02 원과 직선

⑵ D

note y=-2x+4를 {x-1}@+y@=r@에 대입하면 {x-1}@+{-2x+4}@=r@ / 5x@-18x+17-r@=0

유제

5-1

x@+y@+2x-4y-4=0에서 {x+1}@+{y-2}@=3@

따라서 원의 중심은 C{-1, 2}, 반지름의 길이는 3이다.

10. ^{원과 도형의 이동}

109

CHZ= |-1-2+n|11@+{-1}@3 =j5, |n-3|=j10k / n=3-j10k 또는 n=3+j10k

⑵ 오른쪽 그림과 같이 직각삼각형 CPT에서

C T

P

CTZ=3이고 3

CPZ =1{0+1}@+{-3-2}@3=j26k 이므로 PTZ @={j26k}@-3@=17 / PTZ=j17k {? PTZ>0}

⑶ 오른쪽 그림과 같이 점 C에서 직선

C B

A 3 3

H x+y-7=0

x+y-7=0에 내린 수선의 발을 H라 하고 직선 CH가 원과 만나는 점을 A, B라 하자.

원의 반지름의 길이가 3이므로

최댓값은 AHZ=CHZ+3, 최솟값은 BHZ=CHZ-3 CHZ는 원의 중심 C{-1, 2}와 직선 x+y-7=0 사이의 거

리이므로 CHZ= |-1+2-7|11@+1@3 =3j2 / 최댓값 : 3j2+3, 최솟값 : 3j2-3 유제

5-2

접점을 A, B라 하면

O P

B y

x 3

-3

-3 3

OAZ=OBZ=3 A

CA=CB=CP=90!

이므로 사각형 OBPA는 한 변의 길이 가 3인 정사각형이다.

/ OPZ=j2 OAZ=3j2 / x=-3j2 또는 x=3j2

232^쪽 예제

6

원의 중심은 O{0, 0}, 반지름의 길이는 j5이다.

⑴ 직선 OA의 기울기가 2-0

1-0=2이고 직선 OA와 점 A에서의 접선은 수직이므로 접선의 기울기는 -1

2 이다.

이 접선이 점 A{1, 2}를 지나므로 y-2=-1

2{x-1} / x+2y-5=0

⑵ 구하는 접선의 방정식을 y=2x+n, 곧 2x-y+n=0으로 놓 으면 원의 중심 O{0, 0}과 이 직선 사이의 거리가 원의 반지 름의 길이 j5이므로

|n|

12@+{-1}@3=|n|

j5 =j5, |n|=5 / n=-5 따라서 구하는 접선의 방정식

y=2x-5, y=2x+5

⑶ 구하는 접선의 방정식을 y+1=m{x-3}, 곧

mx-y-3m-1=0으로 놓으면 원의 중심 O{0, 0}과 이 직 선 사이의 거리가 원의 반지름의 길이 j5이므로

|-3m-1|

1m@+{-1}@3=|3m+1|

1m@+13 =j5 1m@+13을 양변에 곱하고 제곱하면

{3m+1}@=5{m@+1}, 2m@+3m-2=0 {m+2}{2m-1}=0 / m=-2 또는 m=1

2 따라서 구하는 접선의 방정식은

y+1=-2{x-3} 또는 y+1=1 2{x-3}

/ 2x+y-5=0, x-2y-5=0

유제

6-1

원의 중심은 O{0, 0}, 반지름의 길이는 2이다.

⑴ 직선 OA의 기울기가 -j3-0

1-0 =-j3이고 직선 OA와 점 A 에서의 접선은 수직이므로 접선의 기울기는 1

j3 이다.

이 접선이 점 A{1, -j3}을 지나므로

y+j3= 1j3{x-1} / x-j3y-4=0

⑵ 구하는 접선의 방정식을 y=-3x+n, 곧 3x+y-n=0으로 놓으면 원의 중심 O{0, 0}과 이 직선 사이의 거리가 원의 반 지름의 길이 2이므로

|-n|

13@+1@3=|n|

j10k=2, |n|=2j10k / n=-2j10k 따라서 구하는 접선의 방정식은

y=-3x-2j10k, y=-3x+2j10k

⑶ 구하는 접선의 방정식을 y=m{x+3}, 곧 mx-y+3m=0 으로 놓으면 원의 중심 O{0, 0}과 이 직선 사이의 거리가 원 의 반지름의 길이 2이므로

|3m|

1m@+{-1}@3= |3m|

1m@+13=2 1m@+13을 양변에 곱하고 제곱하면

9m@=4{m@+1}, 5m@=4 / m=-2j5 5 따라서 구하는 접선의 방정식은

y=-2j5

5 {x+3}, y=2j5 5 {x+3}

/ 2x+j5y+6=0, 2x-j5y+6=0

유제

6-2

원의 중심은 O{0, 0}, 반지름의 길이는 r이다.

