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정답과 풀이

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Academic year: 2022

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(1)

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정답과 풀이

Ⅰ-1 경우의 수

Ⅰ-2 확률

Ⅱ-1 삼각형의 성질

Ⅱ-2 평행사변형

Ⅱ-3 여러 가지 사각형

Ⅲ-1 도형의 닮음

Ⅲ-2 닮음의 활용`⑴

Ⅲ-3 닮음의 활용`⑵

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(2)

최/ 고/ 수/ 준

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경우의 수

1

P9~12

01

Action경우의 수를 구할 때에는 모든 경우를 중복되지 않게, 빠짐없 이 구해야 한다.

1에서 20까지의 자연수 중 소수는 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 따라서 구하는 경우의 수는 8이다.

02

Action출발역과 도착역이 될 수 있는 경우의 수를 각각 생각해 본다.

출발역이 될 수 있는 역은 6곳, 도착역이 될 수 있는 역 은 출발역을 제외한 5곳이므로 구하는 종류의 수는 6_5=30(종류)

03

Action공책의 값을 지불하는 방법을 표를 이용하여 구해 본다.

공책의 값을 지불하는 방법을 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 구하는 방법의 수는 5이다.

04

Action각 연기 구멍에서 연기가 나오거나 나오지 않는 2가지 경우 가 있다.

5개의 연기 구멍이 있고 각 연기 구멍에서 연기가 나오 거나 나오지 않는 2가지 경우가 있으므로

2_2_2_2_2=32(개) …… 70%

이때 연기가 모두 나지 않는 것은 신호로 생각하지 않으 므로 구하는 신호의 개수는

32-1=31(개) …… 30%

05

ActionA, B, C, D 네 부분에 칠할 수 있는 색의 수를 차례로 구 한다.

A에 칠할 수 있는 색은 4가지

B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 3가지 C에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색을 제외한 3가지 D에 칠할 수 있는 색은 C에 칠한 색을 제외한 3가지 따라서 구하는 방법의 수는

4_3_3_3=108

06

Action3의 배수인 경우의 수와 4의 배수인 경우의 수를 각각 구하 고, 이 중에서 중복된 경우가 있는지를 확인한다.

3의 배수가 적힌 구슬이 나오는 경우는 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24의 8가지

4의 배수가 적힌 구슬이 나오는 경우는 4, 8, 12, 16, 20, 24의 6가지

이때 12, 24는 3의 배수이면서 4의 배수이므로 구하는 경우의 수는 8+6-2=12

07

ActionA, B, C 세 사람이 가위바위보를 할 때, A가 이기는 경우 를 순서쌍 (A, B, C)로 나타내어 본다.

A, B, C 세 사람이 가위바위보를 할 때, A가 이기는 경 우를 순서쌍 (A, B, C)로 나타내면 다음과 같다.

⁄A만 이기는 경우

(가위, 보, 보), (바위, 가위, 가위), (보, 바위, 바위)의 3가지

¤A와 B가 함께 이기는 경우

(가위, 가위, 보), (바위, 바위, 가위), (보, 보, 바위)의 3가지

‹A와 C가 함께 이기는 경우

(가위, 보, 가위), (바위, 가위, 바위), (보, 바위, 보)의 3가지

⁄~‹에 의하여 구하는 경우의 수는 3+3+3=9

08

Action사자 우리는 한 번만 지나야 하므로 정문 → 사자 우리 → 매 점 → 정문 또는 정문 → 매점 → 사자 우리 → 정문으로 가는 경우로 나누어 생각한다.

사자 우리는 한 번만 지나야 하므로 정문 → 사자 우리

→ 매점 → 정문 또는 정문 → 매점 → 사자 우리 → 정문 으로 갈 수 있다.

⁄정문 → 사자 우리 → 매점 → 정문으로 가는 경우

2_3_3=18 …… 40%

¤정문 → 매점 → 사자 우리 → 정문으로 가는 경우

3_3_2=18 …… 40%

⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는

18+18=36 …… 20%

018 0230종류 035 0431개 05108 0612 079 0836 0948 1048 116 1260 1320 1436개 15240 163, 35 1718개 1860 193 20dec 2114400 2220개 2376개

Ⅰ. 확률

100원짜리 동전`(개) 50원짜리 동전`(개) 10원짜리 동전`(개)

5 2 0

5 1 5

4 4 0

4 3 5

3 5 5

비용을 지불하는 방법의 수를 구할 때에는 표나 나뭇가지 모양의 그림을 이용하여 액수가 가장 큰 동전부터 차례로 사용할 개수를 정한다.

Lecture 비용을 지불하는 방법의 수

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(3)

Ⅰ-`1. 경우의 수 3

09

Actiona+b가 짝수가 되는 경우는 a, b가 모두 짝수이거나 모두 홀 수인 경우이다.

a+b가 짝수가 되는 경우는 a, b가 모두 짝수이거나 모 두 홀수일 때이다.

a, b가 모두 짝수인 경우 4_6=24

¤a, b가 모두 홀수인 경우 4_6=24

⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 24+24=48

10

Action점 A에서 처음에 선택할 수 있는 길은 몇 가지인지 생각해 본다.

점 A에서 처음에 선택할 수 있는 길은 6가지, 두 번째에 선택할 수 있는 길은 4가지, 세 번째에 선택할 수 있는 길은 2가지이므로 구하는 방법의 수는

6_4_2=48

세 개의 고리를 각각 a¡, a™, a£이라 하 고 각각의 고리를 그리는 순서를 나뭇 가지 모양의 그림으로 나타내면 다음과 같다.

a™

이때 각각의 고리는 시계 방향 또는 시계 반대 방향으로 그릴 수 있으므로 구하는 방법의 수는

6_(2_2_2)=48

11

Action재호와 수빈이를 1명으로 생각한다.

재호와 수빈이를 1명으로 생각하면 3명을 일렬로 세우 는 경우의 수와 같으므로 3_2_1=6

12

Actionn명 중에서 3명을 뽑아 일렬로 세우는 경우의 수는 n_(n-1)_(n-2)이다.

5명의 선도부원 중에서 3명을 뽑아 세 지점 A, B, C에 배치하는 경우의 수는 5명 중에서 3명을 뽑아 일렬로 세 우는 경우의 수와 같으므로 5_4_3=60

13

Action㉠`은 5명 중에서 자격이 같은 3명의 대표를 뽑는 경우이고,

㉡`은 5명 중에서 자격이 같은 2명의 대표를 뽑는 경우이다.

㉠`은 5명 중에서 자격이 같은 3명의 대표를 뽑는 경우이

므로 a= =10

㉡`은 5명 중에서 자격이 같은 2명의 대표를 뽑는 경우이 므로 b= =10

∴ a+b=10+10=20 5_4

2_1 5_4_3 3_2_1

a¡ - a™

a™ - a¡

a¡ - a£

a£ - a¡

a™ - a£

a£ - a™

A

a™

다른 풀이

14

Action홀수는 일의 자리의 숫자가 홀수이다.

홀수는 일의 자리의 숫자가 1 또는 3 또는 5이다.

⁄ 1인 경우

4_3=12(개)

¤ 3인 경우

4_3=12(개)

‹ 5인 경우

4_3=12(개)

⁄~‹에 의하여 구하는 홀수의 개수는 12+12+12=36(개)

15

Action위치가 정해진 학생을 제외한 나머지 학생을 일렬로 세우는 경우의 수를 구한다.

민정이와 선우를 제외한 5명의 학생을 일렬로 세우는 경 우의 수는

5_4_3_2_1=120

이때 민정이와 선우가 양 끝에 서는 경우의 수는 2이므 로 구하는 경우의 수는

120_2=240

16

Action초콜릿 아이스크림을 제외한 3종류의 아이스크림을 더 골라 야 한다.

초콜릿 아이스크림을 제외한 종류의 아이스크림을

더 골라야 한다. …… 30%

초콜릿 아이스크림을 포함하여 4종류의 아이스크림을 택하는 경우의 수는 7개 중에서 자격이 같은 3개의 대표 를 뽑는 경우의 수와 같으므로

= 35 …… 70%

7_6_5 3_2_1

3

n명을 일렬로 세울 때, 특정한 사람의 위치가 고정된 경우의 수는 특정한 사람을 고정된 위치에 세운 후 나머지를 일렬로 세우는 경 우의 수와 같다.

Lecture 특정한 사람의 위치가 고정된 경우의 수 A, B, C 세 사람 중 회장, 부회장, 총무를 뽑는 경우는 6가지이지 만, 3명의 대표를 뽑는 경우는 A, B, C를 모두 뽑는 1가지이다.

Lecture 회장, 부회장, 총무 vs 대표 3명

회장 부회장 총무

A B C

A C B

B A C

B C A

C A B

C B A

⇨ 6가지

대표 대표 대표

A B C ⇨ 1가지

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(4)

17

Action네 자리의 정수의 개수에서 십의 자리의 숫자가 2인 정수의 개수를 뺀다.

