숨마쿰라우데_수학1 서브노트

(1)

수학

Ⅰ

[ 수학 기본서 ]

SUMMA CUM LAUDE

Ⓡ

King’s College Cambrige

(2)

⑴ 2 ⑵ -3 ⑶ - ⑷ -2

003

⑴ 를 n제곱하면 지수법칙에 의하여 { }n = = 즉, 를 n제곱한 것이 이므로 는 의 양의 n제곱근이다. {∵ a>0, b>0이므로 >0} ∴ =«æ ⑵ (« 'ßa )μ 을 n제곱하면 지수법칙에 의하여 {(« 'ßa )μ }« =(« 'ßa )μ « ={(« 'ßa )« }μ =aμ

즉, (« 'ßa )μ 을 n제곱한 것이 aμ 이므로 (« 'ßa )μ 은 aμ 의 양의 n제곱근이다. (∵ a>0이므로 (« 'ßa )μ >0)

∴ (« 'ßa )μ =« "çaμ

⑶ μ "« ç'ßa를 mn제곱하면 지수법칙에 의하여

(μ "« ç'ßa )μ « ={(μ "« ç'ßa )μ }« =(« 'ßa )« =a

즉, μ "« ç'ßa 를 mn제곱한 것이 a이므로 μ "« ç'ßa 는 a의 양의 mn제곱근이다. (∵ a>0이므로 μ "« ç'ßa >0) ∴ μ "« ç'ßa =μ « 'ßa ⑷ 자연수 p에 대하여 « π "çaμ πΩ 을 n제곱하면 (« π "çaμ πΩ )« =(« øπ π"çaμ πΩ )« (∵ ⑶) =π "çaμ πΩ =(π "çaμ )π (∵ ⑵) =aμ

즉, « π "çaμ πΩ 을 n제곱한 것이 aμ 이므로 « π "çaμ πΩ 은 aμ 의 양의 n제곱근이다. (∵ a>0이므로 « π "çaμ πΩ >0) ∴ « π "çaμ πΩ =« "çaμ ` 풀이 참조

004

⑴ (›'4)¤ +fi"ç32‹ =›"ç4¤ +fi"ç√(2fi )‹ =›"ç2› +(fi"ç2fi )‹ =2+2‹ =10 ⑵ ›'2 ›'8_ =›'∂16_fiÆ… =›"2Ω› _fiæ≠{ }fi =2_11=1 2 1 1₂ 1 134₃₂ fi'3 113_fi'9å6 a 1_b « 'ßa 11_{« 'ßb} « 'ßa 11_{« 'ßb} a 1_b « 'ßa 11_{« 'ßb} a 1_b « 'ßa 11_{« 'ßb} a 1_b (« 'ßa )« 1113_{(« 'ßb )«} « 'ßa 11_{« 'ßb} « 'ßa 11_{« 'ßb} 2 1₃

1. 지수

I

지수함수와 로그함수

001 ⑴ -3, ⑵ -2i, 2i, -2, 2 002 ⑴ 2 ⑵ -3 ⑶ -;3@; ⑷ -2 003 풀이 참조 004 ⑴ 10 ⑵ 1 ⑶ ;3$; 005 ⑴ 1 ⑵ ;8¡1; ⑶ a¤ ⑷ a⁄ ¤ 006 ⑴ 3;8%; ⑵ ;2#; ⑶ 1 ⑷ a;3¶0; 007 ⑴ 6 ⑵ 32 ⑶ a¤ ⑷ a› 3—3'3i 131444444₂ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

001

⑴ -27의 세제곱근을 x라 하면 x‹ =-27, x‹ +27=0 (x+3)(x¤ -3x+9)=0 ∴ x=-3 또는 x= 따라서 -27의 세제곱근은 -3, 이다. ⑵ 16의 네제곱근을 x라 하면 x› =16, x› -16=0 (x¤ +4)(x¤ -4)=0 (x¤ +4)(x+2)(x-2)=0 ∴ x=—2i 또는 x=—2 따라서 16의 네제곱근은 -2i, 2i, -2, 2이다. ⑴ -3, ⑵ -2i, 2i, -2, 2

002

⑴ fi'∂32=fi"2Ωfi =2 ⑵ -›'∂81=-›"3Ω› =-3 ⑶ ‹æ-– =‹æ{≠- }3 =-⑷ -fl"√(-2)fl =-fl"2Ωfl =-2 2 1 1₃ 2 1₃ 8 12₂₇ 3—3'3i 111234₂ 3—3'3i 1 1111₂1223344 3—3'3i 111234₂

(3)

APPLICATION ⑶ (‹'2)fl ÷‹ø"∑2≈7Ω¥¤ ={(‹"2)‹ }¤ ÷fl"√(3‹ )¤ =2¤ ÷fl"ç3fl =4÷3= ⑴ 10 ⑵ 1 ⑶

005

⑴ 2¤ _2—¤ =22+(-2)=2‚ =1 ⑵ 3¤ _27—¤ =3¤ _(3‹ )—¤ =3¤ _3—ﬂ =32+(-6)_{=3—› =}

⑶ a—› ÷(a—¤ )‹ =a—› ÷a—ﬂ =a-4-(-6)=a¤

⑷ a‹ _(a—› )—⁄ ÷a—ﬁ =a‹ _a› ÷a—ﬁ =a3+4-(-5)=a⁄ ¤

⑴ 1 ⑵ ⑶ a¤ ⑷ a⁄ ¤

006

⑴ 3;2!;_{_3};8#;_÷3;4!;₌₃;2!; + ;8#; - ;4!;₌₃;8%; ⑵ [{ } - ;5@; ] ;6%; ={ } - ;5@;_;6%; ={ } - ;3!; =[{ }3 ] - ;3!; ={ }- 1 = ⑶ (a-;;™4¶;;)-;3@;_{÷"aΩ· =a}- _{- }_÷a;2(; =a;2(;_÷a;2(;₌₁ ⑷ ‹"fi√'ßa'ß≈a=⁄ fi'ßa_fl'ßa=a;1¡5;_{_a};6!;_=a;1¡5; + ;6!;_=a;3¶0; ⑴ 3;8%; ⑵ ;2#; ⑶ 1 ⑷ a;3¶0;

007

⑴ (4 _3'2₎ ₌₄ _ _{_3}'2_ =4;2!;_{_3=2_3=6} ⑵ (2'2₎'8-1_{_2} ₌₂4-'2_{_2}'2+1 =24-'2+'2+1_{=2ﬁ =32} ⑶ a2'2-1_ =a2'2-1_{_a}3-2'2 =a2'2-1+3-2'2_=a2

⑷ {(a‹ )'2_{_a}'2_} _=(a3'2+'2₎ _=(a4'2₎ _=a›

⑴ 6 ⑵ 32 ⑶ a¤ ⑷ a› 1 133 '2 1 133 '2 1 133 '2 1 11234_a—3+2'2 1 111 '2 -1 1 133 '2 1 133 '2 1 133 '2 1 133 '2 1 133 '2 2 13 27 124 3 1 1₂ 2 1₃ 2 1₃ 8 14₂₇ 8 14₂₇ 8 14₂₇ 1 13₈₁ 1 1 133₈₁ 4 1₃ 4 1 1₃

008

⑴ log™3x=3에서 3x=2‹ ∴ x= ⑵ logÆ9=- 에서 9=x-;3@; ∴ x=9-;2#;=(3¤ )-;2#;_{=3—‹ =} ⑶ log™(log∞x)=-1에서 log∞x=2—⁄ ∴ x=5;2!;_='5 _⑴ _⑵ ⑶ '5

009

⑴ 밑의 조건에 의하여 'ßx-3>0, 'ßx-3+1에서 'ßx >3, 'ßx +4 x>9, x+16 ∴ 9<x<16 또는 x>16 ⑵ 밑의 조건에 의하여 x+2>0, x+2+1에서 x>-2, x+-1 ∴ -2<x<-1 또는 x>-1 yy ㉠ 진수의 조건에 의하여 (x-3)¤ >0 ∴ x+3 yy ㉡ 1 12₂₇ 8 1₃ 1 1 122₂₇ 2 1₃ 8 1 1₃ 008 ⑴ ;3*; ⑵ ;2¡7; ⑶ '5 009 ⑴ 9<x<16 또는 x>16 ⑵ -2<x<-1 또는 -1<x<3 또는 x>3 010 1 011 ⑴ 2 ⑵ ;2%; 012 a+4b 013 ⑴ 2 ⑵ 8 ⑶ 512 014 015 ⑴ 4 ⑵ -3'2 016 ⑴ 0.6513 ⑵ 0.7559 ⑶ 0.8820 ⑷ 0.3096 017 ⑴ 4.5977 ⑵ -2.4023 ⑶ 0.51954 ⑷ 7.9885 018 ㄱ, ㄷ 019 정수 부분：8, 소수 부분：0.1761 020 92 021 소수점 아래 10째 자리 022 0.00521 023 3 a+ab-2 13144444444_1+a APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

2. 로그

(4)

