이산확률변수 - Ⅰ 함수의 극한

X 0 1 2 3 합계

P(X=x) ;3¢5; ;3!5*; ;3!5@; ;3¡5; 1 P(X=x)=

[

--x-1--- (2…x…7) 36

-13-x--- (8…x…12) 36

Δ P(X=5)= 4 36

Δ P(X=6)= 5 36

Δ P(X=7)= 6 36

Δ P(X=8)= 5 36

Δ P(X=9)= 4 36

정답과해설

164

ㅇㅇk+ + + =1, k=1

ㅇㅇ∴ k=

확률의 총합은 1이므로

ㅇㅇ + + +k=1ㅇㅇ∴ k=

ㅇㅇ∴ P(X=3)=

X¤ -2X-3=0을 풀면

ㅇㅇ(X+1)(X-3)=0ㅇㅇ∴ X=-1 또는 X=3 따라서 구하는 확률은

ㅇㅇP(X¤ -2X-3=0)=P(X=-1 또는 X=3)

=P(X=-1)+P(X=3)

= + =

확률 pº, p¡, p™, p£, p¢가 순서로 등차수열을 이루므로 공차를 d라 하면

ㅇㅇpº=p™-2d, p¡=p™-d, p™, ㅇㅇp£=p™+d, p¢=p™+2d 확률의 총합은 1이므로 ㅇㅇpº+p¡+p™+p£+p¢=1

ㅇㅇ(p™-2d)+(p™-d)+p™+(p™+d)+(p™+2d)=1

ㅇㅇ5p™=1ㅇㅇ∴ p™= yy㉠ㅇ

X¤ -4X+3æ0을 풀면

ㅇㅇ(X-1)(X-3)æ0ㅇㅇ∴ X…1 또는 Xæ3 따라서 구하는 확률은

ㅇㅇP(X¤ -4X+3æ0)

=P(X…1 또는 Xæ3)

=P(X…1)+P(Xæ3)

=P(X=0)+P(X=1)+P(X=3)+P(X=4)

=pº+p¡+p£+p¢

=(p™-2d)+(p™-d)+(p™+d)+(p™+2d)

=4p™=4_ = `(∵ ㉠)

`^{다른 풀이}`

P(X…1)+ P(Xæ3)=1-P(X=2)

=1-p™

=1-=4`(∵ ㉠) 5

1 5 4 5 1 5

1 5

5

1 2 3 8 1 8 3 8

3 8 3

8 1 8 1 8

4

27 40

40 27 k

27 k 9 k 3

유제 pp. 275~278

동전의 앞면을 H, 뒷면을 T라 할 때, 동전을 두 번 던져 받을 수 있는 상금은

ㅇㅇ(H, H) Δ 200원 ㅇㅇ(H, T), (T, H) Δ 120원 ㅇㅇ(T, T) Δ 140원

상금으로 받는 금액이 확률변수 X이므로 X가 취할 수 있는 값은

ㅇㅇ40, 120, 200

이고, 이에 따른 각각의 확률과 확률분포를 표로 나타내면 ㅇㅇP(X=40)= ,ㅇㅇP(X=120)=

ㅇㅇP(X=200)=

따라서 X의 기댓값 E(X)는

ㅇㅇE(X)=40_ +120_ +200_

=120(원)

