1
⑴ {x+4}@+{y+1}@=4@⑵ x@+y@=3@
2
중심이 점 {-1, 2}이고 반지름의 길이가 3인 원이므로 {x+1}@+{y-2}@=3@전개하면 x@+2x+1+y@-4y+4=9 / x@+y@+2x-4y-4=0 / A=2, B=-4, C=-4
3
⑴ x@+y@+4x=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@+4x+4}+y@=4 / {x+2}@+y@=4 / 중심의 좌표 : {-2, 0}, 반지름의 길이 : 2⑵ x@+y@-4x+8y-5=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@-4x+4}+{y@+8y+16}=5+4+16 / {x-2}@+{y+4}@=25
/ 중심의 좌표 : {2, -4}, 반지름의 길이 : 5
⑶ 2x@+2y@-6y+3=0의 양변을 2로 나누면 x@+y@-3y+3
2=0 완전제곱 꼴로 고치면 x@+- y@-3y+[3
2 ]@==- 32+[3 2 ]@ / x@+[y-3
2 ]@= 34
/ 중심의 좌표 : [0, 32 ], 반지름의 길이 : j3 2
4
x@+y@-4x+2y+k=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@-4x+4}+{y@+2y+1}=-k+4+1 / {x-2}@+{y+1}@=-k+5⑴ 원의 방정식이므로 -k+5>0 / k<5
⑵ 도형의 길이가 6p이므로 반지름의 길이가 3이다.
곧, -k+5=3@이므로 k=-4
5
⑴ 원이 x축에 접하므로 반지름의 길이가 2이다./ {x+3}@+{y-2}@=2@
⑵ 원이 y축에 접하므로 반지름의 길이가 3이다.
/ {x+3}@+{y-2}@=3@
222쪽 예제
1
⑴ 반지름의 길이를 r라 하면 {x+2}@+{y-3}@=r@
이 원이 점 {-1, 1}을 지나므로
{-1+2}@+{1-3}@=r@ / r@=5 / {x+2}@+{y-3}@=5
⑵ 선분 AB의 중점을 M이라 하면 M[1+5
2 , 0+6
2 ]=M{3, 3}
따라서 반지름의 길이는
AMZ=1{3-1}@+{3-0}@3=j13k / {x-3}@+{y-3}@=13
⑶ 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0으로 놓자.
점 P{1, 3}을 지나므로 1+9+A+3B+C=0 yy ① 점 Q{4, 2}를 지나므로 16+4+4A+2B+C=0 yy ② 점 R{5, 1}을 지나므로 25+1+5A+B+C=0 yy ③ ②-①을 하면 10+3A-B=0
③-②를 하면 6+A-B=0 두 식을 연립하여 풀면 A=-2, B=4 ①에 대입하면 C=-20
/ x@+y@-2x+4y-20=0 유제
1-1
⑴ 반지름의 길이를 r라 하면 {x-1}@+{y+3}@=r@이 원이 원점을 지나므로
{-1}@+3@=r@ / r@=10 / {x-1}@+{y+3}@=10
⑵ 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0으로 놓자.
점 {0, 3}을 지나므로 9+3B+C=0 yy ① 점 {-3, 6}을 지나므로 9+36-3A+6B+C=0 yy ② 점 {-2, 1}을 지나므로 4+1-2A+B+C=0 yy ③ ②-①을 하면 36-3A+3B=0 / 12-A+B=0 ②-③을 하면 40-A+5B=0
두 식을 연립하여 풀면 A=5, B=-7 ①에 대입하면 C=12
/ x@+y@+5x-7y+12=0
⑶ 중심을 점 {a, 0}으로 놓을 수 있다.
반지름의 길이를 r라 하면 {x-a}@+y@=r@
점 {1, 4}를 지나므로 {1-a}@+4@=r@
/ a@-2a+17=r@ yy ① 점 {2, -3}을 지나므로 {2-a}@+{-3}@=r@
/ a@-4a+13=r@ yy ② 221쪽
개념 확인
01 원의 방정식
10 원과 도형의 이동
①-②를 하면 2a+4=0에서 a=-2 ①에 대입하면 r@=25
/ {x+2}@+y@=25
유제
1-2
원 위의 점 A, B가 P{x, y}B{x2, y2}
A{x1, y1} O
아닌 한 점을 P{x, y}라 하자.
