Ⅰ 수학

하나를 알면 10개, 20개를 풀 수 있는 개념원리수학

수학 Ⅰ

이홍섭 선생님의 기본서

정답 ^과 풀이

확인체크

I.

0 1

7A-3{B+(2A-C)}-4C

=7A-3(B+2A-C)-4C

=7A-3B-6A+3C-4C

=A-3B-C

=(x+3x¤ +4-7x› )

-3(-6x¤ +8x‹ +1)-(9x› -3x‹ -1+4x)

=x+3x¤ +4-7x› +18x¤ -24x‹ -3

-9x› +3x‹ +1-4x

=(-7x› -9x› )+(-24x‹ +3x‹ )+(3x¤ +18x¤ ) +(x-4x)+(4-3+1)

=-16x› -21x‹ +21x¤ -3x+2

답 -16x› -21x‹ +21x¤ -3x+2

0 2

A-B=2x¤ +3x-4 yy㉠㉠㉠

A+2B=5x¤ -6x+2 yy㉡㉠㉠

㉡-㉠을 하면 3B=3x¤ -9x+6

∴ B=x¤ -3x+2

㉠에서

A=B+(2x¤ +3x-4)

=x¤ -3x+2+2x¤ +3x-4

=3x¤ -2

∴ 3A-2B=3(3x¤ -2)-2(x¤ -3x+2)

=9x¤ -6-2x¤ +6x-4

=7x¤ +6x-10

답 7x¤ +6x-10

0 3

⑴ 16x‹ _(-2yz)¤ ÷(xy)¤

=16x‹ _4y¤ z¤ ÷(x¤ y¤ )

=(16_4)_x‹ —¤ y¤ —¤ z¤ =64xz¤

⑵{;3@;a¤ b}3 ÷(a‹ b)¤ _{-;2!;b¤ }3

⑵=;2•7;afl b‹ ÷(afl b¤ )_{-;8!;bfl }

⑵=[;2•7;_{-;8!;}]_afl —fl b‹ —¤ ±fl

⑵=-;2¡7;b‡

답 ⑴ 64xz¤ ⑵ -;2¡7;b‡

04

⑴ (x¤ -2xy+y)(2x-3y)

=2x‹ -3x¤ y-4x¤ y+6xy¤ +2xy-3y¤

=2x‹ -7x¤ y+6xy¤ +2xy-3y¤

⑵ (3x+2y-4)(x-2y+3)

=3x¤ -6xy+9x+2xy-4y¤ +6y

-4x+8y-12

⑵=3x¤ -4xy+5x-4y¤ +14y-12

답 ⑴ 2x‹ -7x¤ y+6xy¤ +2xy-3y¤

답 ⑵ 3x¤ -4xy+5x-4y¤ +14y-12

05

⑴ (x‹ +ax¤ +b)(2x¤ -3bx+4)의 전개식에서 x›항은

x‹ ¥(-3bx)+ax¤ ¥2x¤ =(2a-3b)x›

또한 전개식에서 x¤ 항은 ax¤ ¥4+b¥2x¤ =(4a+2b)x¤

x›의 계수와 x¤ 의 계수가 모두 8이므로 2a-3b=8, 4a+2b=8

두 식을 연립하여 풀면 a=;2%;, b=-1

∴ a+b=;2#;

⑵ f(x)=(2x¤ -x+3)(5x‹ -2x¤ +x+1)이라 하 면 f(x)의 계수들의 총합은 f(1)이므로

f(1)=(2-1+3)(5-2+1+1)

=20

확인 체 크

⑶ (2x‹ +3x¤ y-5xy¤ +y‹ )(3x‹ -2x¤ y+xy¤ -5y‹ ) 의 전개식에서 x‹ y‹ 항은

2x‹ ¥(-5y‹ )+3x¤ y¥xy¤ +(-5xy¤ )¥(-2x¤ y) +y‹ ¥3x‹

=-10x‹ y‹ +3x‹ y‹ +10x‹ y‹ +3x‹ y‹ =6x‹ y‹

따라서 x‹ y‹ 의 계수는 6이다.

답 ⑴;2#; ⑵ 20 ⑶ 6

0 6

⑴

⑴∴ 몫：x+8, 나머지：18x-16

⑵

⑴∴ 몫：-7x‹ -14x¤ -25x-49, 나머지：-105 답 ⑴ 몫：x+8, 나머지：18x-16

답 ⑵ 몫：-7x‹ -14x¤ -25x-49, 나머지：-105

0 7

f(x)=(x¤ -x)(2x+3)+3x-1

=2x‹ +3x¤ -2x¤ -3x+3x-1

=2x‹ +x¤ -1

∴ f(2)=16+4-1=19 답 19

0 8

6x› -x‹ -16x¤ +5x=A(3x¤ -2x-4)+5x-8 A(3x¤ -2x-4)=6x› -x‹ -16x¤ +8

‘-7x‹ -14x¤ -25x -49 x-2<‘-7x›+14x‹+13x¤ ‘+11x-117

-7x› +14x‹

1111111322111112-14x‹ +23x¤ +11x-117 -14x‹ +28x¤

1111111322111112-14x‹-25x¤ +11x-117 -14x‹-25x¤ +50x 1111111322111112-14x‹ -25x¤-49x-117

-14x‹ -25x¤-49x+198 1111111322111112-14x‹ -25x¤ -49x-105

x +8

x¤ -2x+1<‘x‹ +‘6x¤ ‘+13‘x-18 x‹ -2x¤ +13x x¤ -2x+111111113228x¤ +12x-18

8x¤ -16x+18 x¤ -2x+111111113228x¤ -18x-16

∴ A=(6x› -x‹ -16x¤ +8)÷(3x¤ -2x-4) 따라서 다음과 같이 직접 나눗셈을 하여 다항식 A를 구하면

∴ A=2x¤ +x-2 답 2x¤ +x-2

0 9

⑴ (3a-2b)¤ =(3a)¤ -2¥3a¥2b+(2b)¤

=9a¤ -12ab+4b¤

⑵{;3@;a-;2#;b}{;3@;a+;2#;b}

⑵={;3@; a}2 -{;2#; b}2

⑵=;9$;a¤ -;4(;b¤

⑶ (x-2)(x-5)

=x¤ +(-2-5)x+(-2)¥(-5)

=x¤ -7x+10

⑷ (2x+3)(2x-5)

=2¥2¥x¤ +{2¥(-5)+3¥2}x+3¥(-5)

=4x¤ -4x-15

⑸ (x-2)(x-3)(x-4)

=x‹ -(2+3+4)x¤

+(2¥3+3¥4+4¥2)x-2¥3¥4

=x‹ -9x¤ +26x-24

⑹ (a-b)(a+b)(a¤ +b¤ )(a› +b› )

=(a¤ -b¤ )(a¤ +b¤ )(a› +b› )

=(a› -b› )(a› +b› )

=a° -b°`

답 ⑴ 9a¤ -12ab+4b¤ ⑵;9$;a¤ -;4(;b¤

⑶ x¤ -7x+10 ⑷ 4x¤ -4x-15

⑸ x‹ -9x¤ +26x-24 ⑹ a° -b°`

2x¤ +x-2

3x¤ -2x-4<‘ 6x› -4x‹ -‘16x¤-4x+8 6x› -4x‹ -18x¤

1111111111244 3x‹ -18x¤ +8 3x‹ -12x¤ -4x 1111111111244

-16x¤ +4x+8 -16x¤ +4x+8 1111111111244 +0

10

⑴ (-x+2y+3z)¤

=(-x)¤ +(2y)¤ +(3z)¤ +2¥(-x)¥2y

=+2¥2y¥3z+2¥3z¥(-x)

=x¤ +4y¤ +9z¤ -4xy+12yz-6zx

⑵ (5x+3y)‹

=(5x)‹ +3¥(5x)¤ ¥3y+3¥5x¥(3y)¤ +(3y)‹

=125x‹ +225x¤ y+135xy¤ +27y‹

⑶ (2x-3y)(4x¤ +6xy+9y¤ )

=(2x-3y){(2x)¤ +2x¥3y+(3y)¤ }

=(2x)‹ -(3y)‹

=8x‹ -27y‹

⑷ (a¤ -5bc)(a¤ +5bc)

=(a¤ )¤ -(5bc)¤

=a› -25b¤ c¤

⑸ (x¤ +3xy+9y¤ )(x¤ -3xy+9y¤ )

={x¤ +x¥3y+(3y)¤ }{x¤ -x¥3y+(3y)¤ }

=x› +x¤ ¥(3y)¤ +(3y)›

=x› +9x¤ y¤ +81y›

답 ⑴ x¤ +4y¤ +9z¤ -4xy+12yz-6zx

⑵ 125x‹ +225x¤ y+135xy¤ +27y‹

⑶ 8x‹ -27y‹ ⑷ a› -25b¤ c¤

⑸ x› +9x¤ y¤ +81y›

11

⑴ (x¤ +5x-2)(x¤ +5x-3)

=(X-2)(X-3)머지¤ x¤ +5x=X로 치환

=X¤ -5X+6

=(x¤ +5x)¤ -5(x¤ +5x)+6머지

=x› +10x‹ +25x¤ -5x¤ -25x+6

=x› +10x‹ +20x¤ -25x+6

⑵ (a+b-c)(a-b+c)

={a+(b-c)}{a-(b-c)}

=(a+X)(a-X) ¤ b-c=X로 치환

=a¤ -X¤

=a¤ -(b-c)¤

=a¤ -b¤ -c¤ +2bc

⑶ 상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지으면

⑴(x+2)(x+5)(x-2)(x+9)

⑴={(x+2)(x+5)}{(x-2)(x+9)}

⑴=(x¤ +7x+10)(x¤ +7x-18)

⑴=(X+10)(X-18)머지¤ x¤ +7x=X로 치환

⑴=X¤ -8X-180

⑴=(x¤ +7x)¤ -8(x¤ +7x)-180

⑴=x› +14x‹ +49x¤ -8x¤ -56x-180

⑴=x› +14x‹ +41x¤ -56x-180

⑷ 상수항의 합이 같도록 두 개씩 짝을 지으면

⑴(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)

⑴={(x-1)(x-4)}{(x-2)(x-3)}

⑴=(x¤ -5x+4)(x¤ -5x+6)

⑴=(X+4)(X+6)머지¤ x¤ -5x=X로 치환

⑴=X¤ +10X+24

⑴=(x¤ -5x)¤ +10(x¤ -5x)+24

⑴=x› -10x‹ +25x¤ +10x¤ -50x+24

⑴=x› -10x‹ +35x¤ -50x+24

답 ⑴ x› +10x‹ +20x¤ -25x+6

⑵ a¤ -b¤ -c¤ +2bc

⑶ x› +14x‹ +41x¤ -56x-180

⑷ x› -10x‹ +35x¤ -50x+24

12

(x-2)‹ (2x+3)¤

=(x‹ -6x¤ +12x-8)(4x¤ +12x+9) 의 전개식에서 x¤ 항은

(-6x¤ )¥9+12x¥12x+(-8)¥4x¤

=-54x¤ +144x¤ -32x¤

=58x¤

따라서 x¤ 의 계수는 58이다. 답 58

13

(3x¤ -2x+1)fi에 x=1을 대입하면 (3-2+1)fi =2fi =32

따라서 계수들의 총합은 32이다.

