정답과 풀이

(1)

수학(하)

정답과 풀이

http://hjini.tistory.com

(2)

002^{정답과 풀이}

집합의 뜻과 표현

Ⅰ. 집합과 명제

01

0001

ㄱ, ㄹ. ‘가까운’, ‘무거운’ 등은 기준이 명확하지 않으므 로 집합이 아니다.

답 2

0002

A={3, 6, 9}이므로

⑴ 1²A ⑵ 3<A ⑶ 5²A ⑷ 9<A 답 ⑴ ² ⑵ < ⑶ ² ⑷ <

0003

^답^{⑴ {x|x}^는⁶^이하의^자연수^}

⑵ {5, 10, 15, 20, y}

0004

⑵ 10의 양의 약수는 1, 2, 5, 10의 4개이므로 n({x|x는 10의 양의 약수})=4

답 ⑴ 3 ⑵ 4

0005

^답^A,B

0006

A={4, 8, 12, 16, y}, B={8, 16, 24, 32, y}이므 로 B,A

답 B,A

0007

xÛ`=25에서 x=Ñ5 따라서 A={-5, 5}이므로 B,A

답 B,A

0008

^답^á

0009

^답 {a}, {b}, {c}

0010

^답 {a. b}, {b, c}, {a, c}

0011

^답^{{a, b, c}}

0012

^답^{á, {0}}

0013

^답 á, {x}, {y}, {x, y}

0014

^답 á, {1}, {7}, {1, 7}

0015

^답^A=B

0016

^답^A=B

0017

^답^A+B

0018

n(A)=4이므로 부분집합의 개수는 2Ý`=16

답 16

0019

4를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2Ý`ÑÚ`=2Ü`=8 답 8

0020

6, 8을 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는 2Ý`ÑÛ`=2Û`=4

답 4

0021

③ ‘키가 큰’은 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니다.

답 ③

0022

ㄱ. ‘아름다운’은 기준이 명확하지 않으므로 집합이 아니 다.

따라서 보기 중 집합인 것은 ㄴ, ㄷ의 2개이다. 답 2

0023

A={1, 3, 5}

0²A, 3<A, 4²A, 5<A, 7²A 따라서 옳은 것은 ②이다.

답 ②

0024

A={1, 2, 3, 6, 9, 18}

1<A, 3<A, 8²A, 12²A 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ, ㄹ이다.

답 ㄱ, ㄷ, ㄹ

0025

A={2, 2Û`, 2Ü`, 2Ý`, 2Þ`}, B={2, 2Û`, 2Ü`, 2Ý`}이므로 a<A, b<B에 대하여 ab의 값을 구하면 다음 표와 같다.

b a 2 2Û` 2Ü` 2Ý` 2Þ`

2 2Û` 2Ü` 2Ý` 2Þ` 2ß`

2Û` 2Ü` 2Ý` 2Þ` 2ß` 2à`

2Ü` 2Ý` 2Þ` 2ß` 2à` 2¡`

2Ý` 2Þ` 2ß` 2à` 2¡` 2á`

따라서 집합 C={2Û`, 2Ü`, 2Ý`, y, 2á`}이므로 원소의 개수는 8이다.

답 8

알피엠_수(하)_해설_001~037_1단원_ok.indd 2 2017-08-31 오전 2:46:22

(3)

01. 집합의 뜻과 표현 003

0026

^{A={1, 2},}

B={0, 2, 4, 6}이므로

x<A, y<B에 대하여 x+y의 값을 구하면 오른쪽 표와 같다.

∴ C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

답 C={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

0027

집합 C의 원소는 2Ç`_3µ`` (n, m은 자연수)의 꼴이므로 각각의 수를 소인수분해하면

① 72=2Ü`_3Û` ② 108=2Û`_3Ü`

③ 126=2_3Û`_7 ④ 144=2Ý`_3Û`

⑤ 162=2_3Ý`

즉 ③은 2와 3의 거듭제곱만의 곱으로 표현되지 않으므로 집합 C 의 원소가 아니다.

답 ③

0028

-3É2x+1É9에서 -4É2xÉ8, -2ÉxÉ4 -1Éx+1É5

∴ - 12 Éx+1 2 É5

2

 이때 x+1

2 은 정수이므로 x+1

2 의 값은 0, 1, 2이다.

즉 x+1

2 =0, x+1

2 =1, x+1

2 =2일 때,

x의 값은 -1, 1, 3이므로 집합 A={-1, 1, 3}이다.

 따라서 집합 A의 모든 원소의 합은

-1+1+3=3

 답 3

단계 채점요소 배점

 x+1

2 의 범위 구하기 30 %

 집합 A 구하기 50 %

 집합 A의 모든 원소의 합 구하기 20 %

0029

① {3, 6, 9, y}：무한집합

② {1, 2, 3, y}：무한집합

③ á：유한집합

④ {4, 8, 12, y, 96}：유한집합

⑤ {9, 11, 13, y}：무한집합

답 ③, ④

0030

② B={0}이면 n(B)=1

답 ②

y x 1 2

0 1 2

2 3 4

4 5 6

6 7 8

0031

ㄱ. n({a, b, 3, 4})=4

ㄴ. n({x|x는 18의 양의 약수}) =n({1, 2, 3, 6, 9, 18})

=6 ㄷ. n({á})-n(á)=1-0=1

ㄹ. n({2, 3, 4, 7})-n({1, 2, 3})=4-3=1 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다.

답 ㄴ, ㄷ, ㄹ

0032

집합 A={0, 1, 2}이므로 x<A, y<A에 대하여 xy의 값을 구하면 다음 표와 같다.

y x 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 4

∴ B={0, 1, 2, 4}

2x+y의 값을 구하면 다음 표와 같으므로

y 2x 0 2 4

0 0 2 4

1 1 3 5

2 2 4 6

C={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}

∴ A,B,C

답 ①

0033

B={x|x는 -3<xÉ3인 정수}를 원소나열법으로 나 타내면 B={-2, -1, 0, 1, 2, 3}

C={x|xÛ`-2x=0}에서

xÛ`-2x=0, x(x-2)=0 ∴ x=0 또는 x=2 따라서 집합 C를 원소나열법으로 나타내면 C={0, 2} ∴ C,A,B

답 ④

0034

A={x|x=3n-1, n은 정수}를 원소나열법으로 나타 내면

A={y, -7, -4, -1, 2, 5, 8, y}

B={x|x=3n+2, n은 정수}를 원소나열법으로 나타내면 B={y, -7, -4, -1, 2, 5, 8, y}

C={x|x=6n+2, n은 정수}를 원소나열법으로 나타내면 C={y, -16, -10, -4, 2, 8, 14, y}

n이 정수이므로 A=B, 즉 A,B이고 B,A

한편, 집합 C의 모든 원소가 집합 A(집합 B)에 속하므로 C,A=B

따라서 바르게 나타낸 것은 ㄱ,ㄴ,ㄹ이다.

답 ㄱ, ㄴ, ㄹ http://hjini.tistory.com

(4)

004^{정답과 풀이}

이므로 B={2, 3}

2<B이고 B,A이므로 2<A 즉 2=;2A; ∴ a=4

답 4

0040

두 집합 A, B에 대하여 B,A가 성립하도록 수직선 위에 나 타내면 오른쪽 그림과 같다.

이때 B,A이려면 aÉ0, 3a+8¾3이어야 한다.

∴ - 53 ÉaÉ0

따라서 구하는 정수 a는 -1, 0의 2개이다.

답 2

0041

세 집합 A, B, C에 대하여 C,A,B가 성립하도록 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

-2 a-1 5 b 6 x

CAB

∴ -2<aÉ-1, 5Éb<6

이때 a, b는 정수이므로 a=-1, b=5

∴ a+b=4

답 4

0042

⑴ A={1, a, 4}, B={1, bÛ`, bÛ`-1}에서 4<A이므 로 4<B이어야 한다.

즉 bÛ`=4 또는 bÛ`-1=4

Ú bÛ`=4일 때, b=2 (∵ b는 자연수) 이때 B={1, 3, 4}이므로 a=3

Û bÛ`-1=4일 때, 이를 만족시키는 자연수 b의 값은 없다.