만들 수 있는 모든 네 자리의 정수의 개수는 4_3_2_1=24(개)

십의 자리의 숫자가 2인 정수는 2 의 꼴이다.

즉, 십의 자리를 제외한 나머지 세 자리에 1, 3, 4의 3개 의 숫자를 써넣으면 되므로 십의 자리의 숫자가 2인 정 수의 개수는 3_2_1=6(개)

따라서 구하는 정수의 개수는 24-6=18(개)

18

Action남학생을 회장으로 뽑는 경우와 여학생을 회장으로 뽑는 경 우로 나누어 생각한다.

⁄남학생을 회장으로 뽑는 경우

남학생 3명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 3 회장으로 뽑힌 1명을 제외한 남학생 2명과 여학생 4 명 중에서 남, 녀 부회장을 각각 1명씩 뽑는 경우의 수는 2_4=8

∴ 3_8=24

¤여학생을 회장으로 뽑는 경우

여학생 4명 중에서 회장 1명을 뽑는 경우의 수는 4 남학생 3명과 회장으로 뽑힌 1명을 제외한 여학생 3 명 중에서 남, 녀 부회장을 각각 1명씩 뽑는 경우의 수는 3_3=9

∴ 4_9=36

⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 24+36=60

19

Action볼펜끼리 자리를 바꾸는 경우의 수를 x로 놓고 x에 대한 식 을 세운다.

색연필 4자루와 볼펜 n자루를 각각 1자루로 생각하면 2 자루를 일렬로 세우는 경우의 수는

2_1=2

이때 색연필끼리 자리를 바꾸는 경우의 수는 4_3_2_1=24

볼펜끼리 자리를 바꾸는 경우의 수를 x라고 하면 2_24_x=288 ∴ x=6

따라서 6=3_2_1이므로 볼펜의 수는 3자루이다.

∴ n=3

20

Action사전식으로 배열하는 것은 abc, abd, abe, abf, acb, y와 같이 알파벳 순으로 배열하는 것이다.

a 인 경우는 5_4=20(개) b 인 경우는 5_4=20(개) c 인 경우는 5_4=20(개) da 인 경우는 4개

db 인 경우는 4개

dc 인 경우는 4개 …… 각 15%

따라서 73번째 문자열은 dea, 74번째 문자열은 deb이 므로 75번째 문자열은 dec이다. …… 10%

21

Action어떤 두 남학생도 이웃하여 서지 않으려면 먼저 여학생을 세 우고 여학생 사이에 남학생을 세우면 된다.

어떤 두 남학생도 이웃하여 서지 않으려면 먼저 여학생 을 세우고 여학생 사이에 남학생을 세우면 된다.

여학생 5명을 일렬로 세우는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120

이때 남학생은 `여` `여` `여` `여` `여` `의 6 개의 자리 중에서 3개를 택하여 한 명씩 세우면 되므로 그 경우의 수는

6_5_4=120

따라서 구하는 경우의 수는 120_120=14400

22

Action정수의 맨 앞자리에는 0이 올 수 없음에 주의한다.

3의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이다.

0, 1, 2, 3, 4 중에서 세 수의 합이 3의 배수인 경우는 (0, 1, 2), (0, 2, 4), (1, 2, 3), (2, 3, 4)이다.

(0, 1, 2), (0, 2, 4)로 만들 수 있는 세 자리의 정수 의 개수는

(2_2_1)_2=8(개)

¤(1, 2, 3), (2, 3, 4)로 만들 수 있는 세 자리의 정수 의 개수는

(3_2_1)_2=12(개)

⁄, ¤에 의하여 구하는 3의 배수의 개수는 8+12=20(개)

① 이웃하는 것을 하나로 생각하여 일렬로 세우는 경우의 수를 구 한다.

② 이웃한 것끼리 자리를 바꾸는 경우의 수를 구한다.

③ ①`의 경우의 수와 ②`의 경우의 수를 곱한다.

Lecture 이웃하여 서는 경우의 수를 구하는 순서

⑴ 2의 배수:일의 자리의 숫자가 0, 2, 4, 6, 8 중의 하나이다.

⑵ 3의 배수:각 자리의 숫자의 합이 3의 배수이다.

⑶ 4의 배수:마지막 두 자리 수가 4의 배수이거나 00이다.

⑷ 5의 배수:일의 자리의 숫자가 0 또는 5이다.

⑸ 9의 배수:각 자리의 숫자의 합이 9의 배수이다.

Lecture 배수 판정법

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(5)

Ⅰ-`1. 경우의 수 5

최/ 고/ 수/ 준

완성하기

P13~16

01

Action가능한 모든 경로를 나뭇가지 모양의 그림으로 나타내어 본다.

가능한 모든 경로를 나뭇가지 모양의 그림으로 나타내면 다음과 같다.

4 5 - 6 -출구 3 6 -출구 2 5 - 6 -출구 4 5 - 6 -출구 입구 - 1 6 -출구

4 5 - 6 -출구 3 6 -출구

5 - 6 -출구 따라서 구하는 방법의 수는 8이다.

02

Action가능한 모든 경우를 나뭇가지 모양의 그림으로 나타내어 본다.

1차전에서 A 팀이 이겼고, 2차전에서 5차전까지 이기는 팀을 나뭇가지 모양의 그림으로 나타내면 다음과 같다.

1차전 2차전 3차전 4차전 5차전

A A

B A

B A

B A

A A

B A

B B

A A

B B

B 따라서 구하는 경우의 수는 10이다.

23

Action세 점이 한 직선 위에 있을 때에는 삼각형이 만들어지지 않는다.

9개의 점 중에서 자격이 같은 3개의 점을 택하는 경우의

수는 =84

이때 오른쪽 그림과 같이 세 점이 한 직선 위에 있을 때에는 삼각형이 만들어지지 않는다.

따라서 구하는 삼각형의 개수 는 84-8=76(개)

9_8_7 3_2_1

018 0210 0322 049 058 06420 078 085760 09125개 1036개 11244개 1250 1330개 14315 158 1640

03

Action주어진 도로망 위에 진행 방향으로 갈 수 있는 방법의 수를 하나씩 적어 나간다.

A지점을 출발하여 각 지점 까지 가는 방법의 수를 구하 면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 구하는 방법의 수는 22이다.

04

Action2장의 카드에 적힌 수의 합은 3 이상 19 이하의 자연수이다.

2장의 카드에 적힌 수의 합은 3 이상 19 이하의 자연수 이므로 나올 수 있는 8의 배수는 8, 16이고, 10의 배수는 10이다.

⁄두 수의 합이 8인 경우

(1, 7), (2, 6), (3, 5)의 3가지

¤두 수의 합이 16인 경우 (6, 10), (7, 9)의 2가지

‹두 수의 합이 10인 경우

(1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6)의 4가지

⁄~‹에 의하여 구하는 경우의 수는 3+2+4=9

05

Action5개의 계단을 한 걸음에 1계단 또는 2계단씩 오르는 경우를 순서쌍으로 나타내어 본다.

A에서 B까지 올라가려면 5개의 계단을 올라가면 된다.

1계단씩 5번 오르는 경우 (1, 1, 1, 1, 1)의 1가지

¤1계단씩 3번, 2계단씩 1번 오르는 경우 (1, 1, 1, 2), (1, 1, 2, 1), (1, 2, 1, 1), (2, 1, 1, 1)의 4가지

1계단씩 1번, 2계단씩 2번 오르는 경우 (1, 2, 2), (2, 1, 2), (2, 2, 1)의 3가지

⁄~‹에 의하여 구하는 방법의 수는 1+4+3=8

06

ActionA, B, C 세 부분에 칠할 수 있는 색의 수를 차례로 구한 후 D에 B와 다른 색을 칠하는 경우와 같은 색을 칠하는 경우로 나누어 생각해 본다.

A에 칠할 수 있는 색은 5가지, B에 칠할 수 있는 색은 A에 칠한 색을 제외한 4가지, C에 칠할 수 있는 색은 A, B에 칠한 색을 제외한 3가지이다.

이때 D와 E에 색을 칠하는 방법은 다음과 같다.

⁄D에 B와 다른 색을 칠하는 경우

D에 칠할 수 있는 색은 A, B, C에 칠한 색을 제외한 2가지, E에 칠할 수 있는 색은 A, B, D에 칠한 색을 제외한 2가지이므로

2_2=4

1 1 1

1 1 1

A 6 B

4

16 22 6 2

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(6)

¤D에 B와 같은 색을 칠하는 경우

D에 칠할 수 있는 색은 B에 칠한 색과 같으므로 1가 지, E에 칠할 수 있는 색은 A, B(또는 D)에 칠한 색 을 제외한 3가지이므로

1_3=3

⁄, ¤에 의하여 D와 E에 칠할 수 있는 색은 4+3=7(가지)

따라서 구하는 방법의 수는 5_4_3_7=420

07

Action왼쪽에서 세 번째에 선 사람이 이웃한 두 사람보다 키가 크려 면 키가 가장 크거나 두 번째로 커야 한다.

