10. 원과 도형의 이동
113
240쪽 예제
8
점 {2, 3}을 점 {4, 0}으로 옮기는 평행이동은 {x, y} 1! {x+2, y-3}
⑴ 구하는 점의 좌표를 {a, b}라 하면 {a+2, b-3}={0, 0}이므로
a+2=0, b-3=0 / a=-2, b=3 / {-2, 3}
⑵ 2x+3y-1=0의 x에 x-2, y에 y+3을 대입하면 2{x-2}+3{y+3}-1=0
/ 2x+3y+4=0
⑶ 직선 x-2y+3=0을 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 3만큼 평행이동하면 되므로 x-2y+3=0의 x에 x+2, y에 y-3을 대입하면
x+2-2{y-3}+3=0 / x-2y+11=0
⑷ x@+y@+2x-4y-4=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@+2x+1}+{y@-4y+4}=4+1+4 / {x+1}@+{y-2}@=9
따라서 이 식의 x에 x-2, y에 y+3을 대입하면 {x-2+1}@+{y+3-2}@=9
/ {x-1}@+{y+1}@=9
유제
8-1
{a, 3} 1! {a-2, 3+b}이므로 {a-2, 3+b}={1, 1}에서 a-2=1, 3+b=1 / a=3, b=-2곧, 주어진 평행이동은 x축 방향으로 -2만큼, y축 방향으로 -2만큼 옮기는 평행이동이다.
⑴ 2x-y-1=0의 x에 x+2, y에 y+2를 대입하면 2{x+2}-{y+2}-1=0
/ 2x-y+1=0
⑵ x@+y@-6x+2y+1=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@-6x+9}+{y@+2y+1}=-1+9+1 / {x-3}@+{y+1}@=9 yy ①
이 원을 x축 방향으로 2만큼, y축 방향으로 2만큼 평행이동하 면 되므로 ①의 x에 x-2, y에 y-2를 대입하면
{x-2-3}@+{y-2+1}@=9 / {x-5}@+{y-1}@=9
유제
8-2
y=x@+3x의 x에 x-1, y에 y-n을 대입하면 y-n={x-1}@+3{x-1}/ y=x@+x-2+n
이 식이 y=x@+ax+2와 일치하므로 a=1, n=4
241쪽 예제
9
x@+y@+2x-4y-4=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@+2x+1}+{y@-4y+4}=4+1+4 / {x+1}@+{y-2}@=9
곧, 중심이 점 C{-1, 2}, 반지름의 길이가 3인 원이다.
따라서 점 C를 대칭이동한 점 C'{a, b}가 중심이고 반지름의 길 이가 3인 원을 구하면 된다.
⑴ 점 C를 x축에 대칭이동하면 점 C'{-1, -2}이므로 {x+1}@+{y+2}@=9
⑵ 점 C를 원점에 대칭이동하면 점 C'{1, -2}이므로 {x-1}@+{y+2}@=9
⑶ 점 C를 직선 y=x에 대칭이동하면 점 C'{2, -1}이므로 {x-2}@+{y+1}@=9
⑷ 선분 CC'의 중점이 A{1, -1}이므로
O C{-1, 2}
A{1, -1}
C'{a, b}
x y
[-1+a 2 , 2+b
2 ]={1, -1}에서 -1+a
2 =1, 2+b 2 =-1 / a=3, b=-4 곧, C'{3, -4}이므로 {x-3}@+{y+4}@=9
⑸ 선분 CC'의 중점의 x좌표가 -3이므로
C'{a, b} C
O x
y
x=-3 -3
-1+a
2 =-3 / a=-5 점 C, C'의 y좌표가 같으므로 b=2 곧, C'{-5, 2}이므로
{x+5}@+{y-2}@=9
⑹ 선분 CC'의 중점 [-1+a 2 , 2+b
2 ]가
C'{a, b}
O x
y y=2x-1
직선 y=2x-1 위에 있으므로 C
2+b
2 =2\-1+a 2 -1 / 2a-b=6 yy ①
선분 CC'이 직선 y=2x-1에 수직이므로 b-2
a+1=-1 2
/ a+2b=3 yy ② ①, ②를 연립하여 풀면 a=3, b=0 곧, C'{3, 0}이므로 {x-3}@+y@=9
유제
9-1
x@+y@-6x+5=0을 완전제곱 꼴로 고치면 {x@-6x+9}+y@=-5+9/ {x-3}@+y@=4
곧, 중심이 점 C{3, 0}, 반지름의 길이가 2인 원이다.
10. 원과 도형의 이동
115
03
ax-y-b=0의 x에 x+1, y에 y-2를 대입하면AQZ=A'QZ, PBZ=PB'Z이므로
AQZ+QPZ+PBZ =A'QZ+QPZ+PB'Z>A'B'Z
13@+{-4}@3 =2, |4k+2|=10 4k+2=-10 / k=-3 또는 k=2
10. 원과 도형의 이동
117
1m@+{-1}@3=3, {-4m+3}@=9{m@+1}
7m@-24m=0, m{7m-24}=0
같고, 중심이 제3, 4 사분면에 있는 원의 반지름의 길이가 같다.
이때 제1, 4 사분면에 있는 원의 반지름의 길이를 각각 r1, r2 라 하자.
중심이 제1 사분면에 있을 때 원의 중심의 좌표는 {r1, r1}이 고, 중심이 포물선 위에 있으므로
r1=r1@-2, r1@-r1-2=0, {r1+1}{r1-2}=0 r1>0이므로 r1=2
중심이 제4사분면에 있을 때 원의 중심의 좌표는 {r2, -r2}
이고, 중심이 포물선 위에 있으므로
-r2=r2@-2, r2@+r2-2=0, {r2-1}{r2+2}=0 r2>0이므로 r2=1
따라서 가장 큰 원과 가장 작은 원의 넓이의 차는 p\2@-p\1@=3p
03
원의 접선은 접점을 지나는 원의 반지름과 수직이다.P{a, 0}이라 하자.
