모평균의 추정 - Ⅰ 함수의 극한

Ⅴ통계

183

따라서 두 신뢰구간의 길이의 차는

ㅇㅇ|25.8-19.6|=6.2

표본의 크기 n=100은 충분히 크므로 모표준편차 r 대신 표본표준편차 s=0.5를 이용한다.

이때 P(|Z|…2.6)=0.99이므로 모평균 m과 표본평균 X’의 최대 오차는

ㅇㅇ2.6 =0.13

모표준편차 r=5일 때, 신뢰구간의 길이가 4.9 cm 이하 가 되어야 하므로

⑴ P(0…Z…1.96)=0.475에서 ㅇㅇP(-1.96…Z…1.96)=0.95

이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간의 길이는

ㅇㅇ2_1.96 …4.9

ㅇㅇ'ßn æ =4ㅇㅇ∴ næ16 따라서 최소한 16명 이상의 표본을 조사해야 한다.

⑵ P(0…Z…2.58)=0.495에서 ㅇㅇP(-2.58…Z…2.58)=0.99

이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간의 길이는

ㅇㅇ2_2.58 …4.9

ㅇㅇ'næ =5.26y ㅇㅇ∴ næ27.66y

따라서 최소한 28명 이상의 표본을 조사해야 한다.

모표준편차 r=4이고, P(0…Z…2.58)=0.495에서 ㅇㅇP(-2.58…Z…2.58)=0.99

일 때, 신뢰구간의 길이가 1.72분 이하가 되어야 하므로 모 평균 m에 대한 신뢰도 99 %의 신뢰구간의 길이는 ㅇㅇ2_2.58 …1.72

ㅇㅇ'næ =12 ㅇㅇ∴ næ144

따라서 최소한 144명 이상의 표본을 조사해야 한다.

2_2.58_4 1.72 4 'n

0 1

2_2.58_5 4.9 5 'ßn 2_1.96_5

4.9 5 'ßn

9

0.5 '∂100

8

1 ④ 2 , 3 ④ 4 ④

5 ③ 6 ③ 7 100 8 98

13 25 7 5

pp. 314~315

연습 문제

모집단이 정규분포를 따르지 않더라도 표본의 크기 n이 충 분히 크면 표본평균 X’는 근사적으로 정규분포

N {m, }을 따른다.

따라서 모평균 m=50, 모표준편차 r=4이고, 표본의 크 기 n=64는 충분히 크므로 표본평균 X’는 정규분포 N {50, }, 즉 N {50, { }¤

}을 따른다.

주어진 모집단에서 모평균 m과 모분산 r¤ 을 구하면

ㅇㅇm= =

ㅇㅇr¤ = -{ }¤ =

표본의 크기가 n=2이므로 표본평균 X’의 평균과 분산은

ㅇㅇE(X’)=m= , V(X’)= = =

모집단이 정규분포 N(120, 16¤ )을 따르고, 표본의 크기가 100이므로 100명의 한 달 급여의 평균 X’는 정규분포 N {120, }, 즉 N {120, { }

}을 따른다.

이때 구하는 확률은ㅇㅇP(X’…116) X’…116을 Z= 으로 표준화하면

ㅇㅇP(X’…116)=P

¶

^Z…

•

ㅇㅇP(X’…116)=P(Z…-2.5)=P(Zæ2.5)

=0.5-P(0…Z…2.5)

=0.5-0.4938=0.0062

표본의 크기가 n=20일 때, 모평균 m에 대한 신뢰도 a%의 신뢰구간의 길이는 2이므로

ㅇㅇ2_k =2 {단, P(|Z|…k)= } ㅇㅇ∴ kr='∂20

따라서 표본의 크기가 n=40일 때, 같은 신뢰도 a %에 a

100 r

'∂20

4

116-120 8 5 X’-120

8 5

8 5 16¤

100

3

13 25 26 25 2 r¤

n 7

26 25 7 5 0¤ +1¤ +1¤ +2¤ +3¤

7 5 0+1+1+2+3

2

1 2 4¤

64 r¤

1

정답과해설

184

서 신뢰구간의 길이는

ㅇㅇ2_k =2_ ='2

표본의 크기 n¡=9, 모표준편차 r=2일 때, 신뢰구간의 길이가 1이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 a %의 신뢰구 간의 길이는