왼쪽에서 세 번째에 선 사람이 이웃한 두 사람보다 키가 크려면 키가 가장 크거나 두 번째로 커야 한다.

⁄키가 가장 큰 경우

나머지 세 자리에 3명을 일렬로 세우는 경우의 수와 같으므로

3_2_1=6

¤키가 두 번째로 큰 경우

첫 번째에 키가 가장 큰 사람을 세우고, 두 번째와 네 번째에 키가 작은 2명을 일렬로 세우는 경우의 수와 같으므로

2_1=2

⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 6+2=8

08

Action먼저 남학생을 앉히고 남학생 옆에 여학생을 앉힌다.

남학생 3명 중에서 첫 번째 남학생이 자리에 앉는 방법 은 12가지, 두 번째 남학생이 자리에 앉는 방법은 첫 번 째 남학생이 앉은 줄의 두 자리를 제외한 10가지, 세 번 째 남학생이 자리에 앉는 방법은 앞의 두 남학생이 앉은 두 줄의 네 자리를 제외한 8가지이다.

이때 남학생 3명의 옆자리에 여학생 3명이 앉는 방법의 수는

3_2_1=6

따라서 구하는 방법의 수는 12_10_8_6=5760

09

Actionb=0인 경우와 b+0인 경우로 나누어 만들 수 있는 abbc의 개수를 각각 구한다.

네 자리의 정수를 abbc라고 하자.

b=0인 경우

a, c가 될 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5개이므로 만들 수 있는 abbc의 개수는

5_5=25(개)

¤b+0인 경우

b가 될 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5의 5개, a가 될 수 있는 숫자는 0, b를 제외한 4개, c가 될 수 있는 숫자 는 b를 제외한 5개이므로 만들 수 있는 abbc의 개수 는 5_4_5=100(개)

⁄, ¤에 의하여 구하는 정수의 개수는 25+100=125(개)

10

Action다섯 자리의 정수의 개수에서 2와 3이 이웃하는 정수의 개수 와 2와 3 사이에 다른 숫자가 1개 들어 있는 정수의 개수를 뺀다.

만들 수 있는 모든 다섯 자리의 정수의 개수는 5_4_3_2_1=120(개)

⁄2와 3이 이웃하는 경우

2와 3을 하나로 생각하면 4개의 숫자를 일렬로 나열 하는 경우의 수는

4_3_2_1=24

이때 2와 3이 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 정수 의 개수는

24_2=48(개)

¤2와 3 사이에 다른 숫자가 1개 들어 있는 경우 2와 3 사이에 1 또는 4 또는 5가 들어갈 수 있으므로 경우의 수는 3

2와 3과 그 사이에 있는 다른 숫자를 하나로 생각하 면 3개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 3_2_1=6

이때 2와 3이 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 정수 의 개수는

3_6_2=36(개) 따라서 구하는 정수의 개수는 120-(48+36)=36(개)

⁄2와 3 사이에 다른 숫자가 2개 들어 있는 경우 2와 3 사이에 1, 4, 5 중 2개의 숫자를 일렬로 나열하 는 경우의 수는

3_2=6

2와 3과 그 사이에 있는 다른 숫자 2개를 하나로 생 각하면 2개의 숫자를 일렬로 나열하는 경우의 수는 2_1=2

다른 풀이 이웃한 부분에 서로 다른 색을 칠해야 할 때에는 이웃한 부분이 가

장 많은 A 부분부터 색을 칠하는 것이 모든 경우를 빠짐없이 구하 는 데에 편리하다.

이때 네 부분 B, C, D, E는 이웃한 부분의 수가 같으므로 그 중 어 느 것에 먼저 색을 칠해도 관계없다.

Lecture 색을 칠하는 순서

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(7)

Ⅰ-`1. 경우의 수 7 이때 2와 3이 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 정수

의 개수는 6_2_2=24(개)

¤2와 3 사이에 다른 숫자가 3개 들어 있는 경우 2와 3 사이에 1, 4, 5를 일렬로 나열하는 경우의 수는 3_2_1=6

이때 2와 3이 자리를 바꿀 수 있으므로 구하는 정수 의 개수는

6_2=12(개)

⁄, ¤에 의하여 구하는 정수의 개수는 24+12=36(개)

11

Action어떤 자리의 숫자가 1일 때, 다른 자리에 1을 제외하고 들어 갈 수 있는 숫자의 개수를 구한다.

천의 자리의 숫자만 1인 경우 1000⇨ 1개

¤백의 자리의 숫자만 1인 경우 1 ⇨ 9_9=81(개)

십의 자리의 숫자만 1인 경우 1 ⇨ 9개

1 ⇨ 8_9=72(개)

∴ 9+72=81(개)

일의 자리의 숫자만 1인 경우 1⇨ 1개

1⇨ 8개

1⇨ 8_9=72(개)

∴ 1+8+72=81(개)

⁄~`›에 의하여 구하는 수의 개수는 1+81+81+81=244(개)

12

ActionA, B 두 택시에 탈 학생 수를 순서쌍으로 나타내어 본다.

A, B 두 택시에 탈 학생 수를 순서쌍으로 나타내면 (2명, 4명) 또는 (3명, 3명) 또는 (4명, 2명)이다.

⁄(2명, 4명)으로 나누어 타는 경우

6명 중에서 A 택시에 탈 2명을 뽑는 경우의 수와 같 으므로

6_5=15 2_1

1을 제외한 0, 2, 3, y, 9의 9개

0, 1을 제외한 2, 3, y, 9의 8개 1을 제외한 0, 2, 3, y, 9의 9개 0, 1을 제외한 2, 3, y, 9`의 8개 1을 제외한 0, 2, 3, y, 9의 9개 1을 제외한 0, 2, 3, y, 9의 9개

1을 제외한 0, 2, 3, y, 9`의 9개 0, 1을 제외한 2, 3, y, 9`의 8개

¤(3명, 3명)으로 나누어 타는 경우

6명 중에서 A 택시에 탈 3명을 뽑는 경우의 수와 같 으므로

=20

‹(4명, 2명)으로 나누어 타는 경우

6명 중에서 B 택시에 탈 2명을 뽑는 경우의 수와 같 으므로

=15

⁄~‹에 의하여 구하는 방법의 수는 15+20+15=50

13

Action구각형의 두 변과 겹치는 경우와 한 변과 겹치는 경우를 각각 생각해 본다.

9개의 점 중에서 3개의 점을 택하여 삼각형을 만드는 경 우의 수는

=84

이때 구각형의 두 변과 겹치는 삼각형의 개수는 꼭짓점 의 개수와 같으므로 9개이다.

또, 구각형의 한 변과 겹치는 삼각형의 개수는 9_(9-4)=45(개)

따라서 구하는 삼각형의 개수는 84-(9+45)=30(개)

14

Action7개의 팀 중에서 ⑦`에 위치할 팀을 먼저 뽑는다.

7개의 팀 중에서 ⑦`에 위치할 팀을 뽑는 방법은 7가지 6개의 팀 중에서 ⑤, ⑥`에 위치할 두 팀을 뽑는 방법의 수는

=15

나머지 4개의 팀을 A, B, C, D라고 하면 ①, ②, ③, ④ 에 위치하도록 두 팀씩 나누는 방법은 (A, B)와 (C, D), (A, C)와 (B, D), (A, D)와 (B, C)의 3가지 따라서 구하는 방법의 수는

7_15_3=315 6_5

2_1 9_8_7 3_2_1 6_5 2_1 6_5_4 3_2_1

A, B, C, D 4개의 팀을 2팀, 2팀의 2개의 조로 나누는 경우의 수

_ _;2!;=3

즉, (A, B)와 (C, D), (A, C)와 (B, D), (A, D)와 (B, C)의 3가지이다.

2_1 2_1 4_3 2_1

Lecture 2개의 조로 나누는 경우의 수

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(8)

15

Actionx-2>0, y-2>0인 경우와 x-2<0, y-2<0인 경우로 나누어 생각한다.

(x-2)(y-2)>0에서

x-2>0, y-2>0 또는 x-2<0, y-2<0

x-2>0, y-2>0인 경우 x>2, y>2이므로 x=3, 4, 5이고 y=3, 4 이때 경우의 수는 3_2=6

¤x-2<0, y-2<0인 경우 x<2, y<2이므로 x=0, 1이고 y=1 이때 경우의 수는 2_1=2

⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 6+2=8

16

Action삼각기둥이 회전하므로 옆면에 색을 칠하는 방법의 수는 3가 지 색을 원형으로 배열하는 방법의 수와 같다.

윗면에 칠할 수 있는 색은 5가지이고, 아랫면에 칠할 수 있는 색은 윗면에 칠한 색을 제외한 4가지이다.

이때 주어진 삼각기둥이 회전하므로 옆면에 색을 칠하는 방법의 수는 남은 3가지 색을 원형으로 배열하는 방법의 수와 같다.

