속도와 거리

정답과해설

118

⑵ 점 P가 4초 동안 실제로 움직인 거리를 x라 하면 ㅇㅇx= |v(t)|dt= |2t-t¤ |dt

이때 |2t-t¤ |을 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 t의 값 t=0, t=2를 기준으로 구간을 나누어 나타내면 ㅇㅇ|2t-t¤ |=g

이므로

ㅇㅇx= (2t-t¤ ) dt+ (t¤ -2t) dt

=[t¤ - t‹ ]

0 2

+[ t‹ -t¤ ]

2 4

= + + =8

⑶ 점 P의 a초 후의 위치를 x(a)라 하면 ㅇㅇx(a)=0+ (2t-t¤ ) dt

=[t¤ - t‹ ]a)=a¤ - a‹

a초 후에 점 P가 다시 원점으로 되돌아올 때의 점 P 의 위치는 x(a)=0이므로

ㅇㅇa¤ - a‹ =0, a¤ (3-a)=0 ㅇㅇ∴ a=3(초) (∵ a>0)

열차가 브레이크를 건 후부터의 속도는 ㅇㅇv(t)=30- t(m/초)

이고, 이 열차가 정지할 때의 속도 v(t)=0이므로 열차가 정지할 때까지 걸린 시간 t를 구하면

ㅇㅇ30- t=0ㅇㅇ∴ t=20

이때 열차의 속도는 30 m/초이므로 열차가 멈출 때까지 열차의 속도 v(t)는 양수이다.

ㅇㅇ∴ v(t)=30- tæ0 (0…t…20) yy㉠ㅇ 따라서 브레이크를 걸고 20초 후에 열차가 정지하므로 정 지할 때까지 실제로 움직인 거리는

ㅇㅇ |v(t)|dt= |30- t| dt

= {30- t} dt (∵ ㉠)

=[30t- t¤ ]

0 20

=300 (m)

점 P의 속도 v(t)를 구하면

0 2

3 4

3 : 2

0 20

3 : 2

0

: 20 0

20

3 2 3

2 3 2

9 1

1 3 1

3

1 3 1

3 :)a

4 3 16

3 4 3

1 3 1

3

:2

: 4 0

2

2t-t¤ (0…t…2) t¤ -2t (tæ2)

:0

: 4 0

4 ㅇㅇv(t)=[

운동 방향을 바꾸게 되는 시각은 속도 v(t)의 부호가 바 뀔 때이므로 주어진 그림에서 v(t)=0인 시각의 좌우에 서 속도의 부호가 바뀌고 그때의 시각 t는 t=4이다.

따라서 점 P가 출발 후 처음으로 운동 방향을 바꿀 때까 지 실제로 움직인 거리 x는

ㅇㅇx= |v(t)|dt

= |t|dt+ |-t+4| dt

= t dt+ (-t+4) dt

=[ t¤ ]

0 2

+[- t¤ +4t]

2 4

=2+2=4 빠른 풀이 `

실제로 움직인 거리 x는 속도의 그래프와 t축으로 둘러 싸인 부분의 넓이이므로 그 넓이는

ㅇㅇx= _4_2=4

물체의 속도 v(t)를 구하면

ㅇㅇv(t)=

시각 t=t¡일 때의 위치 x(t¡)은

ㅇㅇx(t¡)=x(0)+ v(t) dt= v(t) dt

이므로 구하는 시각을 t=t˚라 하면 원점으로 되돌아왔을 때의 위치 x(t˚)=0이다.

이때 각 구간에서의 정적분 값은 ㅇㅇ t dt=[ t¤ ]

0 2

=3

ㅇㅇ {- t+6} dt=[- t¤ +6t]

2 4

=3 ㅇㅇ (-t+4)`dt=[- t¤ +4t]

4 6

=-2

ㅇㅇ (-2)`dt=[-2t]

6 8

=-4

ㅇㅇ (t-10)`dt=[ t¤ -10t]

8 10

=-2

이므로 x(t˚)=: v(t) dt=0이 되는 t의 값을 구하면

0 t˚

1 :*1 0 2

:^8

1 :$6 2

3 4 3

:@4 2

3 4 3

:)2 2

:0

: t¡

0 t¡

;2#;t (0…t…2) -;2#;t+6 (2…t…4) -t+4 (4…t…6) -2 (6…t…8) t-10 (tæ8) (

| {

| 9

1 2

1 2

1 2 1

2

:2

: 4 0

2

:₂⁴ :₀²

:0 4

t (0…t…2) -t+4 (2…t…5)

Ⅲ다항함수의적분법

119

ㅇㅇx(8)= v(t) dt

= v(t) dt+ v(t) dt+ v(t) dt

+ v(t) dt

=3+3-2-4=0

따라서 물체가 최초로 원점으로 되돌아오는 것은 출발하 고 나서 8초 후이다.

빠른 풀이 `

구하는 시각을 t=t˚라 하면 원점으로 되돌아왔을 때의 위치 x(t˚)=0이다.

따라서 x(t˚)=0을 만족하는 t˚의 값은 주어진 그래프에 서 t축의 위쪽 부분의 넓이와 아래쪽 부분의 넓이가 같아 질 때이다.

