수학 Ⅱ

수학 Ⅱ

Ⅰ

^{집합과 명제}

01

^{집합의 뜻과 표현}

²

02

^{집합의 연산}

⁹

03

^명제

²¹

Ⅱ

^함수

04

^함수

³⁹

05

^{유리식과 유리함수}

⁵⁷

06

^{무리식과 무리함수}

⁷⁸

Ⅲ

^수열

07

^{등차수열과 등비수열}

⁹⁰

08

^{수열의 합}

¹¹¹

09

^{수학적 귀납법}

¹²⁸

Ⅳ

^{지수와 로그}

10

^지수

¹⁴⁶

11

^로그

¹⁵⁶

정답 ^및 풀이

정답을 확인하려 할 때에는 <빠른 정답 찾기>를 이용하면 편리합니다.

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집합과 명제

Ⅰ

집합의 뜻과 표현

01

0001

^×

0002

0003 0004

^×

0005 0006

^<

0007

^<

0008

^<

0009

^≤

0010

^≤

0011

^<

0012

{4, 8, 12, 16, y}

0013

{1, 2, 4, 5, 10, 20}

0014

^{{x|x는 자연수}}

0015

{x|x는 100 이하의 5의 양의 배수}

0018

A={1, 2, 4, 8}

0019

A={x|x는 8의 양의 약수}

0021

^무

0022

^유

0023

^{유, 공}

0024

^무

0025

⁰

0026

¹

0027

³

0028

10 이하의 소수는 2, 3, 5, 7의 4개이므로

n({x|x는 10 이하의 소수})=4 4

0016 0017

^B

1 3 5 7 9 A

a b c d

0020

^A

1 2 4 8

0033

^Δ

0034

{0}, {1}, {2}

0041

^A=B

0042

^A+B

0043

^A+B

0044

^A=B

0045

^A+B

0040

Δ, {1}, {11}, {1, 11}

0035

{0, 1}, {0, 2}, {1, 2}

0036

^{{0, 1, 2}}

0037

^{Δ, {Δ}}

0038

Δ, {0}, {1}, {0, 1}

0039

Δ, {x}, { y}, {z}, {x, y}, {x, z}, { y, z}, {x, y, z}

0029

X={3, 6, 9, y}, Y={6, 12, 18, y}이므로

Y,X Y,X

0030

모든 정사각형은 마름모이므로 X,Y X,Y

0031

x¤ =4에서에서x=—2

따라서 X={-2, 2}이므로에서Y,X Y,X

0032

^X=Δ

|y|…1에서므므-1…y…1

이때 y는 정수이므로므므y=-1, 0, 1

따라서 Y={-1, 0, 1}이므로므므X,Y X,Y

0046

9의 양의 약수는 1, 3, 9이므로 집합 {1, 3, 9}의 진부분집 합은

Δ, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9} 풀이 참조

0049

2를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는

2› —⁄ =2‹ =8 ⁸

0050

1, 3을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는

2› —¤ =2¤ =4 4

0047

n(A)=4이므로 부분집합의 개수는

2› =16 16

0048

n(A)=4이므로 진부분집합의 개수는

2› -1=15 ¹⁵

집합 {1, 3, 4}의 부분집합의 개수와 같다.

집합 {2, 4}의 부분집합의 개수와 같다.

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본책

9~13

^쪽

01

집합의뜻과표현

0051

^{‘아름다운’,‘가까운’,‘작은’,‘잘 어울리는’은 조건이 명확}

하지 않아 그 대상을 분명하게 정할 수 없으므로 집합이 아니다.

⑤

0052

^{‘높은’,‘큰’}은 조건이 명확하지 않아 그 대상을 분명하게 정 할 수 없으므로 집합이 아니다.

따라서 보기 중 집합인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ의 3개이다. ③

① a가 집합 A에 속하면 a<A

② b가 집합 A에 속하지 않으면 b≤A

A

a b

집합과 원소 사이의 관계 ^본책12^쪽

02

0053

① '2는 실수이므로에에'2`<R

② i는 허수이므로에에i`≤R

③ i› =1은 실수이므로에에i› <R

④ ='2-1은 무리수이므로에에 ≤Q

⑤ '9=3은 유리수이므로에에'9`<Q ③

1 1+'2 1

1+'2

0054

x‹ +2x¤ -3x=0에서

` x(x¤ +2x-3)=0,에에x(x+3)(x-1)=0

∴ x=-3 또는 x=0 또는 x=1

따라서 A={-3, 0, 1}이므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ①

집합을 나타내는 방법은 원소나열법, 조건제시법, 벤 다이어그램이 있다.

10 이하의 짝수인 자연수의 집합을 A라 할 때

① 원소나열법: A={2, 4, 6, 8, 10}

② 조건제시법: A={x|x는 10 이하의 짝수인 자연수}

③ 벤 다이어그램: A 2 4 6

8 10

집합의 표현 방법 ^본책12쪽

03

0055

^{① A={1, 5}} ② A={1, 2, 5, 10}

③ A={1, 3, 5, 15} ④ A={3, 6, 9, 12, 15}

⑤ A={5, 10, 15} ③

0056

⑤ {2, 3, 4, y, 9} ⑤

0058

집합 A의 두 원소 a, b에 대하 여 a+b의 값을 구하면 오른쪽 표와 같 으므로

서서-2, -1, 0, 1, 2, 4 ⇢ ➊

∴ X={-2, -1, 0, 1, 2, 4}

⇢ ➋

X={-2, -1, 0, 1, 2, 4}

a b -1

0 2

-1 -2 -1 1

0 -1

0 2

2 1 2 4

채점 기준표

➊a+b의 값을 구할 수 있다. 80%

➋집합 X를 원소나열법으로 나타낼 수 있다. 20%

0057

① 6=2⁄ _3⁄ ② 12=2¤ _3⁄ ③ 18=2⁄ _3¤

④ 45=3¤ _5⁄ ⑤ 54=2⁄ _3‹ ^④

① 유한집합 원소가 유한개인 집합

② 무한집합 원소가 무수히 많은 집합

③ 공집합 원소가 하나도 없는 집합

유한집합과 무한집합 ^본책13^쪽

04

0059

② {1, 3, 5, 7, y}: 무한집합

③ {1}: 유한집합

④ [y, -;3!;, -;2!;, 0, ;2!;, ;3!;, y]: 무한집합

⑤ {a+b|0<a+b<2}: 무한집합 ③

0060

① 원소가 1개 있으므로 공집합이 아니다.

③, ④ {x|-1<x<1}이므로 공집합이 아니다.

⑤ {-1}이므로 공집합이 아니다. ②

0061

4의 양의 배수는 4, 8, 12, 16, y이므로 k의 값이 될 수 있는 수는 1, 2, 3, 4이다.

따라서 k의 최댓값은 4이다. 4

` k=4일 때, A={x|x는 x<4인 4의 양의 배수}=Δ k=5일 때, A={x|x는 x<5인 4의 양의 배수}={4}+Δ

n(A) 유한집합 A의 원소의 개수 n(Δ)=0, n({Δ})=1, n({1, 2})=2

유한집합의 원소의 개수 ^본책13쪽

05

0062

A={1, 3, 5, 7, 9}, B={11, 22, 33, y, 99}이므로 n(A)=5, n(B)=9

∴ n(B)-n(A)=4 ①

0063

B={2, 3, 5, 7} ⇢ ➊ x<A, y<B인 x, y에 대하여 x+y의 값을 구하면 오른쪽 표와 같으므로

C={3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

⇢ ➋

∴ n(C)=8 ⇢ ➌

8 x y

1 2 3

2 3 4 5

3 4 5 6

5 6 7 8

7 8 9 10 집합 어떤 조건에 의하여 대상을 분명하게 정할 수 있는 것들의 모임

집합의 뜻 ^본책12^쪽

01

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0064

① n({1, 2, 3})=n({4, 5, 6})=3

② A={0}이면 n(A)=1이다.

③ n(A)=0이면 A=Δ이다.

④ A={1, 2, 3}, B={1, 2, 4}이면 n(A)=n(B)이지만 A+B

⑤ n({Δ})-n(Δ)=1-0=1 ⑤

채점 기준표

➊집합 B를 원소나열법으로 나타낼 수 있다. 20%

➋집합 C를 원소나열법으로 나타낼 수 있다.

➌n(C)를 구할 수 있다.