Ú, Û에서 A=B를 만족시키는 a, b의 값은 a=3, b=2이 므로 a+b=5

⑵ A,B, B,A이므로 A=B이다.

A={1, 3, aÛ`+1}, B={2, a, b-1}에서 2<B이므로 2<A이어야 한다.

즉 aÛ`+1=2에서 aÛ`=1 ∴ a=Ñ1

Ú a=1일 때, A={1, 2, 3}, B={1, 2, b-1}에서 3=b-1 ∴ b=4

Û a=-1일 때, A={1, 2, 3}, B={-1, 2, b-1}이므로 A+B

Ú, Û에서 a=1, b=4이므로 a+b=5

답 ⑴ 5 ⑵ 5

0043

A,B, B,A이므로 A=B이다.

A={1, 2, 4, 8}, B={1, 4, a+1, b}에서

B BY

"

# 다른풀이 Ú 3n-1=3(n-1)+2로 표현 가능하므로 A,B

Û 3n+2=3(n+1)-1로 표현 가능하므로 B,A Ü 6n+2=3´2n+2로 표현 가능하므로 C,B 한편, -1<A=B이지만 -1²C이므로 A=BøC ∴ C,A=B

0035

집합 A={á, 1, {1}}의 원소는 á, 1, {1}

① á<A이므로 {á},A

② {1}<A

③ {1}<A이므로 {{1}},A

④ á<A, 1<A이므로 {á, 1},A

⑤ á<A

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

답 ④

0036

집합 A={1, 2, {1, 2}}의 원소는 1, 2, {1, 2}이므로 {1},A, {1, 2},A, {2},A, {{1, 2}},A

집합 A의 원소의 개수는 3이므로 옳은 것은 ②이다.

답 ② 참고 {1, 2}<A, {1, 2},A

0037

집합 A={á, {á}, 1, {1, 2}}의 원소는 á, {á}, 1, {1, 2}이므로

á<A, {á}<A, {1, 2}<A, {1, {1, 2}},A 또한, 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 á,A ㄹ. 2²A이므로 {á, 1, 2}øA

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ, ㅁ이다.

답 ④

0038

3<A이므로 3<B이어야 한다.

즉 3=aÛ`+2 또는 3=a-4

Ú 3=aÛ`+2일 때, a=1 또는 a=-1

a=1일 때, A={-1, 3}, B={-3, 1, 3}

a=-1일 때, A={1, 3}, B={-5, 1, 3}

Û 3=a-4일 때, a=7

이때 A={-7, 3}, B={1, 3, 51}

Ú, Û에서 A,B를 만족시키는 a의 값은 -1이다.

답 ②

0039

(xÛ`-9)(2x-a)=0에서 x=Ñ3 또는 x=;2A;

이므로 A=[-3, 3, ;2A;]

(2xÛ`+1)(x-2)(x-3)=0에서 x=2 또는 x=3 (∵ x는 실수)

(5)

01. 집합의 뜻과 표현 005

0047

A={x|x는 20 이하의 자연수}의 원소 중 5의 배수는 5, 10, 15, 20

구하는 부분집합은 {5, 10, 15, 20}의 부분집합에서 공집합을 제외하면 되므로 그 개수는 2Ý`-1=15

답 15

0048

⑴ 집합 A={1, 3, 5, 7, 9}이므로 집합 A의 진부분집 합의 개수는 2Þ`-1=31

⑵ 집합 A의 원소는 0, 1, {0, 1}이다.

따라서 집합 A의 진부분집합은 á, {0}, {1}, {{0, 1}}, {0, 1}, {0, {0, 1}}, {1, {0, 1}}이다.

⑶ 집합 A={1, 3, 9}이고 X,A, X+A이므로 집합 X는 집 합 A의 진부분집합이다.

따라서 집합 X는 á, {1}, {3}, {9}, {1, 3}, {1, 9}, {3, 9}

이다.

답풀이참조

0049

1<A, 2<A ⇨ 집합 A는 1, 2를 원소로 갖는다.

5²A ⇨ 집합 A는 5를 원소로 갖지 않는다.

따라서 집합 A는 1, 2를 반드시 원소로 갖고, 5를 원소로 갖지 않는 집합 S의 부분집합이므로 집합 A의 개수는

2ß`ÑÛ`ÑÚ`=2Ü`=8 답 8

0050

집합 A={1, 2, 7, 14}의 진부분집합 중에서 2를 반드 시 원소로 갖는 집합의 개수는

2Ý`ÑÚ`-1=2Ü`-1=7

답 7

0051

집합 X는 집합 S={0, 3, {3}, 5, 7}의 부분집합 중 5, 7을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 구하는 집합 X의 개수 는 2Þ`ÑÛ`=2Ü`=8

답 8

0052

^{⑴ 2}^n-2-2=16=2Ý`이므로 n-4=4 ∴ n=8

⑵ 2Ç` ÑÛ`-1=63에서 2Ç` ÑÛ`=64=2ß`이므로 n-2=6 ∴ n=8

답 ⑴ 8 ⑵ 8

0053

집합 X는 {2, 3, 5, 7, 9}의 부분집합 중 2, 7을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 구하는 집합 X의 개수는

2Þ`ÑÛ`=2Ü`=8

답 ③

0054

xÛ`-6x+8=0에서 (x-2)(x-4)=0

∴ x=2 또는 x=4 2<A, 8<A이므로 2<B, 8<B이어야 한다.

Ú a+1=2, b=8인 경우

`a=1, b=8 ∴ a+b=9 Û a+1=8, b=2인 경우

`a=7, b=2 ∴ a+b=9 Ú, Û에서 a+b=9

답 9

0044

A={x|xÛ`-ax+10=0}, B={b, 5}에서 5<B이므로 5<A이어야 한다.

즉 xÛ`-ax+10=0의 한 근이 5이어야 하므로 5Û`-5a+10=0 ∴ a=7



∴ A ={x|xÛ`-7x+10=0}

={x|(x-2)(x-5)=0}

={x|x=2 또는 x=5}

={2, 5}

A=B이므로 b=2



∴ ab=7´2=14

 답 14

 a의 값 구하기 40 %

 b의 값 구하기 40 %

 ab의 값 구하기 20 %

0045

A=B이므로 x+1=2x-1 또는 x+1=3x-2 Ú x+1=2x-1일 때, x=2

이때 A={2, 3, 4}, B={2, 3, 4}

Û x+1=3x-2일 때, x= 32 이때 A=[3

2 , ;4(;, ;2%;], B=[3 2 , 2, 5

2 ] Ú, Û에서 A=B를 만족시키는 x의 값은 x=2

답 2

0046

A={1, 2, 4, 8}

① 공집합은 모든 집합의 부분집합이므로 á,A

② 모든 집합은 자기 자신의 부분집합이므로 {1, 2, 4, 8},A

③ {1}, {2}, {4}, {8}의 4개

④ {1, 2}, {1, 4}, {1, 8}, {2, 4}, {2, 8}, {4, 8}의 6개

⑤ {1, 2, 4}, {1, 2, 8}, {1, 4, 8}, {2, 4, 8}의 4개 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

답 ⑤

(6)

006^{정답과 풀이}

0058

집합 A의 부분집합 중 a 또는 c를 원소로 갖는 부분집합 의 개수는 전체 부분집합의 개수에서 a와 c를 원소로 갖지 않는 부분집합인 {b, d, e, f }의 부분집합의 개수를 뺀 것과 같다.

∴ 2ß`-2Ý`=64-16=48 답 48

다른풀이　집합 A의 부분집합 중 a를 반드시 원소로 갖는 부분집 합의 개수는 2ß`ÑÚ`=2Þ`=32

c를 반드시 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2ß`ÑÚ`=2Þ`=32 a와 c를 모두 원소로 갖는 부분집합의 개수는 2ß`ÑÛ`=2Ý`=16 따라서 a 또는 c를 원소로 갖는 부분집합의 개수는 32+32-16=48

0059

A={3, 6, 9, 12, 15 ,18}이므로 집합 A의 진부분집합 중 홀수를 1개 이상 원소로 갖는 집합의 개수는 집합 A의 진부분 집합의 개수에서 원소가 모두 짝수인 집합 {6, 12, 18}의 부분집 합의 개수를 뺀 것과 같다.