이때 속도 v(t)의 그래프와 t축이 이루는 각각의 부분의 넓이를 각 구간별로 S¡, S™, S£, S¢, S∞라 하면 다음 그 래프와 같다.

t축의 위쪽 부분의 넓이는ㅇㅇS¡=3, S™=3

t축의 아래쪽 부분의 넓이는ㅇㅇS£=2, S¢=4, S∞=2 이때 t축의 위쪽 부분의 넓이와 아래쪽 부분의 넓이가 같 아지는 때는

ㅇㅇ3+3=2+4, S¡+S™=S£+S¢

즉 t=8일 때이므로 물체가 최초로 원점으로 되돌아오는 것은 출발하고 나서 8초 후이다.

파이프를 통하여 3초부터 8초 사이에 물이 흘러간 거리 를 x라 하면

ㅇㅇx= |v(t)|dt

= 3t¤ dt (∵ t>0 Δ 3t¤ >0)

=[t‹ ]

3 8

=485

따라서 시각 3초부터 8초 사이에 흘러나온 물의 양을 V 라 하면

ㅇㅇV=(파이프의 단면의 넓이)

_(파이프를 통하여 물이 흘러간 거리)

=3_x=3_485=1455(cm‹ ) :3

8

:3 8

2 2

t

O 2

S¡ S™

S£ S¢

4

6 8 10 3

-2 v(t)

S∞

:^8 :$6 :@4

:)2

:)8 한 변의 길이가 2 m인 정육면체 모양의 어항의 부피 V는

ㅇㅇV=2_2_2=8 yy㉠⋯

물이 가득 찰 때까지 걸리는 시간을 a분이라 하면 매분 2(t+1) cm‹ 의 속도로 물을 넣으므로 물이 가득 찰 때의 물의 양은

ㅇㅇ |2(t+1)|dt= 2(t+1) dt

(∵ t>0 Δ 2(t+1)>0)

=[t¤ +2t]

0 a

=a¤ +2a yy㉡ㅇ

따라서 어항의 부피와 물이 가득찰 때의 물의 양은 같으므로 ㅇㅇa¤ +2a=8(∵ ㉠=㉡)

ㅇㅇa¤ +2a-8=0, (a+4)(a-2)=0 ㅇㅇ∴ a=2(분) (∵ a>0)

:)a :)a

3 2

f(x)=x¤ +1로 놓으면 ㅇㅇf '(x)=2x

점 (2, 5)에서의 접선의 기울기를 구하면 ㅇㅇf '(2)=2¥2=4

이므로 점 (2, 5)에서의 접선의 방정식은 ㅇㅇy-5=4(x-2)⋯ ⋯∴ y=4x-3 따라서 곡선 y=x¤ +1과

접선 y=4x-3 및 x축, y축의 양의 부분으로 둘러 싸인 부분은 오른쪽 그림 의 어두운 부분과 같다.

이때 구간 [0, 2]에서 ㅇㅇx¤ +1æ0

이고, 구간[ , 2]에서 ㅇㅇ4x-3æ0

이므로 구하는 넓이를 S라 하면 3

4

y=4x-3

O 2

1 5

-3 y

x y=x¤ +1

3 4

1

1 2 ③ 3 4 5 ③

6 ⑤ 7 8 11 9 ④ 10 1

4 27

4

20 3 8

3 37

24

pp. 208~209

연습 문제

정답과해설

120

ㅇㅇS= (x¤ +1)dx- (4x-3)dx

=[ x‹ +x]2)-[2x¤ -3x]2_;4#;

={ +2}-(8-6)+{ - }

= 다른 풀이 `

구간 [0, ]에서 x¤ +1æ0이고, 구간 [ , 2]에서 x¤ +1æ4x-3이므로 구하는 넓이를 S라 하면

ㅇㅇS= (x¤ +1) dx+ {(x¤ +1)-(4x-3)} dx

= (x¤ +1) dx+ (x¤ -4x+4) dx

=[ x‹ +x]

0

;4#;+[ x‹ -2x¤ +4x]²

;4#;

=

주어진 곡선이 x축과 점 (4, 0)에서 만나고 색칠한 두 부 분의 넓이가 같으므로

ㅇㅇ (-x¤ +ax+16-4a)dx=0

ㅇㅇ[- x‹ + ax¤ +(16-4a)x]4)=0 - +8a+4(16-4a)=0 -8a+ =0ㅇㅇ∴ a=

곡선 y=x¤ 을 원점에 대하여 대칭이동하면 ㅇㅇ-y=(-x)¤ㅇㅇ∴ y=-x¤

다시 곡선 y=-x¤ 을 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방 향으로 4만큼 평행이동하면

ㅇㅇy-4=-(x-2)¤ㅇㅇ∴ y=-x¤ +4x

곡선 y=-x¤ +4x와 곡선 y=x¤ 의 교점의 x좌표를 구 하면

ㅇㅇ-x¤ +4x=x¤, 2x¤ -4x=0 ㅇㅇ2x(x-2)=0

ㅇㅇ∴ x=0 또는 x=2 따라서 두 곡선으로 둘러싸인 부 분은 오른쪽 그림의 어두운 부분 과 같다.