PAZ\PBZ이므로 y-y1
x-x1\y-y2 x-x2=-1
{y-y1}{y-y2}=-{x-x1}{x-x2}
/ {x-x1}{x-x2}+{y-y1}{y-y2}=0 이 식은 점 P가 점 A이거나 점 B일 때에도 성립한다.
따라서 선분 AB가 지름인 원의 방정식은 {x-x1}{x-x2}+{y-y1}{y-y2}=0
223쪽 예제
2
⑴ x축, y축에 접하고 점 {-2, 4}를 지나는 원의 중심은 제2사 분면 위에 있다.
따라서 반지름의 길이를 r라 하면 {x+r}@+{y-r}@=r@
이 원이 점 {-2, 4}를 지나므로
{-2+r}@+{4-r}@=r@, r@-12r+20=0 {r-2}{r-10}=0 / r=2 또는 r=10
/ {x+2}@+{y-2}@=2@, {x+10}@+{y-10}@=10@
⑵ x축에 접하고 점 {4, 3}을 지나므로 원의 중심을 점 {a, b}라 하면 b>0이고 반지름의 길이가 b이다.
/ {x-a}@+{y-b}@=b@ yy ① 원의 중심이 직선 y=x+2 위에 있으므로 b=a+2 yy ② ①이 점 {4, 3}을 지나므로
{4-a}@+{3-b}@=b@
이 식에 ②를 대입하면
{4-a}@+{1-a}@={a+2}@, a@-14a+13=0 {a-1}{a-13}=0 / a=1 또는 a=13 ②에 대입하면 a=1, b=3 또는 a=13, b=15
/ {x-1}@+{y-3}@=3@, {x-13}@+{y-15}@=15@
note 중심을 점 {a, a+2}로 놓고 풀어도 된다.
유제
2-1
x@+y@-4x+2ky+10=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@-4x+4}+{y@+2ky+k@}=-10+4+k@/ {x-2}@+{y+k}@=k@-6
y축에 접하면 원의 중심의 x좌표의 절댓값이 반지름의 길이이므로 |2|=1k@-63, 4=k@-6 / k=-j10k
유제
2-2
x축, y축에 접하고 y<0이므로O y
x 1
y=-2x+1
오른쪽 그림과 같이 구하는 원의 중심은 제4 사분면 위에 있다.
따라서 반지름의 길이를 r라 하면 {x-r}@+{y+r}@=r@
원의 중심인 점 {r, -r}가 반직선 y=-2x+1 위에 있으므로 -r=-2r+1 / r=1
/ {x-1}@+{y+1}@=1
유제
2-3
점 {0, 3}에서 y축에 접하므로O y
x 3 1 -1 {a, 3}
원의 중심을 점 {a, 3}이라 하면 반지름의 길이는 |a|이다.
/ {x-a}@+{y-3}@=|a|@
이 원이 점 {-1, 1}을 지나므로
{-1-a}@+{1-3}@=a@, 2a+5=0 / a=-5 2 따라서 원의 중심의 좌표는 [- 52, 3]
note 조건을 만족하는 원의 중심은 제2사분면 위에 있으므로 a<0이다. 따라서 반지름의 길이를 -a라 해도 된다.
224쪽 예제
3
x@+y@=r@ yy ① x@+y@-6x-8y+21=0 yy ②
원 ①의 중심은 O{0, 0}, 반지름의 길이는 r이다.
원 ②를 완전제곱 꼴로 고치면
{x@-6x+9}+{y@-8y+16}=-21+9+16 / {x-3}@+{y-4}@=2@
따라서 중심은 C{3, 4}, 반지름의 길이는 2이다.
또 두 원의 중심 간의 거리는 OCZ=13@+4@3=5
⑴ 두 원이 두 점에서 만나려면 |r-2|<5<r+2
! 5<r+2에서 r>3
@ |r-2|<5에서
-5<r-2<5 / -3<r<7 이때 r>0이므로 0<r<7
!, @에서 3<r<7
⑵ ! 두 원이 외접할 때 : r+2=5에서 r=3
@ 두 원이 내접할 때 : |r-2|=5에서 r-2=-5 / r=-3 또는 r=7
그런데 r>0이므로 r=7
!, @에서 r=3 또는 r=7
유제
3-1
x@+y@=1 yy ① {x-a}@+{y-2a}@=16 yy ②10. 원과 도형의 이동
105
원 ①의 중심은 O{0, 0}, 반지름의 길이는 1이다.
원 ②의 중심은 C{a, 2a}, 반지름의 길이는 4이다.
