조건 Ⅰ의 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy가 모든 실수 x, y 에 대하여 성립하므로 양변에 x=0, y=0을 대입하면 ㅇㅇf(0)=f(0)+f(0)+0ㅇㅇ∴ f(0)=0 yy㉠ㅇ 미분계수의 정의에 의하여 f '(0)은
ㅇㅇf '(0)=
= = (∵ ㉠)
주어진 조건 Ⅱ에서 f '(0)=1이므로
ㅇㅇ =1 yy㉡ㅇ
미분계수의 정의에 의하여 f '(k)는 ㅇㅇf '(k)=
=
= [ +k]
=1+k(∵ ㉡)
ㅇㅇ∴;K+!1 0 f '(k)=;K+!1 0 (k+1)= +10
=65
함수 f(x)='x의 그래프에서 x=a¡, x=a™, x=a£인 세 점을 각각 A, B, C라 하면 세 점 A, B, C의 좌표는 ㅇㅇA(a¡, f(a¡)), B(a™, f(a™)), C(a£, f(a£))
이때 x=a‘에서 x=aΔ까지의 평균변화율은 두 점 (a‘, f(a‘)), (aΔ, f(aΔ))를 이은 직선의 기울기와 같으므로 ㅇㅇg(1, 2)=(직선 AB의 기울기)
ㅇㅇg(1, 3)=(직선 AC의 기울기) ㅇㅇg(2, 3)=(직선 BC의 기울기)
따라서 주어진 그래프에 직선 AB, AC, BC를 각각 그 어 보면 다음 그림과 같다.
위의 그래프에서 세 직선 AB, AC, BC의 기울기를 살 펴보면
ㅇㅇ(직선 AB의 기울기)>(직선 AC의 기울기)
>(직선 BC의 기울기) ㅇㅇ∴ g(1, 2)>g(1, 3)>g(2, 3)
O A
B C
y
x a¡ a™ a£
직선AB 직선AC 직선BC
f(x)='x
0 1
10¥11 2 f(h)
lim h
h⁄0
f(k)+f(h)+kh-f(k) lim h
h⁄0
f(k+h)-f(k) lim h
h⁄0
f(h) lim h
h⁄0
f(h) lim h
h⁄0
f(0)+f(h)-f(0) lim h
h⁄0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄0
9
정답과해설
034
11 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않다. 12 ㄹ 13 ㄷ
유제 pp. 64~65
f(x)=x+|x|를 xæ0, x<0의 두 구간으로 나누면
ㅇㅇf(x)=[ yy`㉠ㅇ
⁄ f(x)가 x=0에서 연속일 조건은
⁄ ㅇㅇ f(x)=f(0)
⁄ x=0에서의 우극한을 구하면
⁄ ㅇㅇ f(x)= 2x=0
⁄ x=0에서의 좌극한을 구하면
⁄ ㅇㅇ f(x)= 0=0
⁄ ㅇㅇ∴ f(x)= f(x)=0
⁄ ㅇㅇ∴ f(x)=0 yy`㉡ㅇ
⁄ f(0)의 값을 구하면ㅇㅇf(0)=0 yy`㉢ㅇ
¤ ㉡, ㉢을 비교하면
⁄ ㅇㅇ f(x)=f(0)
¤ 따라서 함수 f(x)=x+|x|는 x=0에서 연속이다.
¤ f(x)가 x=0에서 미분가능하기 위한 조건은
¤ ㅇㅇ(x=0에서의 평균변화율의 우극한)
=(x=0에서의 평균변화율의 좌극한)
¤ x=0에서의 평균변화율의 우극한을 구하면
¤ ㅇㅇ = (∵ ㉠)
=2 yy`㉣ㅇ
¤ x=0에서의 평균변화율의 좌극한을 구하면
¤ ㅇㅇ = (∵ ㉠)
=0 yy`㉤ㅇ
¤ ㉣, ㉤을 비교하면
¤ ㅇㅇ +
¤ 따라서 f '(0)= 이 존재하지 않
으므로 함수 f(x)=x+|x|는 x=0에서 미분가능하 지 않다.
