02 인수정리와 인수분해

61^쪽 예제

6

⑴ f{x}=x#-4x@+x+6으로 놓고 -1, -2, -3, -6을 차례로 대입할 때 f{-1} =-1-4-1+6

=0 f{x}를 x+1로 나누면

f{x} ={x+1}{x@-5x+6}

={x+1}{x-2}{x-3}

note f{2}=0 또는 f{3}=0임을 이용하여 f{x}를 x-2나 x-3으로 나누어도 된다.

⑵ f{x}=2x#+x@+5x-3으로 놓고 -1, -3, -1

2 , - 32 을 차례로 대입할 때 f [1

2 ]=2\[1 2 ]#+[1

2 ]@+5\1 2-3=0 f{x}를 x-1

2 로 나누면 f{x} =[x-1

2 ]{2x@+2x+6}

={2x-1}{x@+x+3}

⑶ f{x}=x$-4x#+5x@-4x+4로 놓고 -1, -2, -4를 차례로 대입할 때

f{2}=2$-4\2#+5\2@-4\2+4=0 f{x}를 x-2로 나누면

2 1 -4 5 -4 4 2 -4 2 -4 1 -2 1 -2 0 f{x}={x-2}{x#-2x@+x-2}

g{x}=x#-2x@+x-2로 놓고 -1, -2를 차례로 대입할 때 g{2}=2#-2\2@+2-2=0

g{x}를 x-2로 나누면 g{x}={x-2}{x@+1}

∴ f{x}={x-2}@{x@+1}

note g{x} =x@{x-2}+x-2={x-2}{x@+1}

과 같이 인수분해해도 된다.

유제

6-1

⑴ f{x}=x#+3x@-4로 놓고 -1, -2, -4를 차례로 대입할 때 f{1}=1+3-4=0 f{x}를 x-1로 나누면

f{x} ={x-1}{x@+4x+4}

={x-1}{x+2}@

note f{-2}=0임을 이용하여 f{x}를 {x+2}로 나누어도 된다.

-1 1 -4 1 6 -1 5 -6 1 -5 6 0

2! 2 1 5 -3 1 1 3 2 2 6 0

2 1 -2 1 -2 2 0 2 1 0 1 0

1 1 3 0 -4 1 4 4 1 4 4 0

03. ^인수분해

23

⑵ f{x}=3x#+4x@+4x+1로 놓고 -1, - 1

3 을 차례로 대입할 때 f [-1

3 ] =3\[-1

3 ]#+4\[-1

3 ]@+4\[-1 3 ]+1

=0 f{x}를 x+1

3 로 나누면

-3! 3 4 4 1 -1 -1 -1 3 3 3 0 f{x}=[x+1

3 ]{3x@+3x+3}={3x+1}{x@+x+1}

⑶ f{x}=x$+x#-7x@-x+6으로 놓고 -1, -2, -3, -6을 차례로 대입할 때 f{1}=1+1-7-1+6=0 f{x}를 x-1로 나누면

1 1 1 -7 -1 6 1 2 -5 -6 1 2 -5 -6 0 f{x}={x-1}{x#+2x@-5x-6}

g{x}=x#+2x@-5x-6으로 놓고 -1, -2, -3, -6을 차례로 대입할 때 g{-1}=-1+2+5-6=0 g{x}를 x+1로 나누면

g{x} ={x+1}{x@+x-6}

={x+1}{x-2}{x+3}

∴ f{x}={x-1}{x+1}{x-2}{x+3}

⑷ f{x}=2x$+x#+4x@+4x+1로 놓고 -1, -1

2 을 차례로 대입할 때 f [-1

2 ] =2\[-1

2 ]$+[-1

2 ]#+4\[- 12 ]@

+4\[- 12 ]+1

=0 f{x}를 x+1

2 로 나누면

-2! 2 1 4 4 1 -1 0 -2 -1 2 0 4 2 0

f{x} =[x+1

2 ]{2x#+4x+2}

={2x+1}{x#+2x+1}

note g{x}=x#+2x+1로 놓을 때, g{1}=0, g{-1}=0 이므로 g{x}는 더이상 인수분해되지 않는다.