60%

20%

0065

A={(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)}이므로

n(A)=4 ⇢ ➊

또 n(B)=k이므로 n(A)+n(B)=11에서

4+k=11므므∴ k=7 ⇢ ➋

7

집합 사이의 포함 관계는 각 집합을 원소나열법으로 나타내어 각 원소 를 비교한다.

집합 A의 모든 원소가 집합 B에 속하면 A,B이다.

집합 사이의 포함 관계 ^본책14쪽

06

0066

X={-1, 0, 1}, Y={0}, Z={0, 1}이므로

Y,Z,X ^|-1|=|1|=1 ④

0067

주어진 벤 다이어그램에서 두 집합 A, B 사이의 포함 관계 는 A,B이다.

① A¯B, B¯A

② B,A

③ A={1, 2, 3, y, 10}, B={1, 2, 3, y, 9}이므로 B,A

④ A={3, 6, 9}, B={1, 3, 5, 15}이므로 A¯B, B¯A

⑤ A,B ⑤

0068

`A={0, 1, 2}, B={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2}, C={-2, -1, 0, 1, 2}이므로

A,C,B ②

0069

^{x-y…0에서 yæx}

x¤ -y+1…0에서 yæx¤ +1 x¤ -2x+y+1æ0에서

yæ-x¤ +2x-1 ∴ yæ-(x-1)¤

채점 기준표

➊n(A)를 구할 수 있다. 50%

➋k의 값을 구할 수 있다. 50%

세 집합 A, B, C가 나타내는 영역은 각 각 직선 y=x의 윗부분(경계선 포함), 포 물선 y=x¤ +1의 윗부분(경계선 포함), 포물선 y=-(x-1)¤ 의 윗부분(경계선 포함)이므로 오른쪽 그림과 같다.

∴ B,A,C ③

A 1 B

C

y=x

y=x@+1

1

x y

O -1

y=-{x-1}@

① 원소와 집합 사이의 관계

(원소)<(집합), (원소)≤(집합)

② 집합과 집합 사이의 포함 관계 (집합),(집합), (집합)¯(집합)

기호 <, ,의 사용 ^본책14쪽

07

0070

ㄱ. b<A 또는 {b},A ㄷ. c<A 또는 {c},A

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ, ㅁ이다. ④

0071

A={1, 2, 3}, B={0, 1, 2, 3, 4}

③ {1, 2, 3},B ③

0072

① a는 집합 A의 원소이므로 {a},A

② {b}는 집합 A의 원소가 아니므로 {b}≤A

③ {b, c}는 집합 A의 원소이므로 {b, c}<A

④ b≤A이므로므로{a, b}¯A

⑤ b≤A, c≤A이므로므로{a, b, c}¯A ③

또는 a<A

집합을 원소로 갖는 집합

집합 A={a, {b, c}}는 집합을 원소로 갖는 집합이다. 집합 A의 원 소는 a와 {b, c}이고, 집합 {{b, c}}는 {b, c}를 원소로 갖는 집합 A 의 부분집합이다. 즉

a<A, {b, c}<A, {{b, c}},A

0073

① 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 Δ,A

②, ④ 1<A, 3<A이므로 {1, 3},A

⑤ {2}≤A ⑤

집합의 포함 관계를 이용하여 미지수를 구할 때에는

① 집합을 원소나열법으로 나타내어 각 원소를 비교한다.

A,B일 때, A의 원소는 모두 B의 원소이다.

② 수직선을 이용하여 나타내고 포함 관계가 성립할 조건을 찾는다.

집합의 포함 관계를 이용하여 미지수 구하기 ^본책15쪽

08

0074

A,B가 성립하도록 두 집 합 A, B를 수직선을 이용하여 나타 내면 오른쪽 그림과 같으므로

a…0, 2a+9>3

a 0 3

AB

2a+9 x

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0082

A,B, B,A, 즉 A=B이므로 x-2=3, x+1=6, x+3=8

∴ x=5 ③

본책

13~16

^쪽

01

집합의뜻과표현 2a+9>3에서 a>-3이므로

-3<a…0

따라서 정수 a는 -2, -1, 0의 3개이다. 3

0075

`A,B,C가 성립하도록 세 집합 A, B, C를 수직선을 이용하여 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로

2…a…5

따라서 정수 a는 2, 3, 4, 5의 4개이다. ④

0076

x¤ +x-6=0에서은은(x+3)(x-2)=0

∴ x=-3 또는 x=2 ⇢ ➊

즉 A={-3, 2}이고 A,B이므로

a>2 ⇢ ➋

따라서 정수 a의 최솟값은 3이다. ⇢ ➌

3 채점 기준표

➊방정식 x¤ +x-6=0의 해를 구할 수 있다. 40%

➋a의 값의 범위를 구할 수 있다.

➌a의 최솟값을 구할 수 있다.

40%

20%

2 a 5

B A x C

0077

X,Y가 성립하려면 3<Y, -a<Y이어야 한다.

⁄3=a¤ +2,즉 a=—1일 때,

⁄a=1이면 X={-1, 3}, Y={-3, 1, 3}이므로 X¯Y

⁄a=-1이면 X={1, 3}, Y={-5, 1, 3}이므로 X,Y

¤3=a-4,즉 a=7일 때,

⁄X={-7, 3}, Y={1, 3, 51}이므로므로X¯Y

‹-a=a¤ +2,즉 a¤ +a+2=0일 때, 실수 a는 존재하지 않는다.

›-a=a-4,즉 a=2일 때,

X={-2, 3}, Y={-2, 1, 6}이므로므로X¯Y fi-a=1,즉 a=-1일 때,

⁄⁄에서 X,Y

이상에서에서a=-1 -1

` ‹에서 얻은 a에 대한 이차방정식 a¤ +a+2=0의 판별식을 D라 하면

D=1¤ -4¥1¥2=-7<0

이므로 이차방정식 a¤ +a+2=0을 만족시키는 실수 a는 존재하지 않는다.

집합 A={1, 2, 3}의 부분집합을 모두 구하면 원소의 개수가 0: Δ

원소의 개수가 1: {1}, {2}, {3}

원소의 개수가 2: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}

원소의 개수가 3: {1, 2, 3}

부분집합 구하기 ^본책15쪽

09

0078

^{주어진 집합은}

{x|x=3n-2, n=2, 3, 5}={4, 7, 13}

이므로 구하는 부분집합은

Δ, {4}, {7}, {13}, {4, 7}, {4, 13}, {7, 13}, {4, 7, 13}

풀이 참조

0079

① 공집합은 모든 집합의 부분집합이다.

② {1, 2, 3},A

③ {1}, {2}, {3}의 3개

④ {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}의 3개

⑤ {1, 2, 3}의 1개 ①

0080

A={3, 6, 9, 12}에 대하여 B,A이고 n(B)=3을 만족 시키는 집합 B는 A의 부분집합 중에서 원소가 3개인 집합이므로

{3, 6, 9}, {3, 6, 12}, {3, 9, 12}, {6, 9, 12}

의 4개이다. 4

A,B, B,A A=B 두 집합 A, B의 원소가 서로 같다.

서로 같은 집합에서 미지수 구하기 ^본책16쪽

10

0081

^{`A=B이므로 a¤ -2a=3}

a¤ -2a-3=0, (a+1)(a-3)=0

∴ a=-1 또는 a=3

⁄a=-1일 때,

⁄A={-2, 3, 4}, B={-2, 3, 4}이므로

⁄ A=B

¤a=3일 때,

⁄A={3, 6, 8}, B={-2, 3, 4}이므로

⁄ A+B

⁄, ¤에서 a=-1 -1

0083

^{`A=B이므로}

a+2b=-5, 2a-3b=4 ⇢ ➊

위의 두 식을 연립하여 풀면

a=-1, b=-2 ⇢ ➋

∴ a+b=-3 ⇢ ➌

-3 채점 기준표

➊a, b에 대한 연립방정식을 세울 수 있다. 40%

➋a, b의 값을 구할 수 있다.

➌a+b의 값을 구할 수 있다.

