수학 (상)
[ 코드가 맞는 수학 친구 ]1
⑴ x$-x#-4x@+3 ⑵ 3-4x@-x#+x$2
⑴ -3xy+6xy={-3+6}xy=3xy ⑵ -3xy-6xy={-3-6}xy=-9xy⑶ -6x@y\2xy# ={-6\2}\{x@y\xy#}=-12x#y$ ⑷ -6x@y_2xy#=-6x@y2xy# =-3xy@
3
⑴ x@-3x+1 + R -3x@+2x-4T -2x@-x-3 ⑵ x@-3x+1 - R -3x@+2x-4 T 4x@-5x+54
⑴ -2x@{1-2x+x@} =-2x@\1-2x@\{-2x}-2x@\x@ =-2x@+4x#-2x$ ⑵ {x-1}{x@-1} ={x-1}\x@+{x-1}\{-1} =x#-x@-x+1 ⑶ {x+2}{x@-3x+3} ={x+2}\x@+{x+2}\{-3x}+{x+2}\3 =x#+2x@-3x@-6x+3x+6 =x#-x@-3x+65
몫 : 3, 나머지 : 8 3 x-2 r 3x+2t 3x-6 8t6
A ={x@-1}{x+2}-3x+2 ={x@-1}\x+{x@-1}\2-3x+2 =x#-x+2x@-2-3x+2=x#+2x@-4x 12쪽 예제1
⑴ B를 내림차순으로 정리하면 B=-x#-2x@+x+2 11쪽 개념 확인01
다항식
01
다항식의 연산
① A-{B-C}=A-B+C이고 -B=x#+2x@-x-2이 므로 A=2x#-6x@+ x-5 -B= x#+2x@- x-2 + R C=3x#T +4x-1 T 6x#-4x@+4x-8 ② {A-2B}-2{C-A} =A-2B-2C+2A =3A-2B-2C 이고 3A=6x#-18x@+3x-15, -2B=2x#+4x@-2x-4, -2C=-6x#-8x+2이므로 3A= 6x#-18x@+3x-15 -2B= 2x#+ 4x@-2x -4 + R -2C=-6x#T -8x +2 T 2x#-14x@-7x-17 ⑵ ① -F=-x@-2xy이므로 D+E-F ={-x@+7xy+3y@}+{2x@-xy-9y@} +{-x@-2xy} ={-x@+2x@-x@}+{7xy-xy-2xy} +{3y@-9y@} =4xy-6y@ ② 2D=-2x@+14xy+6y@, -E=-2x@+xy+9y@, 3F=3x@+6xy이므로 2D-E+3F = {-2x@+14xy+6y@}+{-2x@+xy+9y@} +{3x@+6xy} = {-2x@-2x@+3x@}+{14xy+xy+6xy} +{6y@+9y@} =-x@+21xy+15y@ 유제1-1
A를 내림차순으로 정리하면 A=-2x#-x@+4 ⑴ 2B=-2x#+4x+2, -3C=-3x#+3x@-9x+6이므로 A=-2x#- x@ +4 2B=-2x# +4x+2 + R -3C=-3Tx#+3x@-9x+6 T -7x#+2x@-5x+12 ⑵ 2{A-2B}+3{B+C} =2A-4B+3B+3C =2A-B+3C 이고 2A=-4x#-2x@+8, -B=x#-2x-1, 3C=3x#-3x@+9x-6이므로 2A=-4x#-2x@ +8 -B= x# -2x-1 + R 3C= 3Tx#-3x@+9x-6 T -5x@+7x+101. 다항식의 연산
3
유제1-2
A를 x에 대한 내림차순으로 정리하면 A=3x#-x@y-xy@+3y# ⑴ A-{B+C}=A-B-C이고 -B=2x#+2xy@-y#, -C=-x#-3x@y+2y#이므로 A-B-C ={3x#-x@y-xy@+3y#} +{2x#+2xy@-y#}+{-x#-3x@y+2y#} ={3x#+2x#-x#}+{-x@y-3x@y} +{-xy@+2xy@}+{3y#-y#+2y#} =4x#-4x@y+xy@+4y# ⑵ -A+2B-2{C-A}=A+2B-2C이고 2B=-4x#-4xy@+2y#, -2C=-2x#-6x@y+4y#이므로 A+2B-2C ={3x#-x@y-xy@+3y#}+{-4x#-4xy@+2y#} +{-2x#-6x@y+4y#} ={3x#-4x#-2x#}+{-x@y-6x@y} +{-xy@-4xy@}+{3y#+2y#+4y#} =-3x#-7x@y-5xy@+9y# 13쪽 예제2
⑴ {x@-3x+1}{2x@-x-3} ={x@-3x+1}\2x@+{x@-3x+1}\{-x} +{x@-3x+1}\{-3} =2x$-6x#+2x@-x#+3x@-x-3x@+9x-3 =2x$+{-6-1}x#+{2+3-3}x@+{-1+9}x-3 =2x$-7x#+2x@+8x-3 ⑵ {2x+y-4}{3x+2y-1}의 전개식에서 xy가 나오는 항만 찾아 곱하면 2x\2y+y\3x=4xy+3xy=7xy 곧, xy의 계수는 7이다. 상수항이 나오는 항만 찾아 곱하면 -4\{-1}=4 곧, 상수항은 4이다. ⑶ 몫 : x-1 x-1 x@-2x+2 r x#-3x@+0\x+1t x#-2x@+ 2x - x@- 2x+1t - x@+ 2x-2 -4x+3t 나머지 : -4x+3 ⑷ x#-x@+2x+1=P\{x-1}+x+2이므로 P\{x-1} =x#-x@+2x+1-{x+2} =x#-x@+x-1 오른쪽과 같이 x#-x@+x-1을 x@+1 x-1 r x#-x@+x-1t x#-x@ x-1tt x-1 0tt x-1로 직접 나누면 P={x#-x@+x-1}_{x-1} =x@+1 note x#-x@+x-1 =x@{x-1}+{x-1} ={x-1}{x@+1} 로 정리하면 x#-x@+x-1은 x-1로 나누어떨어지고, 몫은 x@+1 임을 알 수 있다. 유제2-1
⑴ {x@+x-2}@ ={x@+x-2}{x@+x-2} ={x@+x-2}\x@+{x@+x-2}\x +{x@+x-2}\{-2} =x$+x#-2x@+x#+x@-2x-2x@-2x+4 =x$+{1+1}x#+{-2+1-2}x@ +{-2-2}x+4 =x$+2x#-3x@-4x+4 ⑵ {x+2y}{x@-2xy+4y@} ={x+2y}\x@+{x+2y}\{-2xy}+{x+2y}\4y@ =x#+2x@y-2x@y-4xy@+4xy@+8y#=x#+8y# 유제2-2
{x-y+1}{2x+ay-3}의 전개식에서 xy가 나오는 항만 찾아 곱하면 x\ay-y\2x=axy-2xy={a-2}xy a-2=3이므로 a=5 유제2-3
⑴ 몫 : x@-x-1 x@-x-1 x-2 r x#-3x@+ x+3t x#-2x@ - x@+ x+3tt - x@+2x - x+3tt - x+2 1tt 나머지 : 1 ⑵ x#-3x@+x+3=P\{x@-4x+5}-2이므로 P\{x@-4x+5} =x#-3x@+x+3+2 =x#-3x@+x+5 오른쪽과 같이 x+1 x@-4x+5 r x#-3x@+ x+5t x#-4x@+5x x@-4x+5t x@-4x+5 0t x#-3x@+x+5를 x@-4x+5로 직접 나누면 ∴ P ={x#-3x@+x+5}_{x@-4x+5} =x+10
2
A-B ={2x@+3xy+y@}-{x@-xy+3y@} =x@+4xy-2y@ 이므로 a=1, b=4, c=-2 / a@+b@+c@=1+16+4=210
3
{A+B}-{A-B}=2B이므로 2B ={x@+5x+4}-{x@-x-12}=6x+16 / B={6x+16}_2=3x+80
4
⑴ {x@+x+1}{x@-x+1} ={x@+x+1}\x@+{x@+x+1}\{-x} +{x@+x+1}\1 =x$+x#+x@-x#-x@-x+x@+x+1 =x$+x@+1 ⑵ {x+1}@{x-2}@ =9{x+1}{x-2}0@={x@-x-2}@ ={x@-x-2}{x@-x-2} ={x@-x-2}\x@+{x@-x-2}\{-x} +{x@-x-2}\{-2} =x$-x#-2x@-x#+x@+2x-2x@+2x+4 =x$-2x#-3x@+4x+40
5
⑴ {x@-2x+3}{2x@-x+4}의 전개식에서 x#이 나오는 항만 찾아 곱하면 x@\{-x}+{-2x}\2x@=-5x# / a=-5 x가 나오는 항만 찾아 곱하면 -2x\4+3\{-x}=-11x / b=-11 ⑵ {x+cy+1}{2x+5y+d}의 전개식에서 xy가 나오는 항만 찾아 곱하면 x\5y+cy\2x={5+2c}xy 곧, 5+2c=3이므로 c=-1 y가 나오는 항만 찾아 곱하면 cy\d+1\5y={cd+5}y 곧, cd+5=4이고 c=-1이므로 d=10
6
a#+3a@-6a-8={a+4}{a-2}\(높이)에서 {a+4}{a-2}=a@+2a-8이므로 오른쪽과 같이 a+1 a@+2a-8 r a#+3a@-6a-8t a#+2a@-8a a@+2a-8t a@+2a-8 0t a#+3a@-6a-8을 a@+2a-8로 직접 나누면 / (높이)={a#+3a@-6a-8}_{a@+2a-8}=a+10
7
2{A+B}-3{B+C}부터 간단히 한다. 2{A+B}-3{B+C)=2A-B-3C이므로 2A-B-3C =2{3x@-xy-y@}-{x@-xy+y@}-3{x@+2xy-3y@} =6x@-2xy-2y@-x@+xy-y@-3x@-6xy+9y@ =2x@-7xy+6y@ / a=2, b=60
8
먼저 X를 A, B로 나타낸다.2{A-X}+B=3B에서 -2X=2B-2A, X=A-B / X =2x#-x@+4-{x#+2x@-x+6} =x#-3x@+x-2
0
9
x@이 나오는 경우를 모두 찾는다. {x@+2x-a}{2x-1}@={x@+2x-a}{4x@-4x+1}에서 x@이 나오는 항만 찾아 곱하면 x@\1+2x\{-4x}+{-a}\4x@={-4a-7}x@ 곧, -4a-7=1이므로 a=-210
전개식이 삼차식이므로 ax#+bx@+cx+d에서 a+b+c+d의 값을 구하는 방법을 생각해 본다. {2x-1}{x@-kx-4k}=a0+a1x+a2x@+a3x# yy ① 이라 하면 모든 항의 계수의 합 a0+a1+a2+a3은 a0+a1x+a2x@+a3x#에 x=1을 대입한 값이다. ①의 좌변에 x=1을 대입하면 {2-1}{1-k-4k}=1-5k 곧, 1-5k=-14이므로 k=311
필요한 부분을 곱으로 바꾸어 생각한다. {ax+1}\x@=bx#+x@에서 a=b {2x#+x@}-{bx#+x@}=0이므로 b=2, a=2 {ax+1}\c=dx+e에서 ac=d, c=e{4x+4}-{dx+e}=2이므로 d=4, e=2, c=2
12
직사각형 ABCD의 가로와 세로의 길이를 구한다. BOZ=OCZ, ABZ=CDZ이므로 ㈏-㈎를 하면 DAZ+ABZ+BOZ-{OCZ+CDZ}=3x+y+5-{x+y+3} / DAZ=2x+2 또 DAZ=BOZ+OCZ=2OCZ이므로 OCZ=x+1 ㈎에서 x+1+CDZ=x+y+3 / CDZ=y+2 따라서 직사각형 ABCD의 넓이는 {2x+2}{y+2}=2xy+4x+2y+40
1
⑴ -x#+{2y+3}x@+2y@-4y+5 ⑵ 2y@+2{x@-2}y-x#+3x@+50
2
②0
3
3x+80
4
⑴ x$+x@+1 ⑵ x$-2x#-3x@+4x+40
5
⑴ a=-5, b=-11 ⑵ c=-1, d=10
6
a+10
7
a=2, b=60
8
②0
9
①10
311
a=2, b=2, c=2, d=4, e=212
2xy+4x+2y+4 14~15쪽 연습 문제01. 다항식의 연산
5
1
⑴ {x@-2}@ ={x@}@-2\x@\2+2@=x$-4x@+4 ⑵ {x-y}{x+y}{x@+y@} ={x@-y@}{x@+y@}=x$-y$ ⑶ {x@-1}{x@+3} ={x@}@+{-1+3}x@+{-1}\3 =x$+2x@-32
⑴ x@+y@ ={x+y}@-2xy=4@-2\{-6}=28 ⑵ {x+y}@=x@+y@+2xy이므로 2@=5+2xy / xy=-12 ⑶ {x-y}@={x+y}@-4xy이므로 {x-y}@=3@-4\{-1}=13 x>y이므로 x-y=j13k3
⑴ {a+b}{a@-ab+b@} ={a+b}\a@+{a+b}\{-ab}+{a+b}\b@ =a#+a@b-a@b-ab@+ab@+b#=a#+b# ⑵ {a-b}{a@+ab+b@} ={a-b}\a@+{a-b}\ab+{a-b}\b@ =a#-a@b+a@b-ab@+ab@-b#=a#-b#4
⑴ {A+c}@=A@+2Ac+c@ ⑵ ⑴의 A에 a+b를 대입하면 {a+b+c}@ ={a+b}@+2{a+b}c+c@ =a@+2ab+b@+2ac+2bc+c@ =a@+b@+c@+2ab+2bc+2ca5
{x+a}{x+b}{x+c} =9{x+a}{x+b}0{x+c} =9x@+{a+b}x+ab0{x+c} =9x@+{a+b}x+ab0x+9x@+{a+b}x+ab0c =x#+{a+b}x@+abx+cx@+{a+b}cx+abc =x#+{a+b+c }x@+{ ab+bc+ca }x+ abc{bc+ca}x 18쪽 개념 확인
02
곱셈 공식
19쪽 예제3
⑴ {2x-y}# ={2x}#-3\{2x}@\y+3\2x\y@-y# =8x#-12x@y+6xy@-y# ⑵ {2x+3y}{4x@-6xy+9y@} ={2x}#+{3y}#=8x#+27y# {2x}@-{2x}{3y}+{3y}@ ⑶ {x@-x+1}@ ={x@}@+{-x}@+1@ +2\x@\{-x}+2\{-x}\1+2\1\x@ =x$+x@+1-2x#-2x+2x@ =x$-2x#+3x@-2x+1 ⑷ {x-a}{x-b}{x-c} =x#-{a+b+c}x@+{ab+bc+ca}x-abc 유제3-1