-1 1 2 -5 -6 -1 -1 6 1 1 -6 0

62^쪽 예제

7

f{x}=ax$+bx#+1이라 하자.

f{x}를 {x-1}@으로 나눈 몫을 Q{x}라 하면

ax$+bx#+1={x-1}@Q{x} yy ① 양변에 x=1을 대입하면 a+b+1=0, b=-a-1 yy ② ∴ f{x}=ax$-{a+1}x#+1

f{x}를 x-1로 나누면

1 a -{a+1} 0 0 1 a -1 -1 -1 a -1 -1 -1 0 f{x}={x-1}{ax#-x@-x-1}

①의 좌변을 변형하면

{x-1}{ax#-x@-x-1}={x-1}@Q{x}

x에 대한 항등식이므로 양변을 x-1로 나누어도 성립한다.

양변을 x-1로 나누면

ax#-x@-x-1={x-1}Q{x}

양변에 x=1을 대입하면 a-1-1-1=0 ∴ a=3, b=-4 (∵ ②)

따라서 f{x}=3x$-4x#+1이므로 인수분해를 완성하면 3x$-4x#+1={x-1}@{3x@+2x+1}

유제

7-1

f{x}=x$+ax+b라 하자.

f{x}를 {x+1}@으로 나눈 몫을 Q{x}라 하면 x$+ax+b={x+1}@Q{x} yy ① 양변에 x=-1을 대입하면

1-a+b=0, b=a-1 yy ② ∴ f{x}=x$+ax+a-1

f{x}를 x+1로 나누면

-1 1 0 0 a a-1 -1 1 -1 -a+1 1 -1 1 a-1 0 f{x}={x+1}{x#-x@+x+a-1}

①의 좌변을 변형하면

{x+1}{x#-x@+x+a-1}={x+1}@Q{x}

x에 대한 항등식이므로 양변을 x+1로 나누어도 성립한다.

양변을 x+1로 나누면

x#-x@+x+a-1={x+1}Q{x}

양변에 x=-1을 대입하면 -1-1-1+a-1=0 ∴ a=4, b=3 (∵ ②)

따라서 f{x}=x$+4x+3이므로 인수분해를 완성하면 x$+4x+3={x+1}@{x@-2x+3}

01

⑴ f{x}=x#+x+2로 놓고 -1, -2를 차례로 대입할 때 f{-1}=-1-1+2=0 f{x}를 x+1로 나누면 f{x}={x+1}{x@-x+2}

⑵ f{x}=x#-3x@-10x+24로 놓고

-1, -2, -3, -4, -6, -8, -12, -24를 차례로 대입할 때 f{2}=2#-3\2@-10\2+24=0

f{x}를 x-2로 나누면

f{x} ={x-2}{x@-x-12}

={x-2}{x+3}{x-4}

⑶ f{x}=2x#+5x@+x-3으로 놓고 -1, -3, -1

2 , - 3

2 을 차례로 대입할 때 f [-3

2 ]=2\[-3

2 ]#+5\[-3

2 ]@+[-3 2 ]-3=0 f{x}를 x+3

2 으로 나누면 f{x} =[x+3

2 ]{2x@+2x-2}

={2x+3}{x@+x-1}

02

f{x}=x$+3x#-7x@-27x-18로 놓고 -1, -2, -3, -6, -9, -18을 차례로 대입할 때 f{-1}=1-3-7+27-18=0

f{x}를 x+1로 나누면

-1 1 3 -7 -27 -18 -1 -2 9 18 1 2 -9 -18 0 f{x}={x+1}{x#+2x@-9x-18}

g{x}=x#+2x@-9x-18로 놓고

-1, -2, -3, -6, -9, -18을 차례로 대입할 때 g{-2}={-2}#+2\{-2}@-9\{-2}-18=0

-1 1 0 1 2 -1 1 -2 1 -1 2 0

2 1 -3 -10 24 2 -2 -24 1 -1 -12 0

-2# 2 5 1 -3 -3 -3 3 2 2 -2 0 63^쪽 연습 문제

01

⑴ {x+1}{x@-x+2} ⑵ {x-2}{x+3}{x-4}

⑶ {2x+3}{x@+x-1}

02

^⑤

03

a=-9,``b=2, {x-1}{x+1}{x+2}{x-4}

04

⑴ {x-1}{x$+x#+x@+x+1}

⑵ {x+1}{x$-x#+x@-x+1}

05

^②

06

^①

g{x}를 x+2로 나누면 g{x} ={x+2}{x@-9}

={x+2}{x+3}{x-3}

∴ f{x}={x+1}{x+2}{x+3}{x-3}

따라서 구하는 값은 1@+2@+3@+{-3}@=23

03

f{x}가 x-a로 나누어떨어지면 f{a}=0이다.

