유형편

(1)

Ⅰ.통계

유형편 ^라이트 ^{Ⅰ. 통계}

유 형 편

라이트 P. 6

1 25개 2 10세, 58세 3풀이 참조 4 2

5 1, 2, 5 6 20명 7 5명 8 34회

유형 1

나이가 가장 적은 주민의 나이는 10세, 가장 많은 주민의 나 이는 58세이다.

줄기가 3인 잎은 줄기 3의 세로 선의 오른쪽에 있는 수이므 로 1, 2, 5이다.

전체 학생 수는 잎의 총 개수와 같으므로 4+6+7+3=20(명)

제기차기 횟수가 15회 이상 25회 미만인 학생 수는 16회, 17회, 20회, 23회, 24회의 5명이다.

제기차기 횟수가 가장 많은 학생의 횟수는 35회, 제기차기 횟수가 가장 적은 학생의 횟수는 1회이므로 구하는 제기차기 횟수의 차는

35-1=34(회)

8 7 6 5 3

2

도수분포표에서 계급의 개수는 0^이상~4^미만, 4~8, 8~12,

12~16, 16~20의 5개이고, 계급의 크기는

4-0=8-4=12-8=16-12=20-16=4(시간)이다.

대출한 책의 수가 8권인 학생은 6권 이상 12권 미만인 계급 에 속한다.

(계급값)=

= =27(권)

도수가 10명인 계급이 가장 크므로 구하는 계급은 18권 이상 24권 미만이다.

대출한 책의 수가 18권 이상 24권 미만인 학생이 10명, 24권 이상 30권 미만인 학생이 8명이므로 대출한 책의 수가 18권 이상인 학생 수는 10+8=18(명)이다.

대출한 책의 수가 12권 이상 18권 미만인 학생은 6명이므로 전체의 6 _100=20 (%)이다.

30

8 7 6

54 2 24+30

5

2

4

1 ^{자료의 정리} 3

P. 8 1 86.8점 2 5, 9, 11, 16, 9, 50, 8.3

3풀이 참조 4 A=40, B=392 5 9.8점 6 14, 16, 18, 20, 22, 20, 17.3 7 80점 유형 3

(평균)=

=

=86.8(점) 434

5

78+86+94+80+96

1

5

P. 7 1 30명 2 3시간, 18시간 3표는 풀이 참조, 5, 4

4 6권 이상 12권 미만 5 27권

6 18권 이상 24권 미만 7 18명 8 20 %

유형 2

줄기 잎

1 0 1 3 5 6 7 2 1 3 4 4 9 3 3 5 6 7 7 8 8 4 0 1 2 4 8 5 7 8

주민들의 나이

(1|0은 10세)

봉사 활동 시간(시간)

110^이상~4^미만1 1

10 12 5 2 114^이상~8^이상1

118^이상~12^이상 112^이상~16^이상 116^이상~20^이상

합계 30

도수(명)

변량의 개수가 30개이므로 전체 학생 수는 30명이다.

봉사 활동 시간이 가장 적은 학생의 시간은 3시간, 가장 많은 학생의 시간은 18시간이다.

2

1

(2)

정답과해설_ 유형편라이트

(평균)=

= =8.3(권)

A=3+10+16+8+3=40 B=6+60+160+112+54=392

(평균)=

= =

=9.8(점)

계급 13^이상~15^미만, 15~17, 17~19, 19~21, 21~23의 계급값이 차례로 14회, 16회, 18회, 20회, 22회이므로 (평균)=

=

=17.3(회)

∴ (평균)=2400=80(점) 30

7

346 20

14_2+16_7+18_8+20_2+22_1 20

6

392 40 B A

{(계급값)_(도수)의 총합}

(도수의 총합)

5 4 3

415 50

6_5+7_9+8_11+9_16+10_9

2

50

수학 성적(점) 50^이상~60^미만 60^이상~70^이상 70^이상~80^이상 80^이상~90^이상 90^이상~100^이

합계

2 4 9 7 8 30

55 65 75 85 95

55_2=110 65_4=260 75_9=675 85_7=595 95_8=760

2400 (계급값)_(도수) 도수(명) 계급값(점)

P. 9 1풀이 참조 2 30분, 6개 3 165분

4 30명 5 900 6 10 %

유형 4

계급의 크기는 직사각형의 가로의 길이와 같으므로 30-0=60-30=y=180-150=30(분)이고 계급의 개수는 직사각형의 개수와 같으므로 0^이상~30^미만, 30~60, y, 150~180의 6개이다.

도수가 가장 작은 계급은 150분 이상 180분 미만이므로 (계급값)= = =165(분)

3+5+9+10+2+1=30(명)

(직사각형의 넓이의 합)=(계급의 크기)_(도수의 총합)

=30_30=900

컴퓨터 사용 시간이 120분 이상 180분 미만인 학생은 2+1=3(명)이므로

전체의 3 _100=10 (%)이다.

30

6 5 4

330 2 150+180

2

3

2

240 245 250 255 260 265 270(mm) 0

2 4 6 8 10 12

1

(명)

P. 10 1그림은 풀이 참조, 210 2그림은 풀이 참조, 62 3 4만 원, 6개 4 18만 원 5 40명 6 30 % 7 6, 10, 14, 11, 7, 5, 40, 17

유형 5

(도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)

=(히스토그램의 각 직사각형의 넓이의 합)

=(계급의 크기)_(도수의 총합)

=5_(3+8+13+10+6+2)

=5_42=210

70 40 45 50 55 60 65 0

2 4 6 8 10 12

(kg)

1

(명) 듣기 평가 점수(점)

10^이상~4^미만 14^이상~8^이상 18^이상~12^이 12^이상~16^이 16^이상~20^이

합계

3 10 16 8 3 A

2 6 10 14 18

2_3=6 6_10=60 10_16=160 114_8=112 18_3=54

B (계급값)_(도수) 도수(명) 계급값(점)

(3)

Ⅰ.통계

유 형 편

(도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이) 라이트

=2_(5+8+10+6+2)

=2_31

=62

계급의 크기는 8-4=12-8=y=28-24=4(만 원)이고 계급의 개수는 4^이상~8^미만, 8~12, 12~16, 16~20, 20~24, 24~28의 6개이다.

도수가 가장 큰 계급은 16만 원 이상 20만 원 미만이므로 (계급값)= = =18(만 원)

3+4+10+11+7+5=40(명)

저축한 금액이 20만 원 이상 28만 원 미만인 학생은 7+5=12(명)이므로

전체의 _100=30 (%)이다.

(평균)`

=

=17(만 원) 680

40

6_3+10_4+14_10+18_11+22_7+26_5 40

7

12 40

6

5

36 2 16+20

2

4

3

28 18

2 0 4 6 8 10

20 22 24 26 (일)

(æ)

2

관람 시간이 많은 쪽에서 5번째인 관람객은 40분 이상 50

분 미만인 계급에 속하므로 (계급값)= =45(분)

관람 시간이 30분 미만인 관람객은 3+6=9(명)이므로 전체의 _100=36 (%)이다.

(평균)=

=

=33.8(분)

ㄷ. 히스토그램에서 각 계급에 속하는 변량의 정확한 값은 알 수 없으므로 우유를 가장 많이 마시는 학생이 마신 우유의 양은 알 수 없다.

2+6+14+11+7=40(명)

영어 성적이 70점 미만인 학생이 2+6=8(명)이므로 성적이 낮은 쪽에서 9번째인 학생은 70점 이상 80점 미만 인 계급에 속한다.

따라서 이 계급의 계급값은

=75(점)

영어 성적이 80점 이상인 학생은 11+7=18(명)이므로 전체의 _100=45 (%)이다.

(평균)=

=

=78.75(점)

ㄱ. 방문 횟수가 24회 이상인 학생은 3+2=5(명)이다.

ㄴ, ㄹ. 전체 학생 수는 2+5+7+11+5+3+2=35(명)이 고 방문 횟수가 12회 미만인 학생은 2+5=7(명)이므로 전체의 _100=20 (%)이다.

ㄷ. 방문 횟수가 13회인 학생이 속하는 계급은 12회 이상 16회 미만이므로 이 계급의 계급값은 =14(회) 이다.

