정답및해설

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빠른 정답

3 6

①

03 유리식의 극한

^본문12쪽

2 0 3

2

①

②

04 무리식의 극한

^본문14쪽

1 1 0 2

②

09

1 8

08

3

1

07

2

06 05 04 03 02

5

01

2

13

1

12

3

1

11

4

3

10

4

1

09

3

1

08

2

07

1

06

3

05

1

04

4

03 02 01 16

1

15

4

2

14

5

13

12

^-4

①

05 수열의 수렴, 발산 판별

^본문16쪽

¶ -¶

0

¶

¶

2 -¶

-2

06 미정계수의 결정

본문17쪽

0, 3, 3 a=0, b=20 a=0, b=-14 16

6

①

07 일반항 aa««을 포함한 식의 극한값

^본문18쪽

6 22 4 -11 1

①

2, 2, 2, 2, 1, 0, 0, 0

07

06 05 04 03 02 01 06 05 04 03 02 01 10 09 08

5

07

3

06

1

05

2

04 03 02 01 12

3

11

2

10

-2 3, 1, 3, 1 4

③

08 수열의 극한값의 대소 관계

^본문20쪽

3 4 6 2 5 6

④

09 등비수열의 극한

본문21쪽

3, 3, 수렴 발산 수렴 진동(발산) 발산 수렴 진동(발산) -2<x…2 x=-5, 2<x…4

⑤

0, 0, 1, 수렴, 1 수렴, 0 수렴, 수렴, -6 발산 6 5 3

③

19 18 17 16 15 14

1

13

5

12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 07 06 05 04 03 02 01 12 11 10 09

3

08

4

01 수열의 수렴과 발산

본문8쪽

0 0 2 2, 2, 2 1 1 0 0 수렴, -3 발산

2, 5, 양, 발산, ¶ 발산

수렴, 2 발산 수렴, 0 발산 수렴, 5 수렴, 0 발산 수렴, 0 ㄴ, ㄷ

02 수열의 극한에 대한 기본 성질

^본문10쪽

8 3 6 1 1 2

④ 3 5 0

11

0

10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01

Ⅰ. ^{수열의 극한}

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10 rr

ⁿⁿ

을 포함한 식의 극한

^본문23쪽

0 0

0, -1, 발산 -1

0<r<1일 때 0, r=1 일 때 , r>1일 때 1 0<r<1일 때 -1,

r=1일 때 0, r>1일 때 r

11 수열의 극한의 활용

본문24쪽

1 2'2 1

'5 1 1

500대 이상

12 급수의 수렴과 발산

본문26쪽

, , , , 수렴, 1

수렴, 1 , , 1 2

09

4 5

08

2

3

07

2

1

06

2

05

1 2 1

04

2

03 02

3 4 3 4 1 2 1 n+1 1

01

2

08 07 06 05

1

04

4

03 02 01 06

1 2

05

04 03 02 01

13 급수와 수열의 극한 사이의 관계

^본문28쪽

발산 발산 수렴 0, 1 -3

① 0, -2

-7 12 9

②

14 등비급수의 수렴과 발산

^본문30쪽

- , 수렴 발산 수렴 발산 수렴 발산

0, x-2, 3, 0, 3 x<-1, xæ1 x=2 또는 - <x<

15 등비급수의 합

^본문31쪽

수렴, 3 발산 수렴, 4 발산 20

81

06

8

05 04 03 02 01

1 2 1

2

09 08 07 06 05 04 03 02

1

01

3

13 12 11 10

3

09

5

08 07

3

06

4

05 04 03 02 01

12

16 급수의 성질

^본문32쪽

, , , , 1,

4

8 54

17 등비급수의 활용

본문33쪽

1 2'2 1+'3 4

p

{ , }

{ , }

{ , }

⑴ 0.6« 톤

⑵ 1.5톤 30만 톤 1111.11원 25714개

16

15 14 13

4

12

3

6 13 9

11

13

70 149 100

10

149

90 181 100

09

181

6p-9'3

08

20

9

07

2

2

06

3

05 04 03 02

3

01

2

06 05

8

04

5

03

29

02

4

8 3 1 5 4 5 1 5 4

01

5

07

01 함수의 극한

^본문42쪽

7 3 3

0 -1

양의 무한대로 발산한다.

02 우극한과 좌극한

본문43쪽

-1 1 2 2 1 -1 4 -4 0, 0, 0

극한값은 존재하지 않는 다.

극한값은 존재하지 않는 다.

2

⑴ 1

⑵ 0

⑶ 극한값은 존재하지 않는다.

⑴ -2

⑵ -1

⑶ 극한값은 존재하지 않는다.

⑴ 1

⑵

⑶ 극한값은 존재하지 않는다.