∴ (2ß`-1)-2Ü`=64-1-8=55

답 55

0060

집합 A의 부분집합 중 1을 원소로 갖고 원소의 개수가 2 인 부분집합은 {1, 3}, {1, 5}, {1, 7}, {1, 9}의 4개이다.

마찬가지로 3, 5, 7, 9를 각각 원소로 갖고 원소의 개수가 2인 부 분집합은 각각 4개씩이다.

따라서 구하는 원소의 총합에 집합 A의 원소는 모두 4번씩 들어 있고 집합 A의 모든 원소의 합은 1+3+5+7+9=25이므로 구하는 원소의 총합은

25_4=100

답 ③

0061

x와 8-x가 모두 자연수이므로 x¾1, 8-x¾1 ∴ 1ÉxÉ7 x=1이면 7<S, x=2이면 6<S x=3이면 5<S, x=4이면 4<S x=5이면 3<S, x=6이면 2<S x=7이면 1<S

따라서 1과 7, 2와 6, 3과 5는 어느 하나가 집합 S의 원소이면 나머지 하나도 반드시 S의 원소이고, 4도 집합 S의 원소가 될 수 있다.

① 3<S이면 8-3=5<S

② 원소가 1개인 집합 S는 {4}로 존재한다.

③ 원소가 2개인 집합 S는 {1, 7}, {2, 6}, {3, 5}의 3개이다.

④ 원소가 5개인 집합 S는 {1, 2, 4, 6, 7}, {1, 3, 4, 5, 7}, {2, 3, 4, 5, 6}의 3개이다.

⑤ 원소가 가장 많은 집합 S는 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}로 원소의 개 수가 7이다.

답 ⑤

|x|<5에서 -5<x<5이므로 정수 x는 -4, -3, -2, y, 4 따라서 A={2, 4}, B={-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

이므로 A,X,B를 만족시키는 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 2, 4를 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 구하는 집합 X의 개수는

2á`ÑÛ`=2à`=128

답 128

0055

{2, 3},X,A를 만족시키는 집합 X는 집합 A의 부 분집합 중 2, 3을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 집합 X의 개수는 2Ç` ÑÛ`

집합 X의 개수가 128이므로 2Ç` ÑÛ`=128=2à`, n-2=7

∴ n=9

답 9

0056

A={1, 2, 3, y, 10}, B={2, 4, 6, 8}이고

B,X,A를 만족시키는 집합 X는 집합 A의 부분집합 중 2, 4, 6, 8을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 그 개수는

 2Ú`â`ÑÝ`=2ß`=64

 이때 X+A, X+B이므로 구하는 집합 X의 개수는

64-2=62

 답 62

 B,X,A에서 집합 X의 의미 알기 30 %

 B,X,A를 만족시키는 집합 X의 개수 구하기 40 %

 B,X,A, X+A, X+B를 만족시키는 집합 X의 개수

구하기 30 %

0057

A={x|x=3n+1, n은 0<nÉ6인 정수}에서 n=1, 2, y, 6이므로 A={4, 7, 10, 13, 16, 19}

집합 A의 원소 중 소수는 7, 13, 19이므로 집합 A의 부분집합 중 적어도 한 개의 소수를 원소로 갖는 부분집합의 개수는 전체 부분집합의 개수에서 소수 7, 13, 19를 원소로 갖지 않는 부분집 합의 개수를 뺀 것과 같다.

∴ 2ß`-2ß`ÑÜ`=64-8=56

답 56

(7)

01. 집합의 뜻과 표현 007 ㅁ. {x|x는 4보다 큰 짝수}={6, 8, 10, 12, y}이므로 무한집

합이다.

따라서 유한집합인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ㄱ, ㄷ

0066

집합 A={á, a, b, {c}}의 원소는 á, a, b, {c}이다.

③ {b}²A이므로 {á, {b}}øA

답 ③

0067

① n({ㄱ, ㄴ, ㄷ})-n({ㄹ, ㅁ})=3-2=1

② n({1})+n({3})=1+1=2

③ n({x, y})=n({8, 9})=2

④ A={1, 2, 3}, B={3, 4, 5}일 때, n(A)=n(B)이지만 A+B이다.

⑤ n(á)+n({2})+n({0, á})=0+1+2=3 따라서 옳지 않은 것은 ②, ④이다.

답 ②, ④

0068

A={-2, 0, 2}이므로 a<A, b<A에 대하여 b-a 의 값을 구하면 다음 표와 같다.

a b -2 0 2

-2 0 2 4

0 -2 0 2

2 -4 -2 0

∴ B={-4, -2, 0, 2, 4}

따라서 집합 B의 모든 원소의 합은 -4+(-2)+0+2+4=0

답 0

0069

X={2, 3, 5, 7},

Y={x|(x-2)(x-3)=0}={2, 3}, Z={x|x는 7보다 작은 소수}={2, 3, 5}

이므로 Y,Z,X이다.

답 ④

0070

A={2, 4, 6, 8}이므로 a<A, b<A에 대하여 ba 의 값을 구하면 다음 표와 같다.

a b 2 4 6 8

2 1 2 3 4

4 ;2!; 1 ;2#; 2

6 ;3!; ;3@; 1 ;3$;

8 ;4!; ;2!; ;4#; 1

0062

① 원소 7은 3과 5의 합의 꼴로 나타낼 수 없다.

② 3<S, 5<S이므로 3+5=8<S

③ 3<S이므로 3+(3+3)=9<S

④ 5<S이므로 5+5=10<S

⑤ 3<S, 5<S이므로 (3+3)+5=11<S

따라서 반드시 집합 S의 원소라고 할 수 없는 것은 ① 7이다.

답 ①

0063

집합 A의 원소는 자연수이고, x<A이면 1264x <A이므 로 x가 될 수 있는 수는 64의 양의 약수인 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 이다.

 이때 1과 64, 2와 32, 4와 16은 어느 하나가 집합 A의 원소이면 나머지 하나도 반드시 A의 원소이고, 8도 집합 A의 원소가 될 수 있으므로 집합 A의 원소의 개수는

A={1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}일 때 최대이고, A={8}일 때 최 소이다.

 따라서 M=7, m=1이므로

M-m=6

 답 6

 x가 될 수 있는 수 구하기 30 %

 집합 A의 원소의 개수가 최대일 때와 최소일 때 구하기 50 %

 M-m의 값 구하기 20 %

0064

ㄴ, ㄷ. ‘큰’, ‘가까이’ 등은 기준이 명확하지 않으므로 집 합이 아니다.

따라서 보기 중 집합인 것은 ㄱ, ㄹ의 2개이다.

답 ③

0065

ㄱ. {x|x는 10의 양의 약수}={1, 2, 5, 10}이므로 유 한집합이다.

ㄴ. {x|x는 3의 양의 배수}={3, 6, 9, 12, y}이므로 무한집합 이다.

ㄷ. {x|xÛ`+4=0, x는 실수}에서 xÛ`+4=0을 만족시키는 실수 x는 없으므로 공집합이다. 즉 유한집합이다.

ㄹ. {x||x|<2인 유리수}={x|-2<x<2인 유리수}이므로 무한집합이다.

(8)

008^{정답과 풀이}

5<A이면 205 =4<A 10<A이면 2010 =2<A 20<A이면 2020 =1<A

따라서 1과 20, 2와 10, 4와 5는 어느 하나가 집합 A의 원소이면 나머지 하나도 반드시 A의 원소이고, A는 공집합이 아니므로 구 하는 집합 A의 개수는

2Ü`-1=7

답 ③ 다른풀이　Ú 집합 A의 원소가 2개일 때 {1, 20}, {2, 10}, {4, 5}

Û 집합 A의 원소가 4개일 때 {1, 2, 10, 20}, {1, 4, 5, 20}, {2, 4, 5, 10}

Ü 집합 A의 원소가 6개일 때 {1, 2, 4, 5, 10, 20}

따라서 집합 A의 개수는 7이다.