12+16 2 7

35

10

3150 40

55_2+65_6+75_14+85_11+95_7

9

40

18 40

8

70+80 2

7 6 5

845 25

15_3+25_6+35_8+45_7+55_1

4

25

9 25

3

40+50 2

2

P. 11

1 25명 2 45분 3 36 % 4 33.8분

5ㄱ, ㄴ, ㄹ 6 40명 7 75점 8 45 % 9 78.75점 10ㄱ, ㄹ

한번더연습

3+6+8+7+1=25(명)

1

(4)

⑴ 잎이 가장 많은 줄기는 7이므로 학생 수가 가장 많은 점 수대는 70점대이다.

⑵ 수학 성적이 높은 학생의 성적부터 차례로 나열하면 98점, 97점, 95점, 89점, y

이므로 수학 성적이 높은 쪽에서 4번째인 학생의 수학 성 적은 89점이다.

⑶ 수학 성적이 77점 이상 84점 이하인 학생 수는 77점, 78점, 78점, 79점, 79점, 81점, 82점, 83점, 84점, 84점 의 10명이다.

① 잎이 가장 많은 줄기는 잎의 개수가 7개인 줄기 3이다.

② 전체 학생 수는 잎의 총 개수와 같으므로 4+5+7+4=20(명)

③ 인터넷 사용 시간이 가장 긴 학생의 인터넷 사용 시간은 줄기가 4이고 잎이 8이므로 48분이다.

④ 인터넷 사용 시간이 34분 이상인 학생 수는 34분, 35분, 36분, 37분, 40분, 41분, 45분, 48분의 8명이므로 전체의 _100=40(%)이다.

⑤ 인터넷 사용 시간이 많은 학생의 인터넷 사용 시간부터 차 례로 나열하면

48분, 45분, 41분, y

이므로 인터넷 사용 시간이 많은 쪽에서 3번째인 학생의 인터넷 사용 시간은 41분이다.

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

8 20

2

1

쌍둥이기출문제 P. 12~15

1⑴ 70점대 ⑵ 89점 ⑶ 10명 2④ 3④ 4② 5⑴ 0.5 kg ⑵ 5개 ⑶ 2명 ⑷ 20 % 6⑤ 7⑴ 풀이 참조 ⑵ 24분

830 m, 과정은 풀이 참조

9⑴ 32명 ⑵ 25 % ⑶ 7.5권 1050 % 11⑴ 20명 ⑵ 77.5회 ⑶ 30 % 12④ 13⑴ 9명 ⑵ 40 % 14 9명, 과정은 풀이 참조 15⑴ 25명 ⑵ 15명 16 12명

1~2 자료 ⇨ 줄기와 잎 그림

⇨

줄기 ` 잎

1 0 3 7 2 1 2 2 6 8 3 0 5

(1|0은 10회)

26 10 13 22 21 22 17 30 28 35 21 30

(단위：회)

변량 세로 선

② 각 계급의 가운데 값을 계급값이라 한다.

⑴ 2.5-2.0=3.0-2.5=y=4.5-4.0=0.5(kg)

⑵ 2.0^이상~2.5^미만, 2.5~3.0, 3.0~3.5, 3.5~4.0, 4.0~4.5 의 5개

⑶ 몸무게가 2.5kg 이상 3.0kg 미만인 신생아 수는 15-(1+5+4+3)=2(명)

⑷ 몸무게가 3.0kg 미만인 신생아는 1+2=3(명)이므로 전체의 _100=20(%)이다.

① 10^이상~20^미만, 20~30, 30~40, 40~50, 50~60,

①60~70의 6개

② 20-10=30-20=y=70-60=10(개)

③ 도수가 9회인 계급은 40개 이상 50개 미만이므로 (계급값)= = =45(개)

④ 던진 공의 개수가 40개 미만인 경기 수는

`2+3+6=11(회)

⑤ 도수가 가장 작은 계급은 도수가 2회인 계급이므로 10개 이상 20개 미만이다.

따라서 옳지 않은 것은 ⑤`이다.

90 2 40+50

2

6

3 15

5

4

3~6 도수분포표

⑴ 계급의 크기：20-10=30-20=40-30=10(회)

⑵ 계급의 개수：10^이상~20^미만, 20~30, 30~40의 3개

⑶ 횟수가 10회 이상 20회 미만인 계급의 계급값

：10+20=15(회) 2

횟수(회) 도수(명) 3 5 2 10 10^이상~20^미만 20^이상~30^이상 30^이상~40^이상

합계 계급 도수

7~8 도수분포표에서 평균 구하기

∴ (평균)=240=24(회) 10 횟수(회) 10^이상~20^미만 20^이상~30^이상 30^이상~40^이상

합계

3 5 2 10

15 25 35

15_3=45 25_5=125

35_2=70 240 (계급값)_(도수) 도수(명) 계급값(회)

(5)

Ⅰ.통계

유 형 편

라이트

⑴

⑵ (평균)= =24(분)

각 계급의 계급값이 차례로 22 m, 26 m, 30 m, 34 m, 38 m 이므로

(평균)= y`⁄

=

=30(m) y`¤

⑴ 전체 학생 수는

2+6+11+8+5=32(명)

⑵ 읽은 책이 6 권 미만인 학생은 2+6=8(명)이므로 전체의 _100=25 (%)이다.

⑶ (평균)`=

=

=7.5(권)

전체 학생 수는

2+5+9+12+8+4=40(명)

국사 성적이 70점 이상 90점 미만인 학생은 12+8=20(명)이므로

전체의 20_100=50 (%)이다.

40

10

240 32

3_2+5_6+7_11+9_8+11_5 32

8 32

9

1050 35

22_7+26_8+30_4+34_10+38_6 35

8

480 20

7

_{운동 시간(분)}

10^이상~10^미만 10^이상~20^이상 20^이상~30^이상 30^이상~40^이상 40^이상~50^이상

합계

3 2 10

4 1 20

5 15 25 35 45

35_3=15 15_2=30 25_10=250 335_4=140 45_1=45

480 (계급값)_(도수) 도수(명) 계급값(분)

⑴ 2+4+8+3+3=20(명)

⑵ 도수가 두 번째로 큰 계급은 75회 이상 80회 미만이므로 (계급값)= =77.5(회)

⑶ 1분당 맥박 수가 85회 이상인 학생은 3+3=6(명)이므로 전체의 _100=30 (%)이다.

① 20^이상~30^미만, 30~40, 40~50, 50~60, 60~70, 70~80의 6개

② 3+7+9+12+10+4=45(명)

③ 도수가 가장 큰 계급은 50분 이상 60분 미만이므로 (계급값)`= =55(분)

④ (도수분포다각형과 가로축으로 둘러싸인 부분의 넓이)

=10_45=450

⑤ TV 시청 시간이 60분 이상인 학생 수는 10+4=14(명)

따라서 옳지 않은 것은 ④`이다.

⑴ 35-(3+8+10+5)=9(명)

⑵ 키가 160 cm 이상 170 cm 미만인 학생이 9명, 170 cm 이상 180 cm 미만인 학생이 5명이므로 키가 160 cm 이 상인 학생은 9+5=14(명)이다.

따라서 전체의 _100=40 (%)이다.

전체 학생 수를 x명이라 하면 운동 시간이 6시간 이상 7시 간 미만인 학생이 7명으로 전체의 20 %이므로

_100=20 ∴ x=35(명) y`⁄

따라서 운동 시간이 7시간 이상 8시간 미만인 학생 수는 35-(1+5+7+9+4)=9(명)이다. y`¤

7 x

14

14 35

13

50+60 2

12

6 20

75+80 2

11

11~12 히스토그램 ⇨ 도수분포다각형

⑴ 히스토그램의 각 직사각형의 윗변의 중앙의 점을 차례로 선분으로 연결 ⇨ 도수분포다각형

⑵ 히스토그램과 도수분포표에서는 같은 정보를 얻을 수 있다.

