정답 및 풀이

정답 및 풀이

01일차변환 002 02일차변환의 합성과 역변환 012 Ⅰ. 수능・평가원・교육청 기출문제 027

03포물선 029 04타원 040 05쌍곡선 051 Ⅱ. 수능・평가원・교육청 기출문제 063

06공간도형 067 07공간좌표 078 Ⅲ. 수능・평가원・교육청 기출문제 090

08벡터와 그 연산 094 09벡터의 내적 102 10직선과 평면의 방정식 115 Ⅳ. 수능・평가원・교육청 기출문제 128

01 일차변환

Ⅰ. 일차변환과 행렬

답 ㄴ, ㄷ

0001

답 ¶ •=¶ •¶ •x y 4 -1 2 -5 x'

0002

답 ¶ •=¶ •¶ •x y 0 -3 2 -0 x'

0003

답 ⑴¶ • ⑵ ¶-1 -1• -0 -2 2 1

0004

⑴¶ •¶ •=¶ •이므로 (1, 2)

⑵¶ •¶ •=¶ •이므로 (3, 3)

답 ⑴ (1, 2) ⑵ (3, 3) 3

3 -2 -1 1 -1 2 -1

1 2 1 0 1 -1 2 -1

0005

⑴ f(X¡+X™)=f(X¡)+f(X™)

=¶ •+¶ •=¶ •

∴ (3, 1)

⑵ f(3X¡-2X™)=3f(X¡)-2f(X™)

=3¶ •-2¶ •=¶ •

∴ (19, -12) 답 ⑴ (3, 1) ⑵ (19, -12) -19

-12 -2

-3 -5

-2

3 1 -2 -3 -5

-2

0006

⑴¶ •¶ •=¶ •이므로 (-3, 2)

⑵¶ •¶ •=¶ •이므로 (3, -2)

⑶¶ •¶ •=¶ •이므로 (-3, -2)

⑷¶ •¶ •=¶ •이므로 (2, 3)

답 ⑴ (-3, 2) ⑵ (3, -2) ⑶ (-3, -2) ⑷ (2, 3) 2

3 3 2 0 1 1 0

-3 -2 3

2 -1 -0 -0 -1

3 -2 3

2 1 -0 0 -1

-3 2 3

2 -1 0 -0 1

0007

닮음의 중심이 원점이고 닮음비가 인 닮음변환이 고, 이 일차변환을 행렬로 나타내면

¶ •=ª º¶ •

답 닮음변환, ¶ •=ª º¶ •x y 0

;2!;

;2!;

0 x' y' x

y 0

;2!;

;2!;

0 x' y'

1

0008

¶ •¶ •=¶ •

∴ (0, -1) ^답 (0, -1)

-0 -1 1

0 -0 -1 -1 -0

¶ •¶ •=¶ •2 ∴ (2, 0) 답 (2, 0) 0

1 0 2 0

0010

¶ •=· ‚ yy^답

-112

12'32 12'32

112 -sin 30˘

-cos 30˘

cos 30˘

sin 30˘

0011

· ‚

=· ‚ yy답

12'22 12'22 -'2 --212

-'2 --212

-sin{-;4“;}

-cos{-;4“;}

cos{-;4“;}

sin{-;4“;}

0012

· ‚¶ •=¶ •

∴ (1-'3, '3+1) ^답 (1-'3, '3+1) 1-'3

'3+1 2

2 -'3 --212

112 112

12'32

0014 0009

원점을 중심으로 만큼 회전하는 회전변환의 행렬은

· ‚=· ‚

이므로· ‚¶ •=¶ •

∴ (0, 2) ^답 (0, 2)

0 2 '3

1 -'3 --212 112 112

12'32

-'3 --212

112 112

12'32 -sin ;3“;

-cos ;3“;

cos ;3“;

sin ;3“;

p

0013

ㄱ. [ 는 상수항이 있으므로 일차변환이 아 니다.

ㄷ. y'=xy는 x, y에 대한 이차식이므로 일차변환이 아니다.

따라서 일차변환인 것은 ㄴ이다. ^답 ㄴ

x'=x+1 y'=y-2

0015

① 점 P(x, y)를 원점으로 옮기므로 [

② y축에 대한 대칭이동이므로[

x'=-x y'=y x'=0=0¥x+0¥y

y'=0=0¥x+0¥y

0016

●본문

009~010

③ 원점에 대한 대칭이동이므로[

④ 점 P(x, y)를 점 (a, b)에 대하여 대칭이동하면

=a에서 x'=2a-x

=b에서 y'=2b-y

이때 x', y'에 상수항이 존재하므로 일차변환이 아니다.

⑤ 직선 y=x에 대한 대칭이동이므로[x'=y ^답 ④ y'=x

y+y' 2 x+x'

2

x'=-x y'=-y

¶ •=¶ •¶ •=¶ •에서

a=2a+b, b=-a+3b

즉, a+b=0, a-2b=0에서 a=b=0

∴ a-b=0 답 0

2a+b -a+3b a

b -2 1 -1 3 a

0017

일차변환 f의 행렬을¶ •라고 하면 f : (-1, 2)2⁄ (2, 1)에서

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴[

f : (1, 0)2⁄ (-3, 1)에서

¶ •=¶ •¶ •=¶ • ∴ a=-3, c=1

이것을 ㉠, ㉡에 대입하면 b=- , d=1

즉, 일차변환 f의 행렬은_{ª º}이므로

ª º¶ •=¶ • ∴ (1, 3) 답 ④

다른풀이 역행렬을 이용하여 일차변환 f의 행렬 A를 구하면 A¶ •=¶ •, A¶ •=¶-3•

1 1

0 2

1 -1

2

1 3 -1

4 -;2!;

-1 -3 -1

-;2!;

-1 -3 -1

1 2 a c 1 0 a b c d -3

1

-a+2b=2 yy㉠ -c+2d=1 yy㉡

-a+2b -c+2d -1

2 a b c d 2

1

a b

0019

일차변환 f의 행렬을¶ •라고 하면

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴[

또, ¶ •=¶ •¶ •=¶ •이므로

[

㉠, ㉢에서 a=2, b=0

㉡, ㉣에서 c=1, d=-1

즉, 일차변환 f의 행렬은¶ •이므로

¶ •¶ •=¶ •8 ∴ P(8, 1) ^답 P(8, 1) 1

4 3 2 -0 1 -1

2 -0 1 -1

2a-b=4 yy㉢

2c-d=3 yy㉣

2a-b 2c-d 2

-1 a b c d 4

3

a+2b=2 yy㉠

c+2d=-1 yy㉡ a+2b c+2d 1

2 a b c d 2

-1

a b

0021

일차변환 f의 행렬을¶ •라고 하면

¶ •¶ •=¶ • ∴ a=-1, c=0

¶ •¶ •=¶ • ∴ b=2, d=3

즉, 일차변환 f의 행렬은¶ •이므로

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ a+b=5+12=17 ^답 ③

다른풀이 ¶ •¶ •=¶ •

∴¶ •=¶-1 2• -0 3 a b

c d

-1 2 -0 3 1 0

0 1 a b c d

5 12 3 4 -1 2 -0 3 a

b

-1 2 -0 3 2

3 0 1 a b c d

-1 0 1

0 a b c d

a b

0020

일차변환[ 의 행렬은¶ •

따라서 주어진 일차변환에 의하여 두 점 A(1, 1), B(3, 2)가 옮겨지는 점을 각각 A', B'이라고 하면

¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(1, 4)