0075

{a, b, c},X에서 집합 X는 a, b, c를 반드시 원소로 가져야 한다.

 g²X에서 집합 X는 g를 원소로 갖지 않아야 한다.

 따라서 집합 X는 a, b, c를 반드시 원소로 갖고, g를 원소로 갖 지 않는 집합 A의 부분집합이므로 구하는 집합 X의 개수는 2à`ÑÜ`ÑÚ`=2Ü`=8

 답 8

 집합 X가 a, b, c를 반드시 원소로 갖는 집합임을 알기 30 %

 집합 X가 g를 원소로 갖지 않는 집합임을 알기 30 %

 집합 X의 개수 구하기 40 %

0076

두 집합 A, B에 대하여 A,B가 성립하도록 수직선 위 에 나타내면 다음 그림과 같다.

2k -2 -3k 12 x

A B

 이때 A,B이려면 2kÉ-2, -3kÉ12이어야 한다.

kÉ-1, k¾-4에서 -4ÉkÉ-1

 따라서 M=-1, m=-4이므로

Mm=4

 답 4 즉 B=[;4!;, ;3!;, ;2!;, ;3@;, ;4#;, 1, ;3$;, ;2#;, 2, 3, 4]

따라서 집합 B의 진부분집합의 개수는 2Ú`Ú`-1=2047

답 2047

0071

A={1, a+5, aÛ`}, B={3, 4, aÛ`-3}에서 1<A이므로 1<B 이어야 한다.

즉 aÛ`-3=1, aÛ`=4

∴ a=2 또는 a=-2 Ú a=2일 때

A={1, 4, 7}, B={1, 3, 4}에서 A+B Û a=-2일 때

A={1, 3, 4}, B={1, 3, 4}에서 A=B 따라서 구하는 상수 a의 값은 -2이다.

답 -2

0072

xÛ`-7x+12=0에서 (x-3)(x-4)=0

∴ x=3 또는 x=4 이므로 A={3, 4}

x= 12n (n은 자연수)를 만족시키는 자연수 x는 12의 양의 약수 이므로 1, 2, 3, 4, 6, 12

∴ B={1, 2, 3, 4, 6, 12}

따라서 A,X,B, 즉 {3, 4},X,{1, 2, 3, 4, 6, 12}를 만 족시키는 집합 X는 집합 B의 부분집합 중 3, 4를 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 구하는 집합 X의 개수는

2ß`ÑÛ`=2Ý`=16

답 16

0073

구하는 집합은 집합 A의 원소 중 3의 배수, 즉 3, 6, 9를 원소로 갖지 않으므로 2, 4, 5, 7, 8 중 적어도 하나의 2의 배수 를 원소로 갖는 집합이다.

즉 {2, 4, 5, 7, 8}의 부분집합의 개수에서 2의 배수 2, 4를 원소 로 갖지 않는 부분집합의 개수를 빼면 된다.

∴ 2Þ`-2Þ`ÑÜ`=32-4=28

답 ②

0074

^집합A의 원소는 자연수이고, a<A이면 20a <A이므 로 a가 될 수 있는 수는 20의 양의 약수인 1, 2, 4, 5, 10, 20이다.

1<A이면 201 =20<A 2<A이면 202 =10<A 4<A이면 204 =5<A

(9)

01. 집합의 뜻과 표현 009 이므로 집합 AÁ, Aª, A£, y, AÁ°에는 1이 모두 8개 있다.

마찬가지로 2, 4, 8도 모두 8개씩 있으므로 f(AÁ)_f(Aª)_f(A£)_y_f(AÁ°)

=1¡`_2¡`_4¡`_8¡`

=2¡`_2Ú`ß`_2Û`Ý`=2Ý`¡`

∴ m=48

집합 B의 공집합이 아닌 부분집합 중 1을 원소로 갖는 부분집합 의 개수는

2Þ`ÑÚ`=2Ý`=16

이므로 집합 BÁ, Bª, B£, y, B£Á에는 1이 모두 16개 있다.

마찬가지로 3, 9, 27, 81도 모두 16개씩 있으므로 f(BÁ)_f(Bª)_f(B£)_y_f(B£Á)

=1Ú`ß`_3Ú`ß`_9Ú`ß`_27Ú`ß`_81Ú`ß`

=3Ú`ß`_3Ü`Û`_3Ý`¡`_3ß`Ý`=3Ú`ß`â`

∴ n=160

∴ n

m =:Á4¤8¼:=:Á3¼:

답:Á3¼:

 A,B가 성립하도록 수직선 위에 나타내기 30 %

 실수 k의 값의 범위 구하기 50 %

 Mm의 값 구하기 20 %

0077

^ㄱ.4Ú`=4, 4Û`=16, 4Ü`=64, 4Ý`=256, y이므로 A(4)={4, 6} ∴ n(A(4))=2

ㄴ. 8Ú`=8, 8Û`=64, 8Ü`=512, 8Ý`=4096, 8Þ`=32768, y이므로 A(8)={2, 4, 6, 8}이고 A(4)={4, 6}이므로

A(4),A(8)

ㄷ. m=3이면 A(27)={1, 3, 7, 9}이고 A(3)={1, 3, 7, 9}이므로 A(3Ü`)=A(3) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

답 ㄱ, ㄷ

0078

집합 A의 공집합이 아닌 부분집합 중 1을 원소로 갖는 부분집합의 개수는

2Ý`ÑÚ`=2Ü`=8

(10)

010^{정답과 풀이}

0092

A` =U-A

={1, 2, 4, 6, 7, 8, 9}-{2, 4, 6}

={1, 7, 8, 9}

답 {1, 7, 8, 9}

0093

B` =U-B

={1, 2, 4, 6, 7, 8, 9}-{4, 7, 9}

={1, 2, 6, 8}

답 {1, 2, 6, 8}

0094

A-B={2, 4, 6}-{4, 7, 9}={2, 6}

답 {2, 6}

0095

B-A={4, 7, 9}-{2, 4, 6}={7, 9}

답 {7, 9}

0096

^답^{㈎ :}^{드모르간의}^법칙^{, ㈏ :}^결^합^법칙

0097

(A` 'B);A =(A` ;A)'(B;A)

=á'(B;A)=B;A

답 B;A

0098

(B` -A)` ;A =(B`;A` )` ;A

=(B'A);A=A

답 A

0099

(A'B)'(A` ;B` )=(A'B)'(A'B)` =U 답 U

0100

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)이므로 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)

=7+5-10=2

답 2

0101

n(A` )=n(U)-n(A)=60-37=23

답 23

0102

n(B-A)=n(B)-n(A;B)=40-22=18 답 18

0103

n(A;B` ) =n(A-B)=n(A)-n(A;B)

=37-22=15

답 15

집합의 연산

Ⅰ. 집합과 명제

02

0079

^답 A'B={1, 3, 5, 9, 13}, A;B={5, 9}

0080

A={x|x는 8의 양의 약수}={1, 2, 4, 8}이므로 A'B={1, 2, 4, 6, 8, 10}, A;B={2, 4, 8}

답 A'B={1, 2, 4, 6, 8, 10}, A;B={2, 4, 8}

0081

^답 A'B={a, b, c, d}, A;B=á

0082

^답 A'B={1, 2, 5, 7, 9, 10}, A;B={1, 2}

0083

A={x|x는 10의 양의 약수}={1, 2, 5, 10}이므로 A;B={10}

따라서 두 집합 A, B는 서로소가 아니다.

답서로소가아니다.

0084

A;B=á이므로 두 집합 A, B는 서로소이다.

답서로소이다.

0085

A;B=á이므로 두 집합 A, B는 서로소이다.

답서로소이다.

0086

^답 {2, 3, 5, 6, 7, 9, 10}

0087

^답 {1, 4, 6, 8, 10}

0088

C ={x|x는 10 이하의 자연수}

={1, 2, 3, y, 9, 10}=U

∴ C` =á

답 á

0089

^답 A-B={a, b, d}, B-A={e, g}

0090

^답 A-B={1, 3, 5}, B-A={2, 4, 6}

0091

A={1, 3, 5, 15}, B={1, 3, 5, 7, 9}이므로 A-B={15}, B-A={7, 9}

답 A-B={15}, B-A={7, 9}

(11)

02. 집합의 연산 011

0111

A;B={1, 5}에서 5<A이므로 aÛ`+1=5 ∴ a=Ñ2

Ú a=2일 때, A={1, 2, 5}, B={0, 1, 5}

∴ A;B={1, 5}

Û a=-2일 때, A={1, 2, 5}, B={-7, 0, 5}

∴ A;B={5}

Ú, Û에서 구하는 a의 값은 2이다.