따라서 ㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -2<x<-1또는 -1<x<3 또는 x>3 ⑴ 9<x<16 또는 x>16 ⑵ -2<x<-1 또는 -1<x<3 또는 x>3

010

밑의 조건에 의하여 x-3>0, x-3+1에서 x>3, x+4 ∴ 3<x<4, x>4 yy ㉠ 진수의 조건에 의하여 -x¤ +8x-12>0에서 x¤ -8x+12<0 (x-2)(x-6)<0 ∴ 2<x<6 yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x<4 또는 4<x<6 따라서 조건을 만족하는 정수 x는 5이므로 그 개수는 1 이다. 1

011

⑴ log¢10+3log¢2-log¢5 =log¢10+log¢2‹ -log¢5 =log¢ =log¢16 =log¢4¤ =2

⑵ log™'∂48- log™6+ log™32

=log™'∂48-log™'ß6+log™fi'∂32 =log™ _{+log™fi"≈2fi} =log™'ß8+1=log™2;2#;₊₁ = +1= ⑴ 2 ⑵

012

주어진 식을 log™3, log™5에 대한 식으로 변 형하면 log™135+log™:¡;9@;∞:=log™(3‹ ¥5)+log™(5‹ ¥3—¤ ) =log™(3¥5› )=log™3+4log™5 =a+4b a+4b 5 1₂ 5 1 1₂ 3 1₂ '∂48 115 '6 1 1₅ 1 1₂ 10¥8 112₅

013

⑴ =log¶49=log¶7¤ =2 ⑵ log™9¥log£15¥log¡∞16 =log™9¥ ¥ =2log™3¥ ¥ =2¥4=8 ⑶ 지수 부분을 먼저 간단히 하면 log¡º8¥log£10¥log™27 = ¥ ¥ = ¥ ¥3log™3=3¥3=9 ∴ (주어진 식)=2· =512 ⑴ 2 ⑵ 8 ⑶ 512

014

log™7=log™3¥log£7=ab이므로 log§ = = = =

015

⑴ log•81¥logª64=log™‹3› ¥log£¤2ﬂ

= log™3¥3log£2 =4log™3¥ =4 ⑵ 5log™∞2=2log™∞5 =2log∞25 =2;2!;_='ß2 log;2!;8=log2—⁄2‹ =-3 ∴ 5log™∞2¥log_;2!;_8=-3'ß2 _{⑴ 4 ⑵ -3'ß2}

016

상용로그표를 이용하여 각각의 값을 찾아보자. ⑴ 4.4의 가로줄과 8의 세로줄이 만나는 곳의 수는 1 111_log™3 4 1₃ a+ab-2 111133_1+a a+ab-2 1 1111_1+a1112233 log™3+log™7-2 111111133_1+log™3 log™21-log™4 1111111_{log™2+log™3} 21 log™12 4 1111_{log™ 6} 21 12₄ log™10 112334_log™3 3 112334_log™10 log™27 112334_log™2 log™10 112334_log™3 log™8 112334_log™10 4log™2 112333_log™15 log™15 112334_log™3 log™16 112334_log™15 log™15 112334_log™3 log∞49 112334_log∞7

(5)

APPLICATION 0.6513이다. ⑵ 5.7의 가로줄과 0의 세로줄이 만나는 곳의 수는 0.7559이다. ⑶ 7.6의 가로줄과 2의 세로줄이 만나는 곳의 수는 0.8820이다. ⑷ 2.0의 가로줄과 4의 세로줄이 만나는 곳의 수는 0.3096이다. ⑴ 0.6513 ⑵ 0.7559 ⑶ 0.8820 ⑷ 0.3096

017

log3.96=0.5977이므로 ⑴ log39600=log(3.96_10› )=log3.96+4 =0.5977+4=4.5977 ⑵ log0.00396=log(3.96_10—‹ )=log3.96-3 =0.5977-3=-2.4023

⑶ logﬁ'∂39ß6 = log396= log(3.96_10¤ )

= (log3.96+2)= (0.5977+2) =0.51954 ⑷ log39.6ﬁ =5log39.6=5log(3.96_10) =5(log3.96+1)=5(0.5977+1) =7.9885 ⑴ 4.5977 ⑵ -2.4023 ⑶ 0.51954 ⑷ 7.9885

018

ㄱ. log6780=log(6.78_10‹ ) =log6.78+log10‹ =3+0.8312 이므로 log6780의 정수 부분은 3, 소수 부분은 0.8312이다. (참) ㄴ. log0.0678=log(6.78_10—¤ ) =log6.78+log10—¤ =-2+0.8312 이므로 log0.0678의 소수 부분은 0.8312이다. (거짓) 1 1₅ 1 1₅ 1 1₅ 1 1₅ ㄷ. log13.56=log(6.78_2)=log6.78+log2 =0.8312+0.3010=1+0.1322 이므로 log13.56의 소수 부분은 0.1322이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. ㄱ, ㄷ

019

x=1.5_10° 이므로 logx=log(1.5_10° )=log{ _10° } =log3-log2+log10° =0.4771-0.3010+8 =8+0.1761 따라서 logx의 정수 부분은 8, 소수 부분은 0.1761이다. 정수 부분：8, 소수 부분：0.1761

020

자연수 N이 n자리의 수일 때, logN의 정 수 부분은 n-1이므로 A(1)=A(2)=y=A(9)=1-1=0 A(10)=A(11)=y=A(99)=2-1=1 A(100)=3-1=2 ∴ A(1)+A(2)+A(3)+A(4)+y+A(100) =1_90+2=92 92

021

log{ }⁄ ‚ =log(2—‹ )⁄ ‚ =-30log2

=-30_0.3010=-9.03 =-10+0.97 따라서 log{ }⁄ ‚ 의 정수 부분이 -10이므로 { }⁄ ‚ 은 소수점 아래 10째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나 타난다. 소수점 아래 10째 자리 1 1₈ 1 1₈ 1 1₈ 3 1₂

(6)

022

log52.1=log(5.21_10) =1+log5.21=1.7168 이므로 log5.21=0.7168 log x=-2.2832=-3+0.7168에서 정수 부분은-3 이므로 x는 소수점 아래 셋째 자리에서 처음으로 0이 아 닌 숫자가 나타나고, 소수 부분은 0.7168이므로 x는 5.21과 숫자의 배열이 같다. ∴ x=5.21_10—‹ =0.00521 0.00521

023

log 3=0.4771, log 4=2 log 2=0.6020이

고, logN의 소수 부분이 0.5364이므로 log3<(logN의 소수 부분)<log4 따라서 N에서 처음으로 나오는 0이 아닌 숫자는 3이다. 3

3. 지수함수

024 풀이 참조 025 ㄱ, ㄴ, ㄷ 026 풀이 참조 027 풀이 참조 028 8 029 최댓값：4, 최솟값：0 030 81 031 ⑴ x=3 ⑵ x=-1 또는 x=2 032 x= 또는 x= 033 x=3 034 ⑴ x>- ⑵ 0<x<1 또는 x>2 035 x…-2 또는 xæ-1 1 1₃ 7 1₃ 2 1₃ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

024

⑴ 이때 점근선의 방정식은 y=0이다. ⑵ 이때 점근선의 방정식은 y=0이다. 풀이 참조

025

ㄱ. 함수 y=3x의 그래프는 점 (0, 1)을 지 나고 x축을 점근선으로 갖는다. (참) ㄴ. 지수함수 f(x)=3x에서 밑이 1보다 크므로 증가함 수이다. 따라서 x¡<x™이면 f(x¡)<f(x™)이다. (참) ㄷ. y={ } x =3-x 이므로 두 함수 y=3x 과 y={ } x 의 그래프는 y축에 대하여 대칭이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ 1 1₃ 1 1₃ y=

{ }

-₅1 x O -1 1 5 x y O 1 1 5 x y _y=5x

(7)

APPLICATION

026

⑴ 이때 점근선의 방정식은 y=3이다. ⑵ 이때 점근선의 방정식은 y=-1이다. 풀이 참조

027

⑴ y=f(-x)={ }—≈ =4≈ ⑵ 풀이 참조

028

함수 y=2(x-1)¤ +3에서 밑이 1보다 크므로 지 수가 최소이면 y도 최소이다. y=f{|x|} 1 1 -1 1 -₄ O x y 1 1 4 O x y _y=f{-x} 1 1₄ y=3-x+3_-1 O 3 26 x y -1 y=2x+2₊₃ 3 -2 4 7 O x y 이때 지수는 x=1일 때 최솟값 3을 갖는다. 따라서 구하는 최솟값은 23=8이다. 8

029

y=2x+2 -4x =4¥2x -(2x )¤ 에서 2x =X로 치환하면 y=4X-X¤ =-(X-2)¤ +4 이때 0…x…2이므로 1…X…4 1…X…4에서 함수 y=-(X-2)¤ +4의 그래프는 다 음 그림과 같다. 따라서 X=2일 때 최댓값은 4이고, X=4일 때 최솟값 은 0이다. 최댓값：4, 최솟값：0