⑴ ! x1=0, y1=0일 때 직선 OA의 기울기가 y1

x1이고 직선 OA와 점 A에서의 접 선은 수직이므로 접선의 기울기는 -x1

y1 이다.

이 접선이 점 A{x1, y1}을 지나므로 y-y1=-x1

y1{x-x1}, y1y-y1@=-x1x+x1@

/ x1x+y1y=x1@+y1@

이때 점 A{x1, y1}은 원 위의 점이므로 x1@+y1@=r@

/ x1x+y1y=r@

@ x1=0 또는 y1=0일 때

점 A가 좌표축 위의 점이므로 접선의 방정식은 y=-r 또는 x=-r

이때에도 x1x+y1y=r@이 성립한다.

!, @에서 원 x@+y@=r@ 위의 점 A{x1, y1}에서 접하는 직 선의 방정식은 x1x+y1y=r@이다.

⑵ 조건을 만족하는 직선의 방정식을

y=mx+n, 곧 mx-y+n=0

으로 놓으면 원의 중심 O{0, 0}과 이 직선 사이의 거리가 원 의 반지름의 길이 r이므로

|n|

1m@+{-1}@3= |n|

1m@+13=r |n|=r1m@+13 / n=-r1m@+13

따라서 원 x@+y@=r@에 접하고 기울기가 m인 직선의 방정식 은 y=mx-r1m@+13이다.

note 이 공식을 이용하여 예제

6

^{을 풀면}

⑴ 1\x+2\y=5 / x+2y=5

⑵ y=2x-j512@+13 / y=2x-5

233^쪽 예제

7

m{x@+y@-2}+x@+y@-4x+4y-2=0 yy ①

⑴ 두 원의 교점을 지나는 원은 ① 꼴로 나타낼 수 있다.

이 원이 점 {2, 0}을 지나므로

m{4+0-2}+4+0-8+0-2=0 / m=3 ①에 대입하면

3{x@+y@-2}+x@+y@-4x+4y-2=0 / x@+y@-x+y-2=0

⑵ ①에서 m=-1이면 두 원의 교점을 지나는 직선이므로 -{x@+y@-2}+x@+y@-4x+4y-2=0 / x-y=0

유제

7-1

m{x@+y@+6x-5}+x@+y@-4x-2y+1=0 yy ①

⑴ 두 원의 교점을 지나는 원은 ① 꼴로 나타낼 수 있다.

이 원이 점 {-1, -1}을 지나므로

m{1+1-6-5}+1+1+4+2+1=0 / m=1 ①에 대입하면

1\{x@+y@+6x-5}+x@+y@-4x-2y+1=0 / x@+y@+x-y-2=0

⑵ ①에서 m=-1이면 두 원의 교점을 지나는 직선이므로 -{x@+y@+6x-5}+x@+y@-4x-2y+1=0 / 5x+y-3=0

유제

7-2

원과 직선의 교점을 지나는 원의 방정식은 x@+y@+2x-4y+m{x-y+2}=0 yy ① 으로 놓을 수 있다.

이 원이 점 {1, 0}을 지나므로

1+0+2-0+m{1-0+2}=0 / m=-1

①에 대입하면

x@+y@+2x-4y-{x-y+2}=0 / x@+y@+x-3y-2=0

01

^{⑴ - j}₃³<m< j33 ⑵ - j3 3, j3

3

⑶ m<- j3

3 또는 m> j3 3

02

^⑤

03

^①

04

^j5

05

x@+y@+2y-15=0

06

^-11

07

^-4+j2<k<3-j2

08

^②

09

³₄<k<2 또는 k>6

10

^{⑴ 24}₅ ⑵ 4x+3y-8=0

11

^{[ 3}₂^{, -3}_{2 ]}

12

^③

234^~235^쪽 연습 문제

01

y=mx+1을 {x-2}@+{y-1}@=1에 대입하면 {x-2}@+{mx+1-1}@=1

/ {m@+1}x@-4x+3=0 판별식을 D라 하면

D

4={-2}@-{m@+1}\3=1-3m@

⑴ D

4>0이므로 1-3m@>0 / - j3

3<m< j3 3

⑵ D

4=0이므로 1-3m@=0 / m=- j3

3 또는 m= j3 3

⑶ D

4<0이므로 1-3m@<0 / m<- j3

3 또는 m> j3 3 note 원의 중심 {2, 1}과 직선 mx-y+1=0 사이의 거리를 d 라 하면

d=|2m-1+1|

1m@+{-1}@3= |2m|

1m@+13 원의 반지름의 길이가 1이므로

⑴은 d<1, ⑵는 d=1, ⑶은 d>1을 풀어도 된다.