답 ④

0112

A;B={1, 2}에서 2<A, 1<B이므로 a-1=2 또는 a+2=2, b-4=1 또는 b+1=1

 a+2=2이면 이를 만족시키는 자연수 a는 존재하지 않으므로 a-1=2 ∴ a=3

 또한, b+1=1이면 이를 만족시키는 자연수 b는 존재하지 않으므 로

b-4=1 ∴ b=5

 따라서 A={1, 2, 5}, B={1, 2, 6}이므로

A'B={1, 2, 5, 6}

 답 {1, 2, 5, 6}

 A;B의 의미 이해하기 20 %

 a의 값 구하기 30 %

 b의 값 구하기 30 %

 A'B 구하기 20 %

0113

A;B={-1, 2}에서 2<A이므로 aÛ`+a-4=2, aÛ`+a-6=0

(a+3)(a-2)=0 ∴ a=-3 또는 a=2 Ú a=-3일 때, A={-1, 0, 2}, B={2, 6, 9}

∴ A;B={2}

Û a=2일 때, A={-1, 0, 2}, B={-1, 1, 2}

∴ A;B={-1, 2}

Ú, Û에서 구하는 a의 값은 2이다.

답 2

0114

A={1, 2, 3, 4, 6, 12}이므로 A;B={1, 3}을 만족 시키려면 집합 B는 1, 3을 반드시 원소로 가져야 하고 2, 4, 6, 12를 원소로 갖지 않아야 한다.

1ÉaÉ20인 자연수 중 조건을 만족시키는 것은 3, 9, 15이므로 a의 최댓값은 15, 최솟값은 3이다.

0104

n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=37+40-22=55

답 55

0105

n(A` ;B` ) =n((A'B)` )=n(U)-n(A'B)

=60-55=5

답 5

0106

n(A` 'B` ) =n((A;B)` )=n(U)-n(A;B)

=60-22=38

답 38

0107

^n(A'B'C)

=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C)

-n(C;A)+n(A;B;C)

=50+35+26-9-7-8+4

=91

답 91

0108

A={3, 4, 6, 8}, B={4, 5, 9}, C={1, 2, 4, 8}

① A;B={3, 4, 6, 8};{4, 5, 9}={4}

② B'C={4, 5, 9}'{1, 2, 4, 8}={1, 2, 4, 5, 8, 9}

③ (A;B);C={4};{1, 2, 4, 8}={4}

④ (A'B);C={3, 4, 5, 6, 8, 9};{1, 2, 4, 8}={4, 8}

⑤ A'(B;C)={3, 4, 6, 8}'{4}={3, 4, 6, 8}

답 ④

0109

B={1, 3, 5, 15}이므로 A;B, A'B를 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

∴ A={2, 3, 4, 5, 6}

따라서 집합 A의 모든 원소의 합은

2+3+4+5+6=20 답 20

0110

집합 B는 2, 3, 6을 반드시 원소로 가 져야 하고 4, 7은 원소로 갖지 않아야 한다.

따라서 집합 B가 될 수 없는 것은 ③ {2, 3, 4, 6}

이다.

답 ③

" #

(12)

012^{정답과 풀이}

0119

A'B={1, 3, 5, 7, 9}, A` ={3, 6, 9, 12}에서 A'B의 원소 중 3과 9는 A` 의 원소이므로

B-A={3, 9}

따라서 집합 B-A의 모든 원소의 합은 3+9=12

답 12

0120

U={1, 2, 3, y, 9}에서 (A'B)` ={1, 9}이므로 A'B={2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

또한, A-B={2, 5, 7}, B;A``=B-A={4, 8}이므로 이 것을 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽

그림과 같다.

∴ B={3, 4, 6, 8}

답 {3, 4, 6, 8}

0121

A={1, 2, 4, 8}, B={2, 4, 6, 8}이므로 A` =U-A={3, 5, 6, 7, 9}

A` -B ={3, 5, 6, 7, 9}-{2, 4, 6, 8}={3, 5, 7, 9}

따라서 집합 A` -B의 모든 원소의 합은 3+5+7+9=24

답 24

0122

A-B={1, 2}에서 2<A이므로

xÛ`-x=2, (x+1)(x-2)=0 ∴ x=-1 또는 x=2 Ú x=-1일 때, A={1, 2, 3}, B={0, 1, 2}이므로

A-B={3}

Û x=2일 때, A={1, 2, 3}, B={3, 4, 5}이므로 A-B={1, 2}

Ú, Û에서 구하는 x의 값은 2이다.

답 2

0123

A-B={3}이므로 2a-b, 1, 5는 A;B의 원소이다.

즉 2a-b<B, 1<B a+3b=1, 2a-b=9 위의 두 식을 연립하여 풀면 a=4, b=-1 ∴ a+b=3

답 3

0124

B;A` =B-A={2}이므로 2<B 즉 x=2 또는 x+1=2

 Ú x=2일 때, A={1, 3, 8}, B={1, 2, 3}이므로

B-A={2}



6

" #

6

" #

따라서 a의 최댓값과 최솟값의 합은 18이다.

답 18

0115

ㄱ. {x|x=2n, n은 자연수}={2, 4, 6, y}

ㄴ. {x|x=2n-1, n은 자연수}={1, 3, 5, y}

ㄷ. {x|xÛ`-6x+8=0} ={x|(x-2)(x-4)=0}

={2, 4}

ㄹ. {x|x는 9의 양의 약수}={1, 3, 9}

ㅁ. xÛ`<0을 만족시키는 자연수 x는 없으므로 {x|xÛ`<0, x는 자연수}=á

따라서 집합 {1, 3, 5, 7}과 서로소인 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다.

답 ㄱ, ㄷ, ㅁ

0116

두 집합 A, B가 서로소이면 A;B=á이다.

① A;B={2, 5, 8};{3, 6, 8, 9}={8}

② A={1, 3, 5, 7, y}, B={3, 5, 7, 11, y}이므로 A;B=B

③ 집합 B에서 x는 |x|>1인 정수이므로 x>1 또는 x<-1인 정수이다.

즉 B={y, -3, -2, 2, 3, y}

∴ A;B=á

따라서 두 집합 A, B는 서로소이다.

④ A={2, 3, 5, 7}, B={2, 4, 8, y}이므로 A;B={2}

⑤ A;B=á이므로 두 집합 A, B는 서로소이다.

따라서 두 집합 A, B가 서로소인 것은 ③, ⑤이다.

답 ③, ⑤

0117

k-1<k이므로 A;B=á이 되도록 두 집합 A, B를 수직선 위에 나타내면 다음과 같다.

L L L L Y

# "

즉 2k-1Ék이어야 하므로 kÉ1 따라서 양수 k의 최댓값은 1이다.

답 1

0118

U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

③ A-B={2, 5}이므로 (A-B)` ={1, 3, 4, 6, 7}

답 ③

U

A B

2 5

1 3

4 7

6

(13)

02. 집합의 연산 013 따라서 색칠한 부분을 나타내는 집합은

(A-B);(A-C)

답 ②

0129

① U` =á이므로 U` ,A

② U-A` =A

③ A;B=á일 때, A` 은 오른쪽 그림의 색칠한 부분과 같다.

④ (A'B),U

⑤ A'A` =U

답 ③

0130

A'B=B이므로 A,B이다.

따라서 두 집합 A, B에 대하여 A,B가 성립하기 위해서는

 안에 12의 약수가 들어가야 한다.

따라서  안에 들어갈 수 없는 것은 ⑤ 8이다.

답 ⑤

0131

ㄱ, ㄴ. A-B=A;B`

ㄷ. B-A` =B;(A` )` =B;A ㄹ. A-(A;B)=A-B=A;B`

ㅁ. A;(U-B)=A;B`

따라서 나머지 넷과 다른 집합은 ㄷ이다.