030

3x_¥ 3y =3x+y 이때 x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x+yæ2'∂xy=2'ß4=4 (단, 등호는 x=y=2일 때 성립) ∴ 3x+yæ3› =81 따라서 3x¥3y 의 최솟값은 81이다. 81

031

⑴ { } x+1 ={ }-x+7에서 밑이 으로 같 으므로 지수 부분이 같아야 한다. x+1=-x+7, 2x=6 ∴ x=3 ⑵ =81에서 밑이 같도록 변형하면 3x¤ +1-(x-1)₌₃x¤ -x+2₌₃4 3x¤ +1 1133₃x-1 3 1₂ 3 1₂ 3 1₂ O 4 3 1 2 4 X y y=-{X-2}@+4

(8)

밑이 3으로 같으므로 지수 부분이 같아야 한다. x¤ -x+2=4, x¤ -x-2=0 (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 ⑴ x=3 ⑵ x=-1 또는 x=2

032

{x- } 2-3x =22-3x 에서 양변의 지수가 2-3x로 같으므로 밑이 같거나 지수가 0이어야 한다. ⁄ 밑이같을때：x- =2 ∴ x= ¤ 지수가 0일때：2-3x=0 ∴ x= 따라서 x= 또는 x= 이다. x= 또는 x=

033

4x -2x+2 -32=0에서 (2x )¤ -4¥2x -32=0 2x =X(X>0)로 치환하면 X¤ -4X-32=0, (X+4)(X-8)=0 ∴ X=8 (∵ X>0) 따라서 2x=8=2‹ 이므로 x=3이다. x=3

034

⑴ { } x+1 <9x 에서 3-(x+1)_<32x 이때 밑이 1보다 크므로 -(x+1)<2x, -3x<1 ∴ x>-⑵ 밑에 미지수를 포함하고 있으므로 범위를 나누어서 해 를 구해 보자. ⁄x=1일 때, 1‡ >1⁄ ‚ 이므로 성립하지 않는다. 1 1 1₃ 1 1₃ 7 1₃ 2 1₃ 7 1 1₃ 2 1 1₃ 2 1₃ 7 1₃ 1 1₃ 1 1₃ ¤0<x<1일 때, 5x+2<2x+8이므로 3x<6 ∴ x<2 그런데 0<x<1이므로 구하는 x의 값의 범위는 0<x<1이다. ‹x>1일 때, 5x+2>2x+8이므로 3x>6 ∴ x>2 그런데 x>1이므로 구하는 x의 값의 범위는 x>2이다. ⁄~‹에 의하여 구하는 해는 0<x<1또는 x>2 ⑴ x>- ⑵ 0<x<1 또는 x>2

035

{ }≈ -12¥{ }≈ +27æ0에서 [{ }≈]¤ -12¥{ }≈ +27æ0 { }≈ =X(X>0)로치환하면 X¤ -12X+27æ0, (X-3)(X-9)æ0 ∴ 0<X…3 또는 Xæ9 (∵ X>0) 따라서 0<{ }≈ …3 또는 { }≈ æ9이므로 0<{ }≈ …{ }—⁄ 또는 { }≈ æ{ }—¤ 이때 밑 이 0< <1이므로 x…-2또는 xæ-1 x…-2 또는 xæ-1 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ 1 1₉ 1 1₃

(9)

APPLICATION

4. 로그함수

036 ㄱ, ㄴ, ㄷ 037 038 -3 039 -1 040 0 041 1 042 2 043 ⑴ x=6 ⑵ x=3 044 x='2 045 4 046 3 047 59 048 <x<1 04915₈ 1 12₈₁ 49 12₈ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

036

ㄱ. f(x)=log;2!;x는 일대일함수이므로 f(x¡)=f(x™)이면 x¡=x™이다. (참) ㄴ. 밑 이 0< <1이므로 f(x)=log;2!;x는 감소함 수이다. ㄴ.즉, x¡>x™이면 f(x¡)<f(x™)이다. (참)

ㄷ. y=-log;2!; =-log;2!;x—⁄ =log;2!;x이므로 주어진

로그함수의 그래프와 일치한다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ㄱ, ㄴ, ㄷ

037

네 점 A, B, C, D의 y좌표를 각각 a, b, c, d라 하면 a=log_;8!; =log2—‹2—¤ = b=log_'2 =log2;2!;2—¤ =-4 c=log_;8!;2=log2—‹ 2=-d=log_'22=log2;2!;2=2 이때 AB”=a-b= , CD”=d-c= 이고 사다리 꼴 ABCD의 높이는 2- = 이므로 사각형 ABCD의 넓이는 ¥ { + _}¥ = 1249 8 49 1 122₈ 7 1₄ 7 1₃ 14 12₃ 1 1₂ 7 1₄ 1 1₄ 7 1₃ 14 12₃ 1 1₃ 1 1₄ 2 1₃ 1 1₄ 1 1_x 1 1₂ 1 1₂

038

y=log£(3x+12)=log£3(x+4) =log£(x+4)+1 이므로 로그함수 y=log£(3x+12)의 그래프는 로그함 수 y=log£x의 그래프를 x축의 방향으로 -4만큼, y축 의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. 따라서 m=-4, n=1이므로 m+n=-3 -3

039

로그함수 y=log∞x의 그래프를 y축에 대하 여 대칭이동한 그래프의 식은 y=log∞(-x)이므로 f(x)=log∞(-x) ∴ f{-;5!;}=log∞;5!;=-1 -1

040

y=log™(x¤ +4x+5)는 밑이 1보다 크므로 증가함수이다. 즉, x¤ +4x+5가 최소일 때 y는 최소가 된다. 이때 x¤ +4x+5=(x+2)¤ +1이므로 함수 y=log™(x¤ +4x+5)는 x=-2일 때 최소이고, 최솟 값은 log™1=0이다. 0

041

y=logxlogx_-2logx+2

=(logx)¤ -2logx+2 logx=X로 치환하면 y=X¤ -2X+2=(X-1)¤ +1 따라서 X=1일 때 최솟값은 1이다. 1

042

log∞x+log∞y=log∞xy yy ㉠ x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여 x+yæ2'∂xy에서 10æ2'∂xy이므로 5æ'∂xy

∴ 25æxy (단, 등호는 x=y=5일 때 성립) yy ㉡ ㉠, ㉡에서 log∞xy…log∞25=2이므로

(10)

043

⑴ 진수의 조건에 의해 x-1>0, 3x+7>0 ∴ x>1 yy ㉠ log™(x-1)=log¢(x¤ -2x+1)이므로 주어진 방정식은 log¢(x¤ -2x+1)=log¢(3x+7) x¤ -2x+1=3x+7, x¤ -5x-6=0 (x+1)(x-6)=0 ∴ x=6 (∵ ㉠) ⑵ 진수의 조건에 의해 x-1>0, x+5>0, x+1>0 ∴ x>1 yy ㉠ 주어진 방정식은 log(x-1)+log(x+1)=log(x+5) log(x-1)(x+1)=log(x+5) (x-1)(x+1)=x+5, x¤ -x-6=0 (x+2)(x-3)=0 ∴ x=3 (∵ ㉠) ⑴ x=6 ⑵ x=3

044

진수의 조건에 의해 x+1>0, x-1>0 ∴ x>1 yy ㉠ 주어진 방정식은 log(x+1)(x-1)=0, (x+1)(x-1)=1 x¤ =2 _{∴ x='ß2 (∵ ㉠)} _x='ß2

045

진수의 조건에 의해 x>0 yy ㉠ 주어진 방정식은 (log™x)¤ -2log™x-8=0 log™x=X로 치환하면 X¤ -2X-8=0, (X+2)(X-4)=0 ∴ X=-2 또는 X=4 즉, log™x=-2 또는 log™x=4이므로 x=2—¤ = 또는 x=2› =16 (㉠을 만족) ∴ ab=11¥16=4 4 4 1 1₄

046

밑과 진수의 조건에 의해 x>0 yy ㉠ xlog£x =9x의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면 log£xlog£x =log£9x (log£x)¤ =2+log£x log£x=X로 치환하면 X¤ =2+X, X¤ -X-2=0 (X+1)(X-2)=0 ∴ X=-1 또는 X=2 즉, log£x=-1 또는 log£x=2이므로 x=3—⁄ = 또는 x=3¤ =9 (㉠을 만족) ∴ ab= ¥9=3 3

047

log_;2!;{log£ (log¢ x)}>0에서 진수의 조건에

의해 log£(log¢x)>0 yy ㉠ log;2!;{log£(log¢x)}>log;2!;1에서 밑 이 0< <1 이므로 log£(log¢x)<1 yy ㉡㉠, ㉡`에서 0<log£(log¢x)<1 log£1<log£(log¢x)<log£3에서 밑이 1보다 크므로 1<log¢x<3, log¢4<log¢x<log¢64 밑이 1보다 크므로 4<x<64 따라서 자연수 x는 5, 6, y, 63이므로 그 개수는 59 이다. 59

048

진수의 조건에 의해 x>0 yy ㉠ 주어진 부등식은 (log£27+log£x)(log£3+log£x)<3 (3+log£x)(1+log£x)<3 log£x=X로 치환하면 (3+X)(1+X)<3, X¤ +4X<0 X(X+4)<0 ∴ -4<X<0

