-9
x+y=8 yy ①
y+z=6 yy ②
z+x=4 yy ③
①+②+③을 하면 2x+2y+2z=18
145쪽 개념 확인
02 연립방정식
07. 여러 가지 방정식
65
유제
5-2
⑴ -2x@-5xy+2y@=0 yy ①xy=4 yy ②
①에서 {2x-y}{x-2y}=0 / y=2x 또는 x=2y
y=2x를 ②에 대입하면 x\2x=4 / x=-j2 y=2x이므로 -x=j2
y=2j2 또는 -x=-j2 y=-2j2 x=2y를 ②에 대입하면 2y\y=4 / y=-j2 x=2y이므로 -x=2j2
y=j2 또는 -x=-2j2 y=-j2
⑵ -x@+xy-2y=-2 yy ①
x@-y@=0 yy ②
②에서 {x+y}{x-y}=0 / y=-x 또는 y=x y=-x를 ①에 대입하면
x@-x@+2x=-2 / x=-1 y=-x이므로 -x=-1
y=1
y=x를 ①에 대입하면 x@+x@-2x=-2 x@-x+1=0 / x=1-j3i
2
y=x이므로
x= 1+j3 i2 y= 1+j3 i2
또는
x= 1-j3 i2 y= 1-j3 i2
147쪽 예제
6
⑴ ( -9
2x+y+z=-2 yy ①
2x+3y-z=-10 yy ②
x-4y+3z=13 yy ③
①+②를 하면 4x+4y=-12
/ x+y=-3 yy ④
①\3-③을 하면 5x+7y=-19 yy ⑤ ④\5-⑤를 하면 -2y=4 / y=-2 y=-2를 ④에 대입하면 x=-1
x=-1, y=-2를 ①에 대입하면 -2-2+z=-2 / z=2
⑵ x, y, a에 대한 연립방정식으로 보고 정리하면
( -9
x+2y-a=0 yy ①
2x+3y-2a=-2 yy ②
2x-y+a=-1 yy ③
①\2-②를 하면 y=2
y=2를 ①에 대입하면 x+4-a=0 yy ④
y=2를 ③에 대입하면 2x-2+a=-1 yy ⑤ ④, ⑤를 연립하여 풀면 x=-1, a=3
유제
6-1
( -9
2x-3y-2z=-2 yy ① x+y+2z=7 yy ② 3x-4y+z=2 yy ③
①+②를 하면 3x-2y=5 yy ④
①+③\2를 하면 8x-11y=2 yy ⑤
④\11-⑤\2를 하면 17x=51 / x=3 x=3을 ④에 대입하면 y=2
x=3, y=2를 ①에 대입하면 6-6-2z=-2 / z=1
유제
6-2
x=1, y=3 z=-2를 주어진 방정식에 각각 대입하면 a+3b-2=5, 1+3b-2c=-2, b+3c+2a=18 정리하면( -9
a+3b=7 yy ①
3b-2c=-3 yy ②
2a+b+3c=18 yy ③
①\2-③을 하면 5b-3c=-4 yy ④
②\3-④\2를 하면 -b=-1 / b=1 b=1을 ①에 대입하면 a=4
b=1을 ②에 대입하면 c=3
148쪽 예제
7
⑴ x@+y@={x+y}@-2xy이므로 x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은
-a@-2b=5 yy ① b-a=-3 yy ② ②에서 b=a-3을 ①에 대입하면
a@-2{a-3}=5, a@-2a+1=0, {a-1}@=0 / a=1, b=-2
곧, x+y=1, xy=-2이므로 x, y는 이차방정식 t @-t-2=0의 해이다.
{t+1}{t-2}=0에서 이 방정식의 해는 -1 또는 2이므로 -x=-1
y=2 또는 -x=2 y=-1
다른 풀이 x+y=1, xy=-2에서 y=1-x를 xy=-2에 대입하면 x{1-x}=-2, x@-x-2=0
{x+1}{x-2}=0 / x=-1 또는 x=2 y=1-x이므로 -x=-1
y=2 또는 -x=2 y=-1
⑵ -x+y=2 yy ①
x@+y@+xy=k yy ②
①에서 y=2-x를 ②에 대입하면 x@+{2-x}@+x{2-x}=k / x@-2x+4-k=0 yy ③ 이 식의 해가 하나이므로
D
4={-1}@-{4-k}=0 / k=3 이때 ③은 x@-2x+1=0
{x-1}@=0 / x=1 (중근) y=2-x이므로 -x=1
y=1
유제
7-1
x+y=a, xy=b로 놓으면 주어진 연립방정식은 -a@-b=7 yy ①b+2a=1 yy ②
①+②를 하면 a@+2a=8
a@+2a-8=0, {a+4}{a-2}=0 / a=-4 또는 a=2
a=-4, a=2를 ②에 대입하면 b=9, b=-3
a=-4, b=9, 곧 x+y=-4, xy=9일 때 x, y는 이차방정식 t @+4t+9=0의 해이다.