⑴ {3x+2y}# ={3x}#+3\{3x}@\2y +3\3x\{2y}@+{2y}# =27x#+54x@y+36xy@+8y# ⑵ {4x-y}{16x@+4xy+y@} ={4x}#-y#=64x#-y# ⑶ {x@+x+2}@ ={x@}@+x@+2@+2\x@\x+2\x\2+2\2\x@ =x$+x@+4+2x#+4x+4x@ =x$+2x#+5x@+4x+4 ⑷ {x+a}{x+2a}{x-b} =x#+{a+2a-b}x@ +9a\2a+2a\{-b}+{-b}\a0x+a\2a\{-b} =x#+{3a-b}x@+{2a@-3ab}x-2a@b 유제3-2
⑴ {x+y}{x-y}=x@-y@이므로 {x+y}#{x-y}# =9{x+y}{x-y}0#={x@-y@}# ={x@}#-3\{x@}@\y@+3\x@\{y@}@-{y@}# =x^-3x$y@+3x@y$-y^ ⑵ {x-2}{x@+2x+4}=x#-8이므로 {x-2}@{x@+2x+4}@ =9{x-2}{x@+2x+4}0@ ={x#-8}@=x^-16x#+64 20쪽 예제4
⑴ x@+y@=A로 놓으면 {x@+xy+y@}{x@-xy+y@} ={A+xy}{A-xy} =A@-{xy}@ ={x@+y@}@-x@y@ =x$+2x@y@+y$-x@y@ =x$+x@y@+y$ ⑵ x@+x=A로 놓으면 {x@+x+1}{x@+x-3} ={A+1}{A-3} =A@-2A-3 ={x@+x}@-2{x@+x}-3 =x$+2x#+x@-2x@-2x-3 =x$+2x#-x@-2x-3 {4x}@+{4x}y+y@ 2a@-2ab-ab⑶ {x-1}{x-2}{x-3}{x-4} =9{x-1}{x-4}09{x-2}{x-3}0 ={x@-5x+4}{x@-5x+6} 에서 x@-5x=A로 놓으면 {A+4}{A+6} =A@+10A+24 ={x@-5x}@+10{x@-5x}+24 =x$-10x#+25x@+10x@-50x+24 =x$-10x#+35x@-50x+24 유제
4-1
⑴ x@+1=A로 놓으면 {x@+x+1}{x@-x+1} ={A+x}{A-x}=A@-x@ ={x@+1}@-x@ =x$+2x@+1-x@ =x$+x@+1 ⑵ x-z=A로 놓으면 {x+y-z}{x-y-z} ={A+y}{A-y}=A@-y@ ={x-z}@-y@ =x@-2xz+z@-y@ ⑶ {x+1}{x-2}{x+3}{x-4} =9{x+1}{x-2}09{x+3}{x-4}0 ={x@-x-2}{x@-x-12} 에서 x@-x=A로 놓으면 {A-2}{A-12} =A@-14A+24 ={x@-x}@-14{x@-x}+24 =x$-2x#+x@-14x@+14x+24 =x$-2x#-13x@+14x+24 유제4-2
x+y=A, z-w=B로 놓으면 {x+y+z-w}{x+y-z+w} ={A+B}{A-B}=A@-B@ ={x+y}@-{z-w}@=x@+2xy+y@-{z@-2zw+w@} =x@+y@-z@-w@+2xy+2zw 21쪽 예제5
⑴ {x+y}@=x@+y@+2xy에서 3@=7+2xy / xy=1 ① x#+y# ={x+y}#-3xy{x+y}=3#-3\1\3=18 ② {x@+y@}@ =x$+y$+2x@y@에서 x$+y$ ={x@+y@}@-2{xy}@=7@-2\1@=47 ③ {x-y}@ =x@+y@-2xy=7-2\1=5 / x-y=-j5 ⑵ {a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}에서 5@=20+2{ab+bc+ca} / ab+bc+ca=52 ⑶ x@-1 x@=[x+ 1 x ][x-x ]1 =-[x+x ] 1 yy ① 또 [x-1 x ]@=x@-2\x\ 1x+ 1 x@=x@-2+ 1 x@, [x+1x ]@=x@+2\x\ 1x+1 x@=x@+2+ 1 x@에서 [x+x ]1 @=[x- 1x ]@+4이므로 [x+1 x ]@=[x- 1x ]@+4={-1}@+4=5 / x+x1=-j5 ①에서 x@-1 x@=-[x+ 1 x ]=-15 유제
5-1
⑴ x@+y@ ={x+y}@-2xy=3@-2\{-3}=15 ⑵ x#+y# ={x+y}#-3xy{x+y}=3#-3\{-3}\3=54 ⑶ {x@+y@}@=x$+2x@y@+y$에서 x$+y$ ={x@+y@}@-2{xy}@=15@-2\{-3}@=207 유제5-2
{a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}에서 {-4}@=a@+b@+c@+2\6 / a@+b@+c@=4 유제5-3
⑴ [x+x ]1 @=x@+2\x\ 1x+x@ 에서1 x@+x@ 1=[x+1x ]@-2=3@-2=7 ⑵ [x+x ]1 # =x#+3\x@\ 1x+3\x\x@1+x# 1 =x#+x#1+3[x+x ]1 / x#+1 x# =[x+ 1 x ]#-3[x+ 1x ]=3#-3\3=18 ⑶ [x+x ]1 @=[x- 1x ]@+4이므로 [x-x ]1 @=[x+ 1x ]@-4=3@-4=5 x>1에서 x>x 이므로1 x-1x=j50
1
⑴ a@+b@+c@-2ab+2bc-2ca ⑵ x#-27 ⑶ x$-4x#+6x@-4x+1 ⑷ x#+x@-14x-240
2
⑴ x$-4x#+3x@+2x-12 ⑵ a@+2ac+c@-b@+2bd-d@0
3
⑴ 6 ⑵ 14 ⑶ -2j20
4
⑴ 14 ⑵ 52 ⑶ 140
5
②0
6
P=x@+3ax+a@, Q=a@0
7
②0
8
①0
9
⑤10
1411
⑴ 10!@-1 ⑵ 2.000612
⑴ 24 ⑵ 25p 22~23쪽 연습 문제01. 다항식의 연산
7
0
1
⑴ {a-b-c}@ =a@+{-b}@+{-c}@+2\a\{-b} +2\{-b}\{-c}+2\{-c}\a =a@+b@+c@-2ab+2bc-2ca ⑵ {x-3}{x@+3x+9} ={x-3}{x@+x\3+3@} =x#-3#=x#-27 ⑶ {x-1}$ =9{x-1}@0@ ={x@-2x+1}@ ={x@}@+{-2x}@+1@+2\x@\{-2x} +2\{-2x}\1+2\1\x@ =x$+4x@+1-4x#-4x+2x@ =x$-4x#+6x@-4x+1 ⑷ {x+2}{x+3}{x-4} =x#+{2+3-4}x@+92\3+3\{-4}+{-4}\20x +2\3\{-4} =x#+x@-14x-240
2
⑴ x@-2x=A로 놓으면 {x@-2x+3}{x@-2x-4} ={A+3}{A-4} =A@-A-12 ={x@-2x}@-{x@-2x}-12 =x$-4x#+4x@-x@+2x-12 =x$-4x#+3x@+2x-12 ⑵ a+c=A, b-d=B로 놓으면 {a+b+c-d}{a-b+c+d} ={A+B}{A-B} =A@-B@ ={a+c}@-{b-d}@ =a@+2ac+c@-b@+2bd-d@0
3
⑴ x@+y@ ={x-y}@+2xy=2@+2\1=6 ⑵ x#-y# ={x-y}#+3xy{x-y}=2#+3\1\2=14 ⑶ {x+y}@ =x@+y@+2xy=6+2\1=8 / x+y=-2j20
4
x+y={2+j3}+{2-j3}=4 xy={2+j3}{2-j3}=2@-{j3}@=1 ⑴ x@+y@={x+y}@-2xy=4@-2\1=14 ⑵ x#+y# ={x+y}#-3xy{x+y}=4#-3\1\4=52 ⑶ yx+xy=x@+y@xy =141=140
5
{x-1}{x+1}{x@+1}{x$+1} ={x@-1}{x@+1}{x$+1} ={x$-1}{x$+1} =x*-1=2018-1=20170
6
[그림 1]에서 잘라 낸 직사각형 1개의 가로의 길이는 1 2\9{x+a}{x+2a}-x{x+3a}0 =1 2\{x@+3ax+2a@-x@-3ax}= 1 2\2a@=a@ 이므로 Q=a@ 또 [그림 2]에서 P=x{x+3a}+Q=x@+3ax+a@0
7
ab의 값부터 구한다. a#+b#={a+b}#-3ab{a+b}이므로 14=2#-3ab\2 / ab=-1 / a@+b@={a+b}@-2ab=2@-2\{-1}=60
8
분수를 통분하여 간단히 한다. 1 x+1y=-2에서 x+yxy =-2 xy=1이므로 x+y=-2 / {x-y}@ ={x+y}@-4xy={-2}@-4\1=00
9
{ab+bc+ca}@의 전개식을 이용한다. a@+b@+c@={a+b+c}@-2{ab+bc+ca}에서 3=0-2{ab+bc+ca} / ab+bc+ca=-3 2 / a@b@+b@c@+c@a@ ={ab+bc+ca}@-2abc{a+b+c} =[- 32 ]@-2\abc\0= 9410
a@-2a=1이므로 a@-2a의 값을 이용할 수 있는 꼴로 전개할 수 있는지 확인한다. a@-2a-1=0에서 a@-2a=1이므로 {a+1}{a+2}{a-3}{a-4} =9{a+1}{a-3}09{a+2}{a-4}0 ={a@-2a-3}{a@-2a-8} ={1-3}{1-8}=1411
적당한 수를 a로 놓고 곱셈 공식을 이용한다. ⑴ 1000=10#=a로 놓으면 999\1001\1000001 ={a-1}{a+1}{a@+1} ={a@-1}{a@+1} =a$-1=10!@-1 ⑵ 0.01=a로 놓으면 1.01#+0.99# ={1+a}#+{1-a}# =1+3a+3a@+a#+1-3a+3a@-a# =2+6a@=2+0.0006=2.000612
반원의 호의 길이의 합, 색칠한 부분의 넓이를 a, b, c로 나타내 본다. ⑴ 1 2\{ap+bp+cp}=12p이므로 a+b+c=24⑵ ⑴에서 a+b+c=24이므로 a@+b@+c@ ={a+b+c}@-2{ab+bc+ca} =24@-2\188=200 따라서 색칠한 부분의 넓이는 12\-[a2 ]@p+[ b2 ]@p+[ c2 ]@p= = 18{a@+b@+c@}p =18\200\p=25p 24쪽
1-1
x@-4x-1=0의 양변을 x로 나누면 x-4-1 x=0 / x-1 x=4 [x- 1 x ]# =x#-3\x@\ 1x+3\x\ 1 x@ -1 x# =x#-x#1-3[x- 1x ] 이므로 4#=x#- 1 x#-3\4 / x#-1 x#=762-1
a+b=1-c, b+c=1-a, c+a=1-b이므로 {a+b}{b+c}{c+a} ={1-c}{1-a}{1-b} ={1-c}91-{a+b}+ab0 =1-{a+b}+ab-c+c{a+b}-abc =1-{a+b+c}+{ab+bc+ca}-abc =1-1+8-5=3 note 곱셈 공식 {x+a}{x+b}{x+c} =x#+{a+b+c}x@+{ab+bc+ca}x+abc 에서 x, a, b, c에 1, -a, -b, -c를 각각 대입하면 {1-a}{1-b}{1-c} =1#-{a+b+c}\1@+{ab+bc+ca}\1-abc =1-{a+b+c}+{ab+bc+ca}-abc0
1
주어진 다항식을 내림차순으로 정리하고 계산한다. A를 내림차순으로 정리하면 A=4x#+2x@-1 ⑴ 4A+[ 5B-3C-39A+2{B-C}0] =4A+{5B-3C-3A-6B+6C} =A-B+3C -3A-B+3C0
1
⑴ -x#+11x@+12x-5 ⑵ -3x#-7x@-9x+50
2
⑤0
3
④0
4
20 실력 문제 25쪽 이므로 A= 4x#+2x@ -1 -B=-2x# +3x-1 + R 3C=-3x#T+9x@+9x-3 T A-B+3C=-x#+11x@+12x-5 ⑵ B-{X+C}=2A-B에서 -X=2A-2B+C / X=-2A+2B-C -2A=-8x#-4x@ +2 2B= 4x# -6x+2 + R -C= x#T-3x@-3x+1T X=-3x#-7x@-9x+50
2
곱하여 x#, x%이 나오는 경우만 생각한다. x#이 나오는 항만 찾아 곱하면 1\5x#+2x@\2x=9x# / a3=9 x%이 나오는 항만 찾아 곱하면 1\3x%+2x@\5x#+3x$\2x=19x% / a5=19 / a3+a5=9+19=280
3
a+b=c@, b+c=a@, c+a=b@에서 a, b, c가 순환한다 는 것을 이용한다.a+b=c@, b+c=a@, c+a=b@을 변변 더하면 2{a+b+c}=a@+b@+c@ 그런데 {a+b+c}@ =a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}이므로 위 식을 대입하면 {a+b+c}@=2{a+b+c}+2{ab+bc+ca} ab+bc+ca=12이고 a+b+c=x로 놓으면 x@=2x+2\12 x@-2x-24=0, {x+4}{x-6}=0 a, b, c가 양수이므로 x>0 / x=6 곧, a+b+c=6
0
4
OAZ=a, OBZ=b, OCZ=c로 놓고 조건을 a, b, c에 대한 식으로 나타낸다.OAZ=a, OBZ=b, OCZ=c라 하자.