¶ •¶ •=¶ • ∴ B'(4, 9)

∴ A'B'”="√(4-1)¤ +(9-4)¤ ='3å4 ^답 '3å4 4

9 3 2 2 -1 1 -3

1 4 1 1 2 -1 1 -3

2 -1 1 -3 x'=2x-y

y'=x+3y

에서 A¶ •=¶ •

∴ A=¶ •¶ •–¡

=- ¶ •¶ •

=- ¶ •=ª -;2!;º -1 -3

1 -6 -1

-2 -2 1

2

-0 -1 -2 -1 2 -3

1 -1 1

2

-1 1 -2 0 2 -3

1 -1

2 -3 1 -1 -1 1

-2 0

0018

일차변환 f의 행렬을¶ •라고 하면

¶ •¶ •=¶ • ∴ b=1, d=0

¶ •¶ •=¶ •p ∴ a=p, c=q q

1 0 a b c d

1 0 0 1 a b c d

a b

0022

A=¶ •라고 하면

¶ •¶ •=¶ •

∴[

A¶ •=¶ •에서

A¤¶ •=AA¶ •=A¶ •=¶ •

¶ •¶ •=¶ •

∴[

㉠, ㉢에서 a=1, b=1

㉡, ㉣에서 c=1, d=0

¶ •¶ •=¶ •2 ∴ (2, 1) ^답 ② 1

1 1 1 1 1 0

3a+b=4 yy㉢ 3c+d=3 yy㉣

4 3 3 1 a b c d

4 3 3 1 1

2 1

2 3 1 1 2

a+2b=3 yy㉠ c+2d=1 yy㉡

3 1 1 2 a b c d

a b

0023

A=¶ •로 놓으면

¶ •¶ •=¶ •

∴[

¶ •¶ •=¶ •

∴[

㉠, ㉢에서 a=-1, b=1

㉡, ㉣에서 c=3, d=1 즉, A=¶ •이므로

A¤ =¶ •¶ •=¶ •

∴¶ •¶ •=¶ •0 ∴ (0, 4) 답 (0, 4) 4

0 1 4 0 0 4

4 0 0 4 -1 1

-3 1 -1 1

-3 1 -1 1 -3 1

5a-2b=-7 yy㉢ 5c-2d=13 yy㉣

-7 13 5

-2 a b c d

a-b=-2 yy㉠

c-d=2 yy㉡

-2 2 1

-1 a b c d

a b

0024

A¤ =A yy㉠

A¶ •=¶ • yy㉡

㉠에서

A¤¶ •=A¶ •

AA¶ •=¶ •

A¶ •=¶ • yy㉢

㉡, ㉢에서

A¶ •=¶ •

∴ A=¶ •¶ •—⁄

= ¶ •¶ •

= ¶ •

∴ A¶ •= ¶ •¶ •

= ¶ •=¶ •

따라서 a=-4, b=4이므로 ab=-16 답 -16 -4

4 -12

12 1 3

6 9 -1 -2 -1 -2 1

3 6 9

-1 -2 -1 -2 1

3

-1 1 -2 1 -1 -1

-1 -1 1

3

1 -1 2 -1 -1 -1

-1 -1 -1 -1 -1 -1 1 -1

2 -1 -1

1 -1

1

-1 1 1

2 1 2 1

2

-1 1 1

2

0025

A¤ =AA=¶ •¶ •=¶ •

A› =A¤ A¤ =¶ •¶ •=¶ •

¶ •¶ •=¶ • ∴ O'(0, 0)

¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(-4, 0)

¶ •¶ •=¶ • ∴ B'(0, -4)

오른쪽 그림에서

△O'A'B'= ¥4¥4=8

답 8 1

2

0 -4 0

1 -4 -0 -0 -4

-4 0 1

0 -4 -0 -0 -4

0 0 0 0 -4 -0 -0 -4

-4 -0 -0 -4 0 -2

2 -0 0 -2

2 -0

0 -2 2 -0 1 -1

1 -1 1 -1

1 -1

0026

x y

O' A'

B' -4 -4

즉, 일차변환 f의 행렬은 ¶ •이고 ¶ •¶ •=¶ • 이므로

p¤ +q=0, pq=1

∴ p=-1, q=-1

∴ p+q=-2 ^답 -2

다른풀이 ¶ •¶ •=¶ •

∴¶ •=¶p 1• q 0 a b

c d

p 1 q 0 1 0

0 1 a b c d

0 1 p q p 1 q 0 p 1

q 0

단계 채점요소 배점

행렬 A› 구하기 30%

점 O', A', B'의 좌표 구하기 40%

△O'A'B'의 넓이 구하기 30%

●본문

011~012

4f(P)+2f(Q)=f(4P+2Q)=2f(2P+Q)

=2¶ •¶ •=¶ • ^답 ¶ •4 2 4

2 2 3 -1 0 -1 1

0028

P+2Q=¶ •+2¶ •=¶ •이므로

f(P)+2f(Q)=f(P+2Q)=¶ •¶ •

=¶ • ^답 ¶ •5

1 5

1

2 3 1 -1 2 -1

2 3 -'2 1+2'3 2+2'2

1-4'3

0027

f(2A+3B)=2f(A)+3f(B)=¶ • yy㉠

f(-A-2B)=-f(A)-2f(B)=¶ • yy㉡

㉠+㉡_2를 하면

-f(B)=¶ • ∴ f(B)=¶ •

㉠_2+㉡_3을 하면 f(A)=¶ •

¶ •¶ •=¶ •, ¶ •¶ •=¶ •에서

¶ •¶ •=¶ •

∴¶ •=¶ •¶ •–¡

= ¶ •¶ •

=¶ •

∴ ad-bc=-2¥2-(-1)¥3=-1 ^답 -1 -2 -1

-3 -2

-1 2 -2 1 -4 -3

-7 -4 1

5

1 -2 2 -1 -4 -3

-7 -4 a b

c d

-4 -3 -7 -4 1 -2

2 -1 a b

c d

3 -4 -2

1 a b c d -4

7 1

2 a b c d

-4 7

3 -4 -3

4

-2 1

1

0030

f(A+2B)=f(A)+2f(B)=C+2D

=¶ •+2¶ •=¶ •

=¶ •

즉, 5+2q=3, p-4=-1이므로 p=3, q=-1

∴ p+q=2 ^답 ⑤

3 -1

5+2q p-4 q

-2 5

p

0029

원점에 대한 대칭변환의 행렬 A=¶ •

직선 y=-x에 대한 대칭변환의 행렬 B=¶ •

∴ A+B=¶ •+¶ •=¶-1 -1• -1 -1 -0 -1

-1 -0 -1 -0

-0 -1

-0 -1 -1 -0 -1 -0 -0 -1

따라서 구하는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶-1• ∴ (-1, -1) 답 ② -1

-2 3 -1 -1 -1 -1

0031

x축에 대한 대칭변환의 행렬은 ¶ •이므로

¶ •¶ •=¶ • ∴ A(2, -1)

