EXERCISESn_10의 자릿수는 n의 자릿수보다 1이 크므로

09 지수를 간단히 하면

EXERCISESn_10의 자릿수는 n의 자릿수보다 1이 크므로

g(n)…10임은 당연하다.

이때g(10)=10이므로 g(n)의 최댓값은 10이다.

한편 n_1의 자릿수는 n의 자릿수와 같으므로 g(n)>1임은 당연하다.

이때g(9)=2이므로 g(n)의 최솟값은 2이다.

즉, 임의의 두 자연수 m, n에 대하여g(m)-g(n) 의 최댓값은 10-2=8임을 알 수 있다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. ㄴ, ㄷ

07

logx의 소수 부분을 a라 하면 logx=4+a (0<a<1)

∴ log‹'x= logx= (4+a)=1+

이때 < < 이므로 log‹'x의 소수 부분은

이다. yy ❶

a+ = , a=

∴ a= yy ❷

즉, logx=4+ 이므로

logx‹ =3logx=3{4+ }=13+

따라서 logx‹ 의 소수 부분은 이다. yy ❸

118 11

118 138

138 138

112 143 156 1121+a3 1121+a3

123 1121+a3 113

1121+a3 113

113

08

^{ㄱ. 20과} =0.5는 숫자의 배열이 다르므로 log20과 log 의 소수 부분은 다르다.

∴g(20)+g{ } (거짓)

ㄴ. ng(a)=1에서 g(a)= 이므로

ㄴ.

loga=N+ (N은 정수)

ㄴ.

∴ loga« =nloga=Nn+1

ㄴ.

이때 Nn+1은 정수이므로 loga« 의 소수 부분은 0 이다.

ㄴ.

∴g(a« )=0 (참) ㄷ. (반례) loga=0.5, n=3이면

ㄴ.

g(a)+g(a¤ )+g(a‹ )=0.5+0+0.5=1이지만

ㄴ.

g(a‹ )=0.5, 3g(a)=1.5이므로

ㄴ.

g(a‹ )+3g(a) (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다. ㄴ

09

log17« 의 정수 부분과 소수 부분을 각각 m, a (m은 정수, 0…a<1)라 하면 17« 의 최고 자리의 숫자가 1이므로 log1<a<log2

∴ 0<a<0.3010 yy ㉠ 또 log16<log17<log20이므로

4log2<log17<1+log2 4_0.3010<log17<1+0.3010

∴ 1.204<log17<1.301

즉, 6.02<5log17<6.505 yy ㉡

∴ [log17ⁿ⁺⁵]-[log17ⁿ]

∴

=[(n+5)log17]-[nlog17]

∴

=[nlog17+5log17]-[nlog17]

∴

=[m+a+5log17]-[m+a]

∴

=m+[a+5log17]-m

∴

=[a+5log17]

1n1 1n1 112 112

112

채점 기준 배점

❶ logx의 소수 부분을 a로 놓고, log‹'x의 소수 부분을 a에 대한 식으로 나타내기

❷ a의 값 구하기

❸ logx‹ 의 소수 부분 구하기

40 % 30 % 30 %

㉠, ㉡에 의하여 6.02<a+5log17<6.806이므로

[a+5log17]=6 6

10

올해 이 회사의 매출액을 A원, 매출액의 증가율 을 a%라 하면

A{1+ }¤ ‚ =3A,{1+ }¤ ‚ =3 양변에 상용로그를 취하면

20log{1+ }=log 3

log{1+ }= log3= _0.48=0.024 이때 log1.057=0.024이므로

1+ =1.057 ∴ a=5.7

따라서 매출액을 매년 5.7 %씩 증가시켜야 한다.