이때 구간 [0, 2]에서 ㅇㅇ-x¤ +4xæx¤

O 2 4

y y=x™

x y=-x™

+4x

3

16 3 128

3 64

3 1 2 1 3 :)4

2

37 24

1 3 1

3

:

;4#;

: 2 0

;4#;

:

;4#;

: 2 0

;4#;

3 4 3

4 37 24

9 4 9 8 8

3 1 3

:

;4#;

:)2 2 이므로 구하는 넓이를 S라 하면

ㅇㅇS= {(-x¤ +4x)-x¤ }dx

= (-2x¤ +4x)dx

=[- x‹ +2x¤ ]

0 2

=- +8=

y=|x-1|을 절댓값 기호 안의 식이 0이 되는 x의 값 x=1을 기준으로 구간을 나누어 나타내면

ㅇㅇy=g

⁄ xæ1인 범위에서 곡선 y=x¤ -2x-1과 직선 y=x-1의 교점의 x좌표를 구하면

ㅇㅇx¤ -2x-1=x-1 ㅇㅇx¤ -3x=0 ㅇㅇx(x-3)=0 ㅇㅇ∴ x=3 (∵ xæ1)

¤ x<1인 범위에서 곡선 y=x¤ -2x-1과 직선 y=-x+1의 교점의 x좌표를 구하면 ㅇㅇx¤ -2x-1=-x+1

ㅇㅇx¤ -x-2=0 ㅇㅇ(x+1)(x-2)=0 ㅇㅇ∴ x=-1 (∵ x<1)

따라서 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분은 다음 그림의 어 두운 부분과 같다.

ㅇㅇ

이때 구간 [-1, 1]에서 ㅇㅇ-x+1æx¤ -2x-1 이고, 구간 [1, 3]에서 ㅇㅇx-1æx¤ -2x-1 이므로 구하는 넓이를 S라 하면

ㅇㅇS= {(-x+1)-(x¤ -2x-1)} dx

+ {(x-1)-(x¤ -2x-1)} dx

= (-x¤ +x+2)dx+: (-x¤ +3x)dx

1

: 3 -1

1

:1 3

:-1 1

O -1

-1 y

3 x 1 1

y=x¤ -2x-1 y=x-1 y=-x+1

x-1 (xæ1) -x+1(x<1)

4

8 3 16

3 2 3 :0

2

:0 2

우함수

기함수

Ⅲ다항함수의적분법

121

=2 (-x¤ +2)dx+ (-x¤ +3x)dx

=2[- x‹ +2x]₀¹+[- x‹ + x¤ ]₁³

=2 {- +2}+[{-9+ }-{- + }]

= + - =

① t=b에서 v(t)=0이고, t=b의 좌우에서 v(t)의 부 호가 바뀌므로 점 P는 t=b에서 운동 방향이 바뀐다.

이와 같은 점은 구간 [0, d]에서 t=b로 1개이므로 점 P는 출발 후 운동 방향을 한 번 바꾸었다. (∴ 참)

② |v(a)|>|v(c)|이므로 t=a에서 속력이 최대이다.

(∴ 참)

③ t축의 아래쪽 부분의 넓이가 t축의 위쪽 부분의 넓이 보다 크므로

ㅇㅇ v(t) dt= v(t) dt+ v(t) dt<0 따라서 t=d일 때 점 P는 출발점에서 음의 방향인 위 치에 있다. (∴ 거짓)

④ v(b)=0이므로 t=b에서 점 P는 순간적으로 정지한 다. (∴ 참)

⑤ 실제 움직인 거리는 속도 v(t)의 그래프와 t축 사이의 넓이이므로 t=a에서 t=c까지 점 P가 실제로 움직 인 거리 x는

ㅇㅇx= |v(t)|dt (∴ 참) 따라서 보기에서 옳지 않은 것은 ③③이다.

두 함수 y=f(x)와 y=f—⁄ (x)는 서로 역함수 관계이므로 두 함수의 그래프는 직선 y=x에 대하여 대칭이다.

이때 곡선 y=f(x)와 직선 y=x의 교점의 x좌표가 x=-a, x=0, x=a이

고, 기함수 y=f(x)의 그 래프는 원점에 대하여 대 칭이므로 두 곡선으로 둘 러싸인 부분의 넓이는 오 른쪽 그림의 어두운 부분 과 같다.

따라서 구하는 넓이를 S라 하면 S는 구간 [0, a]에서 곡 선 y=f(x)와 직선 y=x로 둘러싸인 부분의 넓이의 4배 와 같다.

이때 구간 [0, a]에서 xæf(x)이므로 O a -a

y

x y=f(x)

y=f —⁄(x) y=x

6

:Ac

:_b^d :₀^b

:₀^d

5

20 3 7 6 9 2 10

3

3 2 1 3 27

2 1

3

3 2 1 3 1

3

:1

: 3 0

1 ㅇㅇS=4 { x-f(x)} dx

=4 | f(x)-x|dx

도함수 y=f '(x)의 그래프가 아래로 볼록하고, x축과 만 나는 점의 x좌표가 x=0, x=2이므로

ㅇㅇf '(x)=ax(x-2)=ax¤ -2ax (a+0) 로 놓으면 f(x)= f '(x)dx이므로 ㅇㅇf(x)= (ax¤ -2ax)dx

= ax‹ -ax¤ +C (C는 적분상수) yy㉠⋯

그런데 f(0)=0, f(1)=-2이므로 x=0, x=1을 ㉠에 각각 대입하면

ㅇㅇf(0)=C=0, f(1)= a-a+C=-2 ㅇㅇ∴ a=3, C=0

이를 ㉠에 대입하면ㅇㅇf(x)=x‹ -3x¤

이때 함수 y=f(x)의 그래프와 x축의 교점의 x좌표를 구 하면

ㅇㅇx‹ -3x¤ =0, x¤ (x-3)=0 ㅇㅇ∴ x=0(중근) 또는 x=3 따라서 함수 y=f(x)의 그래 프와 x축으로 둘러싸인 부분 은 오른쪽 그림의 어두운 부 분과 같다.