직선 y=x에 대한 대칭변환의 행렬은¶ •이므로

¶ •¶ •=¶ • ∴ B(1, 2)

답 A(2, -1), B(1, 2) 1

2 2 1 0 1 1 0

0 1 1 0 2

-1 2

1 1 -0 0 -1

1 -0 0 -1

0032

y축에 대한 대칭변환의 행렬은 ¶ •이므로

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ B(-1, -3)

직선 y=x에 대한 대칭변환의 행렬은¶ •이므로

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ D(0, -3)

∴ a+b+c+d=-1+(-3)+0+(-3)=-7 답 ① 0

-3 -3

0 0 1 1 0 c

d

0 1 1 0 -1 -3 1

-3 -1 0 -0 1 a

b

-1 0 -0 1

0033

점 P'의 좌표를 (x', y')이라고 하면 직선 y=-x에 대한 대칭변환의 행렬은¶ •이므로

¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ P'(-3, -1)

오른쪽 그림에서 △PP'P"의 넓이를 S¡, △POP"의 넓이를 S™, △OP'P"

의 넓이를 S£이라고 하면 △OPP'의 넓이는

S¡-(S™+S£)

= _4_4-{ _4_1+ _4_1}

=8-4=4 답 4

1 2 1

2 1

2

-3 -1 1

3 -0 -1 -1 -0 x'

y'

-0 -1 -1 -0

0034

x y

O

-1 1 -3

3 P

P' P''

점 P(x, y)를 직선 y=2x에 대하여 대칭이동한 점을 P'(x', y')이라고 하면

⁄선분 PP'의 중점¶ , •이 직선 y=2x 위의 점이므로

y+y' 2 x+x'

2

0035

점 P(x, y)를 직선 y= x에 대하여 대칭이동한 점 을 P'(x', y')이라고 하면

⁄선분 PP'의 중점{ , }이 직선 y= x위의 점이므로

= ¥ , x+x'=2(y+y')

∴ x'-2y'=-x+2y yy㉠

¤직선 PP'과 직선 y= x가 서로 수직이므로

¥ =-1, y'-y=-2x'+2x

∴ 2x'+y'=2x+y yy㉡

㉠, ㉡에서

x'= x+ y, y'= x- y 따라서 구하는 행렬은

¶3 -4• yy^답 4 -3

1 5

3 5 4 5 4

5 3 5

1 2 y'-y x'-x

1 2 x+x'

2 1 2 y+y'

2

1 2 y+y'

2 x+x'

2 1 2

=2¥ , y+y'=2(x+x')

∴ 2x'-y'=-2x+y yy㉠

¤직선 PP'과 직선 y=2x가 서로 수직이므로

¥2=-1, 2y'-2y=-x'+x

∴ x'+2y'=x+2y yy㉡

㉠, ㉡에서

x'=- x+ y, y'= x+ y

∴¶ •= ¶ •¶ • 따라서 구하는 행렬의 모든 성분의 합 m은

m= (-3+4+4+3)=

∴ 5m=8 ^답 ②

8 5 1

5

x y -3 4 -4 3 1

5 x' y'

3 5 4 5 4

5 3 5 y'-y x'-x

x+x' 2 y+y'

2

0036

¶ •¶ •=¶ •이므로 -2k=3, 4k=-6

∴ k=-

즉, f의 행렬은ª º이므로

ª º¶ •=¶ •

따라서 -3a=6, - a=3이므로 a=-2

∴ k+a=- -2=-7 ^답 ①

2 3

2 3 2

6 3 2a

a 0 -;2#;

-;2#;

0

0 -;2#;

-;2#;

0 3 2

3 -6 -2

4 k 0

0038

f가 닮음변환이므로 f의 행렬을 ¶ •(k+0)라고 하면

¶ •¶ •=¶ •

3k=-6, 2k=-4 ∴ k=-2

즉, f의 행렬은¶ •이므로 구하는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ • ∴ (-4, 2)

답 (-4, 2) -4

2 2

-1 -2 -0 -0 -2

-2 -0 -0 -2 -6 -4 3

2 k 0 0 k

k 0

0037

△OAB가 정삼각형이므로 ∠AOB=60˘

또, OA”=OB”이므로 점 B는 점 A를 원점을 중심으로 -60˘

만큼 회전이동한 점이다.

원점을 중심으로 -60˘만큼 회전하는 회전변환의 행렬은

¶ •=· ‚

이므로

¶ •=· ‚¶ •=¶ •

따라서 a=2+'3, b=-2'3+1이므로

a+b=3-'3 ^답 ⑤

2+'3 -2'3+1 4

2 12'32

112 112

--'3-212 a

b

12'32 112 112

--'3-212 -sin(-60˘)

-cos(-60˘) cos(-60˘)

sin(-60˘)

0039

점 (2, 4)를 원점을 중심으로 - 만큼 회전이동하면 점 (a, b)가 되므로

¶ •=· ‚¶ •

= ¶ •¶ •

=¶ •

∴ a+b=3'2+'2=4'2 ^답 4'2

3'2 '2

2 4 -'2 '2 -'2 '2 1

2

2 4 -sin {-;4“;}

-cos {-;4“;}

cos {-;4“;}

sin {-;4“;}

a b

p

0040

∠AOC=120˘, OA”=OC”이므로 점 C는 점 A를 원 점을 중심으로 120˘만큼 회전이동한 점이다.

원점을 중심으로 120˘만큼 회전하는 회전변환의 행렬은

0041

●본문

012~014

¶ •, 즉 · ‚

이므로 점 C의 좌표를 (x, y)라고 하면

¶ •=· ‚¶ •=· ‚

∴ C¶ , •

답 C¶ , -1+'3• 2 -1-'3

2 -1+'3

2 -1-'3

2

-1-'3 11112

-1+'3 11112 1

1 --'3-212

--1-21 --1-21

12'32 x

y

--'3-212 --1-21 --1-21

12'32 -sin 120˘

-cos 120˘

cos 120˘

sin 120˘

점 P의 좌표를 (x, y)라고 하면

¶ •=¶ •¶ •

∴ x=2'2 cos h-sin h, y=2'2 sin h+cos h

∴ x¤ +y¤ =9

따라서 점 P(x, y)가 그리는 도형은 중심이 원점이고 반지름 의 길이가 3인 원의 일부이다.