즉, -4<log£x<0에서 log£3—› <log£x<log£1

1 1₂ 1 1₂ 1 1₃ 1 1₃

(11)

APPLICATION 밑이 1보다 크므로 3—› <x<1 ∴ <x<1 yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위는 <x<1 <x<1

049

밑과 진수의 조건에 의해 x>0 yy ㉠ xlog ;2!;x>8x› 의 양변에 밑이 인 로그를 취하면 log_;2!;xlog ;2!;x<log

;2!;8x› , (log;2!;x)¤ <log;2!;8+log;2!;x›

(log;2!;x)¤ <-3+4log;2!;x

log_;2!;x=X로 치환하면

X¤ <-3+4X, X¤ -4X+3<0 (X-1)(X-3)<0 ∴ 1<X<3

즉, 1<log;2!;x<3에서

log_;2!; <log_;2!;x<log_;2!;_{ _}‹

밑 이 0< <1이므로 { }‹ <x< ∴ <x< yy ㉡㉠, ㉡의 공통 범위는 <x< 따라서 a= , b= 이므로 a+b= 15 8 5 1 1₈ 1 1₂ 1 1₈ 1 1₂ 1 1₈ 1 1₂ 1 1₈ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 12₈₁ 1 1 122₈₁ 1 12₈₁

050

⑴ ∠XOP=40˘이므로 ⑴360˘_n+40˘ ⑵ ∠XOP=180˘-45˘=135˘이므로 ⑴360˘_n+135˘ ⑶ ∠XOP=360˘-100˘=260˘이므로 ⑴360˘_n+260˘ ⑴ 360˘_n+40˘ ⑵ 360˘_n+135˘ ⑶ 360˘_n+260˘

1. 삼각함수의 뜻

II

삼각함수

050 ⑴ 360˘_n+40˘ ⑵ 360˘_n+135˘ ⑶ 360˘_n+260˘ 051 ⑴ 제1사분면 ⑵ 제2사분면 ⑶ 제4사분면 052 2, 3 053 ⑴ p ⑵ - p ⑶ 480˘ ⑷ -315˘ 054 ⑴ 2np+ p ⑵ 2np+ ⑶ 2np+ p 055 ⑴ h= , S=4p ⑵ r=3, l=10, h= 또는 r=5, l=6, h=

056 sin h=- , cos h=- , tan h=

057 '2

058 ⑴ sinh<0, cosh<0, tanh>0

⑵ sinh>0, cosh<0, tanh<0 ⑶ sinh<0, cosh>0, tanh<0 ⑷ sinh>0, cosh>0, tanh>0

059 ⑴ 제2사분면의 각 ⑵ 제1사분면 또는 제3사분면의 각 ⑶ 제4사분면의 각 060 ⑴ cosh=- , tanh= ⑵ ① 11₃ ② '∂1115₃ 3 1₄ 4 1₅ 4 1₃ 3 1₅ 4 1₅ 6 1₅ 10 12₃ p 1₂ 7 1₆ p 1₃ 3 1₄ 5 1₄ 11 12₆ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

(12)

051

⑴ 1450˘=360˘_4+10˘이므로 제1 사분면 의 각이다. ⑵ -920˘=360˘_(-3)+160˘이므로 제2 사분면의 각이다. ⑶ 360˘_n+275˘는 제4 사분면의 각이다. ⑴ 제1사분면 ⑵ 제2사분면 ⑶ 제4사분면

052

라디안의 정의에 의해 호의 길이가 2r, 3r인 부채꼴의 중 심각의 크기는 =2, =3 이다. 2, 3

053

⑴ 330˘=330_1˘=330_ = p ⑵ -225˘=-225_1˘=-225_ =- p ⑶ p= p_1(라디안)= p_ =480˘ ⑷ - p=- p_1(라디안)=- p_ =-315˘ ⑴ p ⑵ - p ⑶ 480˘ ⑷ -315˘

054

⑴ 0… p<2p이므로 2np+ p ⑵ p=2p+ 이므로 2np+11p 3 p 1₃ 7 1₃ 3 1 1₄ 3 1₄ 5 1₄ 11 12₆ 180˘ 1252_p 7 1₄ 7 1₄ 7 1₄ 180˘ 1252_p 8 1₃ 8 1₃ 8 1₃ 5 1 1₄ p 125₁₈₀ 11 1 122₆ p 125₁₈₀ 3r 125_r 2r 125_r B A O r r 1라디안 r r ⑶ - p=-2p+ p이므로 2np+ p ⑴ 2np+ p ⑵ 2np+ ⑶ 2np+ p

055

⑴ 부채꼴의 반지름의 길이를 r, 호의 길이를 l이라 하자. l=rh이므로 h= = = S= r¤ h= _4¤ _ =4p {또는 S= rl= _4_2p=4p} ⑵ 부채꼴의 둘레의 길이가 16, 넓이가 15이므로 2r+l=16 yy ㉠, rl=15 yy ㉡ ㉠에서 l=16-2r를 ㉡에 대입하여 풀면 r(16-2r)=15, r¤ -8r+15=0 (r-3)(r-5)=0 ∴ r=3 또는 r=5 ⁄r=3일 때, l=16-2r=16-2_3=10, h= = ¤r=5일 때, l=16-2r=16-2_5=6, h= = ∴ r=3, l=10, h= r=5, l=6, h= ⑴ h= , S=4p ⑵ r=3, l=10, h= ⑵또는 r=5, l=6, h=16 5 10 12₃ p 1₂ 6 1 1₅ 10 1 122₃ ( “ 9 6 1₅ l 1_r 10 12₃ l 1_r 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ p 1₂ 1 1₂ 1 1₂ p 1 1₂ 2p 125₄ l 1_r 7 1₆ p 1₃ 3 1₄ 7 1 1₆ 7 1₆ 5 1₆

(13)

APPLICATION

056

r=OP”="√3¤ +4¤ =5이고 x=-3, y=-4이므로 sin h= =-cos h= =-tan h= =

sin h=- , cos h=- , tan h=

057

오른쪽 그림과 같 이 각 p를 나타내는 동경 과 원점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원의 교점을 P, 점 P에서 x축에 내린 수선의 발을 H라 하자. O’P’=1, ∠POH= 이므로 P’H”= , O’H”= ∴ P{- , } (∵ 점 P는 제2 사분면 위의 점) 따라서 삼각함수의 정의에 의하여 sinh= , cosh=-이므로 sinh-cosh='2 '2

058

⑴ 220˘는 제3사분면의 각이므로

⑵ sin h<0, cosh<0, tan h>0

⑵ 500˘는 제2사분면의 각이므로

sin h>0, cosh<0, tan h<0

⑶ p는 제4사분면의 각이므로

⑵ sin h<0, cosh>0, tan h<0 9 1₅ '2 134₂ '2 134₂ '2 134₂ '2 134₂ '2 134₂ '2 134₂ p 1₄ 3 1₄ O P H 3 4 -1 1 -1 1 p x y 4 1₃ 3 1₅ 4 1₅ 4 1 1₃ y 14_x 3 1 1₅ x 14_r 4 1 1₅ y 14_r x y -3 5 -4 h O P ⑷ - p는 제1사분면의 각이므로

⑵ sin h>0, cosh>0, tan h>0

⑴ sinh<0, cosh<0, tanh>0 ⑵ sinh>0, cosh<0, tanh<0 ⑶ sinh<0, cosh>0, tanh<0 ⑷ sinh>0, cosh>0, tanh>0

059

⑴ cosh<0이므로 각 h는 제2사분면 또는

제3사분면의 각이다. tanh<0이므로 각 h는 제2사 분면 또는 제4사분면의 각이다.

따라서 각 h는 제2 사분면의 각이다. ⑵ sinh cosh>0에서

sin h>0, cosh>0 또는 sin h<0, cosh<0

⑵이므로 각 h는 제1 사분면 또는 제3 사분면의 각이다.

⑶ ⁄ sinh cosh<0에서

sinh>0, cosh<0 또는 sinh<0, cosh>0 이므로 각 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각 이다.

