⑵ x축과 만나는 점의 x좌표가 -2, 1이므로 y=a{x+2}{x-1}
로 놓으면 점 {-1, 2}를 지나므로
2=a{-1+2}{-1-1}, -2a=2 / a=-1 / y=-{x+2}{x-1}=-x@-x+2
09
축이 직선 x=p이면 y=a{x-p}@+b축이 직선 x=-2이므로 y=a{x+2}@+b로 놓을 수 있다.
두 점 {-3, 0}, {1, 8}을 지나므로 0=a+b, 8=9a+b
두 식을 연립하여 풀면 a=1, b=-1 / y={x+2}@-1=x@+4x+3
10
직선 y=3x-1 위의 점의 좌표는 {m, 3m-1}이다.꼭짓점이 직선 y=3x-1 위에 있으므로 꼭짓점의 좌표를 {m, 3m-1}로 놓을 수 있다.
이때 구하는 포물선의 방정식은 y=2{x-m}@+3m-1 점 {1, 2}를 지나므로
2=2{1-m}@+3m-1, 2m@-m-1=0 {2m+1}{m-1}=0 / m=-1
2 또는 m=1 따라서 구하는 포물선의 방정식은
y=2[x+1 2 ]@-3
2-1, y=2{x-1}@+3-1 / y=2[x+1
2 ]@-5
2=2x@+2x-2 y=2{x-1}@+2=2x@-4x+4
11
y=f{x}의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표가 a, b 이면 축은 직선 x=a+b2 이다.
이차함수 y=f{x}의 그래프가 x축과 만나는 점의 x좌표를 a, b`{a<b}라 하자.
직선 x=-2에 대칭이므로 a+b
2 =-2 / a+b=-4 2x-3=a에서 x=a+3
2 을 f{2x-3}에 대입하면 `f [2\a+3
2 -3]=f{a}=0 이므로 a+3
2 은 방정식 f{2x-3}=0의 근이다.
같은 이유로 b+3
2 도 방정식 f{2x-3}=0의 근이다.
따라서 f{2x-3}=0의 두 근은 a+3 2 ,
b+3
2 이므로 근과 계수 의 관계에서
a+3 2 +b+3
2 ={a+b}+6
2 =-4+6 2 =1
06. 이차함수
47
D
4=k@-{k@-2k+1}=2k-1
⑴ D
4>0에서 2k-1>0 / k>1 2
⑵ D
4=0에서 2k-1=0 / k=1 2
⑶ D
4<0에서 2k-1<0 / k<1 2
유제
4-1
D=1@-4\{-1}\{k+1}=4k+5⑴ D>0에서 4k+5>0 / k>-5 4
⑵ D=0에서 4k+5=0 / k=-5 4
⑶ D<0에서 4k+5<0 / k<-5 4 유제
4-2
이차함수이므로 k=0 D4={k-1}@-k{k-1}=-k+1
⑴ D
4>0에서 -k+1>0 / k<1 k=0이므로 k<0 또는 0<k<1
⑵ D
4=0에서 -k+1=0 / k=1
⑶ D
4<0에서 -k+1<0 / k>1
117쪽 예제
5
y를 소거하면 -x@+x+2=-x+n
x@-2x+n-2=0 yy ①
이때 D
4=1-{n-2}=-n+3
⑴ D
4<0에서 -n+3<0 / n>3
⑵ D
4>0에서 -n+3>0 / n<3
⑶ ①의 두 근을 a, b라 하고 x=a, b를 y=-x+n에 각각 대입 하면 y=-a+n, -b+n이므로
A{a, -a+n}, B{b, -b+n}
이때 ABZ @={2j6}@이므로
116쪽 예제
4
D
4=9-{3-n}=0 / n=-6
⑵ y를 소거하면 x@-4x+3=mx-1, x@-{4+m}x+4=0 함수 y=x@-4x+3의 그래프와 직선 y=mx-1이 접하므로 D={4+m}@-4\4=0, 4+m=-4
/ m=-8 또는 m=0
{b-a}@+9{-b+n}-{-a+n}0@={2j6}@
2{b-a}@=24, {b-a}@=12 yy ② ①에서 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=2, ab=n-2이므로
{b-a}@ ={a+b}@-4ab
=2@-4{n-2}=12-4n 따라서 ②에 대입하면 12-4n=12 / n=0 유제
5-1
y를 소거하면 x@-2x+k=-x+3 x@-x+k-3=0이때 D=1-4{k-3}=13-4k
⑴ D>0에서 13-4k>0 / k<13 4
⑵ D<0에서 13-4k<0 / k>13 4 유제
5-2
y를 소거하면 x@+3x+1=2x+n x@+x+1-n=0 yy ①⑴ ①에 n=3을 대입하면
x@+x-2=0, {x+2}{x-1}=0 / x=-2 또는 x=1
y=2x+3에 대입하면 y=-1, y=5 / A{-2, -1}, B{1, 5}
따라서 구하는 A, B 사이의 거리는 ABZ=1{1+2}@+{5+1}@3=3j5
⑵ ①의 두 근을 a, b라 하고 x=a, b를 y=2x+n에 각각 대입 하면 y=2a+n, 2b+n이므로
A{a, 2a+n}, B{b, 2b+n}
이때 ABZ @={j5}@이므로
{b-a}@+9{2b+n}-{2a+n}0@={j5}@
{b-a}@=1 yy ② ①에서 근과 계수의 관계에 의하여
a+b=-1, ab=1-n이므로
{b-a}@ ={a+b}@-4ab
=1-4{1-n}=4n-3 따라서 ②에 대입하면 4n-3=1 / n=1
118쪽 예제
6
⑴ 접선의 방정식을 y=-2x+n으로 놓자.