5.7%

11100a

12201 12201

11100a 11100a

01

⑴ 실수, 양의 실수

⑵ (0, 1)

⑶ y=a^x-m+n

⑷ n, m, m, n

02

⑴ y=16¥2≈ =2› ¥2≈ =2^x+4이므로 지수함수 y=16¥2≈ 의 그래프는 지수함수 y=2≈ 의 그래프를 x 축의 방향으로 -4만큼 평행이동한 것이다. (참)

⑵ x+1=2x-2, 즉 x=3이면 3³⁺¹=3^6-2=3› 이므로 주어진 방정식은 성립한다. (거짓)

⑶ 지수함수 y=a≈ 의 그래프의 개형을 살펴보면 a>1인 경우는 증가함수, 0<a<1인 경우는 감소함수이다.

따라서 a>1인 경우에만 조건

「aÂ >a˜ 이면 M>N」을 만족한다. (참)

⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 참

03

⑴ y=a≈ 에서 a=1이면 y=a≈ =1≈ =1

즉, x의 값에 상관없이 y가 1의 값을 가지므로 이것은 지수함수라기보다는 상수함수라고 보아야 타당할 것 이다. 따라서 a=1인 경우는 지수함수로써의 의미가 없기 때문에 생각하지 않는다.

⑵ 지수함수는 일대일함수이므로 밑이 같은 경우, 지수가 같으면 그 값이 하나로 결정된다.

따라서 a^f(x)=a^g(x)인 경우 f(x)=g(x)를 만족하는

x의 값을 구하면 된다. 풀이 참조

01 ⑴ 실수, 양의 실수 ⑵ (0, 1)

⑶ y=a^x-m+n ⑷ n, m, m, n

02 ⑴ 참 ⑵ 거짓 ⑶ 참 03 풀이 참조

Review Quiz S U M M A C U M L A U D E 본문 095쪽

3. 지수함수

EXERCISES

03

지수함수 y=3≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 -3만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식 은

y-2=3^x+3 ∴ y=3^x+3+2 yy ㉠

㉠의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래프의 식은

y=3^-x+3+2 yy ㉡

㉡의 그래프가 점 (2, k)를 지나므로

k=3^-2+3+2=5 5

04

다음 그림에서 A 부분의 넓이와 B 부분의 넓이 가 같으므로 두 지수함수 y=3≈ , y=3≈ +9의 그래프와 직선 x=1, y축으로 둘러싸인 도형의 넓이는 가로의 길 이가 1, 세로의 길이가 9인 직사각형의 넓이와 같다.

따라서 구하는 넓이는 1_9=9 9

05

^A=8^;5!;^{=(2‹ )}^;5!;⁼²^;5#;

B=0.25^-;5@;={ }^-;5@;=(2—¤ )^-;5@;=2^;5$;

C=ﬂ'∂16=ﬂ"ç2› =2^;3@;

이때 밑 2가 1보다 크므로

< < 에서 2^;5#;<2^;3@;<2^;5$;

∴ A<C<B ②

145 123 135

114 O

1 10

1 A

y=3^x x=1 y=3^x+9

x y

01

ㄱ. f(0)=a‚ =1 (참) ㄴ. f(x)=a≈

"√f(2x)="ça^2x="√(a≈ )¤ =a≈ (∵ a≈ >0)

∴ f(x)="√f(2x) (참) ㄷ. f(-x)=a—≈

= =a—≈

∴ f(-x)= (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. ⑤

02

x의 값에 따라 각 부분에 속한 조건에 맞는 점들 의 개수를 알아보자.

⁄x=1일 때,

A에 속한 점들의 y좌표는 3, 4, y, 7의 5개 B에 속한 점들의 y좌표는

9, 10, y , 14의 6개

¤x=2일 때,

A에 속한 점들의 y좌표는 5, 6, 7의 3개 B에 속한 점들의 y좌표는

9, 10, y, 14의 6개

‹x=3일 때, A에 속한 점은 없다.

B에 속한 점들의 y좌표는 9, 10, y, 14의 6개

›x가 4 이상의 자연수일 때, A와 B에 속한 점은 없다.