답 32

확인 체 크

14

(1-x+2x¤ -3x‹ +3x› )¤

=(1-x+2x¤ -3x‹ +3x› )(1-x+2x¤ -3x‹ +3x› ) 의 전개식에서 xfi 항은

(-x)¥3x› +2x¤ ¥(-3x‹ )+(-3x‹ )¥2x¤

+3x› ¥(-x)

=-3xfi -6xfi -6xfi -3xfi

=-18xfi

따라서 xfi 의 계수는 -18이다. 답 -18

15

(3+1)(3¤ +1)(3› +1)(3° +1)

=;2!;(3-1)(3+1)(3¤ +1)(3› +1)(3° +1)

¤;2!;(3-1)=1

=;2!;(3¤ -1)(3¤ +1)(3› +1)(3° +1)

=;2!;(3› -1)(3› +1)(3° +1)

=;2!;(3° -1)(3° +1)

=;2!;(3⁄ fl -1) ^답 ;2!;(3⁄ fl -1)

16

a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab에서 32=6¤ -2ab ∴ ab=2

∴ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=6¤ -4¥2=28

∴ a-b=—2'7 ^답 —2'7

17

x='2+1, y='2-1이므로 x+y=2'2, xy=1

∴ + =

=

=

=10'2 ^답 10'2

(2'2)‹ -3¥1¥2'2 1111111121

(x+y)‹ -3xy(x+y) 1111111112xy

x‹ +y‹

1115xy 13x¤y

13y¤x

18

x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y)에서 4=1‹ -3xy¥1에서∴ xy=-1

∴ x¤ +xy+y¤ =(x+y)¤ -xy

=1¤ -(-1)

=2 답 2

19

x‹ - ={x-;[!;}3 +3{x-;[!;}

=3‹ +3¥3=36 답 36

20

x¤ -'5x+1=0에서 x+0이므로 양변을 x로 나누면 x-'5+;[!;=0누면∴ x+;[!;='5

∴ x‹ + ={x+;[!;}3 -3{x+;[!;}

=('5 )‹ -3'5=2'5 ^답 2'5

21

x-y=2+'3, y-z=2-'3의 변끼리 더하면 x-z=4∴∴∴ z-x=-4

∴ x¤ +y¤ +z¤ -xy-yz-zx

=;2!; {(x-y)¤ +(y-z)¤ +(z-x)¤ }

=;2!; {(2+'3)¤ +(2-'3)¤ +(-4)¤ }

=15 답 15

22

(a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)에서 2¤ =8+2(ab+bc+ca)

∴ ab+bc+ca=-2

∴;a!;+;b!;+;c!;=

=-2=-1 답 -1 1522

ab+bc+ca 151241143abc 13x‹1

13x‹1

23

⑴ a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)

=2¤ -2¥(-1)

=6

⑵ a‹ +b‹ +c‹

⑴=(a+b+c)(a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca)+3abc

⑴=2¥{6-(-1)}+3¥(-2)

⑴=8

⑶ a› +b› +c›

⑴=(a¤ +b¤ +c¤ )¤ -2(a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ )

⑴이고

⑴(ab+bc+ca)¤

⑴=a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2abc(a+b+c)에서

⑴(-1)¤ =a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ +2¥(-2)¥2

⑴∴ a¤ b¤ +b¤ c¤ +c¤ a¤ =9

⑴∴ a› +b› +c› =6¤ -2¥9=18

답 ⑴ 6 ⑵ 8 ⑶ 18

24

주어진 등식의 우변을 전개한 후 x에 대한 내림차순 으로 정리하면

x‹ -2x+1=ax‹ +(b-a)x¤ +(c-b)x-c 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

a=1, b-a=0, c-b=-2, -c=1

∴ a=1, b=1, c=-1

답 a=1, b=1, c=-1

25

x‹ =a(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2) +c(x-1)+d의

양변에 x=1을 대입하면

1=d yy㉠㉠㉠

양변에 x=2를 대입하면

8=c+d yy㉡㉠㉠

양변에 x=3을 대입하면

27=2b+2c+d yy ㉢㉠㉠

양변에 x=4를 대입하면

64=6a+6b+3c+d yy ㉣㉠㉠

㉠, ㉡, ㉢, ㉣을 연립하여 풀면 a=1, b=6, c=7, d=1

답 a=1, b=6, c=7, d=1

26

(x+1)(x¤ -2)f(x)=x› +ax¤ -b의 양변에 x=-1을 대입하면

0=1+a-b yy㉠㉠㉠

양변에 x¤ =2를 대입하면

0=4+2a-b yy㉡㉠㉠

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-3, b=-2

∴ a+b=-5 답 -5

27

주어진 등식의 좌변을 k에 대하여 정리하면 (x+y)k+(-2x-y)=4k+1

이 등식이 k에 대한 항등식이므로 x+y=4, -2x-y=1

두 식을 연립하여 풀면

x=-5, y=9 답 x=-5, y=9

28

주어진 등식의 좌변을 x, y에 대하여 정리하면 (a+b)x+(a-b)y+2=3x-5y+c 이 등식이 x, y에 대한 항등식이므로 a+b=3, a-b=-5, 2=c

∴ a=-1, b=4, c=2

∴ abc=-8 답 -8

29

⑴ x‹ +ax¤ +bx+2를 x¤ +2x-3으로 나누었을 때 의 몫을 Q(x)라 하면 나머지가 2x+1이므로 x‹ +ax¤ +bx+2

=(x¤ +2x-3)Q(x)+2x+1

=(x+3)(x-1)Q(x)+2x+1 이 등식이 x에 대한 항등식이므로

확인 체 크

⁄양변에 x=-3을 대입하면 -27+9a-3b+2=-5

∴ 9a-3b=20 yy㉠㉠㉠

¤양변에 x=1을 대입하면 1+a+b+2=3

∴ a+b=0 yy㉡㉠㉠

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=;3%;, b=-;3%;

⑵ x‹ +ax-8을 x¤ +4x+b로 나누었을 때의 몫을 x+q(q는 상수)라 하면 나머지가 0이므로 x‹ +ax-8=(x¤ +4x+b)(x+q)

=x‹ +(q+4)x¤ +(b+4q)x+bq 이 등식은 x에 대한 항등식이므로 양변의 동류항 의 계수를 비교하면

q+4=0, b+4q=a, bq=-8

∴ q=-4, a=-14, b=2

답 ⑴ a=;3%;, b=-;3%; ⑵ a=-14, b=2

30

f(x)=3x‹ +ax¤ +bx-2로 놓으면 나머지정리에 의하여

f {;3@;}=0, f(-1)=-20

f {;3@;}=0에서 ;9*;+;9$;a+;3@;b-2=0

∴ 2a+3b=5 yy㉠㉠㉠

f(-1)=-20에서 -3+a-b-2=-20

∴ a-b=-15 yy㉡㉠㉠

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-8, b=7

답 a=-8, b=7

31

f(x)=x‹ +ax¤ +5x-6으로 놓으면 나머지정리에 의하여 f(2)= f(3)이므로

8+4a+10-6=27+9a+15-6

∴ a=-:™5¢: ^답 -:™5¢:

32

f(x)=3x‹ +ax¤ +bx+12로 놓으면

f(x)가 x¤ -5x+6, 즉 (x-2)(x-3)으로 나누어 떨어지므로 나머지정리에 의하여 f(2)=0, f(3)=0 f(2)=0에서 24+4a+2b+12=0

∴ 2a+b=-18 yy㉠㉠㉠

f(3)=0에서 81+9a+3b+12=0

∴ 3a+b=-31 yy㉡㉠㉠

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-13, b=8

답 a=-13, b=8

33

f(x)를 x¤ -4x-12, 즉 (x+2)(x-6)으로 나누었 을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax+b(a, b는 상수) 라 하면

f(x)=(x+2)(x-6)Q(x)+ax+b

∴ f(-2)=-2a+b=6 yy㉠㉠㉠

∴f(6)=6a+b=-10 yy㉡㉠㉠

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=2

따라서 나머지는 -2x+2이다. 답 -2x+2

34

f(x)를 (x-1)(x-2)(x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax¤ +bx+c(a, b, c는 상수) 라 하면

f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)Q(x)+ax¤ +bx+c

∴ `f(1)=a+b+c=5 yy㉠㉠㉠

∴`f(2)=4a+2b+c=9 yy㉡㉠㉠

∴`f(3)=9a+3b+c=47 yy㉢㉠㉠

㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면 a=17, b=-47, c=35 따라서 나머지는 17x¤ -47x+35이다.