40%

20%

0084

A={1, 2, 5, 10}, B={1, 10, a-2, b+2}에 대하여 A=B이므로

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a-2=2, b+2=5또는 a-2=5, b+2=2

∴ a=4, b=3 또는 a=7, b=0 그런데 a, b는 자연수이므로 a=4, b=3

∴ ab=12 ③

집합 A={a¡, a™, a£, y, a«}에 대하여

① A의 부분집합의 개수 2«

② A의 특정한 원소 k개를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수 2« —˚ (단, k…n)

③ A의 특정한 원소 l개를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수 2« —¬ (단, l…n)

④ A의 원소 중 k개는 반드시 원소로 갖고, l개는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수 2« —˚ —¬ (단, k+l…n)

특정한 원소를 갖는`(갖지 않는) 부분집합의 개수 ^본책16^쪽

11

0085

A={1, 2, 3, 6, 9, 18}

X는 A의 진부분집합이고, 1, 2를 반드시 원소로 가지므로 집합 X 의 개수는

2fl —¤ -1=2› -1=15 15

0086

2, 3은 반드시 원소로 갖고 7은 원소로 갖지 않는 부분집합 X의 개수는

2‡ —¤ —⁄ =2› =16 ④

0087

n(A)=k이므로 1, 2는 반드시 원소로 갖고 3, 4, 5는 원 소로 갖지 않는 부분집합 X의 개수는

2˚ —¤ —‹ =32=2fi

k-5=5 ∴ k=10 ③

집합 {3, 6, 9, 18}의 진부분집합의 개수와 같다.

A,X,B를 만족시키는 집합 X의 개수

B의 부분집합 중 A의 원소를 반드시 원소로 갖는 집합의 개수 A,X,B를 만족시키는 집합 X의 개수 ^본책17쪽

12

0088

x¤ -7x+10=0에서서서(x-2)(x-5)=0

∴ x=2 또는 x=5

A={2, 5}, B={1, 2, 4, 5, 10, 20}이므로 집합 X의 개수는 {1, 2, 4, 5, 10, 20}의 부분집합 중 2, 5를 반드시 원소로 갖는 부 분집합의 개수와 같다.

∴ 2fl —¤ =2› =16 16

0089

집합 X의 개수는 B의 부분집합 중 a, b, f는 반드시 원소 로 갖고 d는 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수와 같으므로

2^6-3-1=2¤ =4 ②

0090

A={1, 2, 3, 6}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12} ⇢ ➊ 따라서 집합 X의 개수는 {1, 2, 3, 4, 6, 12}의 부분집합 중 1, 2, 3, 6을 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수와 같으므로 ⇢ ➋

2fl —› =2¤ =4 ⇢ ➌

4

12의 양의 약수의 집합

채점 기준표

➊두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타낼 수 있다. 20%

➋조건을 만족시키는 집합 X의 개수와 같은 경우를 구할 수 있다.

➌집합 X의 개수를 구할 수 있다.

40%

40%

0091

집합 X의 개수는 A의 부분집합 중 1, 2, 4를 반드시 원소 로 갖는 부분집합의 개수와 같으므로

2^n-3=16=2›``,의의n-3=4의의∴ n=7 7

① {1, 2, 3}의 부분집합 중 1 또는 2를 원소로 갖는 집합의 개수는 {1, 2, 3}의 부분집합 중 {3}의 부분집합을 제외한 집합의 개수와 같다.

2‹ -2=8-2=6

② {1, 2, 3, 4}의 부분집합 중 적어도 한 개의 홀수를 원소로 갖는 부 분집합의 개수는 {1, 2, 3, 4}의 부분집합 중 짝수만 원소로 갖는 집합 {2, 4}의 부분집합을 제외한 집합의 개수와 같다.

2› -2¤ =16-4=12

여러 가지 부분집합의 개수 ^본책17쪽

13

0093

A={5, 10, 15, 20, 25}

A의 부분집합 중 적어도 한 개의 홀수를 원소로 갖는 부분집합은 A의 부분집합 중 {10, 20}의 부분집합을 제외하면 된다.

따라서 구하는 부분집합의 개수는

2fi -2¤ =32-4=28 28

0092

A={3, 6, 9, 12, 15, 18}의 부분집합 중 {9, 12, 15, 18}

의 부분집합을 제외하면 되므로 구하는 부분집합의 개수는

2fl -2› =64-16=48 ①

0094

^` 집합 S를 원소나열법으로 나타내고, 주어진 조건을 이 용하여 나머지 원소를 찾는다.

집합 S의 원소가 3개이므로 S={0, 5, a} (a+0, a+5)라 하자. 조건 ㈏에 의하여 (5+a)<S이므로

5+a=0또는 5+a=5 ∴ a=-5 또는 a=0 그런데 a+0이므로 a=-5

따라서 S={-5, 0, 5}이므로 0과 5를 제외한 집합 S의 나머지 원

소는 -5이다. -5

0095

주어진 조건을 이용하여 집합 S의 원소를 구해 본다.

x와 8-x가 모두 자연수이므로 xæ1, 8-xæ1 ∴ 1…x…7

따라서 집합 S의 원소가 될 수 있는 것은 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이다.

① 6<S이면 8-6=2<S

② 원소의 개수가 1인 집합 S는 S={4}

③ 원소의 개수가 2인 집합 S는

⑤ 포포{1, 7}, {2, 6}, {3, 5}

⑤의 3개이다.

④ 원소의 개수가 5인 집합 S는

⑤ 포포{1, 2, 4, 6, 7}, {1, 3, 4, 5, 7}, {2, 3, 4, 5, 6}

⑤의 3개이다.

1<S이면 7<S, 2<S이면 6<S, 3<S이면 5<S 이므로

1과 7, 2와 6, 3과 5

는 어느 하나가 S의 원소이면 나머지 하나도 반드시 S 의 원소이다.

4<S이면면8-4=4<S

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본책

16~19

^쪽

01

집합의뜻과표현

⑤ 1을 원소로 갖는 집합 S는

⑤ 포포{1, 7}, {1, 4, 7}, {1, 2, 6, 7}, {1, 3, 5, 7},

⑤ 포포{1, 2, 4, 6, 7}, {1, 3, 4, 5, 7}, {1, 2, 3, 5, 6, 7},

⑤ 포포{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

⑤의 8개이다. ⑤

0096

최대공약수의 성질을 이용하여 집합 Ak(n)을 구한다.

ㄱ. A¢(20)={x|G(20, x)=4}

ㄴ.이때 G(20, 8)=4이므로로로8<A¢(20)

ㄴ. A£(6)={x|G(6, x)=3}의 원소는 3을 인수로 갖고 2를 인수 로 갖지 않는 100 이하의 자연수이다.

또 A£(12)={x|G(12, x)=3}의 원소는 3을 인수로 갖고 2를 인수로 갖지 않는 100 이하의 자연수이다.

이이∴ A£(6)=A£(12)

ㄷ. A¡(7)={x|G(7, x)=1}은 100 이하의 자연수 중 7과 서로소 인 자연수의 집합이다.

이때 7과 서로소가 아닌 자연수는 7의 배수뿐이고 100 이하의 자연수 중에서 7의 배수는 14개이므로

이이n(A¡(7))=100-14=86

이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 옳다. ⑤

0098

^` 주어진 조건을 이용하여 집합 A의 원소가 어떤 꼴인지 알아본다.

⁄2<A에서 조건 ㈏에 의하여 2¥2<U이므로

¤ 4<A

또 조건 ㈏에 의하여 2¥4<U이므로 8<A

이와 같이 계속하면 2« (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)은 집합 A의 원 소이다.

∴ {2, 4, 8, 16, 32, 64},A

2« …100

0097

^` a, b를 각각 4로 나누었을 때의 나머지가 서로 같으려 면 a-b가 4의 배수가 되어야 한다.

⁄집합 A의 경우

2x™1이므로 2x-1은 4의 배수가 되어야 한다.

그런데 자연수 x에 대하여 2x-1은 홀수이므로 2x-1이 4의 배수가 되도록 하는 자연수 x는 존재하지 않는다.

∴ A=Δ

¤집합 B의 경우 x‹ +2x¤ ™x¤ -x이므로

x‹ +2x¤ -x¤ +x=x‹ +x¤ +x

=x(x¤ +x+1)

=x {x(x+1)+1}

‹이 4의 배수가 되어야 한다.

‹이때 x(x+1)은 짝수이므로 x(x+1)+1은 홀수이다.

‹따라서 x{x(x+1)+1}이 4의 배수이려면 x가 4의 배수이어야 한다.

‹ ∴ B={4, 8, 12, y, 96, 100}

⁄, ¤에서 n(A)=0, n(B)=25이므로

n(A)+n(B)=25 ①

2x-1=4k (k는 자연수)로 놓으면 x=2k+;2!;이므로 x는 자연수가 아니다.

이웃한 두 자연수의 곱은 항상 짝수이다.

¤5<A에서 조건 ㈏에 의하여 2¥5<U이므로 10<A 또 조건 ㈏에 의하여 2¥10<U이므로 20<A

이와 같이 계속하면 2« ¥5 (n=0, 1, 2, 3, 4)는 집합 A의 원소 이다.

