Ⅱ 미적분

미적분 Ⅱ

이홍섭 선생님의 기본서

정답 ^과 풀이

05

⑴ y=2—≈ 의 그래프는 y=2≈

의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 것이다.

따라서정의역은 실수 전체 의 집합, 치역은{y|y>0}, 점근선의 방정식은y=0

⑵ y=-2—≈ 은 -y=2—≈ 이므 로 이 그래프는 y=2≈ 의 그 래프를 원점에 대하여 대칭 이동한 것이다.

따라서 정의역은 실수 전체 의 집합, 치역은{y|y<0}, 점근선의 방정식은y=0

⑶ y=2≈ —¤ -1의 그래프 는 y=2≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 -1만 큼 평행이동한 것이다.

따라서정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 {y|y>-1}, 점근선의 방정식은y=-1

⑷ y={;4!;}≈ —⁄ +2의 그래프는 y-2={;4!;}≈ —⁄

이므로

y={;4!;}≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 1만큼, y축 의 방향으로 2만큼 평행이동한 것이다.

따라서정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 {y|y>2}, 점근선의 방정식은y=2

⑸ y=3—≈ ±⁄ =3^-(x-1) y={;3!;}≈ —⁄

이므로 이 그래프는

y={;3!;}≈ 의 그래프를 x축 ^{O x}

y

y=3—^x+1 1 ^x y={;3;}

3 1

1 O1

1 2 36

x y y={ }1 ≈

4 y={ }≈ +2 –¡

1 4

O x

y

1

2 3 -1

y=2≈

y=2^x-2-1

-;4;3

O x

y

y=-2—≈

1

-1 y=2≈

O x

y

y=2—≈

y=2≈

1

I.

개념원리 익히기 ・확인체크

0 1

답 ⑴ 0, 1 ⑵감소,증가

0 2

지수함수는 (밑)>0, (밑)+1이어야 한다.

따라서 지수함수인 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅂ이다.

답 ㄱ, ㄴ, ㄹ, ㅂ

0 3

ㄱ. x=1일 때, y=;3!;이므 로 점 (1, 0)을 지나지 않는다.

ㄴ. 점근선은 x축이다.

ㄷ. 제`1사분면과 제`2사분

면을 지나므로 제`3사분면은 지나지 않는다.

ㄹ. x의 값이 증가하면 y의 값은 감소한다.

따라서 옳은 것은ㄷ이다. 답 풀이 참조

0 4

⑴ y=5≈ 의 그래프를 y축에 대하여 대칭이동한 그래 프의 식은 x 대신 -x를 대입한다.

∴ y=5—≈ ={;5!;}≈

⑵ y=6≈ 의 그래프를 x축에 대하 여 대칭이동한 그래프의 식은 y대신 -y를 대입한다.

즉, -y=6≈

∴ y=-6≈

답 풀이 참조

y=6≈

y=-6≈

O 1

-1 x

y y=5≈

O 1

x y

y={ }1 ≈ 5

O 1

1 1 3

x y

y={ }1 ≈ 3

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 의 방향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

따라서정의역은 실수 전체의 집합, 치역은 {y|y>0}, 점근선의 방정식은y=0

⑹ y=-{;2!;}≈ 의 그래프는 y={;2!;}≈ 의 그래프를 x축 에 대하여대칭이동한것이다.

따라서정의역은 실수 전체 의 집합, 치역은{y|y<0},

점근선의 방정식은 y=0 답 풀이 참조

0 6

x=0을 y=2≈ 에 대입하면 y=2‚ =1 ∴ a=1 y=1을 y=x에 대입하면 x=1 ∴ b=1 x=1을 y=2≈ 에 대입하면 y=2⁄ =2 ∴ c=2

y=2를 y=x에 대입하면 x=2 x=2를 y=2≈ 에 대입하면 y=2¤ =4 y=4를 y=x에 대입하면 x=4 ∴ d=4

∴ a+b+c+d=1+1+2+4=8 답 8

0 7

y=3≈의 그래프를 x축의 방향으로 3만큼, y축의 방 향으로 -2만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=3≈ 에 x대신 x-3, y 대신 y+2를 대입한 것이므로 y+2=3≈ —‹

∴ y=3≈ —‹ -2=3≈ ¥3—‹ -2=;2¡7;¥3≈ -2

y=;2¡7;¥3≈ -2의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동 한 그래프의 식은 y 대신 -y를 대입한 것이므로 -y=;2¡7;¥3≈ -2 ∴ y=-;2¡7;¥3≈ +2

∴ a=-;2¡7;, b=2 ^답 a=-;2¡7;, b=2

4 2 1

1 2 4

O x

y y=2≈ y=x

O x

y 1

-1y=-{;2;}1 ≈ y={;2;}1 ≈

0 8

y={;3@;}≈ 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행 이동하면

y={;3@;}≈ ±⁄

이를 y축에 대하여 대칭이동하면 y={;3@;}—≈ ±⁄

그런데 이 그래프가 두 점 (-1, m), (2, n)을 지 나므로

m={;3@;}¤ =;9$;

n={;3@;}—⁄ =;2#;

∴ mn=;9$;_;2#;=;3@; ^답 ;3@;

0 9

⑴"≈2‹ =2^;2#;, 0.5^;3!;={;2!;}^;3!;=2^-;3!;, ‹'4=‹"≈2¤ =2^;3@;

밑이 2로 1보다 크므로 지수가 큰 수가 크다.

이때 ;2#;>;3@;>-;3!;이므로 2^;2#;>2^;3@;>2^-;3!;

∴"≈2‹ >‹'4>0.5^;3!;

⑵ ‹'4=4^;3!;=2^;3@;, ›'8=8^;4!;=2^;4#;

밑이 2로 1보다 크므로 지수가 큰 수가 크다.

이때;4#;>;3@;>0.5이므로 2^;4#;>2^;3@;>2^0.5

∴ ›'8>‹'4>2^0.5

답 ⑴ "≈2‹ >‹'4>0.5^;3!;

답 ⑵ ›'8 >‹'4>2^0.5

10

함수 f(x)와 g(x)가 서로 역함수 관계이므로 g{;2¡5;}=a라 하면

f(a)=;2¡5;

5å =;2¡5;=5—¤ ∴ a=-2 g(125)=b라 하면 f(b)=125 5∫ =125=5‹ ∴ b=3

∴ g{;2¡5;}¥g(125)=-2_3=-6 ^답 -6

11

함수 f(x)와 g(x)가 서로 역함수 관계이므로 g{;3$;}=a라 하면 f(a)=;3$;

3å ¥2⁄ —å =;3$;

3å ¥2¥{;2!;}å

=;3$;, 2¥{;2#;}å

=;3$;

{;2#;}å

=;3@;

∴ a=-1

∴ g{;3$;}=-1 ^답 -1

12

⑴

⑵증가,;3!;^,9 답 풀이 참조

13

⑴

⑵감소,9,;2¡7; ^답 풀이 참조

14

답 1, -1, ;5!;, 2, 25, 25, ;5!;

y={ }1 ≈ 3

1 27

O 3

-2 1 9

x y

y=3≈

1 3

O 2

-1 9

1

x y

15

⑴ y=3≈ ±⁄ -2에서 밑 3이 3>1이므로 증가함수이다.

x=2일 때 최대이고, 최댓 값은

y=3¤ ±⁄ -2=25

x=-1일 때 최소이고, 최 솟값은

y=3—⁄ ±⁄ -2=-1

∴최댓값：25, 최솟값：-1

⑵ y=2≈ —⁄ +4에서 밑 2가 2>1이므로 증가함수이다.

x=-1일 때 최소이고, 최 솟값은

y=2—⁄ —⁄ +4=:¡4¶:

x=2일 때 최대이고, 최댓값은 y=2¤ —⁄ +4=6

∴최댓값：6, 최솟값：:¡4¶:

⑶ y=2¤ —≈ =2^-(x-2)={;2!;}≈ —¤

에서 밑;2!;이 ;2!;<1이므로 감 소함수이다.

x=-1일 때 최대이고, 최 댓값은

y=2¤ ±⁄ =8

x=2일 때 최소이고, 최솟값은 y=2¤ —¤ =1

∴최댓값：8, 최솟값：1

⑷ y=2≈ ¥3⁄ —≈ =2≈ ¥3⁄ ¥3—≈

y=3¥{;3@;}≈

에서 밑;3@;가 ;3@;<1이므로 감소함수이다.

x=-1일 때 최대이고, 최댓값은 y=3¥{;3@;}—⁄ =3¥;2#;=;2(;

x=1일 때 최소이고, 최솟값은

O 1 -1

2 3

x y

9 2 O 2 -1

1 4 8

x y

O 6

2

-1 x

y 9 2

17 4 -1

-1 1

2 O 25

x y

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 y=3¥;3@;=2

∴최댓값：;2(;, ^최솟값：2 답 풀이 참조

16

⑴ y=4≈ -2≈ ±¤ +2

=(2≈ )¤ -2≈ ¥2¤ +2 2≈ =t(t>0)로 치환하면

x…3에서 0<2≈ …2‹ ∴ 0<t…8 따라서 주어진 함수는

y=t¤ -4t+2=(t-2)¤ -2 0<t…8에서 함수

y=(t-2)¤ -2는 t=8일 때 최대이고, 최댓 값은

y=(8-2)¤ -2=34 t=2일 때 최소이고, 최솟 값은 y=0-2=-2

∴최댓값：34, 최솟값：-2

⑵ y=9≈ -4¥3≈ +6=(3≈ )¤ -4¥3≈ +6 3≈ =t(t>0)로 치환하면

-1…x…1에서 3—⁄ …3≈ …3

∴;3!;…t…3

이때 주어진 함수는 y=t¤ -4t+6=(t-2)¤ +2 따라서 t=;3!;일 때 최대

이고, 최댓값은 y={;3!;-2}¤

+2=:¢9£:

t=2일 때 최소이고, 최 솟값은

y=0+2=2

∴최댓값：:¢9£:, ^최솟값：2

⑶ y={;4!;}≈

-{;2!;}≈ —⁄

+3 y=[{;2!;}¤

]≈ -{;2!;}—⁄

¥{;2!;}≈ +3 y=[{;2!;}≈

]¤

-2¥{;2!;}≈ +3

y=(t-2)™ +2

1 3 43

9

O 2 3

2 3

t y

2 2 -2 8 34

y=(t-2)™ -2

O t

y

{;2!;}≈=t(t>0)로 치환하면 -1…x…2에서

{;2!;}¤

…{;2!;}≈

…{;2!;}—⁄

∴;4!;…t…2 이때 주어진 함수는 y=t¤ -2t+3

=(t-1)¤ +2 따라서 t=2일 때 최대 이고, 최댓값은

y=(2-1)¤ +2=3

t=1일 때 최소이고, 최솟값은 y=0+2=2

∴최댓값：3, 최솟값：2

답 풀이 참조

17

y=9≈ +k¥3≈ ±⁄ +3

=(3≈ )¤ +3k¥3≈ +3 3≈ =t(t>0)로 치환하면 y=t¤ +3kt+3={t+;2#;k}¤

-;4(;k¤ +3

따라서 t=-;2#;k일 때, 최솟값 -;4(;k¤ +3을 가지므로 -;4(;k¤ +3=-6, ;4(;k¤ =9

k¤ =4 ∴ k=—2 그런데 t>0이므로 k<0

∴ k=-2 답 -2

18

⑴ f(x)=x¤ +4x+2=(x+2)¤ -2라 하면 y=f(x)의 그래프는 [그림1]과 같으므로 f(x)æ-2

f(x)=t로 치환하면 tæ-2

y=3†에서 밑 3이 3>1이므로 증가함수이다.

따라서 tæ-2에서 함수 y=3† 의 그래프는

y=(t-1)™ +2

1 4 41 16

O 1 2

2 3

t y

[그림2]와 같으므로 최댓값은 없고,

t=-2일 때 최소이고, 최솟값은 y=3—¤ =;9!;

∴최솟값：;9!;

[그림 1] [그림 2]

⑵ f(x)=-x¤ -3x+5 f(x)=-{x+;2#;}¤

+:™4ª:

라 하면 -1…x…1에서 y=f(x)의 그래프는 [그림1]과 같으므로

1…f(x)…7

f(x)=t로 치환하면 1…t…7

y=2†에서 밑 2가 2>1이므로 증가함수이다.

따라서 1…t…7에서 함수 y=2† 의 그래프는 [그림2]와 같으므로 t=1일 때 최소이고, 최솟값 은 2⁄ =2

t=7일 때 최대이고, 최댓값은 2‡ =128

∴최솟값：2, 최댓값：128

[그림 1] [그림 2]

⑶ f(x)=-x¤ -2x+3 f(x)=-(x+1)¤ +4 라 하면 y=f(x)의 그래 프는 [그림1]과 같으므로 f(x)…4

f(x)=t로 치환하면 t…4

-1 4 3

O x

y

y=f(x)

O 1 7

2 128

t y

y=2†

-3 2

29 7 4

-1 1 1 5

O x

y

y=f(x)

y=3†

O 1

-2 t

y

1 9 -2

2 -2

y=f(x)

O x

y

y={;3!;}† 에서 밑;3!;이

;3!;<1이므로 감소함수이 다.

따라서 t…4에서 함수 y={;3!;}† 의 그래프는

[그림2]와 같으므로 최댓값은 없고, t=4일 때 최 소이고 최솟값은{;3!;}›

=;8¡1;이다.

∴최솟값：;8¡1;

⑷ f(x)=-x¤ +4x-7 f(x)=-(x-2)¤ -3 이라 하면 1…x…4에서 y=f(x)의 그래프는 [그림1]과 같으므로 -7…f(x)…-3 f(x)=t로 치환하면 -7…t…-3

y={;2!;}† 에서 밑;2!;이 ;2!;<1이므로 감소함수이다.

따라서 -7…t…-3 에서 함수 y={;2!;}† 의 그래프는 [그림 2]와 같으므로

t=-3일 때 최소이고, 최솟값은{;2!;}—‹=8 t=-7일 때 최대이고, 최댓값은{;2!;}—‡=128

∴최솟값：8, 최댓값：128

답 풀이 참조

19

y=a^{-x¤ -2x+1}에서 0<a<1이므로 지수

-x¤ -2x+1이 최대일 때, y는 최솟값을 가진다.

-x¤ -2x+1=-(x+1)¤ +2이므로 x=-1일 때 지수의 최댓값은 2이다.