답 17x¤ -47x+35

35

f(x)를 (x-1)¤ (x-3)으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax¤ +bx+c(a, b, c는 상수)라 하면

f(x)=(x-1)¤ (x-3)Q(x)+ax¤ +bx+c yy㉠ 그런데 f(x)는 (x-1)¤ 으로 나누어떨어지므로 ㉠에 서 ax¤ +bx+c도 (x-1)¤ 으로 나누어떨어진다.

즉 ax¤ +bx+c=a(x-1)¤ 이므로

f(x)=(x-1)¤ (x-3)Q(x)+a(x-1)¤ yy㉡ 한편 f(x)를 x-3으로 나누었을 때의 나머지가 5이 므로

f(3)=4a=5∴∴∴ a=;4%;

따라서 구하는 나머지는 ㉡에서 ;4%;(x-1)¤ 이다.

답 ;4%;(x-1)¤

36

f(x)를 (x¤ +1)(x-1)로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 ax¤ +bx+c(a, b, c는 상수)라 하면

f(x)=(x¤ +1)(x-1)Q(x)+ax¤ +bx+c yy㉠ f(x)를 x¤ +1로 나누었을 때의 나머지가 x+1이므 로 ㉠에서 ax¤ +bx+c를 x¤ +1로 나누었을 때의 나 머지도 x+1이다.

즉 ax¤ +bx+c=a(x¤ +1)+x+1이므로 f(x)=(x¤ +1)(x-1)Q(x)+a(x¤ +1)+x+1

yy㉡ 한편 f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지가 4이므로

f(1)=2a+2=4∴∴∴ a=1 따라서 구하는 나머지는 ㉡에서 (x¤ +1)+x+1=x¤ +x+2

답 x¤ +x+2

37

f(3x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 f(3¥1)=f(3)

f(x)를 2x¤ -5x-3으로 나누었을 때의 몫을 Q(x) 라 하면

f(x)=(2x¤ -5x-3)Q(x)+4x-1 yy㉠

양변에 x=3을 대입하면 f(3)=4¥3-1=11

답 11 다른풀이집㉠에서

f(x)=(2x+1)(x-3)Q(x)+4x-1 yy㉡

㉡에 x 대신 3x를 대입하면

f(3x)=(6x+1)(3x-3)Q(3x)+12x-1 f(3x)=3(6x+1)(x-1)Q(3x)+12(x-1)+11 f(3x)=(x-1){3(6x+1)Q(3x)+12}+11 따라서 f(3x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지는 11이다.

38

f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지가 4이므로 나 머지정리에 의하여 f(2)=4

한편 xf(x-3)을 x-5로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 R라 하면

xf(x-3)=(x-5)Q(x)+R 양변에 x=5를 대입하면 R=5f(2)=5¥4=20

따라서 구하는 나머지는 20이다. 답 20

39

f(x)=(x-3)Q(x)+4 yy㉠㉠㉠

Q(x)를 x-2로 나누었을 때의 몫을 Q'(x)라 하면

Q(x)=(x-2)Q'(x)+2 yy㉡㉠㉠

㉡을 ㉠에 대입하면

f(x)=(x-3){(x-2)Q'(x)+2}+4

따라서 f(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는

f(2)=(2-3)¥2+4=2 답 2

40

f(x)=2x‹ +ax¤ +x+b라 하면 f(x)가 x-1, x-2를 인수로 가지므로 인수정리에 의하여 f(1)=0, f(2)=0

f(1)=0에서 2+a+1+b=0

∴ a+b=-3 yy㉠㉠㉠

확인 체 크 f(2)=0에서 16+4a+2+b=0

∴ 4a+b=-18 yy㉡㉠㉠

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-5, b=2

∴ a¤ +b¤ =(-5)¤ +2¤ =29 답 29

41

f(x)=x‹ -x¤ +ax+b라 하면 f(x)는

x¤ -x-2, 즉 (x-2)(x+1)로 나누어떨어지므로 f(2)=0, f(-1)=0

f(2)=0에서 8-4+2a+b=0

∴ 2a+b=-4 yy㉠㉠㉠

f(-1)=0에서 -1-1-a+b=0

∴ a-b=-2 yy㉡㉠㉠

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, b=0

∴ a+b=-2 답 -2

42

⑴;2#;f2 5 -14 -4

⑴ 11f2 3 -12 -3

⑴;2#;f2 8 1-2 111

⑴2x‹ +5x¤ -14x+4

⑴={x-;2#;}(2x¤ +8x-2)+1

⑴={x-;2#;}¥2(x¤ +4x-1)+1

⑴=(2x-3)(x¤ +4x-1)+1

⑴∴ 몫：x¤ +4x-1, 나머지：1

⑵ -1 1 -0 -0 -0 -0 -1

⑴ -1 1 -1 -1 -1 -1 -1

⑴ -1 1 -1 -1 -1 -1 -0

⑴xfi +1=(x+1)(x› -x‹ +x¤ -x+1)

⑴∴ 몫：x› -x‹ +x¤ -x+1, 나머지：0 답 ⑴ 몫：x¤ +4x-1, 나머지：1 답 ⑵ 몫：x› -x‹ +x¤ -x+1, 나머지：0

43

1 1 0 2 4

1 1 1 1 3

1 1 1 3 7 ⁄d

1 1 1 2

1 1 2 5 ⁄c

1 1 1 1 1 3 ⁄b

∑a

∴ a=1, b=3, c=5, d=7

답 a=1, b=3, c=5, d=7

44

2 1 -4 -3 -5

1 1 -2 -4 -2

2 1 -2 -1 -7 ⁄d

1 1 -2 -0

2 1 -0 -1 ⁄c

1 1 -2 1 1 -2 ⁄b

∑a

∴ a=1, b=2, c=-1, d=-7

∴ a+b+c+d=-5

답 -5 다른풀이집주어진 식의 양변에 x=3을 대입하면 3‹ -4¥3¤ +3¥3-5

=a(3-2)‹ +b(3-2)¤ +c(3-2)+d

∴ a+b+c+d=-5

45

⑴ 3a‹ b-6ab¤ =3ab(a¤ -2b)

⑵ (x+2y)¤ -5(x+2y)=(x+2y)(x+2y-5)

⑶ x(y-1)-y+1=x(y-1)-(y-1)

=(x-1)(y-1)

답 풀이 참조

46

⑴ x› +x=x(x‹ +1)

=x(x+1)(x¤ -x+1)

⑵ x› -y› =(x¤ )¤ -(y¤ )¤

=(x¤ +y¤ )(x¤ -y¤ )

=(x¤ +y¤ )(x+y)(x-y)

⑶ 3(4x-1)¤ -12=3{(4x-1)¤ -4}

=3{(4x-1)+2}{(4x-1)-2}

=3(4x+1)(4x-3)

⑷ 9(a+b)¤ -c¤ ={3(a+b)}¤ -c¤

={3(a+b)+c}{3(a+b)-c}

=(3a+3b+c)(3a+3b-c)

⑸ x‹ +64y‹ =x‹ +(4y)‹

=(x+4y)(x¤ -4xy+16y¤ )

⑹ (a+b)‹ -(a-b)‹

={(a+b)-(a-b)}

_{(a+b)¤ +(a+b)(a-b)+(a-b)¤ }

=2b(3a¤ +b¤ )

⑺ x° -y° =(x› )¤ -(y› )¤

=(x› +y› )(x› -y› )

=(x› +y› )(x¤ +y¤ )(x¤ -y¤ )

=(x› +y› )(x¤ +y¤ )(x+y)(x-y)

⑻ x› -1=(x¤ )¤ -1

=(x¤ +1)(x¤ -1)

=(x¤ +1)(x+1)(x-1)

답 풀이 참조

47

⑴ x+y=X라 하면 (x+y)¤ -(x+y)z-2z¤

=X¤ -Xz-2z¤

=(X-2z)(X+z)

=(x+y-2z)(x+y+z)

⑵ a+5=A, a-3=B라 하면

⑵2(a+5)¤ -5(a+5)(a-3)+3(a-3)¤

⑵=2A¤ -5AB+3B¤

⑵=(2A-3B)(A-B)

⑵={2(a+5)-3(a-3)}{(a+5)-(a-3)}

⑵=-8(a-19)

답 ⑴ (x+y-2z)(x+y+z) ⑵ -8(a-19)

48

⑴ a‹ -ab¤ -b¤ c+a¤ c=(a‹ -ab¤ )+(-b¤ c+a¤ c)

=a(a¤ -b¤ )+c(a¤ -b¤ )

=(a¤ -b¤ )(a+c)

=(a+b)(a-b)(a+c)

⑵ x‹ -2ax¤ +2x-4a=(x‹ -2ax¤ )+(2x-4a)

=x¤ (x-2a)+2(x-2a)

=(x-2a)(x¤ +2)

⑶ 4ab+1-4a¤ -b¤ =1-(4a¤ -4ab+b¤ )

=1-(2a-b)¤

=(1+2a-b)(1-2a+b)

⑷ 4x¤ +4x+1-y¤ =(2x+1)¤ -y¤

=(2x+1+y)(2x+1-y)

⑸ 8x‹ -12x¤ y+6xy¤ -y‹

=(2x)‹ -3¥(2x)¤ ¥y+3¥2x¥y¤ -y‹

=(2x-y)‹ 답 풀이 참조

49

⑴ x› +x¤ -6=X¤ +X-6 ¤ x¤ =X로 치환

=(X+3)(X-2)

=(x¤ +3)(x¤ -2)

⑵ x› -13x¤ +4=(x› -4x¤ +4)-9x¤

=(x¤ -2)¤ -(3x)¤

=(x¤ +3x-2)(x¤ -3x-2)

⑶ x› -13x¤ +36=X¤ -13X+36¤ x¤ =X로 치환

=(X-4)(X-9)

=(x¤ -4)(x¤ -9)

=(x+2)(x-2)(x+3)(x-3)

⑷ x› +4=(x› +4x¤ +4)-4x¤

=(x¤ +2)¤ -(2x)¤

=(x¤ +2x+2)(x¤ -2x+2)