¤∴ {5, 10, 20, 40, 80},A

⁄, ¤에서

{2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80},A 이므로 원소의 개수가 최소인 집합 A는

{2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 64, 80}

따라서 집합 A의 원소의 개수의 최솟값은 11이다. ③

2« ¥5…100

0099

^` 각 집합이 나타내는 영역을 좌표평면 위에 나타내어 세 집합의 포함 관계를 생각한다.

` 집합 A가 나타내는 영역은 원 x¤ +y¤ =2의 내부(경계선 포함)이고, 집 합 B가 나타내는 영역은 도형

|x|+|y|=2의 내부(경계선 포함)이 고, 집합 C가 나타내는 영역은 포물선 y=;2!;x¤ -2의 윗부분(경계선 포함)이므 로 오른쪽 그림과 같다.

∴ A,B,C ①

|x|+|y|…2에서

⁄xæ0, yæ0일 때, x+y…2 ∴ y…-x+2

¤xæ0, y<0일 때, x-y…2 ∴ yæx-2

‹x<0, yæ0일 때, -x+y…2 ∴ y…x+2

›x<0, y<0일 때, -x-y…2 ∴ yæ-x-2 이상에서 집합 B가 나타내는 영역은 위의 그림과 같다.

0100

^` 먼저 집합 P(A)의 원소의 개수를 구한다.

` P(A)는 집합 A의 부분집합을 원소로 갖는 집합이므로 n(P(A))=2‹ =8

따라서 P(A)의 부분집합의 개수는

2° =256 256

0101

^` 먼저 원소의 개수가 2이면서 1을 원소로 갖는 부분집합 을 구한다.

` 집합 A의 부분집합 중 원소의 개수가 2이면서 1을 원소로 갖 는 부분집합은

{1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}

의 4개이다. 즉 B¡, B™, y, B¡º 중에서 1을 원소로 갖는 집합은 위의 4개이다. 마찬가지로 2, 3, 4, 5를 원소로 갖는 집합도 각각 4 개씩 있다.

∴ S¡+S™+y+S¡º=4(1+2+3+4+5)

=4¥15=60 ②

0102

짝수인 원소가 1개, 2개, 3개인 경우로 나누어 생각한 다.

⁄짝수인 원소가 1개일 때,

⁄2는 반드시 원소로 갖고 4, 6은 원소로 갖지 않는 부분집합의 개 수는

⁄는는2^7-1-2=2› =16

x y

A O

B C

2 -2

-2 2 Â2

Â2

-Â2 -Â2

y= x@-21 2

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⁄마찬가지로 4는 반드시 원소로 갖고 2, 6은 원소로 갖지 않는 부 분집합과 6은 반드시 원소로 갖고 2, 4는 원소로 갖지 않는 부분 집합의 개수도 각각 16이므로

⁄는는a¡=16¥3=48

¤짝수인 원소가 2개일 때,

⁄2, 4는 반드시 원소로 갖고 6은 원소로 갖지 않는 부분집합의 개 수는

⁄는는2^7-2-1=2› =16

⁄마찬가지로 2, 6은 반드시 원소로 갖고 4는 원소로 갖지 않는 부 분집합과 4, 6은 반드시 원소로 갖고 2는 원소로 갖지 않는 부분 집합의 개수도 각각 16이므로

⁄는는a™=16¥3=48

‹짝수인 원소가 3개일 때,

⁄2, 4, 6을 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는

⁄는는a£=2^7-3=2› =16

이상에서서서a¡+a™+a£=112 112

0103

가장 작은 원소가 1, 2, 3, 4, 5인 경우로 각각 나누어 구한다.

집합 S의 부분집합 중에서

⁄1이 가장 작은 원소인 경우

1을 반드시 원소로 갖는 집합에서 {1}을 제외하면 되므로 그 개 수는

반반2^5-1-1=2› -1=15

¤2가 가장 작은 원소인 경우

1을 원소로 갖지 않고 2를 반드시 원소로 갖는 집합에서 {2}를 제외하면 되므로 그 개수는

반반2^5-2-1=2‹ -1=7

‹3이 가장 작은 원소인 경우

1, 2를 원소로 갖지 않고 3을 반드시 원소로 갖는 집합에서 {3}을 제외하면 되므로 그 개수는

반반2^5-3-1=2¤ -1=3

›4가 가장 작은 원소인 경우

1, 2, 3을 원소로 갖지 않고 4를 반드시 원소로 갖는 집합에서 {4}를 제외하면 되므로 그 개수는

반반2^5-4-1=2-1=1 fi5가 가장 작은 원소인 경우

1, 2, 3, 4를 원소로 갖지 않고 5를 반드시 원소로 갖는 집합은 {5}뿐이므로 원소가 2개 이상인 부분집합은 없다.

이상에서 구하는 값은

1¥15+2¥7+3¥3+4¥1=42 ①

0104

a, 4가 B의 원소이면 , 2가 A의 원소임을 이용한다.

a<A, 4<A이므로므므2a<B, 8<B

a<B, 4<B이므로므므 <A, 2<A ⇢ ➊

⁄a=2일 때,

1<A, 2<A, 4<A이고 n(A)=4이므로 A={1, 2, 4, b}라 하면

으으1+2+4+b=27으으∴ b=20`

a 2

a 2

따라서 B={2, 4, 8, 40}이므로 집합 B의 원소 중 가장 큰 수 는 40이다.

¤a=8일 때,

2<A, 4<A, 8<A이고 n(A)=4이므로 A={2, 4, 8, c}라 하면

으으2+4+8+c=27으으∴ c=13

따라서 B={4, 8, 16, 26}이므로 집합 B의 원소 중 가장 큰 수 는 26이다.

‹a+2, a+8일 때,

‹A=[2, 4, , a]이므로

‹일일2+4+ +a=27일일∴ a=14

‹따라서 B={4, 8, 14, 28}이므로 집합 B의 원소 중 가장 큰 수

는 28이다. ⇢ ➋

이상에서일일p+q+r=40+26+28=94 ⇢ ➌

94 a

2 a 2

채점 기준표

➊집합 B의 조건을 이용하여 집합 A, B의 원소를 구할 수 있다. 20%

➋a의 값을 기준으로 경우를 나누어 집합 B의 원소 중 가장 큰 수를 구할 수 있다.

➌p+q+r의 값을 구할 수 있다.

60%

20%

0105

집합 B는 3을 반드시 원소로 갖는 A의 부분집합이다.

조건 ㈏에 의하여 3<B이고, 조건 ㈐에 의하여:¡3™:=4<B 이므로 집합 B는 반드시 3, 4를 원소로 갖는다.

또 조건 ㈐에 의하여 1과 12, 2와 6은 어느 하나가 집합 B의 원소

이면 나머지 하나도 반드시 B의 원소이다. ⇢ ➊

⁄n(B)=2인 경우: {3, 4}

¤n(B)=4인 경우: {1, 3, 4, 12}, {2, 3, 4, 6}

‹n(B)=6인 경우: {1, 2, 3, 4, 6, 12} ⇢ ➋

이상에서 집합 B의 개수는 4이다. ⇢ ➌

4 채점 기준표

➊조건 ㈏, ㈐를 이용하여 집합 B의 원소를 구할 수 있다. 20%

➋집합 B의 원소의 개수가 2, 4, 6일 때, 집합 B를 각각 구할 수 있다.

➌집합 B의 개수를 구할 수 있다.

60%

20%

0106

집합 A는 2를 반드시 원소로 갖고, 1은 원소로 갖지 않는다.

n(A)=3이고 집합 A의 원소 중 가장 작은 수가 2이므로 A 의 나머지 원소는 3, 4, 5, 6 중 2개이다. ⇢ ➊ 이들 4개 중 서로 다른 2개를 선택하는 방법은

(3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6), (5, 6)

의 6가지이므로 집합 A의 개수는 6이다. ⇢ ➋

6

원소가 1개인 집합

채점 기준표

➊집합 A의 원소가 될 수 있는 것을 구할 수 있다. 40%

➋집합 A의 개수를 구할 수 있다. 60%

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02

집합의연산 본책

19~23

^쪽

집합과 명제

Ⅰ

집합의 연산

02

0117

A={x|-1…x…1}, B={-2, 2}이므로 A;B=Δ

따라서 A와 B는 서로소이다. 서로소이다.