회전판에 붉은색이 8칸, 푸른색이 x칸이고 받을 수 있는

7

1 4 2

4 1

4 1 4

2 4 1

6

⑴ E(X)=0_ +1_ +2_ =1

⑵ V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

={0¤ _ +1¤ _ +2¤ _ }-1¤ =

⑶ r(X)="√V(X)=æ = '2 2 1 2

1 2 1

4 1

2 1

1 4 1 2 1

1

6 120원 7 7개 8 9 10

11 (평균)= , (표준편차)= 12 (평균)=5, (분산)=3 13 70 14 16

3 5 9

28 75 19

55 '∂11

개념check | 1 ⑴ 1 ⑵ ⑶ '2 2 1

02

이산확률변수의 기댓값(평균), 분산, 표준편차

p. 274

X 40 120 200 합계

P(X=x) 1 1

4 2

4 1

Ⅴ통계

165

상금을 확률변수 X라 하면 X가 취할 수 있는 값은 ㅇ

ㅇㅇ10000, -5000

이고, 이에 따른 각각의 확률과 확률분포를 표로 나타내면 ㅇㅇP(X=10000)=

ㅇㅇP(X=-5000)=

X의 기댓값 E(X)=3000이므로 ㅇㅇE(X)=10000_ +(-5000)_

=3000

ㅇㅇ =3, 80-5x=24+3x ㅇㅇ8x=56ㅇㅇ∴ x=7

따라서 회전판의 푸른색 칸의 개수는 7개이다.

확률의 총합은 1이므로 ㅇㅇ +b+ =1ㅇㅇ∴ b=

X의 평균 E(X)=- 이므로 ㅇㅇ-a_ +0_ +a_

=-ㅇㅇ = ㅇㅇ∴ a=2 X¤ 의 평균 E(X¤ )은

ㅇㅇE(X¤ )=(-2)¤ _ +0¤ _ +2¤ _ =3 X의 분산 V(X)는

ㅇㅇV(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

=3-{- }¤ = {∵ E(X)=- } 따라서 X의 표준편차 r(X)는

ㅇㅇr(X)="√V(X)=æ≠ =

확률의 총합은 1이므로

ㅇㅇ P(X=k)= (ak+b)

=a k+10b

=a_ +10b

=55a+10b=1 yy㉠⋯

10_11 2

¡10 k=1

9

'∂11 2 11

1 2 11

4 1 2

1 4 1

4 1

2 1

2 a 4

1 2 1 4 1 4 1 2

1 2

1 4 1

4 1 2

8

80-5x 8+x

x 8+x 8

8+x x 8+x

8 8+x

X 10000 -5000 합계

P(X=x) x 1

8+x 8

8+x

X의 평균 E(X)=1이므로 ㅇㅇE(X)= kP(X=k)

ㅇㅇE(X)= k(ak+b)= (ak¤ +bk)

ㅇㅇE(X)=a k¤ +b k

ㅇㅇE(X)=a_ +b_

ㅇㅇE(X)=385a+55b=1 yy㉡ㅇ

㉠, ㉡을 연립하면 ㅇㅇa=- , b=

ㅇㅇ∴ a+b=- + =

2장의 CD를 꺼낼 때, 나온 음악 CD의 수가 확률변수 X이므로 X가 취할 수 있는 값은

ㅇㅇ0, 1, 2

이때 7장의 게임 CD와 3장의 음악 CD가 꽂혀 있는 CD케이스에서 2장의 CD를 꺼내는 경우의 수는 ¡ºC™이 고, 꺼낸 CD 중에서 음악 CD가 x장인 경우의 수는

£C≈_¶C™–

≈이므로 X의 확률질량함수는 ㅇㅇP(X=x)= (단, x=0, 1, 2) 따라서 X의 확률분포는 다음 표와 같다.

X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)=0_ +1_ +2_ = X¤ 의 평균 E(X¤ )은

ㅇㅇE(X¤ )=0¤ _ +1¤ _ +2¤ _ = 따라서 X의 분산 V(X)는

ㅇㅇV(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

= -{ }¤ =

홀수가 적힌 공은 1, 3, 5의 3개이고, 짝수가 적힌 공은 2, 4의 2개이므로 3개의 공을 꺼낼 때, 홀수가 적힌 공은 적어도 1개 꺼내게 된다. 이때 홀수가 적힌 공의 개수를 확률변수 X라 하면 X가 취할 수 있는 값은

ㅇㅇ1, 2, 3

1 1

28 75 3 5 11 15

11 15 3 45 21

45 21

3 5 3 45 21

45 21

£C≈_¶C™–

≈¡ºC™

0 1

19 55 2 5 3 55

2 5 3 55

10_11 2 10_11_21

¡10 k=1

X 0 1 2 합계

P(X=x) ²¹₄₅ ²¹₄₅ ₄₅³ 1

정답과해설

166

이때 홀수가 적힌 공 3개와 짝수가 적힌 공 2개가 들어 있는 상자에서 3개의 공을 꺼내는 경우의 수는 ∞C£이고, 꺼낸 공 중에서 홀수가 적힌 공이 x개인 경우의 수는

£C≈_™C£–

≈이므로 X의 확률질량함수는 ㅇㅇP(X=x)= (단, x=1, 2, 3) 따라서 X의 확률분포는 다음 표와 같다.