⑸ x› +5x¤ +9=(x› +6x¤ +9)-x¤

=(x¤ +3)¤ -x¤

=(x¤ +x+3)(x¤ -x+3)

확인 체 크

⑹ 6x¤ y¤ -x› -y› =4x¤ y¤ -(x› -2x¤ y¤ +y› )

=(2xy)¤ -(x¤ -y¤ )¤

=(2xy+x¤ -y¤ )(2xy-x¤ +y¤ )

=-(x¤ +2xy-y¤ )(x¤ -2xy-y¤ ) 답 풀이 참조 다른풀이집⑶ x› -13x¤ +36

=(x› -12x¤ +36)-x¤

=(x¤ -6)¤ -x¤

=(x¤ +x-6)(x¤ -x-6)

=(x+3)(x-2)(x-3)(x+2)

50

⑴ (x¤ +x)¤ -13(x¤ +x)+36

⑴=X¤ -13X+36 ¤ x¤ +x=X로 치환

⑴=(X-4)(X-9)

⑴=(x¤ +x-4)(x¤ +x-9)

⑵ 상수항의 합이 같아지도록 두 개의 식을 짝지으면

⑴x(x+1)(x+2)(x+3)-15

⑴={x(x+3)}{(x+1)(x+2)}-15

⑴=(x¤ +3x)(x¤ +3x+2)-15

⑴=X(X+2)-15 ¤ x¤ +3x=X로 치환

⑴=X¤ +2X-15

⑴=(X+5)(X-3)

⑴=(x¤ +3x+5)(x¤ +3x-3)

⑶ 상수항의 합이 같아지도록 두 개의 식을 짝지으면

⑴(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1

⑴={(x+1)(x+4)}{(x+2)(x+3)}+1

⑴=(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)+1

⑴=(X+4)(X+6)+1 ¤ x¤ +5x=X로 치환

⑴=X¤ +10X+25=(X+5)¤

⑴=(x¤ +5x+5)¤

⑷ (1-2x-x¤ )(1-2x+3x¤ )+4x›

⑴=(X-x¤ )(X+3x¤ )+4x›¤ 1-2x=X로 치환

⑴=X¤ +2x¤ X-3x› +4x›

⑴=X¤ +2x¤ X+x›

⑴=(X+x¤ )¤ =(1-2x+x¤ )¤

⑴={(x-1)¤ }¤

⑴=(x-1)›

⑸ (x¤ +4x+3)(x¤ +12x+35)+15

⑴=(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)+15

⑴={(x+1)(x+7)}{(x+3)(x+5)}+15

⑴=(x¤ +8x+7)(x¤ +8x+15)+15

⑴=(X+7)(X+15)+15 ¤ x¤ +8x=X로 치환

⑴=X¤ +22X+120

⑴=(X+10)(X+12)

⑴=(x¤ +8x+10)(x¤ +8x+12)

⑴=(x¤ +8x+10)(x+2)(x+6)

답 풀이 참조

51

⑴ a 에 대하여 내림차순으로 정리하면

⑴a¤ (b-c)+b¤ (c-a)+c¤ (a-b)

⑴=(b-c)a¤ -(b¤ -c¤ )a+b¤ c-bc¤

⑴=(b-c)a¤ -(b+c)(b-c)a+bc(b-c)

⑴=(b-c){a¤ -(b+c)a+bc}

⑴=(b-c)(a-b)(a-c)

⑴=-(a-b)(b-c)(c-a)

⑵ (a+b+c)(bc+ca+ab)-abc

⑴=abc+ca¤ +a¤ b+b¤ c+abc+ab¤ +bc¤ +c¤ a +abc-abc

⑴=(b+c)a¤ +(b¤ +2bc+c¤ )a+b¤ c+bc¤

⑴=(b+c)a¤ +(b+c)¤ a+bc(b+c)

⑴=(b+c){a¤ +(b+c)a+bc}

⑴=(b+c)(a+b)(a+c)

⑴=(a+b)(b+c)(c+a)

⑶ x에 대하여 내림차순으로 정리하면

⑴x¤ +xy-6y¤ +x+13y-6

⑴=x¤ +(y+1)x-(6y¤ -13y+6)

⑴=x¤ +(y+1)x-(2y-3)(3y-2)

1 -(3y-2) ⁄ -3y-2 1 -(2y-3) ⁄ -2y+31111

y+1

⑴={x+(3y-2)}{x-(2y-3)}

⑴=(x+3y-2)(x-2y+3)

⑷ z 에 대하여 내림차순으로 정리하면

⑴x¤ -y¤ +2yz+2xz+4x+2y+2z+3 111⁄

111⁄

⑴=2(y+x+1)z+x¤ +4x-y¤ +2y+3

⑴=2(x+y+1)z+x¤ +4x-(y¤ -2y-3)

⑴=2(x+y+1)z

+{x¤ +4x-(y+1)(y-3)}

1 -(y+1) ⁄ -y+1 1 -(y-3) ⁄ -y+31112

4

⑴=2(x+y+1)z+(x+y+1)(x-y+3)

⑴=(x+y+1)(x-y+2z+3)

답 풀이 참조

52

⑴ 78=x로 놓으면

⑴ = =

= = =;7&7*;

⑵ 2005=x로 놓으면

⑴ =

=

=x+2=2005+2

=2007

⑶ 10¤ -12¤ +14¤ -16¤ +18¤ -20¤

⑴=(10¤ -12¤ )+(14¤ -16¤ )+(18¤ -20¤ )

⑴=(10-12)(10+12)+(14-16)(14+16) +(18-20)(18+20)

⑴=-2(22+30+38)

⑴=-2_90=-180

답 ⑴;7&7*; ⑵ 2007 ⑶ -180

53

a‹ -a¤ b+ab¤ +ac¤ -b‹ -bc¤ =0을 c에 대하여 내림 차순으로 정리하면

(a-b)c¤ +a‹ -a¤ b+ab¤ -b‹ =0 (a-b)c¤ +a¤ (a-b)+b¤ (a-b)=0 (a-b)(c¤ +a¤ +b¤ )=0

(x+2)(x¤ -2x+4) 13131111112x¤ -2x+4

x‹ +8 1313111x(x-2)+4 2005‹ +8

1313111122005_2003+4

131278-178 1313x-1x

x(x+1) 13111112(x-1)(x+1) x(x+1)

13111x¤ -1 78_79

131178¤ -1

a¤ +b¤ +c¤ +0이므로 a-b=0∴∴∴ a=b

∴ a=b인 이등변삼각형

답 a=b인 이등변삼각형

54

⑴ x› +3x‹ -8x¤ +3x+1

⑴=x¤ {x¤ +3x-8+;[#;+ }

⑴=x¤ [{x¤ + }+3 {x+;[!;}-8]

⑴=x¤ [{x+;[!;}2 +3{x+;[!;}-10]

⑴이때 x+;[!;=t라 하면

⑴{x+;[!;}2 +3 {x+;[!;}-10

⑴=t¤ +3t-10=(t+5)(t-2)

⑴={x+;[!;+5}{x+;[!;-2}

⑴∴ (주어진 식)=x¤{x+;[!;+5}{x+;[!;-2}

⑴ ∴ (주어진 식)=x {x+;[!;+5}¥x{x+;[!;-2}

⑴ ∴ (주어진 식)=(x¤ +5x+1)(x¤ -2x+1)

⑴ ∴ (주어진 식)=(x¤ +5x+1)(x-1)¤

⑵ 2x› +x‹ +x¤ +x+2

⑴=x¤ {2x¤ +x+1+;[!;+ }

⑴=x¤ [2{x¤ + }+{x+;[!;}+1]

⑴=x¤ [2{x+;[!;}2 +{x+;[!;}-3]

⑴이때 x+;[!;=t라 하면

⑴2 {x+;[!;}2 +{x+;[!;}-3

⑴=2t¤ +t-3=(t-1)(2t+3)

⑴={x+;[!;-1}[2{x+;[!;}+3]

⑴∴ (주어진 식)=x¤{x+;[!;-1}[2{x+;[!;}+3]

⑴ ∴ (주어진 식)=x{x+;[!;-1}¥x{2x+;[@;+3}

⑴ ∴ (주어진 식)=(x¤ -x+1)(2x¤ +3x+2) 답 풀이 참조 13x¤1

13x¤2 13x¤1

13x¤1 111⁄

111⁄

확인 체 크

55

f(x)=3x‹ +7x¤ -4로 놓으면 f(-1)=0이므로 f(x)는 x+1을 인수로 갖는다.

따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면

∴ f(x)=(x+1)(3x¤ +4x-4)

=(x+1)(x+2)(3x-2)

답 (x+1)(x+2)(3x-2)

56

f(x)=x› -3x‹ +3x-1로 놓으면 f(1)=0, f(-1)=0이므로 f(x)는 x-1, x+1을 인수로 갖 는다.

따라서 조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 -1 1 -3 -0 -3 -1

-1 1 -1 -2 -2 -1

-1 1 -2 -2 -1 -0

-1 1 -1 -3 -1 -1f1 -3 -1 -0

∴ `f(x)=(x-1)(x+1)(x¤ -3x+1)

답 (x-1)(x+1)(x¤ -3x+1)

57

f(x)=x‹ -6x¤ -ax-6으로 놓으면 f(x)가 x-2 를 인수로 가지므로

f(2)=8-24-2a-6=0

∴ a=-11

∴ f(x)=x‹ -6x¤ +11x-6

조립제법을 이용하여 f(x)를 인수분해하면 2 1 -6 -11 -6

2 1 -2 1-8 -6 1 1 -4 -13 -0

∴ f(x)=(x-2)(x¤ -4x+3)

=(x-2)(x-1)(x-3)

답 (x-1)(x-2)(x-3)

-1 3 -7 -0 -4

-1 3 -3 -4 -4 -1 3 -4 -4 -0

II.

58

복소수 a+bi에서 a=0, b+0인 꼴을 찾는다.

