04 . 복소수와 이차방정식

71^쪽 예제

1

⑴ {1+j3 ki}@ =1+2j3 ki+3i @=-2+2j3 ki

⑵ {2+j-5 l}{1-2j-5 l} ={2+j5 ki}{1-2j5 ki}

=2-4j5 ki+j5 ki-10i @

=12-3j5 ki

⑶ 1

3+2i = 3-2i

{3+2i}{3-2i}=3-2i 3@+2@=3

13- 2 13 i

⑷ 1+i

1-i ={1+i}{1+i}

{1-i}{1+i}=1+2i+i @ 1@+1@

-1

=2i 2=i ∴ [ 1+i

1-i]!)!=i !)!={i @}%)i={-1}%)i=i

⑸ 1+i+i @+i #+i $=1+i-1-i+1=1

유제

1-1

^{⑴ {1-}j3 ki}@ =1-2j3 ki+3i @=-2-2j3 ki ∴ {1-j3 ki}# ={1-j3 ki}@{1-j3 ki}

={-2-2j3 ki}{1-j3 ki}

=-2+2j3 ki-2j3 ki+6i @=-8

⑵ {1-j-2 l}{2+j-8 l} ={1-j2 ki}{2+j8 ki}

=2+2j2 ki-2j2 ki-4i @=6

⑶ 3-i 1+2i+3+i

1-2i= {3-i}{1-2i}

{1+2i}{1-2i}+ {3+i}{1+2i}

{1-2i}{1+2i}

=3-6i-i+2i @ 1@+2@

-2

+3+6i+i+2i @ 1@+2@

-2

=1-7i

5 +1+7i 5 =2

5

⑷ 1-i

1+i ={1-i}{1-i}

{1+i}{1-i}=1-2i+i @ 1@+1@

-1

=-2i 2=-i ∴ [ 1-i

1+i]%!={-i}%!={-i}@|@%"!={i @}@%{-i}=i

⑸ 네 항씩 끊어 생각한다.

i+i @+i #+i $=i-1-i+1=0 i %+i ^+i &+i *=i ${i+i @+i #+i $}=0 i (+i !)+i !!+i !@=i *{i+i @+i #+i $}=0

-3

10

-3

-6 2j2 ki

4

{-1}@%=-1 z1z2 ={a+bi}{c+di}=ac+adi+bci+bdi @

={ac-bd}+{ad+bc}i 이므로 z1X z2X=z1z2Z

-bd

04. ^{복소수와 이차방정식}

27

i (&+i (*+i ((+i !))=i (^{i+i @+i #+i $}=0 ∴ i+i @+i #+i $+y+i !))=0

⑹ 네 항씩 끊어 생각한다.

1 i+1

i @+1 i #+1

i $=i #+i @+i+1

i $ =-i-1+i+1

1 =0

1 i %+1

i ^+1 i &+1

i *=1 i+1

i @+1 i #+1

i $=0 ∴ (주어진 식)=0+0+1

i (=1 i=i

i @=-i

72^쪽 예제

2

z ={i+1}x@-ix-2i-4=x @i+x @-xi-2i-4

=x @-4+{x @-x-2}i yy ①

⑴ z가 0이 아닌 실수이므로 ①에서 x @-4=0이고 x @-x-2=0 x@-x-2=0에서 {x+1}{x-2}=0 ∴ x=-1 또는 x=2

그런데 x @-4=0이므로 x=-1

⑵ z@이 음의 실수이므로 z는 순허수이다. 곧, ①에서 x@-4=0이고 x@-x-2=0

x@-4=0에서 x=-2

그런데 x@-x-2=0이므로 x=-2

⑶ x@-4+{x@-x-2}i=y+4i에서 x@-4=y이고 x@-x-2=4 x@-x-2=4에서 {x-3}{x+2}=0 ∴ x=3 또는 x=-2

그런데 x@-4=y이므로 x=3일 때, y=3@-4=5 x=-2일 때, y={-2}@-4=0 ∴ x=3, y=5 또는 x=-2, y=0 유제

2-1

z =ix@+{2i+1}x-3{i+1}

=x@i+2xi+x-3i-3

=x-3+{x@+2x-3}i yy ①

⑴ z가 순허수이므로 ①에서

x-3=0이고 x@+2x-3=0 ∴ x=3

⑵ z@이 양의 실수이므로 z는 실수이다. 곧, ①에서 x-3=0이고 x@+2x-3=0

x@+2x-3=0에서 {x-1}{x+3}=0 ∴ x=1 또는 x=-3

⑶ z@이 음의 실수이므로 z는 순허수이다.

