cosh= = sin¤ h=1-cos¤ h이므로
EXERCISES에서와 같이 수열의 합 S«을 이용하여 구한 식
a«=S«-S«–¡ yy ㉠
을 통해 알 수 있는 값은 a™부터이다. 즉, næ2인 경우 에 유효하다.
만약 ㉠에 n=1을 대입하면 a¡=S¡-Sº
이 되는데 Sº의 값이 존재하지 않으므로 이 식을 쓸 수 없다.
⑵` 등차수열을 이루는 네 수의 평균은 제2항과 제3항의 평균과 일치한다.
이때 네 수의 평균을 a라 하면 다음 그림에서와 같이 평균을 중심으로 하여 네 수를
a-3d, a-d, a+d, a+3d 로 놓을 수 있다. 이때의 공차는 2d이다.
풀이 참조 a-3d
2d d d 2d
a-d a a+d a+3d
01
수열 {a«}은 첫째항이 0, 공차가 3인 등차수열 이므로a«=0+(n-1)¥3=3n-3
수열 {b«}은 첫째항이 500, 공차가 -7인 등차수열이므로 b«=500+(n-1)¥(-7)=-7n+507
이때 a˚=b˚를 만족시키려면 3k-3=-7k+507 10k=510
∴ k=51 ②
02
세 실수 a, b, c가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 b= ∴ a+c=2b
조건 ㈎`에서
=2a+c-b=22b-b=2∫ =32=2fi 이므로 b=5
조건 ㈏`에서
a+c+ac=2b+ac=10+ac=26
∴ ac=16
∴ abc=16¥5=80 80
03
등차수열 {a«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하면 S•=24, S¡¢=-42이므로S•= =24
∴ 2a+7d=6 yy ㉠ 8(2a+7d)
111112 2å _2ç
11152∫
112a+c2
01 ② 02 80 03 10 04 58 05 ④ 06 ④ 07 ④ 08 247 09 405000원 10 ④
EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 303`~`304쪽
S¡¢= =-42
∴ 2a+13d=-6 yy ㉡
㉠, ㉡을 연립하여 풀면
a=10, d=-2 yy ❶
∴ S¡º= =10 yy ❷
10
04
수열 {a«}은 첫째항이 25-log∞2, 공차가 -log∞2인 등차수열이다.따라서 a«>0을 만족시키는 자연수 n의 최댓값을 k라 하면 첫째항부터 제k항까지의 합이 최대이다.
a«=25-nlog∞2>0에서 n< yy ㉠
이때 log∞2= = = = 이므로
㉠에서
n<25_ =58.3y
따라서 첫째항부터 제58항까지의 합이 최대이므로
n=58 58
05
등비수열 {a«}, {b«}의 공비가 각각 2, 3이므로 첫째항을 각각 a, b라 하면a«=a¥2« —⁄ , b«=b¥3« —⁄
ㄱ. a«= a¥2« —⁄ 이므로 수열 [ a«]은 첫째항이
ㄱ.
a, 공비가 2인 등비수열이다.ㄴ. 수열 {a«}은 a, 2a, 4a, y 수열 {b«}은 b, 3b, 9b, y
에서 수열 {a«-b«}은 a-b, 2a-3b, 4a-9b, y 123
123 123
123 173
137 1240.30.7 111231-log2log2 1124log2log5
1124log∞225 10{2¥10+9¥(-2)}
11111111232 14(2a+13d)
1111112
채점 기준 배점
❶ 등차수열 {a«}의 첫째항과 공차 구하기
❷ S¡º의 값 구하기
60 % 40 %
이므로 등비수열이 아니다.
ㄷ. 2b«-b«≠¡=2b¥3« —⁄ -b¥3«
=2b¥3« —⁄ -3b¥3« —⁄
=-b¥3« —⁄
ㄷ.