따라서 a=5+3=8, b=6+6+6=18이므로

b-a=10 10

113f(x)1 12a≈1 113f(x)1

01 ⑤ 02 10 03 5 04 9 05 ② 06 -6 07 10 08 14 09 a<1 10 4장 EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 096`~`097쪽

06

^y=4^x^-3¥2^x+1^+k=(2^x^{)¤ -6¥2}^x^+k에서

2^x=X로 치환하면 주어진 함수는

y=X¤ -6X+k=(X-3)¤ +k-9 yy ❶

이때 1…x…3이므로 2…X…8 yy ❷

따라서 주어진 함수는 X=8일 때 최댓값 10을 가지므로 (8-3)¤ +k-9=10, k+16=10

∴ k=-6 yy ❸

-6

07

^xx‹ -8x¤ +16x

-x^{x¤ -10x+24}=0에서 xx‹ -8x¤ +16x

=x^{x¤ -10x+24}

⁄x=1일 때,

(좌변)=(우변)=1이므로 성립한다.

¤x+1일 때,

x‹ -8x¤ +16x=x¤ -10x+24 x‹ -9x¤ +26x-24=0 (x-2)(x-3)(x-4)=0

∴ x=2 또는 x=3 또는 x=4 따라서 모든 근의 합은

1+2+3+4=10 10

08

^⁄ x-1=1, 즉 x=8일 때, 1>1이므로 주어진 부등식은 성립하지 않는다.

¤ x-1>1, 즉 x>8일 때,

10x-45>x¤ -6x+15, x¤ -16x+60<0 (x-6)(x-10)<0 ∴ 6<x<10 그런데 x>8이므로 8<x<10 114

114

따라서 자연수 x는 9이다.

‹0< x-1<1, 즉 4<x<8일 때,

10x-45<x¤ -6x+15, x¤ -16x+60>0 (x-6)(x-10)>0 ∴ x<6 또는 x>10 그런데 4<x<8이므로 4<x<6

따라서 자연수 x는 5이다.

⁄~‹에 의하여 구하는 x의 값의 합은

9+5=14 14

09

모든 실수 x에 대하여

x¤ -2(2å +1)x-3(2å -5)>0이 성립하려면 이차방정 식 x¤ -2(2å +1)x-3(2å -5)=0의 판별식을 D라 할 때, =(2å +1)¤ +3(2å -5)<0이어야 한다.

즉, (2å )¤ +5¥2å -14<0이므로

2å =X(X>0)로 치환하면 X¤ +5X-14<0 (X+7)(X-2)<0 ∴ 0<X<2 (∵ X>0) 따라서 0<2å <2에서 밑이 1보다 크므로

a<1 a<1

10

처음 빛의 양을 1이라 하면 필름을 n장 붙일 때 통과하는 빛의 양은 { }

n이므로

{ }

n…1- , { }

3n…{ }

밑 이 0< <1이므로

3næ10 ∴ næ

이때 n은 자연수이므로 n의 최솟값은 4이다.

따라서 필름을 최소 4장 붙여야 한다. 4장 12103

112 112

112 112 11210231024 118

118 15D4

114

채점 기준 배점

❶ 2≈ =X로 치환한 후 주어진 함수를 X에 대한 함수로 나타내기

❷ X의 값의 범위 구하기

❸ 최댓값을 이용하여 k의 값 구하기

40 % 20 % 40 %

EXERCISES

01

^|y-1|=2^|x|-1의 그래프는 |y|=2^|x|-1의 그 래프를 y축의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이고,

|y|=2^|x|-1의 그래프는 y=2^x-1의 그래프 중 제1사분 면의 그래프를 x축, y축, 원점에 대하여 대칭시킨 것이다.

따라서 |y-1|=2^|x|-1의 그래프를 그리면 다음 그림과 같다.