즉, 옆면에 빨강`-`노랑`-`파랑, 노랑`-`파랑`-`빨강, 파랑

`-`빨강`-`노랑을 칠하는 것은 모두 같은 것이므로 옆면 에 색을 칠하는 방법의 수는

=2

따라서 구하는 방법의 수는 5_4_2=40

3_2_1 3

01

ActionE가 닫혀 있는 경우와 E가 열려 있는 경우로 나누어 생각한 다.

스위치가 닫혀 있는 경우를 , 열려 있는 경우를 _로 나타내어 P 지점에서 Q 지점까지 전기가 흐르는 경우를 순서쌍 (A, B, C, D, E)로 나타내면 다음과 같다.

⁄E가 닫혀 있는 경우

( , , , , ), ( , , , _, ), ( , , _, , ), ( , _, , , ), ( , _, , _, ), ( , _, _, , ), (_, , , , ), (_, , , _, ), (_, , _, , )의 9가지

¤E가 열려 있는 경우

( , , , , _), ( , , , _, _), ( , , _, , _), ( , _, , , _), ( , _, _, , _), (_, , , , _), (_, , , _, _)의 7가지

⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 9+7=16

02

Action주사위를 4회 던지는 경우와 5회 던지는 경우로 나누어 개미 의 이동 경로가 직사각형이 되는 경우를 모두 찾는다.

⁄주사위를 4회 던질 때, 개미의 이동 경로가 직사각형 이 되는 경우

(1, 1, 1, 1), (1, 2, 1, 2), (2, 1, 2, 1), (2, 2, 2, 2) 의 4가지

¤주사위를 5회 던질 때, 개미의 이동 경로가 직사각형 이 되는 경우

⁄의 각 경우에 0이 한 번씩 추가되면 주사위를 5회 던질 때, 개미의 이동 경로가 직사각형이 되므로 그 경우의 수는 4_4=16

즉, (0, 1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, 1, 1), (1, 1, 0, 1, 1), (1, 1, 1, 0, 1), (0, 1, 2, 1, 2), (1, 0, 2, 1, 2), (1, 2, 0, 1, 2), (1, 2, 1, 0, 2), (0, 2, 1, 2, 1), (2, 0, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 2, 1), (2, 1, 2, 0, 1), (0, 2, 2, 2, 2), (2, 0, 2, 2, 2), (2, 2, 0, 2, 2), (2, 2, 2, 0, 2)의 16가지

또, 0이 나오지 않는 경우는

(1, 1, 2, 1, 1), (1, 2, 2, 2, 1)의 2가지

따라서 주사위를 5회 던질 때, 개미의 이동 경로가 직 사각형이 되는 경우의 수는 16+2=18

최/ 고/ 수/ 준

뛰어넘기

P17~18

0116 0222 0360개 04120 05720개 0648

위의 문제에서 직선 l을 축으로 하여 회전하는 삼각기둥을 위에서 내려다보았을 때, 다음 그림처럼 옆면에 각각 빨강–노랑–파랑을 칠하는 방법과 노랑–파랑–빨강을 칠하는 방법, 파랑–빨강–노 랑을 칠하는 방법은 모두 같은 방법이다.

즉, 서로 다른 3개를 원형으로 배열하면 서로 다른 3개를 일렬로 배열하는 경우에서 같은 것이 3가지씩 있게 된다.

따라서 원형으로 배열하는 경우의 수는 일렬로 배열하는 경우의 수를 3으로 나눈 것과 같으므로

=2

일반적으로, 서로 다른 n개를 원형으로 배열하는 경우의 수는

=(n-1)_(n-2)_y_2_1 n_(n-1)_(n-2)_y_2_1

n 3_2_1

3

l l l

빨강 파랑

노랑 파랑 빨강

노랑 빨강 파랑 노랑

Lecture 원형으로 배열하는 경우의 수

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(9)

Ⅰ-`1. 경우의 수 9

⁄, ¤에 의하여 구하는 경우의 수는 4+18=22

03

Action모든 경우의 수에서 b가 연속으로 나열된 암호의 개수를 뺀다.

a, b, c를 여러 번 사용하여 4개의 문자로 된 암호를 만 드는 경우의 수는

3_3_3_3=81

이 중에서 b가 연속으로 나열되는 경우는 다음과 같다.

b가 4개인 경우 bbbb의 1가지

¤b가 3개, a가 1개인 경우

bbba, bbab, babb, abbb의 4가지

b가 3개, c가 1개인 경우

bbbc, bbcb, bcbb, cbbb의 4가지

b가 2개, a가 2개인 경우 bbaa, abba, aabb의 3가지b가 2개, c가 2개인 경우

bbcc, cbbc, ccbb의 3가지b가 2개, a가 1개, c가 1개인 경우

bbac, bbca, abbc, cbba, acbb, cabb의 6가지 따라서 전송 가능한 암호의 개수는

81-(1+4+4+3+3+6)=60(개)

04

Action모든 경우의 수에서 (a-1)(b-2)(c-3)(d-4)(e-5) 의 값이 홀수인 경우의 수를 뺀다.

(a-1)(b-2)(c-3)(d-4)(e-5)의 값이 짝수인 경우의 수는 모든 경우의 수에서

(a-1)(b-2)(c-3)(d-4)(e-5)의 값이 홀수인 경우의 수를 뺀 것과 같다.

5개의 공을 연속하여 꺼내는 경우의 수는 5_4_3_2_1=120

(a-1)(b-2)(c-3)(d-4)(e-5)의 값이 홀수가 되는 것은 a-1, b-2, c-3, d-4, e-5가 모두 홀수 인 경우이다.

a, b, c, d, e는 각각 11, 12, 13, 14, 15 중의 하나이므 로 2개는 짝수, 3개는 홀수이다. 즉, a, c, e 중 적어도 하 나는 홀수이고, (홀수)-(홀수)=(짝수)이므로 a-1, c-3, e-5 중 적어도 하나는 짝수이다.

따라서 (a-1)(b-2)(c-3)(d-4)(e-5)의 값은 항상 짝수이므로 구하는 경우의 수는 120이다.

05

Action평행사변형이 아닌 사다리꼴이 만들어지려면 사다리꼴의 윗 변과 아랫변은 평행선에서 택하고, 나머지 두 변은 평행하지 않은 직선 에서 각각 하나씩 택해야 한다.

평행사변형이 아닌 사다리꼴이 만들어지려면 사다리꼴 의 윗변과 아랫변은 평행선에서 택하고, 나머지 두 변은 평행하지 않은 직선에서 각각 하나씩 택해야 한다.

⁄4개의 평행선에서 2개, 5개의 평행선에서 1개, 6개의 평행선에서 1개를 택하는 경우

_5_6=180

¤4개의 평행선에서 1개, 5개의 평행선에서 2개, 6개의 평행선에서 1개를 택하는 경우

4_ _6=240

‹4개의 평행선에서 1개, 5개의 평행선에서 1개, 6개의 평행선에서 2개를 택하는 경우

4_5_ =300

⁄~‹에 의하여 평행사변형이 아닌 사다리꼴의 개수는 180+240+300=720(개)

06

Action1에서 8까지의 자연수 중에서 두 수의 합이 같은 수끼리 짝 지어 본다.

1에서 8까지의 자연수의 합은 36이므로 두 수의 합이 :£4§:=9인 경우 (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5)를 마주 보도록 배열해야 한다.

회전하여 모양이 같아지는 것을 같은 것으로 생각하므로 네 쌍 중에서 한 쌍의 위치를 고정시키면 세 쌍의 수를 일로 배열하는 방법의 수는

3_2_1=6

이때 짝지은 두 수가 자리를 바꾸는 방법의 수는 2_2_2=8

따라서 구하는 방법의 수는 6_8=48 6_5

2_1 5_4 2_1 4_3 2_1

개미는 직진 후 90˘만큼 우회전하므로 개미의 이동 경로가 만드는 도형의 모든 각의 크기는 90˘이다. 따라서 가로의 두 변의 길이와 세로의 두 변의 길이가 각각 같으면 직사각형이 되므로 다음을 만 족하면 된다.

주사위를 4회 던질 때, 개미의 이동 경로가 직사각형이 되는 경우 순서쌍 (a, b, c, d)에서 a=c, b=d인 경우

¤주사위를 5회 던질 때, 개미의 이동 경로가 직사각형이 되는 경우

⁄의 각 경우에 0이 한 번씩 추가된 경우 또는 0이 아닌 숫자 들의 순서쌍 (a, b, c, d, e)에서 a+e=c, b=d인 경우

Lecture 직사각형이 만들어지는 경우

⑴ 사다리꼴:한 쌍의 대변이 평행한 사각형

⑵ 평행사변형:두 쌍의 대변이 평행한 사각형

⑶ 직사각형:네 내각의 크기가 모두 같은 사각형

⑷ 마름모:네 변의 길이가 모두 같은 사각형

Lecture 여러 가지 사각형

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(10)

최/ 고/ 수/ 준

입문하기

2 확률

P20~23

01

Action가위바위보를 할 때, 각 사람이 낼 수 있는 것은 가위, 바위, 보의 3가지이다.