10 20 30 40(회) 0

4 2 (명)

10 20 30 40(회) 0

4 2 (명)

⇨

9~10 도수분포표 ⇨ 히스토그램

횟수(회) 도수(명) 3 5 2 10 10^이상~20^미만 20^이상~30^이상 30^이상~40^이상

합계 0 10 20 30 40(회)

4 2 (명)

계급 (계급의 개수)

=(직사각형의 개수) 도수

(계급값)

=30+40(회) 2

계급의 크기

⇨

⁄ 도수와 계급값을 이용하여 평균을 구하는 식 세우기 60%

채점 기준 배점

¤ 공 던지기 기록의 평균 구하기 40%

⁄ 전체 학생 수 구하기 50%

¤ 운동 시간이 7시간 이상 8시간 미만인 학생 수 구하기 50%

(6)

⑴ 40-(3+6+4+2)=25(명)

⑵ 여행을 다녀온 횟수가 8회 이상 10회 미만인 학생 수를 x명이라 하면

_100=25

∴ x=10(명)

따라서 여행을 다녀온 횟수가 6회 이상 8회 미만인 학생 수는

25-10=15(명)

전체 학생 수를 x명이라 하면 미술 성적이 50점 미만인 학생 이 4+2=6(명)이므로

_100=15

∴ x=40(명)

따라서 미술 성적이 60점 이상 70점 미만인 학생 수는 40-(2+4+7+9+5+1)=12(명)

6 x

16

x 40

15

P. 16

1풀이 참조 2 1 3풀이 참조

4 4, 0.2, 20 5 B=0.15, C=5, D=2

6 0.3 7 15%

유형 6

상대도수의 총합은 항상 1이므로 A=1

2

1

_{줄넘기 기록(회)}

180^이상~100^미만 100^이상~120^이상 120^이상~140^이상 140^이상~160^이상 160^이상~180^이상 180^이상~200^이상

합계

4 6 16 14 8 2 50

;5¢0;=0.08

;5§0;=0.12

;5!0^;=0.32

;5!0$;=0.28

;5•0;=0.16

;5™0;=0.04 A 상대도수 도수(명)

국어 성적이 80점 이상 85점 미만인 계급의 도수가 4명이 고, 이 계급의 상대도수가 0.2이므로

=0.2

∴ A= =20 [참고] =4÷0.2=4÷

=4_

=20

B= =0.15

[다른 풀이] B=1-(0.2+0.3+0.25+0.1)

=0.15 C=20_0.25=5 D=20_0.1=2

도수가 가장 큰 계급은 85점 이상 90점 미만이므로 이 계급 의 상대도수는 0.3이다.

국어 성적이 75점 이상 80점 미만인 계급의 상대도수가 0.15이므로

전체의 0.15_100=15 (%)이다.

[다른 풀이] _100=15 (%) [참고] (백분율) =(상대도수)_100(%)

3 20

7

6

3

5

20

10 2

2 10 4

0.2 4 0.2 4

A

4

3

영화 관람 횟수(회) 110^이상~2^미만1 112^이상~4^이상1 114^이상~61^이상 116^이상~81^이상 118^이상~10^이상 110^이상~12^이상

합계

40_0.15=61 40_0.2=81 40_0.25=10 40_0.05=21 40_0.3=12 40_0.05=21

0.15 0.2 0.25 0.05 0.3 0.05 상대도수 도수(명)

40 1

P. 17 1풀이 참조 2 1 3 14 % 4풀이 참조

5 0.05 6 21명 7 20 % 8 15명

유형 7

(7)

Ⅰ.통계

유 형 편

라이트

상대도수의 총합은 항상 1이므로 A=1

몸무게가 55 kg 이상 60 kg 미만, 60 kg 이상 65 kg 미만 인 계급의 상대도수의 합은

`0.12+0.02=0.14이므로 전체의 0.14_100=14 (%)이다.

각 계급의 상대도수는 그 계급의 도수에 정비례하므로 도수 가 가장 작은 계급은 상대도수가 가장 작은 계급이다.

따라서 도수가 가장 작은 계급은 150 cm 이상 155 cm 미만 이므로 이 계급의 상대도수는 0.05이다.

상대도수가 가장 큰 계급의 상대도수는 0.35이고, 전체 학생 수는 60명이므로 이 계급의 도수는

60_0.35=21(명)

키가 150 cm 이상 155 cm 미만, 155 cm 이상 160 cm 미 만인 계급의 상대도수의 합은

0.05+0.15=0.2이므로 전체의 0.2_100=20 (%)이다.

키가 170 cm 이상 175 cm 미만, 175 cm 이상 180 cm 미 만인 계급의 상대도수의 합은

0.15+0.1=0.25이므로 60_0.25=15(명)

8 7 6 5

40 45

35 50 55 60 65 0

0.1 0.2 0.3

(

상대 도수)

(kg)

4 3 2

1

_{몸무게(kg)}

합계

4 9 50_0.34=17

13 50_0.12=6

1 50

0.08

;5ª0;=0.18 0.34

;5!0#;=0.26 0.12

;5¡0;=0.02 A 상대도수

도수(명) P. 18

1풀이 참조 2풀이 참조 3 68 % 4 A중학교 5`3개 6`B 중학교

유형 8

B 중학교에서 40분 이상인 계급의 상대도수의 합은 0.32+0.28+0.08=0.68이므로

전체의 0.68_100=68 (%)이다.

두 그래프에서 등교할 때 걸리는 시간이 20분 이상 30분 미 만인 계급의 상대도수가 A 중학교가 더 높으므로 이 계급에 속하는 학생의 비율은 A 중학교가 더 높다.

A 중학교보다 B 중학교의 상대도수가 더 큰 계급은 40분 이 상 50분 미만, 50분 이상 60분 미만, 60분 이상 70분 미만 의 3개이다.

B 중학교의 그래프가 A 중학교의 그래프보다 오른쪽으로 치우쳐 있으므로 등교할 때 걸리는 시간이 긴 학생은 B 중학 교가 A 중학교보다 상대적으로 더 많은 편이다.

6 5 4 3

0 (분) 0.1 0.2 0.3

(

상대 도수)

10 20 30 40 50 60 70

A중학교 B중학교

2 1

걸리는 시간(분)

합계

40 90 150 130 80 10 500

0.08

;5ª0º0;=0.18

;5!0%0);=0.32

;5!0#0);=0.26

;5•0º0;=0.16

;5¡0º0;=0.02 1

0.04

;4£0™0;=0.08

;4•0º0;=0.22

;4!0@0*;=0.32

;4!0!0@;=0.28

;4£0™0;=0.08 1

상대도수 상대도수

도수(명)

A 중학교 B 중학교

16 32 80 128 112 32 400 도수(명)

(8)

1⑴ 40명 ⑵ 0.2 2⑴ 20명 ⑵ 0.3 3⑴ 5 ⑵ ② ⑶ B=0.24, C=1

4⑴ 1 ⑵ ① ⑶ 2명 5⑴ 40명 ⑵ 0.1 ⑶ 40 %

6 64 %, 과정은 풀이 참조 7⑴ ④ ⑵ 50 % 8⑴ 4명 ⑵ 55 % 9⑴ 1학년 ⑵ 2개 10③, ⑤ 11⑴ A반 ⑵ 25명 ⑶ B반 12④, ⑤

⑴ 2+5+9+12+8+4=40(명)

⑵ 체육 실기 점수가 30점 이상 35점 미만인 학생은 8명이 므로 이 계급의 상대도수는

=0.2

⑴ 2+2+5+6+3+2=20(명)

⑵ 버스를 기다린 시간이 14분인 승객이 속하는 계급은 12분 이상 15분 미만이고, 이 계급의 승객은 6명이므로 이 계급의 상대도수는

=0.3

⑴ A=25-(2+7+6+4+1)=5

⑵ 5 =0.2 25

3

6 20

2

8 40

1

1~2 상대도수

⑴ 전체 도수에 대한 각 계급의 도수의 비율로, 각 계급의 도수를 도수의 총합으로 나눈 것, 즉

⑴(어떤 계급의 상대도수)=

⑵ 상대도수의 총합은 항상1이다.

⑶ 각 계급의 상대도수는 그 계급의 도수에 정비례한다.

(그 계급의 도수) (도수의 총합)

3~6 상대도수의 분포표

상대도수의 분포표 : 각 계급의 상대도수를 나타낸 표

+ +

=

=S=1 S

☆+△+

S S

△ S

☆ S 계급 도수 상대도수

S

△ S

☆ S

합계 1

☆

△

S

☆+△+ =S

(도수) (도수의 총합) (도수의 총합)_(상대도수)

⑶ B= =0.24

상대도수의 총합은 항상 1이므로 C=1

⑴ 상대도수의 총합은 항상 1이므로 A=1

⑵ 1-(0.15+0.15+0.25+0.1+0.05+0.1)=0.2

⑶ 20_0.1=2(명)

⑴ 기록이 17초 이상 18초 미만인 계급의 도수가 16명이 고, 이 계급의 상대도수가 0.4이므로

(전체 학생 수)= =40(명)

⑵ A= =0.1

⑶ 기록이 15초 이상 16초 미만, 16초 이상 17초 미만인 계급의 상대도수의 합은 0.1+0.3=0.4이므로

전체의 0.4_100=40(%)이다.