02

원의 중심 {2, 6}과 직선 3x+4y+5=0 사이의 거리를 d 라 하면

d=|3\2+4\6+5|

13@+4@3 =7

따라서 원과 직선이 두 점에서 만나면 d<r에서 7<r이므로 양의 정수 r의 최솟값은 8이다.

10. ^{원과 도형의 이동}

111 03

점 A{a, b}가 원 x@+y@=45 위

O y

x A

-3j5 3j5

의 점이므로 a@+b@=45 yy ① 반지름 OA가 기울기가 2인 접선에 수 직이므로 반지름 OA의 기울기는 -1 2 이다.

곧, b a=-1

2 이므로 a=-2b yy ②

②를 ①에 대입하면 {-2b}@+b@=45 / b=-3

②에 대입하면 a=-6, b=3 또는 a=6, b=-3 / ab=-18

note 다음 공식을 이용해도 된다.

원 x@+y@=r@ 위의 한 점 {x1, y1}에서 접선의 방정식은 x1x+y1y=r@

04

원의 중심을 C{1, 0}, 점 A{-3, 2}

C

A 30! r

Q P

에서 이 원에 그은 두 접선의 접점을 각 각 P, Q라 하자.

두 접선이 이루는 각의 크기가 60!이므로 CPAC=CQAC=30!

CCPA=90!이므로 직각삼각형 ACP에서 ACZ=2PCZ=2r

곧, ACZ=1{-3-1}@+{2-0}@3=2j5이므로 2r=2j5 / r=j5

05

두 원의 교점을 지나는 원의 방정식은

x@+y@+6x-4y+m{x@+y@-2x+4y-20}=0 / {m+1}x@+{m+1}y@+{6-2m}x +{4m-4}y-20m=0 yy ①

이 원의 중심이 y축 위에 있으므로 원의 중심의 x좌표는 0이다.

따라서 x의 계수가 0이므로 6-2m=0 / m=3

①에 대입하면 4x@+4y@+8y-60=0 / x@+y@+2y-15=0

06

두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식은

x@+y@-3x+ay+5-{x@+y@+2x+4y+1}=0 / 5x+{4-a}y-4=0

이 직선이 직선 3x-y+2=0과 수직이므로 5\3+{4-a}\{-1}=0 / a=-11

07

기울기가 1인 직선이 각 원과 접하는 경우를 먼저 생각 한다.

! 직선 y=x+k가 원 x@+{y-3}@=1에 접할 때 원의 중심인 점 {0, 3}과 직선

O y

4 x 3

y=x+k

x-y+k=0 사이의 거리가 반지름의 길이 1이므로 |-3+k|

11@+{-1}@3=1

|-3+k|=j2 / k=3-j2 이 중 두 원 사이에서 접하는 경우는 k=3-j2

@ 직선 y=x+k가 원 {x-4}@+y@=1에 접할 때

원의 중심인 점 {4, 0}과 직선 x-y+k=0 사이의 거리가 반지름의 길이 1이므로

|4+k|

11@+{-1}@3=1, |4+k|=j2 / k=-4-j2

이 중 두 원 사이에서 접하는 경우는 k=-4+j2

!, @에서 -4+j2<k<3-j2

note 접할 때 k의 값은 판별식을 이용하여 구할 수도 있다.

08

공통인 접선이 1개인 두 원의 위치 관계부터 생각한다.

공통인 접선이 1개이면 오른쪽 그림과 같이 한 원의 내부에서 접하므로 두 원의 중심 간의 거리는 두 원의 반지름의 길이의 차이다.

두 원의 중심이 각각 점 {a, 0}, {0, b}이고 반 지름의 길이가 각각 4, 2이므로

1a@+b@3=2 / a@+b@=4

09

원과 직선, 포물선과 직선의 위치 관계는 이차방정식의 판별식을 이용한다.

y=-x+k yy ①

O y

1 x 4

y=x@+1 yy ② {x-4}@+y@=2 yy ③

! ①을 ②에 대입하면 -x+k=x@+1 / x@+x+1-k=0

판별식을 D1이라 하면 ①, ②가 접하거나 두 점에서 만나므로 D1=1-4{1-k}>0 / k>3

4

@ ①을 ③에 대입하면

{x-4}@+{-x+k}@=2 / 2x@-2{k+4}x+k@+14=0 판별식을 D2라 하면 ①, ③이 만나지 않으므로 D2

4 ={-k-4}@-2{k@+14}<0 k@-8k+12>0, {k-2}{k-6}>0 / k<2 또는 k>6

!, @에서 3

4<k<2 또는 k>6

note ①, ③이 만나지 않을 조건은 원의 중심과 직선 사이의 거 리를 이용하여 구해도 된다.

10

접선은 접점에서 반지름과 수직이다.

