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1 공간벡터

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(1)

1 공간벡터

1.다음 그림은 밑면이 정팔각형인 팔각기둥이다.

AA 

 이고, 점 P 가 모서리 AB의 중점일 때, 벡터

  

PAi PB

의 크기를 구하시오.

[3점][2009(가) 9월/평가원 20]

2.그림과 같이 평면  위에 한 변의 길이가 인 정삼각형 ABC가 있고, 반지름의 길이가 인 구

는 점 A에서 평면 에 접한다. 구

위의 점 D 에 대하여 선분 AD 가 구

의 중심 O 를 지날 때,

AB DC 의 값을 구하시오.

[4점][2007(가) /수능(홀) 24]

3.중심이 O이고 반지름의 길이가 인 구 위의 점 P 와 중심이 O이고 반지름의 길이가 인 구 위의 점 Q 가 있다.

OO , OP  

일 때,  OP  OQ 의 최댓값이  

 이다.

 의 값을 구하시오. (단,  는 유리수이다.)

[4점][2016(가) 8월/영남권 29]

(2)

4.다음은 어떤 정육면체의 전개도이다.

원래의 정육면체에서 AB 의 크기는?

[3점][1998(자) /수능(홀) 8]

① CD ② DC ③ ED

④ DE ⑤ FD

5.공간벡터 OP     를  평면,  평면,  평면에 정사영 시켜 얻은 벡터를 각각 OA OB OC 라고 하자.

OP   OA  OB  OC 일 때, 세 실수   의 합      는?

[3점][1999(자) /수능(홀) 19]

①  

 ②   ③ 

④  ⑤ 

6.그림은 한 모서리의 길이가  인 두 정사면체 ABCD 와 BCDE 에 대하여 면 BCD 를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다. 두 벡터 BA 와

DE 에 대하여

BA DE

의 값을 구하시오.

[3점][2010(가) 10월/교육청 21]

7.한 모서리의 길이가 

 인 정사면체 ABCD 에 대하여 등식

PB PC PD  PA

를 만족시키는 점 P 가 있다. 삼각형 BCD 의 무게중심을 G 라 할 때, 선분 PG 의 길이를 구하여라.

[3점][2014(B) /삼사 24]

(3)

8.좌표공간의 세 점 A   , B   , C   과  평 면 위의 점 P 에 대하여

PA PB PC

의 최솟값은?

[3점][2011(가) 10월/교육청 11]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

9.그림과 같이 두 개의 정사면체 OABC 와 OABC ′ 가 면 OAB 를 공 유하고 있다. 벡터 OC′   OA   OB   OC 를 만족시키는 상수

    에 대하여      의 값은?

[3점][2009(가) 삼사 21]

O

A

B

C C ′

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

10.밑면의 반지름의 길이가 , 모선의 길이가 이고 꼭짓점이 O 인 직원뿔이 있다. 밑면의 둘레 위의 한 점 A 에서 출발하여 원뿔의 옆면을 한 바퀴 돌아 점 A 로 되돌아오는 최단경로를

이라 하자.

위를 움직이는 점 P 에 대하여 점 B 가

AB  

 AO  

 AP

를 만족시킬 때, 점 B 의 자취의 길이는?

[4점][2007(가) 10월/교육청 8]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

11.좌표공간의 점 A  과 중심이 원점 O 인 구     위를 움직이는 점 P 에 대하여

 OA 

 OP

의 최댓값은

 

 이다.  의 값을 구하시오. (단,  는 유리수이다.)

[4점][2009(가) /수능 22]

(4)

12.그림과 같이 사면체 OABC 에서 삼각형 OAB 와 삼각형 CAB 는 모두 정삼각형이고, 삼각형 OAB 와 삼각형 CAB 가 이루는 이면각의 크기는 

 이다. 정삼각형 OAB 의 무게중심을 G , 점 O 에서 선분

CG 에 내린 수선의 발을 H 라 하자.

OA  OB  OC  라 할 때, OH    를 만족시키 는 세 상수    에 대하여      의 값을 구하시오.

[4점][2012(가) 삼사 30]

2 공간벡터의 내적

13.오른쪽 그림과 같이 AB   ,

BF   , FG   인 직육면체 ABCD  EFGH 에서 두 벡터 DF 와

HF 의 내적 DF∙ HF 의 값은?

[3점][2002(자) 10월/교육청 19]

①  

②  

③ 

④ 

⑤ 

14.좌표공간에서 네 점 A, A, A, A이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) AA  AA   (나) 

 AA

AA 

 AA

 cos

  

 (    )

AA의 최댓값을

이라 할 때,

의 값을 구하시오.

[4점][2012(가) 9월/평가원 29]

(5)

15.그림과 같이 모든 모서리의 길이가 인 사각뿔 O  ABCD 에서 선분 AB의 삼등분점 중 A에 가까운 점을 M, 선분 BC의 삼등분점 중 C에 가까운 점을 N이라 할 때, 두 벡터 OM ON 의 내적 OM∙ ON 의 값은?