이 방정식의 해는 -2-12@-93=-2-j5i이므로 -x=-2+j5i
y=-2-j5i 또는 -x=-2-j5i y=-2+j5i
a=2, b=-3, 곧 x+y=2, xy=-3일 때 x, y는 이차방정식 t @-2t-3=0의 해이다.
{t+1}{t-3}=0에서 이 방정식의 해는 -1 또는 3이므로 -x=-1
y=3 또는 -x=3 y=-1
다른 풀이 a=-4, b=9일 때, x+y=-4, xy=9 y=-x-4를 xy=9에 대입하면 x{-x-4}=9, x@+4x+9=0 / x=-2-12@-93=-2-j5i y=-x-4이므로 -x=-2+j5i
y=-2-j5i 또는 -x=-2-j5i y=-2+j5i a=2, b=-3일 때,
x+y=2, xy=-3
y=-x+2이므로 xy=-3에 대입하면 x{-x+2}=-3, x@-2x-3=0
{x+1}{x-3}=0 / x=-1 또는 x=3 y=-x+2이므로 -x=-1
y=3 또는 -x=3 y=-1
유제
7-2
-x+y=k2x@-y@+4x=-2-2k@ yy ①yy ②①에서 y=k-x를 ②에 대입하면 2x@-{k-x}@+4x=-2-2k@
/ x@+2{k+2}x+k@+2=0
x가 실수이면 y도 실수이므로 이 방정식의 해는 허근이다.
D
4={k+2}@-{k@+2}<0 4k+2<0 / k<-1
2
149쪽 예제
8
x@-2xy+y@+x@-2x+1=0에서 {x-y}@+{x-1}@=0
x-y, x-1은 실수이므로 x-y=0, x-1=0 / x=1, y=1
다른 풀이 x에 대하여 정리하면
2x@-2{y+1}x+y@+1=0 yy ① x가 실수이므로
D
4=9-{y+1}0@-2{y@+1}>0
-y@+2y-1>0, y@-2y+1<0 / {y-1}@<0 y가 실수이므로 y-1=0 / y=1
y=1을 ①에 대입하면 2x@-4x+2=0, {x-1}@=0 / x=1
유제
8-1
⑴ x@+2y@+4x-4y+6=0에서 x@+4x+4+2y@-4y+2=0 / {x+2}@+2{y-1}@=0x+2, y-1은 실수이므로 x+2=0, y-1=0 / x=-2, y=1
⑵ x에 대하여 정리하면
x@-2{y+1}x+2y@+2=0 yy ① x가 실수이므로
D
4 =9-{y+1}0@-{2y@+2}
=-y@+2y-1=-{y-1}@>0 곧, {y-1}@<0이므로 y=1
y=1을 ①에 대입하면 x@-4x+4=0, {x-2}@=0 / x=2
다른 풀이 ①에서
x@-2{y+1}x+{y+1}@-{y+1}@+2y@+2=0 9x-{y+1}0@+y@-2y+1=0
/ {x-y-1}@+{y-1}@=0
07. 여러 가지 방정식
67
x-y-1, y-1은 실수이므로 x-y-1=0, y-1=0 / x=2, y=1
150쪽 예제
9
⑴ x@-xy=2에서 x{x-y}=2
x, x-y는 정수이므로 가능한 값은 다음 표와 같다.
x 1 2 -1 -2
x-y 2 1 -2 -1
/ -x=1
y=-1, -x=2
y=1, -x=-1
y=1 , -x=-2 y=-1
⑵ 주어진 식의 양변에 6을 더하면 {x-2}{y-3}=8
곱해서 8이 되는 두 정수는 다음 표와 같다.
x-2 1 2 4 8 -1 -2 -4 -8
y-3 8 4 2 1 -8 -4 -2 -1
이 중 x, y가 자연수인 경우를 찾으면 -x=3
y=11, -x=4 y=7, -x=6
y=5, -x=10 y=4
note x-2는 -2보다 큰 정수, y-3은 -3보다 큰 정수임을 이용해도 된다.
⑶ x@-{m-3}x+2m-1=0의 두 근을 a, b {a<b}라 하면 근과 계수의 관계에서
a+b=m-3 yy ① ab=2m-1 yy ② ①\2-②를 하면
2a+2b-ab=-5, ab-2a-2b=5 / {a-2}{b-2}=5+4=9
a, b가 정수이므로 가능한 값은 다음 표와 같다.
a-2 1 3 9 -1 -3 -9
b-2 9 3 1 -9 -3 -1
a-2<b-2이므로 -a=3
b=11, -a=5
b=5, -a=-1
b=-1, -a=-7 b=1 ①에서 m=a+b+3이므로 정수 m의 값은 17, 13, 1, -3
유제
9-1
⑴ y@-2xy-9=0에서 y{y-2x}=9 y, y-2x는 정수이므로 가능한 값은 다음 표와 같다.y 1 3 9 -1 -3 -9
y-2x 9 3 1 -9 -3 -1
/ -x=-4 y=1 , -x=0
y=3, -x=4 y=9, -x=4
y=-1, -x=0
y=-3, -x=-4 y=-9
⑵ 주어진 식의 양변에서 4를 빼면 {x+2}{y-2}=-4
x+2, y-2가 정수이므로 가능한 값은 다음 표와 같다.