따라서 순허수인 것은'∂-16=4i, '3i 이다.

답 '∂-16, '3i

59

⑴ —'∂-2=—'2i

⑵ —'∂-9=—'9i=—3i

⑶ —'∂-24=—'ß24i=—2'6i

답 ⑴ —'2i ⑵ —3i ⑶ —2'6i

60

61

⑴ (4+3i)-(2-5i)=(4-2)+(3+5)i

=2+8i

⑵ (1+'2i)(2-'2i)=2-'2i+2'2i-2i ¤

=2-'2i+2'2i+2

=4+'2i

⑶ (2+'5i)¤ =4+4'5i+5i ¤ =4+4'5i-5

=-1+4'5i

⑷ (1+i)¤ +(1-i)¤ =(1+2i+i ¤ )+(1-2i+i ¤ )

=1+2i-1+1-2i-1=0

⑸ =

= =

= + i

⑹ +

⑹= +(2+i)(1+i)

111111(1-i)(1+i) (1-2i)(1-i)

11111125(1+i)(1-i) 1142+i1-i 11331-2i1+i

151413 15135

5+14i 111513 8+12i+2i+3i¤

111111154-9i¤

(4+i)(2+3i) 1111111(2-3i)(2+3i) 1134+i

2-3i

⑷“(4+i)x+“(2-3i)y=2-3i에서

“(4x+2y)“+(x-3y)i=2-3i (4x+2y)-(x-3y)i=2-3i 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 4x+2y=2, x-3y=3

∴ x=;7^;, y=-;7%;

답 ⑴ x=-1, y=-1 ⑵ x=4, y=-2 답 ⑶ x=21, y=15 ⑷ x=;7^;, y=-;7%;

63

aa’-ab’-a’b+bb’

=a(a’-b’)-b(a’-b’)

=(a-b)(a’-b’)

=(a-b)(a-b)”

=(4+'5i)(4-'5i)

=16+5

=21 답 21

64

z=1+i이므로 z’=1-i

∴ z-z’=(1+i)-(1-i)=2i

∴zz’=(1+i)(1-i)=2

∴ = = =-i 답 -i

65

z=a+bi (a, b는 실수)로 놓으면 z’=a-bi이므로 주어진 식 iz+(1-i)z’=2i에 대입하면

i(a+bi)+(1-i)(a-bi)=2i ai-b+a-bi-ai-b=2i (a-2b)-bi=2i

복소수가 서로 같을 조건에 의하여 a-2b=0, -b=2

∴ a=-4, b=-2

∴ zz’=(-4-2i)(-4+2i)

∴ zz’=16+4

∴ zz’=20 답 20

11_i 132i2 112z-z’zz’

⑹= +

⑹= +

⑹=0

답 ⑴ 2+8i ⑵ 4+'2i

⑶ -1+4'5i ⑷ 0

⑸;1∞3;+;1!3$;i ⑹ 0

62

⑴ (2x+i)(3+2i)=-8+yi에서 좌변을 전개하면 6x+4xi+3i+2i ¤ =-8+yi

(6x-2)+(4x+3)i=-8+yi 복소수가 서로 같을 조건에 의하여 6x-2=-8, 4x+3=y

∴ x=-1, y=-1

⑵ 주어진 등식의 좌변을 통분하면

+ =

= + i

이므로 주어진 등식은

+ i=1-3i

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

=1, =-3

∴ x+y=2, -x+y=-6

∴ x=4, y=-2

⑶ + = 에서

=

+ i= - i

복소수가 서로 같을 조건에 의하여

= , =-

∴ x+y=36, x-y=6

∴ x=21, y=15

195 -3x+3y 1111210 13185

1125x+y10

195 13185 -3x+3y 1111210 1125x+y10

9(2-i) 111111(2+i)(2-i) x(1-3i)+y(1+3i)

11111125112(1+3i)(1-3i) 112+i9 11251-3iy 11251+3ix

11351-x+y2 1135x+y2

11351-x+y2 1135x+y2

11351-x+y2 1135x+y2

x(1-i)+y(1+i) 111111115(1+i)(1-i) 1131-iy

1131+ix

1111+3i2 -1-3i

11112

2+2i+i+i ¤ 11112141-i ¤ 1-i-2i+2i ¤

11111141-i ¤

확인 체 크

66

z=(1+i)x¤ -3x+2-i z=(x¤ -3x+2)+(x¤ -1)i z가 실수이므로

(허수부분)=x¤ -1=0

∴ x=—1

따라서 모든 x의 값의 합은 0이다. 답 0

67

z=a¤ -a-2+(a+1)i가 순허수이므로 (실수부분)=0, (허수부분)+0

⁄(실수부분)=a¤ -a-2=0에서

⁄(a+1)(a-2)=0

⁄∴ a=-1 또는 a=2

¤(허수부분)=a+1+0에서

⁄a+-1

⁄, ¤에서 a=2 답 2

68

z= 에서

2z=3+'7i ∴ 2z-3='7i 양변을 제곱하면

4z¤ -12z+9=-7, z¤ -3z+4=0

∴ z¤ =3z-4

∴ z‹ =z(3z-4)=3z¤ -4z

∴ z‹=3(3z-4)-4z

∴ z‹=5z-12

∴ z‹ -2z¤ +z-2

∴=(5z-12)-2(3z-4)+z-2

∴=-6 답 -6

69

z=1-i에서 z-1=-i

양변을 제곱하면 z¤ -2z+1=-1

∴ z¤ -2z+2=0 3+'7i 11122

∴ z› -2z‹ +3z¤ -2z+1

=z¤ (z¤ -2z+2)+z¤ -2z+1

=z¤ (z¤ -2z+2)+(z¤ -2z+2)-1

=z¤ ¥0+0-1=-1 답 -1

70

⑴ i+i¤ +i ‹ +i › =i-1-i+1=0이므로

⑴1+i+i ¤ +i ‹ +y+i ⁄ › ›

⑴=1+(i+i ¤ +i ‹ +i › )+y+i ⁄ › ‚ (i+i ¤ +i ‹ +i › )

⑴=1

⑵ i+2i¤ +3i ‹ +y+10i ⁄ ‚

=i-2-3i+4+5i-6-7i+8+9i-10

=(-2+4-6+8-10)+(1-3+5-7+9)i

=-6+5i

⑶ + + + = -1- +1=0이므로

+ + + +y+

={ + + + }+y

=+ { + + + }+

= = = =-i

⑷ = = =i

= = =-i

∴{ }⁄ ‚ ‚ +{ }⁄ ‚ ‚ =i⁄ ‚ ‚ +(-i)⁄ ‚ ‚

∴ (주어진 식) =(i › )¤ fi +{(-i)› }¤ fi

∴ (주어진 식) =1+1=2

답 ⑴ 1 ⑵ -6+5i ⑶ -i ⑷ 2

71

= = =-i

{ }2 =(-i)¤ =i ¤ =-1 11551-i1+i

115-2i2 (1-i)¤

1111113(1+i)(1-i) 11551-i1+i

11551-i1+i 11551+i1-i

112-2i2 (1-i)¤

111111(1+i)(1-i) 11551-i1+i

1552i2 (1+i)¤

1111115(1-i)(1+i) 11551+i1-i

11i 12121(i › )fi ‚ ¤ ¥i1 1255i ¤ ‚ ‚ ·1

1255i ¤ ‚ ‚ ·1 1i ›1

1i ‹1 1i ¤1 11i 1255i ¤ ‚ ‚ ›1

1i ›1 1i ‹1 1i ¤1 11i

1255i ¤ ‚ ‚ ·1 1i ›1

1i ‹1 1i ¤1 11i

11i 11i

1i ›1 1i ‹1 1i ¤1 11i

∴ 1…a…4

∴"√(a+3)¤ -|1-a|

=|a+3|-|1-a|

=a+3-{-(1-a)}

=a+3+1-a=4 답 4

75

(a¤ +6)x=a(5x+1)-2에서 (a¤ -5a+6)x=a-2 (a-2)(a-3)x=a-2 이 방정식의 해가 없으려면

0¥x=(0이 아닌 수)의 꼴이어야 하므로 (a-2)(a-3)=0, a-2+0

∴ a=3 답 3

76

ax+9=a¤ +3x에서 (a-3)x=a¤ -9

(a-3)x=(a+3)(a-3)

이 방정식의 해가 무수히 많으려면 0¥x=0의 꼴이 어야 하므로

a-3=0, (a+3)(a-3)=0

∴ a=3 답 3

77

(m+1)(m-1)x=3x+m-2에서 (m¤ -1-3)x=m-2

(m+2)(m-2)x=m-2

이 방정식의 해가 무수히 많으려면 0¥x=0의 꼴이 어야 하므로

(m+2)(m-2)=0, m-2=0

∴ m=2

m=2를 (m-1)x+2m=0에 대입하면

x+4=0 ∴ x=-4 답 x=-4

{ }4 =(-1)¤ =1

따라서{ }n =1을 만족시키는 자연수 n의 최솟

값은 4이다. 답 4

72

⑴ +

= +

= +

= +

=

= =0

⑵'ƒ-3'∂12+'ƒ-3'ƒ-12+ +

='3i¥2'3+'3i¥2'3i+ +

=6i-6+ +2

=6i-6-2i+2

=-4+4i 답 ⑴ 0 ⑵ -4+4i

73

=-æ≠ 가 성립하려면 7-2x>0, -3-x<0또는 7-2x=0

∴ -3<x…;2&;

따라서 정수 x는 -2, -1, 0, 1, 2, 3의 6개이다.