답 ㄷ

0132

두 집합 A, B가 서로소이므로 A;B=á ㄱ. (A;B)` =á` =U

ㄴ. A-(A;B)=A-á=A ㄷ. A;B` =A-B=A

ㄹ. A;B=á에서 BøA이므로 A` øB`

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

답 ㄱ, ㄴ

0133

(A-B)'X=X이므로 (A-B),X (A'B);X=X이므로 X,(A'B)

∴ (A-B),X,(A'B)

즉 {1, 2, 3},X,{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

따라서 집합 X는 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}의 부분집합 중 1, 2, 3을 반드시 원소로 갖는 부분집합이므로 집합 X의 개수는 2¡`ÑÜ`=2Þ`=32

답 ④

0134

X-(X;Y)=X이므로 X;Y=á

따라서 집합 Y는 {1, 2, 3, 4, 5, 6}의 부분집합 중 3, 4, 5, 6을

U

A B

Û x+1=2, 즉 x=1일 때, A={0, 3, 4}, B={1, 2}이므로 B-A={1, 2}

 Ú, Û에서 A={1, 3, 8}, B={1, 2, 3}이므로

A'B={1, 2, 3, 8}

 답 {1, 2, 3, 8}

 2<B임을 이해하기 20 %

 x=2일 때, B-A 구하기 30 %

 x+1=2일 때, B-A 구하기 30 %

 A'B 구하기 20 %

0125

A={x|xÛ`-x-6=0}={-2, 3}, A-B={3}이므로 -2<B이다.

즉 방정식 xÛ`-ax-10=0의 한 근이 -2이므로 4+2a-10=0 ∴ a=3

이때 B={x|xÛ`-3x-10=0}={-2, 5}

∴ A'B={-2, 3, 5}

답 {-2, 3, 5}

0126

주어진 벤다이어그램의 색칠한 부분은 집합 A에서 C-B를 뺀 것과 같다.

∴ A-(C-B)

답 ③

0127

①, ③ A-B=A;B`

U

A B

② U-A ④ A` -B

U

A B

U

A B

따라서 색칠한 부분을 나타내는 집합은 ⑤이다.

답 ⑤

0128

⁶ _"

"# "$

$

#

6

"

$

#

(14)

014^{정답과 풀이}

0138

^A-B={2}

A` ;B=B-A={3}

(A'B)` ={1, 5}

이므로 주어진 조건을 벤다이어그램으로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

∴ A;B={4}

답 {4}

0139

(A'B);(A;B)`` =(A'B)-(A;B)

={1, 2, 4, 7}

이고, A={2, 3, 4, 5, 6}이므로 오른 쪽 벤다이어그램에서

A;B={3, 5, 6}임을 알 수 있다.

따라서 집합 A;B의 모든 원소의 합 은 3+5+6=14

답 14

0140

(A'B);B=B, (A;B)'A=A이므로 {(A'B);B};{(A;B)'A}` =B;A` =B-A 즉 B-A={3, 4, 5, 6}이므로 3, 4, 5, 6은 A;B;C의 원소 가 될 수 없다.

한편, 1²C이므로 1도 A;B;C의 원소가 될 수 없다.

따라서 집합 A;B;C의 원소가 될 수 있는 것은 2뿐이다.

답 ①

0141

(A-B)-C =(A;B `);C``=A;(B`;C `)

=A;(B'C)` =A-(B'C)`

답 ②

0142

(A-B)'(A-C) =(A;B` )'(A;C` )

=A;(B` 'C` )

=A;(B;C)`

=A-(B;C)

답 ⑤

0143

ㄱ. A;(A'B)` =A;(A` ;B` )

=(A;A` );B`

=á;B` =á ㄴ. (A;B)-(A;C)

=(A;B);(A;C)`

=(A;B);(A` 'C` )

={(A;B);A` }'{(A;B);C` }

=á'{(A;B);C` }

=(A;B);C`

=(A;B)-C

6

" #

" # 6

원소로 갖지 않는 부분집합이므로 집합 Y의 개수는 2ß`ÑÝ`=2Û`=4

답 4

0135

{1, 3, 5, 7}'X={1, 2, 3, 5, 6, 7}에서 집합 X는 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}의 부분집합 중 2, 6을 반드시 원소로 갖 고, 4, 8을 원소로 갖지 않는 부분집합이므로 집합 X의 개수는 2¡`ÑÛ`ÑÛ`=2Ý`=16 ∴ a=16

{2, 3, 4, 5, 6, 7};Y={2, 4, 6, 7}에서 집합 Y는

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}의 부분집합 중 2, 4, 6, 7을 반드시 원소 로 갖고, 3, 5를 원소로 갖지 않는 부분집합이므로 집합 Y의 개 수는

2¡`ÑÝ`ÑÛ`=2Û`=4 ∴ b=4

∴ a+b=16+4=20

답 20

0136

U={1, 2, 3, y, 9, 10}이고 U의 부분집합 C가 A'C=B'C, 즉 {3, 6, 9}'C={2, 4, 6, 8}'C를 만족시 키려면 집합 C는 두 집합 {3, 6, 9}, {2, 4, 6, 8}의 공통인 원소 6을 제외한 나머지 원소 2, 3, 4, 8, 9를 반드시 원소로 가져야 한다.

따라서 구하는 집합 C의 개수는 2Ú`â`ÑÞ`=2Þ`=32

답 32 다른풀이 A'C=B'C이려면 오른

쪽 벤다이어그램에서 색칠한 부분에 속 하는 원소가 없어야 한다.

∴ (A-B),C, (B-A),C 이때 집합 C는 전체집합 U의 부분집 합이므로

{(A-B)'(B-A)},C,U

A-B={3, 9}, B-A={2, 4, 8}이므로 {2, 3, 4, 8, 9},C,{1, 2, 3, y, 10}

따라서 구하는 집합 C의 개수는 2Ú`â`ÑÞ`=2Þ`=32

0137

(A'B);(A` 'B` ) =(A'B);(A;B)`

=(A'B)-(A;B)

={2, 4, 6}

이고, A={2, 3}이므로 벤다이어그램으 로 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

이때 A` ;B` =(A'B)` ={1, 5}이므 로 A` ;B` 의 모든 원소의 곱은 5이다.

답 5

U A

B C

6

" #

(15)

02. 집합의 연산 015

0148

A ={x||x-1|<a}

={x|-a<x-1<a}

={x|-a+1<x<a+1}

B ={x|xÛ`-2x-15<0}

={x|(x+3)(x-5)<0}

={x|-3<x<5}

A;B=A, 즉 A,B이므로 오른쪽 그림에서

-a+1¾-3, a+1É5

∴ aÉ4

따라서 양수 a의 최댓값은 4이다.

답 4

0149

A-B=A;B` 이고 B` ={x|(x+a)(x-3)>0}

A ={x|xÛ`-5x+4<0}

={x|(x-1)(x-4)<0}

={x|1<x<4}

A;B` ={x|3<x<4}이려면 오른쪽 그림에서

-aÉ1 ∴ a¾-1

답 a¾-1

0150

A ={x|xÛ`-4x+4¾0}={x|(x-2)Û`¾0}

={x|x는 모든 실수}

B ={x|xÛ`-3x>0}={x|x(x-3)>0}

={x|x<0 또는 x>3}

B'C=A, B;C={x|-1Éx<0}이므로 오른쪽 그림에서

C ={x|-1ÉxÉ3}

={x|(x+1)(x-3)É0}

={x|xÛ`-2x-3É0}

따라서 a=-2, b=-3이므로 ab=6

답 ①

0151

n(A` ;B` ) =n((A'B)` )

=n(U)-n(A'B)

=20-n(A'B)=8

∴ n(A'B)=12

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 12=n(A)+n(B)-4

∴ n(A)+n(B)=16 답 16

0152

A,B` 이므로 A;B=á 즉 n(A;B)=0

 B B Y

#

"

#a #a

"

B  Y

#

Y

 

$

ㄷ. A-(A-B) =A;(A;B` )`

=A;(A` 'B)

=(A;A` )'(A;B)

=á'(A;B)=A;B ㄹ. A-(B'C)=A;(B'C)` =A;B` ;C`

(A-B);(A-C) =(A;B` );(A;C` )

=A;B` ;C`

∴ A-(B'C)=(A-B);(A-C) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

답 ㄱ, ㄴ, ㄹ

0144

(B-A);A ` =(B;A `);A`

=B;(A` ;A `)

=B;A`=B-A 즉 B-A=á이므로 B,A

따라서 B,A를 항상 만족시키는 것은 ① A'B=A이다.