ㅇㅇ2_k =1 {단, P(|Z|…k)= }

ㅇㅇ∴ k=

이때 크기가 n™인 표본을 뽑아 같은 신뢰도 a %로 모평 균 m에 대한 신뢰구간의 길이가 이 되기 위해서는

ㅇㅇ2_ _ = , 'ßn™=6ㅇㅇ∴ n™=36

ㄱ. 표본평균 X’의 분산은 V(X’)= 이므로 X’의 분 산은 표본의 크기에 반비례한다. (∴ 참)

ㄴ. 정규분포 N(m, r¤ )을 따르는 모집단에서 동일한 표 본을 사용하면 신뢰도 99 %인 신뢰구간은

ㅇㅇX’-2.58 …m…X’+2.58 yy㉠⋯

ㄴ.신뢰도 95 %인 신뢰구간은

ㅇㅇX’-1.96 …m…X’+1.96 yy㉡⋯

ㄴ.따라서 ㉠의 길이가 ㉡의 길이보다 길기 때문에 ㉠은

㉡을 포함한다. 즉 99 %인 신뢰구간은 신뢰도 95 % 인 신뢰구간을 포함한다. (∴ 참)

ㄷ. 신뢰구간이 X’-k …m…X’+k 일 때, 신뢰

구간의 길이는 2_k 이므로 표본의 크기가 작을 수록 신뢰구간의 길이는 길어진다. (∴ 거짓)

따라서보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

모집단이 정규분포 N(m, 5¤ )을 따르고, 표본의 크기가 n이므로 표본평균 X’는 정규분포 N{m, }을 따른다.

|Z|= 로 놓으면 Z는 표준정규분포

N(0, 1)을 따르므로 ㅇㅇP(|m-X’|…0.98) ㅇㅇ=P ª …

0.98º 5 'ßn

|m-X’|

5 'ßn

|m-X’|

5 'ßn

5¤

7

r 'ßn

r 'ßn r

'ßn

r 'ßn r

'ßn

r 'ßn r

'ßn

r¤

6

1 2 2 'ßn™

3 4

1 2 3

a 100 2

5

'∂20 '∂40 r

'∂40

ㅇㅇ=P {|Z|… 'ßn }æ0.95 yy㉠⋯

이때 P(0…Z…1.96)=0.475이므로 ㅇㅇP(|Z|…1.96)=0.95

이를 ㉠과 비교하면

ㅇㅇ 'ßnæ1.96, 'ßnæ =10 ㅇㅇ∴ næ100

따라서 n의 최솟값은 100이다.

모표준편차 r=10, 표본의 크기 n=25, 표본평균 X’=122.6이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 a %의 신뢰 구간은

ㅇㅇ122.6-k …m…122.6+k

{단, P(|Z|…k)= } ㅇㅇ122.6-2k…m…122.6+2k

117.6…m…127.6과 비교하면

ㅇㅇ122.6-2k=117.6, 122.6+2k=127.6

ㅇㅇ∴ k=2.5ㅇㅇ∴ P(|Z|…2.5)= yy㉠⋯

이때 P(0…Z…2.5)=0.49이므로 ㅇㅇP(|Z|…2.5)=0.98

이를 ㉠과 비교하면

ㅇㅇ a =0.98ㅇㅇ∴ a=98 100

a 100

a 100 10

'∂25 10

'∂25

8

1.96_5 0.98 0.98

0.98 5

01 ④ 02 37 03 8 04 ④

05 ㄴ, ㄹ, ㅁ 06 ④ 07 ⑤ 08 ② 09 ④ 10 30 11 2.50…m…2.64 12 ③ 13 ① 14 ③ 15 1815명 16 ⑤ 17 1 18 166 19 0.07 20 21 ④ 22 ③ 23 60, 30 24 60원

1 7

대단원 실전 문제 pp. 316~320

확률의 총합은 1이므로

ㅇㅇ a+ +1-a=1ㅇㅇ∴ a=

ㅇㅇ∴ P(X=0)= , P(X=4)=

따라서 구하는 확률은

1 2 1

6 2 3

1

0

Ⅴ통계

185

ㅇㅇP(Xæ2)=P(X=2)+P(X=4)