답 6

74

'ƒa-4'ƒ1-a=-"√(a-4)(1-a)가 성립하려면 a-4<0, 1-a<0또는 a-4=0 또는 1-a=0

1112-3-x7-2x 'ƒ7-2x

11115 'ƒ-3-x

12i

1122'3i '3i 112'3

'3i

'ƒ-12 111

'ƒ-3 112'∂12

'ƒ-3 -2i+2i

11112 (1-i)¤ +(1+i)¤

11111112(1+i)(1-i) 11551+i1-i 11551-i1+i

11253+3i3-3i 11252-2i2+2i

3+'9i 11153-'9i 2-'4i

11152+'4i

3+'ƒ-9 11113-'ƒ-9 2-'ƒ-4

11112+'ƒ-4 11551-i1+i 11551-i1+i

|a|=[aæ0이면 a, "ça¤ =|a|

a<0이면 -a KEY Point

확인 체 크

78

⑴ |x-3|-|4-x|=0에서

⑴|x-3|=|4-x|

⑴∴ x-3=—(4-x)

⑴⁄x-3=4-x일 때, x=;2&;

⑴¤x-3=-(4-x)일 때,

¤0¥x=-1에서∴ 해가 없다.

⑴⁄, ¤에서 x=;2&;

⑵ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 x-2=0, x+1=0에서 x=2, x=-1

⑴⁄x<-1일 때, x-2<0, x+1<0이므로

⁄-(x-2)+3(x+1)=2x-9

⁄0¥x=-14∴∴∴ 해가 없다.

⑵¤ -1…x<2일 때, x-2<0, x+1æ0이므로

⁄-(x-2)-3(x+1)=2x-9

⁄∴ x=;3$;

⑵‹ xæ2일 때, x-2æ0, x+1>0이므로

⁄(x-2)-3(x+1)=2x-9

⁄∴ x=1

⑵ ⁄그런데 xæ2이므로 x=1은 해가 아니다.

⑵⁄, ¤, ‹에서 x=;3$;

⑶ |x-2|=|2-3x|에서 x-2=—(2-3x)

⑵⁄x-2=2-3x일 때, x=1

⑵¤x-2=-(2-3x)일 때, x=0

⑵⁄, ¤에서 x=0 또는 x=1

⑷ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x의 값은 2x-6=0, x+3=0에서 x=3, x=-3

⁄x<-3일 때, 2x-6<0, x+3<0이므로

⁄-(2x-6)+(x+3)=1 ∴ x=8

⁄그런데 x<-3이므로 x=8은 해가 아니다.

¤-3…x<3일 때,

⁄2x-6<0, x+3æ0이므로

⁄-(2x-6)-(x+3)=1

⁄∴ x=;3@;

‹xæ3일 때, 2x-6æ0, x+3>0이므로

⁄(2x-6)-(x+3)=1

⁄∴ x=10

⁄, ¤, ‹에서 x=;3@; 또는 x=10 답 ⑴ x=;2&; ⑵ x=;3$;

답 ⑶ x=0 또는 x=1 ⑷ x=;3@; 또는 x=10 다른풀이집⑴ 절댓값 기호 안의 식의 값이 0이 되는 x 의 값은 x-3=0, 4-x=0에서 x=3, x=4

⁄ x <3일 때, x-3<0, 4-x>0이므로

⁄ -(x-3)-(4-x)=0, 0¥x=1

⁄ ∴ 해가 없다.

¤ 3…x<4일 때, x-3æ0, 4-x>0이므로

⁄ (x-3)-(4-x)=0

⁄ ∴ x=;2&;

‹ xæ4일 때, x-3>0, 4-x…0이므로

⁄ (x-3)+(4-x)=0, 0¥x=-1

⁄ ∴ 해가 없다.

⁄, ¤, ‹에서 x=;2&;

79

⑴ 2x¤ -5x+2=0에서 (2x-1)(x-2)=0

∴ x=;2!; 또는 x=2

⑵ x(x+1)=3(x+1)에서 x(x+1)-3(x+1)=0 (x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3

답 ⑴ x=;2!; 또는 x=2

⑵ x=-1 또는 x=3

80

⑴ 2(x-1)(x-3)=x¤ -8에서 2(x¤ -4x+3)=x¤ -8

84

⑴ x¤ +|2x-1|=3에서

⁄ x<;2!; 일 때, |2x-1|=-(2x-1)이므로

⁄x¤ -(2x-1)=3, x¤ -2x-2=0

⁄∴ x=1—'3

⁄그런데 x<;2!;이므로 x=1-'3

¤xæ;2!;일 때, |2x-1|=2x-1이므로

⁄x¤ +2x-1=3, x¤ +2x-4=0

⁄∴ x=-1—'5

⁄그런데 xæ;2!;이므로 x=-1+'5

⁄, ¤에서 x=1-'3 또는 x=-1+'5

⑵ x¤ -2|x|-80=0에서

⁄x<0일 때, |x|=-x이므로

⁄x¤ +2x-80=0, (x+10)(x-8)=0

⁄∴ x=-10 또는 x=8

⁄그런데 x<0이므로 x=-10

¤xæ0일 때, |x|=x이므로

⁄x¤ -2x-80=0, (x-10)(x+8)=0

⁄∴ x=10 또는 x=-8

⁄그런데 xæ0이므로 x=10

⁄, ¤에서 x=-10 또는 x=10

⑶ x¤ -3x-1=|x-2|에서

⁄x<2일 때, |x-2|=-(x-2)이므로

⁄x¤ -3x-1=-(x-2)

⁄x¤ -2x-3=0, (x-3)(x+1)=0

⁄∴ x=3 또는 x=-1

⁄그런데 x<2이므로 x=-1

¤xæ2일 때, |x-2|=x-2이므로

⁄x¤ -3x-1=x-2, x¤ -4x+1=0

⁄∴ x=2—'3

⁄그런데 xæ2이므로 x=2+'3

⁄, ¤에서 x=-1 또는 x=2+'3

답 ⑴ x=1-'3 또는 x=-1+'5

⑵ x=-10 또는 x=10

⑶ x=-1 또는 x=2+'3 x¤ -8x+14=0

∴ x= =4—'2

⑵ 3x¤ -4x+6=0에서 x=

x=

x=

답 ⑴ x=4—'2 ⑵ x=

81

x¤ -(a+2)x+2a=0에 x=3을 대입하면 9-3(a+2)+2a=0∴∴∴ a=3

a=3을 x¤ +ax-a¤ -1=0에 대입하면 x¤ +3x-10=0

(x-2)(x+5)=0

∴ x=2 또는 x=-5

답 x=2또는 x=-5

82

x¤ +2kx-k-2=0에 x=k를 대입하면 k¤ +2k¤ -k-2=0

3k¤ -k-2=0 (k-1)(3k+2)=0

∴ k=1 (∵ k>0) 답 1

83

주어진 방정식의 양변에 2-'3을 곱하면 (2-'3)(2+'3)x¤ -(2-'3)(3+'3)x

+2-'3=0 x¤ -(3-'3)x+2-'3=0

(x-1){x-(2-'3)}=0

∴ x=1 또는 x=2-'3

답 x=1또는 x=2-'3 2—'∂14 i 111153 2—'∂14 i

111153 2—'ƒ-14 1111233

-(-2)—"(√-2)ç¤ √-3¥Ω6 1111111111253

-(-4)—"√(-4)¤ -1¥14 11111111112521

확인 체 크

85

⑴ [x]¤ -12[x]+32=0에서 ([x]-4)([x]-8)=0

∴ [x]=4 또는 [x]=8 [x]=4에서 4…x<5 [x]=8에서 8…x<9

∴ 4…x<5 또는 8…x<9

⑵ 2`[x]`¤ -[x]-1=0에서 (2`[x]+1)([x]-1)=0

∴ [x]=-;2!; 또는 [x]=1 그런데 [x]는 정수이므로 [x]=1

∴ 1…x<2

⑶ x¤ -2x+[x]=0에서

⁄0…x<1일 때, [x]=0이므로

⁄x¤ -2x=0, x(x-2)=0

⁄∴ x=0 또는 x=2

⁄그런데 0…x<1이므로 x=0

¤1…x<2일 때, [x]=1이므로

⁄x¤ -2x+1=0, (x-1)¤ =0

⁄∴ x=1

‹2…x<3일 때, [x]=2이므로

⁄x¤ -2x+2=0∴∴∴ x=1—i

⁄그런데 2…x<3이므로 해가 없다.

⁄, ¤, ‹에서 x=0 또는 x=1

⑷ 3x¤ +[x]`x-2=0에서

⁄-1<x<0일 때, [x]=-1이므로

⁄3x¤ -x-2=0, (3x+2)(x-1)=0

⁄∴ x=-;3@; 또는 x=1

⁄그런데 -1<x<0이므로 x=-;3@;

¤0…x<1일 때, [x]=0이므로

⁄3x¤ -2=0 ∴ x=—

⁄그런데 0…x<1이므로 x=

⁄, ¤에서 x=-;3@; 또는 x=

답 풀이 참조 12'63

12'63 12'63

86

오른쪽 그림과 같이 처음 직각 이등변삼각형의 한 변의 길이 를 x라 하면 처음 직각이등변 삼각형의 넓이는;2!;x¤``이고

늘어난 삼각형의 넓이는;2!;(x+3)(x+2)이다.

(늘어난 삼각형의 넓이)

=2(처음 직각이등변삼각형의 넓이) 이므로

;2!;(x+3)(x+2)=2_;2!;x¤

x¤ -5x-6=0, (x+1)(x-6)=0

∴ x=6 (∵ x>0)

따라서 처음 직각이등변삼각형의 넓이는

;2!;x¤ =;2!;_6¤ =18 ^답 18

87

길의 폭을 x m라 하면 길을 제외한 잔디밭의 넓이는 다음 그림의 색칠한 부분과 같다.