[3점][2016(가) 8월/영남권 12]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

16.중심이 O 이고 반지름의 길이가  인 구 위에 고정된 점 A 가 있고,

AP   을 만족시키면서 이 구 위를 움직이는 점 P 가 있다. 이때, 선분 AP 위의 점 Q 가 AP ∙ OQ ≥  을 만족시킬 때, 점 Q 가 존재하 는 영역의 넓이는 

  이다.    의 값을 구하시오. (단,   는

서로소인 자연수이다.)

[4점][2011(가) 삼사 28]

O

P Q A

17.그림과 같이 옆면은 모두 합동인 이등변삼각형이고 밑면은 한 변의 길 이가 인 정사각형인 사각뿔 O  ABCD 에서 ∠AOB  °이다. 점 A에서 출발하여 사각뿔의 옆면을 따라 모서리 OB 위의 한 점과 모서 리 OC 위의 한 점을 거쳐 점 D 에 도착하는 최단경로를  이라 하자.  위를 움직이는 점 P 에 대하여 AB∙ OP 의 최댓값을 

  라 할 때,  의 값을 구하시오. (단,   는 유리수이다.)

[4점][2016(B) 삼사 30]

(6)

18.그림과 같이 AB AD , AE  인 직육면체 ABCD  EFGH에서 모 서리 AE를   으로 내분하는 점을 P , 모서리 AB, AD , FG 의 중점을 각 각 Q R S라 하자.

선분 QR의 중점을 T라 할 때, 벡터

TP 와 벡터 QS의 내적 TP ∙ QS의 값을 구하시오.

[3점][2009(가) /수능 20]

19.두 벡터      ,      가 이루는 각의 크기를

 라 할 때, cos  의 값은?

[2점][2002(자) 수능(홀) 2]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



20.두 벡터            이 이루는 각의 크기  의 값은? (단,  ≤  ≤  이다.)

[2점][2006(가) 9월/평가원 3]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



21.한 모서리의 길이가 각각 와 인 두 정육면체를 그림과 같이 꼭짓점 O 와 두 모서리가 겹치도록 붙여 놓았다. 두 정육면체의 대각선 OA와 OB에 대하여 ∠AOB의 크기를 라고 할 때, cos 의 값은?

[2점][2003(자) /수능(홀) 7]

(7)

22.두 벡터            이 수직일 때, 양수

 의 값을 구하시오.

[2점][2001(자) /수능(홀) 27]

23.그림은 모든 모서리의 길이가  인 두 개의 정사각뿔 O  ABCD , O′  DCEF에 대하여 모서리 CD 를 일치시킨 도형을 나타낸 것이다.

 OB OF 의 값을 구하시오. (단, 면 ABCD 와 면 DCEF 는 한 평 면 위에 있다.)

[3점][2006(가) 9월/평가원 21]

24.두 평면   의 교선을  이라 하자. 평면  위에 있는 원

과 평 면  위에 있는 원

는 반지름의 길이가 모두  이다. 그림과 같이 원

과 원

는 점 C 에서 직선  과 접한다.

의 중심 O을 지나고 평 면  에 수직인 직선과

의 중심 O를 지나고 평면  에 수직인 직선 이 만나는 점을 P 라 하자. ∠OC O 

일 때,

위에 있는 임의의

점 A와

위에 있는 임의의 점 B에 대하여

PA  PB

의 최댓값 을

, 최솟값을  이라 하자.

  의 값을 구하시오.

[4점][2005(가) 9월/평가원 21]

(8)

25.한 모서리의 길이가 인 정사면체 ABCD 에서 삼각형 ABC의 무게 중심을 O , 선분 AD 의 중점을 P 라 하자. 정사면체 ABCD 의 한 면 BCD 위의 점 Q 에 대하여 두 벡터 OQ 와 OP 가 서로 수직일 때,

PQ

의 최댓값은 

이다.    의 값을 구하시오. (단,   는 서로

소인 자연수이다.)

[4점][2017(가) 수능 29]

26.좌표공간에서 세 점 A     B       C      에 대하여 선분 AB 의 중점을 D , 선분 BC 를    로 내분하는 점을

E 라고 하자.

점 P 가 선분 DE 위를 움직일 때, 두 벡터 OP 와 AP 의 내적

OP ⋅AP 의 최솟값은? (단, O 는 원점이다.)

[4점][2006(가) 10월/교육청 16]

①   ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



27.좌표공간에서 두 점 A  , B     에 대하여 두 점 P , Q 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) OA∙ OP  ,

OP

  (나) AB∙ BQ  ,

BQ

 

OP ∙ AQ 의 최댓값이  

 일 때, 두 유리수 ,  에 대하여 

의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[4점][2016(가) 10월/교육청 29]

28.중심이 C 이고 반지름의 길이가  인 구와 구 위의 한 점 A 가 있다.