이므로 수열 {2b«-b«≠¡}은 첫째항이 -b, 공비가 3 인 등비수열이다.따라서 등비수열인 것은 ㄱ, ㄷ이다. ④
06
등비수열 {a«}의 공비를 r라 하면 a™=a¡r=5, a¡º=a¡r· =80이므로= = =16
r° =16 ∴ r› =4 (∵ r는 실수)
∴ = =r› =4 ④
07
AC”, OC”, BC”가 이 순서대로 등비수열을 이루 므로 AC”=a, OC”=ar, BC”=ar¤ 이라 하자.반원의 원주각은 90˘이므로 ∠ACB=90˘
직각삼각형 ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 AC””¤ +BC””¤ =AB””¤ 이고 AB”=2OC”=2ar이므로
a¤ +(ar¤ )¤ =(2ar)¤ , r› -4r¤ +1=0
∴ r¤ =2+'3 (∵ AC”<OC”<BC”)
∴ { }¤ ={ }¤ =r¤ =2+'3
④
08
`f(x)를 x-1로 나누었을 때의 나머지를 R라 하면f(x)=x‡ +xfl +y+x+1
=(x-1)Q(x)+R yy ㉠ 12ara
113AC”OC”
11a¡r›a¡
13a∞a¡
12805 11a¡r·a¡r 12a¡ºa™
EXERCISES
㉠에 x=1을 대입하면 8=R
㉠에 x=2를 대입하면
2‡ +2fl +y+2+1=Q(2)+8
=Q(2)+8
∴ Q(2)=256-1-8=247 247
09
매년 초의 입금액에 대한 2030년 말의 원리합계 는2019년 초 : 20000_1.08⁄ ¤ 2020년 초 : 20000_1.08⁄ ⁄
⋮
2030년 초 : 20000_1.08 따라서 구하는 원리합계는
= =405000(원)
405000원
10
수열의 합(a«=S«-S«–¡)을 이용하여 얻은 일 반항은 næ2일 때 성립하고 첫째항은 S¡으로부터 구해 질 수 있으므로 수열이 첫째항부터 등차수열 또는 등비수 열이 되기 위해서는 일반항이 등차수열 또는 등비수열의 형태이고 S¡=a¡인 관계를 만족시켜야 한다.ㄱ.a«=S«-S«–¡
=n¤ -3n+2-{(n-1)¤ -3(n-1)+2}
=2n-4 (næ2)
이때 첫째항은 a¡=S¡=0으로 a«=2n-4에 n=1 을 대입한 것과 다르므로 수열 {a«}은 제2항부터 등 차수열을 이룬다.
ㄴ. a«=S«-S«–¡
=2n¤ +n-{2(n-1)¤ +(n-1)}
=4n-1 (næ2) 20000_1.08_(2.5-1) 111111111110.08 20000_1.08_(1.08⁄ ¤ -1) 11111111111251.08-1
1(2° -1) 111142-1
이때 첫째항은 a¡=S¡=3으로 a«=4n-1에 n=1 을 대입한 것과 같으므로 수열 {a«}은 첫째항부터 등 차수열을 이룬다.
ㄷ. a«=S«-S«–¡
=2¥3« -1-(2¥3« —⁄ -1)
=4¥3« —⁄ (næ2)
이때 첫째항은 a¡=S¡=5로 a«=4¥3« —⁄ 에 n=1을 대입한 것과 다르므로 수열 {a«}은 제2항부터 등비수 열을 이룬다.
ㄹ. a«=S«-S«–¡
= (5« -1)- (5« —⁄ -1)
=3¥5« —⁄ (næ2)
이때 첫째항은 a¡=S¡=3으로 a«=3¥5« —⁄ 에 n=1 을 대입한 것과 같으므로 수열 {a«}은 첫째항부터 등 비수열을 이룬다.
따라서 첫째항부터 등차수열 또는 등비수열을 이루는 것
은 ㄴ, ㄹ이다. ④
134 134
01
1행의 공차를 d라 하면 1행을 다음과 같이 채울 수 있다.이때 3열에서
x-10=2{10-(1+2d)}
∴ x=28-4d yy ㉠ 또 4열에서
21-(1+3d)=2(y-21)
∴ 62-3d=2y yy ㉡ 4행에서 2x=12+y
∴ y=2x-12 yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
62-3d=2(2x-12)
∴ 4x+3d=86 yy ㉣
㉠을 ㉣에 대입하면
4(28-4d)+3d=86 ∴ d=2 d=2를 ㉠, ㉡에 각각 대입하면
x=20, y=28
∴ x+y=48 48
02
세 실근이 공차가 3인 등차수열을 이루므로 이 를 a-3, a, a+3이라 하면 yy ❶ 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여(a-3)+a+(a+3)=3a=a-3 yy ㉠ (a-3)a+a(a+3)+(a-3)(a+3)
01 48 02 12 03 811 04 400 05 ②