X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)=1_ +2_ +3_ = X¤ 의 평균 E(X¤ )은

ㅇㅇE(X¤ )=1¤ _ +2¤ _ +3¤ _ = X의 분산 V(X)는

ㅇㅇV(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

= -{ }¤ = X의 표준편차 r(X)는 ㅇㅇr(X)="√V(X)=æ– =

ㅇㅇ∴ E(X)= , r(X)=

4개의 제품 중 합격품이 2개이고, 상자에서 2개의 제품을 꺼낼 때 나오는 합격품의 개수가 확률변수 X이므로 X 가 취할 수 있는 값은

ㅇㅇ0, 1, 2

이때 합격품 2개와 불량품 2개가 들어 있는 상자에서 2 개의 제품을 꺼내는 경우의 수는 ¢C™이고, 꺼낸 제품 중에 서 합격품이 x개인 경우의 수는 ™C≈_™C™–

≈이므로 X의 확률질량함수는

ㅇㅇP(X=x)= (단, x=0, 1, 2) 따라서 X의 확률분포는 다음 표와 같다.

X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)=0_ +1_ +2_1=1 6 4 6 1 6

™C≈_™C™–

≈¢C™

2 1

3 5 9

3 5 9 25

9 25 9 5 18

18 5 1 10 6

10 3

9 5 1 10 6

10 3

£C≈_™C£–

≈∞C£

X 1 2 3 합계

P(X=x) 1 1

10 6

10 3

X 0 1 2 합계

P(X=x) 1 1

6 4

6 1

X¤ 의 평균 E(X¤ )은

ㅇㅇE(X¤ )=0¤ _ +1¤ _ +2¤ _ = X의 분산 V(X)는

ㅇㅇV(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤

= -1¤ =

따라서 확률변수 Y=3X+2의 평균 E(Y)와 분산 V(Y) 를구하면

ㅇㅇE(Y)=E(3X+2)=3E(X)+2

=3_1+2=5

ㅇㅇV(Y)=V(3X+2)=3¤ V(X)

=9_ =3

확률변수 Y=aX+b이고, X의 평균 E(X)=1이므로 Y의 평균 E(Y)는

ㅇㅇE(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b

=a+b 이때 E(Y)=30이므로

ㅇㅇa+b=30 yy㉠ㅇ

또한 X의 분산 V(X)=4이므로 Y의 분산 V(Y)는 ㅇㅇV(Y)=V(aX+b)=a¤ V(X)=4a¤

이때 V(Y)=1600이므로 ㅇㅇ4a¤ =1600

ㅇㅇ∴ a=-20 (∵ a<0) 이를 ㉠에 대입하면

ㅇㅇ-20+b=30ㅇㅇ∴ b=50 ㅇㅇ∴ b-a=50-(-20)=70

E(X)=24, E(Y¤ )=65이고, Y= X+2이므로 Y의 평균 E(Y)는

ㅇㅇE(Y)=E{ X+2}= E(X)+2

= _24+2=8 yy㉠ㅇ

Y의 분산 V(Y)는

ㅇㅇV(Y)=E(Y¤ )-{E(Y)}¤

=65-8¤ (∵ ㉠, E(Y¤ )=65)

=1 yy㉡ㅇ

이때 V(Y)=V{ X+2}= V(X)이므로 ㅇㅇV(X)=16V(Y)=16_1 (∵ ㉡)

=16

1 16 1

4 1 4

1 4 1

4 1 3 1

1 3

1 3 4

4 3 1 6 4

6 1

Ⅴ통계

167

10개의 제품을 고르는 것이므로 10회의 독립시행이고, 불

량품이 나올 확률이 , 불량품이 나오지 않을 확률이

이므로불량품의개수X는이항분포B{10, }을 따른다.