구 밖의 한 점 B 를 AB  이고 CB  가 되도록 잡는다. 점 P 가 이 구 위를 움직일 때, 두 벡터 BA  BP 의 내적 BA ∙ BP 의 최댓 값과 최솟값의 합을 구하시오.

[4점][2012(가) 10월/교육청 28]

(9)

1 직선과 평면의 방정식

29.좌표공간에서 두 점 A  , B      를 지나는 직 선과 직선     

  

 

  

이 서로 평행할 때, 실수 의 값을 구하시오.

[3점][2016(가) 10월/경남교육청파이널 24]

30.점    을 지나고 직선 

  

 

 

  

에 평행인 직선 이 점   를 지난다.  의 값은?

[3점][2010(가) 11월/대전 4]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

31.그림과 같이 지면과 수직인 벽면에 대형 스크린을 붙여 세우고 투명 스크린을 벽면과 지면에 모두 수직이 되도록 설치하여 벽면과 투명 스크 린이 만나는 경계선을  이라고 하자.

벽면으로부터 m, 투명 스크린으로부터 m 떨어진 지면 위의 점 X 에 레이저 발생장치를 설치하고, 경계선  로부터 m, 지면으로부터 m 떨어진 투명 스크린 위의 점 P 를 향해 레이저 광선을 비춘다.

점 P 를 통과한 레이저 광선이 지면으로부터 m, 경계선  로부터  m 떨어진 대형 스크린 위의 점 Q 에 도달할 때,    의 값은? (단, 레이 저 광선이 투명 스크린을 통과할 때의 굴절은 무시한다.)

[3점][2003(자) 6월/평가원 19]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

32.그림과 같이 각층의 높이가  인 직육면체 형태의 두 건물 A  B가 있다. 건물 A와 건물 B는 서로 수직으로 붙어 있고, 두 건물의 외벽은 한 변의 길이가  m인 정사각형 모양의 유리창으로 서로 이어져있다. 어 떤 사람이 건물 A의 어느 창가에서 건물 B의 유리창을 향하여 레이저 빛을 쏘았는데 이 레이저 빛은 건물 B의 창문의 S 지점과 바닥 면의 T 지점을 지났다. 다음 중 레이저를 쏜 창가는? (단, 유리창틀의 두께는 무시하고, 레이저 빛은 유리창을 통과할 때 굴절되지 않는다고 가정한 다.)

[4점][2006(가) 삼사 24]

(10)

33.좌표공간에 두 점

   

  이 있고, 평면 위에 원

  이 있다. 이 원 위의 점      을 지나고 축에 평행한 직선이 직선



와 만날 때,  의 값은?

[4점][2011(가) 9월/평가원 18]

①  

 ②  

 ③  

④  

 ⑤  



34.좌표공간에 세 점 A  , B    , C  과 직선

  

  

 

  

 

   가 있다.

직선  이 삼각형 ABC 의 변 또는 내부를 지나도록 상수  의 값을 정 할 때, 정수  의 개수는?

[4점][2008(가) 10월/교육청 11]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

35.좌표공간에서 두 점 A   , B   을 지나는 직선과 직 선         이 서로 수직일 때,  의 값은?

[3점][2014(B) /수능 6]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

36.좌표공간 위의 점 A  에서 두 점 B   

C   을 지나는 직선까지의 거리를 라 할 때, 의 값을 구하여라.

[3점][2013(가) /삼사 26]

(11)

37.좌표공간에서 직선 

  

 

  

   가 평면   와 만나는 점의 좌표를   라 할 때,    의 값은?

[2점][2010(가) 9월/평가원 2]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

38.좌표공간에서 직선 

  

 

  

   에 수직이고

점    를 지나는 평면의 방정식을         이라 할 때,    의 값을 구하시오.

[3점][2010(가) /수능 20]

39.좌표공간에서 직선 

  

 

  

 

  

에 수직이고,

점       를 지나는 평면의 방정식을          이라 할 때,      의 값을 구하시오. (단,     는 상수이다.)

[3점][2014(B) 9월/평가원 24]

40.좌표공간에 점 P   가 있고 평면 위의 원    위 에 두 점 A, B가 있다. 평면 ABP 의 법선 벡터가      

일 때, 선분 AB의 길이는?

[4점][2016(가) 9월/평가원 18]

 ② 

 ③



④ 

 ⑤



(12)

41.점 A  을 지나고 직선        

  

 

   에 수직

인 평면을  라 하자. 평면  와 직선         

   의 교점 을 B라 할 때, 선분 AB의 길이는?