곧, ⑴에 의해 x=3

73^쪽 예제

3

⑴ aaX+abX+aXb+bbX =a{aX+bX}+b{aX+bX}

={a+b}{aX+bX} yy ① a+b=2+i, aX+bX={3+i}+{-1-2i}=2-i이므로

①에서 {a+b}{aX+bX} ={2+i}{2-i}=2@+1@=5

⑵ x=1-2i에서 x-1=-2i

양변을 제곱하면 x@-2x+1=4i @, x@-2x+5=0 이때 x#-2x@+6x+3={x@-2x+5}x+x+3 이 식에 x=1-2i를 대입하면 x@-2x+5=0이므로 구하는 값은 x+3에 x=1-2i를 대입한 값이다.

∴ 1-2i+3=4-2i

⑶ x+y=2j3 k

2 =j3 k, xy=[ j3 k 2 ]@+[1

2 ]@=1 ∴ x#+y# ={x+y}#-3xy{x+y}

={j3 k}#-3\1\j3 k=0

유제

3-1

^aaX-abX-aXb+bbX =a{aX-bX}-b{aX-bX}

={a-b}{aX-bX} yy ① aX-bX=aX-ZbZ=4-3i이므로

①에서 {a-b}{aX-bX}={4+3i}{4-3i}=4@+3@=25 note 다음은 켤레복소수의 성질로 이용하면 된다.

z1X-z2X=z1X-Zz2Z, z1X z2X=z1z2Z, z1X z2X=[ z1z2 ]Z 유제

3-2

z=2+2i에서 z-2=2i 양변을 제곱하면

z@-4z+4=4i @, z@-4z+8=0

이때 2z#-8z@+14z+5={z@-4z+8}\2z-2z+5 이 식에 z=2+2i를 대입하면 z@-4z+8=0이므로 구하는 값은 -2z+5에 z=2+2i를 대입한 값이다.

∴ -2{2+2i}+5=1-4i -4

-4 유제

2-2

^{⑴ 주어진 식에서}

2x+xi+2y-yi=6+i {2x+2y}+{x-y}i=6+i

2x+2y=6, x-y=1이므로 연립하여 풀면 x=2, y=1

⑵ 주어진 식에서 x{1-i}

{1+i}{1-i}+ y{1+i}

{1-i}{1+i}=1-2i x-xi

1@+1@+y+yi 1@+1@=1-2i x+y

2 +-x+y

2 i=1-2i

x+y=2, -x+y=-4이므로 연립하여 풀면 x=3, y=-1

유제

3-3

^x=j3 k-j2 ki, y=j3 k+j2 ki이므로 x+y=2j3 k, xy={j3 k}@+{j2 k}@=5

⑴ x@+y@={x+y}@-2xy={2j3 k}@-2\5=2

⑵ x#+y# ={x+y}#-3xy{x+y}

={2j3 k}#-3\5\2j3 k=-6j3 k

74^쪽 예제

4

⑴ ! 1-a<0, a-4<0일 때 a>1이고 a<4이므로 1<a<4

@ 1-a=0 또는 a-4=0일 때 a=1 또는 a=4

!, @에서 정수 a의 개수는 1, 2, 3, 4의 4

⑵ ! a+4>0, a<0일 때

a>-4이고 a<0이므로 -4<a<0

@ a+4=0일 때, a=-4

!, @에서 정수 a의 개수는 -4, -3, -2, -1의 4 유제

4-1

^⑴ j2 kj-3 l=j-6 l=j6 ki, j-2 lj3 k=j-6 l=j6 ki,

j-2 lj-3 l=-1{-2}{3-3}3=-j6 k이므로 (주어진 식)=j6 ki+j6 ki-j6 k=-j6 k+2j6 ki

⑵ j-3 l j2 k=q-3

2e=q 3 2wi, j3 k

j-2 l=-q 3

-2e=-q 3 2wi, j-3 l

j-2 l=q -3-2e=q 32w이므로 (주어진 식)=q 3

2wi-q 3 2wi+q 3

2w=q 3 2w= j6 k2

다른 풀이 보통은 다음과 같이 푼다.

⑴ (주어진 식) =j2 kj3 ki+j2 ki\j3 k+j2 kj3 ki @

=j6 ki+j6 ki-j6 k=-j6 k+2j6 ki

⑵ (주어진 식) = j3 ki j2 k+ j3 k

j2 ki+ j3 ki j2 ki= j3 k

j2 k i+ j3 ki j2 ki @+ j3 k

j2 k

= j3 k j2 k i- j3 k

j2 k i+ j3 k j2 k= j3 k

j2 k= j6 k 2 유제

4-2

^{⑴ !} a-8<0, 1-a<0일 때

a<8이고 1<a이므로 1<a<8

@ a-8=0 또는 1-a=0일 때 a=8 또는 a=1

!, @에서 정수 a의 개수는 1, 2, 3, y, 8의 8

⑵ ! a+1>0, a-4<0일 때

a>-1이고 a<4이므로 -1<a<4

@ a+1=0일 때, a=-1

!, @에서 정수 a의 개수는 -1, 0, 1, 2, 3의 5

75^쪽 예제

5

⑴ z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓고 주어진 식에 대입하면 {3+2i}{a+bi}-2i{a-bi}=2+3i

3a+3bi+2ai+2bi @-2ai+2bi @=2+3i {3a-4b}+3bi=2+3i

3a-4b=2, 3b=3이므로 연립하여 풀면 a=2, b=1 ∴ z=2+i

⑵ z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓자.