⑵¤cosh tanh<0에서

cosh>0, tanh<0 또는 cosh<0, tanh>0 이므로 각 h는 제4사분면 또는 제3사분면의 각 이다. ⑵⁄, ¤에서 각 h는 제4 사분면의 각이다 각 h를 나타내는 동경과 중심이 O이고 반지름의 길이가 r인 원이 만나는 점을 P(x, y)라 하 여 삼각함수의 값을 구하면

sinh cosh<0, cosh tanh<0에서

_ <0, _ <0 <0, <0 xy<0, y<0 (∵ r¤ >0, r>0) ∴ x>0, y<0 따라서 점 P는 제4사분면 위의 점이므로 각 h는 제4 사분면의 각이다. y 1_r xy 12_r¤ y 1_x x 1_r x 1_r y 1_r 15 12₈

(14)

⑴ 제2사분면의 각

⑵ 제1사분면 또는 제3사분면의 각 ⑶ 제4사분면의 각

060

⑴ h가 제3사분면의 각이므로

cosh<0, tanh>0 yy ㉠

sin¤ h+cos¤ h=1에서 cos¤ h=1-sin¤ h이므로

sinh=- 을 대입하면

cos¤ h=1-{- }¤ =

∴ cos h=- (∵ ㉠)

∴ tan h= =

⑵ ① sinh-cosh= 의 양변을 제곱하면

⑵ ① sin¤ h-2sinh cosh+cos¤ h=

⑵ ①이때 sin¤ h+cos¤ h=1이므로

⑵ ① 1-2sinh cosh=

⑵ ① ∴ sinh cosh=

⑵② (sin h+cos h)¤ =sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h

이므로 ⑵ ① (sinh+cosh)¤ =1+2_ = yy ㉠ ⑵ ①이때 h가 제1사분면의 각이므로 sinh>0, cosh>0에서 ⑵ ① sinh+cosh>0 ⑵ ①따라서 ㉠에서 sinh+cosh= ⑴ cosh=- , tanh= ⑵ ① 11₃ ② '∂11415₃ 3 1₄ 4 1₅ '∂15 114₃ 5 1₃ 1 1₃ 1 1 1₃ 1 1₃ 1 1₃ '3 134₃ 3 1 1₄ sinh 112_cosh 4 1 1₅ 16 12₂₅ 3 1₅ 3 1₅

061

주기가 4이므로 f(1)=f(5)=f(9)=f(13)=1 ∴ f(13)=1 1

062

f(x+1)=f(x-1)에서 x+1=t로 놓으면 x=t-1 ∴ f(t)=f(t-2)

2. 삼각함수의 그래프

061 1 062 4 063 풀이 참조 064 풀이 참조 065 풀이 참조 066 ⑴ ⑵ 0 ⑶ 1 067 ⑴ - ⑵ ⑶ -1 068 ⑴ ⑵ - ⑶ 1 069 ⑴ ⑵ ⑶ 070 ⑴ x= 또는 x= p ⑵ x= 또는 x= p ⑶ x= p 또는 x= p ⑷ p…x… p ⑸ …x… p ⑹ <x… p 또는 p<x… p 071 ⑴ h= 또는 h= p ⑵ h= 또는 h= p ⑶ <h< p ⑷ 0…h< 또는 p<h<2p 072 ⑴ x= 또는 x= 또는 x= p 또는 x= p ⑵ x= 또는 x= p ⑶ 0…x< p ⑷ p…x…13p 2 5 1₃ 11 12₆ p 1₂ 4 1₃ 7 1₆ p 1₃ p 1₆ 5 1₄ p 1₄ 2 1₃ p 1₃ 5 1₄ p 1₄ 2 1₃ p 1₃ 11 12₆ 3 1₂ 5 1₆ p 1₂ 5 1₆ p 1₆ 4 1₃ 2 1₃ 5 1₃ 4 1₃ 5 1₄ p 1₄ 5 1₃ p 1₃ '3 12₃ '2 12₂ '2 12₂ '3 12₂ '3 12₂ 1 1₂ 1 1₂ '3 12₂ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

(15)

APPLICATION 즉, f(x)는 주기가 2인 함수이다. f(0)=f(2)=y=f(1000)=1 f(1)=f(3)=y=f(1001)=3 이므로 f(1000)+f(1001)=1+3=4 4

063

⑴ f(x)=2sinx라 하면 f(x)=2sinx=2sin(x+2p)=f(x+2p) -1…sinx…1에서 -2…2sinx…2 따라서 y=2sinx의 그래프는 y=sinx의 그래프를 y축의 방향으로 2배한 것이다. ∴ (주기)：2p, (치역)：{ y|-2…y…2 } (최댓값)：2, (최솟값)：-2 ⑵ f(x)=sin 라 하면

f(x)=sin _{=sin{ +2p}=sin} (x+4p)

f(x)=f(x+4p) 따라서 y=sin 의 그래프는 y=sinx의 그래프를 x축의 방향으로 2배한 것이다. ∴ (주기)：4p, (치역)：{ y|-1…y…1 } (최댓값)：1, (최솟값)：-1 2π 2 x 3π 4π π -1 1 x y y=sin-y=sin`x O x 1₂ 1 1₂ x 1₂ x 1₂ x 1₂ y=sin`x y=2`sin`x 2 3 π 2π 2 π π -1 -2 2 1 x y O ⑶ y=sin {x- }의 그래프는 y=sin x의 그래프를 x축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다. ∴ (주기)：2p, (치역)：{ y|-1…y…1 } (최댓값)：1, (최솟값)：-1 풀이 참조

064

⑴ f(x)= cosx라 하면 f(x)= cosx= cos (x+2p)=f(x+2p) -1…cosx…1에서 - … cosx… 따라서 y= cosx의 그래프는 y=cosx의 그래프 를 y축의 방향으로 배한 것이다. ∴ (주기)：2p, (치역)：[y|- …y… ] ∴(최댓값)： , (최솟값)：-⑵ f(x)=cos2x라 하면 f(x)=cos2x=cos(2x+2p)=cos2(x+p) =f(x+p) 1 1 1₂ 1 1 1₂ 1 1 1₂ 1 1 1₂ 2 3 π 2π 2 1 π -1 1 x y y=-cos`x y=cos`x O 2 π 2 - 1 2 1 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 3 5 π 6 13 π 6 7 π _2π 3 2 π 6 π 6 π π -1 1 x y y=sin

{

x--

}

y=sin`x O p 1₆ p 1₆

(16)

따라서 y=cos2x의 그래프는 y=cosx의 그래프를

x축의 방향으로 배한 것이다.

∴ (주기)：p, (치역)：{ y|-1…y…1 } (최댓값)：1, (최솟값)：-1

⑶ y=cos x-2의 그래프는 y=cosx의 그래프를 y축 의 방향으로 -2만큼 평행이동한 것이다. 즉, -1…cosx…1에서 -3…cosx-2…-1 ∴ (주기)：2p, (치역)：{ y|-3…y…-1 } (최댓값)：-1, (최솟값)：-3 풀이 참조

065

⑴ f(x)=2tanx라 하면 f(x)=2tanx=2tan(x+p)=f(x+p) 따라서 y=2tanx의 그래프는 y=tanx의 그래프를 y축의 방향으로 2배한 것이다. 2 3 π 4 7 π 4 5 π 4 3 π 2π π x y O 2 π 4 -2 2 π 2 π 4 π y=2`tan`x y=tan`x 2 3 π π 2π 2 π -1 -2 -3 1 x y y=cos`x y=cos`x-2 O 2 3 π 4 5 π 4 3 π ₄7 π 4 9 π 2π 2 π 4 π π -1 1 x y y=cos`2x y=cos`x O 1 1₂ ∴ (주기)：p, ∴(정의역)：[x|x+np+ 인 실수, n은 정수], ∴(점근선의 방정식)：x=np+ `(n은 정수) ⑵ f(x)=tan2x라 하면 f(x)=tan2x=tan(2x+p)=tan2{x+ } f(x)_{=f{x+ }} 점근선의 방정식은 2x=np+ 에서 x= p+ (n은 정수) 따라서 y=tan2x의 그래프는 y=tanx의 그래프를 x축의 방향으로 배한 것이다. ∴ (주기)： , ∴(정의역)：[x|x+ p+ _{인 실수, n은 정수],} ∴(점근선의 방정식)：x= p+ `(n은 정수)

⑶ y=tan x+1의 그래프는 y=tanx의 그래프를 y축 의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다. y 2 3 π 2π 2 π π 2 - π x y=tan`x y=tan`x+1 O 1 p 1 1₄ n 1 1₂ p 1 1₄ n 1 1₂ p 1 1₂ 2 3 π 4 3 π ₄5 π ₄7 π ₄9 π 2π 2 π 4 π π 2 - π 4 - π x y y=tan`x y=tan`2x O 1 1₂ p 1₄ n 1₂ p 1₂ p 1₂ p 1₂ p 1 1₂ p 1 1₂

(17)

APPLICATION ∴ (주기)：p, ∴(정의역)：[x|x+np+ 인 실수, n은 정수], ∴(점근선의 방정식)：x=np+ `(n은 정수) 풀이 참조

066

⑴ sin p_{=sin {2p_3+ }} =sin = ⑵ cos {- p}=cos[2p_(-4)+ ] ⑵ cos {- p}=cos =0

⑶ tan p_{=tan{2p_3+ }=tan} =1

⑴ ⑵ 0 ⑶ 1

067

⑴ sin {- }=-sin

=-⑵ cos {- }=cos =

⑶ tan {- }=-tan =-1

⑴ - ⑵ ⑶ -1

068

⑴ sin p_{=sin {p- }=sin} =

⑵ cos p_{=cos {p- }=-cos}

=-⑶ tan p_{=tan {p+ }=tan} =1

⑴ ⑵ - ⑶ 1

069

⑴ sin {1p₂-1p₄}=cos1₄p= '112244₂2 '3 124₂ '3 124₂ p 1₄ p 1₄ 5 1₄ '3 1 12244₂ p 1₆ p 1₆ 5 1₆ '3 1 12244₂ p 1₃ p 1₃ 2 1₃ 1 1₂ 1 1₂ p 1₄ p 1₄ 1 1 1₂ p 1₃ p 1₃ 1 1 1₂ p 1₆ p 1₆ '3 124₂ p 1₄ p 1₄ 25 12₄ p 1₂ p 1₂ 15 12₂ '3 1 12244₂ p 1₃ p 1₃ 19 12₃ p 1 1₂ p 1 1₂ ⑵ cos { - _}=sin = ⑶ tan { - _}= = ⑴ ⑵ ⑶