[3점][2005(가) /수능(홀) 6]

 ②

 ③



 ⑤



42.좌표공간 위의 두 점 A     , B     이 있다. 점 P 가 점 B 에서 출발하여  평면 위의 직선    을 따라  축의 양의 방향으 로 한없이 움직일 때, 선분 AP 와 평면      이 만나는 점을 Q 라 하자. 점 Q 가 나타내는 자취의 길이는?

[4점][2007(가) 삼사 16]

① 

② 

 ⑤ 

43.좌표공간에 여섯 개의 점 A   B   C  

D     E    F   를 꼭짓점으로 하는 정팔 면체 ABCDEF가 있다. 이 정팔면체와 평면       이 만나서 생기는 도형의 넓이를

라 할 때,

의 값을 구하여라.

[4점][2014(B) /삼사 28]

44.점 O 를 원점으로 하는 좌표공간에 사면체 OABC 가 있다.

삼각형 OAB, OBC, OCA, ABC 는 각각 네 평면

  ,   ,     ,       

위에 있을 때, 사면체 OABC 의 부피는

이다. 

의 값을 구하시 오.

[4점][2008(가) 10월/교육청 21]

(13)

45.좌표공간에서 세 직선

     

,     

 ,    

 

가 같은 평면 위에 있을 때,   의 값을 구하시오. (단, ≠  이다.)

[4점][2012예비(B) 5월/평가원 28]

46.좌표공간에 네 점 A  , B  , C   , D   를 꼭짓점으로 하는 사면체 ABCD 가 있다.

모서리 BD 위를 움직이는 점 P 에 대하여 PA PC의 값을 최소로 하는 점 P 의 좌표를   라고 할 때,      

이다.    의

값을 구하시오. (단,  ,  는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2008(가) /수능(홀) 23]

47.중심이 C  이고 반지름의 길이가 

 인 구와 직선



   가 만나는 두 점을 A B라 하자.

삼각형 CAB의 넓이를

라 할 때,

의 값을 구하시오.

[4점][2005(가) /수능(홀) 21]

48.좌표공간에서 평면        위의 세 점 A  , B  , C  을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC의 내부에 점 P   가 있다. 점 P 의  평면 위로의 정사영을 Q 평면 위로의 정사영을 R  평면 위로의 정사영을 S라 하자. QR QS 일 때, 사면체 QPRS 의 부피의 최댓값을 구하시오.

[4점][2007(가) 수능(홀) 23]

(14)

49.좌표공간에서 집합

       ≤      ≤  ≤ 

이 나타내는 도형을

라 하자. 점 A   와 도형

위의 점 P 를 지나는 직선이  평면과 만나는 점을 Q 라 하면 점 Q 가 나타내 는 도형의 넓이는 

 이다. 이 때,    의 값을 구하시오. (단,  , 

는 서로소인 자연수이다.)

[4점][2008(가) /삼사 29]

O A   

 

Q P

50.좌표공간에서 평면        과 평면        의 교선 을  이라 하자. 원점에서 직선  에 내린 수선의 발의 좌표를     라 할 때,      의 값은?

[3점][2010(가) 10월/교육청 5]

①   ②   ③  

④  ⑤ 

51.좌표공간에서 직선       

    와 평면  가 점

A    에서 수직으로 만난다. 평면  위의 점 B     와 직선  위의 점 C 에 대하여 삼각형 ABC 가 이등변삼각형일 때, 점 C 에서 원점까지의 거리는  이다. 의 값을 구하시오.

[4점][2013(B) 9월/평가원 28]

(15)

52.두 평면  

     ,    이 이루는 각의 크기를  라 할 때, sin 의 값은?

[3점][2016(가) 10월/교육청 11]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

⑤ 

53.좌표공간에서 평면         과 평면이 이루는 예각의 크기를 라 할 때, cos의 값은?

[3점][2017(가) /수능 12]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

54.평면     과 평면         이 이루는 각의 크기가

°일 때, 양의 상수  의 값은?

[3점][2007(가) 9월/평가원 6]

 ②

 ③ 

 ⑤ 

55.좌표공간에서 세 점 A   , B    , C   을 지나는 평면을  라 하자. 그림과 같이 평면  와  평면의 이면각 중에서 예 각인 것을 이등분하면서 선분 AB 를 포함하는 평면을  라 할 때, 평면

 가  축과 만나는 점의  좌표는?

[4점][2010(가) 삼사 20]

O A  

B  

C  

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

56.좌표공간에서 평면   tan 위의 도형

를 벡터

        에 평행한 광선으로 비추었더니,  평면에 나타난 도형

의 그림자는 중심이    이고 반지름의 길이가  인 원이 되었다. 이 때, 도형

의 넓이는?

[4점][2009(가) 삼사 23]

① 

  ② 

  ③ 

④ 

  ⑤ 

(16)

57.좌표공간에 점 A   과 평면           이 있다.

평면  위의 점 P 가 AP ≤  을 만족시킬 때, 점 P 가 나타내는 도형 의  평면 위로의 정사영의 넓이는?