이때 0…h… p이므로 점 P의 자취의 길이는

3¥2p=2p 답 2p

3 2 3

2'2 1 -sin h -cos h cos h

sin h x

y

0042

¶ •=¶ •¶ •

∴[

-2 cos h-2 sin h=1-'3 yy㉠ -2 sin h+2 cos h=-1-'3 yy㉡

㉠+㉡을 하면 -4 sin h=-2'3 ∴ sin h=

㉠-㉡을 하면 -4 cos h=2 ∴ cos h=-

0…h<p이므로 h= p 답 2p

3 2

3

1 2

'3 2 -2

2 -sin h -cos h cos h

sin h 1-'3

-1-'3

0043

¶ •=¶ •¶ •

∴[

두 식을 연립하여 풀면

-2 cos h-4 sin h=-2-'3 -2 sin h+4 cos h=-1+2'3

-2 4 -sin h -cos h cos h

sin h -2-'3

-1+2'3

cos h= , sin h=

0…h…p이므로 h= ^답 p

6 p

6 1 2 '3

2

0045

¶ •= ¶ •

에서 cos h=- , sin h=

∴ h=360˘n+ 120˘ (단, n은 정수) ^답 ① '3

2 1

2

-'3 -1 -1

'3 1 2 -sin h -cos h cos h

sin h

0044

원 (x-2)¤ +(y-4)¤ =16의 중심은 (2, 4) 원 (x+'2 )¤ +(y-3'2 )¤ =16의 중심은 (-'2, 3'2)

즉, 회전변환에 의하여 점 (2, 4)가 점 (-'2, 3'2)로 옮겨 지므로

¶ •=¶ •¶ •

∴[

2 cos h-4 sin h=-'2 2 sin h+4 cos h=3'2

두 식을 연립하여 풀면 sin h= , cos h=

0…h<2p이므로 h=

답 p 4 p

4

'2 2 '2

2 2 4 -sin h -cos h cos h

sin h -'2

3'2

0046

① 상수항이 존재하므로 일차변환이 아니다.

④[x'=0¥x+0¥y이므로 일차변환이다. 답 ① y'=0¥x+0¥y

0047

A：¶ •¶ •=¶ •+¶ •

B：¶ •¶ •=¶ •+¶ •

C：¶ •¶ •=¶ •+¶ •

D：¶ •¶ •=¶ •

따라서 점 D만이 자기 자신으로 옮겨진다. 답 ④ 1

1 1 1 3 -2 2 -1

0 2 -4 -2 0

2 3 -2 2 -1

0 1 -2 -1 0

1 3 -2 2 -1

1 0 3 2 1 0 3 -2 2 -1

0049

①[ ②[

③[ ④[

⑤[x'=x+m ^답 ⑤

y'=y+n

x'=-y y'=-x x'=-x

y'=-y

x'=0 y'=y x'=x

y'=-y

0048

단계 채점요소 배점

두 원의 중심 구하기 30%

연립방정식 만들기 30%

sin h, cos h의 값 구하기 20%

h의 값 구하기 20%

일차변환 f의 행렬을¶ •라고 하면

¶ •¶ •=¶ •에서

[

-a+b=0 yy㉠

-c+d=1 yy㉡

¶ •¶ •=¶ •에서

[

2a-b=-1 yy㉢

2c-d=1 yy㉣

㉠, ㉢에서 a=-1, b=-1

㉡, ㉣에서 c=2, d=3

즉, 일차변환 f의 행렬은¶ •이므로 구하는 모든 성

분의 합은 3이다. 답 ③

-1 -1 -2 -3 -1

1 2

-1 a b c d

0 1 -1

1 a b c d

a b

0051

닮음변환 f의 행렬을¶ •라고 하면

¶ •=¶ •ª º

4k=-8 ∴ k=-2 즉, f의 행렬은¶ •이므로

¶ •=¶ •¶-2• a -2 -0 -0 -2 b

3

-2 -0 -0 -2

-;2!;

4 k 0 0 k 1

-8

k 0

0053

일차변환 f의 행렬을¶ •라고 하면

¶ •¶ •=¶ •에서

[

¶ •¶ •=¶ •에서

[

㉠, ㉢에서 a=3, b=0

㉡, ㉣에서 c=-1, d=2

즉, 일차변환 f의 행렬은¶ •이므로

¶ •¶ •=¶-6• ∴ (-6, 4) 답 ⑤ 4

-2 1 -3 0 -1 2

-3 0 -1 2 -4a+5b=-12 yy㉢ -4c+5d=14 yy㉣

-12 14 -4

5 a b c d

2a+b=6 yy㉠

2c+d=0 yy㉡

6 0 2 1 a b c d

a b c d

∴ b=4, -2a=3

따라서 a=- , b=4이므로 a+b= 답 5 2 5

2 3

2

0054

2A-B=2¶ •-¶ •=¶ •= C이므로 2f(A)-f(B)=f(2A-B)=f { C}

= f(C)= B

=_{ª º} 답 ª º

1 -;2#;

1 -;2#;

1 2 1

2

1 2

1 2 0 5 2 -3 1

0056

①¶ •¶ •=¶ • ∴ (3, -4)

②¶ •¶ •=¶ • ∴ (-3, 4)

③¶ •¶ •=¶ • ∴ (-3, -4)

④¶ •¶ •=¶ • ∴ (4, 3)

⑤¶ •¶ •=¶-4• ∴ (-4, -3) 답 ③ -3

3 4 -0 -1 -1 -0

4 3 3 4 0 1 1 0

-3 -4 3

4 -1 -0 -0 -1

-3 4 3

4 -1 0 -0 1

3 -4 3

4 1 -0 0 -1

0052

A=¶ •이므로

A¤ =¶ •¶ •=¶ •

∴¶ •¶ •=¶ • ∴ (-2, 9)

답 (-2, 9) -2

9 1

0 -2 -3 -9 -1

-2 -3 -9 -1 1 -1

3 -2 1 -1

3 -2 1 -1 3 -2

0055

원점을 중심으로 점 (1, 3)을 -30˘만큼 회전이동하 면 점 (a, b)가 되므로

¶ •=¶ •¶ •

=· ‚¶ •=· ‚

∴ a+b= +3'3-1=1+2'3 ^답 ③ 2

3+'3 2

1113+'32 3'3-1 11122 1

3 112

12'32 12'32 --1-21

1 3 -sin(-30˘) -cos(-30˘) cos(-30˘)

sin(-30˘) a

b

0057

f : (x, y)2⁄ (2x+ay, bx+3y)에서

¶ •=¶ •¶ •이므로

¶ •¶ •=¶ •

2+a=3, b+3=6 ∴ a=1, b=3 즉, 일차변환 f의 행렬은¶ •이므로

¶ •¶ •=¶ •7 ∴ (7, 12) 답 (7, 12) 12

3 1 2 1 3 3

2 1 3 3 3 6 1 1 2 a b 3

x y 2 a b 3 x'

y'

0050

●본문

014~016

주어진 일차변환에 의하여 두 점 A(-1, 2), B(2, -2)가 옮겨진 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ • ∴ (-a+2, -4)

¶ •¶ •=¶ • ∴ (2a-2, 6) 이 두 점 사이의 거리가 10이므로

"√(2a-2+a-2)¤ +√(6+4)¤ =10 (3a-4)¤ +100=100

(3a-4)¤ =0, 3a-4=0

∴ a= ^답 4

3 4

3

2a-2 6 2

-2 a -1 2 -1

-a+2 -4 -1

2 a -1 2 -1

이므로

· ‚¶ •=· ‚

∴ B¶ , 4-'3• yy^답 2

1+4'3 2

1+4'3 11122

1114-'32 1

4 12'32

112 112

--'3-212

0060

직선 y=x에 대한 대칭변환의 행렬이¶ •이므로

¶ •¶ •=¶ • ∴ A(1, 2)

직선 y=-x에 대한 대칭변환의 행렬이¶ •이므로

¶ •¶ •=¶ • ∴ B(-2, -1) 따라서 a=-2, b=-1이므로

a+b=-3 답 ②

-2 -1 1

2 -0 -1 -1 -0

-0 -1 -1 -0 1

2 2 1 0 1 1 0

0 1

0061

¶ •¶ •=¶ •에서

[

∴ sin h= , cos h=-

0…h…p이므로 h= p 답 2p

3 2

3

1 2 '3

2

2 cos h+2 sin h='3-1 2 sin h-2 cos h='3+1

'3-1 '3+1 2

-2 -sin h -cos h cos h

sin h

0058

¶ •¶ •=¶ •에서

2 cos h=1, 2 sin h='3

∴ cos h= , sin h=

0˘…h<360˘이므로 h=60˘ ^답 ③

'3 2 1

2

1 '3 2 0 -sin h -cos h cos h

sin h

0059

△OAB가 정삼각형이므로 ∠AOB=60˘

또, OA”=OB”이므로 점 B는 점 A를 원점을 중심으로 -60˘

만큼 회전이동한 점이다.