128

81

-7 -3 O t

y

y={ }1 † 2

y=f(x) O

1 2 4

-3-4

-7

x y

O 4

1 1 81

t y

y={ }1 † 3

[그림 1]

[그림 2]

[그림 1]

[그림 2]

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 따라서 y의 최솟값은 a¤ =;1¡6;이므로

a=;4!; (∵ 0<a<1) ^답 ;4!;

20

y=2^x+a+{;2!;}

x-a

=2^x+a+2^-x+a에서 2^x+a>0, 2^-x+a>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의 하여

2^x+a+2^-x+aæ2"√2^x+a¥2^-x+a

=2"ç2¤ å

=2¥2å =2^a+1

(단, 등호는 2^x+a=2^-x+a, 즉 x=0일 때 성립) 이때 최솟값이 4이므로 2^a+1=4=2¤

a+1=2 ∴ a=1 답 1

21

y=10^2x-1+10^3-2x에서

10^2x-1>0, 10^3-2x>0이므로 산술평균과 기하평균 의 관계에 의하여

10^2x-1+10^3-2xæ2 "√10^2x-1¥10^3-2x

=2"ç10¤ =20

(단, 등호는 10^2x-1=10^3-2x, 즉 x=1일 때 성립) 따라서 a=1, b=20이므로

a+b=21 답 21

22

y=4≈ +4—≈ +2(2≈ +2—≈ )+5

=(2≈ )¤ +(2—≈ )¤ +2(2≈ +2—≈ )+5

=(2≈ +2—≈ )¤ -2¥2≈ ¥2—≈ +2(2≈ +2—≈ )+5

=(2≈ +2—≈ )¤ +2(2≈ +2—≈ )+3 2≈ +2—≈ =t로 치환하면

y=t¤ +2t+3=(t+1)¤ +2

2≈ >0, 2—≈ >0이므로 산술평균과 기하평균의 관계 에 의하여

t=2≈ +2—≈ æ2"√2≈ ¥2—≈ =2

(단, 등호는 2≈ =2—≈ , 즉 x=0일 때 성립)

따라서 tæ2에서 함수 y=(t+1)¤ +2의 그래프는 오른쪽 그림과 같으므로 t=2일 때 최소이고, 최솟 값은

y=(2+1)¤ +2=11

답 11

23

답 ⑴ aμ ±« ⑵ aμ « ⑶ aμ bμ ⑷ aμ —«

24

답 ⑴지수, 밑, 1, f(x)=g(x) 답 ⑵밑, 0, b, f(x)=0

25

⑵ 128=2‡ 이므로 2x-3=7

∴ x=5

⑶ x¤ =6x-8, x¤ -6x+8=0 (x-2)(x-4)=0

∴ x=2 또는 x=4

⑷ 9^3x+1=(3²)^3x+1=3^6x+2

즉, 2x-4=6x+2이므로 x=-;2#;

답 ⑴ -3 ⑵ x=5 답 ⑶ x=2또는x=4 답 ⑷ x=-;2#;

26

답 2≈ , 0, 1

27

⑴ 4≈ ±⁄ =(2¤ )≈ ±⁄ =2¤ ≈ ±¤ , 8_2≈ ±¤ =2‹ _2≈ ±¤ =2≈ ±fi 이므로 주어진 방정식은

2¤ ≈ ±¤ =2≈ ±fi , 2x+2=x+5

∴ x=3

⑵{;2#;}

2x-3

={;3@;}^-2x+3이므로 주어진 방정식은

O t

y 11

2 2 -1

y=(t+1)™ +2

{;3@;}≈ ={;3@;}—¤ ≈ ±‹

x=-2x+3 ∴ x=1

⑶ x‹ ≈ ±⁄ =x¤ ≈ ±‹ 에서

⁄x+1일 때, 3x+1=2x+3 ∴ x=2

¤x=1일 때, 1› =1fi 이므로 성립한다.

⁄, ¤에서 x=1 또는 x=2

⑷ 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0이다.

(x+7)≈ —⁄ =4≈ —⁄에서

⁄x+7=4이면 x=-3

¤x-1=0, 즉 x=1이면 8‚ =4‚ 이므로 성립한다.

⁄, ¤에서 x=-3 또는 x=1

⑸ =3^{x¤ +1-x+1}=3^{x¤ -x+2}이므로 주어진 방정

식은

3^{x¤ -x+2}=81=3› , x¤ -x+2=4

x¤ -x-2=0, (x+1)(x-2)=0

∴ x=-1 또는 x=2

⑹{;8!;}⁄ —≈ =(2—‹ )⁄ —≈ =2‹ ≈ —‹ , 8 ›'2=2‹ ¥2^;4!;=2^;;¡4£;;

이므로 주어진 방정식은 2‹ ≈ —‹ =2^:¡4£:, 3x-3=:¡4£:

∴ x=;1@2%;

⑺ 밑이 같으므로 지수가 같거나 밑이 1이어야 한다.

⁄ x¤ =2x+3에서

x¤ -2x-3=0, (x+1)(x-3)=0

∴ x=3 (∵ x>1)

¤ x-1=1에서 x=2

⁄, ¤에서 x=2 또는 x=3

⑻ 지수가 같으므로 밑이 같거나 지수가 0이어야 한다.

⁄ 2x-1=3x-5 ∴ x=4

¤ x-3=0 ∴ x=3

⁄, ¤에서 x=3 또는 x=4

답 ⑴ x=3 ⑵ x=1

답 ⑶ x=1또는x=2 ⑷ x=-3또는x=1 답 ⑸ x=-1또는x=2 ⑹ x=;1@2%;

답 ⑺ x=2또는x=3 ⑻ x=3또는x=4 3^{x¤ +1}

1123≈ —⁄

28

⑴ 9≈ -6_3≈ -27=0에서 (3≈ )¤ -6_3≈ -27=0

여기서 3≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ -6t-27=0, (t+3)(t-9)=0

∴ t=-3 또는 t=9 그런데 t>0이므로 t=9 따라서 3≈ =9=3¤ 에서 x=2

⑵ 4≈ ±⁄ =4¥4≈ =4¥(2≈ )¤ , 5_2≈ ±¤ =5¥4¥2≈ =20¥2≈

이므로 주어진 방정식은 4¥(2≈ )¤ -20¥2≈ +16=0 여기서 2≈ =t(t>0)로 치환하면 4t¤ -20t+16=0, t¤ -5t+4=0 (t-1)(t-4)=0

∴ t=1 또는 t=4

⁄ t=1일 때, 2≈ =1=2‚

∴ x=0

¤ t=4일 때, 2≈ =4=2¤

∴ x=2

⁄, ¤에서 x=0 또는 x=2

⑶ 3≈ -9_3—≈ =8에서 3≈ - =8 여기서 3≈ =t(t>0)로 치환하면 t-;t(;=8

양변에 t를 곱하면

t¤ -8t-9=0, (t+1)(t-9)=0 그런데 t>0이므로 t=9

따라서 3≈ =9=3¤ 에서 x=2

⑷{;9!;}≈ =[{;3!;}≈

]¤ 이므로 주어진 방정식은 [{;3!;}≈

]¤ +{;3!;}≈ -12=0

여기서{;3!;}≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ +t-12=0, (t-3)(t+4)=0

∴ t=3 또는 t=-4 그런데 t>0이므로 t=3

153≈9

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 따라서{;3!;}

≈=3={;3!;}—⁄

에서 x=-1

답 ⑴ x=2 ⑵ x=0또는x=2 답 ⑶ x=2 ⑷ x=-1

29

⑴ 4≈ -5_2≈ +2=0에서 (2≈ )¤ -5_2≈ +2=0 이때 2≈ =t(t>0)로 놓으면 t¤ -5t+2=0 yy㉠

주어진 방정식의 두 근이 a, b이므로 ㉠의 두 근 은 2^a, 2^b이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2^a¥2^b=2, 2^a+b=2

∴ a+b=1

⑵ 2^2x+1-2≈ +k=0에서 (2≈ )¤ _2-2≈ +k=0 이때 2≈ =t(t>0)로 놓으면

2t¤ -t+k=0 yy`㉠

주어진 방정식의 두 근을 a, b라 하면 ㉠의 두 근 은 2^a, 2^b이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 2^a¥2^b=;2K;, 2^a+b=;2K;

a+b=-5이므로 2—fi =;2K;

∴ k=;1¡6; ^답 ⑴ 1 ⑵ ;1¡6;

30

답 ⑴ f(x)<g(x) ⑵ f(x)>g(x)

31

답 풀이 참조

32

⑴ 2—≈ >;3¡2;에서 2—≈ >2—fi -x>-5 ∴ x<5

⑵{;3!;}

x+1

<27에서{;3!;}

x+1

<{;3!;}—‹

x+1>-3 ∴ x>-4

⑶{;4%;}

x+2

>{;5$;}

2-3x

에서

{;4%;}

x+2

>{;4%;}

-2+3x

x+2>-2+3x ∴ x<2

답 ⑴ x<5 ⑵ x>-4 ⑶ x<2

33

답 2≈ , 0, 1

34

⑴ 9≈ =(3¤ )≈ =3¤ ≈ , 3'3=3¥3^;2!;=3^1+;2!;=3^;2#;

