( -9
4{a+b+c}=1 6{a+c}=1 8{b+c}=1
/ (| -| 9
a+b+c=1
4 yy ① a+c=1
6 yy ② b+c=1
8 yy ③
①-②를 하면 b=1 12
①-③을 하면 a=1 8 a+b=1
8 +1 12 = 5
24 이므로 A와 B로 10분 동안 물통의 5 24 를 채울 수 있다.
따라서 물통을 가득 채우는 데 걸리는 시간은 24
5 \10=48(분)
12
⑴ 두 삼각형 ABD, BCD가 직각삼각형임을 이용한다.⑵ x, y가 자연수이므로 { }\{ }=(정수) 꼴로 x, y 에 대한 관계식을 나타낸다.
⑴ 직각삼각형 ABD에서 x@+2@=BDZ @ 직각삼각형 BCD에서 y@+6@=BDZ @ 두 식에서 BDZ @을 소거하면
x@+2@=y@+6@ / x@-y@=32
⑵ {x+y}{x-y}=32이고, x+y>2, x+y>x-y이므로 가 능한 값은 다음 표와 같다.
x+y 32 16 8
x-y 1 2 4
따라서 x, y는 자연수이므로 -x=9 y=7, -x=6
y=2
1
⑴ x<1 yy ①-3 1 x
②
x>-3 yy ② ①
①, ②의 공통부분은 -3<x<1
⑵ 2x-1<1에서 2x<2 / x<1 yy ① x+1<-2에서
-3 1 x
②
①
x<-3 yy ② ①, ②의 공통부분은 x<-3
⑶ x<2 yy ①, x>2 yy ② ①, ②의 공통부분이 없으므로
2 x
②
①
해는 없다.
⑷ 2x+1<3에서 2x<2 / x<1 yy ① x+2>5-2x에서
1 x
②
①
3x>3 / x>1 yy ② ①, ②의 공통부분은 x=1
2
⑴ 이차함수의 그래프가 x축보다 위쪽에 있는 x의 값의 범위 이므로 0<x<2⑵ 이차함수의 그래프가 x축보다 아래쪽에 있거나 x축과 만나는 x의 값의 범위이므로 x<0 또는 x>2
3
x@-x-2=0에서 {x+1}{x-2}=0 / x=-1 또는 x=2⑴ x<-1 또는 x>2
O x
y
-1 -2
2 y=x@-x-2
⑵ -1<x<2
⑶ 양변에 -1을 곱하면 x@-x-2<0 / -1<x<2
⑷ 양변에 -1을 곱하면 x@-x-2>0 / x<-1 또는 x>2
4
y=-2x@+4x-3에서O x y
-1 -3
1
y=-2x@+4x-3
y =-2{x@-2x+1-1}-3
=-2{x-1}@-1
⑴ 함수의 그래프가 x축 아래쪽에 있다.
곧, 항상 y<0이므로 해는 없다.
⑵ 해는 모든 실수
162쪽 개념 확인
01 일차, 이차부등식
08 . 부등식
유제
1-2
2x-1>x+2에서 x>3 yy ① 3x-2<x-4a에서2x<-4a+2 / x<-2a+1 yy ②
⑴ ①, ②의 공통부분이 없으므로
-2a+1 3 x
② ①
-2a+1<3, -2a<2 / a>-1
⑵ x<-2a+1이 정수 4를 포함하고
x -2a+1
3 4 5
②
5를 포함하지 않으므로 ①
4<-2a+1<5, 3<-2a<4
각 변을 -2로 나누면 부등호의 방향이 바뀐다.
/ -2<a<-3 2
164쪽 예제
2
⑴ px+p>x+2에서 {p-1}x>-p+2 p>1일 때, x>-p+2
p-1 p<1일 때, x<-p+2
p-1
p=1일 때, 0\x>1이므로 성립하지 않는다. 곧, 해는 없다.