통학 거리가 1km 이상 2km 미만인 계급의 도수가 12명 이고, 이 계급의 상대도수가 0.24이므로

(전체 학생 수)= =50(명) y`⁄

통학 거리가 0 km 이상 1 km 미만인 계급의 상대도수는

=0.1 y`¤

통학 거리가 0 km 이상 1 km 미만, 1 km 이상 2 km 미 만, 2 km 이상 3 km 미만인 계급의 상대도수의 합은 0.1+0.24+0.3=0.64

따라서 통학 거리가 3 km 미만인 학생은 전체의

0.64_100=64(%) y`‹

⑴ 영어 성적이 70점 이상 80점 미만인 계급의 상대도수가 0.25이므로이계급의학생수는

40_0.25=10(명)

⑵ 영어 성적이 80점 이상 90점 미만, 90점 이상 100점 미 만인 계급의 상대도수의 합은

0.35+0.15=0.5이므로 전체의 0.5_100=50(%)이다.

7

5 50

12 0.24

6

4 40

16 0.4

5

4

6 25

7~8 상대도수의 분포를 나타낸 그래프

가로축에는 각 계급의 양 끝값을, 세로축에는 상대도수를 차례로 표시 하여 히스토그램이나 도수분포다각형과 같은 모양으로 나타낸 그래프

⁄ 전체 학생 수 구하기 30%

¤ 통학 거리가 0 km 이상 1 km 미만인 계급의 상대도

수 구하기 40%

‹ 통학 거리가 3 km 미만인 학생이 전체에서 차지하는

비율 구하기 30%

(9)

Ⅰ.통계

유 형 편

라이트

⑴ 독서 시간이 10시간 이상 12시간 미만인 계급의 상대도 수가 0.2이므로 이 계급의 학생 수는

20_0.2=4(명)

⑵ 독서 시간이 4시간 이상 6시간 미만, 6시간 이상 8시간 미만인 계급의 상대도수의 합은

0.25+0.3=0.55이므로

전체의 0.55_100=55 (%)이다.

각 계급의 상대도수를 구하면 다음 표와 같다.

⑴ 두 학년에서 읽은 책의 수가 6권 이상 8권 미만인 계급의 상대도수는 각각 다음과같다.

1학년 : 0.35, 2학년 : 0.34

따라서 이 계급의 상대도수는 1학년이 더 높으므로 읽은 책의 수가 6권 이상 8권 미만인 회원의 비율은 1학년이 2학년보다 더 높다.

⑵ 읽은 책의 수에 대한 회원의 비율이 1학년보다 2학년이 더 높은 계급은 2권 이상 4권 미만, 10권 이상 12권 미만 의 2개이다.

① A=25_0.2=5, B=25_0.12=3

② C= =0.15, D= =0.1

③ A, B 두 중학교에서 기록이 140 kg 이상 160 kg 미만인 학생 수는 각각다음과 같다.

A 중학교 : 5명, B 중학교 : 4명

즉, 이 계급의 A 중학교와 B 중학교의 학생 수는 다르다.

③ [참고] 상대도수는 도수의 총합에 대한 비율이므로 상대도수가 같더라도 도수의 총합이 다르면 그에 따른 도수도 달라 진다.

2 20 3

20

10

9

8

④ 두 중학교에서 기록이 160 kg 이상 180 kg 미만인 계급의

상대도수는각각 다음과같다.

A 중학교 : 0.16, B 중학교 : 0.1

③ 즉, 이 계급의 상대도수는 A 중학교가 더 높으므로 기록이 160 kg 이상 180 kg 미만인 학생의 비율은 A 중학교가 더 높다.

⑤ A 중학교 학생 중 기록이 140 kg인 학생이 속하는 계급 은 140 kg 이상 160 kg 미만이므로 이 계급의 상대도수 는 0.2이다.

따라서 옳지 않은 것은 ③, ⑤`이다.

⑴ A, B 두 반에서 봉사 활동 시간이 8시간 이상 12시간 미만인 계급의 상대도수는 각각 다음과 같다.

A반 : 0.28, B반 : 0.2

따라서 이 계급의 상대도수는 A반이 B반보다 더 높으므 로 봉사 활동 시간이 8시간 이상 12시간 미만인 학생의 비율은 A반이 B반보다 높다.

⑵ 계급값이 14시간인 계급은 12시간 이상 16시간 미만이 고, A반에서 이 계급의 상대도수는 0.32이므로 A반의 전체 학생 수는

=25(명)

⑶ B반의 그래프가 A반의 그래프보다 오른쪽으로 치우쳐 있으므로 봉사 활동 시간이 많은 학생은 B반이 A반보다 상대적으로 더 많다.

① 계급값이 17초인 계급은 16초 이상 18초 미만이고, 여 학생의 이 계급의 상대도수는 0.3이므로

이 계급에 속하는 여학생 수는 50_0.3=15(명)이다.

② 남학생 중 기록이 12초 이상 14초 미만, 14초 이상 16초 미만인 계급의 상대도수의 합은

0.12+0.2=0.32이므로

전체의 0.32_100=32 (%)이다.

③ 상대도수의 분포를 나타낸 그래프만으로는 도수의 총합을 알 수 없으므로 전체 남학생 수와 전체 여학생 수는 알 수 없다.

④ 두 그래프에서 기록이 14초 이상 16초 미만인 계급의 상 대도수는 각각 다음과 같다.

남학생 : 0.2, 여학생 : 0.1

즉, 이 계급의 상대도수는 남학생이 더 높으므로 기록이 14초 이상 16초 미만인 학생의 비율은 남학생이 여학생 보다 높다.

⑤ 여학생의 그래프가 남학생의 그래프보다 오른쪽으로 치우 쳐 있으므로 기록이 느린 학생은 남학생보다 여학생이 상 대적으로 더 많다.

따라서 옳은 것은 ④, ⑤`이다.

12

8 0.32

11

9~12 도수의 총합이 다른 두 집단의 분포 비교

⑴ 도수의 총합이 다른 두 자료의 그래프를 함께 나타내어 보면 두 자료의 분포 상태를 한눈에 비교할 수 있다.

⑵ 도수의 총합이 다른 두 자료의 분포를 비교할 때는 도수를 그대 로 비교하지 않고 상대도수를 구하여 각 계급별로 비교한다.

책의 수(권)

112^이상~4^미만1 114^이상~6^이상1 116^이상~8^이상1 118^이상~10^이상 110^이상~12^이상

;5§0;=0.12

;5•0;=0.16

;5!0&;=0.34

;5!0);=0.22

;5ª0;=0.18

;4¢0;=0.12

;4!0);=0.25

;4!0$;=0.35

;4•0;=0.22

;4¢0;=0.12 1

합계 1

2학년 1학년

상대도수

(10)

유형편 ^라이트 ^{Ⅱ. 기본 도형}

1 ^{기본 도형}

유형 1 ^{P. 24}

1⑴ 5개 ⑵ 8개

2⑴ 그림은 풀이 참조, 무수히 많다.

⑵ 그림은 풀이 참조, 1개

3⑴ PQÍ, 직선 PQ ⑵ PQ≥, 반직선 PQ ⑶ PQ”, 선분 PQ 4⑴ MN≥ ⑵ MN”(=NM”) ⑶ NM≥ ⑷ MNÍ(=NMÍ) 5AC”와 CA”, ABÍ와 CBÍ, AC≥와 AB≥

6⑴ Y ⑵ Z ⑶ Z ⑷ Y

⑴ 선과 선이 만나서 생기는 점이 5개이므 로 교점이 5개이다.

⑵ 면과 면이 만나서 생기는 선이 8개이 므로 교선은 8개이다.

[참고] 입체도형에서 교점의 개수는 꼭짓점의 개수와 같고 교선의 개수는 모서리의 개수와 같다.

⑴ 한 점을 지나는 직선은 무수히 많다.

⑵ 서로 다른 두 점을 지나는 직선은

오직 하나뿐이다.

⑴ 점 M에서 시작하여 점 N쪽으로 뻗은 반직선 MN이 다. 즉, MN≥

⑵ 두 점 M, N을 포함하여 점 M에서 점 N까지의 직선 MN의 부분인 선분 MN이다. 즉, MN”(=NM” )

⑶ 점 N에서 시작하여 점 M의 방향으로 뻗은 직선 MN 의 부분인 반직선 NM이다. 즉, NM≥

⑷ 두 점 M, N을 지나 양쪽으로 한없이 곧게 뻗는 직선 MN이다. 즉, MNÍ(=NMÍ )

두 반직선에서 시작점 또는 뻗어 나가는 방향이 다르면 서로 다른 반직선이다. 즉, B’A≥+CB≥

따라서 서로 같은 것을 나타내는 것끼리 짝지으면 AC”와 CA”, ABÍ와 CBÍ, AC≥와 AB≥

⑴ 오른쪽 그림과 같이 교점은 선과 면이 만났을 때도 생긴다.