원점을 중심으로 -60˘만큼 회전하는 회전변환의 행렬은

¶ •, 즉 · ‚

12'32 112 112

--'3-212 -sin(-60˘)

-cos(-60˘) cos(-60˘)

sin(-60˘)

0062

원점을 중심으로 30˘만큼 회전하는 회전변환의 행렬은

¶ •, 즉 ¶ •이므로

¶ •¶ •=· ‚

∴ P¶ , •

¶ •¶ •=· ‚

∴ Q¶- , - •

따라서 △APQ의 무게중심의 좌표는

ª , º

=¶ , 2+'3• ^답 ①

6 1 6

'3+1 1 1+111-12 2

3 '3-1 '3

1+111-122 2 3

1 2 '3

2

-'3 --212

--1-21 -1

0 -1

'3 '3

1 1 2

'3+1 2 '3-1

2

111'3-12 111'3+12 1

1 -1

'3 '3

1 1 2

-1 '3 '3

1 1 2 -sin 30˘

-cos 30˘

cos 30˘

sin 30˘

0063

¶ •¶ •=¶ •에서

[

cos h-2 sin h=2 yy㉠ sin h+2 cos h=1 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 cos h= , sin h=-

즉, 회전변환 f의 행렬이 ª º이므로

ª º¶ •=¶ 5• ^답 (5, -10)

-10 10

-5

;5#;

;5$;

-;5$;

-;5#;

;5#;

;5$;

-;5$;

-;5#;

3 5 4

5 2 1 1 2 -sin h -cos h cos h

sin h

0064

일차변환 f의 행렬을¶ •라고 하면

¶ •¶ •=¶ •에서 a=0, c=1

¶ •¶ •=¶ 0•에서 b=0, d=-1 -1

0 1 a b c d

0 1 1 0 a b c d

a b

0065

¶ •¶ •=¶ • ∴ P'(a+2b, 6a)

¶ •¶ •=¶ • ∴ Q'(3a, 0)

∴ △OPQ= _3_2=3

△OP'Q'= _|3a|_|6a|=9a¤

9a¤ =3에서 a=—

따라서 모든 a의 값의 곱은

_{- }=- ^답 -1

3 1

3 1

'3 1

'3

1 '3 1 2 1 2

x y

O P'

Q' a+2b 3a 6a

x y

O 2 P

1 3

Q

3a 0 3 0 a b 0 3a

a+2b 6a 1

2 a b 0 3a

즉, 일차변환 f의 행렬이¶ •이므로

¶ •¶ •=¶ • ∴ (0, -1)

따라서 점 C가 옮겨지는 점은 D이다. ^답 ④

0 -1 -1

0 0 -0 1 -1

0 -0 1 -1

0067

¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(a+b, 2b+1) 두 점 A(b, 1), A'(a+b, 2b+1)이 직선 l：y=2x에 대하 여 대칭이므로

⁄AA'”⊥l에서

¥2=-1

∴ a+4b=0 yy㉠

¤선분 AA'의 중점이 직선 l 위에 있으므로

=2¥

∴ a+b=1 yy㉡

㉠, ㉡에서 a= , b=-

∴ a-2b= +2=2 ^답 2

3 4 3

1 3 4

3

b+(a+b) 2 1+(2b+1)

2 (2b+1)-1 (a+b)-b

a+b 2b+1 b

1 1 a

0066

점 P의 좌표를 (a, b)라고 하면 A™º¡º¶ •=¶ •

A[A™ººª¶ •]=¶ •

¶ •A™ººª¶ •=¶ •

∴ A™ººª¶ •=¶ •–¡

¶ •=¶ •¶ •

=¶ • 따라서 A™ººª

으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 P가 옮

겨지는 점의 좌표는 (-5, 2)이다. ^답 ①

-5 2

-1 1 -3 -2 -1 -1 -1

1 1 2

1 3 a

b

-1 1 a

b 1 2

1 3

-1 1 a

b -1

1 a

b

0069

X=¶ •, Y=¶ •이라고 하면 P¡=X+Y이고 f(X)= X, f(Y)=Y이므로

P™=f(P¡)=f(X)+f(Y)= X+Y P£=f(P™)= f(X)+f(Y)= X+Y

⋮

∴ P«= X+Y

n이 커짐에 따라 은 0에 가까워지므로 P«은 행렬

Y=¶ •에 가까워진다.

따라서 a=2, b=1이므로 a+b=3 ^답 ③

2 1

1 2«–¡

1 2«–¡

1 4 1

2

1 2 1 2 2 1 1

0070

ª º¶ •=¶ • ∴ P™(3, 3)

ª º¶ •=· ‚ ∴ P£ { , }

⋮

∴ P« { , } 3«–¡

5«–™

3«–¡

5«–™

3¤

5 3¤

5 133¤5

133¤5 3

3 0

;5#;

;5#;

0

3 3 5 5 0

;5#;

;5#;

0

0071

¶ •¶ •=¶ • ∴ A'(0, 0)

¶ •¶ •=¶ • ∴ B'(0, 2)

¶ •¶ •=¶ •

∴ C'(3'3-1+a, 6'3-2+3a) 3'3-1+a 6'3-2+3a 3'3-1

a 1 1 2 3

0 2 -2

2 1 1 2 3

0 0 0 0 1 1

0068

A'B'”의 중점은 H(0, 1)이고

△A'B'C'이 정삼각형이므로 C'H”⊥A'B'”

즉, 점 C'의 y좌표가 1이므로 6'3-2+3a=1

∴ a=1-2'3 ^답 1-2'3

x y

A'(O) H B'2

C'

●본문

016~017

∴ OP«≠¡”= OP«”

따라서 OP«”은 첫째항이 OP¡”=5'2이고, 공비가 인 무 한등비급수의 합이므로

OP«”= =25'2 ^답 ③

2 5'2 1-;5#;

¡¶ n=1

3 5

¡¶ n=1

3 5

x축, 원점, 직선 y=x에 대한 대칭변환의 행렬 A, B, C는

A=¶ •, B=¶ •, C=¶ •

∴ A+B+C=¶ •, ABC=¶ •

¶ •¶ •=¶ • ∴ Q(1, -1)

¶ •¶ •=¶ • ∴ R(-1, 1)