또 a>0이므로 두 원의 중심 간의 거리는 OCZ=1a@+{2a}@3=j5a
두 원이 두 점에서 만나려면 |4-1|<j5a<4+1, 3
j5<a< 5 j5 / 3j5
5 <a<j5
유제
3-2
x@+y@=r@ yy ① {x-4}@+{y-3}@=16 yy ② 원 ①의 중심은 점 O{0, 0}, 반지름의 길이는 r이다.원 ②의 중심은 점 C{4, 3}, 반지름의 길이는 4이다.
또 두 원의 중심 간의 거리는 OCZ=14@+3@2=5
! 한 원이 다른 원의 외부에 있을 때 r+4<5에서 r<1
그런데 r>0이므로 0<r<1
@ 한 원이 다른 원의 내부에 있을 때 |r-4|>5에서 r-4<-5 또는 r-4>5 / r<-1 또는 r>9
그런데 r>0이므로 r>9
!, @에서 0<r<1 또는 r>9
225쪽 예제
4
⑴ P{x, y}라 하면 PAZ : PBZ=1 : 2에서 2PAZ=PBZ, 곧 4PAZ @=PBZ @이므로
49{1-x}@+{1-y}@0={4-x}@+{1-y}@
4{1-2x+x@+1-2y+y@}=16-8x+x@+1-2y+y@
x@+y@-2y=3, x@+{y@-2y+1}=3+1 / x@+{y-1}@=4
따라서 중심이 점 {0, 1}이고 반지름의 길이가 2인 원이므로 구하는 도형의 길이는 2p\2=4p
⑵ 원 C는 중심이 C{0, 4}이고 반지름의 길이가 2인 원이다.
구하는 원의 중심을 P{x, y}라 하면
x축에 접하므로 y>0이고 반지름의 길이가 y이다.
또 원 C에 외접하므로 PCZ=2+y 곧, 1x@+{y-4}@3=2+y이므로 양변을 제곱하면 x@+{y-4}@={2+y}@
/ x@-12y+12=0
유제
4-1
P{x, y}라 하면 PAZ : PBZ=2 : 3에서 3PAZ=2PBZ, 곧 9PAZ @=4PBZ @이므로99{-2-x}@+y@0=49{3-x}@+y@0 9{4+4x+x@+y@}=4{9-6x+x@+y@}
x@+y@+12x=0, {x@+12x+36}+y@=36 / {x+6}@+y@=36
따라서 중심이 점 {-6, 0}이고 반지름의 길이가 6인 원이므로 구하는 도형의 길이는 2p\6=12p
유제
4-2
원 C는 중심이 C{4, 0}이고 반지름의 길이가 2인 원 이다.구하는 원의 중심을 P{a, b}라 하면
O y
x P{a, b}
C{4, 0}
a 2
y축에 접하므로 a>0이고 반지름의 길이가 a이다.
또 원 C에 외접하므로 PCZ=2+a 곧, 1{a-4}@+b@3=2+a이므로 양변을 제곱하면 {a-4}@+b@={2+a}@
/ 12a-b@-12=0
유제
4-3
⑴ P{x, y}라 하면 PAZ @+PBZ @=28에서 9{1-x}@+{1-y}@0+9{5-x}@+{3-y}@0=28 x@+y@-6x-4y+4=0{x@-6x+9}+{y@-4y+4}=-4+9+4 / {x-3}@+{y-2}@=9
따라서 중심이 C{3, 2}이고 반지름의 길이가 3인 원이므로 구하는 도형의 넓이는 p\3@=9p
⑵ 오른쪽 그림에서
P2 C P1
O
r
OPZ의 최댓값은 OP1Z=OCZ+r r
OPZ의 최솟값은 OP2Z=OCZ-r OCZ=13@+2@3=j13k, r=3이므로 최댓값 : j13k+3, 최솟값 : j13k-3
01
원의 방정식은 x@+y@+Ax+By+C=0 꼴이므로 x@+y@+3axy-4x+2y+b=0에서 a=0x@+y@-4x+2y+b=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@-4x+4}+{y@+2y+1}=-b+4+1
01
①02
④03
{3, -2}04
{x-1}@+{y-1}@=505
{x-4}@+{y-2}@=1606
{x-3}@+{y+3}@=907
{x-4}@+{y+5}@=25, [x+ 83 ]@+[y+ 259 ]@= 6258108
-1<a<209
x@+y@+2y-4=010
④11
①12
최솟값 : 146, 최댓값 : 306 226~227쪽 연습 문제06
중심이 제4사분면 위에 있고 반지름의 길이가 3인 원이 x축, y축에 접하므로 원의 중심은 점 {3, -3}이다.따라서 원의 방정식은 {x-3}@+{y+3}@=9
07
중심이 점 {a, b}이고 x축에 접하면 반지름의 길이가|b|이다.