두 사람이 가위바위보를 할 때, 일어나는 모든 경우의 수 는 3_3=9

비기는 경우는

(가위, 가위), (바위, 바위), (보, 보)의 3가지 따라서 구하는 확률은 ;9#;=;3!;

02

Action 반드시 일어나는 사건의 확률은 1이다.

서로 다른 두 개의 주사위를 동시에 던질 때, 나온 두 눈 의 수의 합은 항상 2 이상 12 이하이다.

따라서 두 눈의 수의 합이 2 이상일 확률은 1이고 12 이 하일 확률도 1이므로 a=1, b=1

∴ a+b=2

03

Action삼각형이 만들어지려면 가장 긴 변의 길이는 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다.

5개의 선분 중에서 3개를 택하는 경우의 수는

=10

삼각형이 만들어지는 경우는

(3 cm, 4 cm, 5 cm), (3 cm, 4 cm, 6 cm), (3 cm, 5 cm, 6 cm), (4 cm, 5 cm, 6 cm), (4 cm, 6 cm, 9 cm), (5 cm, 6 cm, 9 cm)의 6가지 따라서 구하는 확률은 ;1§0;=;5#;

5_4_3 3_2_1

04

Action구하는 확률은 1-(국어 문제집을 가장 왼쪽에 꽂을 확률)임 을 이해한다.

문제집 4권을 책꽂이에 일렬로 꽂는 경우의 수는 4_3_2_1=24

국어 문제집을 가장 왼쪽에 꽂는 경우의 수는 3_2_1=6

이때 국어 문제집을 가장 왼쪽에 꽂을 확률은 ;2§4;=;4!;

따라서 구하는 확률은 1-;4!;=;4#;

05

Action두 주사위 A, B가 바닥에 닿은 면의 눈의 수의 곱이 14보다 클 확률을 구한다.

두 주사위 A, B를 동시에 던질 때, 나오는 모든 경우의

수는 4_6=24 …… 30%

두 주사위 A, B가 바닥에 닿은 면의 눈의 수의 곱이 14 보다 큰 경우를 순서쌍 (주사위 A, 주사위 B)로 나타내 면 (3, 5), (3, 6), (4, 4), (4, 5), (4, 6)의 5가지이다.

…… 50%

따라서 구하는 확률은 ;2∞4; …… 20%

06

Action구하는 확률은 1-(3명 모두 여자가 뽑힐 확률)임을 이해한다.

후보 8명 중에서 3명의 대표를 뽑는 경우의 수는

=56

여자 후보 5명 중에서 3명의 대표를 뽑는 경우의 수는

=10

이때 3명 모두 여자가 뽑힐 확률은 ;5!6);=;2∞8;

따라서 구하는 확률은 1-;2∞8;=;2@8#;

07

Action문제에‘또는’이라는 표현이 있으므로 확률의 덧셈을 이용한다.

1등 제비를 뽑을 확률은 ;10$0;

2등 제비를 뽑을 확률은 ;1™0¡0;

따라서 구하는 확률은 ;10$0;+;1™0¡0;=;1™0∞0;=;4!;

08

Action2개 모두 팥이 들어 있는 송편을 택해야 하므로 확률의 곱셈 을 이용한다.

A접시에서 팥이 들어 있는 송편을 택할 확률은

;3!0@;=;5@;

B접시에서 팥이 들어 있는 송편을 택할 확률은

;3!0%;=;2!;

따라서 구하는 확률은 ;5@;_;2!;=;5!;

5_4_3 3_2_1 8_7_6 3_2_1 01;3!; 022 03;5#; 04;4#;

05;2∞4; 06;2@8#; 07;4!; 08;5!;

0915 % 10;1™5; 11;1§2¡5; 12;1¶2;

13;4!2(; 14;1∞8; 15;4#; 16;1∞8;

17;2¢5; 18;1∞6; 19;1¡5; 20;4!;

21;7$; 22;4#2&; 23;9$; 24;1!8!;

⑴ 어떤 사건이 일어날 확률을 p라고 하면 0…p…1이다.

⑵ 절대로 일어나지 않는 사건의 확률은 0이다.

⑶ 반드시 일어나는 사건의 확률은 1이다.

Lecture 확률의 성질

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(11)

Ⅰ-`2. 확률 11

09

Action사건 A가 일어날 확률이 p일 때, 사건 A가 일어나지 않을 확률은 1-p이다.

내일 비가 오지 않을 확률은

1-;1¶0º0;=;1£0º0;=;1£0; …… 30%

모레 비가 오지 않을 확률은

1-;1∞0º0;=;1∞0º0;=;2!; …… 30%

따라서 구하는 확률은 ;1£0;_;2!;=;2£0;

∴ ;2£0;_100=15(%) …… 40%

10

Action구하는 확률은 (A가 명중시킬 확률)_(B가 명중시킬 확률) _(C가 명중시키지 못할 확률)임을 이해한다.

A와 B는 명중시키고 C는 명중시키지 못할 확률은

;5@;_;2!;_{1-;3!;}=;5@;_;2!;_;3@;=;1™5;

11

Action구하는 확률은 1-(3문제 모두 틀릴 확률)임을 이해한다.

3문제 모두 틀릴 확률은 ;5$;_;5$;_;5$;=;1§2¢5;

따라서 구하는 확률은 1-;1§2¢5;=;1§2¡5;

12

Action두 자연수의 합이 홀수이려면 (짝수)+(홀수) 또는 (홀수)+(짝수)이어야 한다.

두 자연수의 합이 홀수이려면 (짝수)+(홀수) 또는 (홀수)+(짝수)이어야 한다.

A가 짝수이고 B가 홀수일 확률은 {1-;4!;}_;3@;=;4#;_;3@;=;2!;

¤A가 홀수이고 B가 짝수일 확률은

;4!;_{1-;3@;}=;4!;_;3!;=;1¡2;

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은

;2!;+;1¡2;=;1§2;+;1¡2;=;1¶2;

13

ActionA상자를 택하는 경우와 B 상자를 택하는 경우로 나누어 각 각의 확률을 구한다.

⁄A상자를 택하고 노란 공을 꺼낼 확률은

;2!;_;7$;=;7@;

¤B상자를 택하고 노란 공을 꺼낼 확률은

;2!;_;3!;=;6!;

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은

;7@;+;6!;=;4!2@;+;4¶2;=;4!2(;

14

Action두 번째 경기에서 승리하는 경우와 패배하는 경우로 나누어 각각의 확률을 구한다.

⁄두 번째 경기에서 승리하고 세 번째 경기에서 승리할 확률은 ;3!;_;3!;=;9!; …… 40%

¤두 번째 경기에서 패배하고 세 번째 경기에서 승리할 확률은 {1-;3!;}_;4!;=;3@;_;4!;=;6!; …… 40%

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은

;9!;+;6!;=;1™8;+;1£8;=;1∞8; …… 20%

15

Actionx+2y=5와 x+y>4를 만족하는 순서쌍 (x, y)를 각각 구한다.

두 주사위 A, B를 동시에 던질 때, 나오는 모든 경우의 수는 4_4=16

x+2y=5를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (1, 2), (3, 1)의 2가지이므로 그 확률은 ;1™6;

¤x+y>4를 만족하는 순서쌍 (x, y)는 (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4)의 10가지이므로 그 확률은 ;1!6);

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은

;1™6;+;1!6);=;1!6@;=;4#;

16

Action점 P가 꼭짓점 D에 놓이려면 두 눈의 수의 합이 3 또는 7 또는 11이어야 한다.

주사위를 두 번 던질 때, 나오는 모든 경우의 수는 6_6=36

점 P가 꼭짓점 D에 놓이려면 두 눈의 수의 합이 3 또는 7또는 11이어야 한다.

⁄두 눈의 수의 합이 3인 경우는 (1, 2), (2, 1)의 2가 지이므로 그 확률은 ;3™6;

¤두 눈의 수의 합이 7인 경우는 (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)의 6가지이므로 그 확 률은 ;3§6;

‹두 눈의 수의 합이 11인 경우는 (5, 6), (6, 5)의 2가 지이므로 그 확률은 ;3™6;

⁄~‹에 의하여 구하는 확률은

;3™6;+;3§6;+;3™6;=;3!6);=;1∞8;

⑴ (짝수)+(짝수)=(짝수) ⑵ (짝수)+(홀수)=(홀수)

⑶ (홀수)+(짝수)=(홀수) ⑷ (홀수)+(홀수)=(짝수)

Lecture 두 자연수의 합

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(12)

17

Action9의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 9의 배수이다.

세 자리의 정수의 개수는 5_5_4=100(개)

9의 배수는 각 자리의 숫자의 합이 9의 배수이므로 0, 4, 5또는 1, 3, 5 또는 2, 3, 4가 적힌 카드를 뽑아야 한다.