인수정리에 의하여 f{1}=0,``f{-1}=0

f{1}=1-2+a+b+8=0 ∴ a+b=-7 f{-1}=1+2+a-b+8=0 ∴ a-b=-11 두 식을 연립하여 풀면 a=-9, b=2

∴ f{x}=x$-2x#-9x@+2x+8 f{x}를 x-1, x+1로 차례로 나누면

1 1 -2 -9 2 8 1 -1 -10 -8 -1 1 -1 -10 -8 0 -1 2 8 1 -2 -8 0

f{x} ={x-1}{x+1}{x@-2x-8}

={x-1}{x+1}{x+2}{x-4}

04

다항식을 f{x}로 놓고 f{a}=0인 a를 찾는다.

⑴ f{x}=x%-1로 놓으면 f{1}=0

1 1 0 0 0 0 -1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 ∴ f{x}={x-1}{x$+x#+x@+x+1}

⑵ f{x}=x%+1로 놓으면 f{-1}=0

-1 1 0 0 0 0 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 0 ∴ f{x}={x+1}{x$-x#+x@-x+1}

05

33=x로 놓고 인수분해한다.

33=x로 놓으면 주어진 식은 x#+9x@+23x+15 f{x}=x#+9x@+23x+15로 놓고

-1, -3, -5, -15를 차례로 대입할 때 f{-1} =-1+9-23+15

=0 f{x}를 x+1로 나누면

f{x} ={x+1}{x@+8x+15}

={x+1}{x+3}{x+5}

-2 1 2 -9 -18 -2 0 18 1 0 -9 0

-1 1 9 23 15 -1 -8 -15 1 8 15 0

03. ^인수분해

25

∴ 33#+9\33@+23\33+15 ={33+1}{33+3}{33+5}

=34\36\38 따라서 구하는 값은 34+36+38=108

06

f{x}에서 f{a}=0이면 x-a가 인수이다.

f [1 2 ]=f [1

3 ]=f [1

4 ]=0이고 f{x}가 삼차식이므로 f{x}=a[x-1

2 ][x-1 3 ][x-1

4 ] 최고차항의 계수가 1이므로 a=1`

∴ f{x}=[x-1 2 ][x-1

3 ][x-1 4 ] ∴ f{1} =[1-1

2 ][1-1 3 ][1-1

4 ]=1 2\2

3\3 4=1

4

01

x^-1을 인수분해하는 것과 같다.

6^-1 ={6#}@-1={6#-1}{6#+1}

={6-1}{6@+6+1}{6+1}{6@-6+1}

=5\43\7\31=31\35\43 이므로 가능한 n의 값은 31, 35, 43 ∴ 31+35+43=109

02

주어진 수들의 관계를 찾아 문자로 바꾸어 생각한다.

20=x로 놓으면

20\21\22\23+1 =x{x+1}{x+2}{x+3}+1

=9x{x+3}09{x+1}{x+2}0+1

={x@+3x}{x@+3x+2}+1

={x@+3x}@+2{x@+3x}+1

={x@+3x+1}@

∴ j20\21\22l\23+1l =20@+3\20+1

=461

03

주어진 식을 인수분해하고 a, b, c 사이의 관계를 구한다.

주어진 등식의 좌변을 a에 대해 정리하면 a$+2{b@-c@}a@+b$-2b@c@+c$=0 b@-c@을 한 문자처럼 생각하면

{a@+b@-c@}@=0 ∴ a@+b@=c@ yy ① 따라서 이 삼각형은 빗변의 길이가 c인 직각삼각형이다.

넓이가 15 2 이므로

1 2ab=15

2 ∴ ab=15 yy ② 둘레의 길이가 15이므로 a+b+c=15 ∴ a+b=15-c 양변을 제곱하면 a@+b@+2ab={15-c}@

위의 식에 ①, ②를 대입하면

c@+30=c@-30c+225 ∴ c=13 2

04

㈎에서 f{x}={x#+1}{x+2}+ax@+bx+c로 놓을 수 있다. x#+1={x+1}{x@-x+1}임을 이용한다.