5-2i+z=5-2i+a+bi={5+a}+{b-2}i 가 실수이므로 b-2=0 ∴ b=2

{5-2i}z ={5-2i}{a+2i}=5a+10i-2ai-4i @

={5a+4}+2{5-a}i 도 실수이므로 5-a=0 ∴ a=5 ∴ z=5+2i

note 일반적으로 실수가 아닌 복소수 z, w에 대하여 z+w, zw가 모두 실수이면 w=zX이다.

⑶ z=a+bi ( a, b는 실수, b=0)으로 놓자.

{z-1}@={a-1+bi}@={a-1}@+2{a-1}bi+b@i @ 이 실수이므로 2{a-1}b=0

b=0이므로 a=1

∴ z+zX={1+bi}+{1-bi}=2

다른 풀이 {z-1}@이 실수이면 {z-1}@={z-1}@Z 이므로 {z-1}@={zX-1}@, z@-2z+1={zX}@-2zX+1 z@-{zX}@-2{z-zX}=0 ∴ {z-zX}{z+zX-2}=0

z가 실수가 아니므로 z=zX ∴ z+zX=2

유제

5-1

z=a+bi ( a, b는 실수, b=0)으로 놓고 주어진 식에 대입하면

{1+i}{a+bi}+i{a-bi}=-2 a+bi+ai+bi @+ai-bi @=-2 a+{2a+b}i=-2

a=-2, 2a+b=0이므로 b=4 ∴ z=-2+4i

유제

5-2

z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓자.

-1+4i+z=-1+4i+a+bi={a-1}+{b+4}i 가 실수이므로 b+4=0 ∴ b=-4

{-1+4i}z ={-1+4i}{a-4i}=-a+4i+4ai-16i @

={-a+16}+4{1+a}i

도 실수이므로 1+a=0 ∴ a=-1 ∴ z=-1-4i

-2b -2b

4

-b@

{z+zX}{z-zX}

-b b

16

04. ^{복소수와 이차방정식}

29

유제

5-3

z=a+bi ( a, b는 실수, b=0)으로 놓자.

z@+zX ={a+bi}@+{a-bi}=a@+2abi+b@i @+a-bi

={a@-b@+a}+b{2a-1}i 가 실수이므로 b{2a-1}=0

b=0이므로 a=1 2

∴ z+zX=[ 12+bi]+[ 12-bi]=1

-b@

01

주어진 등식에서 {x+y}+{2x-y}i=-1+4i x+y=-1, 2x-y=4이므로 연립하여 풀면 x=1,``y=-2 ∴ xy=-2

02

⑴ (주어진 식) =j3 ki\2j3 ki+j3 ki\j3 k+4i 2i+4

2i

=-6+3i+2-2i

=-4+i

⑵ (주어진 식) =[ j2 k2i +j2 ki\2j2 ki]{2-2j2 ki}

=[- j2 k

2 i-4]{2-2j2 ki}

=-j2 ki-2-8+8j2 ki

=-10+7j2 ki

03

{1-2i}{4+3i}=4+3i-8i+6=10-5i {4-3i}{3-4i}

{3+4i}{3-4i}=12-16i-9i-12 9-12i+12i+16=-25i

25 =-i 이므로 주어진 등식의 좌변은 10-5i-i=10-6i 따라서 a=10, b=-6이므로 a-b=16

04

^z-5iZ=3+i에서 z-5i=3-i이므로 z=3+4i ∴ zzX={3+4i}{3-4i}=25

05

b-a>0, a-b<0, a<0, b<0이므로 jb-a l

ja-b l+ j-a l ja k+ jb k

j-b l =-q b-aa-be+[-q -aa e ]+q b-be

=-j-1l-j-1l+j-1l

=-i-i+i=-i

다른 풀이 jb-a l

1-{a-b}3 i+ j-a l j-a li+ j-b li

j-b l

=1 i+1

i+i=i i @+i

i @+i

=-i-i+i=-i

76^~77^쪽 연습 문제

01

^③

02

⑴ -4+i ⑵ -10+7j2 ki

03

^⑤

04

^④

05

^-i

06

^③

07

^①

08

^④

09

^c+d

10

^⑤

11

^②

12

^{③, ⑤}

06

z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓자.