중심을 점 {a, b}라 하면 x축에 접하므로 반지름의 길이가 |b|
이다.
/ {x-a}@+{y-b}@=b@
원이 점 {0, -2}를 지나므로 a@+{-2-b}@=b@
/ a@+4+4b=0 yy ①
원이 점 {-1, -5}를 지나므로 {-1-a}@+{-5-b}@=b@
/ a@+2a+26+10b=0 yy ②
①\5-②\2를 하면 3a@-4a-32=0
{a-4}{3a+8}=0 / a=4 또는 a=- 8 3
①에 대입하면 a=4, b=-5 또는 a=-8
3, b=-25 9 / {x-4}@+{y+5}@=25, [x+ 83 ]@+[y+ 259 ]@= 625
81
08
원의 중심에서 축까지의 거리와 반지름의 길이를 비교한다.x@+y@-4x-2y=a-3을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@-4x+4}+{y@-2y+1}=a-3+4+1 / {x-2}@+{y-1}@=a+2
반지름의 길이를 r라 하면
! 원이 x축과 만나므로
O y
x {2, 1}
r
r>1, 곧 ja+2k>1 r
양변을 제곱하면
a+2>1 / a>-1
@ 원이 y축과 만나지 않으므로 0<r<2, 곧 0<ja+2k<2 양변을 제곱하면
0<a+2<4 / -2<a<2
!, @에서 -1<a<2
09
세 직선의 교점을 구하여 x@+y@+Ax+By+C=0에 대입한다.직선 3x+y-4=0, y=x의 교점은 {1, 1}
직선 y=x, y=-2의 교점은 {-2, -2}
직선 3x+y-4=0, y=-2의 교점은 {2, -2}
구하는 원의 방정식을 x@+y@+Ax+By+C=0이라 하면 점 {1, 1}을 지나므로 2+A+B+C=0 yy ① 점 {-2, -2}를 지나므로 8-2A-2B+C=0 yy ② 점 {2, -2}를 지나므로 8+2A-2B+C=0 yy ③
②-③을 하면 A=0 / {x-2}@+{y+1}@=5-b
이때 반지름의 길이가 2이므로 5-b=2@에서 b=1 / a+b=1
02
두 원의 방정식을 완전제곱 꼴로 고 {-2, 3}{1, -4}
치면
{x+2}@+{y-3}@=16 {x-1}@+{y+4}@=4
두 원의 넓이를 동시에 이등분하는 직선은 두 원의 중심인 점 {-2, 3}과 점 {1, -4}를 지나는 직선이므로 y-3= -4-3
1-{-2}9x-{-2}0 / 7x+3y+5=0
03
x@+y@+2{a-2}x-4ay+7a@-3=0을 완전제곱 꼴로 고 치면9x@+2{a-2}x+{a-2}@0+9y@-4ay+{2a}@0 =-7a@+3+{a-2}@+{2a}@
/ {x+a-2}@+{y-2a}@=-2a@-4a+7
따라서 반지름의 길이를 r라 하면 r@=-2a@-4a+7이 최대일 때, 원의 넓이가 최대이다.
r@=-2{a+1}@+9
이므로 a=-1이면 r@이 최대이고, 이때 중심의 좌표는 {-a+2, 2a}={3, -2}
04
원의 중심이 직선 y=x 위에 있으므로 중심의 좌표를 {a, a}로 놓을 수 있다. 반지름의 길이를 r라 하면 {x-a}@+{y-a}@=r@
원이 점 {0, -1}을 지나므로 a@+{-1-a}@=r@
/ 2a@+2a+1=r@ yy ①
원이 점 {3, 2}를 지나므로 {3-a}@+{2-a}@=r@
/ 2a@-10a+13=r@ yy ②
①-②를 하면 12a-12=0 / a=1
①에 대입하면 r@=5
/ {x-1}@+{y-1}@=5
05
선분 AB를 1 : 2로 내분하는 점을 P라 하면 P[ 1\2+2\{-1}1+2 , 1\2+2\21+2 ]=P{0, 2}
선분 AB를 3 : 2로 외분하는 점을 Q라 하면 Q[ 3\2-2\{-1}3-2 , 3\2-2\2
3-2 ]=Q{8, 2}
원의 중심은 선분 PQ의 중점이므로 중심의 좌표는 [0+8
2 , 2+2
2 ]={4, 2}
반지름의 길이는 1 2 PQZ=1
2 1{0-8}@+{2-2}@3=4 따라서 원의 방정식은 {x-4}@+{y-2}@=16
10. 원과 도형의 이동
107
①, ②에 대입하여 정리하면 B+C=-2, 2B-C=8 두 식을 연립하여 풀면 B=2, C=-4
/ x@+y@+2y-4=0
10
원의 중심에서 현에 내린 수선의 발은 현을 이등분함을 이용한다.원의 중심이 직선 y=-x+5 위에 있고, 제1사분면 위의 점이므 로 C{a, -a+5} {0<a<5}로 놓을 수 있다.