0107

{a, b, c, d, e}

0108

^{{x|x는 자연수}}

0109

{ p, q, r, s}

0110

^{{x, y, z}}

0111

^Δ

0112

A={2, 3, 4, 5}, B={1, 2, 3, 6}이므로

A;B={2, 3} {2, 3}

0113

^{{1, 2}}

0114

{1, 2, 3, 4, 8, 12}

0121

^{{b, c}}

0122

^{{3, 5, 8}}

0115

^{서로소이다.}

0116

A={1, 3, 9}, B={3, 6, 9}이므로 A;B={3, 9}

따라서 A와 B는 서로소가 아니다. 서로소가 아니다.

0118

{3, 5, 7, 8}

0119

{1, 2, 6, 7, 8}

0120

U={1, 2, 3, y, 8}, C={2, 4, 6, 8}이므로

C Ç ={1, 3, 5, 7} {1, 3, 5, 7}

0123

A={1, 2, 4}, B={1, 2, 3, 4, 6, 12}이므로

A-B=Δ Δ

0124

{3, 5, 6, 7, 8, 9}

0125

{1, 3, 4, 8, 9}

0126

^{{1, 4}}

0127

^{{5, 6, 7}}

0128

^{{3, 8, 9}}

0129

{1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

0130

^Δ

0131

^A

0132

^Δ

0133

^U

0134

^A

0135

^U

0147

n(AÇ 'BÇ )=n((A;B)Ç )=n(U)-n(A;B)

=50-10=40 40

0148

^n(X'Y'Z)

=n(X)+n(Y)+n(Z)-n(X;Y)-n(Y;Z)

=-n(Z;X)+n(X;Y;Z)

=20+5+13-3-2-10+2

=25 25

0136

^{A,B일 때}

③ A;BÇ =A-B=Δ이므로 (A;BÇ ),B

④ B;AÇ =B-A¯A ④

0137

(A'B);(A'C)

=A'(B;C)

={1, 2}'{5}

={1, 2, 5} {1, 2, 5}

` (A'B);(A'C)={1, 2, 4, 5};{1, 2, 3, 5}

={1, 2, 5}

0138

㈎ 드모르간 법칙 ㈏ 결합법칙

0139

AÇ ;BÇ =(A'B)Ç 이고 A'B={1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}

이므로

AÇ ;BÇ ={4, 8, 10} {4, 8, 10}

0140

n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)

=5+4-7=2 2

0141

n(AÇ )=n(U)-n(A)

=50-32=18 18

0142

n(B-A)=n(B)-n(A;B)

=18-6=12 12

0143

n(A;BÇ )=n(A-B)=n(A)-n(A;B)

=32-6=26 26

0144

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)

=32+18-6=44 44

0145

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)

=35+23-10=48 48

0146

n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)

=50-48=2 2

분배법칙

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0149

A={1, 3, 5, 7, 9}, B={1, 2, 5, 10}, C={1, 2, 4}이므로 (A'B);C={1, 2, 3, 5, 7, 9, 10};{1, 2, 4}

={1, 2} ①

0150

C={1, 2, 4, 8}

③ A'C={1, 2, 3, 4, 5, 8} ③

0151

집합 B는 b, d를 반드시 원소로 갖고, a, c를 원소로 갖지

않아야 하므로 B가 될 수 있는 것은④이다. ④

0152

`ㄱ. {2, 4, 6, y} ㄴ. {1, 3, 5, y}

ㄷ. {3, 6, 9, y} ㄹ. Δ

ㅁ. {1, 2, 3, 4, 6, 12} ㅂ. {1, 3, 5, 15}

이상에서 집합 {2, 4, 6}과 서로소인 집합은 ㄴ, ㄹ, ㅂ의 3개이다.

③ ㄹ. x¤ +2x=0에서서서x(x+2)=0

ㄹ. 따라∴ x=0 또는 x=-2

ㄹ.따라서 x¤ +2x=0을 만족시키는 자연수 x는 존재하지 않으므 로 주어진 집합은 공집합이다.

0153

`구하는 집합은 집합 A의 부분집합 중 a, b를 원소로 갖지 않는 집합이므로 {c, d, e}의 부분집합과 같다.

따라서 구하는 집합의 개수는

2‹ =8 8

각 집합을 원소나열법으로 나타낸 후 주어진 집합의 합집합과 교집합 을 구한다.

① A'B={x|x<A 또는 x<B}

두 집합 A, B 중 적어도 어느 한 쪽에 속하는 원소를 모두 택한 다.

② A;B={x|x<A 그리고 x<B}

두 집합 A, B에 공통으로 속하는 원소를 택한다.

합집합과 교집합 ^본책24^쪽

01

0159

주어진 조건을 벤 다이어그램으로 나 타내면 오른쪽 그림과 같으므로

B={2, 3, 4}

{2, 3, 4}

A 1 5

3 2 4 B 두 집합 A, B가 서로소 A;B=Δ 공통인 원소가 하나도 없다.

서로소인 집합 ^본책24쪽

02

0154

`두 집합 A, B가 서로소이려면 오른쪽 그림과 같아야 하므로 ⇢ ➊

a<5 ⇢ ➋

따라서 정수 a의 최댓값은 4이다. ⇢ ➌

4

1 a 5 x

B A

각 집합을 원소나열법으로 나타낸 후 주어진 집합의 연산을 한다. 이 때 원소나열법으로 나타내기 어려운 경우 수직선을 이용한다.

① AÇ ={x|x<U 그리고 x≤A}

전체집합 U에서 집합 A의 원소를 제외한다.

② A-B={x|x<A 그리고 x≤B}

집합 A에서 집합 B의 원소를 제외한다.

여집합과 차집합 ^본책24^쪽

03

0155

A={1, 2, 3, 6}, B={2, 4, 6}이므로 BÇ ={1, 3, 5}

∴ A-BÇ ={1, 2, 3, 6}-{1, 3, 5}={2, 6}

따라서 집합 A-BÇ 의 모든 원소의 합은은은2+6=8 8 A-BÇ =A;(BÇ )Ç =A;B={2, 6}

0156

수직선에 집합 A, B를 나타내면 다음 그림과 같다.

① AÇ ={x|-5…x<-2 또는 3…x…5}

③ A-B={-2} ④ AÇ -BÇ ={3}

⑤ A;B={x|-2<x<3}이므로

⑷(A;B)Ç ={x|-5…x…-2 또는 3…x…5} ②

-5 -2 3 5 x

B U

-5 -2 3 5 x

A U

0158

주어진 조건을 벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로

B={3, 6, 8, 9}

⑤

0157

A={1, 3, 5, 7, 9}, B={1, 4, 7, 10}이므로 ⇢ ➊ A'B={1, 3, 4, 5, 7, 9, 10}, A;B={1, 7} ⇢ ➋

∴ (A'B)-(A;B)={3, 4, 5, 9, 10} ⇢ ➌ {3, 4, 5, 9, 10}

① 주어진 조건을 벤 다이어그램으로 나타내어 구하는 집합을 찾는다.

② 주어진 벤 다이어그램을 이용하여 복잡한 집합의 연산을 한다.

벤 다이어그램을 이용한 집합의 연산 ^본책25쪽

04

채점 기준표

➊두 집합 A, B를 원소나열법으로 나타낼 수 있다. 40%

➋두 집합 A'B, A;B를 원소나열법으로 나타낼 수 있다.

➌집합 (A'B)-(A;B)를 원소나열법으로 나타낼 수 있다.

30%

30%

채점 기준표

➊두 집합 A, B가 서로소가 되도록 수직선 위에 나타낼 수 있다. 50%

➋a의 값의 범위를 구할 수 있다.

➌정수 a의 최댓값을 구할 수 있다.

30%

20%

A 1 5

7 6 8 3 9 4

2 B

U

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02

집합의연산 본책

24~26

^쪽

0160

주어진 조건을 벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

③ BÇ ={a, b}

③

0161

A'B={a, b, c, d, e}, (A-B)Ç ={c, d, e, f, g}

∴ (A'B);(A-B)Ç ={c, d, e} {c, d, e}

(A'B);(A-B)Ç =(A'B)-(A-B)

={a, b, c, d, e}-{a, b}

={c, d, e}

다른풀이

0163

^{① ②}

③ ⑤ U

Z Y

X U

Z Y

X

U

Z Y U X

Z Y

X

④

0164

^{① ③}

④ ⑤

B A U B

A U

B UA B

UA

⁄주어진 집합의 연산을 이용하여 미지수의 값을 구한다.

¤미지수의 값을 대입하여 각 집합의 원소를 구한다.

‹구한 집합이 주어진 조건을 만족시키는지 확인한다.