= + =

r(-2-'3X)=6이므로

ㅇㅇr(-2-'3X)=|-'3|r(X)=6 ㅇㅇ∴ r(X)=2'3

ㅇㅇ∴ V(X)={r(X)}¤ =(2'3)¤ =12 yy㉠⋯

이때 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에서 ㅇㅇE(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤

=12+5¤ (∵ ㉠, E(X)=5)

=37

상자에서 꺼낸 불량품의 개수 X가 취할 수 있는 값은 ㅇㅇ0, 1, 2

이때 4개의 제품이 들어 있는 상자에서 2개의 제품을 꺼 내는 경우의 수는 ¢C™이고, 꺼낸 2개의 제품 중에서 불량 품이 x개인 경우의 수는 ™CÆ_™C™–Æ이므로 X의 확률질 량함수는

ㅇㅇP(X=x)= (단, x=0, 1, 2) 따라서 X의 확률분포는 다음 표와 같다.

X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)=0_ +1_ +2_ =1 X의 분산 V(X)는

ㅇㅇV(X)=0¤ _ +1¤ _ +2¤ _ -1¤ = 따라서 E(3X+2)와 V(3X+2)를 각각 구하면 ㅇㅇE(3X+2)=3E(X)+2=3¥1+2=5 ㅇㅇV(3X+2)=3¤ V(X)=9¥ =3 ㅇㅇ∴ E(3X+2)+V(3X+2)=5+3=8

씨앗을 100개 심는 시행은 100회의 독립시행이고, 씨앗 의 발아율이 50 %이므로 하나의 씨앗이 발아할 확률은

이다.

따라서 X는 이항분포 B{100, }을 따르므로 X의 평균 E(X)와 표준편차 r(X)를 구하면

1 2 1

4 0

1 3

1 3 1

6 4

6 1

1 6 4 6 1 6

™CÆ_™C™–Æ

¢C™

3 0

2 0

2 3 1 2 1 6

ㅇㅇE(X)=100_ =50

ㅇㅇr(X)=Æ10…0_ _ ='2å5=5

확률밀도함수가 되기 위해서는 f(x)æ0이고, 0…x…2의 범위에서 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 1이어야 한다.

ㄱ. f(x)<0인 부분이 존재하므로 확률밀도함수가 아 니다.

ㄴ. f(x)æ0이고 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸 인 부분의 넓이가 _2_1=1이므로 확률밀도함 수이다.

ㄷ. f(x)æ0이지만 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸 인 부분의 넓이가 _p_1¤ = +1이므로 확률 밀도함수가 아니다.

ㄹ. f(x)æ0이고 y=f(x)의 그래프와 x축으로 둘러싸 인 부분의 넓이가 _2_1=1이므로 확률밀도함 수이다.

ㅁ. 주어진 함수 y=g(x)의 그래프를 그려 보면 오른쪽 그림과 같다.

이때 g(x)æ0이고 y=g(x)의 그 래프와 x축 사이의 영역의 넓이를 구하면

ㅇㅇ g(x)dx= { x¤ + } dx

=[ x‹ + x]2)=1 ㅁ.이므로 확률밀도함수이다.

ㅂ. 주어진 함수 y=h(x)의 그래프를 그려 보면 오른쪽 그림과 같다.

이때 0…x…2의 범위에서 h(x)…0이므로 확률밀도함수가 아 니다.

따라서보기에서 확률밀도함수가 될 수 있는 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ이다.

모집단이 정규분포 N(250, 40¤ )을 따르고, 표본의 크기 가 100이므로 표본평균 X’는 정규분포 N{250, }, 즉 N(250, 4¤ )을 따른다.

40¤

100

6 0

O 2 x

y=h(x) 1

6 1 12

1 6 1 :)2 4 :)2

O 2 x

y -7 6 -1

y=g(x) 1

p 2 1

2 1 2

5 0

1 2 1 2 1 2

X 0 1 2 합계

P(X=x) 1 1

6 4

6 1

정답과해설

186

주머니에서 5번 반복하여 공을 꺼내고 다시 넣을 때, 빨간 공이 나오는 횟수를 확률변수 X라 하면, 빨간 공 2개, 파 란 공 3개가 들어 있는 주머니에서 빨간 공이 나올 확률은 이고, 모두 5회의 독립시행을 하므로 X는 이항분포

B {5, }를 따른다.