또 x축에 접하므로 반지름의 길이는 -a+5이다.
오른쪽 그림과 같이 y축과 만나 생기는
O y
x y=-x+5 B
A C
a
-a+5 H
5
현을 AB라 하고, 점 C에서 ABZ에 내린 5
수선의 발을 H라 하면
CHZ=a, BCZ=-a+5, BHZ=1 이므로
a@+1@={-a+5}@
/ a=12 5
따라서 반지름의 길이는 -12 5+5=13
5
11
외접 {중심 간의 거리}={반지름의 길이의 합}x@+y@+8x-6y+16=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@+8x+16}+{y@-6y+9}=-16+16+9 / {x+4}@+{y-3}@=9
따라서 이 원은 중심이 점 {-4, 3}이고 반지름의 길이가 3인 원 이다.
구하는 원의 반지름의 길이를 r라 하면 제2사분면 위에서 x축, y 축에 접하므로 중심은 {-r, r}이다.
두 원이 외접하면 중심 간의 거리가 반지름의 길이의 합이므로 1{-r+4}@+{r-3}@3=r+3
양변을 제곱하면
{-r+4}@+{r-3}@={r+3}@ / r@-20r+16=0 이 방정식의 두 근을 r1, r2라 하면
r1+r2=20, r1r2=16 이므로 두 원의 넓이의 합은
p{r1@+r2@} =p9{r1+r2}@-2r1r20
=p{20@-2\16}=368p
note 다음 그림과 같이 조건을 만족하는 원은 2개이고, 피타고 라스 정리에 의해
|r-4|@+|r-3|@={r+3}@
임을 이용할 수도 있다.
O y
x
|r-3|
|r-4|
r+3
O y
x
|r-3|
|r-4|
r+3
12
중선정리를 이용한다.ABZ의 중점을 M이라 하면 M[ 6+62 , 11+5
2 ]=M{6, 8} / OMZ=16@+8@3=10 오른쪽 그림에서 중선정리에 의해
O y
x P
B M A
2 -2
-2 2 5 11
6
PAZ @+PBZ @=2{AMZ @+PMZ @}
이때 AMZ=3이므로
PAZ @+PBZ @=2PMZ @+18 yy ① 원의 반지름의 길이가 2이므로
OMZ-2<PMZ<OMZ+2에서
8<PMZ<12, 64<PMZ @<144, 146<2PMZ @+18<306 / 146<PAZ @+PBZ @<306 (? ①)
따라서 PAZ @+PBZ @의 최솟값은 146, 최댓값은 306이다.
1
원의 중심은 C{1, 2}, 반지름의 길이는 3이다.⑴ 점 C와 직선 사이의 거리 d는 d=|1\1+2\2+5|
11@+2@3 =2j5 곧, d>r이므로 만나지 않는다.
⑵ 점 C와 직선 사이의 거리 d는 d=|1\1+2\2-10|
11@+2@3 =j5 곧, d<r이므로 두 점에서 만난다.
2
x@+y@=25 yy ① x-y+1=0 yy ②②에서 y=x+1을 ①에 대입하면 x@+{x+1}@=25, x@+x-12=0
{x-3}{x+4}=0 / x=3 또는 x=-4
②에 대입하면 x=3, y=4 또는 x=-4, y=-3 따라서 구하는 교점의 좌표는 {3, 4}, {-4, -3}
3
y=x+n을 x@+y@=2에 대입하면x@+{x+n}@=2 / 2x@+2nx+n@-2=0 판별식을 D라 하면
D
4=n@-2{n@-2}=-n@+4
⑴ D
4>0이므로 -n@+4>0 / -2<n<2
230쪽 개념 확인