⑷ 시작점과 뻗어 나가는 방향이 모두 같아야 같은 반직선이다.

6 5 4

A B A

2

교점

교선

1

⑴ AM”= AB”= _6=3 (cm)

⑵ AB”=2AM”=2_5=10 (cm)

⑴ AM”= AB”= _9=3 (cm)

⑵AN”= AB”= _9=6 (cm)

⑶MB”= AB”= _9=6 (cm)

⑵ AB”=3AM”=3_4=12 (cm)

⑵AN”=2AM”=2_4=8 (cm)

⑵MB”=2AM”=2_4=8 (cm)

⑶ AM”= AN”= _10=5 (cm)

⑵NB”=AM”=5 (cm)

⑵MB”=2AM”=2_5=10 (cm)

⑵AB”=3AM”=3_5=15 (cm)

⑴ AM”=BM”= AB”

⑵ AN”=NM”= AM”

= _ AB”

= AB”

⑶ AB”=2AM”=2_2AN”=4AN”

⑷ AM”=2AN”=2_4=8 (cm) AB”=2AM”=2_8=16 (cm)

두 점 M, N이 각각 AB”, BC”의 중점이므로 MB”= AB”, BN”= BC”

∴ MN”=MB”+BN”

= AB”+ BC”

= (AB”+BC”)= AC”

=1_12=6 (cm) 2

1 2 1

2 1 2 1 2

1 2 1

2

4

1 4

1 2 1 2

1 2 1

3

2

1 2 1

2 2 3 2 3

2 3 2

3

1 3 1

2

3

1 2 1

1

2

유형 2 ^{P. 25}

1⑴ , 3 ⑵ 2, 10

2⑴ 3, 6, 6 ⑵ 12, 8, 8 ⑶ 5, 5, 10, 15 3⑴ ;2!; ⑵ ;2!;, ;4!; ⑶ 2, 4 ⑷ 8, 16 46 cm

;2!;

(11)

Ⅱ.기본도형

유 형 편

라이트

⑶ ∠c를 ∠C로 나타내면 ∠C가 ∠ACB를 나타내는지

∠ACD를 나타내는지 명확히 알 수 없으므로 이런 경우 에는 ∠c를 ∠C로 나타내지 않는다.

⑴ ∠x+120˘=180˘

∴ ∠x=180˘-120˘=60˘

⑵ 45˘+∠y+55˘=180˘

∴ ∠y=180˘-100˘=80˘

⑴ 60˘+∠x+90˘=180˘

∴ ∠x=180˘-150˘=30˘

⑵ ∠x+3∠x+2∠x=180˘

6∠x=180˘ ∴ ∠x=30˘

4 3 2 1

⑴ 오른쪽 그림에서 30+x+70=180

∴ x=80

⑵ 오른쪽 그림에서 2x+3x+x=180 6x=180

∴ x=30

⑶ 오른쪽 그림에서

(2x+10)+3x+(x-10)=180 6x=180

∴ x=30

⑴ x+50=120 (맞꼭지각)

∴ x=70

⑵ 오른쪽 그림에서

90+3x+(x+10)=180 4x=80

∴ x=20

3x˘

3x˘ x˘+10˘

4

x˘-10˘

3x˘

2x˘+10˘ 3x˘

2x˘ 3x˘

3x˘

x˘

30˘ 70˘

x˘

유형 3 ^{P. 26}

3

1⑴ ∠BAC, ∠CAB, ∠A

⑵ ∠ABC, ∠ABD, ∠CBA, ∠DBA, ∠B

⑶ ∠ACD, ∠DCA

2풀이 참조 3⑴ 180, 60 ⑵ 180, 80 4⑴ 30˘ ⑵ 30˘

2 cm

3 cm B

D A C

l m

3 cm

1 cm 2 cm 3 cm

2 cm

4 cm

4

유형 5 ^{P. 28}

1⑴ CDÍ`(또는 COÍ 또는 ODÍ) ⑵ 점 O

⑶ ABÍ ⊥ CDÍ ⑷ AO” ⑸ ABÍ (또는 AOÍ 또는 OBÍ) 2⑴ 점 B ⑵ 점 C 3⑴ 점 B ⑵ 점 D 4풀이 참조

⑴ ∠x=140˘ (맞꼭지각)

∠y=180˘-∠x

=180˘-140˘=40˘

⑵ ∠x=70˘ (맞꼭지각)

∠y=180˘-(∠x+45˘)

=180˘-(70˘+45˘)=65˘

⑶ 2∠x-30˘=∠x (맞꼭지각)

∴ ∠x=30˘

⑶ ∠y=180˘-∠x

=180˘-30˘=150˘

2

유형 4 ^{P. 27}

각 예각 직각 둔각 평각

80˘ 120˘ 45˘ 90˘ 180˘ 30˘ 150˘

Z

Z Z

Z

Z Z

직선 l 직선 m

점A 점B 점C 점D 점과 직선 사이의 거리

3 cm 2 cm 2 cm 3 cm 2 cm 1 cm 3 cm 4 cm 1⑴ ∠BOD ⑵ ∠AOF ⑶ ∠COE

⑷ ∠DOE ⑸ ∠BOC ⑹ ∠BOF

2⑴ ∠x=140˘, ∠y=40˘ ⑵ ∠x=70˘, ∠y=65˘

⑶ ∠x=30˘, ∠y=150˘

3⑴ 80 ⑵ 30 ⑶ 30 4⑴ 70 ⑵ 20

(12)

⑴ 다음 그림과 같이 한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선은 평행하거나 한 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있을 수 있다.

⑶ 다음 그림과 같이 한 평면에 수직인 서로 다른 두 평면은 평행하거나 한 직선에서 만날 수 있다.

평행하다. 한 직선에서 만난다.

평행하다. 한 점에서 만난다.

꼬인 위치에 있다.

4

유형 7 ^{P. 30}

⑴ ∠a의 동위각：∠d=130˘(맞꼭지각)

⑵ ∠b의 동위각：∠e=180˘-130˘=50˘

⑶ ∠d의 엇각 `：∠c=180˘-70˘=110˘

l //m이므로 ∠a=125˘(동위각)

∠b=180˘-∠a=180˘-125˘=55˘

∠c=∠b=55˘(맞꼭지각)

l //m이므로 ∠d=80˘(동위각), ∠e=80˘(엇각)

∠f=180˘-∠d=180˘-80˘=100˘

∠g=80˘(맞꼭지각), ∠h=180˘-80˘=100˘

l //m이므로 ∠x=60˘(동위각) p//q이므로 ∠y=60˘(동위각)

l //m이므로 ∠x=50˘(동위각)

∠y=180˘-(∠x+60˘)

=180˘-(50˘+60˘)=70˘

l //m이므로 ∠z=∠y=70˘(엇각)

l //m이므로 ∠x=75˘(동위각) 오른쪽 그림의 삼각형 ABC에서 30˘+∠y+(180˘-75˘)=180˘

∴ ∠y=45˘

75˘

l

m y B 30˘ A

C

8 7 6 5 4 3

유형 8 ^{P. 31}

1⑴ ∠e ⑵ ∠h ⑶ ∠c ⑷ ∠b 2⑴ ∠e ⑵ ∠d

3⑴ 130 ⑵ ∠e, 50 ⑶ ∠c, 110 ⑷ 70 4∠a=125˘, ∠b=55˘, ∠c=55˘

5∠d=80˘, ∠e=80˘, ∠f=100˘, ∠g=80˘, ∠h=100˘

6∠x=60˘, ∠y=60˘

7∠x=50˘, ∠y=70˘, ∠z=70˘

8∠x=75˘, ∠y=45˘

유형 9 ^{P. 32}

180˘ 2100˘ 358˘ 4125˘

5100˘ 640˘ 7130˘ 884˘

오른쪽 그림과 같이

l //m//n인 직선 n을 그으면

∠x=30˘+50˘

=80˘

l

m 30˘30˘

50˘

50˘ n

1

⑶ 모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리, 즉 모서리 BC 와 만나지도 않고 평행하지도 않은 모서리는 AE”, DH”, EF”, HG”이다.

