로 정의하면
a¡=1, a™=2, a«≠™=a«+n (단, n=1, 2, 3, y, 8)
⑤
12
[전략](n+1)(n=2, 3, 4, y)회 시행할 때 새롭게 색칠 된 부분의 넓이는 n회 시행할 때 새롭게 색칠된 부분의 넓 이의 ;4!;이다각 변의 중점을 이어서 만든 직각삼각형의 넓이는 원래의 직각삼각형의 넓이의 이다.
첫 번째 시행에서는 삼각형 ABC의 넓이의 인 삼각형 A¡B¡C¡이 하나 만들어지는데 이것의 넓이를 a¡이라 하 자. 두 번째 시행에서는 넓이가 a¡인 삼각형이 3개 만 들어지는데 이것의 넓이를 a™라 하면
a™= a¡
세 번째, 네 번째 시행 역시 마찬가지로 생각해 보면 a£= a™, a¢= a£={ }2 a™, y
따라서 수열 {a«}을 귀납적으로 정의하면 a¡=15000, a™=15000¥ ,a«≠¡= a«
(n=2, 3, 4, y) 이 수열은 제2항부터 공비가 인 등비수열이므로 5회 시행 후 색칠된 전체의 넓이는 a¡과 제2항부터 제5항까 지의 등비수열의 합을 더한 것과 같다.
∴ a¡+a™+a£+a¢+a∞
=15000+
=15000+15000¥(1-0.004)
=15000+15000¥0.996
=15000+14940=29940
3 1
15000¥1¥[1-{1}4 ]4 4 1111111123221
1-14 114
114 134
114 114 114
134
114
114 114
따라서 구하는 넓이의 합은 29940이다. 29940
13
[전략]a«≠¡=a«+f(n)의 n에 1, 2, 3, y, k-1을 차례 로 대입하여 변끼리 더하면 a˚의 값을 구할 수 있다.ㄱ. 각 함숫값 f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=2, y에 대하여
a¡=-1
a™=a¡+f(1)=-1+1=0 a£=a™+f(2)=0+2=2 a¢=a£+f(3)=2+3=5 a∞=a¢+f(4)=5+2=7
이므로 a¡, a™, y, a∞ 중에서 가장 큰 것은 a∞이다.
(참) ㄴ. (반례) m=6, n=7이면 m+n이지만
a§=a∞+f(5)=7+1=8, a¶=a§+f(6)==8+0=8 이므로 a§=a¶ (거짓) ㄷ. (반례) a¡¡과 a¡™의 값을 구하면
a™=a¡+f(1) a£=a™+f(2) a¢=a£+f(3)
⋮
+>≥ a¡¡≥=≥a¡º≥+f≥(10≥) ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ a¡¡=a¡+{ f(1)+f(2)+y+f(10)}
=-1+(1+2+3+2+1+0-1-2-3-2)
=-1+1=0,
a¡™=a¡¡+f(11)=0-1=-1 이므로 S¡¡>S¡™ (거짓)
ㄹ.a«≠¡™=a¡+{ f(1)+f(2)+f(3)+y+f(n+11)}
={a¡+f(1)+f(2)+f(3)+y+f(n-1)}
+{ f(n)+f(n+1)+y+f(n+11)}
=a«+f(n)+f(n+1)+y+f(n+11) 이때 함수 f(n)이 f(n)=f(n+12)를 만족시키므 로
f(n)+f(n+1)+y+f(n+11)
=f(1)+f(2)+y+f(12)
=1+2+3+2+1+0-1-2-3-2-1+0
=0
∴ a«≠¡™=a« (참)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄹ이다. ②
14
[전략]제품 P«을 한 개 만드는 데 걸리는 시간을 a«이라 하면 조건에서 n=2˚ , k=0, 1, 2, 3, y이므로 구한 점화 식의 n에 1, 2, 4, 8, y을 대입해야 함에 주의한다.제품 P«을 한 개 만드는 데 걸리는 시간을 a«이라 하면 조건 ㈎에 의해 a¡=1이다.
이때 P™«을 한 개 만드는 데 걸리는 시간 a™«은 P«을 2개 만드는 데 걸리는 시간 2a«과 연결하는 데 걸리는 시간 2n의 합이므로 a™«=2a«+2n이다.
따라서 위의 식의 양변에 n 대신 1, 2, 4, 8, 16을 차례 로 대입하면
a™=2a¡+2¥1=2¥1+2=4 a¢=2a™+2¥2=2¥4+4=12 a•=2a¢+2¥4=2¥12+8=32 a¡§=2a•+2¥8=2¥32+16=80 a£™=2a¡§+2¥16=2¥80+32=192
이므로 제품 P£™를 한 개 만드는 데 걸리는 시간은 192
시간이다. 192
15
[전략]증명 과정을 차근차근 따라가며 빈칸에 알맞은 식을 써넣는다.⁄n=2일 때
x¤ =1의 근 1, -1에 대하여 x¡=-1이므로 (좌변)=1-(-1)=2, (우변)=2 따라서 주어진 등식이 성립한다.
계산 결과만 같을 뿐 f(n)=f(1), f(n+1)=f(2), y인 것은 아니다.