X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)=5_ =2 yy㉠⋯

파란 공이 나오는 횟수는ㅇㅇ5-X 받는 금액을 Y라 하면

ㅇㅇY=100X+200(5-X)=-100X+1000 ㅇㅇ∴ E(Y)=E(-100X+1000)

=-100E(X)+1000

=-100_2+1000 (∵ ㉠)

=800(원)

f(x)가 1…x…2를 만족하는 확률변수 X의 확률밀도함 수이면 f(x) dx=1이므로

ㅇㅇ (ax-2) dx=[ x¤ -2x]2!

=(2a-4)-{ -2}

= a-2=1

ㅇㅇ∴ a=2ㅇㅇ∴ f(x)=2x-2 (1…x…2) X의 평균 E(X)= x f(x) dx=M은 ㅇㅇM= x(2x-2) dx=2 (x¤ -x) dx

=2[ x‹ - x¤ ]2!

=2[{ -2}-{ - }]

= yy㉠⋯

X¤ 의 평균 E(X¤ )= x¤ f(x) dx는

ㅇㅇ x¤ (2x-2) dx=2 (x‹ -x¤ ) dx

=2[ x› - x‹ ]2!

=2[{4- }-{ - }]

=17 yy㉡⋯

1 3 1 4 8 3

1 3 1 4 :!2 :!2

:!2 5 3

1 2 1 3 8

3 1 2 1 3 :!2 :!2

:!2 3 2

a 2 a

:!2 2 :!2

0 1

2 5 2

5 2 5

9 0

이때 구하는 확률은ㅇㅇP(246…X’…256) 246…X’…256을 Z= 으로 표준화하면 ㅇㅇP(246…X’…256)

ㅇㅇ=P { …Z… }

=P(-1…Z…1.5)

ㅇㅇ=P(-1…Z…0)+P(0…Z…1.5) ㅇㅇ=P(0…Z…1)+P(0…Z…1.5)

=0.3413+0.4332=0.7745

A학급의 학생의 점수를 확률변수 XÅ라 하면 ㅇㅇE(XÅ)=30, r(XÅ)=10

이때 A학급 학생의 점수는 모두 30점씩 더해졌으므로 A학급의 확률변수는ㅇㅇXÅ+30

ㅇㅇ∴ E(XÅ+30)=E(XÅ)+30=30+30=60 r(XÅ+30)=r(XÅ)=10

한편 B학급의 학생의 점수를 확률변수 Xı라 하면 ㅇㅇE(Xı)=30, r(Xı)=15

이때 B학급 학생의 점수는 2배씩 곱해졌으므로 B학급 의 확률변수는ㅇㅇ2Xı

ㅇㅇ∴ E(2Xı)=2E(Xı)=2_30=60 r(2Xı)=2r(Xı)=2_15=30 ㄱ. E(XÅ+30)=60=E(2Xı) (∴ 참) ㄴ. r(XÅ+30)=10 (∴ 거짓) ㄷ. r(2Xı)=30 (∴ 참)

따라서보기에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

수학, 영어, 음악 성적을 각각 확률변수 A, B, C라 하면 ㅇㅇA는 정규분포ㅇㅇN(70, 4¤ )

ㅇㅇB는 정규분포ㅇㅇN(79, 5¤ ) ㅇㅇC는 정규분포ㅇㅇN(71, 6¤ ) 을 따른다.

각각의 확률변수 A, B, C를 표준화하면 ㅇㅇ수학：781⁄ zÅ= =2 ㅇㅇ영어：821⁄ zı= =0.6

ㅇㅇ음악：761⁄ zÇ= ?0.83 ㅇㅇ∴ zı<zÇ<zÅ

따라서 규리가 상대적으로 우수한 과목을 차례대로 적으 면 ②② 수학, 음악, 영어이다.