⁄, ¤에 의하여 함수 f(x)=x+|x|는 x=0에서 연속 이지만 미분가능하지 않다.
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄-0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄+0
0-2¥0 lim h
h⁄-0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄-0
2h-2¥0 lim h
h⁄+0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄+0
lim
x⁄0
limx⁄0
lim
x⁄-0
lim
x⁄+0
lim
x⁄-0
lim
x⁄-0
lim
x⁄+0
lim
x⁄+0
lim
x⁄0
2x (xæ0) 0 (x<0)
1
1
Ⅱ다항함수의미분법
035
ㄱ. x=a에서 함숫값 f(a)가 존재하지 않으므로 함수f(x)는 x=a에서 불연속이다.
따라서 함수 f(x)는 x=a에서 미분가능하지 않다.
ㄴ. x=a에서 극한값 f(x)가 존재하지 않으므로 함 ㄴ. 수 f(x)는 x=a에서 불연속이다.
따라서 함수 f(x)는 x=a에서 미분가능하지 않다.
ㄷ. x=a에서 연속이지만 뾰족점에서는 미분계수 f '(a) 가 존재하지 않으므로 함수 f(x)는 x=a에서 미분가 능하지 않다.
ㄹ. x=a에서 연속이고, 뾰족하지 않은 부드러운 곡선으 로 연결되어 있으므로 함수 f(x)는 x=a에서 미분가 능하다.
따라서보기에서 x=a에서 미분가능한 것은 ㄹ이다.
ㄱ. f '(4)는 함수 f(x)의 x=4에서의 접선의 기울기를 의 미한다. 따라서 주어진 그래프에서 x=4에서의 접선 의 기울기는 양수이므로
ㅇㅇf '(4)>0 (∴ 거짓)
ㄴ. x=3에서 극한값 f(x)가 존재하지 않으므로 함 ㄴ. 수 f(x)는 x=3에서 불연속이다.
따라서 함수 f(x)는 x=3에서 미분가능하지 않으므 로 f '(3)의 값은 존재하지 않는다. (∴ 거짓)
ㄷ. x=1에서 함수 f(x)는 불연속이지만 ㅇㅇ f(x)= f(x)
ㄷ. 이므로 x=1에서 극한값 f(x)가 존재한다. (∴ 참) ㄹ. ⁄ 함수 y=f(x) (0<x<5)의 그래프에서 불연속인
점은 x=1, x=3 (∵ ㄴ, ㄷ)일 때의 2개이다.
ㄹ. ¤ x=2에서 연속이지만 뾰족점에서는 미분계수 f '(2)가 존재하지 않으므로 함수 f(x)는 x=2에 서 미분가능하지 않다.
따라서 불연속인 점과 뾰족점에서는 미분가능하지 않으므로 함수 y=f(x) (0<x<5)의 그래프에서 미분가능하지 않은 점은 x=1, x=2, x=3일 때의 3개이다. (∴ 거짓)
따라서보기에서 옳은 것은 ㄷ이다.
limx⁄1 xlim⁄1-0 xlim⁄1+0
limx⁄3
3 1
limx⁄a
2 1
1 2 2 ⑤ 3 4 ③ 5 ①
6 5 7 50 8 2b f '(a) 9 ㄴ, ㄷ 1
2
pp. 66~67
연습 문제
함수 f(x)=x|x|의 그래프 위의 점 (1, 1)에서의 접선 의 기울기는 x=1에서의 미분계수 f '(1)과 같으므로 ㅇㅇf '(1)=
=
= (∵ 1+Dx>0)
= = (Dx+2)=2
따라서 점 (1, 1)에서의 접선의 기울기는 2이다.