이때 X의확률질량함수는 ㅇㅇP(X=r)=¡ºC® { }®

{ }⁄ ‚ —® (단, r=0, 1, y, 10) 따라서 불량품이 9개 이상 나올 확률 P(Xæ9)는 ㅇㅇP(Xæ9)=P(X=9)+P(X=10)

=¡ºCª { }·

{ }⁄ +¡ºC¡º{ }⁄ ‚ { }‚

= =91_10—⁄ ‚

동전을 던져 나오는 앞면을 H, 뒷면을 T라 할 때, 두 개 의 동전을 동시에 한 번 던져서 나올 수 있는 경우는 ㅇㅇ(H, H), (H, T), (T, H), (T, T) 의 4가지이고, 두 동전 모두 앞면이 나오는 경우는 (H, H)의 1가지이므로 두 동전 모두 앞면이 나올 확률은

이다.

따라서 두 개의 동전을 5회 던지는 시행은 5회의 독립시 행이고, 한 번의 시행에서 두 동전 모두 앞면이 나올 확률 은 , 그렇지 않을 확률은 이므로 X는 이항분포

B{5, }을 따른다.

이때 X의 확률질량함수는 ㅇㅇP(X=r)=∞C® { }®

{ }ﬁ —® `(단, r=0, 1, y, 5) 따라서 X가 2 미만일 확률 P(X<2)는

ㅇㅇP(X<2)=P(X=0)+P(X=1)

=∞Cº { }‚

{ }ﬁ +∞C¡{ }⁄ {3}›

4 1 4 3

4 1 4

3 4 1 4 1

3 4 1

4 1 4

6 1

90+1 10⁄ ‚

9 10 1 10 9

10 1 10

9 10 1 10

1 10

9 10 1

5 1

= = =

⑴ 18번 전화를 거는 것이므로 18회의 독립시행이고, 전 화를 걸면 3번에 1번 꼴로 통화 연결이 되지 않으므 로 1번 전화를 걸었을 때, 통화가 연결되지 않을 확률 은 이다.

⑴따라서 X는 이항분포 B{18, }을 따르므로 X의 평균 E(X)와 표준편차 r(X)를 구하면

⑴ ㅇㅇE(X)=18_ =6

⑴ ㅇㅇr(X) =Æ…18_… _ ='4=2

⑵ 씨앗 10000개를 뿌리는 것이므로 10000회의 독립시 행이고, 씨앗의 발아율이 10 %이므로 하나의 씨앗이 발아할 확률은 이다.

⑴따라서 X는 이항분포 B {10000, }을 따르므로 X의 평균 E(X)와 표준편차 r(X)를 구하면

⑴ ㅇㅇE(X)=10000_ =1000

⑴ ㅇㅇr(X)=Æ…10000_… _ ='∂900=30

주사위를 한 개 던졌을 때, 2의 눈이 나올 확률은 이므로

ㅇㅇp=

따라서 n회의 독립시행이 이루어지고, 주사위를 한 개 던 져 2의 눈이 나올 확률은 이므로 X는 이항분포

B {n, }을 따른다.

⑴ X의 평균 E(X)=12이므로

⑴ ㅇㅇE(X)=n_ =12ㅇㅇ∴ n=72

⑴X의 분산 V(X)는

⑴ ㅇㅇV(X)=72_ _ =10

⑴이때 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 이므로

⑴ ㅇㅇE(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤

=10+12¤ =154

⑵ 확률변수 Y=-2X+1의 평균 E(Y), 분산 V(Y)를 구하면

5 6 1 6 1 6 1

1 6 1

8

1

9 10 1 10 1 10

1 10 1

10 2 3 1 3 1 3

1 3 1

7 1

81 128 648 1024 3ﬁ +5_3›

4ﬁ

유제 pp. 280~281

15 91_10—⁄ ‚ 16 17 ⑴ (평균) =6, (표준편차) =2

⑵ (평균) =1000, (표준편차) =30 18 ⑴ 154 ⑵ (평균) =-23, (분산) =40 19 ③

81 128

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