z+{1-2i}={a+1}+{b-2}i

가 양의 실수이므로 a+1>0, b-2=0 ∴ a>-1, b=2 ∴ zzX ={a+2i}{a-2i}=a@+4

zzX=13이므로 a@+4=13, a@=9 ∴ a=-3

a>-1이므로 a=3 ∴ z+zX={3+2i}+{3-2i}=6

07

a+bi=c+di ( a, b, c, d는 실수)이면 a=c, b=d 양변의 실수부분, 허수부분을 비교하면

x@-y@-3x+3y=0 yy ①이고 4-xy=2 yy ②

②에서 xy=2

①에서 {x+y}{x-y}-3{x-y}=0, {x-y}{x+y-3}=0 x=y이므로 x+y=3

∴ x#+y# ={x+y}#-3xy{x+y}=3#-3\2\3=9

08

^a+ZbZ=aX+bX, aXbX=aX bX임을 이용한다.

aX+bX=a+ZbZ=3-2i이므로 a+b=3+2i aX`bX=aXbX=5-i이므로 ab=5+i

∴ {a-b}@ ={a+b}@-4ab={3+2i}@-4{5+i}

=5+12i-20-4i=-15+8i 따라서 허수부분은 8이다.

09

a, b, c, d가 0이 아니므로 jab k=-ja kjb k에서 a<0, b<0, q d

c w=- jd k

jc k 에서 c<0, d>0 jab k=-ja kjb k에서 a<0, b<0

r d

c =-^{jd k}_{jc k}에서 c<0, d>0 이때 c+a<0, b-d<0이므로 |a|-1b@ 2-|c+a|+1{b-3d}@ 3 =-a-{-b}-9-{c+a}0-{b-d}

=c+d

10

^zX=3aX+5

aX+3 임을 이용한다.

zzX =[3a+5

a+3 ][3aX+5

aX+3]={3a+5}{3aX+5}

{a+3}{aX+3}

=9aaX+15a+15aX+25

aaX+3a+3aX+9 =15a+15aX+70 3a+3aX+14

=5{3a+3aX+14}

3a+3aX+14 =5

11

z@, z#, y을 차례로 구하여 규칙을 찾는다.

z@=[ j2 k1-i ]@= 2

1-2i-1=-1

i=i이므로 z#=z@z=iz, z$={z@}@=i @=-1 z%=z$z=-z, z^=z$z@=-i z&=z$z#=-iz, z*={z$}@=1

∴ (주어진 식)=1+z+i+iz-1-z-i-iz+1=1

12

z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓고 대입하여 정리한 다음 허수부분이 0인 것을 찾는다.

z=a+bi ( a, b는 실수)로 놓으면 zX=a-bi

① z@={a+bi}@={a@-b@}+2abi 이므로 ab=0이면 실수가 아니다.

② z@-{zX}@={z+zX}{z-zX}=2a\2bi=4abi 이므로 ab=0이면 실수가 아니다.

③ {1+z}{1+zX} =9{a+1}+bi09{a+1}-bi0

={a+1}@+b@

이므로 항상 실수이다.

④ i{z+zX}=i\2a=2ai

이므로 a=0이면 실수가 아니다.

⑤ 1 z+1

zX = 1 a+bi+ 1

a-bi=a-bi

a@+b@+a+bi a@+b@= 2a

a@+b@

이므로 항상 실수이다.

따라서 항상 실수인 것은 ③, ⑤이다.

1

a{a-2}x={a-1}{a-2}에서

⑴ 해가 하나이면 a{a-2}=0이므로 a=0, a=2 이때 해는 x={a-1}{a-2}

a{a-2} =a-1 a

⑵ a{a-2}=0이고 {a-1}{a-2}=0이므로 a=2

⑶ a{a-2}=0이고 {a-1}{a-2}=0이므로 a=0

2

^{⑴ x=-1-}11@-4\13\{-1}3

2 =-1-j5 k

2 (실근)

⑵ x =-1-11@-4\13\13

2 =-1-1-3 3 2

=-1-j3 ki 2 (허근)

⑶ 4x@+12x+9=0에서 {2x+3}@=0이므로 x=-3 2 (실근) note 1. 이 방정식의 해는 중근이다.

2. 근의 공식을 이용해도 된다.

⑷ x =4-1{-4}@-43\1\53

2 =4-1-4 3 2

=4-2i

2 =2-i (허근)

79^쪽 개념 확인

문서에서 2020 코드엠 수학상 답지 정답 (페이지 26-30)