㈏에서 OAZ+OBZ+OCZ=8이므로 a+b+c=8
㈐에서 삼각형 OAB, OBC, OCA의 넓이의 합은 11이므로 12 ab+12 bc+12 ca=11 / ab+bc+ca=22 / OAZ @+OBZ @+OCZ @ =a@+b@+c@
={a+b+c}@-2{ab+bc+ca} =8@-2\22=20
02. 항등식과 나머지정리
9
1
① 등식이 아니다. ② x=-2일 때에만 성립하는 방정식이다. ④ 부등식이다. ③, ⑤ 모든 x에 대하여 성립하는 항등식이다.2
⑴ a+2=0, -3-b=0이므로 a=-2, b=-3 ⑵ a-b=0, b-3=0, c-a=0이므로 b=3, a=3, c=33
⑴ 좌변을 정리하면 {a-3}x+a+ab=0a-3=0, a+ab=0이므로 a=3, b=-1 ⑵ 좌변을 정리하면 ax+2a={b-1}x+2 a=b-1, 2a=2이므로 a=1, b=2
4
⑴ 2=a, a-1=c, -b=b+2이므로 a=2, b=-1, c=1 ⑵ 좌변을 전개하면 ax@+{3-2a}x-6=2x@+bx+c a=2, 3-2a=b, -6=c이므로 a=2, b=-1, c=-65
x=-1을 대입하면 b\{-3}=-6 / b=2 x=2를 대입하면 a\3=3 / a=16
x=0, y=0을 대입하면 c=0x=1, y=0을 대입하면 a+c=0 / a=0 x=0, y=1을 대입하면 b+c=0 / b=0 31쪽 예제
1
⑴ 좌변을 전개하면 {x-1}x@+{x-1}ax+{x-1}b+2x+c =x#-x@+ax@-ax+bx-b+2x+c =x#+{a-1}x@+{b-a+2}x-b+c 우변과 비교하면 a-1=-2, b-a+2=1, -b+c=5 / a=-1, b=-2, c=3 30쪽 개념 확인01
항등식
02
항등식과 나머지정리
⑵ x=1을 대입하면 0=1+a+b x=-2를 대입하면 0=16-2a+b 두 식을 연립하여 풀면 a=5, b=-6 다른 풀이 우변이 사차식이므로 f{x}는 이차식이다. 또 x$의 계수가 1이므로 f{x}에서 x@의 계수는 1이다. 따라서 f{x}=x@+cx+d로 놓으면 {x-1}{x+2}{x@+cx+d}=x$+ax+b 좌변을 전개하면 {x@+x-2}{x@+cx+d} =x$+{c+1}x#+{c+d-2}x@+{-2c+d}x-2d 우변과 비교하면 c+1=0, c+d-2=0, -2c+d=a, -2d=b / c=-1, d=3, a=5, b=-6 유제1-1
좌변을 전개하면 {x@-x+3}ax+{x@-x+3}b =ax#-ax@+3ax+bx@-bx+3b =ax#+{b-a}x@+{3a-b}x+3b 우변과 비교하면a=c, b-a=-2, 3a-b=4, 3b=d b-a=-2, 3a-b=4를 연립하여 풀면 a=1, b=-1
/ c=a=1, d=3b=-3
유제
1-2
x=0을 대입하면 c\{-1}=5 / c=-5 x=1을 대입하면 b\{-1}=4 / b=-4x=2를 대입하면 a\2+c=9, 2a-5=9 / a=7
32쪽 예제
2
⑴ 주어진 등식을 전개하면 ax-ay+c=3x+by+2b 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a=3, -a=b, c=2b / a=3, b=-3, c=-6 ⑵ x+y=2에서 y=2-x ax@+by@+cx=4에 y=2-x를 대입하면 ax@+b{2-x}@+cx=4 ax@+b{4-4x+x@}+cx=4 {a+b}x@+{-4b+c}x+4b=4 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+b=0, -4b+c=0, 4b=4 / b=1, a=-1, c=4유제
2-1
좌변을 전개하면 ax+ay+bx-by+2=4x-6y+2c {a+b}x+{a-b}y+2=4x-6y+2c 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+b=4, a-b=-6, 2=2c / c=1a+b=4, a-b=-6을 연립하여 풀면 a=-1, b=5 유제
2-2
x+2y-2=0에서 x=2-2y ax+b{2y+3)+10=0에 x=2-2y를 대입하면 a{2-2y}+b{2y+3}+10=0 2a-2ay+2by+3b+10=0 {-2a+2b}y+2a+3b+10=0 -2a+2b=0, 2a+3b+10=0이므로 두 식을 연립하여 풀면 a=-2, b=-2 유제2-3
좌변을 전개하면 ax+2ay+az+3bx+by+2bz=-3x+4y+cz {a+3b}x+{2a+b}y+{a+2b}z=-3x+4y+cz 양변의 동류항의 계수를 비교하면a+3b=-3, 2a+b=4, a+2b=c a+3b=-3, 2a+b=4를 연립하여 풀면 a=3, b=-2 a+2b=c에 대입하면 c=-1 33쪽 예제
3
⑴ f{x}를 x@+1로 나눈 몫을 x+b라 하면 x#+px@+qx-2 ={x@+1}{x+b}+x-3 =x#+bx@+2x+b-3 양변의 동류항의 계수를 비교하면 p=b, q=2, -2=b-3 곧, b=1이므로 p=1, q=2, 몫 : x+1 ⑵ f{x}를 {x-1}{x+2}로 나눈 몫을 x+b라 하면 x#+px@+qx-2={x-1}{x+2}{x+b}-2x x=1을 대입하면 1+p+q-2=-2 / p+q=-1 yy ① x=-2를 대입하면 -8+4p-2q-2=4 / 2p-q=7 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 p=2, q=-3 유제3-1
x#+px+3을 x@-x+2로 나눈 몫을 x+b라 하면 x#+px+3={x@-x+2}{x+b}+3x+q 우변을 전개하면 {x@-x+2}x+{x@-x+2}b+3x+q =x#-x@+2x+bx@-bx+2b+3x+q =x#+{b-1}x@+{5-b}x+2b+q 좌변과 비교하면 0=b-1, p=5-b, 3=2b+q 곧, b=1이므로 p=4, q=1, 몫 : x+1 유제3-2
x#-3x@+px+q를 {x+1}{x-3}으로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 x#-3x@+px+q={x+1}{x-3}Q{x}-2x+1 x=-1을 대입하면 -1-3-p+q=2+1 / -p+q=7 yy ① x=3을 대입하면 27-27+3p+q=-6+1 / 3p+q=-5 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 p=-3, q=4 유제3-3
x@-1={x+1}{x-1}이므로 x$+px#+{p+1}x+q를 x@-1로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 x$+px#+{p+1}x+q={x+1}{x-1}Q{x}+2x+2 x=1을 대입하면 1+p+p+1+q=2+2 / 2p+q=2 yy ① x=-1을 대입하면 1-p-p-1+q=-2+2 / -2p+q=0 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 p=12, q=10
1
⑴ a+b=0, b-3=0, 2b+c=0이므로 b=3, a=-3, c=-6 ⑵ 좌변을 전개하면 ax@+{2a-b}x-2b=x@+4x+c a=1, 2a-b=4, -2b=c이므로 a=1, b=-2, c=40
2
좌변을 전개하면 ax+2ay-3bx+by-9x-4y=0 {a-3b-9}x+{2a+b-4}y=0 a-3b-9=0, 2a+b-4=0이므로 두 식을 연립하여 풀면 a=3, b=-20
1
⑴ a=-3, b=3, c=-6 ⑵ a=1, b=-2, c=40
2
a=3, b=-20
3
⑤0
4
⑴ a=2, b=1, c=-1 ⑵ a=-1, b=4, c=-50
5
a=-1, b=3, c=10
6
②0
7
③0
8
30
9
a=2, b=-2, c=-410
①11
⑴ -125 ⑵ -112
② 34~35쪽 연습 문제02. 항등식과 나머지정리
11
우변과 비교하면
a=1, -2a+b=-3, a-2b+c=4 따라서 b=-1, c=1이므로 a-b+c=3
0
8
f{x}를 모르기 때문에 x에 적당한 수를 대입한다. x=-1을 대입하면 1+a+b=4 / a+b=3 yy ① x=3을 대입하면 81-27a+9b=0 / -3a+b=-9 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=3, b=0 / x$-3x#={x+1}{x-3}f{x}-x+3 이 식에 x=2를 대입하면 16-24=3\{-1}\f{2}-2+3 / f{2}=30
9
x, y에 대한 항등식이므로 x, y에 대해 정리한다. 좌변을 전개하면 ax-3ay+2a+2bx-by-b=-2x+cy+6 {a+2b}x+{-3a-b}y+{2a-b}=-2x+cy+6 양변의 동류항의 계수를 비교하면a+2b=-2, -3a-b=c, 2a-b=6
a+2b=-2, 2a-b=6을 연립하여 풀면 a=2, b=-2 -3a-b=c에 대입하면 c=-4
10
x+y=1을 이용하여 x나 y를 소거한다. x+y=1에서 y=1-x axy+bx+cy+5=0에 y=1-x를 대입하면 ax{1-x}+bx+c{1-x}+5=0 -ax@+{a+b-c}x+c+5=0 -a=0, a+b-c=0, c+5=0이므로 a=0, b=-5 , c=-5 / a+b+c=-1011
x에 적당한 수를 대입하여 주어진 식의 형태를 만든다. ⑴ x=1을 대입하면 {1-2-4}#=a0+a1+y+a4+a5+a6 yy ① / a0+a1+a2+y+a5+a6=-125 ⑵ x=-1을 대입하면 {1+2-4}#=a0-a1+a2-y-a5+a6 yy ② / a0-a1+a2-y-a5+a6=-1note ①+②, ①-②를 하면 a0+a2+a4+a6, a1+a3+a5의 값 도 구할 수 있다.
12
x@-3x+2={x-1}{x-2}임을 이용해 본다. x@-3x+2={x-1}{x-2}이므로 x#+ax+b를 x@-3x+2로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 x#+ax+b={x-1}{x-2}Q{x}+3x-4 yy ①0
3
좌변을 전개하여 k에 대해 정리하면 2kx+x+ky+y-2k+3=0 / {2x+y-2}k+x+y+3=0 2x+y-2=0, x+y+3=0이므로 두 식을 연립하여 풀면 x=5, y=-8 / x-y=130
4
⑴ x=-2를 대입하면 2b=8-10+4 / b=1 x=-1을 대입하면 -c=2-5+4 / c=-1 x=0을 대입하면 2a=4 / a=2 ⑵ x=0을 대입하면 -c=5 / c=-5 x=-1을 대입하면 b=-1+5=4 또 양변의 최고차항의 계수를 비교하면 a=-1 다른 풀이 좌변을 전개하면 ax@+ax-bx-cx-c=ax@+{a-b-c}x-c 우변과 비교하면 a=-1, a-b-c=0, -c=5 / a=-1, b=4, c=-50
5
x#-2x@+3x+c={x@+ax+b}{x-1}-x+4이므로 우변을 전개하면 x#-x@+ax@-ax+bx-b-x+4 =x#+{a-1}x@+{b-a-1}x-b+4 좌변과 비교하면 -2=a-1, 3=b-a-1, c=-b+4 / a=-1, b=3, c=10
6
x#+ax+b를 x@-x+1로 나눈 몫을 x+c라 하면 x#+ax+b ={x@-x+1}{x+c} =x#+{c-1}x@+{1-c}x+c 양변의 동류항의 계수를 비교하면 0=c-1, a=1-c, b=c / c=1, a=0, b=1 다른 풀이 다음과 같이 직접 나눗셈을 이용할 수도 있다. x+1 x@-x+1 r x# + ax+b t x#-x@+ x x@+t{a-1}x+b t x@ -x+1 tax+b-1t ax+b-1=0이므로 a=0, b=10
7
좌변을 전개하고 양변의 동류항의 계수를 비교한다. 좌변을 전개하면 a{x$-2x@+1}+b{x@-2}+c =ax$+{-2a+b}x@+a-2b+cx=1을 대입하면 1+a+b=3-4 / a+b=-2 yy ② x=2를 대입하면 8+2a+b=6-4 / 2a+b=-6 yy ③ ②, ③을 연립하여 풀면 a=-4, b=2 이것을 ①에 대입하면 x#-4x+2={x-1}{x-2}Q{x}+3x-4 yy ④ x#-7x+6={x@-3x+2}Q{x} 오른쪽과 같이 x#-7x+6을 x+3 x@-3x+2 r x# -7x+6t x#-3x@+2x 3x@-9x+6t 3x@-9x+6 0t x@-3x+2로 직접 나누면 / Q{x}={x#-7x+6}_{x@-3x+2}=x+3 note Q{x}=x+p라 하고 ④에 대입하여 p의 값을 구해도 된다.