∴ PQ”="√(1-1)¤ +(-1-1)¤ =2 PR”="√(-1-1)¤ +(1-1)¤ =2 QR”="√(-1-1)¤ +(1+1)¤ =2'2 따라서 제이 코사인법칙에 의하여

cos (∠PQR)=

=

= = ^답 '2

2 '2

2 8 8'2

2¤ +(2'2 )¤ -2¤

2¥2¥2'2 PQ” ¤ +QR” ¤ -PR” ¤

2 PQ”¥QR”

-1 1 1

1 0 -1 1 -0

1 -1 1

1 0 -1 1 -2

0 -1 1 -0 0 -1

1 -2

0 1 1 0 -1 -0

-0 -1 1 -0

0 -1

0072

¶ •¶ •=¶ • ∴ O'(0, 0)

¶ •¶ •=¶ • ∴ P'(2, 1)

¶ •¶ •=¶ • ∴ Q'(4, 1)

¶ •¶ •=¶ • ∴ R'(2, 0)

오른쪽 그림에서 사각형 O'P'Q'R'은 평행사변형이므로

O'P'Q'R'=2_1=2

답 2 2

0 0 1 2 2 1 0

4 1 1 1 2 2 1 0

2 1 1 0 2 2 1 0

0 0 0 0 2 2

0073

x y

O'(O) 4

2

1 P' Q'

R'

단계 채점요소 배점

점 O'의 좌표 구하기 20%

점 P'의 좌표 구하기 20%

점 Q'의 좌표 구하기 20%

점 R'의 좌표 구하기 20%

O'P'Q'R'의 넓이 구하기 20%

f(A+3B)=f(A)+3f(B)=¶ • yy㉠

f(-2A+B)=-2f(A)+f(B)=¶ • yy㉡

㉠, ㉡에서

f(A)=¶ •, f(B)=¶ •

∴ f(-A+2B)=-f(A)+2f(B)

=-¶ •+2¶ •

=¶ •

답 ¶ 3• -6 3

-6

1 -1 -1

4 1 -1 -1

4

3 -9 2

0074

단계 채점요소 배점

일차변환의 성질 이용하기 30%

f(A), f(B)구하기 30%

f(-A+2B)구하기 40%

A=¶ •라고 하면

¶ •¶ •=¶ • ∴ k=2

즉, A=¶ •, B=¶ •이므로

A+B=¶ •, A-B=¶ •

¶ •¶ •=¶ • ∴ Q(4, 1)

¶ •¶ •=¶ • ∴ R(8, 7)

∴ QR”="√(8-4)¤ +(7-1)¤

='5å2=2'1å3

답 2'1å3 8

7 3 2 2 1 1 2

4 1 3 2 -2 -1 -1 -2

2 1 1 2 -2 -1

-1 -2

-0 -1 -1 -0 2 0

0 2 2 4 1 2 k 0 0 k

k 0

0075

일차변환의 합성과 역변환

02

Ⅰ. 일차변환과 행렬

⑴¶ •¶ •=¶ •

⑵¶ •¶ •=¶ •

답 ⑴¶ • ⑵ ¶3 -5• 2 -2 -1 3

-2 2 3 -5 2 -2 1 -2

0 -1 3 -1

2 -2

-1 3 -2 2 3 -1

2 -2 1 -2

0 -1

0077

합성변환 gΩf의 행렬은`

¶ •¶ •=¶ •

⑴¶ •¶ •=¶ • ∴ (-2, `14)

⑵¶ •¶ •=¶ • ∴ (-8, `6)

답 ⑴ (-2, `14) ⑵ (-8, `6) -8

6 -1

3 2 -2 6 4

-2 14 1

2 2 -2 6 4

2 -2 6 4 3 2

1 4 1 -1 2 0

0078

f의 행렬은 ¶ •, g의 행렬은 ¶ •, h의

행렬은¶ •, k의 행렬은 ¶ •이므로

⑴¶ •¶ •=¶ •

⑵¶ •¶ •=¶ •

⑶¶ •¶ •=¶ •

⑷¶ •¶ •=¶ •

답 ⑴¶ • ⑵ ¶ •

⑶¶ • ⑷ ¶0 -1• 1 0 0 -1

-1 0

1 0 0 -1 -1 0

0 -1 0 -1

1 0 1 0

0 -1 0 1

1 0

0 -1 -1 0 0 1

1 0 -1 0

0 -1

1 0 0 -1 -1 0

0 -1 -1 0

0 1

-1 0 0 -1 -1 0

0 1 1 0

0 -1

0 1 1 0 -1 0

0 -1

-1 0 0 1 1 0

0 -1

0079

¶ •¶ •=¶ • ^답 ¶1 0•

0 1 1 0

0 1 1 0

0 -1 1 0

0 -1

0080

· ‚· ‚

=· ‚ ……답

-12'32 -112 -112

12'32

-12'32 112 112

12'32 -12'32

112 112

12'32

0081

△OAB= _1_6=3이고

¶ •¶ •=¶ •에서 A'(4, 0)

¶ •¶ •=¶ •에서 B'(0, 24)

∴ △OA'B'= _4_24=48

∴ △OAB：△OA'B'=3：48=1：16

답 1：16 1

2 0 24 0 6 4 0 0 4

4 0 1 0 4 0 0 4

1 2

다른풀이 △OAB와 △OA'B'는 닮음이고 닮음비가 1：4이 므로 넓이의 비는 1¤ ：4¤ =1：16이다.

0076

단계 채점요소 배점

△OAB의 넓이 구하기 10%

점 A', B'의 좌표 구하기 40%

△OA'B'의 넓이 구하기 30%

△OAB와 △OA'B'의 넓이의 비 구하기 20%

단계 채점요소 배점

A+B, A-B구하기 30%

점 Q, R의 좌표 구하기 40%

QR”의 길이 구하기 30%

●본문

017~019

¶ •· ‚

=· ‚ ……^답

-12'32 -112 112

--'3-212

-12'32 112 112

12'32 1 0 0 -1

0082

· ‚¶ •

=· ‚ ……답

12'32 -112 112

12'32

1 0 0 -1 -12'32

112 112

12'32

0083

¶ •=¶ •¶ •에서 역변환의 행렬은

¶ •–¡

=¶ • ^답 ¶ 3 -1•

-5 2 3 -1

-5 2 2 1

5 3

x y 2 1 5 3 x'

0084

¶ •=¶ •¶ •에서 역변환의 행렬은

¶ •–¡

=¶ • ^답 ¶-5 -2•

3 1 -5 -2

3 1 1 2

-3 -5

x y 1 2 -3 -5 x'

0085

직선 `y=x에 대한 대칭변환의 행렬이¶ •이므로 역변환의 행렬은

¶ •–¡

=-¶ •=¶ • ^답 ¶0 1•

1 0 0 1

1 0 0 -1

-1 0 0 1

1 0

0 1

0086

주어진 닮음변환의 행렬이 ¶ •이므로 역변환의 행렬은

¶ •–¡

= ¶ •=ª º ^답 ª 0º

;3!;

;3!;

0 0

;3!;

;3!;

0 3 0 0 3 1 9 3 0 0 3

3 0

0087

주어진 회전변환의 행렬이· ‚이므로 역

변환의 행렬은

· ‚

–¡

=· ‚ ……^답

12'22 12'22 12'22 -12'22 -12'22

12'22 12'22

12'22

-12'22 12'22 12'22

12'22

0088

¶ •=¶ •¶ •이므로

¶ •=¶ •–¡

¶ •=-¶ •¶ •

=¶ •¶ •

⑴¶ •¶ •=¶ • ∴ (-6, 14)