3

유형 6 ^{P. 29}

1⑴ 점 B, 점 E ⑵ 점 A, 점 C, 점 E

⑶ 점 A, 점 C, 점 D ⑷ 점 D

2⑴ 점 A, 점 B ⑵ 점 A, 점 B, 점 C, 점 D

⑶ AC”, BC”, CF” ⑷ 점 A, 점 D 3⑴ AB”, BF”, CD”, CG” ⑵ AD”, EH”, FG”

⑶ AE”, D’H”, EF”, HG”

4⑴ CD” ⑵ BD” ⑶ BC”

1⑴ 면 ABCD, 면 AEHD ⑵ 면 ABFE, 면 CGHD

⑶ 면 BFGC, 면 EFGH

2⑴ AB”, BC”, CD”, DA” ⑵ AE”, BF”, CG”, DH”

⑶ AB”, EF”, HG””, DC” ⑷ AB”, BC”, CD”, DA”

3⑴ BC”

⑵ 면 ABCD, 면 ABFE, 면 EFGH, 면 CGHD

⑶ 면 ABCD, 면 BFGC, 면 EFGH, 면 AEHD

⑷ 면 BFGC 4⑴ Y ` ⑵ Z ⑶ Y

(13)

Ⅱ.기본도형

유 형 편

라이트 오른쪽 그림과 같이

∠x=60˘+40˘

=100˘

∠x=58˘`(동위각)

∠x=180˘-55˘

=125˘

l //m//p //q인 두 직선 p, q를 그으면

∠x=50˘+50˘

=100˘

∠x=25˘+15˘

=40˘

∠x=30˘+100˘

=130˘

∠x=180˘-(40˘+56˘)

∠x=84˘

l

m 40˘

40˘

56˘

20˘

36˘

x p

q

8

l

m 30˘ 30˘

80˘

80˘ 100˘

20˘ 20˘

p

q

7

pq l

75˘ m 25˘

25˘

15˘ 75˘ 15˘

6

l

m 60˘ 60˘

50˘

50˘ p

q

5

l

m 55˘

55˘

55˘ x n

4

62˘ n 58˘

l

x m 62˘

3

l

m 60˘

40˘

60˘ n 40˘

2

⑴ 오른쪽 그림에서

∠x=180˘-60˘

=120˘

⑵ 동위각의 크기가 같으므로 두 직선 l, m은 평행하다.

⑵ 오른쪽 그림에서

∠x=180˘-70˘

=110˘

⑵ 동위각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행하지 않다.

⑶ 오른쪽 그림에서

∠x=100˘`(맞꼭지각) 동위각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행하지 않다.

⑷ 오른쪽 그림에서

∠x=180˘-130˘

=50˘

⑵ 동위각의 크기가 같으므로 두 직선 l, m은 평행하다.

ㄱ. 오른쪽 그림과 같이 동위각의 크기가 ㄱ. 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행

하지 않다.

ㄴ. 동위각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행하 지 않다.

ㄷ. 오른쪽 그림과 같이 엇각의 크기가 같으므로 두 직선 l, m은 평행하다.

ㄹ. 오른쪽 그림과 같이 동위각의 크기가 같으므로 두 직선 l, m은 평행하다.

ㅁ. 오른쪽 그림과 같이 동위각의 크기가 ㄱ. 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행

하지 않다.

ㅂ. 오른쪽 그림과 같이 엇각의 크기가 같 지 않으므로 두 직선 l, m은 평행하 지 않다.

따라서 두 직선 l, m이 서로 평행한 것은 ㄷ, ㄹ이다.

⑵ ∠c=∠e 또는 ∠b=∠ f이면 l//m이다.

⑷ ∠b=∠h 또는 ∠c=∠e이면 l//m이다.

3

l

75˘ m 65˘ 115˘

50˘

25˘

155˘

l

m 120˘

120˘

m l 110˘

70˘

m l 85˘

105˘ 75˘

l

m

2

50˘

130˘

l

m 80˘

100˘

l

m 120˘

110˘

70˘

l

m 120˘

60˘

l

m 120˘

1

유형 10 ^{P. 33}

1⑴ 120˘, 평행하다. ⑵ 110˘, 평행하지 않다.

⑶ 100˘, 평행하지 않다. ⑷ 50˘, 평행하다.

2ㄷ, ㄹ 3⑴ Z ` ⑵ Y ⑶ Z ⑷ Y

(14)

⑴ 두 점 M, N이 각각 AB”, BC”의 중점이므로 MB”= AB”, BN”= BC”

∴ MN”=MB”+BN”

= AB”+ BC”

= (AB”+BC”)= AC”

⑵ MN”= AC”= _10=5 (cm)

두 점 M, N이 각각 AB”, BC”의 중점이므로

AB”=2MB”, BC”=2BN” y`⁄

∴ AC”=AB”+BC”=2MB”+2BN”

=2(MB”+BN”)=2MN” y`¤

=2_15=30 (cm) y`‹

예각은 0˘보다 크고 90˘보다 작은 각이다.

① 둔각 ② 평각 ③ 둔각

④ 직각 ⑤ 예각

둔각은 90˘보다 크고 180˘보다 작은 각이다.

ㄱ. 예각 ㄴ. 예각 ㄷ. 평각 ㄹ. 둔각 ㅁ. 예각 ㅂ. 둔각

∠x+90˘+30˘=180˘이므로

∠x=180˘-120˘=60˘

11 10 9 8

1 2 1 2

1 2 1

2 1 2 1 2

1 2 1

2

7

1④ 2⑤ 3① 4② 5 3개

6③ 7⑴ ⑵ 5 cm

830cm, 과정은 풀이 참조 9⑤ 10ㄹ, ㅂ 11③ 1250˘ 13∠a=120˘, ∠b=60˘

14② 1525 16③ 17② 18④

19CG”, DH”, EH”, FG” 20③ 21⑤

22⑤ 23② 24① 25④ 26③

27③ 2824˘ 2995˘

3064˘, 과정은 풀이 참조 31② 32⑤

;2!;

④ 오른쪽 그림과 같은 경우에는 세 점을 지나는 직선이 존재하지 않는다.

⑤ 점 A에서 점 B에 이르는 가장 짧은 거리는 AB”이다.

AC≥와 같은 반직선은 점 A를 시작점으로 하고 점 C의 방향 으로 뻗는 반직선이므로 ① AB≥이다.

② 뻗어 나가는 방향은 같으나 시작점이 다르므로 AB≥+BC≥

두 점을 지나는 서로 다른 직선은 ABÍ, ACÍ, BCÍ의 3개이다.

만들 수 있는 서로 다른 반직선은

AB≥, BA≥, AC≥, CA≥, AD≥, DA≥, BC≥(또는 BD≥), CB≥, CD≥, DC≥(또는 DB≥)의 10개이다.

6 5 4 3 2

A

B C

1

3~4 반직선

에서 AB≥=AC≥, CA≥=CB≥, BA≥+BC≥

즉, 시작점과 뻗어 나가는 방향이 모두 같아야 같은 반직선이다.

A B C

5~6 직선, 반직선, 선분의 개수 구하기

어느 세 점도 한 직선 위에 있지 않은 n개의 점에서 두 점을 지나 는 직선, 반직선, 선분의 개수는

•직선, 선분의 개수 ⇨ 개

•반직선의 개수 ⇨ n(n-1)개 n(n-1)

2

7~8 두 점 사이의 거리

⑴AC”=2MN”

MN””= AC”

⑵AB”=3AC”=3CD”=3DB”

AC”=CD”=DB”=1AB”

3

A C D B

1 2

A M B N C

11~16 각의 크기 구하기

⑴ 평각이 주어질 때, 평각의 크기는180˘

임을 이용하여 각의 크기를 구한다.

즉, ∠a+∠b+∠c=180˘

⑵ 두 개 이상의 직선이 한 점에서 만날

때, 맞꼭지각의 크기가 서로 같음을 이 용하여 각의 크기를 구한다.

☆

△

a b c

⁄ AB”=2MB”, BC”=2BN”임을 설명하기 30%

¤ AC”=2MN”임을 설명하기 40%

‹ AC”의 길이 구하기 30%

(15)

Ⅱ.기본도형

유 형 편

라이트

∠DOE+50˘=90˘이므로

∠DOE=90˘-50˘=40˘

∠x+∠DOE=90˘이므로

∠x=90˘-∠DOE

=90˘-40˘=50˘

∠a=120˘(맞꼭지각)

∠b=180˘-120˘=60˘

x+40=3x, 2x=40 ∴ x=20

(2x+25)+(x-10)+90=180 3x=75 ∴ x=25

∠x+(2∠x-80˘)+50˘=180˘

3∠x=210˘ ∴ ∠x=70˘

점 P에서 직선 l에 내린 수선의 발은 점 C이므로 점 P와 직선 l 사이의 거리는 PC”=4 cm이다.