주어진 식의 분자에 f(1)을 빼고 더하면
=
= [ - ]
= [ - ]
= [(x+1)_ -(x+1)f(1)]
= (x+1)¥ - (x+1)f(1)
=2 f '(1)-2f(1)
=2¥3-2¥2=2 (∵ f '(1)=3, f(1)=2)
임의의 실수 a에 대하여 f(1+a)-f(1)='ƒa+1-1이 성립하므로 미분계수의 정의에 의하여 f'(1)을 구하면 ㅇㅇf '(1)= =
= { _ }
= { _ }
=1¥ =1¥ =
닫힌 구간 [-1, 2]에서의 함수 g(x)의 평균변화율은
= =
이때 g(x)=( f Á f)(x)=f( f(x))이고, 주어진 그래프에서 f(-1)=0, f(0)=1, f(2)=-1이므로
ㅇㅇg(2)=f( f(2))=f(-1)=0 ㅇㅇg(-1)=f( f(-1))=f(0)=1
ㅇㅇ∴ = = =-1
3 0-1
3 g(2)-g(-1)
3 Dy
Dx
g(2)-g(-1) 3 g(2)-g(-1)
2-(-1) Dy
Dx
4
1 2 1 '1+1 1
'ƒa+1+1 lima⁄0
1 'ƒa+1+1 a+1-1
lim a
a⁄0
'ƒa+1+1 'ƒa+1+1 'ƒa+1-1
lim a
a⁄0
'ƒa+1-1 lim a
a⁄0
f(1+a)-f(1) lim a
a⁄0
3
limx⁄1
f(x¤ )-f(1) x¤ -1 limx⁄1
limx⁄1
f(x¤ )-f(1) x¤ -1 lim
x⁄1
(x-1)(x+1)f(1) x-1 (x+1){ f(x¤ )-f(1)}
(x+1)(x-1) limx⁄1
(x¤ -1)f(1) x-1 f(x¤ )-f(1)
lim x-1
x⁄1
f(x¤ )-f(1)+f(1)-x¤ f(1) lim x-1
x⁄1
f(x¤ )-x¤ f(1) lim x-1
x⁄1
2
Dxlim⁄0
(Dx)¤ +2Dx lim Dx
Dx⁄0
(1+Dx)¤ -1 lim Dx
Dx⁄0
(1+Dx)|1+Dx|-1 lim Dx
Dx⁄0
f(1+Dx)-f(1) lim Dx
Dx⁄0
1
정답과해설
036
연속성과 미분가능성을 조사할 때, 함수 f(x)가 x=0에서
⁄ 연속일 조건ㅇㅇ f(x)=f(0)
¤ 미분가능하기 위한 조건
ㅇㅇ(x=0에서의 평균변화율의 우극한)
=(x=0에서의 평균변화율의 좌극한) 을 만족하는지를 확인한다.
ㄱ. f(x)=|x|를 xæ0, x<0의 두 구간으로 나누면
ㅇㅇf(x)=[ yy`㉠ㅇ
⁄ x=0에서의 우극한과 좌극한을 구하면
¤ ㅇㅇ f(x)= x=0
¤ ㅇㅇ f(x)= (-x)=0
¤ ㅇㅇ∴ f(x)= f(x)=0
¤ ㅇㅇ∴ f(x)=0 yy`㉡ㅇ
¤ f(0)의 값을 구하면ㅇㅇf(0)=0 yy`㉢ㅇ
¤ ㉡, ㉢을 비교하면ㅇㅇ f(x)=f(0)
¤ 따라서 함수 f(x)=|x|는 x=0에서 연속이다.
¤ x=0에서의 평균변화율의 우극한을 구하면
¤ ㅇㅇ = (∵ ㉠)
=1 yy`㉣ㅇ
¤ x=0에서의 평균변화율의 좌극한을 구하면
¤ ㅇㅇ = (∵ ㉠)
=-1 yy`㉤ㅇ
¤ ㉣, ㉤을 비교하면
¤ ㅇㅇ +
¤ 따라서 f '(0)이 존재하지 않으므로 함수 f(x)=|x|는 x=0에서 미분가능하지 않다.
⁄, ¤에 의하여 함수 f(x)=|x|는 x=0에서 연속 이지만 미분가능하지 않다.