[4점][2016(B) /수능 19]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 



58.좌표공간에 있는 원기둥이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 높이는 이다.

(나) 한 밑면의 중심은 원점이고 다른 밑면은 평면   과 오직 한 점    에서 만난다.

이 원기둥의 한 밑면의 평면    위로의 정사영의 넓이는?

[4점][2012(가) 9월/평가원 14]

① 

 ② 

 ③ 



59.좌표공간 위의 네 점 A  , B  , C  , D  에 대하여 그림과 같이 사면체 DABC의 꼭짓점 D에서 삼각형 ABC에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 선분 DH의 길이는?

[3점][2012(가) /삼사 12]

① 

 ②  ③ 

④ 

 ⑤ 

60.구           위의 점에서 평면

      에 이르는 거리의 최솟값은?

[3점][1997(자) 수능(홀) 20]

① 

  

② 

  

③ 

  

④ 

  

⑤ 

  

(17)

61.구       위를 움직이는 점 P 가 있다. 점 P 와 평 면          사이의 거리의 최댓값을  라 할 때,   의 값 을 구하시오.

[3점][2014(B) 10월/교육청 24]

62.좌표공간에서 평행한 두 평면

         ,          에 동시에 접하는 구의 지름의 길이는?

[3점][2002(자) 10월/교육청 22]

①  ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

63.좌표공간에서 점 A     가 직선 

  

 

  

 

   위 에 있을 때, 점 A와 평면            사이의 거리는?

(단, ,  는 상수)

[3점][2005(가) 10월/교육청 8]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

64.  를 구     위의 한 점의 좌표라고 할 때, 두 평면       ,        사이의 최단거리는?

[2점][2002(자) 수능(홀) 7]

① 

 ②  ③ 

④  ⑤ 



65.좌표공간에서 정사면체 ABCD 의 한 면 ABC는 평면

       위에 있고, 꼭짓점 D 는 평면        위에 있다.

삼각형 ABC의 무게중심의 좌표가   일 때, 정사면체 ABCD 의 한 모서리의 길이는?

[4점][2013(가) /수능 20]

① 

 ②  ③ 

④  ⑤ 

(18)

66.좌표공간에 두 점 A   B    이 있다. 평면

       위에 있는 점 P 에 대하여

PA  PB

의 최솟값은?

[4점][2005(가) /수능(홀) 15]

① 

② 

③ 

④ 

⑤ 

67.좌표공간의 점 A  에서 평면

     에 내린 수선의 발을 B라 할 때, OA∙ OB 의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[4점][2007(가) /수능(홀) 21]

68.좌표공간에서 직선   

       과 평면 가 점 P  

에서 수직으로 만난다. 직선  위의 점 A  와 평면  위의 점 Q 에 대하여 AP ⋅AQ  일 때,    의 값은? (단,   )

[4점][2015(B) /수능 19]

①  ②  ③ 

④  ⑤ 

(19)

69.좌표공간에서 중심이 원점이고 직선          와 서로 다른 두 점 A , B에서 만나는 구와 이 구 위를 움직이는 점 P 가 있다. 두 벡터 AP , AB 에 대하여 AP ∙ AB  AB이 성립할 때, 점 P 가 나타내는 도형의 길이는?

[4점][2011(가) 10월/교육청 18]

①  ②  ③ 

 

④ 

  ⑤ 

70.좌표공간에서 직선 

      

 와 평면        가 만

나는 점을 A 라 하자. 점 P 가 OA∙ OP 

OP

을 만족시킬 때, 점 P 와 평면        사이의 거리의 최댓값은?

[4점][2009(가) 10월/교육청 11]

①   

②   

③   

④   

⑤   

71.그림과 같이 좌표공간에 있는 정육면체 OABC  DEFG 에서 A  , C  , D    이다. 이 정육면체가 평면

       에 의하여 잘린 단면의 넓이를

라 할 때,

의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[4점][2012(가) 10월/교육청 30]

72.좌표공간에서 평면

      위에 있는 사각형 ABCD 의 

평면으로의 정사영은 사각형 A′ B′ C′ D′ 이다.

A′

  

 B′

 

  

 C′

 

  

 D′

  

일 때, 사각형 ABCD 의 둘레의 길이는?

[4점][2004(가) 9월/평가원 12]

① 

 ② 

   ③ 

④  ⑤ 

(20)

73.좌표공간에서 평면         

      위의 두 점 A, B 에서   평면에 내린 수선의 발은 각각 C   , D    이 다. 평면  와   평면의 교선을  이라 하고, 두 점 C, D 에서 교선

 에 내린 수선의 발을 각각 E, F 라 하자. 이때, 사각형 AEFB 의 넓 이를 구하시오.