④ 오른쪽 그림과 같이 점 D와 BC” 사이의거리는 4 cm이다.

AB”와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AB”와 만나지도 않고 평 행하지도 않는 모서리이므로 CG”, DH”, EH”, FG”이다.

모서리 BC와 꼬인 위치에 있는 모서리는 AD”, DE”, DF”

의 3개이다.

③ 면 ABCD와 면 EFGH, 면 ABFE와 면 DCGH, 면 AEHD와 면 BFGC의 3쌍이다.

④ AE”, DH”, EF”, HG”의 4개이다.

⑤ CD”, CG”, DH”, GH””의 4개이다.

③ AB”, BC”, CA”의 3개이다.

④ AD”, BE”, CF”의 3개이다.

⑤ AD”, DE”, DF”의 3개이다.

① 한 평면에 평행한 서로 다른 두 직선은 다음 그림과 같이 평행하거나 한 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있을 수 있다.

평행하다. 한 점에서

만난다. 꼬인 위치에 있다.

23 22 21 20 19

A D

4 cm 5 cm

4 cm 6 cm

B C

18 17 16 15 14 13

12

② 한 평면에 평행한 서로 다른 두 평면은

오른쪽 그림과 같이 평행하다.

③ 한 평면에 수직인 서로 다른 두 평면은 다음 그림과 같이 평행하거나 한 직선에서 만날 수 있다.

③

④ 한 직선에 수직인 서로 다른 두 직선은 다음 그림과 같이 평행하거나 한 점에서 만나거나 꼬인 위치에 있을 수 있다.

⑤ 한 직선에 평행한 서로 다른 두 평면은 다음 그림과 같이 평행하거나 한 직선에서 만날 수 있다.

따라서 옳은 것은 ②`이다.

① 공간에서 만나지 않는 두 직선은 평행하거나 꼬인 위치에 있을 수 있다.

① ∠a의 맞꼭지각은 ∠c이다.

② ∠b의 동위각은 ∠f이다.

③ ∠d의 엇각은 ∠f이다.

⑤ ∠g의 동위각은 ∠c이다.

③ ∠c의 엇각의 크기는 ∠e=180˘-70˘=110˘이다.

26 25 24

평행하다. 한 점에서

만난다. 꼬인 위치에 있다.

27~30 평행선의 성질

⑴l // m이면

•동위각, 엇각의 크기가 각각 같다.

•∠a+∠b=180˘

⑵l // m일 때, 보조선을1개 또는2개 긋는 경우

•：동위각

×, △：엇각

꺾인 부분의 각의 꼭짓점을 지나면서 두 직선 l, m에 평행한 보조선을 그어 동위각과 엇각을 찾아 각의 크기를 구한다.

l

m

△

l

m

a

a b

b l

m

(16)

l //m이므로

∠x=60˘(동위각), ∠y=70˘(엇각)

∴ ∠x+∠y=60˘+70˘

=130˘

l //m이므로 ∠y=38˘(동위각)

∠x+∠y+80˘=180˘이므로

∠x+38˘+80˘=180˘

∴ ∠x=180˘-118˘=62˘

∴ ∠x-∠y=62˘-38˘

=24˘

오른쪽 그림과 같이 l//m//n인 직 선 n을 그으면

l //n이므로 ∠a=35˘(엇각) n//m이므로 ∠b=60˘(엇각)

∴ ∠x=35˘+60˘=95˘

오른쪽 그림과 같이 l //m//p//q인 두 직선

p, q를 그으면 y`⁄

l //p이므로

∠a=60˘`(엇각)

∠b=90˘-∠a

=90˘-60˘=30˘

p//q이므로 ∠c=∠b=30˘`(엇각)

q//m이므로 ∠d=34˘`(엇각) y`¤

∴ ∠x=30˘+34˘

=64˘ y`‹

② 오른쪽 그림과 같이 동위각의 크 기가 같지 않으므로 두 직선 l, m 은 평행하지 않다.

⑤ 동위각의 크기가 같지 않으므로 두 직선 l, m은 평행하 지 않다.

32

55˘

135˘

125˘

m l

31

m l a p

q 60˘

34˘

b c d

30

m n l

60˘

b 35˘

a

29

x

y m

l 100˘

38˘

80˘

28 27

P. 39 1⑴ 작도 ⑵ 눈금 없는 자 ⑶ 컴퍼스

2눈금 없는 자, 컴퍼스, AB”

3⑴ ㉢, ㉡, ㉣ ⑵ OB”, PC”, PD”, ∠DPC(또는 ∠DPQ) 4동위각

유형 1

⑵ 반지름의 길이가 같은 원을 그렸으므로 OA”=OB”=PC”=PD”

크기가 같은 각을 작도하였으므로

∠XOY=∠DPC(또는 ∠XOY=∠DPQ)

동위각의 크기가 같도록 크기가 같은 각의 작도를 하여 점 P 를 지나고 직선 l에 평행한 직선을 작도한 것이다.

[참고] 점 P를 지나고 직선 l에 평행한 직선을 작도하는 방법은 다 음과 같다.

① 점 P를 지나는 직선을 그어 직선 l과의 교점을 A라 한다.

② 점 A를 중심으로 하는 원을 그려 PAÍ와 직선 l과의 교점을 각각 B, C라 한다.

③ 점 P를 중심으로 AB”의 길이를 반지름 으로 하는 원을 그려 PAÍ와의 교점을 Q 라 한다.

④ 컴퍼스로 BC”의 길이를 잰다.

⑤ 점 Q를 중심으로 하고 반지름의 길이가 BC”인 하는 원을 그려

③에서 그린 원과의 교점을 R라 한다.

⑥ 두 점 P, R를 지나는 직선을 그으면 PRÍ가 직선 l에 평행한 직 선이다.

R ⑥

② ④

③

①

⑤ B P Q

A C l

4 3

2 ^{작도와 합동}

⁄ l//m//p//q인 두 직선 p, q 긋기 30%

¤ 평행선의 성질을 이용하여 ∠a, ∠b, ∠c, ∠d의 크

기 구하기 각 10%

‹ ∠x의 크기 구하기 30%

P. 40

1⑴ Y ⑵ Y ⑶ Z ⑷ Z

2⑴ 10 ⑵ 13 ⑶ 16 ⑷ 19

3⑴ Z ⑵ Y ⑶ Z ⑷ Z

4컴퍼스, c, b 유형 2

⑴ 6>1+3 ⇨ 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없다.

⑵ 9=2+7 ⇨ 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없다.

⑶ 5<4+4 ⇨ 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있다.

⑷ 12<6+8 ⇨ 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 있다.

⑴ 가장 긴 변의 길이가 a이므로 a>7이고 a<3+7에서 a<10 ∴ 7<a<10

⑵ 가장 긴 변의 길이가 a이므로 a>9이고 a<4+9에서 a<13 ∴ 9<a<13

2

1

(17)

Ⅱ.기본도형

유 형 편

라이트

P. 42 1⑴ ≡ ⑵ 대응변, 대응각

2 x=5, y=8, a=62, b=33 3 a=60, b=75, c=60, x=6 4합동이다, SAS 합동 5△ABC≡△HIG≡△PQR 유형 4

AB”=DE”=5 cm ∴ x=5 AC”=DF”=8 cm ∴ y=8

∠E=∠B=62˘ ∴ a=62

∠F=∠C=180˘-(85˘+62˘)=33˘

∴ b=33

∠B=∠F=75˘ ∴ b=75

∠A=360˘-(75˘+78˘+147˘)=60˘

∴ a=60

∠E=∠A=60˘ ∴ c=60 GF”=CB”=6 cm ∴ x=6

△ABC와 △DEF에서

∠A=∠D, AB”=DE”, AC”=DF”

∴ △ABC™△DEF(SAS 합동)

△ABC와 △HIG에서 AB”=HI”, ∠B=∠I=42˘,

∠A=180˘-(42˘+60˘)=78˘=∠H 이므로 △ABC≡△HIG(ASA 합동)

△ABC와 △PQR에서 AB”=PQ”, ∠A=∠P=78˘,

∠Q=180˘-(78˘+60˘)=42˘=∠B 이므로 △ABC≡△PQR(ASA 합동)

∴ △ABC≡△HIG≡△PQR

5 4 3 2

P. 41

1⑴ 2개 ⑵ 무수히 많다.