⁄0, 4, 5로 만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수는 2_2_1=4(개)이므로 그 확률은 ;10$0;

¤1, 3, 5로 만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수는 3_2_1=6(개)이므로 그 확률은 ;10^0;

‹2, 3, 4로 만들 수 있는 세 자리의 정수의 개수는 3_2_1=6(개)이므로 그 확률은 ;10^0;

⁄~‹에 의하여 구하는 확률은

;10$0;+;10^0;+;10^0;=;1¡0§0;=;2¢5;

18

Action점 P가 원점보다 왼쪽에 있으려면 앞면이 한 번, 뒷면이 세 번 나오거나 뒷면이 네 번 나와야 한다.

동전을 4번 던질 때, 나오는 모든 경우의 수는 2_2_2_2=16

점 P가 원점보다 왼쪽에 있으려면 앞면이 한 번, 뒷면이 세 번 나오거나 뒷면이 네 번 나와야 한다.

⁄앞면이 한 번, 뒷면이 세 번 나오는 경우는 (앞, 뒤, 뒤, 뒤), (뒤, 앞, 뒤, 뒤), (뒤, 뒤, 앞, 뒤), (뒤, 뒤, 뒤, 앞)의 4가지이므로 그 확률은 ;1¢6;

¤뒷면이 네 번 나오는 경우는 (뒤, 뒤, 뒤, 뒤)의 1가지 이므로 그 확률은 ;1¡6;

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;1¢6;+;1¡6;=;1∞6;

19

Action꺼낸 제비를 다시 넣지 않으므로 두 번째 제비를 꺼낼 때 상 자 안에는 모두 9개의 제비가 들어 있다.

첫 번째 당첨 제비를 뽑을 확률은 ;1£0;

두 번째 당첨 제비를 뽑을 확률은 ;9@;

따라서 구하는 확률은 ;1£0;_;9@;=;1¡5;

20

Action도형에서의 확률은 넓이를 이용하여 구한다.

원판 A의 바늘이 소수를 가리킬 확률은

;6#;=;2!; …… 40%

원판 B의 바늘이 소수를 가리킬 확률은

;8$;=;2!; …… 40%

따라서 구하는 확률은 ;2!;_;2!;=;4!; …… 20%

21

Action지윤이가 꺼낸 구슬을 다시 넣지 않으므로 서영이는 6개의 구슬 중에서 1개를 꺼내야 한다.

⁄지윤이는 빨간 구슬을 꺼내고 서영이는 파란 구슬을 꺼낼 확률은 ;7$;_;6#;=;7@;

¤지윤이는 파란 구슬을 꺼내고 서영이는 빨간 구슬을 꺼낼 확률은 ;7#;_;6$;=;7@;

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;7@;+;7@;=;7$;

22

Action구하는 확률은 1-(세 수의 곱이 홀수일 확률)임을 이해한다.

세 수의 곱이 홀수이려면 세 수는 모두 홀수이어야 한다.

세 수의 곱이 홀수일 확률은 ;9%;_;8$;_;7#;=;4∞2;

따라서 구하는 확률은 1-;4∞2;=;4#2&;

23

Action맞힌 두 수의 합이 0이 되려면 -1과 1 또는 1과 -1을 차 례로 맞혀야 한다.

맞힌 두 수의 합이 0이 되려면 -1과 1 또는 1과 -1을 차례로 맞혀야 한다.

⁄-1과 1을 차례로 맞힐 확률은 ;6@;_;6$;=;9@;

¤1과 -1을 차례로 맞힐 확률은 ;6$;_;6@;=;9@;

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은 ;9@;+;9@;=;9$;

24

ActionA 바둑통에서 흰 바둑돌을 꺼내는 경우와 검은 바둑돌을 꺼 내는 경우로 나누어 각각의 확률을 구한다.

⁄A바둑통에서 흰 바둑돌을 꺼내고 B 바둑통에서 흰 바둑돌을 꺼낼 확률은

;9^;_;6$;=;9$;

¤A 바둑통에서 검은 바둑돌을 꺼내고 B 바둑통에서 흰 바둑돌을 꺼낼 확률은

;9#;_;6#;=;6!;

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은

;9$;+;6!;=;1•8;+;1£8;=;1!8!;

점 P가 꼭짓점 D에 처음으로 놓이는 경우는 점 P가 3만큼 이동한 경우이다. 이때 정사각형의 둘레의 길이는 4이므로 점 P가 꼭짓점 D에 두 번째, 세 번째, 네 번째, y로 놓이는 경우는 점 P가 3+4=7, 3+4_2=11, 3+4_3=15, y만큼 이동한 경우이 다. 그런데 주사위를 두 번 던질 때, 나오는 두 눈의 수의 합의 최댓 값은 6+6=12이므로 점 P는 최대 12만큼 이동할 수 있다.

따라서 점 P가 꼭짓점 D에 놓이는 경우는 점 P가 3 또는 7 또는 11만큼 이동한 3가지 경우뿐이다.

Lecture 점 P가 꼭짓점 D에 놓이는 경우

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(13)

Ⅰ-`2. 확률 13

최/ 고/ 수/ 준

완성하기

P24~27

01

Action중학생 3명을 1명으로 생각하여 나란히 앉힌 후 3명이 서로 자리를 바꾸는 경우를 생각한다.

8명이 나란히 앉는 경우의 수는 8_7_6_5_4_3_2_1

중학생 3명이 이웃하여 앉는 경우의 수는 (6_5_4_3_2_1)_(3_2_1) 따라서 구하는 확률은

=;2£8;

02

Action먼저 전체 공의 개수를 구한다.

전체 공의 개수는 (4+a+b)개이고, 빨간 공이 나올 확 률은 ;3!;이므로 =;3!;

4+a+b=12 ∴ a+b=8

따라서 전체 공의 개수는 4+8=12(개)이고, 노란 공이 나올 확률은 ;4!;이므로 ;1Å2;=;4!; ∴ a=3

a+b=8에 a=3을 대입하면 b=5

∴ b-a=2

03

Action(x¡-x™)(x¡-x£)+0이 성립하려면 x¡+x™, x¡+x£이어 야 한다.

서로 다른 세 장의 카드에 세 숫자 0, 1, 2 중의 하나를 적는 경우의 수는

3_3_3=27

(x¡-x™)(x¡-x£)+0이므로 x¡-x™+0, x¡-x£+0

∴ x¡+x™, x¡+x£

이것을 만족하는 경우를 나뭇가지 모양의 그림으로 나타 내면 다음과 같다.

x™ x™ x™

1 1

0 0

0 0

0 2

1 2

2 1

2 1

2 0

1 0

2 2 1

∴ 12가지

따라서 구하는 확률은 ;2!7@;=;9$;

4 4+a+b

(6_5_4_3_2_1)_(3_2_1) 8_7_6_5_4_3_2_1

01;2£8; 022 03;9$; 04;5#;

05;4$8#; 06;8¶1; 07;2!5@; 08;1¶5;

09;8#; 10;5£6; 11;1£0¡8; 12;3•5;

135 14;82!5; 15;2!; 16;8@1^;

04

Action4개의 점을 택하여 그릴 수 있는 직사각형을 빠짐없이 찾는다.

오른쪽 그림에서 가로 방향의 3개의 직선 중에서 2개를 택하고 세로 방향 의 3개의 직선 중에서 2개를 택하거 나, 대각선 방향의 4개의 직선을 택 하면 직사각형을 그릴 수 있으므로 직사각형을 그리는 모든 경우의 수는 _ +1=3_3+1=10 한편, 한 변의 길이가 1인 정사각형은 4개, 한 변의 길이가 2인 정사각형은 1개, 오른쪽 그림과 같은 정사각형은 1개를 그릴 수 있으므로 정사각형을 그리는 경우의 수는 4+1+1=6 따라서 구하는 확률은 ;1§0;=;5#;

05

Action구하는 확률은 1-(유한소수로 나타내어질 확률)임을 이해한다.

만들 수 있는 분수의 개수는 (4_4)_6=96(개) 유한소수로 나타낼 수 있는 분수는 다음과 같다.

⁄분모가 12(=2¤ _3)인 경우는 ;1£2;, ;1§2;의 2개

¤분모가 24(=2‹ _3)인 경우는 ;2£4;, ;2§4;의 2개

‹분모가 32(=2fi )인 경우는 ;3¡2;, ;3™2;, ;3£2;, ;3¢2;, ;3∞2;,

;3§2;의 6개

⁄~‹에 의하여 유한소수로 나타낼 수 있는 분수의 개 수는 2+2+6=10(개)

이때 유한소수로 나타내어질 확률은 ;9!6);=;4∞8;

따라서 구하는 확률은 1-;4∞8;=;4$8#;

06

Action방정식 ax-b=0의 해가 ;2!; 또는 3이므로 ax-b=0에 x=;2!;, x=3을 각각 대입한다.