1
⑴ 다항식 x#-3x@+x+6을 x-2로 나누면 2 1 -3 1 6 2 -2 -2 1 -1 -1 4 / 몫 : x@-x-1 나머지 : 4 ⑵ 다항식 x$+4x#+x@-5를 x+3으로 나누면 -3 1 4 1 0 -5 -3 -3 6 -18 1 1 -2 6 -23 / 몫 : x#+x@-2x+6 나머지 : -232
⑴ 다항식 4x#-2x@+4x+1을 x+1 2 로 나누면 -2! 4 -2 4 1 -2 2 -3 4 -4 6 -2 따라서 4x#-2x@+4x+1을 2x+1로 나눈 몫과 나머지는 몫 : 12{4x@-4x+6}=2x@-2x+3 나머지 : -2 38쪽 개념 확인02
나머지정리
39쪽 예제4
⑴ f{-1}=8이므로 -2+a+2+b=8 / a+b=8 yy ① f{2}=8이므로 16+4a-4+b=8 / 4a+b=-4 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=-4, b=12 ⑵ x@+x-2={x-1}{x+2}이므로 f{x}는 x-1, x+2로 각각 나누어떨어진다. f{1}=0이므로 2+a-2+b=0 / a+b=0 yy ① f{-2}=0이므로 -16+4a+4+b=0 / 4a+b=12 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=4, b=-4 유제4-1
⑴ f{1}=5이므로 4+a+b=5 / a+b=1 yy ① ⑵ 다항식 2x$+x#-7x+5를 x-3 2 으로 나누면 2# 2 1 0 -7 5 3 6 9 3 2 4 6 2 8 따라서 2x$+x#-7x+5를 2x-3으로 나눈 몫과 나머지는 몫 : 12{2x#+4x@+6x+2}=x#+2x@+3x+1 나머지 : 83
f{x}=x#-2x@-4x+1이라 하자. ⑴ f{3}=3#-2\3@-4\3+1=-2 ⑵ f{-2}={-2}#-2\{-2}@-4\{-2}+1=-74
f{x}=4x#+4x@-3x+2라 하자. ⑴ f [12 ]=4\[12 ]#+4\[ 12 ]@-3\ 12+2=2 ⑵ f [-32 ]=4\[-32 ]#+4\[- 32 ]@-3\[-32 ]+2=25
f [-12 ]=4이므로 2\[- 1 2 ]#+a\[- 12 ]@-2\[- 12 ]+3=4 -1 4+ 1 4 a=0 / a=16
f{-1}=0이므로 2\{-1}#-3\{-1}@+a\{-1}-2=0 / a=-702. 항등식과 나머지정리
13
①에 x=3을 대입하면 f{3}=3a+b / 3a+b=3 yy ③ ②, ③을 연립하여 풀면 a=2, b=-3 따라서 구하는 나머지는 2x-3 유제5-2
f{x}를 x#-x로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 ax@+bx+c라 하면 f{x} ={x#-x}Q{x}+ax@+bx+c =x{x+1}{x-1}Q{x}+ax@+bx+c yy ① 조건에서 f{0}=0, f{1}=1, f{-1}=-3이므로 ①에 x=0을 대입하면 f{0}=c에서 c=0 ①에 x=1을 대입하면 f{1}=a+b+c에서 a+b+c=1 / a+b=1 yy ② ①에 x=-1을 대입하면 f{-1}=a-b+c에서 a-b+c=-3 / a-b=-3 yy ③ ②, ③을 연립하여 풀면 a=-1, b=2 따라서 구하는 나머지는 -x@+2x 유제5-3
f{x}g{x}를 x@-4로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b라 하면 f{x}g{x} ={x@-4}Q{x}+ax+b ={x+2}{x-2}Q{x}+ax+b yy ① 조건에서 f{2}=-4, f{-2}=4이고 g{2}=1, g{-2}=-2이므로 ①에 x=2를 대입하면 f{2}g{2}=2a+b / 2a+b=-4 yy ② ①에 x=-2를 대입하면 f{-2}g{-2}=-2a+b / -2a+b=-8 yy ③ ②, ③을 연립하여 풀면 a=1, b=-6 따라서 구하는 나머지는 x-6 41쪽 예제6
f{x}를 {x-1}@{x-2}로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 ax@+bx+c라 하면 f{x}={x-1}@{x-2}Q{x}+ax@+bx+c yy ① f{x}를 {x-1}@으로 나눈 나머지가 3x-1이고 {x-1}@{x-2}Q{x}는 {x-1}@으로 나누어떨어지므로 ax@+bx+c를 {x-1}@으로 나눈 나머지가 3x-1이다. / ax@+bx+c=a{x-1}@+3x-1 이 식을 ①에 대입하면 f{x}={x-1}@{x-2}Q{x}+a{x-1}@+3x-1 f{2}=4이므로 x=2를 대입하면 4=a+5 / a=-1 f [1 2 ]=2이므로 1 2+ 1 2 a+b=2 / a+2b=3 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=-1, b=2 ⑵ f{x}=4x#-x+2이므로 f [-1 2 ]=4\ [-1 2 ]#-[- 12 ]+2=2 유제4-2
x@-4={x+2}{x-2}이므로 f{x}는 x+2, x-2로 각각 나누어떨어진다. f{-2}=0이므로 16+4a-2b+a-1=0 / 5a-2b=-15 yy ① f{2}=0이므로 16+4a+2b+a-1=0 / 5a+2b=-15 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=-3, b=0 유제4-3
f{x}가 x{x-1}{x-2}로 나누어떨어지므로 f{x}는 x, x-1, x-2로 각각 나누어떨어진다. f{0}=0이므로 c=0 f{1}=0이므로 1-3+a+b+c=0 / a+b=2 yy ① f{2}=0이므로 16-24+4a+2b+c=0 / 2a+b=4 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=2, b=0 40쪽 예제5
f{x}를 x@-3x+2로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b라 하면 f{x} ={x@-3x+2}Q{x}+ax+b ={x-1}{x-2}Q{x}+ax+b yy ① 조건에서 f{1}=1, f{2}=2이므로 ①에 x=1을 대입하면 f{1}=a+b / a+b=1 yy ② ①에 x=2를 대입하면 f{2}=2a+b / 2a+b=2 yy ③ ②, ③을 연립하여 풀면 a=1, b=0 따라서 구하는 나머지는 x 유제5-1
f{x}를 x@-2x-3으로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b라 하면 f{x} ={x@-2x-3}Q{x}+ax+b ={x+1}{x-3}Q{x}+ax+b yy ① 조건에서 f{-1}=-5, f{3}=3이므로 ①에 x=-1을 대입하면 f{-1}=-a+b / -a+b=-5 yy ②따라서 구하는 나머지는 -{x-1}@+3x-1=-x@+5x-2 유제
6-1
f{x}를 {x@+1}{x+1}로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 ax@+bx+c라 하면 f{x}={x@+1}{x+1}Q{x}+ax@+bx+c yy ① f{x}를 x@+1로 나눈 나머지가 -x+3이고 {x@+1}{x+1}Q{x}는 x@+1로 나누어떨어지므로 ax@+bx+c를 x@+1로 나눈 나머지가 -x+3이다. / ax@+bx+c=a{x@+1}-x+3 이 식을 ①에 대입하면 f{x}={x@+1}{x+1}Q{x}+a{x@+1}-x+3 f{-1}=-2이므로 x=-1을 대입하면 -2=2a+4 / a=-3 따라서 구하는 나머지는 -3{x@+1}-x+3=-3x@-x 유제6-2
f{x}는 x#의 계수가 1인 삼차식이므로 x@+4로 나눈 몫을 x+b라 할 수 있다. / f{x}={x@+4}{x+b}-4x+1 조건에서 f{-1}=f{2}이므로 {1+4}{-1+b}+4+1={2@+4}{2+b}-4\2+1 5b=8b+9 / b=-3 / f{x} ={x@+4}{x-3}-4x+1 =x#-3x@+4x-12-4x+1 =x#-3x@-11 42쪽 예제7
f{x}를 x-1로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 f{x}={x-1}Q{x}+2 Q{x}를 x-3으로 나눈 몫을 Q1{x}라 하면 Q{x}={x-3}Q1{x}-2 / f{x} ={x-1}9{x-3}Q1{x}-20+2 ={x-1}{x-3}Q1{x}-2{x-1}+2 yy ① ⑴ ①에서 나머지는 -2x+4 ⑵ f{3}=-2\3+4=-2 따라서 f{x}를 x-3으로 나눈 나머지는 -2 ⑶ f{x}가 삼차식이고 x#의 계수가 2이므로 Q1{x}=2x+b라 할 수 있다. / f{x}={x-1}{x-3}{2x+b}-2x+4 f{0}=-2이므로 x=0을 대입하면 -2=3b+4 / b=-2 -2x+4 / f{x} ={x@-4x+3}{2x-2}-2x+4 =2x#-2x@-8x@+8x+6x-6-2x+4 =2x#-10x@+12x-2 유제7-1
Q{x}를 x-2로 나눈 몫을 Q1{x}라 하면 Q{x}={x-2}Q1{x}+2 / f{x} ={x+2}Q{x}+3 ={x+2}9{x-2}Q1{x}+20+3 ={x+2}{x-2}Q1{x}+2{x+2}+3 yy ① ⑴ x@-4={x+2}{x-2} 이므로 ①에서 나머지는 2x+7 ⑵ f{2}=2\2+7=11 따라서 f{x}를 x-2로 나눈 나머지는 11 유제7-2
⑴ f{x}=x%-ax+3이라 하자. f{1}=4이므로 x=1을 대입하면 4=1-a+3 / a=0 ⑵ f{x}=x%+3이므로 x%+3={x-1}Q{x}+4 x=-2를 대입하면 {-2}%+3={-2-1}Q{-2}+4 / Q{-2}=11 따라서 Q{x}를 x+2로 나눈 나머지는 11 2x+70
1
다항식 x$-5x@+3x-7을 x-2로 나누면 2 1 0 -5 3 -7 2 4 -2 2 1 2 -1 1 -5 / a=1, b=0, c=2, d=-2, e=-50
2
f{x}=x#+ax@+5x-6이라 하면 조건에서 f{-2}=f{3}이므로 -8+4a-10-6=27+9a+15-6 / a=-120
3
f{x}=2x#+ax@+bx-3이라 하면 f{-3}=3이므로 -54+9a-3b-3=3 / 3a-b=20 yy ① f{4}=17이므로 128+16a+4b-3=17 / 4a+b=-27 yy ②0
1
a=1, b=0, c=2, d=-2, e=-50
2
-120
3
⑤0
4
40
5
⑴ 5 ⑵ -10
6
10
7
②0
8
2x-10
9
④10
p=-3, q=211
5212
④ 43~44쪽 연습 문제02. 항등식과 나머지정리
15
①, ②를 연립하여 풀면 a=-1, b=-23 / a-b=220
4
f{x+2}를 x+1로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 f{x+2}={x+1}Q{x} x=-1을 대입하면 f{1}=0 f{x}=x#-2x@+ax-3에서 f{1}=a-4이므로 a-4=0 / a=40
5
f{x}를 x@-1로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 f{x}={x@-1}Q{x}-3x+2 이므로 구하는 나머지는 ⑴ f{-1}=-3\{-1}+2=5 ⑵ f{1}=-3+2=-10
6
f{x}를 x@-1로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 f{x} ={x@-1}Q{x}+3 ={x+1}{x-1}Q{x}+3 / f{1}=3 g{x}를 x@+2x-3으로 나눈 몫을 Q'{x}라 하면 g{x} ={x@+2x-3}Q'{x}+3x-5 ={x-1}{x+3}Q'{x}+3x-5 / g{1}=3-5=-2 따라서 f{x}+g{x}를 x-1로 나눈 나머지는 f{1}+g{1}=3+{-2}=10
7
이차식으로 나누므로 나머지를 ax+b로 놓고 A=BQ+R를 이용한다. {x@+2x}f{x}를 x@-x-2={x-2}{x+1}로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b라 하면 {x@+2x}f{x}={x-2}{x+1}Q{x}+ax+b yy ① 조건에서 f{2}=3, f{-1}=-3이므로 ①에 x=2를 대입하면 8f{2}=2a+b / 2a+b=24 yy ② ①에 x=-1을 대입하면 -f{-1}=-a+b / -a+b=3 yy ③ ②, ③을 연립하여 풀면 a=7, b=10 따라서 구하는 나머지는 7x+100