이때 구간 [0, 3]에서 ㅇㅇx‹ -3x¤ …0

이므로 구하는 넓이를 S라 하면 ㅇㅇS= |x‹ -3x¤ |dx

=- (x‹ -3x¤ )dx

=-[ x› -x‹ ]3)

=- +27=

점 P의 a초 후의 위치를 x(a)라 하면 ㅇㅇx(a)=0+ {3(1-t)(3-t)} dt

= (3t¤ -12t+9) dt

=[t‹ -6t¤ +9t]

0 a

=a‹ -6a¤ +9a :0

a

:0 a

8

27 4 81

4 1 4 :)3 :)3

O 3

y £

x y=x -3x¤

1 3 1

3 :

:

7

::))””

:)”

정답과해설

122

이때 a초 후에 점 P가 다시 원점으로 되돌아올 때 점 P 의 위치는 x(a)=0이므로

ㅇㅇa‹ -6a¤ +9a=0, a(a-3)¤ =0

ㅇㅇ∴ a=3 (∵ a>0) yy㉠ㅇ 또한 v(t)=3(1-t)(3-t)에서 v(t)æ0을 만족하는 t 의 값의 범위는

ㅇㅇ0<t…1 또는 tæ3 (∵ t>0) v(t)…0을 만족하는 t의 값의 범위는 ㅇㅇ1…t…3

따라서 t=0에서 t=3까지 점 P가 실제로 움직인 거리 b를 구하면

ㅇㅇb= |3(1-t)(3-t)|dt

= 3(1-t)(3-t) dt- 3(1-t)(3-t) dt

= (9-12t+3t¤ ) dt- (9-12t+3t¤ ) dt

=[9t-6t¤ +t‹ ]

0 1

-[9t-6t¤ +t‹ ]

1 3

=4+4=8

ㅇㅇ∴ b=8 yy㉡ㅇ

ㅇㅇ∴ a+b=3+8=11 (∵ ㉠, ㉡)

직선 l의 방정식을 구하면 v(t)=-t+4이므로 점 P의 속도를 v∏(t)라 하면

ㅇㅇv∏(t)=-t+4

직선 m의 방정식을 구하면 v(t)=2t-2이므로 점 Q의 속도를 vŒ(t)라 하면

ㅇㅇvŒ(t)=2t-2

두 점 P, Q가 원점을 출발한 후 a초 후에 다시 만나려면 출발 후 a초까지의 위치의 변화량이 같아야 하므로 ㅇㅇ:)a v∏(t)dt=:)a vŒ(t)dt

ㅇㅇ:)a (-t+4)dt=:)a (2t-2)dt ㅇㅇ[- t¤ +4t]a)=[t¤ -2t]a) ㅇㅇ- a¤ +4a=a¤ -2a

ㅇㅇ a¤ -6a=0, a(a-4)=0 ㅇㅇ∴ a=4 (∵ a>0)

따라서 두 점 P, Q가 다시 만나는 것은 4초 후이다.

a<0, a=0, 0<a<1, a=1, a>1인 경우로 나누어 함수 y=|x-a|의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.

0 1

3 2 3

2 1 2 1 2

9

:1

: 3 0

1

:1

: 3 0

1

:0 3

⁄ a<0일 때 ¤ a=0일 때

⁄ ⁄

‹ 0<a<1일 때 › a=1일 때

⁄ ⁄

fi a>1일 때

⁄

따라서 f(a)= |x-a|dx는 위의 그림의 어두운 부분 의 넓이이므로 최솟값은 0<a<1일 때이다.

ㅇㅇ∴ f(a)= |x-a|dx+ |x-a|dx

= (a-x)dx+ (x-a)dx

=[ax- x¤ ]a)+[ x¤ -ax]1A

={a¤ - a¤ }+{ -a}-{ a¤ -a¤ }

=a¤ -a+ ={a- }¤ +

따라서 f(a)의 최솟값은 1이다.

4

1 4 1 2 1

2

1 2 1

2 1

2

1 2 1

2

:A1 :)a

:A1 :)a

:)1 O 1

y

x a

O 1 y

O 1 x y

a x

O 1 y

O 1 x y

x a

01 ② 02 ③ 03 ② 04 ⑤ 05 ⑤

06 ① 07 ② 08 ⑤ 09 2 10 ②

11 1 12 - 13 14 15 28 m

16 ① 17 18 ⑤ 19 0 20 1

21 ㄱ, ㄷ 22 ③ 23 ② 24 ③ 1

3

2 3 4

5 17 12

대단원 실전 문제 pp. 210~214

Ⅲ다항함수의적분법

123

2(x+t) dt를 정리하면

ㅇㅇ 2(x+t) dt=2[xt+ t¤ ]₁^x=3x¤ -2x-1 ㅇㅇ∴ [ 2(x+t) dt] dx

ㅇㅇ= (3x¤ -2x-1) dx

ㅇㅇ=- (3x¤ -2x-1) dx

ㅇㅇ=-[x‹ -x¤ -x]¹

-;3!;

ㅇㅇ=-(1-1-1)+{- - + }=

f(n)을 정리하면

ㅇㅇf(n)= (2x+1) dx=[x¤ +x]