76-71 6 82-79

5 78-70

8 0

7 0

256-250 4 246-250

X’-250 4

Ⅴ통계

187

㉠, ㉡을 V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 에 대입하면 분산 V는 ㅇㅇV= -{ }¤ = yy㉢⋯

ㅇㅇ∴ = =30`(∵ ㉠, ㉢)

표본의 크기 n=100, 표본평균 X’=2.57이고, n은 충 분히 크므로 모표준편차 r 대신 표본표준편차 s=0.35를 이용한다.

이때 P(|Z|…2)=0.95이므로 모평균 m에 대한 신뢰도 95 %의 신뢰구간은

ㅇㅇ2.57-2 …m…2.57+2 ㅇㅇ∴ 2.50…m…2.64

확률변수 X가 이항분포 B(n, p)를 따르므로 ㅇㅇr(X)="√np(1-p) (0…p…1)

n이 일정할 때, r(X)가 최대가 되려면 p(1-p)가 최대 가 되어야 하므로

ㅇㅇp(1-p)=-p¤ +p=-{p- }¤ +

에서 p= 일 때, r(X)가 최대가 된다.

정규분포 N(m, r¤ )을 따르는 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하여 추정한 모평균 m에 대한 신뢰도 a%의 신뢰구간의 길이는

ㅇㅇ2_k {단, P(|Z|…k)= }

따라서 신뢰도를 낮추면 k의 값이 작아지므로 신뢰구간 의 길이는 짧아지고, 표본의 크기를 크게 하면 'ßn의 값이 커지므로 신뢰구간의 길이는 짧아진다.

전체 시험 응시자 500명에 대하여 합격자 100명이 차지 하는 비율은

ㅇㅇ =0.2

응시자의 시험 성적을 X, 최저 합격점을 a라 하면 ㅇㅇP(Xæa)=0.2

확률변수 X는 정규분포 N(250, 50¤ )을 따르므로 Xæa를 Z=X-250으로 표준화하면

50 100

500

4 1

a 100 r

'ßn

3 1

1 2

1 4 1 2

2 1

0.35 '∂100 0.35

'∂100

1 1

;3%;

;1¡8;

M V

1 18 5 3 17

ㅇㅇP(Xæa)=P{Zæ }

=0.5-P {0…Z… }

=0.2

ㅇㅇ∴ P{0…Z… }=0.3 이때 P(0…Z…0.84)=0.3이므로 ㅇㅇ =0.84ㅇㅇ∴ a=292 따라서 최저 합격 점수는 292점이다.

⁄ 10대들이 한 달간 보내는 문자 메시지의 개수를 확률변 수 X라 하면 X는 정규분포 N(500, 75¤ )을 따른다.

이때 구하는 확률은ㅇㅇP(X…350)

X…350을 Z= 으로 표준화하면

⁄ ㅇㅇP(X…350)=P{Z… }

=P(Z…-2)

=P(Zæ2)

=0.5-P(0…Z…2)

=0.5-0.4772=0.0228

⁄ 따라서 10대 10000명 중 한 달간 문자 메시지를 350 개 이하로 보내는 사람 수는

⁄ ㅇㅇ10000_0.0228=228(명)

¤ 20대들이 한 달간 보내는 문자 메시지의 개수를 확률 변수 Y라 하면 Y는 정규분포 N(20, 5¤ )을 따른다.

이때 구하는 확률은ㅇㅇP(Yæ25)

Yæ25를 Z= 으로 표준화하면

⁄ ㅇㅇP(Yæ25)=P{Zæ }

=P(Zæ1)

=0.5-P(0…Z…1)

=0.5-0.3413=0.1587

⁄ 따라서 20대 10000명 중 한 달간 문자 메시지를 25 개 이상 보내는 사람 수는

⁄ ㅇㅇ10000_0.1587=1587(명)

⁄, ¤에 의하여 구하는 사람 수는 ㅇㅇ228+1587=1815(명)

모표준편차 r=0.4이고, 표본의 크기가 n일 때, 모평균과 표본평균의 차가 0.05 이하이므로

6 1

25-20 5 Y-20

350-500 75 X-500

5 1

a-250 50

a-250 50 a-250

정답과해설

188

ㅇㅇ1.96 …0.05

ㅇㅇ'ßn æ =15.68 ㅇㅇ∴ næ245.8624

따라서 표본은 246명 이상이어야 한다.