답 ①

0145

{(A;B)'(A-B)};B

={(A;B)'(A;B `)};B

={A;(B'B `)};B

=(A;U);B=A;B 즉 A;B=A이므로 A,B

따라서 A,B를 항상 만족시키는 것은 ① A-B=á이다.

답 ①

0146

{(A` ;B` )'(B-A)}'B`

={(A` ;B` )'(B;A` )}'B`

={(A` ;B` )'(A` ;B)}'B`

={A` ;(B` 'B)}'B`

=(A` ;U)'B`

=A` 'B`

따라서 A` 'B` =A` 이므로 B` ,A` , 즉 A,B

답 ②

0147

A ={x|xÛ`-4x+3É0}

={x|(x-1)(x-3)É0}

={x|1ÉxÉ3}

A;B=á, A'B={x|1Éx<5}이므로 오른쪽 그림에서

B ={x|3<x<5}

={x|(x-3)(x-5)<0}

={x|xÛ`-8x+15<0}

따라서 a=-8, b=15이므로 a+b=7

답 7

#

Y

"

(16)

016^{정답과 풀이}

n(A)=23, n(B)=18, n(A'B)=30

 두 문제를 모두 푼 학생 수는 n(A;B)이므로

n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)

=23+18-30

=11

 답 11

 두 문제 A, B를 푼 학생의 집합을 각각 A, B로 놓기 20 %

 n(A), n(B), n(A'B)의 값 구하기 30 %

 두 문제를 모두 푼 학생 수 구하기 50 %

0158

한라산을 등반해 본 회원의 집합을 A, 설악산을 등반해 본 회원의 집합을 B라 하면

n(A)=23, n(A;B)=15, n(A'B)=33 설악산을 등반해 본 회원 수는 n(B)이므로 n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)에서 33=23+n(B)-15 ∴ n(B)=25

답 25

0159

n(A-B)=n(A)-n(A;B)이므로 5=18-n(A;B) ∴ n(A;B)=13

∴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=18+20-13

=25

색칠한 부분이 나타내는 집합은 (A'B) `이므로 n((A'B)` )=n(U)-n(A'B)=30-25=5

답 ②

0160

n(A` ;B` ) =n((A'B)` )

=7

주어진 집합의 원소의 개수를 벤다이어그 램에 나타내면 오른쪽 그림과 같다.

∴ n(A) =n(U)-n(B-A)-n((A'B) `)

=43-16-7=20

답 20

0161

n(U-B)=n(U)-n(B)에서 14=26-n(B) ∴ n(B)=12 n(A-B)=n(A)-n(A;B)에서 10=17-n(A;B) ∴ n(A;B)=7 색칠한 부분이 나타내는 집합은 B-A이므로 n(B-A) =n(B)-n(A;B)=12-7=5

답 5

" # 6

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 10=6+n(B)-0 ∴ n(B)=4

답 4

0153

n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)

=11+10-16=5 n(B;C) =n(B)+n(C)-n(B'C)

=10+7-12=5

A;C=á에서 A;B;C=á이므로 n(A;C)=0, n(A;B;C)=0

∴ n(A'B'C)

=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B)-n(B;C)

-n(C;A)+n(A;B;C)

=11+10+7-5-5-0+0=18

답 18

0154

A,B이므로 A'B'C=B'C n(B'C) =n(B)+n(C)-n(B;C)

=8+4-2=10

∴ n(A` ;B` ;C` ) =n((A'B'C)` )

=n(U)-n(A'B'C)

=n(U)-n(B'C)

=30-10=20

답 20

0155

음악을 좋아하는 학생의 집합을 A, 미술을 좋아하는 학 생의 집합을 B라 하면

n(A)=16, n(B)=19, n(A;B)=9 음악을 좋아하거나 미술을 좋아하는 학생 수는 n(A'B)이므로

n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=16+19-9=26

답 26

0156

닭을 기르는 가구의 집합을 A, 토끼를 기르는 가구의 집 합을 B라 하면

n(A)=150, n(B)=113, n(A'B)=220 닭과 토끼를 모두 기르는 가구 수는 n(A;B)이므로 n(A;B) =n(A)+n(B)-n(A'B)

=150+113-220=43

답 43

0157

A문제를 푼 학생의 집합을 A, B문제를 푼 학생의 집합 을 B라 하면



(17)

02. 집합의 연산 017 n(B-A)=n(A'B)-n(A)=29-18=11

∴ b=11

∴ a+b=14+11=25

답 25

0166

50명의 학생 전체의 집합을 U, 세 권의 책 A, B, C를 읽은 학생의 집합을 각각 A, B, C라 하면

n(U)=n(A'B'C)=50 n(A)=27, n(B)=21, n(C)=30 n(A;B;C)=6

n(A'B'C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A;B) -n(B;C)-n(C;A)+n(A;B;C) 이므로

50=27+21+30-n(A;B)-n(B;C)-n(C;A)+6

∴ n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)=34 따라서 세 권의 책 중 한 권만 읽은 학생 수는 n(U)-{n(A;B)+n(B;C)+n(C;A)

-2_n(A;B;C)}

=50-(34-2_6)=28

답 28

0167

50명의 학생 전체의 집합을 U, 음악을 좋아하는 학생의 집합을 A, 영화를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=50, n(A)=36, n(B)=21

Ú n(A;B)가 최대일 때는 B,A일 때이므로 n(A;B)=n(B)=21

∴ M=21

Û n(A;B)가 최소일 때는 n(A'B)=n(U)일 때이므로 n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서

50=36+21-n(A;B) ∴ n(A;B)=7

∴ m=7

∴ M-m=21-7=14

답 14

0168

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 Ú n(A'B)의 최댓값 : n(A;B)가 최소일 때이다.

n(A;B)¾13에서 n(A;B)=13일 때 n(A;B)의 값 이 최소이므로

n(A'B)=35+28-13=50

Û n(A'B)의 최솟값 : n(A;B)가 최대일 때이다.

B,A일 때, n(A;B)=n(B)=28이고 이때 n(A;B)

0162

n(A-B)=n(A)-n(A;B)이므로 14=16-n(A;B) ∴ n(A;B)=2 즉 n(B-A)=n(B)-n(A;B)=17-2=15

따라서 (B-A),X,B를 만족시키는 집합 X는 집합 B-A 의 원소 15개를 모두 원소로 갖는 집합 B의 부분집합이므로 집 합 X의 개수는

2Ú`à`ÑÚ`Þ`=2Û`=4

답 4

0163

30명의 학생 전체의 집합을 U, 핸드폰을 보유한 학생의 집합을 A, MP3를 보유한 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=30, n(A)=25, n(B)=20, n(A` ;B` )=4 n(A` ;B `)=n((A'B)` )=n(U)-n(A'B)에서 n(A'B)=30-4=26

n(A'B)=n(A)+n(B)-n(A;B)에서 26=25+20-n(A;B) ∴ n(A;B)=19 MP3만 보유한 학생 수는 n(B-A)이므로 n(B-A) =n(B)-n(A;B)

=20-19=1

답 1 다른풀이 MP3만 보유한 학생 수는 n(B-A)이므로

n(B-A)=n(A'B)-n(A)=26-25=1

0164

50명의 학생 전체의 집합을 U, 농구를 좋아하는 학생의 집합을 A, 축구를 좋아하는 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=50, n(A)=27, n(B)=34, n(A;B)=19

∴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=27+34-19

=42

두 종목 중 어느 것도 좋아하지 않는 학생 수는 n(A` ;B `)이 므로

n(A` ;B` ) =n((A'B) `)=n(U)-n(A'B)

=50-42

=8

답 8

0165

40명의 학생 전체의 집합을 U, 거울을 소지한 학생의 집 합을 A, 빗을 소지한 학생의 집합을 B라 하면

n(U)=40, n(A)=18 , n(B)=15, n(A` ;B` )=11 이때 n(A` ;B` )=n((A'B)` )=n(U)-n(A'B)에서 n(A'B)=40-11=29

거울만 소지한 학생 수는 n(A-B)이므로 n(A-B)=n(A'B)-n(B)=29-15=14

∴ a=14

빗만 소지한 학생 수는 n(B-A)이므로

(18)

018^{정답과 풀이}

0172

① A△B =(A'B)-(A;B)

=(B'A)-(B;A)=B△A

② A△á=(A'á)-(A;á)=A-á=A

③ A△A`=(A'A `)-(A;A `)=U-á=U

④ A△U=(A'U)-(A;U)=U-A=A``

⑤ A△A=(A'A)-(A;A)=A-A=á 따라서 옳지 않은 것은 ④이다.

