정답과해설
062
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 그 그래 프가 x축과 두 점에서 만나 므로 방정식
x‹ -6x¤ +9x-4=0의 서로 다른 실근의 개수는 2개이다.
`다른 풀이`
위의 표에서 극댓값과 극솟값을 구하면 ㅇㅇ극댓값：f(1)=0
ㅇㅇ극솟값：f(3)=-4 ㅇㅇ∴ f(1)f(3)=0_(-4)=0
따라서 방정식 x‹ -6x¤ +9x-4=0은 중근과 다른 한 실근을 가지므로 서로 다른 실근의 개수는 2개이다.
⑶ f(x)=x‹ -3x¤ +5로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -6x=3x(x-2) f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=0 또는 x=2
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 그 그래 프가 x축과 한 점에서 만나므 로 방정식 x‹ -3x¤ +5=0의 서로 다른 실근의 개수는 1개 이다.
`다른 풀이`
위의 표에서 극댓값과 극솟값을 구하면 ㅇㅇ극댓값：f(0)=5
ㅇㅇ극솟값：f(2)=1 ㅇㅇ∴ f(0)f(2)=5_1>0
따라서 방정식 x‹ -3x¤ +5=0은 한 실근과 두 허근을 가지므로 서로 다른 실근의 개수는 1개이다.
⑴ f(x)=x› -4x‹ -2x¤ +12x+3으로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=4x‹ -12x¤ -4x+12
=4(x‹ -3x¤ -x+3) 조립제법을 이용하여 인수분해하면
2
x y
O 2
1 5
y=f(x) x y
O
-4
1 3
y=f(x)
⑴ f(x)=x‹ -3x+1로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=3x¤ -3=3(x+1)(x-1)
⑴f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=-1 또는 x=1
⑴함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
⑴위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 그 그래 프가 x축과 서로 다른 세 점 에서 만나므로 방정식 x‹ -3x+1=0의 서로 다른 실근의 개수는 3개이다.
`다른 풀이`
⑴위의 표에서 극댓값과 극솟값을 구하면
⑴ ㅇㅇ극댓값：f(-1)=3
⑴ ㅇㅇ극솟값：f(1)=-1
⑴ ㅇㅇ∴ f(-1)f(1)=3_(-1)=-3<0
⑴따라서 방정식 x‹ -3x+1=0은 서로 다른 세 실근을 가지므로 서로 다른 실근의 개수는 3개이다.
⑵ f(x)=x‹ -6x¤ +9x-4로 놓으면
⑴ ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3)
⑴f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=1 또는 x=3
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
y=f(x) y
O x 1 1 3
-1 -1
1
1 ⑴ 3개 ⑵ 2개 ⑶ 1개 2 ⑴ 4개 ⑵ 0개 3 a<- 또는 a> 4 -4<a<1 5 ⑴ a=7 ⑵ 0<a<7 ⑶ -20<a<0 ⑷ a<-20 6 0 또는 1 7 0<a<5
104 27 5
2
유제 pp. 112~114
Ⅱ다항함수의미분법
063
ㅇㅇㅇㅇ∴ f '(x)=4(x-1)(x¤ -2x-3)
=4(x+1)(x-1)(x-3) f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=-1 또는 x=1 또는 x=3
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그리 면 오른쪽 그림과 같고, 그 그래프가 x축과 네 점에 서 만나므로 방정식
x› -4x‹ -2x¤ +12x+3=0 의 서로 다른 실근의 개수는 4개이다.
⑵ f(x)=2x› -4x¤ +3으로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=8x‹ -8x
=8x(x+1)(x-1) f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=-1 또는 x=0 또는 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그리면 오른쪽 그림과 같고, 그 그래 프가 x축과 만나지 않으므로 방정식 f(x)=0의 서로 다른 실근의 개수는 0개이다.
주어진 방정식을 변형하면 ㅇㅇ-x‹ + x¤ +4x=a f(x)=-x‹ +1x¤ +4x로 놓으면
2 1 2
3
y=f(x) y
O 1 x -1
3 1
x y
O 10
-6 3
1 3 -1
y=f(x)
ㅇㅇf '(x)=-3x¤ +x+4
=-(3x¤ -x-4)
=-(x+1)(3x-4) f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=-1 또는 x=
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후, 그 그래프와 직선 y=a가 한 점에서 만나도록 y=a를 그리 면 오른쪽 그림과 같으므로 방 정식
ㅇㅇ-x‹ + x¤ +4x=a 가 한 개의 실근을 갖도록 하는 a의 값의 범위는
ㅇㅇa<- 또는 a>
`다른 풀이`
f(x)=x‹ - x¤ -4x+a로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -x-4
=(3x-4)(x+1) f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=-1 또는 x=
x=-1또는 x= 에서 극댓값 또는 극솟값을 가지므로 ㅇㅇ(극댓값)_(극솟값)=f(-1)f{ }
={ +a}{- +a}
(극댓값)_(극솟값)>0일 때, 주어진 방정식이 한 실근과 두 허근을 가지므로
ㅇㅇ{ +a}{- +a}>0
ㅇㅇ∴ a<- 또는 a>104 27 5
2 104
27 5
2
104 27 5
2 4 3 4
3 4 3 1
2
104 27 5
2 1 2
y
O x -1
4 3 104
27
5 -2
y=a y=a
y=a y=a y=f(x) 4
3
x y -1 y 1 y 3 y
`f '(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ -6
↗ 10
↘ -6
극소 극대 극소 ↗
x y -1 y 0 y 1 y
`f '(x) - 0 + 0 - 0 + f(x) ↘ 1
↗ 3
↘ 1
극소 극대 극소 ↗
-1 1 -3 -1 3
1 -2 -3
1 -2 -3 0
x y -1 y y
`f '(x) - 0 + 0
-f(x) ↘
-↗ ↘
극소 극대
104 27 5
2
4 3
정답과해설
064
주어진 방정식을 변형하면 ㅇㅇ3x› +4x‹ -12x¤ =a-1 f(x)=3x› +4x‹ -12x¤ 으로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=12x‹ +12x¤ -24x
=12x(x¤ +x-2)
=12x(x+2)(x-1) f '(x)=0인 x의 값은
ㅇㅇx=-2 또는 x=0 또는 x=1
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후, 그 그래프와 직선 y=a-1이 서로 다른 네 점 에서 만나도록 y=a-1을 그리면 오른쪽 그림과 같으 므로 방정식
3x› +4x‹ -12x¤ =a-1
이 서로 다른 네 실근을 갖도록 하는 a-1의 값의 범위는 ㅇㅇ-5<a-1<0
ㅇㅇ∴ -4<a<1
주어진 방정식을 변형하면 ㅇㅇ2x‹ -3x¤ -12x=a f(x)=2x‹ -3x¤ -12x로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=6x¤ -6x-12
=6(x¤ -x-2)
=6(x+1)(x-2) f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=-1 또는 x=2
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후, 직선 y=a를 그려 주어진 방정식의 근의 부호와 개수를 분류하면 다음과 같다.