모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 9_9=81

방정식 ax-b=0의 해가 ;2!;인 경우 ax-b=0에 x=;2!;을 대입하면

3_2 2_1 3_2

2_1

분수를 기약분수로 나타낸 후 분모를 소인수분해하였을 때

⑴ 분모의 소인수가 2나 5뿐이면 유한소수로 나타낼 수 있다.

⑵ 분모의 소인수 중에 2나 5 이외의 수가 있으면 유한소수로 나타 낼 수 없다.

Lecture 유한소수로 나타낼 수 있는 분수

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(14)

;2!;a-b=0 ∴ b=;2!;a

이것을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (2, 1), (4, 2), (6, 3), (8, 4)의 4가지이므로 그 확률은 ;8¢1;

¤방정식 ax-b=0의 해가 3인 경우 ax-b=0에 x=3을 대입하면 3a-b=0 ∴ b=3a

이것을 만족하는 순서쌍 (a, b)는 (1, 3), (2, 6), (3, 9)의 3가지이므로 그 확률은 ;8£1;

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은

;8¢1;+;8£1;=;8¶1;

07

Action비가 올 경우와 비가 오지 않을 경우로 나누어 각각의 확률을 구한다.

⁄비가 올 경우 한국이 이길 확률은

;1¢0º0;_;1£0º0;=;2£5;

¤비가 오지 않을 경우 한국이 이길 확률은 {1-;1¢0º0;}_;1§0º0;=;1§0º0;_;1§0º0;=;2ª5;

⁄, ¤에 의하여 구하는 확률은

;2£5;+;2ª5;=;2!5@;

08

Action수민이가 B 문제를 맞힐 확률을 p로 놓고 A, B 두 문제를 모두 맞힐 확률을 이용하여 p의 값을 구한다.

수민이가 B 문제를 맞힐 확률을 p라고 하면

;5$;_p=;3!; ∴ p=;1∞2;

따라서 수민이가 A 문제는 맞히고, B 문제는 맞히지 못 할 확률은

;5$;_{1-;1∞2;}=;5$;_;1¶2;=;1¶5;

09

ActionB출구로 떨어지는 모든 경로를 찾고 각 경로를 지날 확률을 구한다.

공이 B 출구로 떨어지는 경로는 오른쪽 그림과 같 이 3가지이다.

경로 ①`을 지날 확률은

;2!;_;2!;_;2!;=;8!;

경로 ②`를 지날 확률은 ;2!;_;2!;_;2!;=;8!;

경로 ③`을 지날 확률은 ;2!;_;2!;_;2!;=;8!;

따라서 구하는 확률은 ;8!;+;8!;+;8!;=;8#;

입구

출구 A B C D

1 2 3

10

Action비밀번호 abcd에서 a>b>c>d이고 d=1이므로 abc1(a>b>c>1)을 만족하는 모든 경우의 수를 구한다.

비밀번호 abcd에서 a>b>c>d이고 d=1이므로 비 밀번호는 abc1(a>b>c>1)이다.

a>b>c>1을 만족하는 abc의 값은 2, 3, 4, y, 9의 8개의 숫자 중에서 3개의 숫자를 택하여 큰 숫자부터 나 열한 것이다.

8개의 숫자 중에서 자격이 같은 3개의 숫자를 택하는 경

우의 수는 =56

이때 56개 중에서 비밀번호는 1개뿐이므로 인터넷뱅킹 에 로그인할 수 있을 확률은 다음과 같다.

⁄1회에 로그인할 수 있을 확률은 ;5¡6;

¤2회에 로그인할 수 있을 확률은 ;5%6%;_;5¡5;=;5¡6;

‹3회에 로그인할 수 있을 확률은

;5%6%;_;5%5$;_;5¡4;=;5¡6;

⁄~‹에 의하여 구하는 확률은

;5¡6;+;5¡6;+;5¡6;=;5£6;

11

Action나뭇가지 모양의 그림을 이용하여 1개의 세균이 10분 후에 2 개가 되는 경우를 모두 찾아 각각의 확률을 구한다.

세균 1개를 , 0개를 _로 나타내면 1개의 세균이 10 분 후에 2개가 되는 경우는 다음과 같다.

5분 후 10분 후

이때 세균이 2개가 될 확률은 ;2!;_;3!;=;6!;

¤ 5분 후 10분 후

이때 세균이 2개가 될 확률은 ;3!;_;2!;_;2!;=;1¡2;

5분 후 10분 후

×

이때 세균이 2개가 될 확률은 ;3!;_;3!;_;6!;=;5¡4;

5분 후 10분 후

×

이때 세균이 2개가 될 확률은 ;3!;_;6!;_;3!;=;5¡4;

8_7_6 3_2_1

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(15)

Ⅰ-`2. 확률 15

⁄~›에 의하여 구하는 확률은

;6!;+;1¡2;+;5¡4;+;5¡4;=;1¡0•8;+;10(8;+;10@8;+;10@8;

=;1£0¡8;

12

Action예선에서 서로 다른 조에 속해야 결승에서만 만날 수 있음을 이용한다.

다음 그림과 같이 선수의 위치를 차례로 ①, ②, ③, …,

⑧이라 하고, ①`~④`를 1조, ⑤`~⑧`을 2조라고 하자.

이때 예선에서 서로 다른 조에 속해야 결승에서만 만날 수 있다.

1조의 ①의 자리의 학생과 같은 학교에서 온 학생이 2조 에 배정될 확률은 =;7$;

1조의 ②의 자리의 학생과 같은 학교에서 온 학생이 2조 에 배정될 확률은 =;5#;

1조의 ③의 자리의 학생과 같은 학교에서 온 학생이 2조 에 배정될 확률은 =;3@;

1조의 ④의 자리의 학생과 같은 학교에서 온 학생이 2조 에 배정될 확률은 =1

따라서 구하는 확률은 ;7$;_;5#;_;3@;_1=;3•5;

13

Action2개의 제비를 연속하여 꺼낼 때, 당첨 제비를 하나도 꺼내지 않을 확률을 먼저 구한다.

2개의 제비를 연속하여 꺼낼 때, 당첨 제비를 하나도 꺼 내지 않을 확률은 1-;7$;=;7#;

즉, _ =;7#;이므로

=;7#;

(15-n)(14-n)=90=10_9 15-n=10 ∴ n=5

(15-n)(14-n) 210

14-n 14 15-n

15

4-3 8-7 4-2 8-5 4-1 8-3 4 8-1

14

Action불량품 검사가 4번 이내에 끝나야 하므로 불량품 검사를 2번 또는 3번 또는 4번 하여 불량품 2개를 모두 찾아야 한다.

⁄불량품 검사를 2번 하여 끝나는 경우는

(불량, 불량)이므로 그 확률은 ;10@0;_;9¡9;=;49¡50;

¤불량품 검사를 3번 하여 끝나는 경우는

(불량, 정상, 불량) 또는 (정상, 불량, 불량)이므로 그 확률은

;10@0;_;9(9*;_;9¡8;+;1ª0•0;_;9™9;_;9¡8;

=;49¡50;+;49¡50;=;49™50;

‹불량품 검사를 4번 하여 끝나는 경우는

(불량, 정상, 정상, 불량) 또는 (정상, 불량, 정상, 불량) 또는 (정상, 정상, 불량, 불량)이므로 그 확률은

;10@0;_;9(9*;_;9(8&;_;9¡7;+;1ª0•0;_;9™9;_;9(8&;_;9¡7;

+;1ª0•0;_;9(9&;_;9™8;_;9¡7;

=;49¡50;+;49¡50;+;49¡50;=;49£50;

⁄~‹에 의하여 구하는 확률은

;49¡50;+;49™50;+;49£50;=;49§50;=;82!5;

15

Action점 P의 위치가 될 수 있는 부분을 그림으로 나타내어 본다.

정사각형 ABCD의 넓이가 4 cm¤이므로 BC”=2(cm) 점 P에서 BC”에 내린 수선의 발 을 H라고 하면

△PBC=;2!;_2_PH”

△PBC의 넓이가 1 cm¤ 이하이어야 하므로 PH”의 길 이는 1 cm 이하이어야 한다.

따라서 점 P의 위치가 될 수 있는 부분은 위의 그림의 색 칠한 부분과 같으므로 구하는 확률은

=;4@;=;2!;

16

Action세 원의 반지름의 길이를 가장 작은 것부터 차례로 r, 2r, 3r 로 놓고 각 부분의 넓이를 r의 식으로 나타낸다.

세 원의 반지름의 길이를 가장 작은 것부터 차례로 r, 2r, 3r라고 하자.

과녁 전체의 넓이는 p_(3r)¤ =9pr¤

1점, 2점, 3점이 적혀 있는 부분의 넓이는 차례로 p_(3r)¤ -p_(2r)¤ =9pr¤ -4pr¤ =5pr¤, p_(2r)¤ -p_r¤ =4pr¤ -pr¤ =3pr¤, p_r¤ =pr¤

즉, 1점, 2점, 3점을 얻을 확률은 차례로

=;9%;, =;3!;, pr¤ =;9!;

9pr¤

3pr¤

9pr¤

5pr¤

9pr¤

(직사각형 EBCF의 넓이) (직사각형 ABCD의 넓이)

E F

A

B P

C D

2###cm

1###cm H

1개의 세균은 5분 후에 0개 또는 1개 또는 2개가 될 수 있다. 그런 데 5분 후에 0개가 되면 10분 후에도 그대로 0개이므로 5분 후에 0 개가 되는 경우는 생각하지 않는다.

