㅇㅇa¢•=2(5› ° +¢•C™ 5› fl +y+¢•C¢§ 5¤ )+2 ㅇㅇa¢•=25¥2(5› fl +¢•C™ 5› › +y+¢•C¢§)+2

ㅇㅇ ㉠

이때 ㉠은 25의 배수이므로 a¢•을 25로 나눈 나머지는 2 이다.

9개의 서로 다른 점으로 만들 수 있는 다각형은 ㅇㅇ삼각형, 사각형, y, 구각형

이므로 9개의 점으로 만들 수 있는 각 다각형의 개수는 ㅇㅇªC£, ªC¢, y, ªCª

따라서 구하는 모든 다각형의 개수는 ㅇㅇªC£+ªC¢+y+ªCª

ㅇㅇ=ªCº+ªC¡+ªC™+ªC£+ªC¢+y+ªCª

-(ªCº+ªC¡+ªC™) ㅇㅇ=2· -(1+9+36)

ㅇㅇ=512-46=466(개)

2 1

1

1

정답과해설

138

Ⅳ ^확률

2 확률

표본공간을 S라 하면ㅇㅇS={1, 2, 3, 4, 5, 6}

4 이하의 눈이 나오는 사건이 A이므로 ㅇㅇA={1, 2, 3, 4}

사건 A에 대하여 AÇ 을 구하면 ㅇㅇAÇ ={5, 6}

이때 사건 A와 배반인 사건은 AÇ 의 부분집합이므로 사 건 A의 배반사건은

ㅇㅇ∅∅, {5}, {6}, {5, 6}

한 개의 동전을 2회 던질 때, 표본공간을 S라 하면 ㅇㅇS={(H, H), (H, T), (T, H), (T, T)}

2회 모두 같은 면이 나오는 사건이 P이므로 ㅇㅇP={(H, H), (T, T)}

사건 P에 대하여 PÇ 을 구하면 ㅇㅇPÇ ={(H, T), (T, H)}

이때 집합 PÇ 의 원소의 개수가 2개이므로 사건 P와 배 반인 사건 PÇ 의 개수는ㅇㅇ2¤ =4(개)

사건 A와 배반인 사건은 AÇ 의 부분집합이고, 사건 B와 배반인 사건은 BÇ 의 부분집합이므로 사건 C는 AÇ ;BÇ 의 부분집합이다.

이때 AÇ ={1, 3, 5, 7}, BÇ ={2, 5, 8}이므로 ㅇㅇAÇ ;BÇ ={5}

따라서 집합 AÇ ;BÇ 의 원소의 개수가 1개이므로 사건 C의 개수는ㅇㅇ2⁄ =2(개)

3 2 1

개념check | 1 ⑴ {1, 2, 3, 5} ⑵ {3, 5} ⑶ {2, 4, 6}

문서에서 Ⅰ 함수의 극한 (페이지 131-138)