cosh= = sin¤ h=1-cos¤ h이므로
EXERCISES따라서 수학 교과서의 본문에 있는 문제의 총수는
+1=811 811
04
기약분수의 총합을 S라 하면S= + + +y+ +
-(5+6+7+y+14+15) S= (25+26+27+y+74+75)
-(5+6+7+y+14+15)
S= ¥
-S=510-110=400 400
05
10=2_5이므로 1부터 100까지의 자연수 중에 서 2 또는 5를 소인수로 가지는 모든 수를 제거하면 10과 서로소인 수만 남는다.(1부터 100까지의 자연수의 합)
=1+2+3+y+100
= =5050
(1부터 100까지의 자연수 중에서 2의 배수의 합)
=2+4+6+y+100= =2550
(1부터 100까지의 자연수 중에서 5의 배수의 합)
=5+10+15+y+100= =1050
1에서 100까지의 합에서 2의 배수의 합과 5의 배수의 합 을 모두 빼면 2와 5의 공배수, 즉 10의 배수의 합이 한 번 씩 더 빼어지는 꼴이 되므로 이를 다시 더해 주어야 한다.
(1부터 100까지의 자연수 중에서 10의 배수의 합)
=10+20+30+y+100=
=550
10(10+100) 1111112 20(5+100) 1111122 50(2+100) 1111122 100(1+100)
1111112
11(5+15) 1111222 51(25+75)
111123242 115
115
12755 12745 12275
12265 12255
20{2¥12+(20-1)¥3}
111111111232
따라서 구하려는 1부터 100까지의 자연수 중에서 10과 서로소인 자연수의 합은
5050-2550-1050+550=2000 ②
06
n개의 선분을 그으면 밑변은 총 (n+1)등분되 므로 밑변의 일정한 간격은 가 된다.이렇게 얻어진 삼각형들은 직각삼각형으로 서로 닮음이 므로 (n+1)개의 삼각형 중 왼쪽의 가장 작은 삼각형의 높이를 h라 하면
: h=5 : 3 ∴ h=
이때 주어진 삼각형들의 밑변의 길이는 씩 커지므 로 삼각형의 높이인 n개의 선분의 길이도 비례하여 증가 한다. 즉, 밑변 왼쪽의 꼭짓점에서부터 k번째 삼각형의 밑변의 길이는 _k이므로 k번째 삼각형의 높이는
_k이다.
따라서 n개의 선분의 길이는 첫째항이 이고 공차
가 , 항의 개수가 n인 등차수열이므로 첫째항부터 제n항까지의 등차수열의 합 S«은
S«= = n
②
07
등차수열 {x«}의 첫째항을 a, 공차를 d라 하고 등비수열 { y«}의 첫째항을 a, 공비를 r라 하면 주어진 조건에서a+d=ar yy ㉠
a+3d=ar‹ yy ㉡
13 12
3 3
n[2_1125+(n-1)_1125]n+1 n+1 11111111111111252 1125n+13
1125n+13 1125n+13
1125n+15
1125n+15 1125n+13 1125n+15
1125n+15
㉠에서 d=a(r-1)을 ㉡에 대입하면 a+3a(r-1)=ar‹
a(r‹ -3r+2)=a(r-1)¤ (r+2)=0
∴ a=0 또는 r=1 또는 r=-2
이때 등비수열 { y«}의 제3항 y£+0이므로 a+0이고, r=1이면 수열 { y«}은 항상 8이고, 수열 {x«}의 첫째항, 제2항, 제4항이 8이 되므로 공차가 0이 되어 제3항도 8 이 된다. 그런데 조건에서 x£+y£이므로 r+1이다.
∴ r=-2
y£=ar¤ =a¥(-2)¤ =4a=8에서 a=2 a=2, r=-2를 ㉠에 대입하면
2+d=2¥(-2) ∴ d=-6
∴ x£=2+2¥(-6)=-10 -10
08
첫째항을 기준으로 가능한 첫째항을 구하면 첫 째항 a는 최소 1부터 최대 12까지 가능하다.(∵ 첫째항 a=13일 경우, 공비 r가 최솟값 2인 경우에 도 제3항이 52가 되므로 주어진 조건에 맞지 않는다.)