1 n

=n¤ +n-2 ㅇㅇ∴

ㅇㅇ=

ㅇㅇ= = { - }

ㅇㅇ= { - }

ㅇㅇ= [{1- }+{ - }+y+{ - }]

ㅇㅇ= {1- }=1

f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y)+3에 x=0, y=0 을 대입하면

ㅇㅇf(0)=f(0)+f(0)+3ㅇㅇ∴ f(0)=-3 yy㉠⋯

미분계수의 정의에 의하여 f'(0)의 값을 구하면 ㅇㅇf '(0)=lim_h⁄0

=limh⁄0 (∵ ㉠) 주어진 조건에서 f'(0)=1이므로 ㅇㅇlim

h⁄0 =1 yy㉡⋯

또 도함수의 정의에 의하여 f'(x)를 구하면 ㅇㅇf '(x)=lim_h⁄0

=limh⁄0

(∵ f(x+y)=f(x)+f(y)-3xy(x+y)+3) f(x)+f(h)-3xh(x+h)+3-f(x)

h f(x+h)-f(x)

h f(h)+3

h

f(h)+3 h f(h)-f(0)

h

3 0

1 lim n+1

nڦ

1 n+1 1 n 1

3 1 2 1 lim 2

nڦ

1 k+1 1 k

¡n k=1 nlim⁄¶

1 n+1 1 n

¡¶ n=1

1 n(n+1)

¡¶ n=1

1 (n¤ +n-2)+2

¡¶ n=1

1 f(n)+2

¡¶ n=1

:1 n

2 0

32 27 1 3 1 9 1 27 :-;3!;

1

:1 -;3!;

:1

: x 1

-;3!;

1 :₁^x 2

:1

1

x

0

^=lim_h⁄0 [ -3x(x+h)]

=limh⁄0 -3x¤

=1-3x¤ (∵ ㉡) 이때 f(x)= f '(x)dx이므로

ㅇㅇf(x)= (1-3x¤ )dx

=x-x‹ +C (C는 적분상수)

㉠에서 f(0)=-3이므로 위의 식에 x=0을 대입하면 ㅇㅇf(0)=C=-3

ㅇㅇ∴ f(x)=-x‹ +x-3

① t=3일 때 점 P의 위치는 v(t) dt이다. (∴ 참)

② v(t) dt=:@4 {-v(t)} dt이면

ㅇㅇ v(t) dt+:@4 v(t) dt=:)4 v(t) dt=0 이므로 t=4에서의 점 P의 위치는 원점이다. (∴ 참)

③ t=4에서 v(t)=0이고 그 좌우에서 v(t)의 부호가 바 뀌므로 t=4에서 운동 방향이 바뀐다. (∴ 참)

④ 0…t…5에서점 P가실제로움직인거리는

|v(t)|dt이다. (∴ 참)

⑤ 점 P는 출발 후 t=2, t=4에서 v(t)=0이므로 0<t…5에서 두 번 정지한다. (∴ 거짓)

따라서 보기에서 옳지 않은 것은 ⑤⑤이다.

두 곡선 y=x¤ -2x+3과 y=-2x¤ +10x-3의 교점의 x좌표를 구하면

ㅇㅇx¤ -2x+3=-2x¤ +10x-3 ㅇㅇ3x¤ -12x+6=0

ㅇㅇ∴ x¤ -4x+2=0 yy㉠ㅇ 이차방정식 ㉠의 판별식 D는

ㅇㅇ =4-1¥2=2>0 이므로 이차방정식 ㉠은 서로 다른 두 실근을 가진다. 이때 서 로 다른 두 실근을 a, b(a<b) 라 하면 근과 계수의 관계에 의 하여

ㅇㅇa+b=4, ab=2 yy㉡⋯

따라서 구간 [a, b]에서

ㅇㅇ-2x¤ +10x-3æx¤ -2x+3 D

4

b O

3

-3 y

x a

y=x¤ -2x+3

y=-2x¤ +10x-3

5 0

:)5 :)2 :)2

:)3

4 0

: :

f(h)+3 h f(h)+3

h

정답과해설

124

이므로 구하는 넓이를 S라 하고 공식을 이용하여 S를 구 하면

ㅇㅇS= {-2x¤ +10x-3-(x¤ -2x+3)} dx

=

= (b-a)‹

= {"√(a+b)¤ -4ab}‹ (∵ a<b)

= ("√4¤ -4_2)‹ (∵ ㉡)

= (2'2)‹ =8'2

주어진 그림에서 함수 f(x)는 ㅇㅇf(x)=g

이고, 함수 y=f(x-1)의 그래프는 함수 y=f(x)의 그 래프를 x축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이므로 ㅇㅇf(x-1)=g

ㅇㅇ∴ x¤ f(x-1) dx

= x¤ ¥2x dx+ x¤ ¥2 dx

=2 x‹ dx+2 x¤ dx

=0+2[ x‹ ]

1 2

=2 { - }=

주어진 그림에서 k번째 직사각형의 가로, 세로의 길이는 각각

ㅇㅇ , f(x˚)-g(x˚)

이므로 직사각형의 넓이의 합 S«을 구하면

ㅇㅇS«={ f(xº)-g(xº)}¥

+{ f(x¡)-g(x¡)}¥b-a n b-a

n O

y

x˚ x˚≠¡ x xº

a=

x«

b=

y=g(x) y=f(x)

b-a n f(x˚)-g(x˚) b-a

n

7 0

14 3 1 3 8 3 1

3

:1

: 2 -1

1

:1

: 2 -1

1

:_-1²

2x (x…1) 2 (xæ1) 2x+2 (x…0) 2 (xæ0)

6 0

1 2 1 2 1 2 1 2

|-2-1|¥(b-a)‹

6 :Ú’

+y+{ f(x«–¡)-g(x«–¡)}¥

= { f(x˚)-g(x˚)}¥

따라서 구하는 넓이를 S라 하면

ㅇㅇS= S«= { f(x˚)-g(x˚)}¥

f(0)=f(1)=f(2)=k이므로

ㅇㅇf(x)=ax(x-1)(x-2)+k (a+0) 로 놓을 수 있다.