3¤ ≈ æ3^;2#;에서

(밑)>1이므로 2xæ;2#; ∴ xæ;4#;

⑵{;4%;}≈ —⁄ >{;5$;}fi —‹ ≈ 에서

{;4%;}≈ —⁄ >{;4%;}—fi ±‹ ≈

(밑)>1이므로 x-1>-5+3x

∴ x<2

⑶{;4!;}

x¤ +x+12

…[{;4!;}¤ ]

x¤ +x

에서

{;4!;}

x¤ +x+12

…{;4!;}¤^{x¤ +2x} 0<(밑)<1이므로 x¤ +x+12æ2x¤ +2x

x¤ +x-12…0, (x+4)(x-3)…0

∴ -4…x…3

⑷{;2!;}≈ —⁄ >{;2!;}

x¤

>{;2!;}› ≈ —‹ 에서 0<(밑)<1이므로 x-1<x¤ <4x-3

⁄x-1<x¤ 에서 x¤ -x+1>0

⁄{x-;2!;}¤ +;4#;>0 부등식 밑의 크기 밑의 범위 부등식의 해

⑴ 3≈ <3¤ 3 3>1 x<2

;2!; 0<;2!;<1 x>3

;3%; ;3%;>1 xæ6

⑵{;2!;}≈ <{;2!;}‹

⑶{;3%;}≈ æ{;3%;}fl

⁄따라서 모든 실수 x의 값에 대하여 성립한다.

¤x¤ <4x-3에서 x¤ -4x+3<0

⁄(x-1)(x-3)<0

⁄∴ 1<x<3

⁄, ¤에서 1<x<3

⑸{;2¡5;}

3x-1

=(5^-2)^3x-1=5^-6x+2 625=5›

{;5!;}

4x-12

=(5^-1)^4x-12=5^-4x+12

∴ 5^-6x+2<5⁴<5^-4x+12

(밑)>1이므로 -6x+2<4<-4x+12

⁄ -6x+2<4에서 x>-;3!;

¤ 4<-4x+12에서 x<2

⁄, ¤에서 -;3!;<x<2

답 ⑴ xæ;4#; ⑵ x<2 ⑶ -4…x…3 답 ⑷ 1<x<3 ⑸ -;3!;<x<2

35

⑴ x^2x¤…x^7x-3에서

⁄0<x<1일 때

2x¤ æ7x-3, 2x¤ -7x+3æ0

(2x-1)(x-3)æ0 ∴ x…;2!; 또는 xæ3 그런데 0<x<1이므로 0<x…;2!;

¤x=1일 때

1=1이므로 부등식이 성립한다.

‹x>1일 때

2x¤ …7x-3, 2x¤ -7x+3…0 (2x-1)(x-3)…0 ∴;2!;…x…3 그런데 x>1이므로 1<x…3

⁄, ¤, ‹에서

0<x…;2!; 또는 1…x…3

⑵ 4≈ -2≈ ±⁄ -8<0에서 (2≈ )¤ -2≈ ¥2-8<0

여기서 2≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ -2t-8<0, (t+2)(t-4)<0 그런데 t>0이므로 0<t<4 즉, 0<2≈ <4=2¤ 이므로 x<2

⑶ 3¤ ≈ +3≈ —¤ >3≈ ±¤ +1에서 (3≈ )¤ +3≈ ¥3—¤ >3≈ ¥3¤ +1 여기서 3≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ +;9!;t>9t+1

9t¤ -80t-9>0, (9t+1)(t-9)>0 그런데 t>0이므로 t>9

즉, 3≈ >9=3¤ 이므로 x>2

⑷{;3!;}¤ ≈ +{;3!;}≈ ±¤ >{;3!;}≈ —¤ +1에서

[{;3!;}≈ ]¤

+{;3!;}≈ ¥{;3!;}¤ >{;3!;}≈ ¥{;3!;}—¤ +1 여기서{;3!;}≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ +;9!;t>9t+1 ¤{;3!;}—¤ =(3—⁄ )—¤ =3¤ =9

9t¤ -80t-9>0, (9t+1)(t-9)>0 그런데 t>0이므로 t>9

{;3!;}≈ >9이므로 3—≈ >3¤

-x>2 ∴ x<-2

답 ⑴ 0<x…;2!;^또는1…x…3 답 ⑵ x<2 ⑶ x>2 ⑷ x<-2

36

4≈ +a¥2≈ +b>0에서 (2≈ )¤ +a¥2≈ +b>0

여기서 2≈ =t(t>0)로 치환하면 t¤ +at+b>0 yy㉠

이때 주어진 해가 x<-1 또는 x>2이므로 ㉠의 해는 0<2≈ <2—⁄ 또는 2≈ >2¤

즉, 0<t<;2!; 또는 t>4

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기

∴ t<;2!; 또는 t>4

∴HjK {t-;2!;}(t-4)>0

∴HjK t¤ -;2(;t+2>0 따라서 a=-;2(;, b=2이므로

a+b=-;2(;+2=-;2%; ^답 -;2%;

37

답 ⑴ 0, 1 ⑵ logå x+logå y

⑶ logå x-logå y ⑷ n logå x

38

답 ⑴정의역：{x|x>1}, 점근선의 방정식：x=1

⑵정의역：{x|x<5}, 점근선의 방정식：x=5

39

⑴ y=log™ (x+1)+1의 그래프는 함수 y=log™ x 의 그래프를 x축의 방향으로 -1만큼, y축의 방 향으로 1만큼 평행이동한 것이다.

⑵ y=-log™ x의 그래프는 y=log™ x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 것이다.

답 풀이 참조

y=log™ x

y=-log™ x

1 x

y

O

y=log™ x

x y

O 1 -1

1

y=log™ (x+1)+1

40

답 ⑴ log∞ (y+2), log∞ (x+2), -2

⑵ 2¥ —⁄ , 2≈ —⁄

41

⑴ y=log

;2!;(x+1)의 그래 프는 y=log_;2!;x의 그래 프를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동한 것 이므로 오른쪽 그림과 같다.

∴정의역：{x|x>-1},

∴점근선의 방정식：x=-1

⑵ y=log

;2!;(-x)의 그 래프는 y=log_;2!;x의 그래프를 y축에 대하 여 대칭이동한 것이 므로 오른쪽 그림과 같다.

∴정의역：{x|x<0},

∴점근선의 방정식：x=0

⑶ y=-log

;2!;(-x) 의 그래프는 y=log_;2!;x의 그 래프를 원점에 대 하여 대칭이동한

것이므로 오른쪽 그림과 같다.

∴정의역：{x|x<0},

∴점근선의 방정식：x=0

⑷ y=log™(x-2)+1의 그래프는 y=log™ x의 그 래프를 x축의 방향으로 2만큼, y축의 방향으로 1 만큼 평행이동한 것이므로 아래 그림과 같다.

x y

O

y=log™ x

y=log™(x-2)+1 1 1

3 2

y=-log (-x)1 2

y=log x1 2

O x

y

1 -1

y=log x1

y=log (-x)1 2 2

1 -1

x y

O

y=log (x+1)1 2

y=log x1 2

x y

O 1 -1

∴정의역：{x|x>2},

∴점근선의 방정식：x=2

⑸ y=log™ 8(x+1)-3

=log™ 8+log™(x+1)-3 y=3+log™(x+1)-3 y=log™(x+1)

y=log™ 8(x+1)-3의 그래프는 y=log™ x의 그래프

를 x축의 방향으로 -1만큼 평행이동 한 것이므로 오른쪽 그림과 같다.