´f
™
¤n=k (kæ2)일 때
x˚ =1의 근을 1, a¡, a™, y, a˚–¡이라 하고
(1-a¡)(1-a™)y(1-a˚–¡)=k yy ㉠ 가 성립한다고 가정하면
x˚ ±⁄ -1
=x˚ ±⁄ -x+x-1
= +x-1
=x{(x-1)(x-a¡)(x-a™)
y(x-a˚–¡)}+(x-1)
=(x-1){x(x-a¡)(x-a™)y(x-a˚–¡)+1}
yy ㉡ 이때 x˚ ±⁄ =1의 근을 1, b¡, b™, y, b˚–¡, b˚라 하면
x˚ ±⁄ -1
= 이므로 ㉡에서
(x-1)(x-b¡)(x-b™)y(x-b˚)
=(x-1){x(x-a¡)(x-a™)y(x-a˚–¡)+1}
(x-b¡)(x-b™)y(x-b˚)
=x(x-a¡)(x-a™)y(x-a˚–¡)+1 이다. 이때 x=1을 대입하면
(1-b¡)(1-b™)y(1-b˚)
=1¥(1-a¡)(1-a™)y(1-a˚–¡)+1
= (∵ ㉠)
따라서 n=k+1일 때도 주어진 등식이 성립한다.
⁄, ¤에 의해 næ2인 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
∴ ㈎：x(x˚ -1),
㈏：(x-1)(x-b¡)(x-b™)y(x-b˚),
㈐：k+1 ①
k+1
(x-1)(x-b¡)(x-b™)y(x-b˚) x(x˚ -1)
EXERCISES [APPLICATION] 01⑴ b«=3« —⁄
⑵ a«=;2!;¥3« —⁄ +;2#; 02a«=
03a«=2n¤ -n 04a«=3« -2
05a«=;2!;¥3« —⁄ +;2!; 06제231항 072470 08506
15555555552n-1n
Chapter
III
Advanced Lecture 본문 356`~`365쪽01
⑴ 수열 {a«}의 계차수열 {b«}을 구해 보면 다음 과 같다.{b«} : 1, 3, 9, 27, 81, y
따라서 수열 {b«}은 첫째항이 1이고 공비가 3인 등비 수열이다.
∴ b«=3n-1
⑵ a«=a¡+ b˚=2+ 3k-1
=2+ = ¥3n-1+
⑴ b«=3n-1 ⑵ a«= ¥3n-1+
02
a«≠¡-a«= 이므로수열 {a«}의 계차수열의 일반항은 이다.
∴ a«=a¡+
=1+ { - }
=1+{1- }
= a«=
03
a«≠¡=4« a«의 양변에n=1, 2, 3, y, n-1을 차례로 대입하여 변끼리 곱하면 122222n-1n 12n-1
11122333333n 23n1
233333k+11 231k
n-1¡
k=1
11123k(k+1)1
n-1¡
k=1
1112331 n(n+1) 111233n(n+1)1
132 112
13 12 11
12 1(3« —⁄ -1) 11131253-1
n-1¡
k=1 n-1¡
k=1
a™=a¡¥4⁄
a£=a™¥4¤
a¢=a£¥4‹
⋮
_>≥ a«=≥a«–¡¥4« —⁄ ≤ ≥ ≤ a«=a¡¥41+2+3+y+(n-1)
=1¥4 =2n¤ -n a«=2n¤ -n
04
a«≠¡=3a«+4 yy ㉠a«≠¡-a=3(a«-a)라 하면
a«≠¡=3a«-2a yy ㉡
㉠, ㉡에서 a=-2
∴ a«≠¡+2=3(a«+2)
따라서 수열 {a«+2}는 첫째항이 a¡+2=3, 공비가 3인 등비수열이므로
a«+2=3¥3« —⁄ =3« ∴ a«=3« -2
a«=3n-2
05
a«≠™-a«≠¡=3(a«≠¡-a«)이므로a«≠¡-a«=b«으로 놓으면 수열 {a«}의 계차수열 {b«}은 첫째항이 a™-a¡=1, 공비가 3인 등비수열이다.
∴ b«=3n-1 yy ㉠
따라서 ㉠에 의하여 수열 {a«}의 일반항은 a«=a¡+ bk=1+ 3k-1
=1+ = ¥3n-1+
a«= ¥3n-1+1 12 112
11 12 11
12 3« —⁄ -1 111433-1
n-1¡
k=1 n-1¡
k=1 n(n-1) 111142
06
주어진 수열을 다음과 같이 분모가 같은 항끼리 묶어 보자.{ }, { , }, { , , },
{ , , , }, y
이때 제n군에는 n개의 항이 들어있고, 제n군의 분모는 n+1이므로 은 제21군의 21번째 항, 즉 제21군의 마지막 항이다.
제1군부터 제21군까지의 항의 개수는
k= =231
따라서 은 수열의 제231항이다. 제231항
07
수열을 다음과 같이 묶어 보면 (1), (1, 3), (1, 3, 5), (1, 3, 5, 7),(1, 3, 5, 7, 9), y, (1, 3, 5, y, 33, 35, 37)
제n군에는 n개의 항이 들어 있고 제n군의 m (m…n) 번째 항이 2m-1임을 알 수 있다.
이때 제n군에 들어 있는 모든 항의 합을 a«이라 하면 a«= (2k-1)=2¥ -n=n¤
따라서 37은 제19군의 마지막 항에서 처음 나타나므로 제1군부터 제19군까지의 모든 항의 합을 구하면
a˚= k¤ = =2470
2470