ㅇㅇ∴ f(x) dx= {ax(x-1)(x-2)+k} dx

= {a(x‹ -3x¤ +2x)+k} dx

=[a{ x› -x‹ +x¤ }+kx]₀

2

=a(4-8+4)+2k=2k

함수 f(x)의 도함수 y=f '(x)의 그래프가 아래로 볼록하 고 x축과의 교점의 x좌표가 x=0, x=2이므로 ㅇㅇf '(x)=ax(x-2) (a>0) yy㉠ㅇ 로 놓을 수 있다.

이때 f(x)= f '(x) dx이므로

ㅇㅇf(x)= ax(x-2) dx= (ax¤ -2ax) dx

= x‹ -ax¤ +C(C는 적분상수) yy㉡ㅇ

㉠에서 f '(x)=0인 x의 값은ㅇㅇx=0 또는 x=2 함수 f(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 f(x)는 x=0에서 극대, x=2에서 극소이 고 주어진 조건에서 극댓값이 4, 극솟값이 0이므로 ㅇㅇf(0)=4, f(2)=0

이를 ㉡에 대입하면

ㅇㅇf(0)=C=4, f(2)= a-4a+C=0

C=4이므로ㅇㅇ a=4ㅇㅇ∴ a=3 따라서 a=3, C=4를 ㉡에 대입하면 ㅇㅇf(x)=x‹ -3x¤ +4

ㅇㅇ∴ f(1)=1-3+4=2 4 3

8 3 a

3

: :

:

9 0

1 4 :0

2

:0

: 2 0

2

8 0

b-a n

n-1¡¡

k=0

lim

n⁄⁄¶

lim

nڦ

b-a n

n-1¡

k=0

b-a n

기함수

x y 0 y 2 y

f '(x) + 0 - 0 +

f(x) ↗ 극대 ↘ 극소 ↗

Ⅲ다항함수의적분법

125

함수 f(x)의 한 부정적분을 F(x)라 하면

ㅇㅇF'(x)=f(x) yy㉠⋯

이때 S(t)는 구간 [a, t] (t>a)에서 함수 y=f(x)의 그 래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이이므로

ㅇㅇS(t)= f(x) dx

=[F(x)]tA=F(t)-F(a) ㅇㅇ∴ lim_t⁄a =lim

t⁄a

=F'(a)=f(a) (∵ ㉠)

=b

조건 Ⅰ에서 모든 실수 x에 대하여 f(1+x)=f(1-x)이 므로 함수 f(x)는 직선 x=1에 대하여 대칭이다.

따라서 임의의 실수 a에 대하여

ㅇㅇ f(x) dx= f(x) dx yy`㉠⋯

이때 a=2이면

ㅇㅇ f(x) dx= f(x) dx yy`㉡⋯

조건 Ⅱ에서 f(x) dx=2, f(x) dx=4이므로

ㅇㅇ f(x) dx+ f(x) dx=2+4

ㅇㅇ f(x) dx=6

ㅇㅇ f(x) dx+ f(x) dx=6

ㅇㅇ2 f(x) dx=6 (∵ ㉡)

ㅇㅇ∴ f(x) dx=3 yy`㉢⋯

㉠에 a=1을 대입하면 구하는 식의 값은 ㅇㅇ f(x) dx= f(x) dx

= f(x) dx+ f(x) dx

=- f(x) dx+ f(x) dx

=-2+3 (∵ 조건 Ⅱ, ㉢)

=1

f '(x)=‡ 이므로 f(x)= f '(x)dx 임을 이용하여 함수 f(x)를 구하면

3 x¤ +1 (xæ0) : 2x+1 (x<0)

2 1

:_1!

:_0!

:_1!

:)- 1 :)1 :!2

:_1!

:_1!

:!3 :_1!

:_3!

:)3 :_0!

:)3 :_0!

:!3 :_1!

:!1 — a :!1_A

1 1

F(t)-F(a) t-a S(t)

t-a :At

0

1

^{⁄ xæ0인 경우}

ㅇㅇf(x)= (3x¤ +1)dx

=x‹ +x+C¡ (C¡은 적분상수) yy㉠⋯

¤ x<0인 경우

ㅇㅇf(x)= (2x+1) dx

=x¤ +x+C™ (C™는 적분상수)

⁄, ¤에 의하여

ㅇㅇf(x)=‡ yy㉡⋯

이때 함수 f(x)는 모든 실수 x에 대하여 미분가능하므로 모든 실수 x에 대하여 연속이다.

따라서 함수 f(x)는 x=0에서도 연속이다.