원 C1은 중심이 점 O{0, 0}이고, 반
O
C x y
Q
R C1 P
C2
지름의 길이가 1이다.
x@+y@-8x+6y+21=0에서 {x-4}@+{y+3}@=4이므로 원 C2 는 중심이 점 C{4, -3}이고, 반지 름의 길이가 2이다.
CPQO=CPRC=90!이므로 직각삼각형 PQO에서
PQZ @=OPZ @-OQZ @=a@-1 직각삼각형 PRC에서
PRZ @ =PCZ @-RCZ @=9{4-a}@+{-3-0}@0-2@
=a@-8a+21 이때 PQZ @=PRZ @이므로
a@-1=a@-8a+21, 8a=22 / a=11 4 따라서 구하는 점 P의 x좌표는 11
4 이다.
04
a+b=3이면 직선 y=x+k가 한 원과 접하고, 다른 원 과 두 점에서 만난다.a+b=3일 때는 오른쪽 그림과 같이 직
O
x y
1 1 -1 C1
C2 y=x+k
@ !
선이 한 원에 접하고 다른 원과 두 점에 서 만날 때이다.
! 원 C1과 접하는 경우 {k<0}
y=x+k를 {x+1}@+y@=1에 대 입하면 {x+1}@+{x+k}@=1 / 2x@+2{k+1}x+k@=0 판별식을 D1이라 하면 D1
4 ={k+1}@-2k@=0에서 k@-2k-1=0 / k=1-j2
이때 k<0이므로 k=1-j2
@ 원 C2와 접하는 경우 {k>0}
y=x+k를 {x-1}@+{y-1}@=1에 대입하면 {x-1}@+{x+k-1}@=1
/ 2x@+2{k-2}x+{k-1}@=0 판별식을 D2라 하면 D2
4 ={k-2}@-2{k-1}@=0에서 k@=2 / k=-j2
이때 k>0이므로 k=j2
!, @에서 구하는 실수 k의 값은 1-j2, j2이다.
05
원의 중심과 접점을 연결하는 반지름을 긋고 접선과 반 지름이 수직임을 이용한다.⑴ 두 접선의 교점을 D라 하면
A B
C{1, 1}
D
y=mx
M
CA=CD=CB=90!
CAZ=CBZ=1
따라서 사각형 CADB는 한 변의 길이가 1인 정사각형이다.
이때 직선 y=mx와 직선 CD의 교점을 M이라 하면 CDZ=j2 CAZ=j2, CMZ= 12 CDZ= j22
곧, 점 C와 직선 y=mx 사이의 거리는 CMZ= j22
⑵ ⑴에서 |m-1|
1m@+{-1}@3= j2 2
양변에 21m@+13을 곱하고 제곱하면 4{m-1}@=2{m@+1}
/ m@-4m+1=0 판별식을 D라 하면 D
4={-2}@-1>0이므로 이 이차방정 식은 두 실근을 가지며, 실근의 합은 4이다.
06
A가 원점, B가 점 {10, 0}인 좌표평면에서 생각한다.좌표평면에서 두 회사의 위치를 A{0, 0}, B{10, 0}, 배달 요금 이 같은 지점을 P{x, y}라 하자.
A 회사의 배달 요금이 B 회사의 3
2배이므로 PAZ : PBZ=1 : 32 을 만족하는 P 지점에서 배달 요금이 같다.
곧, 9PAZ @=4PBZ @이고 PAZ @=x@+y@, PBZ @={10-x}@+y@이므로 9{x@+y@}=49{10-x}@+y@0
/ {x+8}@+y@=144
따라서 직선 AB 위에 B 반대 방향으로 A에서 8`km 떨어진 지 점이 중심이고 반지름의 길이가 12`km인 원 위(또는 A{0, 0}, B{10, 0}일 때, 원 {x+8}@+y@=144 위)의 지점에서 두 회사 의 배달 요금이 같다.
10. 원과 도형의 이동
119 07
세 점과 원의 중심 사이의 거리가 같음을 이용한다.A{-2, 1}에서 B{-2+m, 1}, C{-2+m, 1+n}
원의 중심을 D{3, 2}라 하면 DAZ=DBZ=DCZ DAZ @=DBZ @에서
{-2-3}@+{1-2}@={-2+m-3}@+{1-2}@
26={m-5}@+1, m-5=-5 / m=0 또는 m=10 이때 m>0이므로 m=10
곧, B{8, 1}, C{8, 1+n}이므로 DAZ @=DCZ @에서 {-2-3}@+{1-2}@={8-3}@+{1+n-2}@
26=25+{n-1}@, n-1=-1 / n=0 또는 n=2 이때 n>0이므로 n=2
/ mn=20
08
길이 합의 최솟값 대칭을 생각한다.오른쪽 그림과 같이 점 C가 원점인 좌표
C x
y
P
M{6, 3}
M'{3, 6}
B{6, 6}
A{6, 0}
N{2, 0}
y=x
O
평면을 생각하면 A{6, 0}, B{6, 6}이고 점 N은 CAZ를 1 : 2로 내분하므로 N{2, 0}, 점 M은 ABZ의 중점이므로 M{6, 3}이다.
점 M{6, 3}을 직선 y=x에 대칭이동한 점을 M'이라 하면 M'{3, 6}이고 PMZ=PM'Z이므로
PMZ+PNZ =PM'Z+PNZ>NM'Z 따라서 PMZ+PNZ의 최솟값은 NM'Z=1{2-3}@+{0-6}@3=j37k