y를 소거하면 x@+4x+5=-2x+n x@+6x+5-n=0
함수 y=x@+4x+5의 그래프와 직선 y=-2x+n이 접하므로 D
4=9-{5-n}=0 / n=-4 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-2x-4
⑵ f{x} =x@-2x라 하면
f{x}=x@-2x+1-1={x-1}@-1 f{x}=0을 대입하면
0=x@-2x, x{x-2}=0 / x=0 또는 x=2 따라서 y=f{x}의 그래프는 다음 [그림 1]과 같다.
또 x축 아랫부분을 x축에 대칭하면 y=|x@-2x|의 그래프는 다음 [그림 2]와 같다.
O y
x 2 1
1 y=k O
y
x 2 1 -1
y=x@-2x y=|x@-2x|
[그림 1] [그림 2]
따라서 주어진 방정식의 서로 다른 실근이 4개, 곧 함수 y=|x@-2x|의 그래프와 직선 y=k의 교점이 4개일 때, 실수 k의 값의 범위는
0<k<1
note k>1이면 서로 다른 실근 2개 k=1이면 서로 다른 실근 3개 k=0이면 서로 다른 실근 2개 k<0이면 실근은 0개
유제
7-1
교점의 x좌표를 a, b라 하면 f{x}=-2, 곧`f{x}+2=0의 해가 x=a 또는 x=b이므로
` f{x}+2=a{x-a}{x-b}
로 놓을 수 있다.
/ f{x}=a9x@-{a+b}x+ab0-2 이때 a+b=4, ab=-6이므로
`f{x}=a{x@-4x-6}-2 또 f{1}=7이므로
7=a{1-4-6}-2 / a=-1 / f{x} =-{x@-4x-6}-2
=-x@+4x+4
유제
7-2
⑴ x<-1일 때,y=-{x+1}-{x-2}=-2x+1 -1<x<2일 때,
y={x+1}-{x-2}=3 x>2일 때,
y=k
-2-1 O y
2 3 x 3 5 y=|x+1|+|x-2|
y ={x+1}+{x-2}=2x-1 오른쪽 그림에서 이 함수의 그래프 와 직선 y=k가 두 점에서 만날 때, 실수 k의 값의 범위는
k>3
⑵ 직선 y=x가 점 {1, c}를 지나므로 c=1
함수 y=x@+ax+b의 그래프가 점 {1, 1}을 지나므로 1=1+a+b / b=-a
이때 이차함수는 y=x@+ax-a이고, 이 함수의 그래프와 직 선 y=x가 접하므로
x@+ax-a=x, 곧 x@+{a-1}x-a=0 에서 D={a-1}@+4a=0, {a+1}@=0 / a=-1, b=1
유제
6-1
접선의 방정식을 y=x+n으로 놓자.y를 소거하면 2x@-3x+1=x+n 2x@-4x+1-n=0
함수 y=2x@-3x+1의 그래프와 직선 y=x+n이 접하므로 D
4=4-2{1-n}=0 / n=-1 따라서 구하는 직선의 방정식은 y=x-1 유제
6-2
접선의 방정식을 y=mx+7로 놓자.y를 소거하면 -x@+2x+3=mx+7 x@+{m-2}x+4=0
함수 y=-x@+2x+3의 그래프와 직선 y=mx+7이 접하므로 D={m-2}@-4\4=0, m-2=-4
/ m=-2 또는 m=6
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-2x+7, y=6x+7 유제
6-3
함수 y=x@-3x-4의 그래프가 점 {-1, a}를 지나 므로 a={-1}@-3\{-1}-4=0접선의 방정식을 y=mx+n이라 하자.
접선이 점 {-1, 0}을 지나므로 0=-m+n 곧, n=m이므로 접선의 방정식은 y=mx+m 이 직선과 함수 y=x@-3x-4의 그래프가 접하므로 x@-3x-4=mx+m, 곧 x@-{m+3}x-m-4=0 에서 D={m+3}@+4{m+4}=0
{m+5}@=0 / m=-5
따라서 구하는 직선의 방정식은 y=-5x-5
119쪽 예제
7
⑴ f{x}=3, 곧 f{x}-3=0의 해가 x=1 또는 x=3이므로 `f{x}-3=a{x-1}{x-3}
으로 놓을 수 있다.