⑵¶ •¶ •=¶ • ∴ (-2, 9)

답 ⑴ (-6, 14) ⑵ (-2, 9) -2

9 5

3 -1 1

3 -2

-6 14 2

-4 -1 1

3 -2

x' y' -1 1

3 -2

x' y' 1 -1 -3 2 x'

y' 2 1 3 1 x

y

x y 2 1 3 1 x'

0089

f의 행렬은¶ •, `g의 행렬은 ¶ •

⑴ f —⁄ 의 행렬은

¶ •–¡

=¶ •

⑵ g—⁄ 의 행렬은

¶ •–¡

=-¶ •=¶ •

⑶ gΩf의 행렬은

¶ •¶ •=¶ •

따라서` (gΩf )—⁄ 의 행렬은

¶ •–¡

=-¶ •=¶ •

⑷ f —⁄ Ωg—⁄ 의 행렬은

¶ •¶ •=¶ •

답 ⑴¶ • ⑵ ¶ •

⑶¶ • ⑷ ¶1 0• 1 -1 1 0

1 -1

2 -1 3 -2 2 -1

-1 1 1 0 1 -1 2 -1

3 -2 2 -1

-1 1

1 0 1 -1 -1 0

-1 1 1 0

1 -1

1 0 1 -1 1 1

1 2 2 -1 3 -2

2 -1 3 -2 -2 1

-3 2 2 -1

3 -2

2 -1 -1 1 1 1

1 2

2 -1 3 -2 1 1

0090

¶ •=¶ •¶ •에서

¶ •=¶ •–¡

¶ •

=¶ •¶ •

=¶ •

∴ x=x'-y', `y=-x'+2y' 이를 직선` 2x-y+1=0에 대입하면

2(x'-y')-(-x'+2y')+1=0

∴ 3x'-4y'+1=0

즉, 직선` 3x-4y+1=0으로 옮겨진다.

답 3x-4y+1=0 x'-y'

-x'+2y' x' y' 1 -1 -1 2

x' y' 2 1 1 1 x

y

x y 2 1 1 1 x'

0091

B=¶ •=· ‚

따라서 구하는 합성변환의 행렬은

BA=· ‚¶ •

=· ‚

이므로 구하는 모든 성분의 합은

- + - -1=-1 답 ②

2 '3

2 '3

2 1 2

12'32 -112 -112

-12'32

-1 0 0 -1 -12'32

112 112

12'32

-12'32 112 112

12'32 -sin 60˘

cos 60˘

cos 60˘

sin 60˘

f의 행렬은¶ •, g의 행렬은 ¶ •,

h의 행렬은¶ •이므로 합성변환 fΩgΩh의 행렬은

¶ •¶ •¶ •

=¶ •¶ •

=¶ •

∴¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ a+b=2+(-1)=1 답 1

2 -1 1

2 0 1 -1 0 a

b 0 1 -1 0

0 -1 -1 0 -1 0

0 1

0 -1 -1 0 -1 0

0 -1 1 0

0 -1

0 -1 -1 0

-1 0 0 -1 1 0

0 -1

0097

f의 행렬은¶ •,` g의 행렬은 ¶ •이므 로 fΩg의 행렬은

¶ •¶ •=¶ •

행렬의 모든 성분의 합이 -4이려면 0+(-k)+(-k)+0=-2k=-4

∴ k=2 답 ①

0 -k -k 0 k 0

0 k 0 -1 -1 0

k 0 0 k 0 -1

-1 0

0098

점 P를 점 Q로 옮기는 일차변환의 행렬은

¶ •

또, 점 Q를 점 R로 옮기는 일차변환의 행렬은

¶ •

따라서 점 P를 점 R로 옮기는 일차변환의 행렬은

¶ •¶ •=¶ • ^답 ¶ 0 1•

-1 0 0 1

-1 0 1 0

0 -1 0 -1

-1 0 0 -1 -1 0 1 0 0 -1

0099

f의 행렬은 ¶ •, `g의 행렬은 ¶ •이므로 gΩf의 행렬은

¶ •¶ •=¶ •

¶ •=¶ •

∴ 2+a=2, 3+ab=3, 6-b=4

따라서` a=0, b=2이므로 a+b=2 답 ① 2 3

3 4 3

6-b 2+a 3+ab

2 3 3 4 1 2

a -1 2 1

3 b

2 1 3 b 1 2

a -1

0093

합성변환` gΩf의 행렬은

¶ •¶ •=¶ •

따라서` ¶ •=¶ •¶ •이므로

[ ∴ a=-1, b=1

∴ a+b=0

답 0 3a+4=1

2a+b+2=1

1 1 2 2-b 3a+2 2a+2b 1

1

2 2-b 3a+2 2a+2b a 1

2 -1 3 1

2 b

0094

단계 채점요소 배점

gΩf의 행렬 구하기 40%

gΩf에 의하여 점 (1,` 1)이 자기 자신으로 옮겨질 조건 구하기 30%

a+b의 값 구하기 30%

원점에 대한 대칭변환의 행렬은 A=¶ • 원점을 중심으로 60˘만큼 회전하는 회전변환의 행렬은

-1 0 0 -1

0096

f의 행렬은 ¶ •, g의 행렬은 ¶ •이므로 gΩf의 행렬은

¶ •¶ •=¶ •

따라서` ¶ •=¶ •¶ •이므로

[ ∴ a=2, `b=-1

∴ ab=-2 ^답 -2

-2=a-4 6=a-4b

2 1 a a -2 -2b -2

6

a a -2 -2b 0 a

-2 0 1 1

1 b

1 1 1 b 0 a

-2 0

0095

f의 행렬은 ¶ •이고, `g의 행렬은 ¶ • 이므로` gΩf의 행렬은

¶ •¶ •=¶ • ^답 ¶ 4 -4•

-1 -2 4 -4

-1 -2 1 -2

2 0 2 1

1 -1

2 1 1 -1 1 -2

2 0

0092

●본문

020~021

일차변환 f의 행렬을 A라고 하면 f에 의하여 점 (2, `1)이 점 (3, `2)로 옮겨지므로

A¶ •=¶ • yy㉠

fΩf의 행렬은 A¤ 이고, fΩf에 의하여 점 (2, `1)이 점 (3,` 1)로 옮겨지므로

A¤¶ •=¶ • yy㉡

㉠, ㉡에서 `A¤¶ •=AA¶ •=A¶ •이므로

A¶ •=¶ • yy㉢

㉠, ㉢에서` A¶ •=¶ •이므로

A=¶ •¶ •–¡

=¶ •¶ •

=¶ •

따라서 f에 의하여 점 (3, `1)이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ •6 ∴ (6, `5) ^답 ③ 5

3 1 3 -3 3 -4

3 -3 3 -4

2 -3 -1 2 3 3

2 1 2 3 1 2 3 3 2 1

3 3 2 1 2 3

1 2 3 1 3 2

3 2 2

1 2

1 3 1 2 1

3 2 2 1

0100

항등변환의 행렬은¶ •이므로

¶ •¶ •=¶ •=¶ •

∴ a¤ =1,` 2a+2=0

∴ a=-1 답 ①

1 0 0 1 2a+2

1 a¤

0 a 2 0 1 a 2 0 1

1 0

0101

f는 원점을 중심으로 15˘만큼 회전하는 회전변환이므 로 fΩfΩf는 원점을 중심으로 45˘만큼 회전하는 회전변환이다.