070

⑴ 방정식 cos x= 의 해는 다음 그림과 같 ⑴이 두 함수 ⑴y=cos x (0…x<2p), y= ⑴의 그래프의 교점의 x좌표이다. ⑴따라서 구하는 해는 x= 또는 x= p ⑵ 방정식 tan x=1의 해는 다음 그림과 같이 두 함수 ⑵y=tan x (0…x<2p), y=1 ⑵의 그래프의 교점의 x좌표이다. ⑵따라서 구하는 해는 x= 또는 x= p ⑶ 방정식 2 sin x=-'3, 즉 sin x=- 의 해는 다 ⑵음 그림과 같이 두 함수 ⑵y=sin x (0…x<2p), y=-⑵의 그래프의 교점의 x좌표이다. '3 124₂ '3 124₂ 5 1 1₄ p 1 1₄ p ;2; p ;4; ;4%;p y=1 p 2p p ;2#; x y O 1 y=tanx 5 1 1₃ p 1 1₃ 3 π 2 π 2 1 y= y=cosx x y O 1 -1 3 5 π π 2 3 π 2π 1 1₂ 1 1₂ '3 124₃ '2 124₂ '2 124₂ '3 1 12244₃ 1 1113_p tan1 3 p 1₃ p 1₂ '2 1 12244₂ p 1₄ p 1₄ p 1₂

(18)

⑵따라서 구하는 해는 x= p 또는 x= p ⑷ 부등식 cos x…- 의 해는 다음 그림과 같이 함수 ⑵y=cos x (0…x<2p)의 그래프가 직선 y=- 과 ⑵만나거나 아랫부분에 있는 x의 값의 범위이다. ⑵따라서 구하는 해는 p…x… p ⑸ 부등식 2 sin xæ1, 즉 sin xæ 의 해는 다음 그림 ⑵과 같이 함수 y=sin x (0…x<2p)의 그래프가 직선 ⑵y= 과 만나거나 윗부분에 있는 x의 값의 범위이다. ⑵따라서 구하는 해는 …x… p ⑹ 부등식 3 tan x…-'3, 즉 tan x…- 의 해는 ⑹다음 그림과 같이 함수 y=tan x (0…x<2p)의 그래 ⑹프가 직선 y=- 과 만나거나 아랫부분에 있는 x ⑹의 값의 범위이다. '3 124₃ '3 124₃ 5 1 1₆ p 1 1₆ p ;6; ;6%; p p 2p x y O 1 -1 2 π y=sinx 2 3 π 2 1 y= 1 1₂ 1 1₂ 4 1 1₃ 2 1 1₃ x y O 1 -1 2π p _p p ;2; ;3@; ;3$;p ;2#;p y=cosx 2 1 y=-1 1₂ 1 1₂ 5 1 1₃ 4 1 1₃ p 2p x y O p ;3$; ;3%;p '3 -:2: y= y=sinx 1 -1 2 π ⑵따라서 구하는 해는 ⑵ <x… p 또는 p<x… p ⑴ x= 또는 x= p ⑵ x= 또는 x= p ⑶ x= p 또는 x= p ⑷ p…x… p ⑸ …x… p ⑹ <x… p 또는 p<x… p

071

⑴ 2sin h-'3=0에서 sin h= ⑴다음 그림에서 y좌표가 인 점은 P¡, P™로 2개이다. ⑴sin h¡= 에서 h¡= 이고, ⑴h™=p- = p ⑴따라서 구하는 해는 h= 또는 h=112p 3 p 1 1₃ P™ P¡ h™ h¡ y=:2: 1 O -1 -1 1 x y '3 2 1₃ p 1₃ p 1₃ '3 124₂ '3 124₂ '3 124₂ 11 12₆ 3 1₂ 5 1₆ p 1₂ 5 1₆ p 1₆ 4 1₃ 2 1₃ 5 1₃ 4 1₃ 5 1₄ p 1₄ 5 1₃ p 1₃ 11 1 122₆ 3 1 1₂ 5 1 1₆ p 1 1₂ p ;2; p ;6%; ;;¡6¡;;p p 2p p ;2#; x y O '3 :3: y=tanx

(19)

y=-APPLICATION ⑵ sin h=cos h인 경우는 단위원 위의 점 중에서 x좌표 와 y좌표가 같은 점이므로 다음 그림에서 ⑶h¡= 또는 h™=p+ = p ⑶따라서 구하는 해는 h= 또는 h= p ⑶[참고] =tanh이므로 tanh=1로 놓고 기울 ⑶기를 이용하여 방정식을 풀어도 된다. ⑶ 2sinh-'3>0에서 sinh> ⑵sinh> 의 해는 단위원에서 (y좌표)> 인 부 ⑵분이므로 다음 그림과 같다. ⑵따라서 구하는 해는 <h< p ⑷ sin h<cos h인 경우는 단위원 위의 점 중에서 (y좌표)<(x좌표)인 부분이다. p ;4; 1 O -1 -1 1 x y y=x p 5 ;4; 2 1 1₃ p 1 1₃ y=:2: 1 O -1 -1 1 x y '3 p p ;3; 2 ;3; '3 12₂ '3 12₂ '3 12₂ sinh 1124_cosh 5 1 1₄ p 1 1₄ 1 O -1 -1 1 x y y=x h™ h¡ 5 1₄ p 1₄ p 1₄ ⑶따라서 구하는 해는 ⑶0…h< 또는 p<h<2p ⑴ h= 또는 h= p ⑵ h= 또는 h= p ⑶ <h< p ⑷ 0…h< 또는 p<h<2p

072

⑴ 2sin2x='3 HjK sin2x= 에서 2x=t로 놓으면 0…x<2p이므로 0… <2p HjK 0…t<4p 이때 삼각방정식 sint= 의 해는 다음 그림과 같 이 두 함수 y=sint (0…t<4p), y= 의 그래프 의 교점의 t좌표이다. ∴ t= 또는 t= p 또는 t= p 또는 t= p ∴ x= 또는 x= 또는 x= p 또는 x= p ⑵ x- =t로 놓으면 0…x<2p이므로 0…t+ <2p HjK - …t< p 이때 삼각방정식 cost= 의 해는 다음 그림과 같이 두 함수 y=cost {- …t<1p₆ 1211₆ p}, y=11₂ 1 1₂ 11 12₆ p 1₆ p 1₆ p 1₆ 4 1 1₃ 7 1 1₆ p 1 1₃ p 1 1₆ 8 1₃ 7 1₃ 2 1₃ p 1₃ 3 π 2 ´3 π 2π 3π 4π t y y= O 3 1 -1 2 π 37 π 38 π y=sin t '3 12₂ '3 12₂ t 1₂ '3 12₂ 5 1₄ p 1₄ 2 1₃ p 1₃ 5 1₄ p 1₄ 2 1₃ p 1₃ 5 1 1₄ p 1 1₄

(20)

의 그래프의 교점의 t좌표이다. ∴ t= 또는 t= p ∴ x= 또는 x= p ⑶ 2cos >-'3 HjK cos >-에서 =t로 놓으면 0…x<2p이므로 0…2t<2p HjK 0…t<p 함수 y=cost(0…t<p)의 그래프와 직선 y=- 은 다음 그림과 같다. 두 그래프의 교점의 t좌표는 t= p 부등식 cost>- 의 해는 함수 y=cost(0…t<p)의 그래프가 직선 y=- 보 다 위쪽에 있는 t의 값의 범위이므로 0…t< p 그런데 t= 이므로 0… < p 따라서 부등식 2cos >-'3의 해는 0…x<115p 3 x 1₂ 5 1₆ x 1₂ x 1₂ 5 1₆ '3 133₂ '3 133₂ 5 1₆ t y y= O -1 1 2 π 6 5 π π 2 ´3 y=cost '3 124₂ x 1₂ '3 133₂ x 1₂ x 1₂ 11 1 122₆ p 1 1₂ 5 1₃ p 1₃ 3 π 6 π 2 1 y= t y O -1 1 3 5 π 11 π₆ π 2π y=cos t ⑷ x+ =t로 놓으면 0…x<2p이므로 0…t- <2p HjK …t< p 함수 y=sint{ …t< _{p}의 그래프와 직선} y=- 는 다음 그림과 같다. 두 그래프의 교점의 t좌표는 t= p 또는 t= p 부등식 sin t…- 의 해는 함수 y=sint{ …t< p}의 그래프가 직선 y=- 와 만나거나 아래쪽에 있는 t의 값의 범위 이므로 p…t… p 그런데 t=x+ 이므로 p…x+ … p 따라서 부등식 sin {x+ }…- 의 해는 p…x… p ⑴ x= 또는 x= 또는 x= p 또는 x= p ⑵ x= 또는 x= p ⑶ 0…x< p ⑷ p…x…13p 2 5 1₃ 11 12₆ p 1₂ 4 1₃ 7 1₆ p 1₃ p 1₆ 3 1 1₂ '2 124₂ p 1₄ 7 1₄ p 1₄ 5 1₄ p 1₄ 7 1₄ 5 1₄ '2 124₂ 9 1₄ p 1₄ '2 124₂ 7 1₄ 5 1₄ 4 1 -1 π 2 ´2 2π t y= y O 4 5 π π 4 7 π 4 9 π y=sint '2 124₂ 9 1₄ p 1₄ 9 1₄ p 1₄ p 1₄ p 1₄