위의 그림에서 |y-1|=2^|x|-1의 그래프와 직선 y=k가 만나지 않도록 하는 k의 값의 범위는 <k< 이므

로 a= , b=

∴ 100ab=100¥ ¥ =75 75

02

조건 ㈏의 f(x+1)=f(x)+1에서 f(x)=f(x+1)-1

이로부터 y=f(x)의 그래프는 x축의 방향으로 -1만 큼, y축의 방향으로 -1만큼 평행이동하면 다시 자기 자 신이 되는 그래프임을 알 수 있다.

132 112 132 112

132 112

O21 2 3

x y

|y-1|=2^|x|-1 y=k 01 75 02 1 03 ② 04 15 05 0 06 4 07 3 08 k<6 09 x<0 10 728

119

EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 098`~`099쪽 한편 조건 ㈎에서 0…x<1일 때, f(x)=2^1-x={ }

x-1이므로 y=f(x)의 그래프는 다

음 그림과 같다.

방정식 f(x)-ax=0이 서로 다른 세 실근을 가지려면 함수 y=f(x)의 그래프와 직선 y=ax가 서로 다른 세 점에서 만나야 하므로 두 함수의 그래프는 다음 그림과 같아야 한다.

따라서 직선 y=ax가 점 (2, 4)를 지날 때 a=2로 최대 가 되고, 점 (-4, -2)를 지날 때 a= 로 최소가 된다.

∴ (a의 최댓값과 최솟값의 곱)=2¥ =1 1

03

c≈ 은 양수이므로 주어진 방정식 a≈ +b≈ =c≈ 의 양변을 c≈ 으로 나누면

{ }

+{ }

x=1

위의 식에서 =p, =q로 치환하면

>0, b>0이므로 주어진 방정식의 실근의 개수는 1c

1ac

1bc 1ac 1bc 1ac

112 112

x y

y=ax y=f{x}

O 1

1 -1 -1 -2 -3

-2

2 3 2

x y

y=f{x}

O -1 -1 -2 -3

-2 1

1 2 2 3 112

p≈ +q≈ =1(p>0, q>0)의 실근의 개수를 조사하면 알 수 있다.

이때 a, b, c가 서로 다른 양수이므로 p+1, q+1

즉, p≈ +q≈ =1에서 p≈ =1-q≈ 이므로

y=p≈ (p>0, p+1)과 y=1-q≈ (q>0, q+1)의 그래 프를 그려 그 교점의 개수를 조사하면 된다.

따라서 p, q가 각각 0과 1 사이, 1 초과일 때의 네 가지 경우로 나누어 그래프를 그려 보면 다음과 같다.

위의 그래프에서 0<p<1, 0<q<1일 때 하나의 교점 을 갖고, p>1, q>1일 때 하나의 교점을 가지며 나머지 경우에는 교점이 존재하지 않음을 알 수 있다. 즉,

0<p<1, 0<q<1 HjK 0< <1, 0< <1 HjK 0<a<c, 0<b<c p>1, q>1 HjK >1, >1 HjK a>c, b>c 이므로 주어진 방정식은 a<c, b<c일 때와 a>c, b>c 일 때 각각 하나의 실근을 갖고, 나머지 경우에는 실근을 갖지 않는다.

따라서 실근이 없는 경우는 ②이다. ②

1bc 1ac

O 1

x y y=p^x

y=1-q^x O

x y y=p^x

y=1-q^x

›p>1, q>1일 때

‹p>1, 0<q<1일 때

O 1

x y=p^x y

y=1-q^x O

x y=p^x y

y=1-q^x

¤0<p<1, q>1일 때

⁄0<p<1, 0<q<1일 때

04

A(a, 2å ), D(a, 2—å )(a>0)이라 하면 A’D”= 에서 2å -2—å =

2å =X(X>0)로 치환하면 X- = 4X¤ -15X-4=0, (4X+1)(X-4)=0

∴ X=4 (∵ X>0) 즉, 2å =4=2¤ 이므로 a=2 따라서 직사각형 ABCD의 넓이는

4¥ =15 15

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