8
x@-4={x+2}{x-2}로 나눈 나머지를 구해야 하므 로 조건에서 f{2}, f{-2}의 값을 구한다. x@+x-6={x-2}{x+3}, x@+x-2={x+2}{x-1}이므로 f{x}를 x@+x-6, x@+x-2로 나눈 몫을 각각 Q1{x}, Q2{x} 라 하면 f{x}={x-2}{x+3}Q1{x}+2x-1 yy ① f{x}={x+2}{x-1}Q2{x}+x-3 yy ② ①에서 f{2}=4-1=3 ②에서 f{-2}=-2-3=-5 f{x}를 x@-4={x-2}{x+2}로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 ax+b라 하면 f{x}={x-2}{x+2}Q{x}+ax+b x=2를 대입하면 f{2}=2a+b / 2a+b=3 yy ③ x=-2를 대입하면 f{-2}=-2a+b / -2a+b=-5 yy ④ ③, ④를 연립하여 풀면 a=2, b=-1 따라서 구하는 나머지는 2x-10
9
f{2x}를 x-1로 나눈 나머지는 f{2x}에 x=1을 대입 한 값이다. f{2x}를 x-1로 나눈 몫을 Q1{x}, 나머지를 R라 하면 f{2x}={x-1}Q1{x}+R x=1을 대입하면 R=f{2} yy ① 조건에서 f{x}를 {x-1}{x-2}로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 f{x}={x-1}{x-2}Q{x}+4x+3 x=2를 대입하면 f{2}=11 yy ② ①, ②에서 R=1110
f{x}={x@-2}Q{x} 꼴로 놓을 때, x@=2를 대입하면 우변이 0임을 이용한다. f{x}=x$+px@+q를 x@-2로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 x$+px@+q={x@-2}Q{x} x@=2{또는 x=-j2}를 대입하면 4+2p+q=0 yy ① 조건에서 f{-2}=6이므로 16+4p+q=6 / 10+4p+q=0 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 p=-3, q=211
f{x}, Q{x}를 각각 몫과 나머지를 이용하여 BQ'+R 꼴로 나타낸다. 조건에서 f{x}={x+3}Q{x}-1 yy ① Q{x}를 x-4로 나눈 몫을 Q1{x}라 하면 Q{x}={x-4}Q1{x}+2 이 식을 ①에 대입하면 f{x} ={x+3}9{x-4}Q1{x}+20-1 ={x+3}{x-4}Q1{x}+2x+5 따라서 xf{x}를 x-4로 나눈 나머지는 4f{4}=4\{2\4+5}=5212
x!@을 Q{x}로 나타낸 다음 Q{4}의 값을 구한다. x!@을 x-2로 나눈 나머지가 2!@이므로 x!@={x-2}Q{x}+2!@45쪽
1-1
⑴ 2018=x라 하면 2019=x+1이므로 x!)을 x+1로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 R라 하면 x!)={x+1}Q{x}+R x=-1을 대입하면 1=R / x!)={x+1}Q{x}+1 x=2018을 대입하면 2018!)=2019Q{2018}+1 따라서 구하는 나머지는 1 ⑵ 9=2#+1, 2$%={2#}!%이므로 2#=x라 하면 9=x+1, 2$%=x!% x!%을 x+1로 나눈 몫을 Q{x}, 나머지를 R라 하면 x!%={x+1}Q{x}+R x=-1을 대입하면 -1=R / x!%={x+1}Q{x}-1 x=2#을 대입하면 2$%=9Q{2#}-1 그런데 9로 나눌 때는 0<R<9이어야 하므로 2$%=99Q{2#}-10+9-1 따라서 구하는 나머지는 9-1=82-1
f{1}-1=0, 2f{2}-1=0, 3f{3}-1=0, 4f{4}-1=0 이므로 g{x}=xf{x}-1이라 하자. yy ① g{1}=g{2}=g{3}=g{4}=0이므로 g{x}는 x-1, x-2, x-3, x-4로 각각 나누어떨어진다. 또 g{x}는 사차식이므로 g{x}=k{x-1}{x-2}{x-3}{x-4} ①에서 g{0}=0f{0}-1=-1이므로 k\{0-1}{0-2}{0-3}{0-4}=-1 / k=- 1 24 / g{x} =xf{x}-1 =-241{x-1}{x-2}{x-3}{x-4} x=5를 대입하면 5f{5}-1=- 1 24\{5-1}{5-2}{5-3}{5-4} 5f{5}-1=-1 / f{5}=00
1
f{x+a}를 구하고 주어진 등식에서 양변의 동류항의 계수를 비교한다. f{x+a} ={x+a}#+3{x+a}@-6 =x#+3ax@+3a@x+a#+3x@+6ax+3a@-6 =x#+3{a+1}x@+3{a@+2a}x+a#+3a@-6 조건에서 f{x+a}=x#+bx+c이므로a+1=0, 3{a@+2a}=b, a#+3a@-6=c / a=-1, b=-3, c=-4
0
2
a0+a1+a2+a3+y+a19+a20의 값과 a0-a1+a2-a3+y-a19+a20의 값부터 구해 본다. 주어진 등식에 x=1을 대입하면 3!)=a0+a1+a2+a3+y+a19+a20 yy ① 주어진 등식에 x=-1을 대입하면 1!)=a0-a1+a2-a3+y-a19+a20 yy ② ①, ②를 변변 더하면 3!)+1=2{a0+a2+a4+y+a20} / a0+a2+a4+y+a20=3!)+120
3
일정한 값을 k로 놓고 x, y에 대해 정리한다. ax+2y+4 x+by-2 =k {k는 상수}라 하면 ax+2y+4=kx+bky-2k 양변의 계수를 비교하면 a=k, 2=bk, 4=-2k / k=-2, a=-2, b=-10
4
조립제법을 연속으로 이용한다. 조립제법을 연속으로 이용하면 a, b, c, d의 값은 다음과 같다. -1 2 5 7 8 -2 -3 -4 -1 2 3 4 4=d -2 -1 -1 2 1 3=c -2 2 -1=b a0
1
a=-1, b=-3, c=-40
2
②0
3
a=-2, b=-10
4
a=2, b=-1, c=3, d=40
5
36x-50
6
x+20
7
2x@-6x+60
8
⑴ -2 ⑵ -1 4x@+32x-54 실력 문제 46~47쪽 x=4를 대입하면 4!@={4-2}Q{4}+2!@, 2@$=2Q{4}+2!@ / Q{4}=2@#-2!!02. 항등식과 나머지정리
17
note f{x}=2x#+5x@+7x+8이라 하자. f{x} =a{x+1}#+b{x+1}@+c{x+1}+d ={x+1}9a{x+1}@+b{x+1}+c0+d 에서 d는 f{x}를 x+1로 나눈 나머지이다. 또 몫 Q{x}를 생각하면 Q{x} =a{x+1}@+b{x+1}+c ={x+1}9a{x+1}+b0+c 이므로 c는 몫 Q{x}를 x+1로 나눈 나머지이다. 이와 같은 이유로 앞의 조립제법에서와 같이 x+1로 연속하여 나누어 갈 때, 나오는 나머지가 차례로 d, c, b이고 몫이 a이다.0
5
6x@-5x+1={2x-1}{3x-1}이므로 f{6x}에 x=12, x=13 을 대입한 값을 알아야 한다. f{x}를 {x-1}{x-2}{x-3}으로 나눈 몫을 Q1{x}라 하면 f{x}={x-1}{x-2}{x-3}Q1{x}+x@+x+1 이 식에 x=1, x=2, x=3을 대입하면 f{1}=3, f{2}=7, f{3}=13 f{6x}를 6x@-5x+1={2x-1}{3x-1}로 나눈 몫을 Q2{x}, 나머지를 ax+b라 하면 f{6x}={2x-1}{3x-1}Q2{x}+ax+b x=1 2 을 대입하면 f{3}= 1 2 a+b / 12 a+b=13 yy ① x=13 을 대입하면 f{2}=1 3 a+b / 13 a+b=7 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=36, b=-5 따라서 구하는 나머지는 36x-50
6
x@-3x+2={x-1}{x-2}이므로 f{1}, f{2}의 값을 구해 본다. f{x}를 x@-3x+2={x-1}{x-2}로 나눈 몫을 Q{x}, 나머 지를 ax+b라 하면 f{x}={x-1}{x-2}Q{x}+ax+b yy ① f{x+1}=f{x}+x@에 x=0, x=1을 대입하면 f{1}=f{0}+0@=3+0=3 f{2}=f{1}+1@=3+1=4 또 ①에 x=1, x=2를 대입하면 f{1}=a+b, f{2}=2a+b / a+b=3, 2a+b=4 두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=2 따라서 구하는 나머지는 x+20
7
f{x}를 {x-1}@으로 나눈 몫과 나머지를 모두 ax+b 로 놓을 수 있다. f{x}를 {x-1}@으로 나눈 몫과 나머지를 각각 ax+b라 하면 f{x}={x-1}@{ax+b}+ax+b yy ① Q{x} x=1을 대입하면 f{1}=a+b / a+b=2 곧, b=2-a이므로 ax+b=ax+2-a=a{x-1}+2 이 식을 ①에 대입하면 f{x} ={x-1}@9a{x-1}+20+a{x-1}+2 =a{x-1}#+2{x-1}@+a{x-1}+2 / R{x}=2{x-1}@+a{x-1}+2 이때 R{0}=R{3}이므로 2\{0-1}@+a{0-1}+2=2{3-1}@+a{3-1}+2 4-a=10+2a / a=-2 / R{x} =2{x-1}@-2{x-1}+2 =2x@-6x+60
8
⑵ 삼차식 {x+1}@{x-3}으로 나누므로 나머지를 이 차식 px@+qx+r로 놓고 f{x}를 {x+1}@으로 나누는 경우와 x-3으로 나누는 경우를 생각한다. ⑴ f{x}를 {x+1}@으로 나눈 몫을 Q1{x}라 하고, f{x}를 {x+1}{x-3}으로 나눈 몫을 Q2{x}라 하면 f{x}={x+1}@Q1{x}+2x-1 f{x}={x+1}{x-3}Q2{x}+x+a yy ① 두 식에 x=-1을 대입하면 f{-1}=-2-1=-3, f{-1}=-1+a 곧, -1+a=-3이므로 a=-2 ⑵ f{x}를 {x+1}@{x-3}으로 나눈 몫을 Q3{x}, 나머지를 px@+qx+r라 하면 f{x}={x+1}@{x-3}Q3{x}+px@+qx+r yy ② f{x}를 {x+1}@으로 나눈 나머지는 2x-1이고 {x+1}@{x-3}Q3{x}는 {x+1}@으로 나누어떨어지므로 px@+qx+r를 {x+1}@으로 나눈 나머지는 2x-1이다. / px@+qx+r=p{x+1}@+2x-1 이 식을 ②에 대입하면 f{x}={x+1}@{x-3}Q3{x}+p{x+1}@+2x-1 yy ③ ①에 x=3을 대입하면 f{3}=3+a=3-2=1이고, ③에 x=3을 대입하면 f{3}=16p+5이므로 1=16p+5 / p=-14 따라서 구하는 나머지는 -14{x+1}@+2x-1=-14 x@+32 x-541
⑴ a{x-y}+b{y-x} =a{x-y}-b{x-y} ={a-b}{x-y} ⑵ 공통인수가 있도록 두 항씩 묶으면 ac+bd+ad+bc ={ac+ad}+{bc+bd} =a{c+d}+b{c+d} ={a+b}{c+d}2
⑴ 4-x@y@=2@-{xy}@={2+xy}{2-xy} ⑵ x$-y$ ={x@}@-{y@}@={x@+y@}{x@-y@} ={x@+y@}{x+y}{x-y}3
⑴ x#+27y# =x#+{3y}#={x+3y}9x@-x\3y+{3y}@0 ={x+3y}{x@-3xy+9y@} ⑵ 27a#-8b# ={3a}#-{2b}# ={3a-2b}9{3a}@+3a\2b+{2b}@0 ={3a-2b}{9a@+6ab+4b@}4
⑴ 9x@+6x+1={3x}@+2\3x\1+1@={3x+1}@ ⑵ 공통인수 x로 묶으면 4x#-12x@y+9xy@ =x{4x@-12xy+9y@} =x9{2x}@-2\2x\3y+{3y}@0 =x{2x-3y}@ ⑶ p+q=2, pq=-8인 p, q는 4, -2이므로 x@+2x-8={x+4}{x-2} ⑷ 3 1 ! 1 1 -2 ! -6 -5 + ∴ 3x@-5x-2={3x+1}{x-2}5
⑴ a#, 8b#={2b}#에 착안하면 a#+6a@b+12ab@+8b# =a#+3a@{2b}+3a{2b}@+{2b}#={a+2b}# ⑵ 27x#={3x}#, y#에 착안하면 27x#-27x@y+9xy@-y# ={3x}#-3{3x}@y+3{3x}y@-y#={3x-y}# 51쪽 개념 확인01
인수분해
03
.