답 ④

0173

(N¥'Nª¼),Nµ에서 N¥,Nµ, Nª¼,Nµ이므로 m은 8과 20의 공약수이고 이 중에서 m의 최댓값은 8과 20의 최 대공약수인 4이다.

∴ a=4

또한, N¹,(N£;N¢)에서 N£;N¢=NÁª이므로 N¹,NÁª 즉 p는 12의 배수이므로 p의 최솟값은 12이다.

∴ b=12

∴ a+b=4+12=16

답 16

0174

세 집합 A, B, C를 원소나열법으로 나타내면

A={2, 3, 5, 7}, B={1, 4, 7, 10, 13}, C={1, 3, 5, 7, 9}

이므로

A'C ={2, 3, 5, 7}'{1, 3, 5, 7, 9}

={1, 2, 3, 5, 7, 9}

∴ (A'C);B ={1, 2, 3, 5, 7, 9};{1, 4, 7, 10, 13}

={1, 7}

따라서 (A'C);B의 모든 원소의 합은 1+7=8

답 8

0175

B-A={7, 8}이므로 7, 8은 집합 B의 원소이다.

Ú 4a-5=7일 때, a=3

이때 A={1, 2, 4, 6}, B={4, 7, 8}이므로 B-A={7, 8}

Û aÛ`-1=7일 때, a=2'2 (∵ a>0)

이때 A={1, 2'2-1, 4, 4'2 }, B={4, 8'2-5, 7}이므 로 조건을 만족시키지 않는다.

Ú, Û에서 a=3

따라서 집합 A의 모든 원소의 합은 1+2+4+6=13

답 13 의 값이 최대이므로

n(A'B)=35+28-28=35

Ú, Û에서 n(A'B)의 최댓값과 최솟값의 합은 50+35=85

답 85

0169

40명의 학생 전체의 집합을 U, S회사 제품을 사용하고 있는 학생의 집합을 A, L회사 제품을 사용하고 있는 학생의 집 합을 B라 하면 S회사 제품도 L회사 제품도 사용하지 않는 학생 수는 n(A` ;B` )이고,

n(U)=40, n(A)=24, n(B)=14 이때

n(A` ;B` ) =n((A'B)` )

=n(U)-n(A'B)

=n(U)-{n(A)+n(B)-n(A;B)}

=n(U)-n(A)-n(B)+n(A;B)

=40-24-14+n(A;B)

=2+n(A;B)

한편, B,A일 때 n(A;B)의 값이 최대이므로 n(A;B)의 최댓값은 n(A;B)=n(B)=14

n(A)=24, n(B)=14에서 A;B=á일 때 n(A;B)의 값 이 최소이므로

n(A;B)의 최솟값은 n(A;B)=0이다.

즉 0Én(A;B)É14

n(A` ;B` )=2+n(A;B)에서 2Én(A` ;B` )É16

따라서 S회사 제품도 L회사 제품도 사용하지 않는 학생 수의 최 댓값과 최솟값의 합은

16+2=18

답 18

0170

A£'(A¢;A°)=A£'Aª¼

여기서 A£은 100 이하의 자연수 중에서 3의 배수의 집합, Aª¼은 100 이하의 자연수 중에서 20의 배수의 집합이다.

∴ n(A£'Aª¼) =n(A£)+n(Aª¼)-n(A£;Aª¼)

=n(A£)+n(Aª¼)-n(A¤¼)

=33+5-1=37

답 37

0171

(AÁ¥'A£¤);(A£¤'Aª¢)

=(A£¤'AÁ¥);(A£¤'Aª¢)

=A£¤'(AÁ¥;Aª¢)

=A£¤'A¦ª

=A£¤

답 ④

알피엠_수(하)_해설_001~037_1단원_ok.indd 18 2017-08-31 오후 5:06:51

(19)

02. 집합의 연산 019

③ (A'B);(A-B)` =(A'B);(A;B` )`

=(A'B);(A` 'B)

=(A;A` )'B

=á'B=B

④ (A-B` )-C =(A;B);C`

=A;(B;C` )

⑤ A-(B-C) =A;(B;C` )` =A;(B` 'C)

=(A;B` )'(A;C)

=(A-B)'(A;C) 따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

답 ⑤

0180

A`,B` 을 만족시키는 두 집합 A, B를 벤다이어그램으로 나타내면 오른 쪽 그림과 같으므로

B,A, A;B=B,

A'B=A, A'B`=U이다.

④ A-B+á

답 ④

0181

A={1, 2, 3, y, 10}, B={1, 3, 5, 7, 9, 11, y}이 므로 구하는 부분집합은 집합 A의 부분집합 중 A와 B의 공통 원소인 1, 3, 5, 7, 9를 원소로 갖지 않는 부분집합이므로 구하는 집합의 개수는

2Ú`â`ÑÞ`=2Þ`=32 답 32

0182

{(A;B)'(A-B)};B

={(A;B)'(A;B` )};B

={A;(B'B` )};B

=(A;U);B=A;B 즉 A;B=B이므로 B,A

④ B,A이므로 A` ,B`

답 ④

0183

1부터 100까지의 자연수 전체의 집합을 U, 1부터 100 까지의 자연수 중 3의 배수의 집합을 A, 5의 배수의 집합을 B라 하면 A;B는 15의 배수의 집합이므로

n(U)=100, n(A)=33, n(B)=20, n(A;B)=6

∴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=33+20-6=47

따라서 3의 배수도 아니고 5의 배수도 아닌 자연수의 개수는 n(A`;B `) =n((A'B) `)=n(U)-n(A'B)

=100-47=53

답 ③

6

"

#

0176

A={1, 2, 3, 4, 5, 6}, B={7}, C={2, 4, 6, y}, D={2, 3, 5, 7}, E={-2, -1, 0, 1, 2}이다.

① A;B={1, 2, 3, 4, 5, 6};{7}=á

② A;C ={1, 2, 3, 4, 5, 6};{2, 4, 6, y}

={2, 4, 6}

③ B;D={7};{2, 3, 5, 7}={7}

④ C;D={2, 4, 6, y};{2, 3, 5, 7}={2}

⑤ D;E ={2, 3, 5, 7};{-2, -1, 0, 1, 2}

={2}

따라서 서로소인 것은 ①이다. 답 ①

0177

^A=[;2!;, ;2@;, ;2#;, ;2$;, y, :°2¼:]

B=[;3!;, ;3@;, ;3#;, ;3$;, y, :°3¼:]

이므로 A;B={1, 2, 3, y, 16}

∴ n(A'B) =n(A)+n(B)-n(A;B)

=50+50-16=84

답 84

0178

보기의 집합을 벤다이어그램으로 나타내면

① _A _B

C

U ② _A _B

C U

③ _A _B

C

U ④ _A _B

C U

⑤ _A _B

C U

답 ②

0179

① (A-B` )` ;A =(A;B)` ;A

=(A` 'B` );A

=(A` ;A)'(B` ;A)

=á'(B` ;A)

=B` ;A=A-B

② (A-B)'(A;B) =(A;B` )'(A;B)

=A;(B` 'B)

=A;U=A