주어진 확률변수 X의 확률분포의 표를 이용하여 X의 확률질량함수를 구하면

ㅇㅇP(X=x)=«C

≈ { }

≈

{ }

« —≈

(단, x=0, 1, 2, y, n) 따라서 X는 이항분포 B{n, }을 따르므로

X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=n_ =

V(X)=n_ _ =

이때 4X+a의 평균 E(4X+a)와 분산 V(4X+a)를 구하면

ㅇㅇE(4X+a)=4E(X)+a=4_ +a=3n+a

ㅇㅇV(4X+a)=4¤ V(X)=4¤ _ =3n

주어진 조건에서 4X+a의 평균과 분산이 각각 4, 3이 므로

ㅇㅇ3n+a=4, 3n=3 ㅇㅇ3n+a=4, n=1 ㅇㅇ∴ a=1, n=1 ㅇㅇ∴ na=1

A, B, C에서 ¢•C® { }®

{ }› ° —® 은 48회의 독립시 행에서 어느 사건이 일어날 확률이 인 확률분포의 확

률의 합이므로 ¢•C® { }®

{ }› ° —® =P(X=r)로 놓으면 X는 이항분포 B{48, }을 따른다.

A를 계산하면 ㅇㅇA= ¢•C® { }®

{ }› ° —®

= P(X=r)=1 ㅇㅇ∴ A=1

¡48 r=0

3 4 1 4

¡48 r=0

1 4

3 4 1 4

1 4 3 4 1 4

¡48

8

r=0

1

3n 16 3n

4 3n 16 1 4 3 4

3n 4 3 4

3 4 1 4 3 4

7 1

1.96_0.4 0.05 0.4 'ßn

B를 계산하면

ㅇㅇB= r¥¢•C® { }® { }› ° —®

= r¥P(X=r)=E(X) 이때 X의 평균 E(X)는

ㅇㅇE(X)=48_ =12 yy㉠⋯

ㅇㅇ∴ B=E(X)=12 C를 계산하면

ㅇㅇC= r¤ ¥¢•C® { }® { }› ° —®

= r¤ ¥P(X=r)=E(X¤ ) 이때 X의 분산 V(X)는

ㅇㅇV(X)=48_ _ =9 yy㉡⋯

이고, V(X)=E(X¤ )-{E(X)}¤ 이므로 ㅇㅇC=E(X¤ )=V(X)+{E(X)}¤

=9+12¤ =153`(∵ ㉠, ㉡) ㅇㅇ∴ A+B+C=1+12+153=166

동전을 400회 던져 앞면이 나오는 횟수를 확률변수 X라 할 때, 앞면이 나올 확률은 이고, 모두 400회의 독립시

행을 하므로 X는 이항분포 B{400, }을 따른다.

가⃝

X의 평균 E(X)와 분산 V(X)를 구하면 ㅇㅇE(X)=400_ =200

ㅇㅇV(X)=400_ _ =100=10¤

나⃝

이때 시행 횟수 n=400은 충분히 크므로 확률변수 X는 근사적으로 정규분포 N(200, 10¤ )을 따른다.

다⃝

따라서 앞면이 나오는 횟수가 185회 이하일 확률은 ㅇㅇP(X…185)

X…185를 Z= 으로 표준화하면

ㅇㅇP(X…185)=P{Z… }

=P(Z…-1.5)

=P(Zæ1.5)

=0.5-P(0…Z…1.5) 185-200

10 X-200

10 1 2 1 2 1 2

1 2 1

9 1

3 4 1 4

¡48 r=0

3 4 1 4

¡48 r=0

1 4

¡48 r=0

3 4 1 4

¡48 r=0

Ⅴ통계

189

=0.5-0.43=0.07

라⃝

확률의 총합은 1이므로

ㅇㅇP(X=1)+P(X=2)+y+P(X=7)=1 ㅇㅇlog£ p¡+log£ p™+y+log£ p¶=1

가⃝

로그의 성질을 이용하면

ㅇㅇlog£ p¡ p™ p£yp¶=1ㅇㅇ∴ p¡ p™ p£yp¶=3 나⃝

이때 p¡, p™, y, p¶이 순서로 등비수열을 이루므로 공비 를 r라 하면

ㅇㅇp™=p¡r,ㅇp£=p¡r¤ ,ㅇy,ㅇp¶=p¡rﬂ ㅇㅇ∴ p¡p™p£yp¶=p¡(p¡r)¥(p¡r¤ )y(p¡rﬂ )