길을 제외한 잔디밭의 넓이가 144 `m¤ 이므로 (20-x)(10-x)=144

x¤ -30x+56=0, (x-2)(x-28)=0

∴ x=2 (∵ 0<x<10)

따라서 길의 폭을 2 m로 해야 한다. 답 2 m

88

(k-1)x¤ +2kx+k-1=0이 이차방정식이므로

k-1+0∴∴∴ k+1 yy㉠

또한 서로 다른 두 실근을 가지므로 판별식을 D라 하면

;;4;D;=k¤ -(k-1)¤ >0

20 m 10 m

x m (20-x) m

(10-x)m

x m x m

3

2

x

x

92

x¤ +2(k+a)x+k¤ +6k+b=0이 중근을 가질 조건 은 판별식 D=0이므로

;;4;D;=(k+a)¤ -(k¤ +6k+b)=0

∴ (2a-6)k+a¤ -b=0 이 식이 k에 대한 항등식이므로 2a-6=0, a¤ -b=0

∴ a=3, b=9

∴ a+b=12 답 12

93

3x¤ -4x-2=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=;3$;, ab=-;3@;

⑴ a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)

⑴ a‹ +b‹={;3$;}3 -3¥{-;3@;} ¥;3$;=:¡2£7§:

⑵ + =

=

= =:£3¢:

⑶ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab

⑶ (a-b)¤={;3$;}2 -4¥{-;3@;}

⑶ (a-b)¤=:¡9§:+;3*;=:¢9º:

⑷ (2a-1)(2b-1)=4ab-2(a+b)+1

=4¥{-;3@;}-2¥;3$;+1

=-;3*;-;3*;+1=-:¡3£:

⑸ (a-3b+1)(b-3a+1)

=10ab-3(a¤ +b¤ )-2(a+b)+1

=10ab-3{(a+b)¤ -2ab}-2(a+b)+1

=10¥{-;3@;}-3[{;3$;}¤ -2¥{-;3@;}]-2¥;3$;+1 :¡2£7§:

1113 {-;3@;}2

(a+b)‹ -3ab(a+b) 1111111111(ab)¤

b‹ +a‹

1113a¤ b¤

13b¤a 13a¤b 2k-1>0∴∴∴ k>;2!; yy㉡

㉠, ㉡에서 ;2!;<k<1 또는 k>1

답 ;2!;<k<1 또는 k>1

89

x¤ -x(kx-4)-1=0에서 (1-k)x¤ +4x-1=0 이 식은 이차방정식이므로

1-k+0∴∴∴ k+1 yy㉠

또한 허근을 가지므로 판별식을 D라 하면

;;4;D;=2¤ -(1-k)¥(-1)<0

-k+5<0 ∴ k>5 yy㉡

㉠, ㉡에서 k>5이므로 정수 k의 최솟값은 6이다.

답 6

90

3x¤ -2x-2k-1=0이 실근을 가지므로 판별식을 D¡이라 하면

=(-1)¤ -3(-2k-1)æ0

6k+4æ0∴∴∴ kæ-;3@; yy㉠

x¤ -2(k-1)x+k¤ -5k+4=0이 허근을 가지므로 판별식을 D™라 하면

=(k-1)¤ -(k¤ -5k+4)<0

3k-3<0∴∴∴ k<1 yy㉡

㉠, ㉡에서 -;3@;…k<1 ^답 -;3@;…k<1

91

주어진 이차식이 완전제곱식이 되려면 이차방정식 x¤ +(2k+1)x+k¤ -k+2=0

이 중근을 가져야 하므로 판별식을 D라 할 때, D=(2k+1)¤ -4(k¤ -k+2)=0

8k-7=0∴∴∴ k=;8&; ^답 ;8&;

12D™4 12D¡4

확인 체 크

=-:™3º:-3¥:™9•:-;3*;+1

=-;;∞3£;;

답 ⑴:¡2£7§: ⑵:£3¢: ⑶:¢9º: ⑷ -:¡3£: ⑸ -:∞3£:

94

x¤ +ax+b=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=-a, ab=b yy㉠

또 x¤ -ax-b=0의 두 근이 a-1, b-1이므로 근 과 계수의 관계에 의하여

(a-1)+(b-1)=a, (a-1)(b-1)=-b

∴ a+b-2=a

∴ab-(a+b)+1=-b yy㉡

㉠을 ㉡에 대입하면 -a-2=a, b+a+1=-b

∴ a=-1, b=0 답 a=-1, b=0

95

두 근의 차가 2이므로 두 근을 a, a+2라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

a+(a+2)=-2m yy㉠

a(a+2)=15 yy㉡

㉡에서 a¤ +2a-15=0이므로 (a-3)(a+5)=0에에

∴ a=3 또는 a=-5 a=3일 때, ㉠에서 m=-4 a=-5일 때, ㉠에서 m=4

∴ m=-4 또는 m=4 답 -4또는 4 다른풀이집두 근의 차가 2이므로 두 근의 차 공식에 의하여

"√(2m)¤ -4¥15=2 양변을 제곱하면 4m¤ -60=4, m¤ =16

∴ m=—4

96

한 근이 다른 근의 3배이므로 두 근을 a, 3a(a+0) 라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

a+3a=a+1 yy㉠

a¥3a=a yy㉡

㉡에서 a=3a¤ 을 ㉠에 대입하면 4a=3a¤ +1, 3a¤ -4a+1=0 (3a-1)(a-1)=0

∴ a=;3!; 또는 a=1 a=;3!;일 때, a=;3!;

a=1일 때, a=3

∴ a=;3!; 또는 a=3 ^답 ;3!; 또는 3 다른풀이여x¤ -(a+1)x+a=0에서

(x-1)(x-a)=0∴∴∴ x=1 또는 x=a 한 근이 다른 근의 3배이므로

a=3또는 a=;3!;

97

두 근의 비가 2 : 5이므로 두 근을 2a, 5a(a+0)라 하면 근과 계수의 관계에 의하여

2a+5a=7 yy㉠

2a¥5a=k yy㉡

㉠, ㉡에서 a=1, k=10

k=10을 x¤ +kx-2k+3=0에 대입하면 x¤ +10x-17=0

따라서 두 근의 합은 근과 계수의 관계에 의하여 -10

이다. 답 -10

98

⑴ x¤ -('2 -'2 )x+'2 ¥(-'2 )=0

⑴∴ x¤ -2=0

⑵ x¤ -(2+3i+2-3i)x+(2+3i)(2-3i)=0

⑴∴ x¤ -4x+13=0

⑶ x¤ -{ + } x

+ ¥ =0

⑴∴ x¤ -2x+:¡2¡:=0 ^답 풀이 참조 2-3'2 i 11112 2+3'2 i

11112 2-3'2 i 11112 2+3'2 i

11112

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 ('2+1)+(1-'2)=-a ∴ a=-2 ('2+1)(1-'2)=-b ∴ b=1

∴ ab=-2 답 -2

102

이차방정식 x¤ +ax+b=0에서 a, b는 실수이고 한 근이 2+3i이므로 다른 한 근은 2-3i이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 (2+3i)+(2-3i)=-a ∴ a=-4 (2+3i)(2-3i)=b ∴ b=13

답 a=-4, b=13

103

이차방정식 x¤ +6x+a=0의 계수가 실수이고 한 근이 b+'3i이므로 다른 한 근은 b-'3i이다.

따라서 근과 계수의 관계에 의하여 (b+'3i)+(b-'3i)=-6 ∴ b=-3 (b+'3i)(b-'3i)=a ∴ a=12

∴ a+b=9 답 9

104

⑴ x¤ -5=0에서 x=—'5

⑴∴ x¤ -5=(x-'5 )(x+'5 )

⑵ x¤ +6x+4=0에서 x=-3—'5

⑴∴ x¤ +6x+4

⑴ ∴={x-(-3+'5 )}{x-(-3-'5 )}

⑴ ∴=(x+3-'5 )(x+3+'5 )

⑶ 3x¤ -2x+2=0에서 x=

⑴∴ 3x¤ -2x+2

⑴ ∴=3 {x- }{x- }

답 풀이 참조

105

이차방정식 f(x)=0의 두 근이 a, b이므로 이차방 정식 f(2x-1)=0의 두 근은

1-'5i 11123 1+'5i

11123

1—'5i 11123

99

이차방정식 2x¤ -5x+4=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=;2%;, ab=2

두 근 a+1, b+1의 합과 곱을 구하면 (a+1)+(b+1)=a+b+2=;2%;+2=;2(;

(a+1)(b+1)=ab+a+b+1 (a+1)(b+1)=2+;2%;+1=;;¡2¡;;

따라서 a+1, b+1을 두 근으로 하고 x¤ 의 계수가 2 인 이차방정식은

2`{x¤ -;2(;x+;;¡2¡;;}=0

∴ 2x¤ -9x+11=0 답 2x¤ -9x+11=0

100

이차방정식 x¤ -3x+1=0의 두 근이 a, b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

a+b=3, ab=1

두 근 a¤ +;∫!;, b¤ +;å!; 의 합과 곱을 구하면

{a¤ +;∫!;}+{b¤ +;å!;}=a¤ +b¤ +;∫!;+;å!;

{a¤ +;∫!;}+{b¤ +;å!;}=(a+b)¤ -2ab+

{a¤ +;∫!;}+{b¤ +;å!;}=3¤ -2¥1+3=10 {a¤ +;∫!;}{b¤ +;å!;}=a¤ b¤ +a+b+

=1¤ +3+1=5

따라서 a¤ +;∫!;, b¤ +;å!;을 두 근으로 하고 x¤ 의 계수 가 1인 이차방정식은

x¤ -10x+5=0 답 x¤ -10x+5=0

101

이차방정식 x¤ +ax-b=0에서 a, b가 유리수이고 한 근이'2+1이므로 다른 한 근은 1-'2이다.

125ab1 112a+bab

확인 체 크 2x-1=a또는 2x-1=b에서

x= 또는 x=

따라서 이차방정식 f(2x-1)=0의 두 근의 곱은

¥ =

= =2 답 2

106

⑴ (m¤ +1)x¤ +4(m+1)x+4=0의 두 근을 a, b, 판별식을 D라 하면 두 근이 모두 음수이므로

⑴⁄ ;;4;D;={2(m+1)}¤ -4(m¤ +1)æ0

⑴ ⁄8mæ0∴∴∴ mæ0

⑴¤ a+b=- <0

⑴ ⁄그런데 m¤ +1>0이므로 -4(m+1)<0

⑴ ⁄∴ m>-1

⑴‹ ab= 에서 m¤ +1>0이므로

⑴ ⁄항상 ab>0이다.