⁄a=1일 때, 공비 r는 2부터 7까지 놓을 수 있으므로 총 6가지이다.
¤a=2일 때, 공비 r는 2부터 5까지 놓을 수 있으므로 총 4가지이다.
‹a=3일 때, 공비 r는 2부터 4까지 놓을 수 있으므로 총 3가지이다.
›a=4 또는 a=5일 때, 공비 r는 2와 3을 놓을 수 있 으므로 총 2가지이다.
fia=6~12일 때, 공비 r는 2뿐이므로 총 1가지이다.
따라서 구하는 경우의 수는 6+4+3+2_2+1_7=24
공비를 기준으로 가능한 공비를 구하면 공비 r는 최소 2부터 최대 7까지 가능하다.
(∵ 공비 r=8일 경우, 첫째항 a가 최솟값 1인 경우에도 제3항이 64가 되므로 주어진 조건에 맞지 않는다.)
⁄r=2일 때, 첫째항은 1부터 12까지 총 12가지이다.
¤r=3일 때, 첫째항은 1부터 5까지 총 5가지이다.
‹r=4일 때, 첫째항은 1부터 3까지 총 3가지이다.
›r=5일 때, 첫째항은 1부터 2까지 총 2가지이다.
fir=6 또는 r=7일 때, 첫째항은 1로 총 1가지이다.
따라서 구하는 경우의 수는
12+5+3+2+1_2=24 24
09
주어진 식을 전개하면a¡¤ a™¤ +a¡¤ a£¤ +a¡¤ a¢¤ +a™› +a™¤ a£¤ +a™¤ a¢¤
+a£¤ a™¤ +a£› +a£¤ a¢¤
=a¡¤ a™¤ +a™¤ a£¤ +a£¤ a¢¤
+2(a¡a™¤ a£+a™a£¤ a¢+a¡a™a£a¢) 우변을 모두 좌변으로 이항하여 정리하면
a¡¤ a£¤ +a¡¤ a¢¤ +a™› +a™¤ a¢¤ +a£¤ a™¤ +a£›
-2(a¡a™¤ a£+a™a£¤ a¢+a¡a™a£a¢)=0 그런데
a¡¤ a¢¤ -2a¡a™a£a¢+a™¤ a£¤ =(a¡a¢-a™a£)¤
a¡¤ a£¤ -2a¡a™¤ a£+a™› =(a¡a£-a™¤ )¤
a™¤ a¢¤ -2a™a£¤ a¢+a£› =(a™a¢-a£¤ )¤
이므로
(a¡a¢-a™a£)¤ +(a¡a£-a™¤ )¤ +(a™a¢-a£¤ )¤ =0
∴ a¡a¢=a™a£, a¡a£=a™¤ , a™a¢=a£¤
따라서 a¡, a™, a£, a¢는 이 순서대로 등비수열을 이룬다.
풀이 참조
10
등비수열 {a«}의 첫째항을 a(a+0), 공비를 r (r+1)로 두면S«= ,
T«= = =
이므로
11245a¤ r« —⁄S«
r« -1 1111133ar« —⁄ (r-1) 1{31-1}1 1a r«
1111121 1-1r a(r« -1) 11112r-1
EXERCISES { }n =(a¤ rn-1)n=a2nrn(n-1) yy ㉠
한편 P«=a_ar_ar¤ _y_arn-1
한편
P«=anr1+2+y+(n-1)=anr 이므로
P«¤ =a2nrn(n-1) yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡에 의하여 P«¤ ={ }n 이 성립한다.