5
-32 x y
O
y=f(x)
y=a-1
-2 1
-5
4
⁄ a>7 Δ 두 개의 허근과 한 개의 양근
¤ a=7 Δ 중근과 한 개의 양근
‹ 0<a<7 Δ 서로 다른 두 개의 음근과 한 개의 양근
› -20<a<0 Δ 한 개의 음근과 서로 다른 두 개의 양근
fi a=-20 Δ 한 개의 음근과 중근 fl a<-20 Δ 한 개의 음근과 두 개의 허근 따라서 ⑴~⑷의 조건에 맞는 a의 값 또는 범위를 구하면
⑴ a=7 ⑵ 0<a<7
⑶ -20<a<0 ⑷ a<-20
두 곡선 y=x‹ -5x¤ +4x, y=x¤ -5x+4a가 서로 다른 두 점에서 만나려면 방정식
ㅇㅇx‹ -5x¤ +4x=x¤ -5x+4a ㅇㅇ∴ x‹ -6x¤ +9x=4a
가 중근과 다른 한 실근을 가져야 하므로 함수
y=x‹ -6x¤ +9x의 그래프와 직선 y=4a의 교점이 2개 이어야 한다.
f(x)=x‹ -6x¤ +9x로 놓으면
ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+9=3(x-1)(x-3) f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=1 또는 x=3
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후, 교점이 2개가 되도록 직선 y=4a를 그리면 오른쪽 그림 과 같다.
따라서 실수 a의 값은 ㅇㅇa=0 또는 a=1
y=f(x)
O 3
4 y
y=4a
x 1
6
7 2 y
O x
-20 -1
y=f(x)
y=a
➞ 중근, 양근 1개
➞ 허근 2개, 양근 1개 교점
➞ 음근 2개, 양근 1개
➞ 음근 1개, 양근 2개
➞ 음근 1개, 중근
➞ 음근 1개, 허근 2개
x y -2 y 0 y 1 y
`f '(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) ↘ -32
↗ 0
↘ -5
극소 극대 극소 ↗
x y -1 y 2 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 7
↘ -20
극대 극소 ↗
x y 1 y 3 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 4
↘ 0
극대 극소 ↗
Ⅱ다항함수의미분법
065
`다른 풀이`
f(x)=x‹ -6x¤ +9x-4a로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -12x+9
=3(x-1)(x-3) f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=1 또는 x=3
삼차방정식 f(x)=0이 중근과 다른 한 실근을 가지려면 ㅇㅇ(극댓값)_(극솟값)=0
이고 극댓값 또는 극솟값은 f(1) 또는 f(3)이므로 ㅇㅇf(1)f(3)=(4-4a)(-4a)=0
ㅇㅇ∴ a=0 또는 a=1
두 곡선 y=x‹ -x¤ -a, y=2x¤ +9x가 서로 다른 세 점 에서 만나려면 방정식
ㅇㅇx‹ -x¤ -a=2x¤ +9x ㅇㅇx‹ -3x¤ -9x=a
가 서로 다른 세 실근을 가져야 하므로 함수
y=x‹ -3x¤ -9x의 그래프와 직선 y=a의 교점이 3개이 어야 한다.
f(x)=x‹ -3x¤ -9x로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=3x¤ -6x-9
=3(x-3)(x+1) f '(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=-1 또는 x=3
함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.
위의 표를 이용하여 함수 y=f(x)의 그래프를 그린 후, 세 교점 중 한 교점의 x 좌표는 양수이고 나머지 두 교점의 x좌표는 음수가 되 도록 직선 y=a를 그리면 오른쪽 그림과 같다.
따라서 실수 a의 값의 범 위는
ㅇㅇ0<a<5
y
O x
y=f(x) y=a
-1
-27 3 5
7
x y -1 y 3 y
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 5
↘ -27
극대 극소 ↗
8 a…0 9 a>8 10 aæ81 11 -65 12 a<-6 13 ⑤
14 x¤ « ±⁄ +(2n+1)x« >(2n+1)x« ±⁄
유제 pp. 116~118