집합의 연산을 이용하여 원소 구하기 ^본책26쪽

06

0162

집합 (A-B)'(B-A)는 오른 쪽 벤 다이어그램의 색칠한 부분과 같고 A={1, 2, 3, 4, 5}이므로

B={3, 4, 5, 6, 7}

따라서 집합 B의 모든 원소의 합은

3+4+5+6+7=25 25

U A 1 3

4 2 5

6 7 B

각 집합을 벤 다이어그램으로 나타낸 후 주어진 벤 다이어그램과 비교 한다.

벤 다이어그램의 색칠한 부분 ^본책25쪽

05

②

0165

A;B={-1, 2}이므로이므2<A 따라서 a¤ +a-4=2이므로이므a¤ +a-6=0

(a+3)(a-2)=0이므∴ a=-3 또는 a=2

⁄a=-3일 때,

⁄A={-1, 0, 2}, B={2, 6, 9}이므로

⁄A;B={2}

⁄에서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

¤a=2일 때,

⁄A={-1, 0, 2}, B={-1, 1, 2}이므로

⁄A;B={-1, 2}

⁄, ¤에서 a=2 ④

0166

A-B={5}이므로 1, 4, 3a-b는 집합 B의 원소이다.

이때 B={1, 7, a-2b}이므로

3a-b=7, a-2b=4 ⇢ ➊

위의 두 식을 연립하여 풀면

a=2, b=-1 ⇢ ➋

∴ a+b=1 ⇢ ➌

1

0167

A'B={0, 1, 2, 3}이고 B={2, 3, a-1}이므로 a-1=0또는 a-1=1

∴ a=1 또는 a=2

⁄a=1일 때,

⁄A={-1, 1, 3}, B={0, 2, 3}이므로

⁄ A'B={-1, 0, 1, 2, 3}

⁄에서 주어진 조건을 만족시키지 않는다.

¤a=2일 때,

⁄A={0, 2, 3}, B={1, 2, 3}이므로

⁄ A'B={0, 1, 2, 3}

⁄, ¤에서 A={0, 2, 3}

따라서 집합 A의 모든 원소의 합은

0+2+3=5 5

① A'A=A, A;A=A ② A'Δ=A, A;Δ=Δ

③ A'U=U, A;U=A ④ A'AÇ =U, A;AÇ =Δ

⑤ UÇ =Δ, ΔÇ =U ⑥ (AÇ )Ç =A

⑦ A-B=A;BÇ

집합의 연산의 성질 ^본책26^쪽

07

0168

^{① U-AÇ =A ③ (A'B),U}

④ UÇ =Δ이므로 UÇ ,A

⑤ A,B이면 A;BÇ =A-B=Δ ②

채점 기준표

➊a, b에 대한 연립방정식을 세울 수 있다. 50%

➋a, b의 값을 구할 수 있다.

➌a+b의 값을 구할 수 있다.

40%

10%

U

A B

a

b c e d

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0169

① A-BÇ =A;(BÇ )Ç =A;B

② A;(U-BÇ )=A;B

③ B-AÇ =B;(AÇ )Ç =A;B

④ A;(B'BÇ )=A;U=A

⑤ (A;B)'(A;AÇ )=(A;B)'Δ=A;B ④

주어진 조건을 만족시키는 집합 X의 개수는 다음과 같은 순서로 구한 다.

⁄집합 X에 반드시 속하는 원소 또는 속하면 안 되는 원소를 찾는다.

¤ ⁄을 만족시키는 집합 X의 개수를 구한다.

집합의 연산과 부분집합의 개수 ^본책27쪽

09

0175

(B-A)'X=X에서

(B-A),X yy㉠

A'X=X에서에서A,X yy㉡

㉠, ㉡에서 (A'B),X이고 A'B={-2, -1, 0, 1}이므로 집 합 X는 -2, -1, 0, 1을 반드시 원소로 가져야 한다.

따라서 집합 X의 개수는 2fl —› =2¤ =4 4

0170

① (AÇ )Ç =A ② A'Δ=A

④ AÇ ;B=B-A ⑤ A,B이면 BÇ ,AÇ

③

집합의 연산과 포함 관계 ^본책26쪽

08

0171

^{A;B=A이므로므로A,B}

③ A,B이면 BÇ ,AÇ 이므로

③ 므로AÇ ;BÇ =BÇ

⑤ B;AÇ =B-A에서 A,B이지만 A+B이면 B-A+Δ이다.

⑤

0172

^{AÇ ,BÇ 이면면면B,A}

① A'B=A

② A;(A'B)=A;A=A

③ (A;B)'B=B'B=B

④ A'(B-A)=A'Δ=A

⑤ (A'B)'(A;B)=A'B=A ③

0173

^A-B=A이면

A;B=Δ

이를 벤 다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로

B-A=B, B,AÇ

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다. ⑤

U

A B

0174

(A;BÇ )'(B;AÇ )=(A-B)'(B-A)=Δ이므로 A-B=Δ, B-A=Δ

따라서 A,B, B,A이므로 A=B ①

0176

A'B=U이므로 집합 B는 AÇ 의 원소 -3, -1, 1, 3을 반드시 원소로 가져야 한다.

따라서 집합 B의 개수는 2‡ —› =2‹ =8 ①

0177

A-X=A이므로포함A;X=Δ ⇢ ➊

즉 집합 X는 a와 d를 원소로 갖지 않는 집합 U의 부분집합이다.

⇢ ➋ 따라서 집합 X의 개수는 2fl —¤ =2› =16 ⇢ ➌ 16

0178

U={1, 2, 3, 4, 6, 12}이고 U의 부분집합 X가 {1, 2}'X={2, 4, 6}'X를 만족시키려면 X는 두 집합 {1, 2}, {2, 4, 6}에서 공통인 원소 2를 제외한 나머지 원소 1, 4, 6을 반드 시 원소로 가져야 한다.

따라서 집합 X의 개수는는는2fl —‹ =2‹ =8 ④

` 2<A, 2<B이므로 2<(A'X), 2<(B'X)

즉 집합 X가 2를 원소로 갖지 않아도 A'X=B'X가 성립하므 로 집합 X는 1, 4, 6을 반드시 원소로 갖는다는 조건만 만족시키 면 된다.

채점 기준표

➊A;X=Δ임을 알 수 있다. 40%

➋ ➊을 만족시키기 위한 조건을 구할 수 있다.

➌집합 X의 개수를 구할 수 있다.

30%

30%

0179

^{A'X=X에서 A,X yy㉠}

B-A={1, 3, 6}이고 (B-A);X={1, 6}이므로

1<X, 3≤X, 6<X yy㉡

㉠, ㉡에서 집합 X는 1, 2, 4, 6은 반드시 원소로 갖고 3은 원소로 갖지 않아야 한다.

따라서 집합 X의 개수는 2^7-4-1=2¤ =4 4

⑴ A,B이면

① A'B=B, A;B=A ② A-B=Δ, A;BÇ =Δ

③ AÇ 'B=U ④ BÇ ,AÇ

⑵ A;B=Δ이면

① A-B=A, B-A=B ② A,BÇ , B,AÇ

① 교환법칙: A'B=B'A, A;B=B;A

② 결합법칙: (A'B)'C=A'(B'C)=A'B'C, (A;B);C=A;(B;C)=A;B;C

③ 분배법칙: A'(B;C)=(A'B);(A'C), A;(B'C)=(A;B)'(A;C)

④ 드모르간 법칙: (A'B)Ç =AÇ ;BÇ , (A;B)Ç =AÇ 'BÇ

집합의 연산법칙 ^본책28쪽

10

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02

집합의연산 본책

26~29

^쪽

0180

(A'B)'(AÇ 'BÇ )Ç =(A'B)'(A;B)

=A'B

={1, 3, 4, 5, 6, 7}

따라서 구하는 원소의 개수는 6이다. 6

0181

AÇ ;BÇ =(A'B)Ç ={3, 5}

이므로 주어진 조건을 벤 다이어그램으로 나 타내면 오른쪽 그림과 같다.