⑴ ⁄∴ m은 모든 실수

⑴⁄,¤,‹의 공통 범위를 구하면 mæ0

⑵ 주어진 이차방정식의 두 근을 a, b라 하면 두 근 의 부호가 서로 달라야 하므로

⑵ab=a+2<0∴∴∴ a<-2

답 ⑴ mæ0 ⑵ a<-2

107

x¤ +(k-7)x-k+4=0의 두 근을 a, b라 하면 두 근의 부호가 서로 다르므로

ab=-k+4<0∴∴

∴ k>4 yy㉠

또 양근이 음근의 절댓값보다 크므로 a+b=-(k-7)>0∴∴

∴ k<7 yy㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 k의 값의 범위는 4<k<7 답 4<k<7

111m¤ +14 4(m+1) 111145m¤ +1 4+3+1 111254

ab+(a+b)+1 11111114 113b+12

113a+12

113b+12 113a+12

108

x¤ +(a¤ -a-12)x-a+3=0의 두 근을 a, b라 하 면 a, b의 부호가 서로 다르므로

ab=-a+3<0∴∴∴ a>3 yy㉠ 또 두 근의 절댓값이 같으므로

a+b=-(a¤ -a-12)=0 (a+3)(a-4)=0

∴ a=-3 또는 a=4 yy㉡

㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 a의 값은 4이다. 답 4

109

ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;

(기울기)=-;bA;<0 ∴ ;bA;>0 (y절편)=-;bC;<0

ax-by-c=0에서 y=;bA;x-;bC;이므로 (기울기)=;bA;>0, (y절편)=-;bC;<0 따라서 기울기가 양수이고, y절 편이 음수인 직선이므로 그 개 형은 오른쪽 그림과 같다.

그러므로 일차방정식

ax-by-c=0의 그래프가 지 나는 사분면은

제1사분면, 제3사분면, 제4사분면 yy답

110

ax+by+c=0에서 y=-;bA;x-;bC;

a>0, b>0, c<0이므로

(기울기)=-;bA;<0, (y절편)=-;bC;>0 따라서 주어진 직선은 기울기가

음수이고, y절편이 양수이므로 그 개형은 오른쪽 그림과 같다.

그러므로 이 그래프가 지나지

않는 사분면은 제3사분면이다. 답 제3사분면

O x

y

O x

y

⑵따라서 그래프는 다음 그림과 같다.

⑶ |x|-|y|=4에서

⑵⁄ xæ0, yæ0일 때,

⑵ ⁄x-y=4 ∴ y=x-4

⑵¤ xæ0, y<0일 때,

⑵ ⁄x+y=4 ∴ y=-x+4

⑵‹ x<0, yæ0일 때,

⑵ ⁄-x-y=4 ∴ y=-x-4

⑵› x<0, y<0일 때,

⑵ ¤-x+y=4 ∴ y=x+4

⑵따라서 그래프는 다음 그림과 같다.

답 풀이 참조

114

2|x|+|y|=6에서

⁄xæ0, yæ0일 때,

⁄2x+y=6일때∴ y=-2x+6

¤xæ0, y<0일 때,

⁄2x-y=6일때∴ y=2x-6

‹x<0, yæ0일 때,

⁄-2x+y=6일때∴ y=2x+6

›x<0, y<0일 때,

⁄-2x-y=6일때∴ y=-2x-6 따라서 2|x|+|y|=6의 그래프 는 오른쪽 그림과 같으므로 구하 는 넓이는

4¥{;2!;¥3¥6}=36

답 36

-3 O 3

6

-6 x y

O x

y

-4 4

O x

y

1 3

-2-1

111

f(x)=;3!;x+a라 하면 y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로

f(-3)=1, f(9)=b -1+a=1에서 a=2 3+a=b에서 b=5

∴ a+b=7 답 7

112

f(x)=-2x+k라 하면

y=f(x)의 그래프는 오른쪽 그림 과 같으므로 -4…x…1에서 x=1일 때 최솟값을 갖고, x=-4일 때 최댓값을 갖는다.

즉 f(1)=-3에서 -2+k=-3

∴ k=-1

따라서 f(x)=-2x-1이므로 최댓값은

f(-4)=8-1=7 답 7

113

⑴ y=3|x|-x+1에서

⑵⁄xæ0일 때,

⑵ ⁄y=3x-x+1

⑵ ⁄ y=2x+1

⑵¤x<0일 때,

⑵ ⁄y=-3x-x+1

⑵ ⁄ y=-4x+1

⑵따라서 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

⑵ |y-1|=x+2에서

⑵⁄ yæ1일 때,

⑵ ⁄y-1=x+2∴∴∴ y=x+3

⑵¤ y<1일 때,

⑵ ⁄-y+1=x+2∴∴∴ y=-x-1

O x

y

1 O

1 -4

-3 f(-4)

x y O

1 9 -3

b

x y

확인 체 크

115

⑴ y=| f(x)| ⑵ y=f(|x|)

⑶ |y|= f(x) ⑷ |y|= f(|x|)

답 풀이 참조

116

⑴ y=|2-x|=|x-2|의

⑴ 그래프는 y=x-2의 그 래프를 그린 후 x축의 윗 부분은 그대로 두고, x축 의 아랫부분을 x축에 대 하여 대칭이동한 것이다.

⑵ y=|x|-2의 그래프는

⑴ y=x-2의 그래프의 y 축 의 오른쪽 부분만 그리고, 이 그래프를 y 축에 대하 여 대칭이동한 것이다.

⑶ |y|=|x|-2의 그래프는 y=x-2의 그래프의 xæ0, yæ0인 부분만 그 리고, 이 그래프를 x축, y축, 원점에 대하여 각각

대칭이동한 것이다. 답 풀이 참조

117

⑴ y=|x+1|+|x-2|-5에서 절댓값 기호 안을 0 으로 하는 x의 값 -1, 2를 경계로 구간을 나누면

O x

y

-2 2

O x

y

-2 -2

2 O

2

x y

2 x y

x O y

O

x y

O

x x

y

O

⁄x<-1일 때,

⁄y=-(x+1)-(x-2)-5

=-2x-4

¤-1…x<2일 때,

⁄y=(x+1)-(x-2)-5

=-2

‹xæ2일 때,

⁄y=(x+1)+(x-2)-5

=2x-6

따라서 그래프는 다음 그림과 같다.

⑵ y=|x-2|-|x+2|에서 절댓값 기호 안을 0으 로 하는 x의 값 -2, 2를 경계로 구간을 나누면

⁄ x<-2일 때,

⁄ y=-(x-2)+(x+2)

=4

¤ -2…x<2일 때,

⁄ y=-(x-2)-(x+2)

=-2x

‹ xæ2일 때,

⁄ y=(x-2)-(x+2)

=-4

⑴이상에서

⑴y=|x-2|-|x+2|의 그래프는 [그림 1]과 같다.

⑴y=||x-2|-|x+2||의 그래프는 [그림 1]에서 x축 의 윗부분은 그대로 두고, x축의 아랫부분을 x축에 대하여 대칭이동한 것이므 로 [그림 2]와 같다.

답 풀이 참조

O 4

-2 2 x

y O 4

-2

-4 2

x y

O -1 -2

2 3

-2

x y

[그림 1]

[그림 2]

⑴1…;3{;<2, 즉 3…x<6일 때,

⑴y=[;3{;]=1

⑴ ⋮

⑴따라서 함수 y=[;3{;]의 그래프는 다음 그림과 같다.

⑵ ⁄ -2…x<-1일 때, [x]=-2이므로 y=-4

⑵¤-1…x<0일 때, [x]=-1이므로 y=-2

⑵‹0…x<1일 때, [x]=0이므로 y=0

⑵›1…x<2일 때, [x]=1이므로 y=2

⑵fix=2일 때, [x]=2이므로 y=4

⑵따라서 -2…x…2에서 함 수 y=2[x]의 그래프는 오 른쪽 그림과 같다.

⑶ ⁄ -3<x<-2일 때, [x]=-3이므로 y=-3x+1

¤-2…x<-1일 때, [x]=-2이므로 y=-2x+1

‹-1…x<0일 때, [x]=-1이므로 y=-x+1

›0…x<1일 때, [x]=0이므로 y=1 따라서 -3<x<1에서 함 수 y=x [x]+1의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

답 풀이 참조 참고여⑴ 함수 y=[x]에서 x의 값의 범위가 실수 전 체일 때 함숫값은 정수 전체이다.

O 10

7 5 3 2 1 -1 1 -2

-3 x

y O x -1

1 2 4

2 -2

-2 -4 y x y

O -3

3 1

6 -6

-2

… -1

…

118

y=x-2|x-1|에서

⁄ x<1일 때, y=x+2(x-1)=3x-2

¤ xæ1일 때, y=x-2(x-1)=-x+2 따라서 |x|…2, 즉

-2…x…2에서

y=x-2|x-1|의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 x=1일 때 M=1 x=-2일 때 m=-8

∴ M+m=-7 답 -7

119

y=|x+2|+|x-3|에서 절댓값 기호 안이 0이 되 는 x의 값은 -2, 3이다.

⁄ x<-2일 때,

⁄ y=-(x+2)-(x-3)=-2x+1

¤ -2…x<3일 때,

⁄ y=(x+2)-(x-3)=5

‹ xæ3일 때,

⁄ y=(x+2)+(x-3)

=2x-1

따라서 y=|x+2|+|x-3|

의 그래프는 오른쪽 그림과

같으므로 최솟값은 5이다. 답 5

120

⑴ ⋮

⑴-2…;3{;<-1, 즉 -6…x<-3일 때,

⑴y=[;3{;]=-2

⑴-1…;3{;<0, 즉 -3…x<0일 때,

⑴y=[;3{;]=-1

⑴0…;3{;<1, 즉 0…x<3일 때,

⑴y=[;3{;]=0

O 5

-2 3 x

y

O x

y

1 2 -2 1

-2

-8