`f{0}=-3이므로 x=0을 대입하면
-3-3=a\{-1}\{-3} / a=-2 곧, f{x}-3=-2{x-1}{x-3}이므로 `f{x}=-2x@+8x-3
06. 이차함수
49
⑵ y=x@-4에서 y=0을 대입하면 y=k
-2 O y
2 x 4
-4 y=|x@-4|
0=x@-4 / x=-2 곧, y=|x@-4|의 그래프는 오른
쪽 그림과 같다.
따라서 이 함수의 그래프와 직선 y=k가 두 점에서 만날 때, 실수 k 의 값 또는 범위는 k=0 또는 k>4
01
y=2x@+ax+c의 그래프가 점 {0, -2}를 지나므로 -2=2\0+a\0+c / c=-22x@+ax-2=0의 해가 -4, b이므로 근과 계수의 관계에서 -4+b=-a
2 , -4b=-2
2 / a=15 2 , b=1
4
02
x@+ax+b=0의 두 근이 -4, 1이므로 근과 계수의 관계에서-4+1=-a, {-4}\1=b / a=3, b=-4 y=x@-bx+a에 대입하면 y=x@+4x+3
y=0을 대입하면 0=x@+4x+3
{x+3}{x+1}=0 / x=-3 또는 x=-1
따라서 x축과 만나는 두 점은 {-3, 0}, {-1, 0}이고, 이 두 점 사이의 거리는 2이다.
03
9`f{x}0@-f{x}-2=0에서y=-1 y=2
O y
x 2
-1
y=f{x}
9`f{x}+109`f{x}-20=0 / f{x}=-1 또는 f{x}=2 y=f{x}의 그래프는 직선 y=-1과 두 점에서 만나고, 직선 y=2와는 한 점에 서 만난다.
따라서 구하는 서로 다른 실근은 3개이다.
04
교점의 x좌표는 x@-x+k+3=x+1의 해이다. 곧, x@-2x+k+2=0의 해가 서로 다른 두 실수이므로 D4=1-{k+2}>0 / k<-1
05
y=x@+px+q, y=2x-10에서 y를 소거하면 x@+px+q=2x-10 / x@+{p-2}x+q+10=001
a=152 , b=14 , c=-202
①03
304
k<-105
p=-8, q=1206
f{x}=12x@+x+107
-2<a<108
②09
a=3, b=710
③11
⑤12
1120~121쪽 연습 문제
이때 p, q가 유리수이고 한 근이 5+j3이므로 다른 한 근은 5-j3이다.
따라서 근과 계수의 관계에서 {5+j3}+{5-j3}=-{p-2}
{5+j3}{5-j3}=q+10 / p=-8, q=12
06
축이 직선 x=-1이므로 f{x} =a{x+1}@+n 으로 놓을 수 있다.이때 f{x}=ax@+2ax+a+n f{0}=1이므로 a+n=1 / f{x}=ax@+2ax+1
y=f{x}와 y=-x-1에서 y를 소거하면
ax@+2ax+1=-x-1 / ax@+{2a+1}x+2=0 함수의 그래프와 직선이 접하므로
D={2a+1}@-4\a\2=0 {2a-1}@=0 / a=1
2 / f{x}=1
2x@+x+1
07
x축과 만나면 D>0, 만나지 않으면 D<0 y=x@-2x+a의 그래프가 x축과 만나므로 x@-2x+a=0의 해는 실수이다. 곧, D4=1-a>0 / a<1 yy ① y=x@+2ax+a@+2a+4의 그래프는 x축과 만나지 않으므로 x@+2ax+a@+2a+4=0의 해는 허수이다. 곧,
D
4=a@-a@-2a-4<0 / a>-2 yy ②
①, ②에서 구하는 실수 a의 값의 범위는 -2<a<1
08
이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 x좌표는 이 차방정식의 두 근과 같으므로 근과 계수의 관계를 이용한다.x에 대한 이차방정식 x@-2kx+k@-2k+1=0의 두 근을 a, b`{a<b}라 하면 주어진 조건에서 b-a=2이다.
또 근과 계수의 관계에서 a+b=2k, ab=k@-2k+1 {b-a}@={a+b}@-4ab이므로
4=4k@-4{k@-2k+1}, 8k-4=4 / k=1
09
이차함수의 그래프가 직선과 접하면 y를 소거한 식에서 D=0이다.y=x@+ax+b의 그래프가 직선 y=-x+3에 접하므로 x@+ax+b=-x+3, 곧 x@+{a+1}x+b-3=0 에서 D={a+1}@-4{b-3}=0
/ a@+2a-4b+13=0 yy ①