인수분해
6
x@+y@+z@-2xy+2yz-2zx =x@+{-y}@+{-z}@+2x{-y}+2{-y}{-z}+2{-z}x ={x-y-z}@ 다른 풀이 공식이 기억나지 않으면 x에 대해 정리하여 푼다. x@+y@+z@-2xy+2yz-2zx=x@-2{y+z}x+y@+z@+2yz 에서 y+z=A로 생각하면 x@-2Ax+A@={x-A}@={x-y-z}@ {y+z}@ 52쪽 예제1
⑴ 9x@+6xy+y@-16z@ ={9x@+6xy+y@}-16z@ ={3x+y}@-{4z}@ ={3x+y+4z}{3x+y-4z} ⑵ 곱이 -10y@, 합이 3y인 두 식은 5y, -2y이므로 x@+3xy-10y@={x+5y}{x-2y} ⑶ 1 -{y-1} ! -2y+2 2 2y+1 ! 2y+1 3 + ∴ 2x@+3x-{2y+1}{y-1} =9x-{y-1}0{2x+2y+1} ={x-y+1}{2x+2y+1} 유제1-1
⑴ a@-4b@-9c@+12bc=a@-{4b@-12bc+9c@} =a@-{2b-3c}@ ={a+2b-3c}{a-2b+3c} ⑵ x@-2xy+y@+4x-4y+4 ={x@-2xy+y@}+4{x-y}+4 ={x-y}@+4{x-y}+4 ={x-y+2}@ 유제1-2
⑴ 곱이 -2y{y-1}, 합이 y+1인 두 식은 2y, -{y-1}=-y+1이므로 x@+{y+1}x-2y{y-1}={x+2y}{x-y+1} ⑵ 1 -3y ! -9y 3 -y ! -y -10y + ∴ 3x@-10xy+3y@={x-3y}{3x-y} ⑶ y@-2y-3={y+1}{y-3}이므로 1 y+1 ! 3y+3 3 y-3 ! y-3 4y + ∴ 3x@+4xy+y@-2y-3={x+y+1}{3x+y-3} ⇦ {2b-3c}를 한 문자로 생각 ⇦ {x-y}를 한 문자로 생각03. 인수분해
19
53쪽 예제2
⑴ {x@+2x}@-2{x@+2x}-3에서 x@+2x=X로 놓으면 X@-2X-3 ={X+1}{X-3} ={x@+2x+1}{x@+2x-3} ={x+1}@{x-1}{x+3} ⑵ {x+1}{x+3}{x-2}{x-4}+24 =9{x+1}{x-2}09{x+3}{x-4}0+24 ={x@-x-2}{x@-x-12}+24 에서 x@-x=X로 놓으면 {X-2}{X-12}+24 =X@-14X+48 ={X-6}{X-8} ={x@-x-6}{x@-x-8} ={x+2}{x-3}{x@-x-8} 유제2-1
⑴ {x@+x}@-7x@-7x+6 ={x@+x}@-7{x@+x}+6 에서 x@+x=X로 놓으면 X@-7X+6 ={X-1}{X-6} ={x@+x-1}{x@+x-6} ={x@+x-1}{x+3}{x-2} ⑵ {x@+2x-6}{x@+3x-6}-2x@ ={x@-6+2x}{x@-6+3x}-2x@ 에서 x@-6=X로 놓으면 {X+2x}{X+3x}-2x@ =X@+5xX+6x@-2x@ ={X+x}{X+4x} ={x@-6+x}{x@-6+4x} ={x-2}{x+3}{x@+4x-6} 유제2-2
{x-1}{x-2}{x+2}{x+3}+k =9{x-1}{x+2}09{x-2}{x+3}0+k ={x@+x-2}{x@+x-6}+k 에서 x@+x=X로 놓으면 {X-2}{X-6}+k=X@-8X+12+k yy ① 이 식이 완전제곱식이 되려면 12+k=4@ ∴ k=4 이때 ①은 X@-8X+16={X-4}@={x@+x-4}@ ∴ a=1, b=-4 4x@ 54쪽 예제3
⑴ z에 대해 정리하면 x@+y@-2xy-yz+zx ={x-y}z+x@+y@-2xy ={x-y}{z+x-y} ={x-y}{x-y+z} ⑵ x@의 계수가 1이므로 x에 대해 정리하면 x@+2y@+3xy-x-3y-2 =x@+{3y-1}x+2y@-3y-2 곱이 {2y+1}{y-2}, 합이 {3y-1}인 두 식은 2y+1, y-2이므로 x@+2y@+3xy-x-3y-2={x+2y+1}{x+y-2} ⑶ 전개하면 (주어진 식)=a@b-a@c+b@c-b@a+c@a-c@b a에 대해 정리하면 {b-c}a@-{b@-c@}a+b@c-bc@ ={b-c}9a@-{b+c}a+bc0 ={b-c}{a-b}{a-c} =-{a-b}{b-c}{c-a} 유제3-1
⑴ y에 대해 정리하면 4x@+4xz+z@-4xy-2yz =-2{2x+z}y+4x@+4xz+z@ ={2x+z}{-2y+2x+z} ={2x+z}{2x-2y+z} ⑵ y에 대해 정리하면 x#+2x@y-x-2y =2{x@-1}y+x#-x ={x@-1}{2y+x} ={x+1}{x-1}{x+2y} 다른 풀이 앞의 두 항과 뒤의 두 항을 묶으면 x@{x+2y}-{x+2y} ={x@-1}{x+2y} ={x+1}{x-1}{x+2y} ⑶ x에 대해 정리하면 x@+xy-2y@+5x+4y+6 =x@+{y+5}x-2y@+4y+6 =x@+{y+5}x-2{y@-2y-3} 곱이 -2{y+1}{y-3}, 합이 y+5인 두 식은 -{y-3}, 2{y+1}, 곧 -y+3, 2y+2이므로x@+xy-2y@+5x+4y+6={x-y+3}{x+2y+2} {x-y}@ {2y+1}{y-2} -{b+c}{b-c} bc{b-c} {2x+z}@ x{x@-1} -2{y+1}{y-3}
⑷ 전개하면 (주어진 식)=a@b-ab@+b@c-bc@+c@a-ca@ a에 대해 정리하면 {b-c}a@-{b@-c@}a+b@c-bc@ ={b-c}9a@-{b+c}a+bc0 ={b-c}{a-b}{a-c} =-{a-b}{b-c}{c-a} 유제
3-2
x에 대해 정리하면 x@+4y@+4z@+4xy+8yz+4zx =x@+4{y+z}x+4y@+4z@+8yz 에서 y+z=X로 놓으면 x@+4Xx+4X@={x+2X}@={x+2y+2z}@ note a@+b@+c@+2ab+2bc+2ca={a+b+c}@ 에서 a=x, b=2y, c=2z인 경우임을 이용해도 된다. -{b+c}{b-c} bc{b-c} 4{y@+z@+2yz}=4{y+z}@ 55쪽 예제4
⑴ x@=X로 놓으면 x$+4x@-5 =X@+4X-5={X-1}{X+5} ={x@-1}{x@+5} ={x+1}{x-1}{x@+5} ⑵ x$-6x@+1 =x$-2x@+1-4x@={x@-1}@-{2x}@ ={x@-1+2x}{x@-1-2x} ={x@+2x-1}{x@-2x-1} ⑶ x$+x@y@+y$ =x$+2x@y@+y$-x@y@ ={x@+y@}@-{xy}@ ={x@+y@+xy}{x@+y@-xy} ={x@+xy+y@}{x@-xy+y@} 유제4-1
⑴ x@=X로 놓으면 x$-5x@+4 =X@-5X+4={X-1}{X-4} ={x@-1}{x@-4} ={x+1}{x-1}{x+2}{x-2} ⑵ x$+7x@+16 =x$+8x@+16-x@={x@+4}@-x@ ={x@+4+x}{x@+4-x} ={x@+x+4}{x@-x+4} ⑶ x$-3x@y@+y$ =x$-2x@y@+y$-x@y@={x@-y@}@-{xy}@ ={x@-y@+xy}{x@-y@-xy} ={x@+xy-y@}{x@-xy-y@} 56쪽 예제5
⑴ a+b+c를 한 문자로 보고 전개하면 {a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca} ={a+b+c}a@+{a+b+c}b@+{a+b+c}c@ -{a+b+c}ab-{a+b+c}bc-{a+b+c}ca =a#+a@b+a@c+ab@+b#+b@c+ac@+bc@+c# -a@b-ab@-abc-abc-b@c-bc@-a@c-abc-ac@ =a#+b#+c#-3abc ⑵ ⑴의 경우에서 a=x, b=y, c=-3z인 경우이므로 x#+y#-27z#+9xyz ={x+y-3z}9x@+y@+{-3z}@-xy -y{-3z}-{-3z}x0 ={x+y-3z}{x@+y@+9z@-xy+3yz+3zx} ⑶ a@+b@+c@-ab-bc-ca =12 9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0 이므로 {a-b}@+{b-c}@+{c-a}@=0 {a-b}@>0, {b-c}@>0, {c-a}@>0이므로 a-b=0, b-c=0, c-a=0 ∴ a=b=c 유제5-1
x#-y#-6xy-8 =x#+{-y}#+{-2}#-3x{-y}{-2} ={x-y-2}9x@+{-y}@+{-2}@ -x{-y}-{-y}{-2}-{-2}x0 ={x-y-2}{x@+y@+xy+2x-2y+4} 유제5-2
⑴ {a+b+c}@=a@+b@+c@+2{ab+bc+ca}이므로 3@=5+2{ab+bc+ca} ∴ ab+bc+ca=2 ⑵ a#+b#+c#-3abc={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca} 이므로 a#+b#+c#=3\{5-2}+3\{-4}=-3 유제5-3
⑴ a-b=2+j3 k, b-c=-4를 변변 더하면 a-c=-2+j3 k ∴ c-a=2-j3 k ⑵ a@+b@+c@-ab-bc-ca =12 9{a-b}@+{b-c}@+{c-a}@0 =1 29{2+j3 k}@+{-4}@+{2-j3 k}@0 =1 2{4+4j3 k+3+16+4-4j3 k+3}=15 유제4-2
x$+4 =x$+4x@+4-4x@={x@+2}@-{2x}@ ={x@+2+2x}{x@+2-2x} ={x@+2x+2}{x@-2x+2}03. 인수분해
21
0
1
⑴ 4x-8y+{x-2y}@ =4{x-2y}+{x-2y}@ ={x-2y}{4+x-2y} ={x-2y}{x-2y+4} ⑵ ad-bc-ac+bd =a{d-c}+b{d-c} ={d-c}{a+b}={a+b}{d-c}0
2
{x-y+2}{x-y+1}-6에서 x-y=A로 놓으면 {A+2}{A+1}-6 =A@+3A-4 ={A+4}{A-1} ={x-y+4}{x-y-1} 이므로 ㈎=3, ㈏=4, ㈐=-1 ∴ ㈎+㈏+㈐=6 note ㈏=-1, ㈐=4이어도 된다.0
3
⑴ 2 -a ! -6a 6 -b ! -2b -2{3a+b} + ∴ 12x@-2{3a+b}x+ab={2x-a}{6x-b} ⑵ -y@+y+6=-{y+2}{y-3}이므로 1 -{y-3} ! -2y+6 2 y+2 ! y+2 -y+8 + ∴ 2x@-{y-8}x-y@+y+6 =2x@-{y-8}x-{y+2}{y-3} =9x-{y-3}0{2x+y+2} ={x-y+3}{2x+y+2}0
4
x-1=X, x+2=Y로 놓으면 2{x-1}@+3{x-1}{x+2}+{x+2}@ =2X@+3XY+Y@={2X+Y}{X+Y} =92{x-1}+x+20{x-1+x+2}=3x{2x+1} 이므로 a=3, b=2, c=1 57~58쪽 연습 문제0
1
⑴ {x-2y}{x-2y+4} ⑵ {a+b}{d-c}0
2
60
3
⑴ {2x-a}{6x-b} ⑵ {x-y+3}{2x+y+2}0
4
a=3, b=2, c=10
5
⑴ {4x@+3xy+y@}{4x@-3xy+y@} ⑵ {x@+4xy+8y@}{x@-4xy+8y@}0
6
②0
7
④0
8
⑴ {a+b}{b+c}{c+a} ⑵ {a-b}{b-c}{c-a}0
9
a=2, b=610
133711
①12
③0
5
⑴ 16x$-x@y@+y$ =16x$+8x@y@+y$-9x@y@ ={4x@+y@}@-{3xy}@ ={4x@+y@+3xy}{4x@+y@-3xy} ={4x@+3xy+y@}{4x@-3xy+y@} ⑵ x$+64y$ =x$+16x@y@+64y@-16x@y@ ={x@+8y@}@-{4xy}@ ={x@+8y@+4xy}{x@+8y@-4xy} ={x@+4xy+8y@}{x@-4xy+8y@}0
6
① {a@}@-4@={a@-4}{a@+4}={a-2}{a+2}{a@+4} ② {a-b-c}@=a@+b@+c@-2ab+2bc-2ca 이므로 등호가 성립하지 않는다. ③ {a@-2ab+b@}-c@={a-b}@-c@={a-b+c}{a-b-c} ④ x#+2#={x+2}{x@-2x+2@}={x+2}{x@-2x+4} ⑤ x$+18x@y@+81y$-9x@y@ ={x@+9y@}@-{3xy}@ ={x@+9y@+3xy}{x@+9y@-3xy} ={x@+3xy+9y@}{x@-3xy+9y@}0
7
한 문자에 대해 내림차순으로 정리한다. x@-2y@-xy-2x-5y-3 =x@-{y+2}x-{2y@+5y+3} =x@-{y+2}x-{2y+3}{y+1} =9x-{2y+3}09x+{y+1}0 ={x-2y-3}{x+y+1} 따라서 주어진 식의 인수인 것은 ④이다.0
8
전개한 다음 한 문자에 대해 내림차순으로 정리한다. ⑴ {a+b+c}{bc+ca+ab}-abc =abc+a@c+a@b+b@c+abc+ab@+bc@+ac@+abc-abc ={b+c}a@+{b@+2bc+c@}a+b@c+bc@ ={b+c}a@+{b+c}@a+bc{b+c} ={b+c}9a@+{b+c}a+bc0 ={b+c}{a+b}{a+c} ={a+b}{b+c}{c+a} ⑵ a{b@-c@}+b{c@-a@}+c{a@-b@} =ab@-ac@+bc@-a@b+ca@-b@c ={c-b}a@+{b@-c@}a+bc@-b@c ={c-b}a@-{c@-b@}a+bc{c-b} ={c-b}9a@-{c+b}a+bc0 ={c-b}{a-b}{a-c} ={a-b}{b-c}{c-a}0
9
공통부분이 생기도록 식을 묶어 전개한다. {x-1}{x+1}{x+3}{x+5}-9 =9{x-1}{x+5}09{x+1}{x+3}0-9 ={x@+4x-5}{x@+4x+3}-9 에서 x@+4x=X로 놓으면 {X-5}{X+3}-9 =X@-2X-24 ={X+4}{X-6} ={x@+4x+4}{x@+4x-6} ={x+2}@{x@+4x-6} 이므로 a=2, b=610
적당한 수를 x로 놓고, 분자와 분모를 인수분해한다. 1339=x로 놓으면 1339#-8 1339\1341+4 = x#-8 x{x+2}+4= {x-2}{x@+2x+4} x@+2x+4 =x-2=1339-2=133711
가로, 세로를 먼저 인수분해한다. n#+5n@+4n=n{n@+5n+4}=n{n+1}{n+4} n@+4n+3={n+1}{n+3} 이므로 필요한 타일의 개수는 n{n+4}\{n+3}={n+0}{n+3}{n+4} ∴ a+b+c=712
주어진 식을 인수분해하고 a, b, c 사이의 관계를 구한다. b에 대해 정리하면 a#-c#+ab@+a@c+b@c-ac@ ={a+c}b@+a#+a@c-ac@-c# ={a+c}{b@+a@-c@}=0a+c>0이므로 a@+b@-c@=0, 곧 a@+b@=c@ 따라서 이 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다. a@{a+c}-c@{a+c}
1
상수항이 - 8이므로 정수 a의 값은 8의 약수 1, 2, 4, 8과 -1, -2, -4, -8이 가능하다.2
x#의 계수가 3, 상수항이 -2이므로 분모는 3의 약수인 1, 3 과 -1, -3, 분자는 2의 약수인 1, 2와 -1, -2가 가능하다. 따라서 유리수 a의 값은 -11 , -21 , -13 , -23 가 가능하다. 60쪽 개념 확인02
인수정리와 인수분해