⑵ ! x-2>0일 때, yy ① 2{x-2}<x+1 / x<5
①에서 x>2이므로 2<x<5
@ x-2<0일 때, yy ②
-2{x-2}<x+1, -3x<-3 / x>1
②에서 x<2이므로 1<x<2
!, @에서 1<x<5
⑶ ! x<-2일 때, yy ①
-{x+2}-{x-1}>5, -2x>6 / x<-3
①에서 생각하면 x<-3
@ -2<x<1일 때,
{x+2}-{x-1}>5, 3>5 따라서 성립하지 않는다.
# x>1일 때, yy ②
{x+2}+{x-1}>5, 2x>4 / x>2
②에서 생각하면 x>2
!, @, #에서 x<-3 또는 x>2
유제
2-1
-3+2x<2p-px, {p+2}x<2p+3 p>-2일 때, x<2p+3p+2 p<-2일 때, x>2p+3
p+2
p=-2일 때, 0\x<-1이므로 성립하지 않는다. 곧, 해는 없다.
note 양변에 -1을 곱하면
⑴ 은 2x@-4x+3<0, ⑵ 는 2x@-4x+3>0 곧, y=2x@-4x+3의 그래프를 이용하여 풀어도 된다.
5
y=x@+2x+1이라 하면O 1
x y
-1 y=x@+2x+1
y={x+1}@
⑴ x=-1인 모든 실수
⑵ 모든 실수
⑶ 해는 없다.
⑷ x=-1
note ⑴ 은 해를 x<-1 또는 x>-1이라 해도 된다.
⑴ 2x-5 3 <x-3
2 에서 2{2x-5}<3{x-3}
4x-10<3x-9 / x<1 yy ① x-3
2 <x+1에서 x-3<2{x+1}
-x<5 / x>-5 yy ② ①, ②의 공통부분은 -5<x<1
⑵ 3x+2>2{x+a}에서 x>2a-2 yy ① 2x+5<9에서 2x<4 / x<2 yy ② ①, ②의 공통부분이 없어야 하므로
2a-2>2, 2a>4 / a>2
⑶ 3x-1<2a에서
3x<2a+1 / x<2a+1 3
이 부등식이 1, 2, 3을 포함하고 4를 포함하지 않으므로 3<2a+1
3 <4, 9<2a+1<12 8<2a<11 / 4<a<11
2 유제
1-1
⑴ 3{x+5}>7x+3에서3x+15>7x+3, -4x>-12 / x<3 yy ① 2x-4>5-3{x+3}에서
2x-4>5-3x-9, 5x>0 / x>0 yy ② ①, ②의 공통부분은 0<x<3
⑵ 4<2{x-1}+3에서
4<2x+1, -2x<-3 / x>3
2 yy ①
2{x-1}+3<3x+5에서
2x+1<3x+5, -x<4 / x>-4 yy ② ①, ②의 공통부분은 x>3
2
163쪽 예제
1
08. 부등식
75
유제
2-2
⑴ ! 2x-1>0일 때, yy ① 2x-1<x+1 / x<2①에서 x>1
2 이므로 1 2<x<2
@ 2x-1<0일 때, yy ② -{2x-1}<x+1, -3x<0 / x>0
②에서 x<1
2 이므로 0<x<1 2
!, @에서 0<x<2
⑵ ! 2x+3>0일 때,
3<2x+3<6, 0<2x<3 / 0<x<3
2
@ 2x+3<0일 때,
3<-{2x+3}<6, 6<-2x<9 / -9
2<x<-3
!, @에서 -9
2<x<-3 또는 0<x<3 2
⑶ ! x<-2일 때, yy ① -{x+2}>-2x-1 / x>1
①에서 생각하면 해는 없다.
@ -2<x<0일 때, yy ②
x+2>-2x-1, 3x>-3 / x>-1
②에서 생각하면 -1<x<0
# x>0일 때, yy ③
x+2>2x-1, -x>-3 / x<3
③에서 생각하면 0<x<3
!, @, #에서 -1<x<3
165쪽 예제
3
⑴ 3x@>2x+5에서 3x@-2x-5>0 {x+1}{3x-5}>0 / x<-1 또는 x> 53
⑵ x@-4x-2<0에서 x@-4x-2=0의 해는 x=2-1{-2}@+323=2-j6 / 2-j6<x<2+j6
⑶ x-1<x@에서 -x@+x-1<0 양변에 -1을 곱하면 x@-x+1>0
O x
y
1
y=x@-x+1
이때
D={-1}@-4\1=-3<0 곧, y=x@-x+1의 그래프는 x축과
만나지 않으므로 오른쪽 그림과 같다.