∴정의역：{x|x>-1},

∴점근선의 방정식：x=-1

답 풀이 참조

42

y=log™(8x+4) y=log™ 8{x+;2!;}

y=log™ 8+log™ {x+;2!;}

y=log™ {x+;2!;}+3

이므로 y=log™ x의 그래프를 x축의 방향으로 -;2!;

만큼, y축의 방향으로 3만큼 평행이동한 것이다.

∴ a=-;2!;, b=3 ^답 a=-;2!;, b=3

43

y=log£ x의 그래프를 x축에 대하여 대칭이동한 그 래프의 식은

-y=log£ x ∴ y=-log£ x

y=-log£ x의 그래프를 x축의 방향으로 2만큼, y 축의 방향으로 -3만큼 평행이동한 그래프의 식은 y+3=-log£ (x-2)

∴ y=-log£ (x-2)-3

답 y=-log£ (x-2)-3

y

O x

y=log™ 8(x+1)-3 y=log™ x

-1 1

44

⑴ log¢ 2=log2¤2=;2!;

log¡§ 8=log™› 2‹ =;4#;

log£™ 4=log™fi2¤ =;5@;

;5@;<;2!;<;4#;이므로 log£™ 4<log¢ 2<log¡§ 8

⑵ 0<(밑)<1이고 3<4<5이므로 log_;2!;5<log_;2!;4<log_;2!;3

답 ⑴ log£™ 4<log¢ 2<log¡§ 8 답 ⑵ log_;2!;5<log_;2!;4<log_;2!;3

45

⑴ y=2—≈ ±⁄ -3에서 y+3=2—≈ ±⁄

정의역은 실수 전체의 집합이고, 치역은 {y|y>-3}이다.

로그의 정의로부터 -x+1=log™ (y+3)

∴ x=-log™ (y+3)+1 x와 y를 서로 바꾸면 y=-log™ (x+3)+1

∴ y=log_;2!;(x+3)+1

함수 y=2—≈ ±⁄ -3의 치역이 역함수의 정의역이므 로 구하는 역함수는

y=log_;2!;(x+3)+1(x>-3)

⑵ y=log_;3!;(x-2)+1에서 y-1=log_;3!;(x-2) 정의역은 {x|x>2}이고, 치역은 실수 전체의 집 합이다.

로그의 정의로부터

{;3!;}¥ —⁄ =x-2 ∴ x={;3!;}¥ —⁄ +2 x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y={;3!;}≈ —⁄ +2

⑶ y=log£(x+"çx¤ -1)에서 xæ1이면 yæ0이므 로 치역은 {y|yæ0}이다.

로그의 정의로부터

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 x+"√x¤ -1=3¥ 에서 "√x¤ -1=3¥ -x

양변을 제곱하면 x¤ -1=3¤ ¥ -2¥3¥ ¥x+x¤

2¥3¥ ¥x=3¤ ¥ +1

∴ x= =;2!;(3¥ +3—¥ ) x와 y를 서로 바꾸면 구하는 역함수는 y=;2!;(3≈ +3—≈ )(xæ0)

답 ⑴ y=log_;2!;(x+3)+1 (x>-3) 답 ⑵ y={;3!;}≈ —⁄ +2

답 ⑶ y=;2!;(3≈ +3—≈ ) (xæ0)

46

y=log¢ (x+a)-3에서 y+3=log¢ (x+a) 로그의 정의로부터 x+a=4¥ ±‹

∴ x=4¥ ±‹ -a x와 y를 서로 바꾸면 y=4≈ ±‹ -a

이것이 y=4≈ ±∫ -1과 일치해야 하므로 a=1, b=3

∴ a+b=4 답 4

47

( f Á g)(x)=x를 만족시키므로 함수 g(x)는 함수 f(x)의 역함수이다.

g(a)=3에서 f(3)=a g(b)=5에서 f(5)=b a=f(3)=log£

a=log£ 2

b=f(5)=log£

b=log£ ;2#;

∴ a+b=log£ 2+log£ ;2#;

∴ a+b=log£ {2_;2#;}

∴ a+b=log£ 3=1 답 1

1125+15-1 1123+13-1 3¤ ¥ +1 11222¥3¥

48

y=log™ x는 점 (2, 1)을 지나므로

log™ x=1에서 x=2 x=2일 때, y=2¤ =4

y=log™ x는 점 (a, 4)를 지나므로

4=log™ a에서

a=2› =16 답 16

49

y=log£ x+1의 그 래프는 y=log£ x의 그래프를 y축의 방향 으로 1만큼 평행이동 한 것이다.

x=3일 때, 점 B의 y좌표는 y=log£ 3=1

x=3일 때, 점 A의 y좌표는 y=log£ 3+1=2

이고 위의 그림에서 S™=S£이므로 S¡+S™=S¡+S£

즉, 구하는 넓이는

(4-3)_(2-1)=1 답 1

50

답 log™ x, y, -1, 1, -1

51

⑴ y=log™ (x+1)+3에서 밑 2가 2>1이므로 주 어진 함수는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하 는 함수이다.

따라서 x=3일 때, 최대이며 최댓값은 y=log™ (3+1)+3=2+3=5 x=0일 때, 최소이며 최솟값은 y=log™ (0+1)+3=0+3=3

∴ 최댓값：5, 최솟값：3

O x

y

4 3 1 1 2

y=log£ x y=log£ x+1 A

B S¡

S™

S£

O x

y y=2≈

y=log™ x

2 a

4 1

⑵ y=log_;3!;x+1에서 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이므로 주 어진 함수는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하 는 함수이다.

따라서 x=;9!;일 때, 최대이며 최댓값은 y=log_;3!;;9!;+1=log;3!;{;3!;}¤ +1=2+1=3 x=27일 때, 최소이며 최솟값은

y=log_;3!;27+1=log3—⁄3‹ +1

=-3+1=-2

∴ 최댓값：3, 최솟값：-2

답 ⑴최댓값：5, 최솟값：3-

⑵최댓값：3, 최솟값：-2

52

답 log™ 1, log™ 8, 8, 4

53

⑴ y=log™ (x+1)-3에서 밑 2가 2>1이므로 주 어진 함수는 x의 값이 증가하면 y의 값도 증가하 는 증가함수이다.

1…x…7에서 함수 y=log™ (x+1)-3은 x=1일 때, 최소이고 최솟값은

log™ (1+1)-3=-2 x=7일 때, 최대이고 최댓값은 log™ (7+1)-3=0

∴ 최댓값：0, 최솟값：-2

⑵ y=log_;3!;(2x+1)+3에서 밑 ;3!;이 0<;3!;<1이 므로 주어진 함수는 x의 값이 증가하면 y의 값은 감소하는 감소함수이다.

1…x…4에서 함수 y=log_;3!;(2x+1)+3은 x=1일 때, 최대이고 최댓값은

log_;3!;(2+1)+3=2

x=4일 때, 최소이고 최솟값은 log_;3!;(2_4+1)+3=1

∴ 최댓값：2, 최솟값：1

답 ⑴최댓값：0, 최솟값：-2

⑵최댓값：2, 최솟값：1-

54

y=log_;2!;(x-a)에서 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므로 감 소함수이다.

x=8일 때, 최소이고 최솟값이 -2이므로 log_;2!;(8-a)=-2

8-a={;2!;}—¤

8-a=4 ∴ a=4

따라서 x=6일 때, 최댓값을 가지므로 최댓값은 log_;2!;(6-4)=log_;2!;2=-1 답 -1

55

y=log™ (-x¤ +6x+7)에서 밑 2가 2>1이므로 -x¤ +6x+7이 최대일 때, y도 최대가 된다.

-x¤ +6x+7=-(x-3)¤ +16이므로

-x¤ +6x+7은 x=3일 때, 최댓값 16을 갖는다.