ㄴ. f(x)= 를 x>0, x<0의 두 구간으로 나누면
ㅇㅇf(x)=
[
x=0에서의 우극한과 좌극한을 구하면 ㅇㅇ f(x)=1, f(x)=-1
ㅇㅇ∴ f(x)+ f(x)
따라서 f(x)가 존재하지 않으므로 함수 f(x)=|x|는 x=0에서 불연속이다.
x limx⁄0
xlim⁄-0 xlim⁄+0
xlim⁄-0 xlim⁄+0
-1 (x>0) -0 (x=0) -1 (x<0)
|x|
x
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄-0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄+0
-h lim h
h⁄-0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄-0
h lim h
h⁄+0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄+0
lim
x⁄0
limx⁄0
xlim⁄-0 xlim⁄+0
xlim⁄-0 xlim⁄-0
xlim⁄+0 xlim⁄+0
-x (xæ0) -x (x<0)
lim
x⁄0
5
ㄷ. f(x)=x|x|를 xæ0, x<0의 두 구간으로 나누면ㅇㅇf(x)=[ yy`㉠ㅇ
⁄ x=0에서의 우극한과 좌극한을 구하면
¤ ㅇㅇ f(x)= x¤ =0
¤ ㅇㅇ f(x)= (-x¤ )=0
¤ ㅇㅇ∴ f(x)= f(x)=0
¤ ㅇㅇ∴ f(x)=0 yy`㉡ㅇ
¤ f(0)의 값을 구하면ㅇㅇf(0)=0 yy`㉢ㅇ
¤ ㉡, ㉢을 비교하면
¤ ㅇㅇ f(x)=f(0)
¤ 따라서 함수 f(x)=x|x|는 x=0에서 연속이다.
¤ x=0에서의 평균변화율의 우극한을 구하면
¤ ㅇㅇ
= (∵ ㉠)
= h=0 yy`㉣ㅇ
¤ x=0에서의 평균변화율의 좌극한을 구하면
¤ ㅇㅇ
= (∵ ㉠)
= (-h)=0 yy`㉤ㅇ
¤ ㉣, ㉤을 비교하면
¤ ㅇㅇ =
¤ 따라서 f '(0)이 존재하므로 함수 f(x)=x|x|는 x=0에서 미분가능하다.
⁄, ¤에 의하여 함수 f(x)=x|x|는 x=0에서 연 속이고 미분가능하다.
따라서보기에서 x=0에서 연속이지만 미분가능하지 않 은 것은 ㄱ이다.
주어진 함수 y=f(x)의 그래프에서
⁄ 불연속인 점
x=1에서 함숫값 f(1)이 존재하지 않고, x=2에서 극한값 f(x)가 존재하지 않는다.
¤ 따라서 함수 y=f(x) (-2<x<3)의 그래프에서 불 연속인 점은 x=1, x=2일 때의 2개이다.
ㅇㅇ∴ m=2 limx⁄2
6
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄-0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄+0
lim
h⁄-0
-h¤
lim h
h⁄-0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄-0 hlim⁄+0
h¤
lim h
h⁄+0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄+0
limx⁄0
limx⁄0
xlim⁄-0 xlim⁄+0
xlim⁄-0 xlim⁄-0
xlim⁄+0 xlim⁄+0
-x¤ (xæ0) -x¤ (x<0)
Ⅱ다항함수의미분법
037
¤ 미분가능하지 않은 점
x=0에서 연속이지만 뾰족점에서는 미분계수 f'(0) 이 존재하지 않으므로 함수 f(x)는 x=0에서 미분가 능하지 않다.