따라서 fΩfΩf의 행렬은

¶ •= ¶ •

이므로 fΩfΩf에 의하여 점 (1, `1)이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ •

∴ (0, `'2) <sup>답</sup> (0, `'2)

0 '2 1 1 -'2

'2 '2 '2 1 2

-'2 '2 '2 '2 1 2 -sin 45˘

cos 45˘

cos 45˘

sin 45˘

0104

일차변환 f의 행렬을 A라고 하면

A=¶ •

이므로 f™º

의 행렬은 A™º

=¶ •=¶ •=E

fª™∞

의 행렬은 Aª™∞

=(A™º )¢§

A∞

=E¢§

A∞

=A∞

=¶ •∞

=¶ •

=¶0 -1• ^답 ②

1 0

-sin 90˘

cos 90˘

cos 90˘

sin 90˘

-sin 18˘

cos 18˘

cos 18˘

sin 18˘

1 0 0 1 -sin 360˘

cos 360˘

cos 360˘

sin 360˘

-sin 18˘

cos 18˘

cos 18˘

sin 18˘

0105

일차변환 f의 행렬을 A라고 하면 A¶ •=¶ •, A¶ •=¶ •이므로

A¶ •=¶ •

∴ A=¶ •¶ •–¡

=¶ •¶ •=¶ •

A¤ =¶ •¶ •=¶ •

합성변환 fΩf의 행렬은 A¤ 이므로

¶ •=A¤ ¶ •=¶ •¶ •=¶ •

∴ a=-1, `b=-1

∴ a+b=-2 ^답 -2

-1 -1 1

2 1 -1 3 -2 1

2 a

b

1 -1 3 -2 -2 1

-3 1 -2 1

-3 1

-2 1 -3 1 2 -1

1 -1 -1 0

-2 1

1 -1 1 -2 -1 0

-2 1 -1 0 -2 1 1 -1

1 -2

0 1 -1 -2 -1

-2 1

1

0102

f의 행렬을 A라고 하면

A¶ •=¶ • yy㉠

fΩf의 행렬은 A¤ 이고, A¤ =A이므로 A¤¶ •=¶ •, AA¶ •=¶ •

A¶ •=¶ • yy㉡

㉠, ㉡에서` A¶ •=¶ •

∴ A=¶ •¶ •–¡

=- ¶ •¶ •

=- ¶ •=¶ •

따라서 일차변환 f에 의하여 점 (2, 1)이 옮겨지는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ •

∴ (-1, `-2) 답 (-1, `-2)

-1 -2 2

1 -1 1 -2 2

-1 1 -2 2 2 -2

4 -4 1

2

4 -2 -3 1 2 2

4 4 1 2

1 2 3 4 2 2 4 4

2 2 4 4 1 2

3 4 2 4 2 4

2 4 1 3 2

4 1 3

2 4 1 3

0103

A=· ‚=¶ •

이므로 f는 원점을 중심으로 60˘만큼 회전하는 회전변환이다.

따라서 f§

의 행렬은 A§

=¶ •=¶ •=E

∴ A¢∞

=(A§ )¶

A£

=A£

=¶ •

=¶ •

A¢∞

으로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 (1,` 0)이 옮겨지 는 점의 좌표는

¶ •¶ •=¶ •

∴ (-1,` 0) 답 (-1,` 0)

-1 0 1

0 -1 0

0 -1

-1 0 0 -1

-sin 180˘

cos 180˘

cos 180˘

sin 180˘

1 0 0 1 -sin 360˘

cos 360˘

cos 360˘

sin 360˘

-sin 60˘

cos 60˘

cos 60˘

sin 60˘

-12'32 112 112

12'32

0106

A=· ‚

=¶ •

이므로 f는 원점을 중심으로 -30˘만큼 회전하는 회전변환 이다.

한편, 행렬 A«

은 일차변환 f를` n번 합성한 변환의 행렬이므 로 행렬 A«

으로 나타내어지는 일차변환은 원점을 중심으로 -30˘_n만큼 회전하는 회전변환이다.

따라서 점 P가 자기 자신으로 옮겨지려면 A«

=E이어야 하므로 -30˘_n=360˘_k (단, k는 정수)

에서 자연수` n의 최솟값은` 12이다. 답 12 -sin (-30˘)

-cos (-30˘) cos (-30˘)

sin (-30˘) 112

12'32 12'32 -112

0107

일차변환 f¡º

의 행렬은 A¡º 이다.

한편, A™

=¶ •, `A£

=¶ •, `y이므로

A¡º

=¶ •

∴¶ •=A¡º¶ •

=¶ •¶ •=¶ •

∴ a+b=2+39=41 ^답 41

2 39 2 -1 0 1 1 20

2 -1 a

b 0 1 1 20

1 0 6 1 1 0

4 1

0108

합성변환 f£

Ωg가 `y축에 대한 대칭변환이므로

A£

B=¶ •이다.

A£

B=¶ •£

¶ •

A£

B= 2· ‚

‹

¶ •

A£

B=[2¶ •]£

¶ •

A£

B=2‹¶ •¶ •

A£

B=2‹¶ •¶ •

A£

B=8¶ •

즉, ¶ •=¶ •이므로 `8k=1

∴ k= 답 1

8 1

8

-1 0 0 1 0

8k -8k

0

-k 0 0 k

0 k k 0 0 -1 1 0

0 k k 0 -sin 90˘

cos 90˘

cos 90˘

sin 90˘

0 k k 0 -sin 30˘

cos 30˘

cos 30˘

sin 30˘

0 k k 0 )| }| º -112

12'32 12'32

112 (| {| 9

0 k k 0 -1

'3 '3

1 -1 0

0 1

0109

원점을 중심으로 60˘만큼 회전하는 회전변환 f의 행 렬을 A라고 하면

A=¶ •

이므로 f§

의 행렬은 A§

=¶ •=¶ •=E

즉, fª¶

의 행렬은 Aª¶

=(A§ )¡§

A=A

y축에 대한 대칭변환 `g의 행렬을 B라고 하면 B=¶ • 이므로 합성변환 fª¶

Ωg의 행렬은 Aª¶

B=¶ •¶ •

Aª¶

B=· ‚¶ •

Aª¶

B=· ‚

따라서 fª¶

Ωg에 의하여 점 (2,` 6)이 옮겨지는 점의 좌표는

· ‚¶ •=¶ •

∴ (-1-3'3,` 3-'3) <sup>답</sup> (-1-3'3,` 3-'3) -1-3'3

3-'3 2

6 -12'32

112 -112

-12'32

-12'32 112 -112

-12'32

-1 0 0 1 -12'32

112 112

12'32

-1 0 0 1 -sin 60˘

cos 60˘

cos 60˘

sin 60˘

-1 0 0 1 1 0

0 1 -sin 360˘

cos 360˘

cos 360˘

sin 360˘

-sin 60˘

cos 60˘

cos 60˘

sin 60˘

0110