61쪽 예제6
⑴ f{x}=x#-4x@+x+6으로 놓고 -1, -2, -3, -6을 차례로 대입할 때 f{-1} =-1-4-1+6 =0 f{x}를 x+1로 나누면 f{x} ={x+1}{x@-5x+6} ={x+1}{x-2}{x-3} note f{2}=0 또는 f{3}=0임을 이용하여 f{x}를 x-2나 x-3으로 나누어도 된다. ⑵ f{x}=2x#+x@+5x-3으로 놓고 -1, -3, -12 , - 32 을 차례로 대입할 때 f [12 ]=2\[12 ]#+[12 ]@+5\12-3=0 f{x}를 x-1 2 로 나누면 f{x} =[x-1 2 ]{2x@+2x+6} ={2x-1}{x@+x+3} ⑶ f{x}=x$-4x#+5x@-4x+4로 놓고 -1, -2, -4를 차례로 대입할 때 f{2}=2$-4\2#+5\2@-4\2+4=0 f{x}를 x-2로 나누면 2 1 -4 5 -4 4 2 -4 2 -4 1 -2 1 -2 0 f{x}={x-2}{x#-2x@+x-2} g{x}=x#-2x@+x-2로 놓고 -1, -2를 차례로 대입할 때 g{2}=2#-2\2@+2-2=0 g{x}를 x-2로 나누면 g{x}={x-2}{x@+1} ∴ f{x}={x-2}@{x@+1} note g{x} =x@{x-2}+x-2={x-2}{x@+1} 과 같이 인수분해해도 된다. 유제6-1
⑴ f{x}=x#+3x@-4로 놓고 -1, -2, -4를 차례로 대입할 때 f{1}=1+3-4=0 f{x}를 x-1로 나누면 f{x} ={x-1}{x@+4x+4} ={x-1}{x+2}@ note f{-2}=0임을 이용하여 f{x}를 {x+2}로 나누어도 된다. -1 1 -4 1 6 -1 5 -6 1 -5 6 0 2! 2 1 5 -3 1 1 3 2 2 6 0 2 1 -2 1 -2 2 0 2 1 0 1 0 1 1 3 0 -4 1 4 4 1 4 4 003. 인수분해
23
⑵ f{x}=3x#+4x@+4x+1로 놓고 -1, - 1 3 을 차례로 대입할 때 f [-1 3 ] =3\[-1 3 ]# +4\[-1 3 ]@ +4\[-1 3 ]+1 =0 f{x}를 x+1 3 로 나누면 -3! 3 4 4 1 -1 -1 -1 3 3 3 0 f{x}=[x+13 ]{3x@+3x+3}={3x+1}{x@+x+1} ⑶ f{x}=x$+x#-7x@-x+6으로 놓고 -1, -2, -3, -6을 차례로 대입할 때 f{1}=1+1-7-1+6=0 f{x}를 x-1로 나누면 1 1 1 -7 -1 6 1 2 -5 -6 1 2 -5 -6 0 f{x}={x-1}{x#+2x@-5x-6} g{x}=x#+2x@-5x-6으로 놓고 -1, -2, -3, -6을 차례로 대입할 때 g{-1}=-1+2+5-6=0 g{x}를 x+1로 나누면 g{x} ={x+1}{x@+x-6} ={x+1}{x-2}{x+3} ∴ f{x}={x-1}{x+1}{x-2}{x+3} ⑷ f{x}=2x$+x#+4x@+4x+1로 놓고 -1, -12 을 차례로 대입할 때 f [-1 2 ] =2\ [-1 2 ]$+ [-1 2 ]#+4\[- 12 ]@ +4\[- 12 ]+1 =0 f{x}를 x+1 2 로 나누면 -2! 2 1 4 4 1 -1 0 -2 -1 2 0 4 2 0 f{x} =[x+12 ]{2x#+4x+2} ={2x+1}{x#+2x+1} note g{x}=x#+2x+1로 놓을 때, g{1}=0, g{-1}=0 이므로 g{x}는 더이상 인수분해되지 않는다. -1 1 2 -5 -6 -1 -1 6 1 1 -6 0 62쪽 예제7
f{x}=ax$+bx#+1이라 하자. f{x}를 {x-1}@으로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 ax$+bx#+1={x-1}@Q{x} yy ① 양변에 x=1을 대입하면 a+b+1=0, b=-a-1 yy ② ∴ f{x}=ax$-{a+1}x#+1 f{x}를 x-1로 나누면 1 a -{a+1} 0 0 1 a -1 -1 -1 a -1 -1 -1 0 f{x}={x-1}{ax#-x@-x-1} ①의 좌변을 변형하면 {x-1}{ax#-x@-x-1}={x-1}@Q{x} x에 대한 항등식이므로 양변을 x-1로 나누어도 성립한다. 양변을 x-1로 나누면 ax#-x@-x-1={x-1}Q{x} 양변에 x=1을 대입하면 a-1-1-1=0 ∴ a=3, b=-4 (∵ ②) 따라서 f{x}=3x$-4x#+1이므로 인수분해를 완성하면 3x$-4x#+1={x-1}@{3x@+2x+1} 유제7-1
f{x}=x$+ax+b라 하자. f{x}를 {x+1}@으로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 x$+ax+b={x+1}@Q{x} yy ① 양변에 x=-1을 대입하면 1-a+b=0, b=a-1 yy ② ∴ f{x}=x$+ax+a-1 f{x}를 x+1로 나누면 -1 1 0 0 a a-1 -1 1 -1 -a+1 1 -1 1 a-1 0 f{x}={x+1}{x#-x@+x+a-1} ①의 좌변을 변형하면 {x+1}{x#-x@+x+a-1}={x+1}@Q{x} x에 대한 항등식이므로 양변을 x+1로 나누어도 성립한다. 양변을 x+1로 나누면 x#-x@+x+a-1={x+1}Q{x} 양변에 x=-1을 대입하면 -1-1-1+a-1=0 ∴ a=4, b=3 (∵ ②) 따라서 f{x}=x$+4x+3이므로 인수분해를 완성하면 x$+4x+3={x+1}@{x@-2x+3}0
1
⑴ f{x}=x#+x+2로 놓고 -1, -2를 차례로 대입할 때 f{-1}=-1-1+2=0 f{x}를 x+1로 나누면 f{x}={x+1}{x@-x+2} ⑵ f{x}=x#-3x@-10x+24로 놓고 -1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24를 차례로 대입할 때 f{2}=2#-3\2@-10\2+24=0 f{x}를 x-2로 나누면 f{x} ={x-2}{x@-x-12} ={x-2}{x+3}{x-4} ⑶ f{x}=2x#+5x@+x-3으로 놓고 -1, -3, -12 , - 3 2 을 차례로 대입할 때 f [-3 2 ] =2\[-3 2 ]# +5\[-3 2 ]@ +[-3 2 ]-3=0 f{x}를 x+3 2 으로 나누면 f{x} =[x+3 2 ]{2x@+2x-2} ={2x+3}{x@+x-1}0
2
f{x}=x$+3x#-7x@-27x-18로 놓고 -1, -2, -3, -6, -9, -18을 차례로 대입할 때 f{-1}=1-3-7+27-18=0 f{x}를 x+1로 나누면 -1 1 3 -7 -27 -18 -1 -2 9 18 1 2 -9 -18 0 f{x}={x+1}{x#+2x@-9x-18} g{x}=x#+2x@-9x-18로 놓고 -1, -2, -3, -6, -9, -18을 차례로 대입할 때 g{-2}={-2}#+2\{-2}@-9\{-2}-18=0 -1 1 0 1 2 -1 1 -2 1 -1 2 0 2 1 -3 -10 24 2 -2 -24 1 -1 -12 0 -2# 2 5 1 -3 -3 -3 3 2 2 -2 0 63쪽 연습 문제0
1
⑴ {x+1}{x@-x+2} ⑵ {x-2}{x+3}{x-4} ⑶ {2x+3}{x@+x-1}0
2
⑤0
3
a=-9,``b=2, {x-1}{x+1}{x+2}{x-4}0
4
⑴ {x-1}{x$+x#+x@+x+1} ⑵ {x+1}{x$-x#+x@-x+1}0
5
②0
6
① g{x}를 x+2로 나누면 g{x} ={x+2}{x@-9} ={x+2}{x+3}{x-3} ∴ f{x}={x+1}{x+2}{x+3}{x-3} 따라서 구하는 값은 1@+2@+3@+{-3}@=230
3
f{x}가 x-a로 나누어떨어지면 f{a}=0이다. 인수정리에 의하여 f{1}=0,``f{-1}=0 f{1}=1-2+a+b+8=0 ∴ a+b=-7 f{-1}=1+2+a-b+8=0 ∴ a-b=-11 두 식을 연립하여 풀면 a=-9, b=2 ∴ f{x}=x$-2x#-9x@+2x+8 f{x}를 x-1, x+1로 차례로 나누면 1 1 -2 -9 2 8 1 -1 -10 -8 -1 1 -1 -10 -8 0 -1 2 8 1 -2 -8 0 f{x} ={x-1}{x+1}{x@-2x-8} ={x-1}{x+1}{x+2}{x-4}0
4
다항식을 f{x}로 놓고 f{a}=0인 a를 찾는다. ⑴ f{x}=x%-1로 놓으면 f{1}=0 1 1 0 0 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ∴ f{x}={x-1}{x$+x#+x@+x+1} ⑵ f{x}=x%+1로 놓으면 f{-1}=0 -1 1 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 ∴ f{x}={x+1}{x$-x#+x@-x+1}0
5
33=x로 놓고 인수분해한다. 33=x로 놓으면 주어진 식은 x#+9x@+23x+15 f{x}=x#+9x@+23x+15로 놓고 -1, -3, -5, -15를 차례로 대입할 때 f{-1} =-1+9-23+15 =0 f{x}를 x+1로 나누면 f{x} ={x+1}{x@+8x+15} ={x+1}{x+3}{x+5} -2 1 2 -9 -18 -2 0 18 1 0 -9 0 -1 1 9 23 15 -1 -8 -15 1 8 15 003. 인수분해
25
∴ 33#+9\33@+23\33+15 ={33+1}{33+3}{33+5} =34\36\38 따라서 구하는 값은 34+36+38=1080
6
f{x}에서 f{a}=0이면 x-a가 인수이다. f [1 2 ]=f [ 1 3 ]=f [ 1 4 ]=0이고 f{x}가 삼차식이므로 f{x}=a[x-12 ][x-13 ][x-14 ] 최고차항의 계수가 1이므로 a=1` ∴ f{x}=[x-12 ][x-13 ][x-14 ] ∴ f{1} =[1-12 ][1-13 ][1-14 ]=12\23\34=140
1
x^-1을 인수분해하는 것과 같다. 6^-1 ={6#}@-1={6#-1}{6#+1} ={6-1}{6@+6+1}{6+1}{6@-6+1} =5\43\7\31=31\35\43 이므로 가능한 n의 값은 31, 35, 43 ∴ 31+35+43=1090
2
주어진 수들의 관계를 찾아 문자로 바꾸어 생각한다. 20=x로 놓으면 20\21\22\23+1 =x{x+1}{x+2}{x+3}+1 =9x{x+3}09{x+1}{x+2}0+1 ={x@+3x}{x@+3x+2}+1 ={x@+3x}@+2{x@+3x}+1 ={x@+3x+1}@ ∴ j20\21\22l\23+1l =20@+3\20+1 =4610
3
주어진 식을 인수분해하고 a, b, c 사이의 관계를 구한다. 주어진 등식의 좌변을 a에 대해 정리하면 a$+2{b@-c@}a@+b$-2b@c@+c$=0 b@-c@을 한 문자처럼 생각하면 {a@+b@-c@}@=0 ∴ a@+b@=c@ yy ① 따라서 이 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다. 넓이가 15 2 이므로 1 2ab= 15 2 ∴ ab=15 yy ② 둘레의 길이가 15이므로 a+b+c=15 ∴ a+b=15-c 양변을 제곱하면 a@+b@+2ab={15-c}@ 위의 식에 ①, ②를 대입하면 c@+30=c@-30c+225 ∴ c=13 20
4
㈎에서 f{x}={x#+1}{x+2}+ax@+bx+c로 놓을 수 있다. x#+1={x+1}{x@-x+1}임을 이용한다. ㈎에서 f{x}를 x#+1로 나눈 나머지를 ax@+bx+c라 하면 f{x} ={x#+1}{x+2}+ax@+bx+c yy ① ={x+1}{x@-x+1}{x+2}+ax@+bx+c ㈏에서 ax@+bx+c를 x@-x+1로 나눈 나머지는 x-6이다. ∴ ax@+bx+c=a{x@-x+1}+x-6 yy ② ②를 ①에 대입하면 f{x}={x#+1}{x+2}+a{x@-x+1}+x-6 ㈐에서 f{1}=-2이므로 위의 식에 x=1을 대입하면 -2={1+1}{1+2}+a{1-1+1}+1-6 ∴ a=-3 곧, f{x}={x#+1}{x+2}-3{x@-x+1}+x-6이므로 f{-1}=0-3{1+1+1}-1-6=-16 {b@-c@}@0
1
③0
2
4610
3
13 20
4
① 실력 문제 65쪽1-1
x-1=a, x-2=b, -{2x-3}=c라 하면 a+b+c=0이므로 a#+b#+c#-3abc ={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca} =0 ∴ a#+b#+c#=3abc 따라서 주어진 식은 a#+b#+c#=3abc=-3{x-1}{x-2}{2x-3}2-1
x#+kx+3={x+a}{x@+bx+c} (a, b, c는 정수) 꼴로 인수분해되므로 양변의 상수항을 비교하면 3=ac 이 식을 만족하는 정수 a의 값은 -1, -3 f{x}=x#+kx+3이라 할 때 f{-a}=0이므로 f{-1}=0에서 -1-k+3=0 ∴ k=2 f{1}=0에서 1+k+3=0 ∴ k=-4 f{-3}=0에서 -27-3k+3=0 ∴ k=-8 f{3}=0에서 27+3k+3=0 ∴ k=-10 따라서 가능한 정수 k는 4개 note x#+kx+3={x+a}{x@+bx+c}( a, b, c는 정수)에서 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+b=0, c+ab=k, ac=3이므로 이 세 식을 만족하는 정수 a, b, c의 경우를 직접 구하여 풀어도 된다.1
⑴ -3-i ⑵ 5+2i ⑶ -2 ⑷ -6i2
⑴ x=8, y=-3 ⑵ 2-x=1, 3=-y이므로 x=1, y=-33
⑴ {4-2i}+{1+3i} ={4+1}+{-2+3}i =5+i ⑵ {4-2i}-{1+3i} ={4-1}+{-2-3}i =3-5i ⑶ {4-2i}{1+3i} =4+12i-2i-6i @ =10+10i⑷ {4-2i}_{1+3i} =4-2i1+3i={4-2i}{1-3i} {1+3i}{1-3i} =4-12i-2i+6i @ 1-3i+3i-9i @ -6 9 =-2-14i 10 =-1 5 -7 5i
4
⑴ zX=3+2i이므로 zzX={3-2i}{3+2i}=9+6i-6i-4i @=13 ⑵ zX=a-bi이므로 zzX={a+bi}{a-bi}=a@-abi+abi-b@i @=a@+b@5
⑴ j5 ki ⑵ -j10ki ⑶ -j-4 l이므로 -j4 ki=-2i ⑷ -q-2 9e이므로 -q 2 9wi=- j2 k3 i6
z1X=a-bi, z2X=c-di ⑴ z1X+z2X=a-bi+c-di={a+c}-{b+d}i z1+z2=a+bi+c+di={a+c}+{b+d}i 이므로 z1X+z2X=z1X+Zz2Z ⑵ z1X z2X ={a-bi}{c-di}=ac-adi-bci+bdi @ ={ac-bd}-{ad+bc}i 6 4 b@ -bd 70쪽 개념 확인01
복소수
04
.