(21)

APPLICATION

073

⑴ 사인법칙에 의하여 = =2R이므로 sinA=4_ =4_ sinA=4_ = ∴ A=45˘ (0˘<A<60˘) ∴ R= _ = _{_4'2=2'2} ⑵ 사인법칙에 의하여 = =2R이므로 b=sin 60˘_ = _ = _{_4=2'3} ∴ R= _ = _4=2 ⑴ A=45˘, R=2'2 ⑵ b=2'3, R=2

074

⑴ C 45æ A B 1+´3 ´6 b 1 1₂ 2'2 11233_sin45˘ 1 1₂ '3 125₂ 2'2 11 '2 12₂ '3 12₂ 2'2 11233_sin45˘ b 11233_sin60˘ 2'2 11233_sin45˘ 1 1₂ 2'6 11133_sin120˘ 1 1₂ '2 125₂ 1 115_4'2 '3 12₂ 115_2'6 sin120˘ 11133_2'6 2'6 11133_sin120˘ 4 1133_sinA 코사인법칙에 의하여 b¤ =c¤ +a¤ -2cacosB이므로 b¤ =(1+'3)¤ +('6)¤ -2_(1+'3)_'6_cos45˘ =(4+2'3)+6-2_(1+'3)_'6_ =10+2'3-(2'3+6) =4 ∴ b=2 (∵ b>0) ⑵ 최대변에 대한 대각이 최대각이므로 ∠C가 최대각이 다. 따라서 코사인법칙에 의하여 cosC= 이므로 cosC= = =-∴ C=120˘ (∵ 0˘<C<180˘) ⑴ 2 ⑵ 120˘

075

⑴ 삼각함수 사이의 관계에 의하여 sinA="√1-cos¤ A (∵ 0˘<A<180˘) sinA_=æ≠1-{ _}¤ = ∴ S= bcsinA= _{_3'5_4_} ∴ S=10 ⑵ 삼각형 ABC의 넓이를 S라 하면 S=3이므로 S= casinB에서 3= _c_4_sin30˘, 3=2c_ ∴ c=3 ⑴ 10 ⑵ 3 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ '5 12₃ 1 1₂ 1 1₂ '5 12₃ 2 1₃ 1 1₂ -15 113₃₀ 3¤ +5¤ -7¤ 111123_{2_3_5} a¤ +b¤ -c¤ 111123_2ab C B A 7 5 ₃ '2 125₂

3. 삼각함수의 활용

073 ⑴ A=45˘, R=2'2 ⑵ b=2'3, R=2 074 ⑴ 2 ⑵ 120˘ 075 ⑴ 10 ⑵ 3 076 ⑴ 4'3 ⑵ 15'3 077 S=6'6, R= , r= 078 6'6 079 ⑴ 27 ⑵ 120˘ 2'6 1234₃ 35'6 1123₂₄ APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

(22)

076

⑴ S=2R¤ sinAsinBsinC =2_4¤ _sin120˘sin30˘sin30˘ =32_ _ _ _=4'3 ⑵ S= r(a+b+c)= _{_'3_(6+10+14)} S_=15'3 _{⑴ 4'3 ⑵ 15'3}

077

길이가 7인 변의 대각의 크기를 C라 하면 코 사인법칙에 의하여 cosC= = = 한편 삼각함수 사이의 관계에 의하여 sin¤ C=1-cos¤ C이므로 sinC=æ≠1- (∵ 0˘<C<180˘) =æ– — = ∴ S= absinC= _5_6_ _=6'6 S= 에서 6'6= , 4R= ∴ R= S= r(a+b+c)에서 6'6= r(5+6+7), 6'6=9r ∴ r= = S=6'6, R= , r=

078

s= =9 라 할 때, 헤론의 공식에 의하여 삼각형의 넓이 S는 5+6+7 1111₂ 2'6 1234₃ 35'6 1123₂₄ 2'6 1 1223344₃ 6'6 1234₉ 1 1₂ 1 1₂ 35'6 1 11₂₄12233 5_6_7 1111_6'6 5_6_7 1111_4R abc 11_4R 2'6 11₅ 1 1₂ 1 1₂ 2'6 11₅ 24 13₂₅ 1 13₂₅ 1 1₅ 12 13₆₀ 5¤ +6¤ -7¤ 111123_{2_5_6} 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ 1 1₂ '3 12₂ S="9√(9-√5)(9√-6)√(9-ç7) ='2∂16=6'6 6'6

079

⑴ S= _6_9_sin90˘ = _6_9_1=27 ⑵ ABCD=A’B’_B’C’_sinB이므로 9'3=3_6_sinB ∴ sinB= ∴ B=120˘ (∵ 90˘<B<180˘) ⑴ 27 ⑵ 120˘ '3 12₂ 1 1₂ 1 1₂

(23)

APPLICATION

080

주어진 수열의 일반항을 a«으로 놓고 a¡, a™,

a£, a¢, a∞의 값을 구하여 나열한다.

⑴ a«=(-1)n_¥ n에서 a¡=(-1)⁄ ¥1=-1, a™=(-1)¤ ¥2=2 a£=(-1)‹ ¥3=-3, a¢=(-1)› ¥4=4 a∞=(-1)ﬁ ¥5=-5 이므로 제5항까지 나열하면 -1, 2, -3, 4, -5이다. ⑵ a«=3n-n¤ 에서 a¡=3¥1-1¤ =2, a™=3¥2-2¤ =2, a£=3¥3-3¤ =0, a¢=3¥4-4¤ =-4, a∞=3¥5-5¤ =-10 이므로 제5항까지 나열하면 2, 2, 0, -4, -10이다. ⑴ -1, 2, -3, 4, -5 ⑵ 2, 2, 0, -4, -10

081

첫째항이 -20, 공차가 6이므로 a«=-20+(n-1)¥6=6n-26 ∴ a•=6¥8-26=22 22

082

a¡=12, a§=-8을 좌표평면 위의 점으로 생 각하면 (1, 12), (6, -8)이다. 이때 이 두 점을 지나는 직선의 기울기와 구하는 등차수열의 공차가 같으므로 공 차를 d라 하면 d=1111-8-12=-4 6-1 공차를 d라 하면 첫째항이 12이므로 a§=12+5d=-8, 5d=-20 ∴ d=-4 -4

083

a™+a¢=8이므로 a£= _=;2*;=4 a§+a•=104이므로 a¶= = =52 즉, a£=4, a¶=52이므로 두 점 (3, 4)와 (7, 52)를 지나 는 직선의 기울기가 구하는 등차수열의 공차이다. 공차를 d라 하면 d= =12 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 a£= =4이므로 a+2d=4 yy ㉠ 또한 a¶= =52이므로 a+6d=52 yy ㉡ ㉡-㉠을 하면 4d=48 ∴ d=12 12

084

등차수열의 첫째항을 a, 공차를 d라 하고, 일 반항을 a«이라 하면 a£=4에서 a+2d=4 yy ㉠ a¡º=25에서 a+9d=25 yy ㉡㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=-2, d=3 따라서 등차수열 {a«}의 첫째항부터 제15항까지의 합은 =285 285

085

⑴ S«=3n¤ +2n에서 ⁄næ2일 때 15{2¥(-2)+(15-1)¥3} 111111111115₂ a§+a• 1112₂ a™+a¢ 1112₂ 52-4 111_7-3 104 11₂ a§+a• 1112₂ a™+a¢ 1112₂

1. 등차수열과 등비수열

III

수열

080 ⑴ -1, 2, -3, 4, -5 ⑵ 2, 2, 0, -4, -10 081 22 082 -4 083 12 084 285 085 ⑴ a«=6n-1 ⑵ a¡=1, a«=4n-5 (næ2) 086 ;8!; 087 a«=3¥2n-1 088 64 089 -341 090 a¡=17, a«=15¥4« —⁄ (næ2) 091 18000원 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