x+2 1 2 4 -1 -2 -4
y-2 -4 -2 -1 4 2 1
/ -x=-1 y=-2, -x=0
y=0, -x=2 y=1, -x=-3
y=6 , -x=-4
y=4 , -x=-6 y=3 note xy-2x+2y=0에서
x{y-2}+2y=0, x{y-2}+2{y-2}=-4 / {x+2}{y-2}=-4
유제
9-2
x@+{m-2}x+m+3=0의 두 근을 a, b {a<b}라 하면 근과 계수의 관계에서a+b=-m+2 yy ① ab=m+3 yy ②
①+②를 하면
a+b+ab=5 / {a+1}{b+1}=6 a, b가 정수이므로 가능한 값은 다음 표와 같다.
a+1 1 2 3 6 -1 -2 -3 -6
b+1 6 3 2 1 -6 -3 -2 -1
a+1<b+1이므로 -a=0
b=5, -a=1
b=2, -a=-4
b=-3, -a=-7 b=-2
①에서 m=2-{a+b}이므로 m=-3, -1, 9, 11 따라서 구하는 자연수 m의 값은 9, 11이다.
151쪽 예제
10
A
B
D C
G E 2x
2y y
7
7 4
4
x
직각삼각형 AGE에서 4x@+y@=16 yy ① 직각삼각형 BDG에서 x@+4y@=49 yy ② 직각삼각형 ABG에서 4x@+4y@=ABZ @ yy ③
①+②를 하면 5x@+5y@=65
/ x@+y@=13 yy ④
④를 ③에 대입하면 ABZ @=4\13 / ABZ=2j13k 또 ①-④를 하면 3x@=3 / x=1 (∵ x>0) x=1을 ④에 대입하면 y@=12 / y=2j3 (∵ y>0) 따라서 A에서 그은 중선의 길이는 3x=3이고,
B에서 그은 중선의 길이는 3y=6j3이다.
유제
10-1
원의 반지름의 길이를x`cm y`cm r`cm
r`cm라 하면
pr@=6p / r=j6 (∵ r>0) 직사각형의 둘레의 길이가 12`cm이므로 직사각형의 이웃한 두 변의 길이를 x`cm, y`cm라 하면
2{x+y}=12 / x+y=6 yy ① 또 대각선이 원의 지름이므로 x@+y@={2j6}@=24 {x+y}@=x@+y@+2xy에서
6@=24+2xy / xy=6 yy ②
①에서 y=6-x를 ②에 대입하면
x{6-x}=6, x@-6x+6=0 / x=3-j3 y=6-x이므로 -x=3+j3
y=3-j3 또는 -x=3-j3 y=3+j3
따라서 이웃하는 두 변의 길이는 {3-j3} cm, {3+j3} cm이다.
유제
10-2
직각삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 길이를 x`cm, y`cm라 하자.피타고라스 정리에서 x@+y@=13 yy ①
또 빗변이 아닌 두 변의 길이를 각각 1`cm 늘인 후 직각삼각형의 넓이가 처음의 2배가 되었으므로
2\1
2\x\y=1
2\{x+1}\{y+1}
2xy=xy+x+y+1
/ xy-{x+y}-1=0 yy ②
①에서 {x+y}@-2xy=13이므로 x+y=a, xy=b라 하면
a@-2b=13 yy ③
②에서 b-a-1=0, 곧 b=a+1이므로 ③에 대입하면 a@-2{a+1}=13, a@-2a-15=0
{a+3}{a-5}=0 / a=-3 또는 a=5 그런데 a는 두 변의 길이의 합이므로 양수이다.
/ a=5, b=6
곧, x+y=5, xy=6이므로 x, y는 이차방정식 t @-5t+6=0의 해이다.
{t-2}{t-3}=0에서 이 방정식의 해는 2 또는 3이므로 -x=2
y=3 또는 -x=3 y=2
따라서 구하는 직각삼각형의 빗변이 아닌 두 변의 길이는 2 cm, 3 cm이다.
01
⑴ -2x-3y=14x@+y@=5 yy ①yy ②①에서 2x=1+3y를 ②에 대입하면 {1+3y}@+y@=5 5y@+3y-2=0, {y+1}{5y-2}=0
/ y=-1 또는 y=2 5 y=-1일 때 x=-1, y=2
5 일 때 x=11 10
/ -x=-1 y=-1 또는
( -9
x=11 10 y=2
5
⑵ -x@-y@=0 yy ① x@+3xy+5y@=27 yy ② ①에서 {x+y}{x-y}=0 / x=-y 또는 x=y
x=-y를 ②에 대입하면 y@-3y@+5y@=27, y@=9 / -x=-3
y=3 또는 -x=3 y=-3
x=y를 ②에 대입하면 y@+3y@+5y@=27, y@=3 / -x=-j3
y=-j3 또는 -x=j3 y=j3
02
⑴( -9
x+y+z=2 yy ①
2x-y-3z=-3 yy ② x+2y+3z=5 yy ③ ②+③을 하면 3x+y=2 yy ④ ①\3+②를 하면 5x+2y=3 yy ⑤