[4점][2010(가) 10월/교육청 24]

74.그림과 같이 좌표공간에서 한 모서리의 길이가  인 정사면체 OPQR 의 한 면 PQR가  축과 만난다. 면 PQR의  평면 위로의 정사영의 넓이를

라 할 때,

의 최솟값은  이다.  의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[4점][2014(B) 10월/교육청 30]

75.좌표공간에서 삼각형 ABC가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 삼각형 ABC의 넓이는  이다.

(나) 삼각형 ABC의 평면 위로의 정사영의 넓이는  이 다.

삼각형 ABC의 평면        위로의 정사영의 넓이의 최댓값 은?

[4점][2012(가) /수능 21]

① 

   ② 

   ③ 

  

④ 

   ⑤ 

  

(21)

2 평면과 구의 방정식

76.좌표공간에서 평면         이 구

       에 접하도록 하는 모든 실수  의 값의 합을 구하시오.

[3점][2017(가) /수능 24]

77.좌표평면에서 중심이   이고 평면       에 접하는 구의 반지름을 구하시오.

[3점][1999(자) /수능(홀) 25]

78.평면  와 구

             이 점 A      에서 접할 때, 평면  에 평행하고 구

와 접하는 평면 의 방정식은?

[3점][2005(가) 9월/평가원 12]

①        ②         

③        ④         

⑤         

79.좌표공간에서 중심이 C  이고 반지름의 길이가

 인 구가 두 평면 ,  와 접하는 점을 각각 P , Q 라 하자. 두 평면 ,  의 교 선의 방정식이       일 때, 삼각형 CPQ 의 넓이는

이다.



의 값을 구하시오.

[4점][2013(B) 10월/교육청 29]

80.좌표공간에서 구           이  평면 과 접하는 점을 A 라 하고, 구 위를 움직이는 점을 P 라 하자. 이 때,

OA∙ OP 의 최댓값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[4점][2008(가) /삼사 28]

(22)

81.좌표공간에서 구          와  평면이 만 나서 생기는 원 위의 한 점을 P 라 하자. 점 P 에서 이 구와 접하고 점 A

   

를 지나는 평면을  라 할 때, 원점과 평면  사이의 거 리는?

[4점][2016(B) /삼사 19]

① 

 ②  ③ 



④ 

 ⑤ 

82.좌표공간에 두개의 구

      ,

       가 있다. 점 P

 

 

을 포함하고

에 동시에 접하는 평 면을 라 하자. 점 Q

 

  

가 평면  위의 점일 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2015(B) 9월/평가원 29]

83.좌표공간에서 직선 

      과 평면          의

교점을

라 하자. 중심이 점    이고 점 A 를 지나는 구가 평면 와 만나서 생기는 도형의 넓이는 이다.  의 값을 구하시오.

[3점][2011(가) /수능 21]

84.좌표공간에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가  인 구가 세 점 A       , B       , C       를 지나는 평면에 의하여 잘린 도형의 넓이는  이다. 이때,  의 값을 구하시오.

[4점][2006(가) 10월/교육청 21]

85.좌표공간에서 두 개의 구

    ,           가 만나서 생기는 원을 포함하는 평면을  라 하자.

평면  와   평면이 이루는 각의 크기를  라고 할 때, cos  의 값은?

단,  ≤  ≤ 

[2점][1996(자) 수능(홀) 26]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

⑤ 

(23)

86.좌표공간에 구           와 구 밖의 한 점 A   가 있다. 점 A 에서 이 구에 그은 접선들의 접점으로 이루어 진 도형을 포함하는 평면과  평면이 이루는 예각의 크기를  라 할 때, cos 의 값은?

[3점][2008(가) 10월/교육청 6]

① 

 ② 

 ③ 

④ 

 ⑤ 

87.좌표공간에서 두 점 A    , B     과 움직이는 점 P 에 대하여 OA  , OB  , OP   라 할 때, 다음 조건을 모두 만족시 키는 점 P 가 나타내는 도형의 길이는? (단, O 는 원점이다.)

[4점][2010(가) /삼사 17]

(가)     ⋅       (나)     ⋅      

① 

  ② 

  ③  

④ 

  ⑤ 

 

88.좌표공간에서 중심이 C인 구          와 평면       이 만나서 생기는 도형을

라 하자.

도형

위의 두 점 P , Q 에 대하여 두 벡터 CP , CQ 의 내적

CP ∙ CQ 의 최솟값은?

[4점][2008(가) /수능(홀) 9]

①   ②   ③  

89.구     와 평면    이 만나서 생기는 원을

라 하자.  축을 포함하는 평면  와 구     가 만나서 생기는 원이

와 오직 한 점에서 만날 때, 평면 의 한 법선벡터를

    라 하자.  의 값을 구하시오.

[4점][2006(가) /수능(홀) 24]

90.좌표공간에서 구

    와 평면    

    가 만나서 생기는 원을

라 하자.