∴ B={2, 4, 6, 7}

{2, 4, 6, 7}

A 6

3

5 7 1 8

2 4

B U (A;B),(A'B)

0183

(B-A)Ç ;{A;(A;B)Ç }

=(B-A)Ç ;{A;(AÇ 'BÇ )}

=(B;AÇ )Ç ;{(A;AÇ )'(A;BÇ )}

=(BÇ 'A);{ Δ'(A;BÇ )}

=(A'BÇ );(A;BÇ )

={(A'BÇ );A};BÇ

=A;BÇ

=A-B

∴ A-B={1} yy㉠ ⇢ ➊

또 AÇ 'BÇ =(A;B)Ç 이므로 (A;B)Ç ={1, 2, 3, 5}

∴ A;B={4} yy㉡ ⇢ ➋

㉠, ㉡에서 A={1, 4} ⇢ ➌

따라서 집합 A의 모든 원소의 합은

1+4=5 ⇢ ➍

5

결합법칙

A,(A'BÇ )이므로로(A'BÇ );A=A

0182

(A-B)'(A-C)=(A;BÇ )'(A;CÇ )

=A;(BÇ 'CÇ )

=A;(B;C)Ç

=A-(B;C)={1, 4, 5, 8}

은 오른쪽 벤 다이어그램의 색칠한 부분과 같고 A={1, 2, 4, 5, 8, 9}이므로

2<(B;C), 9<(B;C) 임을 알 수 있다.

② U

C 29

B A

집합의 연산의 성질과 연산법칙을 이용하여 주어진 식을 간단히 한다.

복잡한 집합의 연산 간단히 하기 ^본책28쪽

11

채점 기준표

➊(B-A)Ç ;{A;(A;B)Ç }를 간단히 할 수 있다. 50%

➋드모르간 법칙을 이용하여 집합 A;B를 구할 수 있다.

➌집합 A를 구할 수 있다.

➍집합 A의 모든 원소의 합을 구할 수 있다.

20%

20%

10%

0184

^{(X;Y),Y이므로 (X;Y)'Y=Y}

① (X-Y)'Y=(X;YÇ )'Y

=(X'Y);(YÇ 'Y)

=(X'Y);U=X'Y

② (Y-X)Ç ;Y=(Y;XÇ )Ç ;Y

=(Y Ç 'X);Y

=(Y Ç ;Y)'(X;Y)

=Δ'(X;Y)=X;Y

③ X-(X;Y)=X;(X;Y)Ç

=X;(XÇ 'YÇ )

=(X;XÇ )'(X;YÇ )

=Δ'(X;YÇ )=X-Y

④ X;(Y-X)=Δ이므로 X-(Y-X)=X

⑤ Y;(X-Y)=Δ이므로 Y-(X-Y)=Y ⑤

0186

(A-B)-(A-C)

=(A;BÇ );(A;C Ç )Ç

=(A;BÇ );(AÇ 'C)

={(A;BÇ );AÇ }'{(A;BÇ );C}

=Δ'{(A;C);BÇ }

=(A;C)-B ⑤

0185

(A'B);B=B, (A;B)'A=A이므로 {(A'B);B};{(A;B)'A}Ç =B;AÇ =B-A

따라서 주어진 집합을 나타내는 것은③이다. ③

0188

(A'BÇ );(AÇ 'B)

={(A'BÇ );AÇ }'{(A'BÇ );B}

={(A;AÇ )'(BÇ ;AÇ )}'{(A;B)'(BÇ ;B)}

={ Δ'(BÇ ;AÇ )}'{(A;B)'Δ }

=(AÇ ;BÇ )'(A;B)

이때 A-B=Δ에서 A,B, BÇ ,AÇ 이므로

A;AÇ =Δ이므로 (A;BÇ );AÇ =Δ

0187

ㄱ. (A'B)'(AÇ ;BÇ )=(A'B)'(A'B)Ç

=U ㄴ. A-(B;C)=A;(B;C)Ç

=A;(BÇ 'C Ç )

=(A;BÇ )'(A;C Ç )

=(A-B)'(A-C) ㄷ. (A;B)-(A;C)=(A;B);(A;C)Ç

=(A;B);(AÇ 'C Ç )

={(A;B);AÇ }'{(A;B);C Ç }

=Δ'{(A;B);C Ç }

=(A;B)-C ㄹ. (A-B)'(A;C)=(A;BÇ )'(A;C)

=A;(BÇ 'C)

=A;(B;C Ç )Ç

=A-(B-C)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄹ이다. ㄴ, ㄹ

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0189

^{(X'Y),Z에서 X,Z, Y,Z}

∴ (Z-X)Ç ;Y=(Z;XÇ )Ç ;Y

=(ZÇ 'X);Y

=(ZÇ ;Y)'(X;Y)

=Δ'(X;Y)

=X;Y

① (Z;X)'(Z;Y)=X'Y

② (Z'X)Ç ;(Z'Y)Ç =ZÇ ;ZÇ =ZÇ

③ (Z-X);(Z-Y)=(Z;XÇ );(Z;YÇ )

=Z;(XÇ ;Y Ç )

=Z;(X'Y)Ç

=Z-(X'Y)

④ (X-ZÇ );(Y-ZÇ )=(X;Z);(Y;Z)

=X;Y

⑤ (Z;X)'(ZÇ ;YÇ )=X'(Z'Y)Ç

=X'ZÇ ④

주어진 집합의 연산에 대한 등식을 연산법칙을 이용하여 간단히 한 후 두 집합의 포함 관계를 구한다.

① A;B=A A,B

② A'B=B A,B

집합의 연산법칙과 포함 관계 ^본책29쪽

12

0191

(A-B)Ç ;BÇ =(A;BÇ )Ç ;BÇ

=(AÇ 'B);BÇ

=(AÇ ;BÇ )'(B;BÇ )

=(AÇ ;BÇ )'Δ

=AÇ ;BÇ 따라서 AÇ ;BÇ =BÇ 이므로

BÇ ,AÇ므므∴ A,B ③

0190

{(A;B)'(A-B)};B

={(A;B)'(A;BÇ )};B

={A;(B'BÇ )};B

=(A;U);B

=A;B

따라서 A;B=A이므로 A,B이다. ②

① 자연수 p의 배수를 원소로 하는 집합을 Aπ라 하면 자연수 m, n에 대하여

Aμ;A« m과 n의 공배수의 집합

② 자연수 q의 약수를 원소로 하는 집합을 Bœ라 하면 자연수 m, n에 대하여

Bμ;B« m과 n의 공약수의 집합

배수와 약수의 집합의 연산 ^본책29쪽

13

0192

`A£;(A¢'A§)=(A£;A¢)'(A£;A§)

=A¡™'A§=A§

전체집합 U의 원소 중 6의 배수는 16개이므로 구하는 원소의 개수

는 16이다. 16

0193

(A¢'A•);(A£'A¡™)=A¢;A£=A¡™ ④

0194

A¡™;(A¡•;A™¢)=A¡™;A§=A§={1, 2, 3, 6}

따라서 집합 A¡™;(A¡•;A™¢)에 속하는 원소가 아닌 것은④이다.

④

0195

집합 A§;Aª는 6과 9의 공배수의 집합, 즉 18의 배수의 집 합이므로

A§;Aª=A¡•

따라서 Aπ,A¡•을 만족시키는 p는 18의 배수이므로 자연수 p의 최

솟값은 18이다. ⇢ ➊

또 집합 B¡™;B¡•은 12와 18의 공약수의 집합, 즉 6의 약수의 집합 이므로

B¡™;B¡•=B§

따라서 Bœ,B§을 만족시키는 q는 6의 약수이므로 자연수 q의 최댓

값은 6이다. ⇢ ➋

따라서 구하는 값은

18+6=24 ⇢ ➌

24 배수와 약수의 집합

자연수 k에 대하여

① k의 배수의 집합을 A˚라 할 때, 자연수 m이 자연수 n의 배수이 면

Aμ,A« Aμ;A«=Aμ, Aμ'A«=A«

4는 2의 배수이므로

A¢,A™ A¢;A™=A¢, A¢'A™=A™

② k의 약수의 집합을 B˚라 할 때, 자연수 m이 자연수 n의 약수이 면

Bμ,B« Bμ;B«=Bμ, Bμ'B«=B«

2는 4의 약수이므로

B™,B¢ B™;B¢=B™, B™'B¢=B¢

채점 기준표

➊자연수 p의 최솟값을 구할 수 있다. 40%

➋자연수 q의 최댓값을 구할 수 있다.

➌답을 구할 수 있다.

40%

20%

방정식 또는 부등식의 해의 집합의 교집합은 연립방정식 또는 연립부 등식의 해의 집합임을 이용한다. 이때 부등식은 수직선에 해를 나타내 면 편리하다.