복소수와 이차방정식
71쪽 예제1
⑴ {1+j3 ki}@ =1+2j3 ki+3i @=-2+2j3 ki ⑵ {2+j-5 l}{1-2j-5 l} ={2+j5 ki}{1-2j5 ki} =2-4j5 ki+j5 ki-10i @ =12-3j5 ki ⑶ 1 3+2i = 3-2i {3+2i}{3-2i}= 3-2i 3@+2@= 3 13 -2 13 i ⑷ 1+i 1-i = {1+i}{1+i} {1-i}{1+i}= 1+2i+i @ 1@+1@ -1 =2i2=i ∴ [ 1+i1-i]!)!=i !)!={i @}%)i={-1}%)i=i ⑸ 1+i+i @+i #+i $=1+i-1-i+1=1
유제
1-1
⑴ {1-j3 ki}@ =1-2j3 ki+3i @=-2-2j3 ki ∴ {1-j3 ki}# ={1-j3 ki}@{1-j3 ki}={-2-2j3 ki}{1-j3 ki} =-2+2j3 ki-2j3 ki+6i @=-8 ⑵ {1-j-2 l}{2+j-8 l} ={1-j2 ki}{2+j8 ki} =2+2j2 ki-2j2 ki-4i @=6 ⑶ 3-i 1+2i+ 3+i 1-2i= {3-i}{1-2i} {1+2i}{1-2i}+ {3+i}{1+2i} {1-2i}{1+2i} =3-6i-i+2i @ 1@+2@ -2 +3+6i+i+2i @ 1@+2@ -2 =1-7i5 +1+7i5 =25 ⑷ 1-i 1+i = {1-i}{1-i} {1+i}{1-i}= 1-2i+i @ 1@+1@ -1 =-2i2=-i ∴ [ 1-i
1+i]%!={-i}%!={-i}@|@%"!={i @}@%{-i}=i ⑸ 네 항씩 끊어 생각한다.
i+i @+i #+i $=i-1-i+1=0 i %+i ^+i &+i *=i ${i+i @+i #+i $}=0 i (+i !)+i !!+i !@=i *{i+i @+i #+i $}=0 -3 10 -3 -6 2j2 ki 4 {-1}@%=-1 z1z2 ={a+bi}{c+di}=ac+adi+bci+bdi @ ={ac-bd}+{ad+bc}i 이므로 z1X z2X=z1z2Z -bd
04. 복소수와 이차방정식
27
i (&+i (*+i ((+i !))=i (^{i+i @+i #+i $}=0 ∴ i+i @+i #+i $+y+i !))=0 ⑹ 네 항씩 끊어 생각한다. 1 i+ 1 i @+ 1 i #+ 1 i $= i #+i @+i+1 i $ = -i-1+i+1 1 =0 1 i %+ 1 i ^+ 1 i &+ 1 i *= 1 i+ 1 i @+ 1 i #+ 1 i $=0 ∴ (주어진 식)=0+0+1 i (= 1 i= i i @=-i 72쪽 예제
2
z ={i+1}x@-ix-2i-4=x @i+x @-xi-2i-4 =x @-4+{x @-x-2}i yy ① ⑴ z가 0이 아닌 실수이므로 ①에서 x @-4=0이고 x @-x-2=0 x@-x-2=0에서 {x+1}{x-2}=0 ∴ x=-1 또는 x=2 그런데 x @-4=0이므로 x=-1 ⑵ z@이 음의 실수이므로 z는 순허수이다. 곧, ①에서 x@-4=0이고 x@-x-2=0 x@-4=0에서 x=-2 그런데 x@-x-2=0이므로 x=-2 ⑶ x@-4+{x@-x-2}i=y+4i에서 x@-4=y이고 x@-x-2=4 x@-x-2=4에서 {x-3}{x+2}=0 ∴ x=3 또는 x=-2 그런데 x@-4=y이므로 x=3일 때, y=3@-4=5 x=-2일 때, y={-2}@-4=0 ∴ x=3, y=5 또는 x=-2, y=0 유제
2-1
z =ix@+{2i+1}x-3{i+1} =x@i+2xi+x-3i-3 =x-3+{x@+2x-3}i yy ① ⑴ z가 순허수이므로 ①에서 x-3=0이고 x@+2x-3=0 ∴ x=3 ⑵ z@이 양의 실수이므로 z는 실수이다. 곧, ①에서 x-3=0이고 x@+2x-3=0 x@+2x-3=0에서 {x-1}{x+3}=0 ∴ x=1 또는 x=-3 ⑶ z@이 음의 실수이므로 z는 순허수이다. 곧, ⑴에 의해 x=3 73쪽 예제3
⑴ aaX+abX+aXb+bbX =a{aX+bX}+b{aX+bX} ={a+b}{aX+bX} yy ① a+b=2+i, aX+bX={3+i}+{-1-2i}=2-i이므로 ①에서 {a+b}{aX+bX} ={2+i}{2-i}=2@+1@=5 ⑵ x=1-2i에서 x-1=-2i 양변을 제곱하면 x@-2x+1=4i @, x@-2x+5=0 이때 x#-2x@+6x+3={x@-2x+5}x+x+3 이 식에 x=1-2i를 대입하면 x@-2x+5=0이므로 구하는 값은 x+3에 x=1-2i를 대입한 값이다. ∴ 1-2i+3=4-2i ⑶ x+y=2j3 k 2 =j3 k, xy=[ j 3 k 2 ]@+[ 1 2 ]@=1 ∴ x#+y# ={x+y}#-3xy{x+y} ={j3 k}#-3\1\j3 k=0 유제3-1
aaX-abX-aXb+bbX =a{aX-bX}-b{aX-bX} ={a-b}{aX-bX} yy ① aX-bX=aX-ZbZ=4-3i이므로 ①에서 {a-b}{aX-bX}={4+3i}{4-3i}=4@+3@=25 note 다음은 켤레복소수의 성질로 이용하면 된다. z1X-z2X=z1X-Zz2Z, z1X z2X=z1z2Z, z1X z2X=[ z1z2 ] Z 유제3-2
z=2+2i에서 z-2=2i 양변을 제곱하면 z@-4z+4=4i @, z@-4z+8=0 이때 2z#-8z@+14z+5={z@-4z+8}\2z-2z+5 이 식에 z=2+2i를 대입하면 z@-4z+8=0이므로 구하는 값은 -2z+5에 z=2+2i를 대입한 값이다. ∴ -2{2+2i}+5=1-4i -4 -4 유제2-2
⑴ 주어진 식에서 2x+xi+2y-yi=6+i {2x+2y}+{x-y}i=6+i2x+2y=6, x-y=1이므로 연립하여 풀면 x=2, y=1 ⑵ 주어진 식에서 x{1-i} {1+i}{1-i}+ y{1+i} {1-i}{1+i}=1-2i x-xi 1@+1@+ y+yi 1@+1@=1-2i x+y 2 + -x+y 2 i=1-2i
유제
3-3
x=j3 k-j2 ki, y=j3 k+j2 ki이므로 x+y=2j3 k, xy={j3 k}@+{j2 k}@=5 ⑴ x@+y@={x+y}@-2xy={2j3 k}@-2\5=2 ⑵ x#+y# ={x+y}#-3xy{x+y} ={2j3 k}#-3\5\2j3 k=-6j3 k 74쪽 예제4
⑴ ! 1-a<0, a-4<0일 때 a>1이고 a<4이므로 1<a<4@ 1-a=0 또는 a-4=0일 때 a=1 또는 a=4
!, @에서 정수 a의 개수는 1, 2, 3, 4의 4 ⑵ ! a+4>0, a<0일 때
a>-4이고 a<0이므로 -4<a<0
@ a+4=0일 때, a=-4 !, @에서 정수 a의 개수는 -4, -3, -2, -1의 4 유제
4-1
⑴ j2 kj-3 l=j-6 l=j6 ki, j-2 lj3 k=j-6 l=j6 ki, j-2 lj-3 l=-1{-2}{3-3}3=-j6 k이므로 (주어진 식)=j6 ki+j6 ki-j6 k=-j6 k+2j6 ki ⑵ j-3 l j2 k =q-3 2e=q 3 2wi, j3 kj-2 l=-q 3 -2e=-q 3 2wi, j-3 l j-2 l=q -3-2e=q 32w이므로 (주어진 식)=q 3 2wi-q 3 2wi+q 3 2w=q 3 2w= j6 k2 다른 풀이 보통은 다음과 같이 푼다. ⑴ (주어진 식) =j2 kj3 ki+j2 ki\j3 k+j2 kj3 ki @ =j6 ki+j6 ki-j6 k=-j6 k+2j6 ki ⑵ (주어진 식) = j3 ki j2 k+ jj2 ki3 k+ jj2 ki3 ki= jj2 k3 k i+ jj2 ki @3 ki+ jj2 k3 k = j3 k j2 k i- jj2 k3 k i+ jj2 k3 k= jj2 k3 k= j26 k 유제4-2
⑴ ! a-8<0, 1-a<0일 때a<8이고 1<a이므로 1<a<8
@ a-8=0 또는 1-a=0일 때 a=8 또는 a=1
!, @에서 정수 a의 개수는 1, 2, 3, y, 8의 8 ⑵ ! a+1>0, a-4<0일 때
a>-1이고 a<4이므로 -1<a<4
@ a+1=0일 때, a=-1 !, @에서 정수 a의 개수는 -1, 0, 1, 2, 3의 5 75쪽 예제
5
⑴ z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓고 주어진 식에 대입하면 {3+2i}{a+bi}-2i{a-bi}=2+3i3a+3bi+2ai+2bi @-2ai+2bi @=2+3i {3a-4b}+3bi=2+3i 3a-4b=2, 3b=3이므로 연립하여 풀면 a=2, b=1 ∴ z=2+i ⑵ z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓자. 5-2i+z=5-2i+a+bi={5+a}+{b-2}i 가 실수이므로 b-2=0 ∴ b=2 {5-2i}z ={5-2i}{a+2i}=5a+10i-2ai-4i @ ={5a+4}+2{5-a}i 도 실수이므로 5-a=0 ∴ a=5 ∴ z=5+2i note 일반적으로 실수가 아닌 복소수 z, w에 대하여 z+w, zw가 모두 실수이면 w=zX이다. ⑶ z=a+bi ( a, b는 실수, b=0)으로 놓자. {z-1}@={a-1+bi}@={a-1}@+2{a-1}bi+b@i @ 이 실수이므로 2{a-1}b=0 b=0이므로 a=1 ∴ z+zX={1+bi}+{1-bi}=2 다른 풀이 {z-1}@이 실수이면 {z-1}@={z-1}@Z 이므로 {z-1}@={zX-1}@, z@-2z+1={zX}@-2zX+1 z@-{zX}@-2{z-zX}=0 ∴ {z-zX}{z+zX-2}=0 z가 실수가 아니므로 z=zX ∴ z+zX=2 유제
5-1
z=a+bi ( a, b는 실수, b=0)으로 놓고 주어진 식에 대입하면 {1+i}{a+bi}+i{a-bi}=-2 a+bi+ai+bi @+ai-bi @=-2 a+{2a+b}i=-2a=-2, 2a+b=0이므로 b=4 ∴ z=-2+4i 유제
5-2
z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓자.-1+4i+z=-1+4i+a+bi={a-1}+{b+4}i 가 실수이므로 b+4=0 ∴ b=-4
{-1+4i}z ={-1+4i}{a-4i}=-a+4i+4ai-16i @ ={-a+16}+4{1+a}i
도 실수이므로 1+a=0 ∴ a=-1 ∴ z=-1-4i
-2b -2b 4 -b@ {z+zX}{z-zX} -b b 16