따라서 부등식의 해는 모든 실수
유제
3-1
⑴ 2x@-x-6<0에서 {2x+3}{x-2}<0 / -32<x<2
⑵ -2x+3<x@에서 -x@-2x+3<0 양변에 -1을 곱하면 x@+2x-3>0
{x+3}{x-1}>0 / x<-3 또는 x>1
⑶ x@+2x-4>0에서 x@+2x-4=0의 해는 x=-1-11@+43=-1-j5 / x<-1-j5 또는 x>-1+j5
⑷ -2x-1>x@+x에서 -x@-3x-1>0 양변에 -1을 곱하면 x@+3x+1<0 x@+3x+1=0의 해는 x=-3-13@-43
2 =-3-j5 2 / -3-j5
2 <x<-3+j5 2 유제
3-2
⑴ 3x@-2x+1<0에서O x
y
1
y=3x@-2x+1
D
4={-1}@-3<0
y=3x@-2x+1로 놓으면 이 함수의 그 래프는 오른쪽 그림과 같이 x축 위쪽에 있다.
따라서 해는 없다.
⑵ x@+5x>x-6에서 x@+4x+6>0
O x y
6 y=x@+4x+6
D
4=2@-6<0
y=x@+4x+6으로 놓으면 이 함수의 그래프는 오른쪽 그림과 같이 x축 위쪽 에 있다.
따라서 해는 모든 실수
⑶ 4x@+12x+9>0에서
O x y
9
-2#
y=4x@+12x+9
y=4x@+12x+9로 놓으면 y={2x+3}@의 그래프는 오른쪽 그
림과 같다.
따라서 해는 x=-3
2인 모든 실수
⑷ 6x-6>x@+3에서 -x@+6x-9>0
O 9
x y
3
y=x@-6x+9
양변에 -1을 곱하면 x@-6x+9<0 y=x@-6x+9로 놓으면 y={x-3}@
의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.
따라서 해는 x=3
166쪽 예제
4
⑴ x@-x>0에서 x{x-1}>0 / x<0 또는 x>1 yy ①
-3 1 4 5 x
②
① ①
①, ②의 공통부분은
-3<x<1 또는 4<x<5
유제
4-2
⑴ |x{x-2}-4|<4이므로 -4<x{x-2}-4<4-4<x{x-2}-4에서 x{x-2}>0 / x<0 또는 x>2 yy ① x{x-2}-4<4에서
x@-2x-8<0, {x+2}{x-4}<0 / -2<x<4 yy ②
-2 0 2 4 x
②
① ①
①, ②의 공통부분은
-2<x<0 또는 2<x<4
⑵ |x@-3|>1이므로
x@-3<-1 또는 x@-3>1
x@-3<-1에서 x@-2<0, {x+j2}{x-j2}<0 / -j2<x<j2 yy ①
x@-3>1에서 x@-4>0, {x+2}{x-2}>0 / x<-2 또는 x>2 yy ② ① 또는 ②이므로
x<-2 또는 -j2<x<j2 또는 x>2
유제
4-3
⑴ ! x>0일 때, yy ① {x+1}{x-2}<0 / -1<x<2①에서 생각하면 0<x<2
@ x<0일 때, yy ②
{-x-2}{x+1}<0, -{x+2}{x+1}<0 {x+2}{x+1}>0 / x<-2 또는 x>-1
②에서 생각하면 x<-2 또는 -1<x<0
!, @에서 x<-2 또는 -1<x<2
⑵ ! x>1일 때, yy ①
x@-1>x-1, x@-x>0, x{x-1}>0 / x<0 또는 x>1
①에서 생각하면 x>1
@ x<1일 때, yy ②
x@-1>-{x-1}, x@+x-2>0
{x+2}{x-1}>0 / x<-2 또는 x>1
②에서 생각하면 x<-2
!, @에서 x<-2 또는 x>1 x@-2x-35<0에서 {x+5}{x-7}<0
/ -5<x<7 yy ②
-5 0 1 7 x