⑴ 원의 중심을 점 C라 하면 C{2, 3}이므로 PCZ=1{-2-2}@+{0-3}@3=5

직각삼각형 APC에서

O y

x C A

B P

H

PAZ=7 PCZ@-CAZ @9=j25-9k=4 PAZ\CAZ, PCZ\ABZ, AHZ=BHZ이 므로 PAZ\CAZ=PCZ\1

2 ABZ에서 4\3=5\1

2 ABZ / ABZ= 245

⑵ PBZ=PAZ=4이므로 중심이 점 P{-2, 0}이고 반지름의 길이 가 4인 원은 점 A, B를 지난다.

따라서 원 {x+2}@+y@=16과 원 {x-2}@+{y-3}@=9의 교점을 지나는 직선이 직선 AB이므로

{x+2}@+y@-16-9{x-2}@+{y-3}@-90=0 / 4x+3y-8=0

note 네 점 A, P, B, C는 지름이 PC인 원 위의 점이다. 이 원과 원 {x-2}@+{y-3}@=9의 교점을 지나는 방정식을 생각해도 된다.

11

교점을 이은 선분의 중점은 두 원의 중심을 지나는 직선 위에 있다.

두 원의 교점을 이은 선분을 포함하는 직선은 두 원의 교점을 지나므로 이 직선 의 방정식은

{x@+y@-8}-{x@+y@-4x+4y+4}=0 / x-y-3=0 yy ①

또 두 원의 중심이 점 {0, 0}, {2, -2}이므로 두 원의 중심을 지 나는 직선의 방정식은

y=-2-0

2-0 x / y=-x yy ②

곧, 두 원의 교점을 이은 선분의 중점은 직선 ①, ②의 교점이므 로 두 식을 연립하여 풀면 x=3

2 , y=-3 2 따라서 구하는 점의 좌표는 [3

2 , -3 2 ]이다.

12

교점을 이은 선분의 길이가 최대일 때에는 교점을 이은 선분이 작은 원의 지름인 경우이다.

두 원의 교점을 이은 선분을 포함하는 직선은 두 원의 교점을 지 나므로 이 직선의 방정식은

x@+y@-20-{x@-2ax+a@+y@-4}=0 / 2ax-a@-16=0 yy ① 두 원 중 반지름의 길이가 작은 원 {x-a}@+y@=4의 중심 {a, 0}이 교점을 이은 선분 위에 있을 때, 교점을 이은 선 분의 길이가 최대이다.

따라서 점 {a, 0}이 ① 위의 점이므로 a@=16 / a=4 {? a>0}

1

⑴ {-3+2, 1-4}={-1, -3}

⑵ {a, b} 1! {a+2, b-4}이므로 {a+2, b-4}={1, 0}에서

a+2=1, b-4=0 / a=-1, b=4 / {-1, 4}

2

주어진 식의 x에 x+3, y에 y-1을 대입한다.

⑴ 2{x+3}+3{y-1}-5=0 / 2x+3y-2=0

⑵ y-1=2{x+3}@-3 / y=2{x+3}@-2

⑶ {x+3+1}@+{y-1-1}@=5 / {x+4}@+{y-2}@=5

3

⑴ {-2, -3} ^y

x y=x {-2, 3}

⑴ ⑶

⑵

⑷ O

⑵ {2, 3}

⑶ {2, -3}

⑷ {3, -2}

4

⑴ x-2y+1=0의 x에 x, y에 -y를 대입하면 x-2{-y}+1=0 / x+2y+1=0

⑵ x-2y+1=0의 x에 -x, y에 y를 대입하면 -x-2y+1=0 / x+2y-1=0

⑶ x-2y+1=0의 x에 -x, y에 -y를 대입하면 -x-2{-y}+1=0 / x-2y-1=0

⑷ x-2y+1=0의 x에 y, y에 x를 대입하면 y-2x+1=0 / 2x-y-1=0

5

주어진 원은 중심이 점 {1, 2}이고, 반지름의 길이가 j5이다.

⑴ 구하는 원의 중심이 점 {1, -2}이므로 {x-1}@+{y+2}@=5

⑵ 구하는 원의 중심이 점 {-1, 2}이므로 {x+1}@+{y-2}@=5

⑶ 구하는 원의 중심이 점 {-1, -2}이므로 {x+1}@+{y+2}@=5

⑷ 구하는 원의 중심이 점 {2, 1}이므로 {x-2}@+{y-1}@=5

6

⑴ y=-x@+2x의 x에 x, y에 -y를 대입하면 -y=-x@+2x / y=x@-2x

⑵ y=-x@+2x의 x에 -x, y에 y를 대입하면 y=-{-x}@+2{-x} / y=-x@-2x

239^쪽 개념 확인

문서에서 2020 코드엠 수학상 답지 정답 (페이지 107-112)