함수 f(x)가 x=0에서 연속이기 위한 조건은 ㅇㅇ `f(x)= `f(x)

ㅇㅇ (x¤ +x+C™)= (x‹ +x+C¡)

ㅇㅇ∴ C™=C¡ yy㉢⋯

또한 f(1)=1이므로 ㉠에서

ㅇㅇf(1)=1+1+C¡=1ㅇㅇ∴ C¡=-1 ㅇㅇ∴ C™=-1 (∵ ㉢)

C¡=-1, C™=-1을 ㉡에 대입하면 ㅇㅇf(x)=‡

따라서 x=0을 기준으로 함수의 식이 다르므로 적분구간 [-1, 1]을 x=0을 기준으로 구간을 나누어 정적분의 값 을 계산한다.

ㅇㅇ∴ f(x)`dx

ㅇㅇ= (x¤ +x-1)``dx+ (x‹ +x-1)`dx

ㅇㅇ=[ x‹ + x¤ -x]0_!+[ x› + x¤ -x]1) ㅇㅇ=-{- + +1}+{ +

-1}=-f(x)=(x¤ -4)(x¤ -k)에서

ㅇㅇf(x)=(x+2)(x-2)(x+'k )(x-'k ) 이때 0<k<4이므로ㅇㅇ0<'k <2

따라서 함수 y=f(x)의 그래프는 다음 그림과 같다.

-'k 'k

O

A C

B

-2 2

y

x y=f(x)

3 1

17 12 1

2 1 4 1

2 1 3

1 2 1 4 1

2 1 3

:0

: 1 -1

0

:-1 1

x‹ +x-1 (xæ0) x¤ +x-1 (x<0)

xlim⁄+0 xlim⁄-0

xlim⁄+0 xlim⁄-0

x‹ +x+C¡ (xæ0) x¤ +x+C™ (x<0)

: :

정답과해설

126

또 함수 f(x)는

ㅇㅇf(-x)={(-x)¤ -4}{(-x)¤ -k}

=(x¤ -4)(x¤ -k)=f(x)

이므로 우함수이고, 주어진 조건에서 A+C=B이므로 ㅇㅇ f(x) dx=0, 2 f(x) dx=0

ㅇㅇ∴ f(x) dx=0

f(x)=(x¤ -4)(x¤ -k)를 대입하면 ㅇㅇ (x¤ -4)(x¤ -k) dx=0 ㅇㅇ {x› -(k+4)x¤ +4k}dx=0

ㅇㅇ[ xfi - x‹ +4kx]2)=0 ㅇㅇ - (k+4)+8k=0 ㅇㅇ- + k=0

ㅇㅇ∴ k=

f(x)=['x]이므로

ㅇㅇf(x)=

따라서 x=1¤ , x=2¤ , y, x=(n-1)¤ , x=n¤ 을 기준 으로 함수의 식이 다르므로 적분구간 [0, n¤ ]을 x=1¤ , x=2¤, y, x=(n-1)¤ , x=n¤ 을 기준으로 구간을 나누 어 정적분의 값을 계산한다.

ㅇㅇ∴:)^n¤f(x) dx

=:)^1¤0 dx+:_1¤^2¤1 dx+:_2¤^3¤2 dx

+y+:_(n-1)¤^n¤ (n-1) dx+:_n¤^n¤n dx

=0+[x]

1¤

2¤

+2[x]

2¤

3¤

+y+(n-1)[x]^n¤

(n-1)¤

+0

=(2¤ -1¤ )+2(3¤ -2¤ )+y+(n-1){n¤ -(n-1)¤ }

=;nK-+1!k{(k+1)¤ -k¤ }=;nK-+1!(2k¤ +k)

=2;nK-+1! k¤+;nK-+1!k

0 (0…x<1¤ ) 1 (1¤ …x<2¤ ) 2 (2¤ …x<3¤ )

⋯ ⋯

n-1 ((n-1)¤ …x<n¤ ) n (x=n¤ )

(\

| {|

\9

4 1

4 5

16 3 64 15

8 3 32

5

k+4 3 1 5 :)2 :)2

:)2

:)2 :_2@

=2¥ +

= n(n-1)(4n+1) ㅇㅇ∴ lim

n⁄¶ :)^n¤ f(x) dx=lim_n⁄¶

=

시각 t에 대하여 엘리베이터의 속도를 v(t)라 하면

⁄ v(t)는 처음 2초 동안은 2 m/(초)¤ 의 가속도로 증가 하므로

ㅇㅇv(t)=2t (0…t…2) yy㉠⋯

¤ 다음 5초동안은등속운동이고, ㉠에서 v(2)=4이므로 ㅇㅇv(t)=4 (2…t…7) yy㉡⋯

‹ 마지막 2초 동안은 2 m/(초)¤ 의 가속도로 감소하므로 ㅇㅇv(t)=-2t+a (7…t…9, a는 상수)

㉡에서 v(7)=4이므로 이를 대입하면 ㅇㅇ4=-14+aㅇㅇ∴ a=18 ㅇㅇ∴ v(t)=-2t+18 (7…t…9)

⁄, ¤, ‹에 의하여

ㅇㅇv(t)=

v(t)의 그래프를 좌표평면에 나타내면 다음 그림과 같다.