따라서 함수 y=log™ (-x¤ +6x+7)은 x=3일 때 최대이고 최댓값은

log™ 16=log™ 2› =4

즉, a=3, b=4이므로 a+b=7 답 7

56

y=log_;2!;(x¤ +2x+5)에서 밑 ;2!;이 0<;2!;<1이므 로 x¤ +2x+5가 최대일 때 y는 최소가 되고, x¤ +2x+5가 최소일 때 y는 최대가 된다.

x¤ +2x+5=(x+1)¤ +4이므로 -2…x…1에서 4…x¤ +2x+5…8 따라서 y=log

;2!;(x¤ +2x+5)는 x¤ +2x+5=4일 때, 최대이고 최댓값은 log_;2!;4=-2

x¤ +2x+5=8일 때, 최소이고 최솟값은

log_;2!;8=-3 답 최댓값：-2, 최솟값：-3

57

y=logå(x¤ -2x+5)에서

x¤ -2x+5=(x-1)¤ +4æ4 yy㉠

즉, x의 값에 관계없이 (진수)>0이고 x의 값의 범

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 위가 별도로 주어지지 않았으므로 정의역은 모든 실

수이다.

따라서 주어진 최댓값 -2는

⁄a>1이면

⁄진수 x¤ -2x+5가 최댓값을 가질 때의 함숫값이 다. 그런데 ㉠에서 진수의 최댓값은 알 수 없으므 로 주어진 함수의 최댓값도 알 수 없다.

¤0<a<1이면

⁄진수 x¤ -2x+5가 최솟값을 가질 때의 함숫값이 다. 그런데 ㉠에서 진수는 최솟값 4를 가지므로

⁄주어진 함수의 최댓값은

⁄logå 4=-2

⁄a—¤ =4, a¤ =;4!;

⁄∴ a=;2!; (∵ 0<a<1) ^답 ;2!;

58

⑴ y=(log_;3!;x)¤ -log_;3!;x¤ +2 y=(log_;3!;x)¤ -2 log_;3!;x+2 log_;3!;x=t로 치환하면 y=t¤ -2t+2

y=(t-1)¤ +1 yy㉠

3…x…9에서

log_;3!;9…log_;3!;x…log_;3!;3

∴ -2…t…-1 yy㉡

㉡의 범위에서 ㉠의 최댓값, 최솟값을 구하면 t=-2일 때, 최대이고 최댓값은 10

t=-1일 때, 최소이고 최솟값은 5

⑵ y={log£ ;9{;} {log£ ;[#;}

y=(log£ x-log£ 9)(log£ 3-log£ x) y=(log£ x-2)(1-log£ x)

y=-(log£ x)¤ +3 log£ x-2 log£ x=t로 치환하면

y=-t¤ +3t-2=-{t-;2#;}¤ +;4!; yy㉠ 1…x…27에서

log£ 1…log£ x…log£ 27

∴ 0…t…3 yy`㉡

㉡의 범위에서 ㉠의 최댓값, 최솟값을 구하면 t=;2#;일 때, 최대이고 최댓값은 ;4!;

t=0또는 t=3일 때, 최소이고 최솟값은 -2 답 ⑴최댓값：10, 최솟값：55

⑵최댓값：;4!;, ^최솟값：-2

59

y=2(log£ x)¤ +a log£ +b y=2(log£ x)¤ -2a log£ x+b log£ x=t로 치환하면 y=2t¤ -2at+b y=2 {t-;2A;}¤ +b-

따라서 y는 t=;2A;일 때 최솟값 b- 을 가지므로 log£ ;3!;=;2A;, b- =1

∴ a=-2, b=3

∴ a+b=1 답 1

60

x>1에서 log¢ x>0, logÆ 256>0이므로 산술평균 과 기하평균의 관계에 의하여

log¢ x+logÆ 256æ2"√log¢ x¥logÆ 256

=2"√log¢ 256

=2'4=4

(단, 등호는 log¢ x=logÆ 256, 즉 x=16일 때 성립)

따라서 구하는 최솟값은 4이다. 답 4

61

log_;3!;x+log_;3!;y=log_;3!;xy이므로 xy가 최대일 때, 주어진 식은 최솟값을 가진다.

x>0, y>0이므로 산술평균과 기하평균의 관계에 의하여

x+yæ2'∂xy 13a¤2

13a¤2 13a¤2

13x¤1

6æ2'∂xy, '∂xy…3

∴ xy…9 (단, 등호는 x=y일 때 성립)

∴ log

;3!;x+log_;3!;y=log_;3!;xyælog_;3!;9=-2 따라서 구하는 최솟값은 -2이다. 답 -2

62

y=(100x)^{6-log x}의 양변에 상용로그를 취하면 log y=log (100x)^{6-log x}

=(6-log x)log 100x

=(6-log x)(2+log x) 이때 log x=t로 치환하면 log y=(6-t)(2+t)

=-t¤ +4t+12

=-(t-2)¤ +16 yy`㉠

1…x…1000에서 log 1…log x…log 1000

∴ 0…t…3 yy㉡

㉡의 범위에서 ㉠의 최댓값을 구하면 t=2일 때, 즉 log x=2, x=10¤ =100일 때 (log y의 최댓값)=16

log y=16에서 y=10⁄ fl

∴ a=100, b=10⁄ fl

∴ ab=10¤ ¥10⁄ fl =10⁄ ° 답 10⁄ °

63

답 ⑴ 2‹ , 3 ⑵ 3¤ , 7 ⑶ {;2!;}—⁄ , -2

64

답 0, >, 1, x(x-1), x(x-1), 3, 1, 3

65

답 0, 10, 1000, 10, 1000

66

⑴ 진수의 조건에 의하여

x-2>0 ∴ x>2 yy`㉠

log0.1(x-2)=-1에서 로그의 정의에 의하여

x-2=0.1—⁄ , x-2={;1¡0;}—⁄ =10

∴ x=12

이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해는 x=12

⑵ 진수의 조건에 의하여

-3x+1>0 ∴ x<;3!; yy㉠ log_;3!;(-3x+1)=-1에서 로그의 정의에 의하여 -3x+1={;3!;}—⁄ =3 ∴ x=-;3@;

이것은 ㉠을 만족시키므로 구하는 해는 x=-;3@;

⑶ 밑의 조건에서 x-2>0, x-2+1

∴ x>2, x+3 yy ㉠

logÆ–™ 4=2에서 로그의 정의에 의하여 (x-2)¤ =4, x¤ -4x=0

x(x-4)=0 ∴ x=0 또는 x=4

㉠에서 x>2, x+3이므로 구하는 해는 x=4

⑷ 진수의 조건에 의하여

x-1>0, x+5>0 ∴ x>1 yy㉠ log_'3(x-1)=log£ (x+5)+1에서 log_'3(x-1)=log£ (x+5)+log£ 3 log_'3(x-1)=log£ 3(x+5)

양변에 있는 로그의 밑을 3으로 같게 변형하면 log3^;2!;(x-1)=log£ 3(x+5)

2 log£ (x-1)=log£ 3(x+5) log£ (x-1)¤ =log£ 3(x+5)

밑이 3으로 같으므로 위의 등식이 성립하려면 진 수가 같아야 한다.

(x-1)¤ =3(x+5)

x¤ -2x+1=3x+15, x¤ -5x-14=0 (x+2)(x-7)=0 ∴ x=-2 또는 x=7

㉠에서 x>1이므로 구하는 해는 x=7

⑸ 진수의 조건에 의하여 x>0, x-10>0

∴ x>10 yy㉠

log x+log (x-10)=2+log 2에서 log x(x-10)=log 200

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 로그의 밑이 10으로 같으므로

x(x-10)=200

x¤ -10x-200=0, (x+10)(x-20)=0

∴ x=-10 또는 x=20

㉠에서 x>10이므로 구하는 해는 x=20

⑹ 진수의 조건에 의하여 2x-1>0, x¤ +5>0

∴ x>;2!; yy㉠

log£ (2x-1)=logª (x¤ +5)에서 양변에 있는 로그의 밑을 3으로 같게 변형하면

log£ (2x-1)=log3¤ (x¤ +5) log£ (2x-1)=;2!; log£ (x¤ +5) 2 log£ (2x-1)=log£ (x¤ +5) log£ (2x-1)¤ =log£ (x¤ +5)

밑이 3으로 같으므로 위의 등식이 성립하려면 진 수가 같아야 한다.