위의 점 A  에 대하여 원

의 지름의 양 끝점 P Q 를

AP  AQ 가 되도록 잡고, 점 P 를 지나고 평면  에 수직인 직선이 구

와 만나는 또 다른 점을 R라 하자. 삼각형 ARQ 의 넓이를  라 할 때, 의 값을 구하시오.

[4점][2009(가) /수능 25]

(24)

91.좌표공간에서 구     이 두 평면         

      

   

와 만나서 생기는 원을 각각

,

라 하자.

위의 점 P 와 원

위의 점 Q 에 대하여 PQ의 최솟값을 구 하시오.

[4점][2009(가) 9월/평가원 23]

92.좌표공간에서 구

       와 평면          이 만나서 생기는 원을

라 하자.

위의 점 A

 

   과 원

위를 움직이는 점 B 에 대하 여 두 벡터 OA , OB 의 내적 OA∙ OB 의 최댓값과 최솟값의 곱을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)

[4점][2015(B) 10월/교육청 30]

93.좌표공간의 두 점 A

 

 , B 

  

 에 대하여 점 P 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) AP   

(나) AP 와 AB 가 이루는 각의 크기는 

이다.

중심이 원점이고 반지름의 길이가  인 구 위의 점 Q 에 대하여

AP ⋅AQ 의 최댓값이  

 이다.   의 값을 구하시오.

(단,  ,  는 유리수이다.)

[4점][2016(B) /수능 29]

94.구     과 평면 

  

  

   이 만나서 생

긴 도형의  평면 위로의 정사영의 넓이는?

[4점][2003(자) 삼사 21]

① 

 ② 

 ③ 



(25)

95.좌표공간에서 구

         

과 평면         이 만나서 생기는 원의 평면 위로의 정 사영의 넓이는?

[4점][2016(가) 8월/영남권 19]

① 

 ② 

 ③ 



④ 

 ⑤ 



96.구     위의 점

 

 

에서 구에 접하는 평면을

, 점

 

 

에서 구에 접하는 평면을 라 한다. 평면  위에 있 는, 넓이가 인 삼각형을 평면  위로 정사영시켜 얻은 도형의 넓이 를 구하시오.

[3점][1998(자) /수능(홀) 27]

97.좌표공간에 평면 위의 원

     과 구

    이 있다. 구

위를 움직이는 점 P  에서 구

에 접하는 평면을 라 할 때, 원

의 평면  위로의 정사영의 넓이가 

가 되도록 하는 점 P 가 나타내는 도형의 길이는 이다.

의 값을 구하시오. (단,   )

[4점][2016(가) 10월/경남교육청파이널 29]

98.좌표공간에서 구     위를 움직이는 두 점 P , Q 가 있 다. 두 점 P , Q 에서 평면   에 내린 수선의 발을 각각 P, Q이 라 하고, 평면  

     에 내린 수선의 발을 각각 P Q라 하자. 

PQ

PQ

PQ

의 최댓값을 구하시오.

[4점][2014(B) /수능 29]

(26)
(27)

정답 및 해설

1. [정답] 

정팔각형의 성질을 이용하여 대각선의 교점을 O라면 삼각형 OAA는 직각삼각형이 되고 AO 이다.

AB의 중점을 P라 하면 PA PB PP이다.

  

 PA PB

 

  

PP

 

  

OP OP ∵

  

OP 

 OP

 OA

따라서 크기는 48이다.

2. [정답] 

A를 원점, AB가 축, 를 평면, AD를 축으로 하는 좌표축을 도입하면 A   , B   ,

C

 

  

, D   

∴AB  DC

   

 

   



 

 

  



 

 

       

3. [정답] 

[출제의도] 공간벡터 문제 해결하기

OP의 중점을 M이라 하면

OP  OQ   OP  OO OQ  

  OP  OO  OQ 

 OM  OQ 

≤  OM   OQ 

(단, 등호는 OM 와 OQ의 방향이 같을 때 성립)

∆OOP에서

OP OO OM PM

  OM 

OM   OM  

이고 OQ   이므로

OP  OQ 의 최댓값은  



∴   

4. [정답] ② 정육면체의 꼭짓점

 는 오른쪽 그림과 같으므로

     ⋯⋯ ①

      ⇒      ⋯⋯ ②

     ⋯⋯ ③

①  ②  ③을 하면   

∴       

6. [정답] 

[출제의도] 공간에서의 벡터의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

좌표공간에서 B   , D  , C

   

이라 하면 A



   

, E



    

이다.

BA



   

, DE



     

∴BA  DE

 

7. [정답] 

[출제의도] 이해능력 - 벡터

PB  PC  PD PA

⋅ 

PB  PC  PD

 PA

PG PA

∴ PG  PA

∴ PG  × AG

위 그림에서

AG 

  

  

∴ PG  × AG  

8. [정답] ②

[출제의도] 좌표로 표시된 벡터의 크기의 최솟값을 구할 수 있는지 묻는 문제이다.