방정식`, 부등식과 집합의 연산 ^본책30쪽

14

AÇ ;BÇ =BÇ , A;B=A

∴ (주어진 식)=BÇ 'A=A'BÇ ②

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02

집합의연산 본책

29~31

^쪽

0197

^{A;B={3}이므로} 3<A, 3<B 3<A에서 9-6+a=0 ∴ a=-3 x¤ -2x-3=0에서 (x+1)(x-3)=0

x=-1또는 x=3에서∴ A={-1, 3}

3<B에서 27+3b+12=0 ∴ b=-13 x‹ -13x+12=0에서 (x+4)(x-1)(x-3)=0

x=-4또는 x=1 또는 x=3에서∴ B={-4, 1, 3}

∴ A'B={-4, -1, 1, 3} {-4, -1, 1, 3}

0196

x¤ -3x-4…0에서 (x+1)(x-4)…0 -1…x…4 ∴ A={x|-1…x…4}

A;B={x|2…x…4}이고, A' B={x|-1… x… 5}이므로 오른쪽 그림에서

B={x|2…x…5}

={x|(x-2)(x-5)…0}

={x|x¤ -7x+10…0}

따라서 p=-7, q=10이므로 q-p=17 17

-1 2 4 5 x

A

B

0198

x¤ -x-6<0에서서서(x+2)(x-3)<0 서서-2<x<3서서∴ A={x|-2<x<3}

이때 A;B=A이므로 A,B

한편 x¤ -2(a-1)x-4a<0에서서서(x+2)(x-2a)<0 두 집합 A, B를 A,B가 성립하도록 수

직선을 이용하여 나타내면 오른쪽 그림과 같으므로 B={x|-2<x<2a}이고

2aæ3서서∴ aæ;2#;

따라서 구하는 a의 최솟값은;2#;이다. ;2#;

새로운 집합의 연산을 약속한 경우

집합의 연산법칙을 이용하여 간단한 연산으로 정리한다.

새롭게 약속된 집합의 연산 ^본책30쪽

15

0200

A„B=(A'B);(A;B)Ç

=(A'B)-(A;B)

-2 3 2a x B A

0199

① U◇A=(U-A)'(A-U)

=AÇ 'Δ=AÇ

② Δ◇A=(Δ-A)'(A-Δ)

=Δ'A=A

③ A◇A=(A-A)'(A-A)=Δ

④ U◇Δ=(U-Δ)'(Δ-U)

=U'Δ=U

⑤ A◇B=(A-B)'(B-A)

=(B-A)'(A-B)

=B◇A ③

이므로 A„(B „ C)를 벤 다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

A „ B`„`C = A`„`(B`„`C)

③ U

B C U A

B C U A

B C A

0201

A▷B=(A'B);(AÇ 'B)

=(A;AÇ )'B

=Δ'B=B ⇢ ➊

∴ (A▷B)▷B=B▷B=B ⇢ ➋

B 채점 기준표

➊주어진 연산을 정리할 수 있다. 60%

➋주어진 식을 간단히 할 수 있다. 40%

① n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B), n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)

② n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C) -n(C;A)+n(A;B;C)

③ n(AÇ )=n(U)-n(A)

④ n(A-B)=n(A)-n(A;B)=n(A'B)-n(B)

유한집합의 원소의 개수 ^본책31쪽

16

0202

n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)이므로 4=30-n(A'B) ∴ n(A'B)=26

∴ n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)

=20+15-26=9 ④

0203

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)

={n(A)-n(A;B)}+n(B)

=n(A-B)+n(B)

=15+10=25 25

0204

^{A,BÇ 이므로 A;B=Δ}

∴ n(A;B)=0

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 13=7+n(B) ∴ n(B)=6

∴ n(B-A)=n(B)=6 6

0205

n(AÇ 'BÇ )=n((A;B)Ç )=n(U)-n(A;B)이므로 25=30-n(A;B) ∴ n(A;B)=5

이때 n(A)=n(U)-n(AÇ )=30-16=14이므로 n(A;BÇ )=n(A-B)=n(A)-n(A;B)

=14-5=9 9

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0206

두 집합 A, C가 서로소이므로 A;C=Δ, A;B;C=Δ

∴ n(A;C)=0, n(A;B;C)=0

또 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)=6+5-9=2이고 n(B;C)=n(B)+n(C)-n(B'C)=5+4-6=3이므로

n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B) n(A'B'C)=-n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C)

=6+5+4-2-3-0+0=10 ②

0207

^⁄Y,X일 때, n(X;Y)가 최대이므로

⁄일일M=n(Y)=8

¤X'Y=U일 때, n(X;Y)가 최소이므로

⁄n(X;Y)=n(X)+n(Y)-n(X'Y)에서

⁄일일m=14+8-20=2

⁄, ¤에서일일M-m=6 ④

0208

(A;B),A, (A;B),B이므로 n(A;B)…n(A), n(A;B)…n(B)

∴ 3…n(A;B)…6 ⇢ ➊

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서

⁄n(A;B)=3일 때,

⁄에서n(A'B)=6+9-3=12

¤n(A;B)=6일 때,

⁄에서n(A'B)=6+9-6=9

⁄, ¤에서 9…n(A'B)…12 ⇢ ➋

따라서 n(A'B)의 최댓값은 12, 최솟값은 9이므로 구하는 합은

12+9=21 ⇢ ➌

21

n(A)=6, n(B)=9이므로로n(A;B)…6

0211

학생 전체의 집합을 U, 인터넷 강의로 수학을 공부하는 학 생의 집합을 A, 과학을 공부하는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=50, n(A)=32, n(A-B)=13, n(AÇ ;BÇ )=10 n(A-B)=n(A)-n(A;B)에서

n(A;B)=32-13=19

또 n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)에서 n(A'B)=50-10=40

따라서 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 40=32+n(B)-19 ∴ n(B)=27

즉 인터넷 강의로 과학을 공부하는 학생은 27명이다. ⑤

0210

학생 전체의 집합을 U, 야구를 좋아하는 학생의 집합을 A, 축구를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=50, n(A)=24, n(B)=32, n(AÇ ;BÇ )=5 ⇢ ➊ n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)에서

n(A'B)=50-5=45

∴ n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)

=24+32-45=11 ⇢ ➋

따라서 축구만 좋아하는 학생 수는 n(B-A)=n(B)-n(A;B)

=32-11=21 ⇢ ➌

21

0209

학생 전체의 집합을 U, A은행의 통장을 갖고 있는 학생의 집합을 A, B은행의 통장을 갖고 있는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=40, n(A)=28, n(B)=16, n(AÇ ;BÇ )=4 n(AÇ ;BÇ )=n((A'B)Ç )=n(U)-n(A'B)에서

n(A'B)=40-4=36

따라서 A은행과 B은행의 통장을 모두 갖고 있는 학생 수는 n(A;B)=n(A)+n(B)-n(A'B)

=28+16-36=8 8

0212

학생 전체의 집합을 U, 세 문제 A, B, C를 맞힌 학생의 집 합을 각각 A, B, C라 하면

n(U)=n(A'B'C)=40, n(A)=16, n(B)=20, n(C)=22, n(A;B;C)=3

세 문제 중 두 문제만 맞힌 학생 수는

n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)-3_n(A;B;C) 이고,

n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)

=-n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C) 에서

40=16+20+22-n(A;B)-n(B;C)-n(C;A)+3

∴ n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)=21 따라서 구하는 학생 수는

21-3_3=12 12

전체집합 U의 두 부분집합 A, B에 대하여 n(B)<n(A)일 때

① n(A;B)가 최대가 되는 경우 n(A'B)가 최소가 될 때, 즉 B,A

② n(A;B)가 최소가 되는 경우

n(A'B)가 최대가 될 때, 즉 A'B=U

유한집합의 원소의 개수의 최댓값과 최솟값 ^본책31쪽

17

채점 기준표

➊n(A;B)의 범위를 구할 수 있다. 40%

➋n(A'B)의 범위를 구할 수 있다.

➌답을 구할 수 있다.

50%

10%

주어진 모임을 전체집합 U와 그 부분집합 A, B로 나타낸 후 다른 조 건의 모임을 다음을 이용하여 A, B로 나타낸다.

•둘 다 ~하는 A;B •둘 다 ~하지 않는 AÇ ;BÇ

•~만 ~하는 A-B또는 B-A

•둘 중 하나만 ~하는 (A-B)'(B-A)

유한집합의 원소의 개수의 활용 ^본책32^쪽

18, 19

채점 기준표

➊주어진 조건을 집합으로 나타낼 수 있다. 30%

➋n(A;B)를 구할 수 있다.

➌축구만 좋아하는 학생 수를 구할 수 있다.

40%

30%

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