① ①
②
①, ②의 공통부분은
-5<x<0 또는 1<x<7
⑵ |x@-4x-1|<4이므로 -4<x@-4x-1<4 -4<x@-4x-1에서
x@-4x+3>0, {x-1}{x-3}>0 / x<1 또는 x>3 yy ① x@-4x-1<4에서
x@-4x-5<0, {x+1}{x-5}<0 / -1<x<5 yy ②
-1 1 3 5 x
① ①
②
①, ②의 공통부분은
-1<x<1 또는 3<x<5
⑶ ! x>0일 때, yy ①
x@-x-2>0, {x+1}{x-2}>0 / x<-1 또는 x>2
①에서 생각하면 x>2
@ x<0일 때, yy ②
x@+x-2>0, {x+2}{x-1}>0 / x<-2 또는 x>1
②에서 생각하면 x<-2
!, @에서 x<-2 또는 x>2
유제
4-1
⑴ x@-7x+6>0에서 {x-1}{x-6}>0 / x<1 또는 x>6 yy ①x@-2x-8>0에서 {x+2}{x-4}>0 / x<-2 또는 x>4 yy ②
-2 1 4 6 x
② ②
① ①
①, ②의 공통부분은 x<-2 또는 x>6
⑵ 5x<x@+4에서
x@-5x+4>0, {x-1}{x-4}>0 / x<1 또는 x>4 yy ① x{x-2}<15에서
x@-2x-15<0, {x+3}{x-5}<0 / -3<x<5 yy ②
08. 부등식
77
167쪽 예제
5
⑴ x@-{a+1}x+a>0에서 {x-1}{x-a}>0 a<1일 때, x<a 또는 x>1
a>1일 때, x<1 또는 x>a
a=1일 때, {x-1}@>0에서 x=1인 모든 실수
⑵ x@-7x+10>0에서 {x-2}{x-5}>0 / x<2 또는 x>5 yy ① x@-2ax+2a-1<0에서
{x-1}{x-2a+1}<0 yy ②
! 2a-1>1일 때,
1 2 5 6 7 x
2a-1
②
① ①
6<2a-1<7, 7<2a<8 / 7 2<a<4
@ 2a-1<1일 때,
-1 0 1 2 5 x
2a-1
②
① ①
-1<2a-1<0, 0<2a<1 / 0<a<1 2
!, @에서 0<a<1 2 또는 7
2<a<4
note 2a-1=1이면 ②의 해는 x=1이므로 주어진 조건을 만족하지 않는다.
유제
5-1
⑴ a>0일 때, 양변을 a로 나누면 x@-x-2>0, {x+1}{x-2}>0 / x<-1 또는 x>2a<0일 때, 양변을 a로 나누면 x@-x-2<0, {x+1}{x-2}<0 / -1<x<2
a=0일 때, 0>0이므로 성립하지 않는다. 곧, 해는 없다.
⑵ x@+{a+2}x+2a>0에서 {x+2}{x+a}>0 -a<-2, 곧 a>2일 때 x<-a 또는 x>-2 -a>-2, 곧 a<2일 때 x<-2 또는 x>-a
-a=-2, 곧 a=2일 때 {x+2}@>0이므로 해는 모든 실수 유제
5-2
2x@-7x<0에서 x{2x-7}<0/ 0<x<7
2 yy ①
x@+{a-2}x-2a>0에서 {x-2}{x+a}>0 yy ②
! -a>2일 때, ②의 해는 x<2 또는 x>-a
0 1 2 x
-a
①
② ②
3 2& 4
①과 공통부분의 정수가 2개이려면 -a>3 / a<-3
@ -a<2일 때, ②의 해는 x<-a 또는 x>2
0-a 1 2 3 4 x
②
②
2&
①
①과 공통부분의 정수가 2개이려면 0<-a<1 / -1<a<0
# -a=2, 곧 a=-2이면 ②의 해는 x=2인 모든 실수이므로 연립부등식의 정수인 해는 0, 1, 3의 3개이다.
곧, 주어진 조건을 만족하지 않는다.