㈎에서 f{x}를 x#+1로 나눈 나머지를 ax@+bx+c라 하면 f{x} ={x#+1}{x+2}+ax@+bx+c yy ①

={x+1}{x@-x+1}{x+2}+ax@+bx+c

㈏에서 ax@+bx+c를 x@-x+1로 나눈 나머지는 x-6이다.

∴ ax@+bx+c=a{x@-x+1}+x-6 yy ②

②를 ①에 대입하면

f{x}={x#+1}{x+2}+a{x@-x+1}+x-6

㈐에서 f{1}=-2이므로 위의 식에 x=1을 대입하면 -2={1+1}{1+2}+a{1-1+1}+1-6 ∴ a=-3

곧, f{x}={x#+1}{x+2}-3{x@-x+1}+x-6이므로 f{-1}=0-3{1+1+1}-1-6=-16

{b@-c@}@

01

^③

02

⁴⁶¹

03

¹³₂

04

^①

실력 문제 ₆₅쪽

1-1

x-1=a, x-2=b, -{2x-3}=c라 하면 a+b+c=0이므로

a#+b#+c#-3abc ={a+b+c}{a@+b@+c@-ab-bc-ca}

=0

∴ a#+b#+c#=3abc 따라서 주어진 식은

a#+b#+c#=3abc=-3{x-1}{x-2}{2x-3}

2-1

x#+kx+3={x+a}{x@+bx+c} (a, b, c는 정수) 꼴로 인수분해되므로

양변의 상수항을 비교하면 3=ac 이 식을 만족하는 정수 a의 값은 -1, -3 f{x}=x#+kx+3이라 할 때 f{-a}=0이므로 f{-1}=0에서 -1-k+3=0 ∴ k=2 f{1}=0에서 1+k+3=0 ∴ k=-4 f{-3}=0에서 -27-3k+3=0 ∴ k=-8 f{3}=0에서 27+3k+3=0 ∴ k=-10 따라서 가능한 정수 k는 4개

note x#+kx+3={x+a}{x@+bx+c}( a, b, c는 정수)에서 양변의 동류항의 계수를 비교하면 a+b=0, c+ab=k, ac=3이므로 이 세 식을 만족하는 정수 a, b, c의 경우를 직접 구하여 풀어도 된다.

64^쪽

1

⑴ -3-i ⑵ 5+2i ⑶ -2 ⑷ -6i

2

⑴ x=8, y=-3

⑵ 2-x=1, 3=-y이므로 x=1, y=-3

3

⑴ {4-2i}+{1+3i} ={4+1}+{-2+3}i

=5+i

⑵ {4-2i}-{1+3i} ={4-1}+{-2-3}i

=3-5i

⑶ {4-2i}{1+3i} =4+12i-2i-6i @

=10+10i

⑷ {4-2i}_{1+3i} =4-2i

1+3i={4-2i}{1-3i}

{1+3i}{1-3i}

=4-12i-2i+6i @ 1-3i+3i-9i @ -6

9

=-2-14i 10 =-1

5-7 5i

4

^{⑴ z}X=3+2i이므로

zzX={3-2i}{3+2i}=9+6i-6i-4i @=13

⑵ zX=a-bi이므로

zzX={a+bi}{a-bi}=a@-abi+abi-b@i @=a@+b@

5

^⑴ j5 ki ⑵ -j10ki

⑶ -j-4 l이므로 -j4 ki=-2i

⑷ -q-2

9e이므로 -q 2

9wi=- j2 k3 i

6

^z1X=a-bi, z2X=c-di

⑴ z1X+z2X=a-bi+c-di={a+c}-{b+d}i z1+z2=a+bi+c+di={a+c}+{b+d}i 이므로 z1X+z2X=z1X+Zz2Z

⑵ z1X z2X ={a-bi}{c-di}=ac-adi-bci+bdi @

={ac-bd}-{ad+bc}i 6

4

b@

-bd

70^쪽 개념 확인

문서에서 2020 코드엠 수학상 답지 정답 (페이지 22-26)