따라서 건물의 높이를 h라 하면 h는 엘리베이터가 이동 한 거리와 같으므로

ㅇㅇh= |v(t)|dt

= 2t dt+ 4 dt+ (-2t+18) dt

=[t¤ ]2)+[4t]7@+[-t¤ +18t]9&

=4+20+4=28 (m) 빠른 풀이 `

건물의 높이 h는 엘리베이터가 이동한 거리와 같고 이는 v(t)의 그래프와 t축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같으므로 ㅇㅇh= ¥2¥4+5¥4+1¥2¥4=28 (m)

2 1

2

:&9 :@7

:)2 :)9

O 4

2 7 9

v(t)

t 2t (0…t…2) 4 (2…t…7) -2t+18 (7…t…9) (

{ 9

5 1

2 3

n(n-1)(4n+1) 6n‹

1 n‹

1 6

(n-1)n 2 (n-1)n(2n-1)

6

Ⅲ다항함수의적분법

127

점 A를 출발하여 t초까지 점 P가 움직인 거리를 x∏(t)

라 하면 t=a까지 점 P가 움직인 거리는 ㅇㅇx∏(a)=:)a |3|dt=:)a 3 dt=[3t]a)=3a

점 A를 출발하여 t초까지 점 Q가 움직인 거리를 xŒ(t) 라 하면 t=a까지 점 Q가 움직인 거리는

ㅇㅇxŒ(a)=:)a |2t|dt=:)a 2t dt (∵ t>0)

=[t¤ ]a)=a¤

출발한 지 a초 후에 두 점 P, Q가 만나려면 두 점 P, Q 가 움직인 거리, 즉 x∏(a), xŒ(a)의 합이 직사각형 ABCD의 둘레의 길이인 60 m와 같아야 한다.

따라서 두 점 P, Q가 세 번째 만나려면 ㅇㅇx∏(a)+xŒ(a)=60_3, 3a+a¤ =180 ㅇㅇ(a+15)(a-12)=0ㅇㅇ∴ a=12 (∵ a>0) 따라서 두 점 P, Q는 출발 후 12초 후에 세 번째 만나게 된다.

두 자연수 n, k에 대하여 1…k…n이므로

ㅇㅇ0< … …1 따라서 곡선 y=1-x¤ 과 직선 l˚는 오른쪽 그림과 같다.

이때 직선 l˚는 두 점 P(-1, 0), Q{0, }를 지나므로 직선 l˚의 방정식은

ㅇㅇy-0= (x+1)ㅇㅇ∴ y= x+

직선 l˚와 곡선 y=1-x¤ 의 교점의 x좌표를 구하면 ㅇㅇ x+ =1-x¤, nx¤ +kx+k-n=0 ㅇㅇ(x+1)(nx-n+k)=0

ㅇㅇ∴ x=-1 또는

x=1-점 P가 아닌 또 다른 x=1-점의 x좌표가 a˚이므로

ㅇㅇa˚=1-ㅇㅇ∴ lim

n⁄¶ ;Kn+!(a˚)¤ =lim_n⁄¶ ;Kn+!{1- }2

=limn⁄¶;Kn+![-{-1+ }]2 ¥

=limn⁄¶;Kn+!{-1+ }2 ¥1 n k n

1 n k n k n 1

n 1

n k n

k n k

n k n

k n k n

;nK;-0 0+1

k n k

n 1 n

P O Q

y

ak x lk

-1 1

1

y=1-x™ nk

-7 1

6

1

_{이때 -1+ =-1+} k를 x로 바꾸면 적분

구간은 [-1, 0]이므로 ㅇㅇlim

n⁄¶;Kn+!{-1+ }¤ ¥ =:_0! x¤ dx

=[ x‹ ]0_!=

F(x)= f(t) dtㅇㅇy㉠의 양변에 x=0을 대입하면

ㅇㅇF(0)= f(t) dt=0 yy`㉡⋯

이때 S¡=S™이므로

ㅇㅇF(3)= f(t) dt= f(t) dt+ f(t) dt

=-S¡+S™=0 yy`㉢⋯

한편 ㉠의 적분구간에 변수 x가 있으므로 양변을 x에 대 하여 미분하면

ㅇㅇF'(x)=f(x)

주어진 그래프에서 F'(x)=f(x)=0인 x의 값은 ㅇㅇx=1또는 x=3

함수 F(x)의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 F(x)는 x=1에서 극소, x=3에서 극대이 고 ㉡, ㉢에서 F(0)=0, F(3)=0이므로 y=F(x)의 그래프의 개형으로 적당한 것은 ⑤⑤이다.

f(x)는 다항함수이고, f(x)+x¤ + @/ f(t)dt가 (x-2)¤

으로 나누어 떨어지므로 그때의 몫을 Q(x)라 하면 ㅇㅇf(x)+x¤ + @/ f(t) dt=(x-2)¤ Q(x) yy`㉠⋯

가⃝

㉠의 양변에 x=2를 대입하면 ㅇㅇf(2)+4+:@2 f(t)dt=0

ㅇㅇf(2)+4+0=0ㅇㅇ∴ f(2)=-4 yy`㉡⋯

나⃝

㉠의 양변을 x에 대하여 미분하면

ㅇㅇf '(x)+2x+f(x)=2(x-2)Q(x)+(x-2)¤ Q'(x) 위의 식의 양변에 x=2를 대입하면

ㅇㅇf '(2)+4+f(2)=0

ㅇㅇf '(2)+4-4=0 (∵ ㉡)ㅇㅇ∴ f '(2)=0

다⃝

:

:

9 1

:!3 :)1

:)3 :)0 :)/

8 1

1 3 1

3 1 n k n

0-(-1) n k

n

x y 1 y 3 y

F'(x) - 0 + 0

-F(x) ↘ 극소 ↗ 극대 ↘

문서에서 Ⅰ 함수의 극한 (페이지 117-130)