!, @, #에서 a<-3 또는 -1<a<0
168쪽 예제
6
⑴ 2x@-3x+p=0의 해가 -1, q이므로 근과 계수의 관계에서 -1+q=3
2 , -1\q=p 2 / q=5
2, p=-2q=-5
⑵ a<0이고 ax@+bx+c=0의 해가 -3, 2이므로 근과 계수의 관계에서
-3+2=-b
a , -3\2=c a / b=a, c=-6a yy ① ①을 bx@+ax+c+4a<0에 대입하면 ax@+ax-6a+4a<0, a{x@+x-2}<0 a{x+2}{x-1}<0
a<0이므로 {x+2}{x-1}>0 / x<-2 또는 x>1
유제
6-1
{a-1}x>a#-a에서 {a-1}x>a{a+1}{a-1}의 해가 x<6이므로a-1<0이고 x<a{a+1}
따라서 a{a+1}=6이므로
a@+a-6=0, {a+3}{a-2}=0 a-1<0이므로 a=-3
유제
6-2
a>0이고 ax@+5x+b=0의 해가 -2, 13 이므로 근 과 계수의 관계에서
-2+1 3=-5
a , -2\1 3=b
a 첫 번째 식에서
-5 3=-5
a / a=3 a=3을 두 번째 식에 대입하면
x>1이므로 1<x<5 3
@ x<1일 때, -x+1+2x-1<3 / x<3
x<1이므로 x<1
!, @에서 해는 x<5
3 이므로 구하는 정수 x의 최댓값은 1이다.
04
절댓값 기호를 없애면 -b<2x-a<b / a-b2 <x<a+b 2 주어진 부등식의 해가 -2<x<4이므로 a-b
2 =-2, a+b 2 =4 두 식을 연립하여 풀면 a=2, b=6
05
⑴ 5+4x-x@<2{x-3}에서 x@-2x-11>0 x@-2x-11=0의 해가 x=1-2j3이므로x<1-2j3 또는 x>1+2j3 yy ① 2{x-3}<6{x+1}-x@에서 x@-4x-12<0
{x+2}{x-6}<0 / -2<x<6 yy ② ①, ②의 공통부분은 1+2j3<x<6
⑵ |x@-10x|<4x-24에서 (좌변)>0이므로
4x-24>0 / x>6 yy ① 주어진 부등식의 절댓값 기호를 없애면
-{4x-24}<x@-10x<4x-24 -{4x-24}<x@-10x에서 x@-6x-24>0 x@-6x-24=0의 해가 x=3-j33k이므로
x<3-j33k 또는 x>3+j33k yy ② x@-10x<4x-24에서 x@-14x+24<0
{x-2}{x-12}<0 / 2<x<12 yy ③ ①, ②, ③의 공통부분은 3+j33k<x<12
다른 풀이 ! x@-10x>0일 때, yy ① x@-10x<4x-24, x@-14x+24<0 {x-2}{x-12}<0 / 2<x<12
①에서 생각하면 10<x<12
@ x@-10x<0일 때, yy ② -{x@-10x}<4x-24, x@-6x-24>0 / x<3-j33k 또는 x>3+j33k
②에서 생각하면 3+j33k<x<10
!, @에서 3+j33k<x<12
06
x@+x-6>0에서 {x+3}{x-2}>0 / x<-3 또는 x>2 yy ① |x-a|<2에서 -2<x-a<2 / a-2<x<a+2 yy ② ①, ②의 공통부분이 있으려면 다음 그림에서01
⑴ 작은 수끼리 더하면 최소이고, 큰 수끼리 더하면 최대이 므로-2+2<x+y<1+4 / 0<x+y<5
⑵ 작은 수에서 큰 수를 빼면 최소이고, 큰 수에서 작은 수를 빼 면 최대이므로
-2-4<x-y<1-2 / -6<x-y<-1
다른 풀이 -4<-y<-2이므로
-2-4<x-y<1-2 / -6<x-y<-1
⑶ 절댓값이 가장 큰 음수가 최소이고, 절댓값이 가장 큰 양수가 최대이므로