Lecture 세균의 개수

( | { | 9

결승

[1조] ( | { | 9

[2조]

① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧

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(16)

이때 화살을 2번 쏘아서 3점 이하의 점수를 얻는 경우는 (1점, 1점), (1점, 2점), (2점, 1점)이므로 그 확률은

;9%;_;9%;+;9%;_;3!;+;3!;_;9%;=;8@1%;+;2∞7;+;2∞7;

=;8@1%;+;8!1%;+;8!1%;=;8%1%;

따라서 구하는 확률은 1-;8%1%;=;8@1^;

03

ActionA, B 두 사람이 3번 이길 확률을 각각 구한다.

A가 이기려면 4번째 시합에서 이기거나 4번째 시합에 서 지고 5번째 시합에서 이겨야 하므로 그 확률은

;2!;+;2!;_;2!;=;2!;+;4!;=;4@;+;4!;=;4#;

B가 이기려면 4번째 시합과 5번째 시합에서 모두 이겨 야 하므로 그 확률은 ;2!;_;2!;=;4!;

따라서 A가 가져야 할 상금은 20000_;4#;=15000(원) 이고, B가 가져야 할 상금은 20000_;4!;=5000(원)이다.

04

ActionA, B, C 세 사람이 각각 부전승으로 결승전에 진출하는 경 우로 나누어 각각의 확률을 구하여라.

⁄A가 부전승으로 결승전에 진출하는 경우

B가 C를 이기고, 결승전에서 A가 B를 이길 확률은

;3!;_;4#;_;2!;=;8!;

C가 B를 이기고, 결승전에서 A가 C를 이길 확률은

;3!;_{1-;4#;}_{1-;4!;}=;3!;_;4!;_;4#;=;1¡6;

따라서 A가 우승할 확률은

;8!;+;1¡6;=;1™6;+;1¡6;=;1£6;

¤B가 부전승으로 결승전에 진출하는 경우

A가 C를 이기고, 결승전에서 A가 B를 이길 확률은

;3!;_{1-;4!;}_;2!;=;3!;_;4#;_;2!;=;8!;

‹C가 부전승으로 결승전에 진출하는 경우

A가 B를 이기고, 결승전에서 A가 C를 이길 확률은

;3!;_;2!;_{1-;4!;}=;3!;_;2!;_;4#;=;8!;

⁄~‹에 의하여 구하는 확률은

;1£6;+;8!;+;8!;=;1£6;+;1™6;+;1™6;=;1¶6;

05

Action흰 공 2개와 검은 공 3개를 두 주머니에 나누어 담는 모든 경 우에 대하여 흰 공이 나올 확률을 구한다.

흰 공 2개와 검은 공 3개를 두 주머니에 나누어 담는 경 우는 다음과 같다.

이때 흰 공이 나올 확률은 ;2!;_1=;2!;

¤

이때 흰 공이 나올 확률은 ;2!;_;3@;=;3!;

01

Action나이 차가 2세 이상인 경우를 모두 구한다.

20명의 어린이 중에서 2명을 뽑는 경우의 수는

=190

나이 차가 2세 이상인 경우는

(8, 10), (8, 11), (8, 12), (9, 11), (9, 12), (10, 12) 이므로 그 경우의 수는

3_4+3_5+3_2+6_5+6_2+4_2=83 따라서 구하는 확률은 ;1•9£0;

02

Action3이 두 번째로 작은 수가 되려면 1, 2 중에서 1개를 택하고 4, 5, 6, 7, 8, 9 중에서 3개를 택하면 된다.

1부터 9까지의 자연수 중에서 서로 다른 5개의 수를 택

하는 경우의 수는 =126

3이 두 번째로 작은 수가 되려면 1, 2 중에서 1개를 택하 고 4, 5, 6, 7, 8, 9 중에서 3개를 택해야 하므로 그 경우

의 수는 2_ =40

따라서 구하는 확률은 ;1¢2º6;=;6@3);

6_5_4 3_2_1

9_8_7_6_5 5_4_3_2_1 20_19

2_1

최/ 고/ 수/ 준

뛰어넘기

P28~29

01;1•9£0; 02;6@3);

03A:15000원, B:5000원 04;1¶6; 053 06;1¶2;

n명 중에서 자격이 같은 대표를 뽑을 때

⑴ 2명을 뽑는 경우의 수는

⑵ 3명을 뽑는 경우의 수는

⑶ k명을 뽑는 경우의 수는

n_(n-1)_(n-2)_y_(n-k+1) k_(k-1)_(k-2)_y_2_1

n_(n-1)_(n-2) 3_2_1 n_(n-1)

2_1

Lecture 자격이 같은 대표를 뽑는 경우의 수

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(17)

Ⅰ-`2. 확률 17

이때 흰 공이 나올 확률은 ;2!;_;4@;=;4!;

이때 흰 공이 나올 확률은

;2!;_1+;2!;_;4!;=;2!;+;8!;=;8$;+;8!;=;8%;

이때 흰 공이 나올 확률은

;2!;_;2!;+;2!;_;3!;=;4!;+;6!;=;1£2;+;1™2;=;1∞2;

따라서 ›의 경우에 흰 공이 나올 확률이 가장 크므로 a=1, b=0, c=1, d=3

(또는 a=1, b=3, c=1, d=0)

∴ ab+cd=1_0+1_3=3

06

ActionOA”=2일 때 점 A는 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이 가 2인 원 위에 있고, OA”=5일 때 점 A는 점 O를 중심으로 하고 반 지름의 길이가 5인 원 위에 있다.

OA”=2일 때 점 A는 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 2인 원 위에 있고, OA”=5일 때 점 A는 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 5인 원 위에 있다.

따라서 2…OA”…5일 때, 점 A는 오른쪽 그림의 색칠한 부분에 있 어야 하므로 구하는 확률은

=

=21p=;1¶2;

36p

p_5¤ -p_2¤

p_6¤

(색칠한 부분의 넓이) (원 O의 넓이)

O 2

5 6

01

Action내년의 1반 담임 선생님이 B 선생님인 경우를 나뭇가지 모양 의 그림으로 나타내어 본다.

내년의 1반 담임 선생님이 B 선생님인 경우를 나뭇가지 모양의 그림으로 나타내면 다음과 같다.

창의 사고력 키우기

0144 0245 0333 % 04;6!;

05⑴ 240 ⑵ ;1¡0ª0; ⑶ ;9!;

P30~33

1반 2반 3반 4반 5반

A D E C

E C D

A E D

C D E A

E A D

B D

A E C

E A C

C A

E

A C D

D A C

C A

즉, 1반 담임 선생님이 B 선생님인 경우는 11가지이고 1반 담임 선생님이 C, D, E 선생님인 경우도 마찬가지 로 각각 11가지씩이므로 구하는 경우의 수는

4_11=44

02

Action가로줄과 세로줄 중 어느 한 곳에는 반드시 노란색 색종이 2장이 놓여야 한다.

가로줄을 위부터 1행, 2행, 3행이라고 할 때, 1행, 2행, 3행 중 한 곳에는 반드시 노란색 색종이 2장이 놓여야 한다.

1행에 노란색 색종이 2장을 놓는 방법의 수는

=3

이때 2행, 3행에 노란색 색종이를 놓는 방법은 다음 그 림과 같이 각각 5가지씩이다.

2행과 3행에 노란색 색종이 2장을 놓는 경우도 각각 5가 지씩이므로 구하는 방법의 수는

3_5_3=45

03

Action구하는 확률은 임을 이해한다.

위에서 n번째 층에는 n¤ 개의 쌓기나무를 쌓게 되므로 쌓 기나무의 총 개수는

1¤ +2¤ +3¤ +4¤ +5¤ +6¤ =1+4+9+16+25+36

=91(개)

næ3일 때, 위에서 n번째 층에서 보이지 않는 쌓기나무 의 개수는 (n-2)¤ 개이므로 보이지 않는 쌓기나무의 총 개수는

(3-2)¤ +(4-2)¤ +(5-2)¤ +(6-2)¤

=1+4+9+16=30(개) 따라서 구하는 확률은

;9#1);_100=32.9×××=33(%)

(보이지 않는 쌓기나무의 개수) (쌓기나무의 총 개수)

3_2 2_1 http://zuaki.tistory.com

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참조

관련 문서

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[r]

[r]

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원의 넓이가 최소가 되려면 반지름의 길이가 최소가

모세 혈관에서 폐포로 이동하는 A는 이산화 탄소이고, 폐포에서 모세 혈관으로 이동하는 B는 산 소이다.. 기체는 농도가 높은