(2x-1)¤ =x¤ +5, 3x¤ -4x-4=0 (3x+2)(x-2)=0

∴ x=-;3@; 또는 x=2

㉠에서 x>;2!;이므로 x=2

⑺ 진수의 조건에 의하여 3x+1>0, x+1>0

∴ x>-;3!; yy㉠

log_;4!;(3x+1)=log_;2!;(x+1)에서 양변에 있는 로그의 밑을;2!;로 같게 변형하면

log_{;2!;}^¤ (3x+1)=log_;2!;(x+1)

;2!; log;2!;(3x+1)=log_;2!;(x+1) log_;2!;(3x+1)=2 log_;2!;(x+1) log_;2!;(3x+1)=log_;2!;(x+1)¤

밑이 ;2!;로 같으므로 위의 등식이 성립하려면 진 수가 같아야 한다.

3x+1=(x+1)¤

x¤ -x=0, x(x-1)=0

∴ x=0 또는 x=1

이것은 ㉠을 모두 만족시키므로 구하는 해는 x=0또는 x=1

답 ⑴ x=12 ⑵ x=-;3@; ⑶ x=4 답 ⑷ x=7 ⑸ x=20 ⑹ x=2 답 ⑺ x=0또는x=1

67

⑴ 진수의 조건에 의하여 x>0, x¤ >0이므로 x>0 (log x)¤ =3+log x¤ 에서

(log x)¤ -2 log x-3=0 log x=t로 치환하면

t¤ -2t-3=0, (t+1)(t-3)=0

∴ t=-1 또는 t=3

⁄ t=-1일 때, 즉 log x=-1

⁄ ∴ x=10—⁄ =;1¡0;

¤ t=3일 때, 즉 log x=3

⁄ ∴ x=10‹ =1000

따라서 진수의 조건이 x>0이므로 구하는 해는 x=;1¡0;^또는x=1000

⑵ 진수와 밑의 조건에 의하여 x>0, x+1 logx100=logx10¤ =2 logx10=

이므로 log¡º x-log_x100=1에서 log¡º x- =1

양변에 log¡º x를 곱하면 (log¡º x)¤ -log¡º x-2=0 log¡º x=t로 치환하면

t¤ -t-2=0, (t-2)(t+1)=0

∴ t=2 또는 t=-1

⁄t=2일 때, 즉 log¡º x=2

¤∴ x=10¤ =100

¤t=-1일 때, 즉 log¡º x=-1

¤∴ x=10—⁄ =;1¡0;

따라서 진수와 밑의 조건이 x>0, x+1이므로 구하는 해는

1113log¡º x2

1113log¡º x2

x=100또는x=;1¡0;

⑶ 진수의 조건에 의하여 x>0, x¤ >0이므로 x>0 (2+log x)¤ +(log x-1)¤ =(1+log x¤ )¤ 에서 (2+log x)¤ +(log x-1)¤ =(1+2 log x)¤

이때 log x=t로 치환하면 (2+t)¤ +(t-1)¤ =(1+2t)¤

t¤ +t-2=0, (t+2)(t-1)=0

∴ t=-2 또는 t=1

⁄ t=-2,즉 log x=-2 ∴ x=10—¤ =;10!0;

¤ t=1,즉 log x=1 ∴ x=10

따라서 진수의 조건이 x>0이므로 구하는 해는 x=;10!0;^또는x=10

⑷ 진수의 조건에 의하여 2x>0, ;2{;>0이므로 x>0 log™ 2x¥log™ ;2{;=3에서

(log™ 2+log™ x)(log™ x-log™ 2)=3 (log™ x+1)(log™ x-1)=3

이때 log™ x=t로 치환하면 (t+1)(t-1)=3, t¤ -1=3 t¤ =4 ∴ t=-2 또는 t=2

⁄ t=-2, 즉 log™ x=-2 ∴ x=2—¤ =;4!;

¤ t=2, 즉 log™ x=2 ∴ x=2¤ =4 따라서 진수의 조건이 x>0이므로 x=;4!;^또는x=4

⑸ 진수의 조건에 의하여 x>0

log• x=log2‹ x=;3!; log™ x이므로 주어진 방정식 은

log™ x+;3!; log™ x=2 log™ x¥;3!; log™ x 3 log™ x+log™ x=2(log™ x)¤

∴ 4 log™ x=2(log™ x)¤

이때 log™ x=t로 치환하면 4t=2t¤ , 2t(t-2)=0

∴ t=0 또는 t=2

⁄ t=0, 즉 log™ x=0 ∴ x=2‚ =1

¤ t=2, 즉 log™ x=2 ∴ x=2¤ =4 따라서 진수의 조건이 x>0이므로 구하는 해는 x=1또는x=4

⑹ 진수의 조건에 의하여 x>0 logª x=log3¤ x=;2!; log£ x, log•¡ x=log3› x=;4!; log£ x 이므로 주어진 방정식은

(log£ x)‹ -4{;2!; log£ x}¤ +;4!; log£ x=0

∴ 4(log£ x)‹ -4(log£ x)¤ +log£ x=0 이때 log£ x=t로 치환하면

4t‹ -4t¤ +t=0, t(2t-1)¤ =0

∴ t=0 또는 t=;2!;

⁄ t=0, 즉 log£ x=0 ∴ x=3‚ =1

¤ t=;2!;, 즉 log£ x=;2!; ∴ x=3^;2!;='3 따라서 진수의 조건이 x>0이므로 구하는 해는 x=1또는x='3

답 풀이 참조

68

⑴ x^{1og x}= 의 양변에 상용로그를 취하면

log x¥log x=log 1000-log x¤

(log x)¤ +2 log x-3=0 log x=t로 치환하면

t¤ +2t-3=0, (t+3)(t-1)=0

∴ t=-3 또는 t=1

⁄t=-3일 때, 즉 log x=-3

⁄∴ x=10—‹ =;10¡00; (이것은 x>1에 부적합)

¤t=1일 때, 즉 log x=1 ∴ x=10 따라서 구하는 해는 x=10

⑵ 진수의 조건에 의하여 x>0

x^{log£ x}=81x‹의 양변에 밑이 3인 로그를 취하면

log£ x^{log£ x}=log£ 81x‹

1131000x¤

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기 log£ x¥log£ x=log£ 81+log£ x‹

(log£ x)¤ =4+3 log£ x

∴ (log£ x)¤ -3 log£ x-4=0 log£ x=t로 치환하면

t¤ -3t-4=0, (t+1)(t-4)=0

∴ t=-1 또는 t=4

⁄ t=-1일 때, 즉 log£ x=-1

⁄ ∴ x=3—⁄ =;3!;

¤ t=4일 때, 즉 log£ x=4 ∴ x=3› =81 따라서 진수의 조건이 x>0이므로 구하는 해는 x=;3!; 또는 x=81

⑶ 진수의 조건에 의하여 x>0

x^{log 3}=3^{log x}이므로 주어진 방정식은

3^{log x}¥3^{log x}-5(3^{log x}+3^{log x})+9=0

∴ (3^{log x})¤ -10¥3^{log x}+9=0 3^{log x}=t(t>0)로 치환하면 t¤ -10t+9=0, (t-1)(t-9)=0