-2\4<xy<1\4 / -8<xy<4
02
2{x+4}>3x+2에서 2x+8>3x+2 -x>-6 / x<6 yy ① 4x-1>5x+a에서-x>a+1 / x<-a-1 yy ②
①, ②의 공통부분이 x<4이므로 -a-1=4 / a=-5
03
! x>1일 때, x-1+2x-1<3, 3x<5 / x<53
01
⑴ 0<x+y<5 ⑵ -6<x-y<-1 ⑶ -8<xy<402
①03
③04
a=2, b=605
⑴ 1+2j3<x<6 ⑵ 3+j33k<x<1206
a<-1 또는 a>007
⑴ 4 ⑵ -408
-1<x<309
④10
a=-13 , b=-20311
⑴ 3<a<4 ⑵ a<412
③169~170쪽 연습 문제
-2 3=b
3 / b=-2
유제
6-3
a<0이고 ax@+bx+c=0의 해가 -1, 3이므로 근과 계수의 관계에서-1+3=-b
a , -1\3=c a / b=-2a, c=-3a yy ①
①을 cx@+bx+a>0에 대입하면
-3ax@-2ax+a>0, -a{3x@+2x-1}>0 -a{x+1}{3x-1}>0
-a>0이므로 {x+1}{3x-1}>0 / x<-1 또는 x>1
3
08. 부등식
79
a-2 a+2
-3 2 x
①
①
②
a-2<-3 또는 2<a+2 / a<-1 또는 a>0
07
Ax>B에서 A=0, B>0이면 해가 없다.A=0, B<0이면 해는 모든 실수 부등식을 정리하면 {a@-16}x>a+2
⑴ 해가 없으면 a@-16=0이고 a+2>0 / a=4
⑵ 해가 모든 실수이면 a@-16=0이고 a+2<0 / a=-4
08
[x]의 값의 범위부터 구한다.6[x]@-5[x]-21<0에서
{2[x]+3}{3[x]-7}<0 / -3
2<[x]<7 3 [x]는 정수이므로 [x]=-1, 0, 1, 2
[x]=-1일 때, -1<x<0 [x]=0일 때, 0<x<1 [x]=1일 때, 1<x<2 [x]=2일 때, 2<x<3 / -1<x<3
09
{x-a}@>0의 해는 x=a인 모든 실수이다.`f{x}>0의 해가 x=2이므로
O 2 8
x y=f{x}
y
f{x}=a{x-2}@ {a>0}
으로 놓을 수 있다.
`f{0}=8이므로 4a=8 / a=2 따라서 f{x}=2{x-2}@이므로 f{5}=2\{5-2}@=18
10
연립부등식의 해를 구한 다음 a<x<b hjk {x-a}{x-b}<0임을 이용한다.x@-6x+5<0에서 {x-1}{x-5}<0
/ 1<x<5 yy ①
x@-2x-8>0에서 {x+2}{x-4}>0
/ x<-2 또는 x>4 yy ②
①, ②의 공통부분은 4<x<5
해가 4<x<5이고, x@의 계수가 1인 이차부등식은
{x-4}{x-5}<0 / x@-9x+20<0 yy ③ 부등식 ③과 부등식 ax@+3x+b>0 yy ④ 의 해가 같으므로 a<0이다.
③에 a를 곱하면 ax@-9ax+20a>0이고 ④와 비교하면 3=-9a, b=20a / a=-1
3 , b=-20 3
note ax@+3x+b>0에서 a<0이고, ax@+3x+b=0의 해가 4, 5이므로 근과 계수의 관계에서 4+5=-3
a , 4\5=b
a 임을 이용하 여 a, b의 값을 구해도 된다.
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⑴ y=f{x}의 그래프는 축 x=-2에 대칭이므로 그래프가 x 축과 만나는 나머지 한 점의 x좌표는 -6이다.따라서 방정식 f{x}=0의 해는 x=-6 또는 x=2 172쪽 개념 확인