따라서 불연속인 점과 뾰족점에서는 미분가능하지 않 으므로 함수 y=f(x) (-2<x<3)의 그래프에서 미 분가능하지 않은 점은 x=0, x=1, x=2일 때의 3 개이다.ㅇㅇ∴ n=3
⁄, ¤에 의하여ㅇㅇm+n=2+3=5
조건 Ⅱ의 f(x+y)=f(x)+f(y)+xy(x+y)가 임의의 실수 x, y에 대하여 성립하므로 양변에 x=0, y=0을 대입하면
ㅇㅇf(0)=f(0)+f(0)+0ㅇㅇ∴ f(0)=0 yy`㉠ㅇ 미분계수의 정의에 의하여 f '(0)은
ㅇㅇf '(0)=
= =
주어진 조건 Ⅰ에서 f '(0)=1이므로
ㅇㅇ =1 yy`㉡ㅇ
미분계수의 정의에 의하여 f '(7)은 ㅇㅇf '(7)=
=
=
= [ +7(7+h)]
= + (49+7h)
=1+49 (∵ ㉡)=50
n[f{a+ }-f {a- }]에서
=h로 치환하면 n= 이고, n ⁄ ¶일 때 h ⁄ 0이므로
ㅇㅇ n[ f{a+ }-f {a- }]
ㅇㅇ= { f(a+h)-f(a-h)}
ㅇㅇ= b { f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)}
lim h
h⁄0
b lim h
h⁄0
b n b
lim n
nڦ
b h b
n
b n b
lim n
nڦ
8
lim
h⁄0
f(h) lim h
h⁄0
f(h) lim h
h⁄0
f(h)+7h(7+h) lim h
h⁄0
f(7)+f(h)+7h(7+h)-f(7) lim h
h⁄0
f(7+h)-f(7) lim h
h⁄0
f(h) lim h
h⁄0
f(h) lim h
h⁄0
f(0)+f(h)-f(0) lim h
h⁄0
f(0+h)-f(0) lim h
h⁄0
7
ㅇㅇ= b[ + ]
ㅇㅇ=b[ + ]
ㅇㅇ=b { f '(a)+f '(a)}
ㅇㅇ=2bf '(a)
g(a, b)= 는 닫힌 구간 [a, b]에서 함수 f(x)의 평균변화율이다.
이때 평균변화율은 두 점을 이은 직선의 기울기를 의미하 므로
ㄱ. g(1, 5) Δ 두 점 (1, f(1)), (5, f(5))를 이은 직선 의 기울기
ㄱ. g(2, 5) Δ 두 점 (2, f(2)), (5, f(5))를 이은 직선 의 기울기
ㄱ.오른쪽 그림에서 직선
①의 기울기 g(2, 5) 가 직선 ②의 기울기 g(1, 5)보다 크므로 ㄱ. ㅇㅇg(1, 5)<g(2, 5)
(∴ 거짓)
ㄴ. g(a, b)= 은 두 점 (a, f(a)), (b, f(b))를 이은
직선의 기울기가 임을 의미하므로 다음 그림과 같 이 함수 y=f(x)의 그래프 위의 두 점을 이어 직선 y= x+3에 평행
한 직선을 무수히 많 이 그을 수 있다.
즉 순서쌍 (a, b)를 무수히 많이 정할 수 있다. (∴ 참)
ㄷ. g(3, b)는 두 점 (3, f(3))과 (b, f(b))를 이은 직선 의 기울기를 의미한다.
따라서 오른쪽 그림 과 같이 b=9일 때, 즉 두 점 (3, f(3)), (9, f(9))를 이은 직 선의 기울기가 최소 이므로 g(3, b)는 b=9일 때, 최솟값을 갖는다. (∴ 참)
따라서보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.