=p¡⁷r1+2+3+4+5+6

=p¡⁷r²¹=(p¡r³)⁷=3 ㅇㅇ∴ p¡r‹ =3^;7!;

다⃝

ㅇㅇ∴ P(X=4)=log£ p¢=log£ p¡r‹ =log£ 3^;7!;= 라⃝

확률이 확률변수 X에 정비례하므로 ㅇㅇP(X=x)=ax (x=1, 2, 3, y, 10) 로 놓으면 확률의 총합은 1이므로

ㅇㅇ P(X=x)= ax=a_ =1

ㅇㅇ∴ a= ㅇㅇ∴ P(X=x)= x ㄱ. P(1…X¤ …9)

=P(1…X…3)

=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) 1 55 1

10_11 2

¡10 x=1

1 2

1 7

0 2

= + + = (∴ 거짓)

ㄴ. E(X)= xP(X=x)

= x¥ x= x¤

= _ =7(∴ 참)

ㄷ. V(X)= x¤ P(X=x)-7¤

= x¤ ¥ x-7¤ = x‹ -7¤

= { }¤ -7¤

=55-49=6 (∴ 참) 따라서^보기에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

제품의 무게를 확률변수 X라 하면 X는 정규분포 N(30, 5¤ )을 따르고, 불량품으로 판정받는 제품의 무게는 Xæ40이므로 Xæ40을 Z= 으로 표준화하면

ㅇㅇP(Xæ40)=P{Zæ }=P(Zæ2)

=0.5-P(0…Z…2)

=0.5-0.48=0.02

임의추출한 제품 2500개 중에서 불량품이 나올 확률이 0.02이므로 불량품이 나오는 개수를 확률변수 Y라 할 때, Y는 이항분포 B(2500, 0.02)를 따른다.

Y의 평균 E(Y)와 분산 V(Y)를 구하면 ㅇㅇE(Y)=2500_0.02=50

ㅇㅇV(Y)=2500_0.02_0.98=49=7¤

이때 시행 횟수 n=2500은 충분히 크므로 확률변수 Y 는 근사적으로 정규분포 N(50, 7¤ )을 따른다.

따라서 2500개 중에서 불량품이 57개 이상일 확률은 ㅇㅇP(Yæ57)

Yæ57을 Z= 으로 표준화하면

ㅇㅇP(Yæ57)=P{Zæ }=P(Zæ1)

=0.5-P(0…Z…1)

=0.5-0.34=0.16

한 개의 주사위를 던질 때, 홀수의 눈이 나오는 확률은 이고, 120회의 독립시행을 하므로 X는 이항분포 B {120, }을 따른다.

1 2

3

2

57-50 7 Y-50

40-30 5

X-30 5

2 2

10_11 2 1 55

1 55

¡10 x=1

1 55

¡10 x=1

10_11_21 6 1

1 55

¡10 x=1

1 55

¡10 x=1

6 55 3 55 2 55 1 55

채점 영역

문제 이해

해결 과정

답 구하기 단계

가⃝

나⃝

다⃝

라⃝

채점 요소

동전의 앞면이 나오는 횟수의 이항분 포 구하기

X의 평균과 분산 구하기

확률변수 X가 근사적으로 따르는 정 규분포 구하기

앞면이 나오는 횟수가 185번 이하일 확률 구하기

배점

2점

3점

채점 영역 문제 이해

해결 과정

답 구하기 단계

가⃝

나⃝

다⃝

라⃝

채점 요소 확률의 총합이 1임을 이용하기 로그의 성질 이용하기 등비수열의 성질 이용하기 P(X=4)의 값 구하기

배점 3점 2점 3점 2점

문서에서 Ⅰ 함수의 극한 (페이지 182-200)