삼각형 ABC 의 무게중심 G는 G   이다.

PA PB  PC

PG이다.

이때, PG의 값이 최소이려면 점 G에서 평면에 내린 수선의 발이 점 P일 때이므로 P   일 때 PG의 최솟값은  이다.

9. [정답] ②

O  C  C′를 지나는 평면으로 자른 단면도는 다음과 같다.

(28)

이 때, OG   ⋅   (∵G가 무게중심)

∴OC′   

OA   OB  OC  OA  OB  OC

∴  

    

    이므로    

[다른풀이]

좌표로 해결하는 방법

O      A     B      C       C′   라 두면

             

        이 식을 연립해서 풀면 C′

 

 

  

 

    

    

    

⇒       

∴      

10. [정답] ④

[출제의도] 벡터의 연산을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

AB  

 AO 

 AP  

AP AO

이므로 B 는 선분 OP를    로 내분하는 점이다.

원뿔의 전개도에서 은 선분 AA′ 이고 선분 OA 와 선분 OA′ 을

  로 내분하는 점을 각각 X , X′ 이라 하면 점 B 의 자취는 선분 XX′이다. 부채꼴의 중심각의 크기를  라 하면  ×    ×  에서

  

 이므로 삼각형 OAA′ 에서

 sin 



AA′

 sin 



∴ AA′  

∴ XX′   AA′  

11. [정답] 



 OA 

 OP OM라 놓으면

OM 

    

     

         

OM 

         

 

           

 

         

 

      

여기에서     ⋯⋯ ①

 ×   ×   × 

 ×  × cos

   

 cos  ≤   

 OA 

 OB

  

 

  

   

∴      

∴      ×   

[다른풀이]

선분 AP 를    로 내분하는 점을 Q 라고 할 때,



 OA 

 OP OQ이다.

• •

   

 OP   , OA   

로 일정하므로

 OQ 의 값이 최대가 되는 것은 두 벡터 OP OA의 방향이 같을 때이다.

••

  

PQ  PA 



    

  이므로

 OQ     

      

∴      

∴      

[다른풀이]

점 P의 좌표를   라 하면



 OA 

 OP  

    

   

 

        이므로

 OA 

 OP

        

 

        

        

구면 위의 점 P  와 점 Q      사이 의 거리이므로 PQ의 최댓값은

OQ       

  이다.

따라서 

        의 최댓값은





    

  이므로      이다.

(29)

  cos     cos

 

 cos    cos

 

 

 cos   

cos 

 cos   sin 

 sin 

 

 cos  

 sin   

∴ tan   

∴ sin   

  cos   

이제 선분 CH와 선분 GH의 비를 구하면

CH OC sin   

⋅ 

  

GH OG sin

 

 

⋅

 



GH  CH    따라서 OH는 

 

과  를    으로 내분하는 점이므로

OH  

 

⋅

    

  

  

∴       

 

 

 

[다른풀이]

AB의 중점을 M이라 하면 △OAB , △CAB 가 합동인 정삼각형이므로

OM CM이고

OM⊥AB, CM⊥AB이므로

∠OMC의 크기는 평면 OAB 와 CAB 가 이루는 이면각의 크기 

이다.

따라서 △OCM은 정삼각형이다.

OC  OM 라 하면 OG  OM 



∠COM  

이므로 OG∙ OC  

⋅⋅cos 

 



그림에서 H는 CG의 내분점이므로

OH OG   OC를 만족하는  (    )가 존재한다.

이때, OH⊥CG이므로 OH∙ CG  이다.

OH∙ CG  OH∙OG OC

OG   OC∙OG OC

 OG   OG∙ OC    OC

 

     

    



  

에서   

그런데 G는 삼각형 OAB 의 무게중심이므로

[출제의도] 벡터의 내적을 계산할 수 있다.

오른쪽 그림과 같이

HF  DB이고,

∠DBF  °이므로

∠BDF  라 하면

DF ⋅ HF  DB×DF×cos

 DB

∵cos  DF

DB

  (∵ DB  

)

14. [정답] 



 

 

 

 cos 



⋅ 



 …㉠



 

 

 

 cos 

⋅ 



 …㉡



 

 

 

 

∴ 



  이때, ㉠, ㉡에 대입하면

⋅ , ⋅ 

이고 과 이 이루는 각의 크기를 , 과 가 이루는 각의 크기를 라 하면

⋅ 



cos 



cos 

⋅ cos 

∴ cos 

 이때,



    ×  ×  × 

 



따라서



  이고



cos   이므로 점 이 나타내는 도형은 선분 을 1 : 3 으로 내분하는 점을 C라 할 때, 점 C를 중심으로 하는 원이다.





따라서 반지름의 길이를 라 하면

   

 

참조

Outline

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