O 3 6
6 3
9 y
x y=f(x)
O 3 6
6 3
9 y
2 y=-x+31
x y=f(x) 1
2
1 2 1 2
O 1 23 4 56 6
3
9 y
y=f(x)
x
①
② f(b)-f(a)
9
b-af(a-h)-f(a) lim -h
h⁄0
f(a+h)-f(a) lim h
h⁄0
f(a-h)-f(a) -h f(a+h)-f(a)
lim h
h⁄0
정답과해설
038
⑴ 도함수의 정의에 의하여 ㅇㅇf '(x)=
ㅇㅇf '(x)=
ㅇㅇf '(x)=
=
= (h+2x+1) ㅇㅇf '(x)=2x+1
⑵ 미분법의 공식에 의하여 ㅇㅇf '(x)=(x¤ )'+(x)'
=2x+1 limh⁄0
h(h+2x+1) lim h
h⁄0
h¤ +2xh+h lim h
h⁄0
{(x+h)¤ +(x+h)}-(x¤ +x) lim h
h⁄0
f(x+h)-f(x) lim h
h⁄0
1
개념check | 1 해설 참조
⑴ y '=4{(3x¤ )'-(4x)'+(2)'}
=4(3¥2x-4¥1+0)
=24x-16
⑵ y '=(-4x‹ )'+(2x¤ )'-(1)'
=-4¥3x¤ +2¥2x-0
=-12x¤ +4x
⑶ y '=(-7xfi )'-(2x‹ )'+(5)'
=-7¥5x› -2¥3x¤ +0
=-35x› -6x¤
⑷ y '={ xfl }'-{ x› }'+{ x¤ }'+(1)'
= ¥6xfi - ¥4x‹ + ¥2x+0
=2xfi -3x‹ +x 1 2 3
4 1
3
1 2 3
4 1
3
1
1 ⑴ y '=24x-16 ⑵ y '=-12x¤ +4x
⑶ y '=-35x› -6x¤ ⑷ y '=2xfi -3x‹ +x 2 - 3 -21
4 ⑴ y '=9x¤ -8x+4 ⑵ y '=18x¤ +26x
⑶ y '=10(3x+1)(3x¤ +2x+1)›
⑷ y '=(7x-3)(x-1)(x+1)›
5 -20 L/초 1 4
유제 pp. 70~71
f(x)=ax¤ +bx+c에서 f(1)=0이므로
ㅇㅇf(1)=a+b+c=0 yy`㉠ㅇ 함수 f(x)를 미분하면
ㅇㅇf '(x)=2ax+b f '(-1)=1, f '(1)=0이므로
ㅇㅇf '(-1)=-2a+b=1 yy`㉡ㅇ ㅇㅇf '(1)=2a+b=0 yy`㉢ㅇ
㉡, ㉢을 연립하여 풀면ㅇㅇa=- , b=
a, b의 값을 ㉠에 대입하면
ㅇㅇc=-ㅇㅇ∴ f(x)=- x¤ +
x-ㅇㅇ∴ f(2)=- ¥4+
¥2-
=-곡선 f(x)=x‹ -ax¤ -bx+2가 점 (1, -1)을 지나므로 ㅇㅇf(1)=-1
ㅇㅇ∴ f(1)=1-a-b+2=-1
ㅇㅇ∴ a+b=4 yy㉠ㅇ
또 점 (1, -1)에서의 접선의 기울기가 2이므로 ㅇㅇf '(1)=2 yy㉡ㅇ 함수 f(x)를 미분하면
ㅇㅇf '(x)=3x¤ -2ax-b
ㅇㅇ∴ f '(1)=3-2a-b=2 (∵ ㉡)
ㅇㅇ∴ 2a+b=1 yy㉢ㅇ
㉠, ㉢을 연립하여 풀면ㅇㅇa=-3, b=7 ㅇㅇ∴ ab=-3_7=-21
⑴ y '=(3x-1)'(x¤ -x+1)+(3x-1)(x¤ -x+1)'
=3(x¤ -x+1)+(3x-1)(2x-1)
=3x¤ -3x+3+6x¤ -5x+1
=9x¤ -8x+4
⑵ y '=(x+2)'(2x-1)(3x+2)
+(x+2)(2x-1)'(3x+2) +(x+2)(2x-1)(3x+2)'
⑵ y '=(2x-1)(3x+2)+2(x+2)(3x+2)
+3(x+2)(2x-1)
⑵ y '=6x¤ +x-2+6x¤ +16x+8+6x¤ +9x-6
⑵ y '=18x¤ +26x
⑶ y '=5(3x¤ +2x+1)› (3x¤ +2x+1)'
=5(3x¤ +2x+1)› (6x+2)
=10(3x+1)(3x¤ +2x+1)›
4 3
1 4
1 4 1 2 1 4
1 4 1 2 1 4
1 4
1 2 1 4