풀이 참조 134S«T«
n(n-1) 111132
134T«S«
2. 여러 가지 수열의 합
01
⑴ 자연수의 거듭제곱, 소거형⑵ , [ ]¤
⑶ 부분분수로의 분해,
02
⑴ ka˚=a¡+2a™+y+10a¡º k a˚=k(a¡+a™+y+a¡º)⑴
첫 번째 식에서 k는 수열의 일반항을 표현하는 문자이 므로 함부로¡의 앞으로 나갈 수없다.⑴
∴ ka˚+k a˚(거짓)⑵ (반례) a˚=k, b˚=k+1이라 하면
⑴
a˚b˚= k(k+1)=1¥2+2¥3=8⑴
a˚ b˚=(1+2)¥(2+3)=15⑴
∴ a˚b˚+ a˚ b˚(거짓)⑶
⑴
= { - }⑴
= [{ - }+{ - }+{ - }+y+{ - }+{ - 1 }]
1210 118 119 117
115 113 114 112 113 111 112
112k+21 11k
¡8 k=1
112 1111k(k+2)1
¡8 k=1
¡n k=1
¡n k=1
¡n k=1
¡2 k=1
¡2 k=1
¡2 k=1
¡2 k=1
¡n k=1
¡n k=1
¡10 k=1
¡10 k=1
1125n+11 n(n+1) 111142 n(n+1)(2n+1)
13444441111146 01 ⑴ 자연수의 거듭제곱, 소거형
01⑵ , [ ]¤
01⑶ 부분분수로의 분해,
02 ⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 참 03 풀이 참조 1125n+11
n(n+1) 111142 n(n+1)(2n+1)
13444441111146
Review Quiz S U M M A C U M L A U D E 본문 325쪽
⑴
= {1+ - - }111142
¡n k=1
¡n k=1
n(n+1) 111142 n(n+1)(2n+1) 13444441111146
¡n k=1
¡n k=1
n(n+1) 111142
¡n k=1
n(n+1)(2n+1) 13444441111146
¡n
=f(30)-f(1)=200-40=160 160
02
= [{ }˚+{ }˚]=4¥30-4x¥10+10x¤ =90 10x¤ -40x+30=0, x¤ -4x+3=0
(x-1)(x-3)=0 ∴ x=1 또는 x=3 11111142
1-13 2(2¤ ‚ -1)
111132-1 123 13444441111146n
EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 326`~`327쪽
EXERCISES
k(k „ 4)=160+355=515 515
08
='ƒk+1-'k이므로 a«+b«=4, a«b«=(2n-1)(2n+1)이때 + = = 이므
로
111111124(2n-1)(2n+1)4 a«+b«
1131a«b«
13b1« 13a1«
113444314441 'k+'∂k+1
¡48 k=1
1134444444441 '∂48+'∂49 113444441
'3+'4 113444441 '2+'3 1134441+'21
1134444444441 '∂48+'∂49 113444441
'3+'4 113444441
'2+'3 1134441+'21
¡48 k=1
14444444422221 'k+'ƒk+1
¡48 k=1
14444444422221 'k+'ƒk+1
¡10 k=1
4¥5¥9 112346 10¥11¥21
111126
¡4
=550-14=536 536
05
주어진 수열의 일반항을 a«이라 하면 13444441111146n (2n+1)(7n+1)1
13344444444441116n111111144 14n¤ +9n+1
1111116n
n(n+1)(2n+1) 13444441111156 12n¤1
n(n+1) 111152 1n2 111126
¡12 k=1
¡12 k=1
n(n+1) 111132
¡n
{ + }
=4¥1023 =1364 1364
113133 4(4fi -1) 111154-1
¡5
111111124(2n-1)(2n+1)4
¡10
=363-5=358 358
03
x‹ -1=0의 한 허근을 x=- + i라 하 11113-1¡5 1111346
¡20 k=1
¡20 k=1
n(n+1) 111132
¡n
EXERCISES
=(3+4+2+1)¥12+3+4=127 127
05
a«=(-1)« tan p라 하자.a¡=-tan =-'3, a™=tan p=-'3,
a£=-tanp=0, a¢=tan p='3,
a∞=-tan p='3, a§=tanp=0, a¶=-'3, a•=-'3, aª=0, y이므로
=0+(-'3-'3+0+'3)=-'3 -'3
06
a¡=3, a«=8n-4 (næ2)이므로 S«=a¡+ a˚=3+ (8k-4)-(8¥1-4)
=-1+8¥ -4n
15555555552n+11 15555555552n-11
¡10 n=1
155555555555555555555555555555555(2n-1)(2n+1)1
¡10 n=1
155555555551 4n¤ -1 111555552
¡n