(24)

a«=S«-S«–¡ =(3n¤ +2n)-{3(n-1)¤ +2(n-1)} =6n-1 yy ㉠ ¤n=1일 때 a¡=S¡=3¥1¤ +2¥1=5 yy ㉡ 이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같으므로 구하는 일반항a«은 a«=6n-1 ⑵S«=2n¤ -3n+2에서 ⁄næ2일 때 a«=S«-S«–¡ =(2n¤ -3n+2)-{2(n-1)¤ -3(n-1)+2} =4n-5 yy ㉠ ¤n=1일 때 a¡=S¡=2¥1¤ -3¥1+2=1 yy ㉡ 이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같지 않다. 즉, 수 열 {a«}은 제2항부터 일정한 규칙을 갖는다. 따라서 구 하는 일반항 a«은 a¡=1, a«=4n-5 (næ2) [참고] 주어진 수열은 제2항부터 등차수열이다. ⑴ a«=6n-1 ⑵a¡=1, a«=4n-5 (næ2)

086

첫째항이 32, 공비가 ;2!;이므로 a«=32¥{;2!;}n-1=25-(n-1) =26-n ∴ aª=26-9=;8!; ;8!;

087

첫째항을 a, 공비를 r라 하면 a¢=ar‹ =24 yy ㉠ a¶=arﬂ =192 yy ㉡ ㉡÷㉠을 하면 r‹ =8 ∴ r=2 (∵ r는 실수) r=2를 ㉠에 대입하면 a=3 따라서 구하는 등비수열의 일반항은 a«=3¥2n-1 이다. a«=3¥2n-1

088

등비수열 {a«}은 모든 항이 양수이고 16=a™a¢=a£¤ 이므로 a£=4 64=a£a∞=a¢¤ 이므로 a¢=8 따라서 주어진 등비수열의 공비는 =2이므로 a¶=a¢¥2‹ =64 64

089

주어진 수열의 첫째항은 1이고 공비는 -2이 므로 첫째항부터 제10항까지의 합은 = =-341 -341

090

S«=5¥4« -3에서 ⁄næ2일 때 a«=S«-S«–¡=(5¥4« -3)-(5¥4« —⁄ -3) =20¥4« —⁄ -5¥4« —⁄ =15¥4« —⁄ yy ㉠ ¤n=1일 때 a¡=S¡=5¥4-3=17 yy ㉡ 이때 ㉡은 ㉠에 n=1을 대입한 값과 같지 않다. 즉, 수열 {a«}은 제2항부터 일정한 규칙을 갖는다. 따라서 구하는 일반항 a«은 a¡=17, a«=15¥4« —⁄ ` (næ2) a¡=17, a«=15¥4« —⁄ ` (næ2)

091

구입한 달의 말부터 매달 a원씩 갚는다고 하 면 20만 원의 12개월 후의 원리합계(㉠)와 매달 말 a원 씩 12개월 동안 적립할 때의 원리합계(㉡)가 같다. 1-2⁄ ‚ 11234₃ 1{1-(-2)⁄ ‚ } 1111112_1-(-2) a¢ 12_a£

(25)

APPLICATION 이때 주의할 점은 한 달 후부터 돈을 갚기 시작하므로 1 회의 돈부터 이자가 붙고 마지막 회의 돈에는 이자가 붙 지 않는다. 20만 원의 12개월 동안의 원리합계는 20_1.015⁄ ¤ =20_1.2=24(만 원) yy ㉠ 매달 말 a원씩 12개월 동안 적립할 때의 원리합계는 다 음과 같다.

a_1.015⁄ ⁄ +a_1.015⁄ ‚ +y+a_1.015+a

= = =:¢3º:a(원) yy ㉡ ㉠=㉡이므로 240000=:¢3º:a ∴ a=18000(원) 18000원 a(1.2-1) 111122_0.015 a(1.015⁄ ¤ -1) 11111125_1.015-1 현재 a원 a원 a원 1회 2회 … 11회 12회 … 20만 원 24만 원( ㉠ ) (a_1.015⁄ ⁄ )원 (a_1.015⁄ ‚ )원 (a_1.015)원 (20_1.015¤ )만 원 (20_1.015)만 원 … a원 ㉡

092

아래의 답 이외에도 여러 가지 답이 나올 수 있다. ⑴ 2k(2k+1)(2k+2) ⑵ (-2)k 풀이 참조

093

a˚=4n, b˚=8n이므로 (4a˚-3b˚+5)=4 a˚-3 b˚+ 5 =4¥4n-3¥8n+5n =16n-24n+5n=-3n -3n

094

⑴ 1+2+3+y+15= k ⑴ = =120 ⑵ 6¤ +7¤ +8¤ +y+15¤ ⑴= k¤ ⑴= k¤ - k¤ ⑴= -⑴=1240-55=1185 5(5+1)(2¥5+1) 111111114₆ 15(15+1)(2¥15+1) 1111111112₆ 5 ¡ k=1 15 ¡ k=1 15 ¡ k=6 15(15+1) 121113₂ 15 ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 n ¡ k=1 10 ¡ k=1 9 ¡ k=1

2. 여러 가지 수열의 합

092 풀이 참조 093 -3n 094 ⑴ 120 ⑵ 1185 ⑶ 570 ⑷ 791 095 ⑴1269₅₆ ⑵ '1å0-'2 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

(26)

⑶ (k+2)(k+1) ⑴= (k¤ +3k+2)= k¤ +3 k+ 2 ⑴= +3¥ +2¥10 ⑴=385+165+20=570 ⑷ (k‹ +1) ⑴= k‹ + _1=[ _{]2 +1¥7} ⑴=784+7=791 ⑴ 120 ⑵ 1185 ⑶ 570 ⑷ 791

095

⑴ ⑴= 2¥ _{ - } ⑴= - + - + - + -+ - + -⑴=1+ - - = ⑵ = _{('ƒk+2-'ƒk+1)} ='3-'2+'4-'3 +'5-'4+y+'1å0-'9 ='1å0-'2 ⑴ 1269₅₆ ⑵ '1å0-'2 8 ¡ k=1 1 1111111 'ƒk+1+'ƒk+2 8 ¡ k=1 69 1 122₅₆ 1 1₈ 1 1₇ 1 1₂ 1 1₈ 1 1₆ 1 1₇ 1 1₅ 1 1₆ 1 1₄ 1 1₅ 1 1₃ 1 1₄ 1 1₂ 1 1₃ 1 1₁ 1 112_k+2 1 1_k 1 1₂ 6 ¡ k=1 2 11115_k(k+2) 6 ¡ k=1 7(7+1) 1111₂ 7 ¡ k=1 7 ¡ k=1 7 ¡ k=1 10(10+1) 111125₂ 10(10+1)(2¥10+1) 1111111112₆ 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1 10 ¡ k=1

096

a«≠¡=a«¤ -1의 n에 1, 2, 3, 4를 차례로 대입 하면 a™=a¡¤ -1=2¤ -1=3 a£=a™¤ -1=3¤ -1=8 a¢=a£¤ -1=8¤ -1=63 ∴ a∞=a¢¤ -1=63¤ -1=3968 3968

097

⑴ 주어진 등비수열의 첫째항이 1, 공비가 2 이므로 a¡=1, a«≠¡=2a« (n=1, 2, 3, y) ⑵ 주어진 등비수열의 첫째항이 9, 공비가 -;3!;이므로 a¡=9, a«≠¡=-;3!;a« (n=1, 2, 3, y) ⑴ a¡=1, a«≠¡=2a« (n=1, 2, 3, y) ⑵ a¡=9, a«≠¡=-;3!;a« (n=1, 2, 3, y)

098

⑴ 첫날은 60km를 이동하였으므로 a¡=60 a«≠¡은 a«만큼 이동하고 난 다음 날 이동하는 거리이 므로 a«≠¡=;2!;a«+6 (n=1, 2, 3, y) yy ㉠ 096 3968 097 ⑴ a¡=1, a«≠¡=2a« (n=1, 2, 3, y) ⑵ a¡=9, a«≠¡=-;3!;a« (n=1, 2, 3, y) 098 ⑴ a¡=60, a«≠¡=;2!;a«+6 (n=1, 2, 3, y) ⑵ 15 099 풀이 참조 APPLICATION S U M M A C U M L A U D E

3. 수학적 귀납법

(27)

APPLICATION ⑵ ㉠에 n=1, 2, 3, 4를 차례로 대입하면 a™=;2!;a¡+6=;2!;¥60+6=36 a£=;2!;a™+6=;2!;¥36+6=24 a¢=;2!;a£+6=;2!;¥24+6=18 ∴ a∞=;2!;a¢+6=;2!;¥18+6=15 ⑴ a¡=60, a«≠¡=;2!;a«+6 (n=1, 2, 3, y) ⑵ 15

099

⁄n=1일 때 (좌변)=1, (우변)= =1 이므로 주어진 등식이 성립한다. ¤n=k일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면 1+2+y+k= yy ㉠ 이 성립한다. 이제 ㉠의 양변에 (k+1)을 더하면 1+2+y+k+(k+1)= +(k+1) 이고, 위 식의 우변을 정리하면 1+2+y+k+(k+1)= = 이므로 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다. ⁄, ¤에 의하여 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다. 풀이 참조 (k+1){(k+1)+1} 11211231112₂ (k+1)(k+2) 11211231₂ k(k+1) 112312₂ k(k+1) 112312₂ 1¥2 11₂