2이유는 풀이 참조

⑴ × ⑵ × ⑶ × ⑷ Z ⑸ Z ⑹ Z ⑺ Z 유형 3

⑴ 오른쪽 그림과 같이 점 B를 중심으로 하고 반지름의 길이 가 4 cm인 원을 그리면

∠A의 한 변과 두 점에서 만 나므로 주어진 조건으로는 2 개의 삼각형이그려진다.

⑵ 세 각의 크기가 주어지면 모양은 같고 크기가 다른 삼각형 이 무수히 많이 그려진다.

⑴ 이유 : 세 각의 크기가 주어지면 모양은 같고 크기가 다른 삼각형이 무수히 많이 그려진다.

⑵ 이유 : (가장 긴 변의 길이)>(나머지 두 변의 길이의 합) 이므로 삼각형이 그려지지 않는다.

⑶

⇨ 2개의 삼각형이 그려진다.

⑶ 이유 : 두 변의 길이와 그 끼인 각이 아닌 다른 한 각의 크 기가 주어졌으므로 삼각형이 하나로 정해지지 않는다.

3 cm 3 cm

4 cm 40˘

A

B C

2

4 cm 4 cm 6 cm

30˘

A C

C

B

1

⑶ 가장 긴 변의 길이가 a이므로 a>11이고 a<5+11에서 a<16 ∴ 11<a<16

⑷ 가장 긴 변의 길이가 a이므로 a>13이고 a<6+13에서 a<19 ∴ 13<a<19

⑴ 세 변인 AB”, BC”, CA”의 길이가 주어졌고, 가장 긴 변 인 CA”의 길이에 대하여 AC”<AB”+BC”이므로 삼각형 ABC를 하나로 작도할 수 있다.

⑵ 두 변인 AB”, BC”의 길이와 그 끼인 각이 아닌 ∠A의 크기 가 주어졌으므로삼각형 ABC를하나로 작도할수 없다.

⑶ 한 변인 AB”의 길이와 그 양 끝각인 ∠A, ∠B의 크기가 주어졌으므로 삼각형 ABC를 하나로 작도할 수 있다.

⑷ 두 변인 AC”, BC”의 길이와 그 끼인 각인 ∠C의 크기가 주어졌으므로 삼각형 ABC를 하나로 작도할 수 있다.

3

⑷ 이유 : (가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합) 이므로 삼각형이 하나로 정해진다.

⑸ 이유 : 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 주어졌으므로 삼각형이 하나로 정해진다.

⑹ 이유 : 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어졌으므로 삼각형이 하나로 정해진다.

⑺ 이유 : ∠B=180˘-(30˘+60˘)=90˘, 즉 한 변의 길이 와 그 양 끝각의 크기를 알 수 있으므로 삼각형이 하나로 정해진다.

(18)

③ 7>4+2이므로 삼각형의 세 변의 길이가 될 수 없다.

⑤ 5=2+3이므로 삼각형을 작도할 수 없다.

㈎ 가장 긴 변의 길이가 x cm일 때

x<4+7 ∴ x<11 y`⁄

㈏ 가장 긴 변의 길이가 7 cm일 때

7<4+x ∴ x>3 y`¤

따라서 ㈎, ㈏`에서 3<x<11 y`‹

작도 순서는

④ → ① (또는 ②) → ② (또는 ①) → ③ 또는

① (또는 ②) → ④ → ② (또는 ①) → ③ 따라서 가장 마지막에 해당하는 것은 ③이다.

한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어졌을 때, 삼각형의 작도는

ㄱ. 주어진 선분을 작도한 후 두 각을 작도하거나

ㄹ. 주어진 한 각을 작도한 후 선분을 작도하고 다른 각을 작 도하면 된다.

① CA”`>AB”+BC”이므로 삼각형이 그려지지 않는다.

② ∠A는 AB”와 BC”의 끼인 각이 아니므로 삼각형이 하나 로 정해지지 않는다.

③ ∠A는 BC”와 CA”의 끼인 각이 아니므로 삼각형이 하나 로 정해지지 않는다.

④ ∠B=180˘-(30˘+75˘)=75˘

④즉, 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어진 경우와 같 으므로 삼각형이 하나로 정해진다.

⑤ 세 각의 크기가 주어지면 모양은 같고 크기가 다른 삼각형 이 무수히 많이 그려진다.

따라서 △ABC가 하나로 정해지는 것은 ④이다.

11 10 9 8 6 5

1②, ③ 2 ② 3㉡ → ㉣ → ㉠ → ㉢ → ㉤ 4③ 5③ 6⑤ 7 3, 6, 9, 3, x, 3, 3, 9

8 3<x<11, 과정은 풀이 참조 9③ 10ㄱ, ㄹ

11④ 12① 13ㄴ 14③ 15③ 16④

17① 18② 19①, ④ 20③

21△ABE≡△BCF, SAS 합동, 과정은 풀이 참조 22⑴ △BCG≡△DCE, SAS 합동 ⑵ 5 cm 23⑤ 24④

① 작도할 때는 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용한다.

④ 두 점을 지나는 직선을 그릴 때 눈금 없는 자를 사용한다.

⑤ 두 선분의 길이를 비교할 때 컴퍼스를 사용한다.

② 작도에서 눈금 없는 자는 두 점을 연결하는 선분을 그리거 나 선분을 연장할 때 사용하고, 선분의 길이를 옮길 때는 컴퍼스를 사용한다.

① 점 C는 점 D를 중심으로 하고 반지름의 길이가 AB”인 원 위에 있으므로 AB”=CD”

② 두 점 C, D는 점 P를 중심으로 하고 반지름의 길이가 OA”인 원 위에 있으므로 OA”=PC”=PD”

③ OX”=PQ”인지는 알 수 없다.

4 2 1

5~8 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계 (가장 긴 변의 길이)<(나머지 두 변의 길이의 합) 이어야 삼각형을 그릴 수 있다.

⁄ 가장 긴 변의 길이가 x cm일 때, x의 값의 범위 구하기 30%

¤ 가장 긴 변의 길이가 7 cm일 때, x의 값의 범위 구하기 30%

‹ 삼각형의 세 변의 길이가 되는 x의 값의 범위 구하기 40%

11~14 삼각형이 하나로 정해지는 경우

⑴ 세 변의 길이가 주어질 때

⑵ 두 변의 길이와 그 끼인 각의 크기가 주어질 때

⑶ 한 변의 길이와 그 양 끝각의 크기가 주어질 때

한번더연습 P. 43

1합동이다, SSS 합동

2 AC”, AD”, ∠A, 변, 끼인 각, SAS 3⑴ △AMD≡△BMC ⑵ SAS 합동

4 BM”, ∠PMB, PM”, 변, 끼인 각, SAS, PB” 5ㄷ

△ABC와 △ADC에서 사각형 ABCD가 마름모이므로 AB”=AD”=BC”=DC”, AC”는 공통

∴ △ABC≡△ADC(SSS 합동)

△AMD와 △BMC에서 사각형 ABCD가 정사각형이므로 AD”=BC”, ∠MAD=∠MBC=90˘

점 M이 AB”의 중점이므로 AM”=BM”

∴ △AMD≡△BMC(SAS 합동)

△ABC와 △ADE에서 AB”=AD”, ∠ABC=∠ADE

이때 ∠A는 공통(ㄷ)인 조건을 추가하면 대응하는 한 변의 길이가 같고, 그 양 끝각의 크기가 각각 같으므로

△ABC™△ADE(ASA 합동)임을 설명할 수 있다.

유형편

유형편 라이트 Ⅰ. 통계

유 형 편

8

7 6 5 3

2

8

7 6

5

4

1 자료의 정리 3

1

2

1

7

6

5

4 3

2

6

5 4

3

2

1

1

유 형 편

7

6

5

4

3

2

10

9

8

7 6 5

4

3

2

1

2

1

6

5

4

유 형 편

10

9

8

7

14

13

12

11

16

15

2

1

7

6

5

4

3

유 형 편

8

7 6 5

4 3 2

1

6 5 4 3

2 1

3

2

1

7

6

5

4

유 형 편

10

9

유형편 ^라이트 ^{Ⅰ. 통계}

1 ^{자료의 정리} 3

유형편 ^라이트 ^{Ⅱ. 기본 도형}

1 ^{기본 도형}

2 ^{작도와 합동}