∴ t=1 또는 t=9

⁄ t=1일 때, 즉 3^{log x}=1=3‚에서 log x=0

⁄ ∴ x=1

¤ t=9일 때, 즉 3^{log x}=9=3¤에서 log x=2

⁄ ∴ x=10¤ =100

따라서 진수의 조건이 x>0이므로 구하는 해는 x=1또는 x=100

답 ⑴ x=10 ⑵ x=;3!;^또는x=81 답 ⑶ x=1또는x=100

69

진수의 조건에 의하여 x>0, y>0 log£ x=X, log™ y=Y로 치환하면 [

㉠, ㉡을 연립하여 풀면

X=1, Y=3 또는 X=3, Y=1 즉, log£ x=1, log™ y=3 또는

log£ x=3, log™ y=1

X+Y=4 yy`㉠

XY=3 yy`㉡

∴ x=3, y=8 또는 x=27, y=2 그런데 x>y이므로 a=27, b=2

∴ a-b=27-2=25 답 25

70

주어진 방정식의 두 근을 a, b라고 하면

ab=4 yy㉠

log™ x=t로 치환하면 주어진 방정식은 t-;t%;+a=0 ∴ t¤ +at-5=0 yy ㉡

따라서 이차방정식 ㉡의 두 근이 log™ a, log™ b이므 로 근과 계수의 관계에 의하여

log™ a+log™ b=-a, 즉 log™ ab=-a

㉠을 대입하면 log™ 4=-a

∴ a=-2 답 -2

71

log 2x¥log ax=1에서

(log 2+log x)(log a+log x)=1 (log x)¤ +(log 2+log a)log x

+log 2¥log a-1=0 log x=t로 치환하면

t¤ +(log 2+log a)t+log 2¥log a-1=0 t¤ +(log 2a)t+log 2¥log a-1=0

이 이차방정식의 두 근이 log a, log b이므로 근과 계수의 관계에 의하여

log a+log b=-log 2a log ab=log (2a)—⁄

∴ ab=(2a)—⁄

즉, ;6!;=;2¡a;이므로 a=3 ^답 3

72

주어진 이차방정식이 중근을 가질 조건은 판별식 D=0이므로

=(1+log™ a)¤ -(5 log™ a-1)=0 (log™ a)¤ -3 log™ a+2=0

(log™ a-1)(log™ a-2)=0 13D4

즉, log™ a=1 또는 log™ a=2

∴ a=2 또는 a=2¤ =4

따라서 a의 값의 곱은 2_4=8 답 8

73

답 ⑴ f(x)>g(x) ⑵ f(x)<g(x)

74

답 >, >, 3, >, 2, x>3

75

⑴ 진수의 조건에서 2x-4>0

∴ x>2 yy`㉠

log™ (2x-4)…3에서 log™ (2x-4)…log™ 2‹

밑 2가 2>1이므로 2x-4…8

∴ x…6 yy ㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2<x…6

⑵ 진수의 조건에서 x-2>0

∴ x>2 yy㉠

log_;3!;(x-2)æ1에서 log_;3!;(x-2)ælog_;3!;;3!;

밑;3!;이 0<;3!;<1이므로 x-2…;3!;

∴ x…;3&; yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2<x…;3&;

답 ⑴ 2<x…6 ⑵ 2<x…;3&;

76

⑴ 진수의 조건에서 x>0, x-3>0이므로

x>3 yy`㉠

주어진 부등식에서 log x(x-3)…log 4 밑 10이 10>1이므로 x(x-3)…4 x¤ -3x-4…0, (x+1)(x-4)…0

∴ -1…x…4 yy`㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 3<x…4

⑵ 진수의 조건에서 2-x>0, x+1>0이므로

-1<x<2 yy`㉠

주어진 부등식에서 밑;3!;이 0<;3!;<1이므로 2-xæx+1 ∴ x…;2!; yy`㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 -1<x…;2!;

답 ⑴ 3<x…4 ⑵ -1<x…;2!;

77

⑴ 진수의 조건에서 x>0 yy㉠ -1<log_;2!;x<2에서 0<(밑)<1이므로

{;2!;}—⁄ >x>{;2!;}¤

∴ ;4!;<x<2 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면;4!;<x<2

⑵ 진수의 조건에서

3-x>0 ∴ x<3 yy㉠

log_;2!;(3-x)>1에서 log_;2!;(3-x)>log_;2!;;2!;

0<(밑)<1이므로

3-x<;2!; ∴ x>;2%; yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 ;2%;<x<3

⑶ 진수의 조건에서

x-5>0, x-6>0 ∴ x>6 yy`㉠

log_;2!;(x-5)+log_;2!;(x-6)>-1에서 log_;2!;(x-5)+log_;2!;(x-6)>log_;2!;{;2!;}—⁄

log_;2!;(x-5)(x-6)>log_;2!;{;2!;}—⁄

0<(밑)<1이므로 (x-5)(x-6)<2

x¤ -11x+28<0, (x-4)(x-7)<0

∴ 4<x<7 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 6<x<7

⑷ 진수의 조건에서 x-3>0, x-5>0

확 인 체 크 개 념 원 리 익 히 기

∴ x>5 yy㉠

log0.5(x-3)æ2 log0.5(x-5)에서 log0.5(x-3)ælog0.5(x-5)¤

0<(밑)<1이므로 x-3…(x-5)¤

x¤ -11x+28æ0 (x-4)(x-7)æ0

∴ x…4 또는 xæ7 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 xæ7

⑸ 진수의 조건에서 11-x>0, x>0

∴ 0<x<11 yy㉠

log (11-x)+log x<1에서 log x(11-x)<log 10 (밑)>1이므로

x(11-x)<10, x¤ -11x+10>0 (x-1)(x-10)>0

∴ x<1 또는 x>10 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 0<x<1또는 10<x<11

⑹ 진수의 조건에서 x>0, log™ x-1>0

log™ x>1, 즉 log™ x>log™ 2에서 (밑)>1이므로 x>2

∴ x>2 yy㉠

log¢(log™ x-1)…1에서 log¢(log™ x-1)…log¢ 4 (밑)>1이므로 log™ x-1…4 log™ x…5, log™ x…log™ 2fi (밑)>1이므로

x…2fi =32 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 2<x…32 답 ⑴ ;4!;<x<2 ⑵ ;2%;<x<3 답 ⑶ 6<x<7 ⑷ xæ7 답 ⑸ 0<x<1 또는10<x<11 답 ⑹ 2<x…32

78

진수의 조건에서 x>0, log£ x>0

∴ x>1 yy㉠

log_;2!;(log£ x)æ-1에서 0<(밑)<1이므로 log£ x…{;2!;}—⁄ =2

(밑)>1이므로 x…3¤ =9 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<x…9

따라서 구하는 정수 x는 2, 3, y, 9의 8개이다.

답 8

79

⑴ 진수의 조건에서

x+1>0, 2x-1>0, x-1>0

∴ x>1 yy㉠

log™(x+1)-log¢(2x-1)>log¢(x-1)에서 log™(x+1)>log¢(x-1)(2x-1)

log™(x+1)>;2!;log™(x-1)(2x-1) 2 log™(x+1)>log™(x-1)(2x-1) log™(x+1)¤ >log™(x-1)(2x-1) (밑)>1이므로

(x+1)¤ >(x-1)(2x-1) x¤ -5x<0, x(x-5)<0

∴ 0<x<5 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<x<5

⑵ 진수의 조건에서 x-1>0, 2x-1>0

∴ x>1 yy㉠

log_;2!;(x-1)>log_;4!;(2x-1)에서 log_;4!;(x-1)¤ >log_;4!;(2x-1) 0<(밑)<1이므로

(x-1)¤ <2x-1 x¤ -4x+2<0

∴ 2-'2<x<2+'2 yy㉡

㉠, ㉡의 공통 범위를 구하면 1<x<2+'2

⑶ 같은 꼴이 있으면 치환한다.