1, 1, -1, -1, 0

17

4

16

1 2

15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 07 06 05

1

04

2

03 02 01

Ⅱ. ^{함수의 극한}

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② x¤ , ¶ -¶

1 2 -1 -2

-x, -1, -1, -

;3!;

05 함수의 극한의 대소 관계

^본문50쪽

3, 3 1

, 1

06 미정계수의 결정

본문51쪽

3, 5, 4, 9 19 -8 -3 -6

④

1, 2'2, -4 a=1, b=2 a=5, b=3 a=1, b=-

a=4, b=

21

07 다항함수의 결정

본문53쪽

-4, 9, 9, x¤ +10x+9 f(x)=x¤ +x-2

02

01 12

1

11

2

1

10

6

09 08 07 06 05 04 03 02 01 05

4 3 4

04

3

1

03

2

02 01 27

1

26

4

25 24 23 22 21 20 19

3

3

03 함수의 극한의 성질

본문46쪽

-10 -7 -6 4 -

- 4 12 -

04 함수의 극한값의 계산

^본문47쪽

3, 3, 6 -3 5

4 4

24

② 1 3 0

4

1 -1

18

-2

17 16

1

15

3

14

1

13

2

12 11 10 09 08

1

07

4

06 05

3

04

2

03 02 01

5

10

4

1

09

3

08 07

5

06

7

2

05

3

04 03 02 01 19

18

-4, 7, 7,

x‹ +x¤ +7x+7 f(x)=x‹ +x¤ +5x 0, 1, 1,

2 8

7 1 0 5

08 함수의 극한의 활용

본문56쪽

5

2 2

8

⑤

09 x x= =a a에서 연속인 함수

^본문58쪽

ㄹ 연속 연속 불연속 불연속 불연속 b, 1, 3, 1, 3 a=1, b=5 a=1, b=3 a=12, b=36

②

11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 08 07

1

06

3

05 04

1

03

2

02

1

01

2

12 11 10 09

1

08

30

07 06

1

05

4

04

03 10 구간에서 연속인

함수

^본문60쪽

(-¶, ¶)

(-¶, -5)'(-5, ¶) 3, (-¶, 3)

(-¶, -1]'[5, ¶) 7, 3, 4, -1

a=0, b=-1 10, 10 -3 7

a=-7, b=6

11 연속함수의 성질

본문62쪽

모든 실수 모든 실수

{-∞, - }'{- , ∞}

(-∞, 1)'(1, ∞) 불연속

연속 연속

③

12 최대・최소 정리

본문63쪽

4, 21, 0, 5

최댓값 6, 최솟값 -3 최댓값 1, 최솟값 최솟값 -1, 최댓값 - 8, 3, 0, 1

최댓값 2'5, 최솟값 2 최댓값 5, 최솟값 1 최댓값 5, 최솟값 -4 최댓값 7, 최솟값 -2 최댓값 - , 최솟값 -1

11

ㄷ

1

10

3

09 08 07 06 05

1 3

04

1

03

2

02 01 08 07 06 05 04

3 4 3

03

4

02 01 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01

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13 사이값 정리

^본문65쪽

0, (-1, 1), 실근 해설 참조 해설 참조 ㄹ ㄹ 3 2개 ㄴ, ㄷ

09

④

08 07 06 05 04 03 02 01

y'=0 y'=3 y'=-2x+8

y'=x› +x‹ +x¤ +x+1 2x¤ -3, x-2, 6x¤ -8x-3 y'=8x‹ +2x

y'=10x› +3x¤ +12x-3 y'=5x› -4x‹ +2x-1 x+2, 2x+3, 6x¤ +10x-1 y'=6x¤ +10x+2 4, 2, 8

y'=10(x-1)·

2, 1, 3, 1 32 25 54 -18 21 70 19 17 12 28 41

2, 3, -1, 3, -1, 2 a=1, b=-4, c=3 a=1, b=2, c=-2 a=2, b=1, c=3 3

07 미분계수를 이용한 극한값의 계산

^본문83쪽

2 4 12 3 24 3 2

08

5

07 06 05 04 03 02 01 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03

6

④

03 미분계수의기하학적 의미

^본문75쪽

2, 2, 4, 4 6 2 -4 6 0

②

04 미분가능성과 연속성

^본문76쪽

×

×

×

×

×

-4, 4 -1, 1 1, 2, 5 연속, 0, f '(0) 미분가능하다.

05 도함수

^본문78쪽

2 0 2x-5 8x 2x, 3, 6 f '(x)=2, 2 f '(x)=2x+1, 7

06 미분법의 공식

^본문79쪽

y'=5x›

y'=9x°

02 01 07 06 05 04 03 02 01 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 07 06 05 04 03 02 01 15 14

01 평균변화율

^본문72쪽

24, 6 -3 28 2a+h+1 4, 4, 4, 1 8

⑤

02 미분계수

^본문73쪽

2, 2 6 4 1

2, 2, 2, 2, 2

④

-3, -3, -9 15

12 18

2, , , 1 1

13

3

1 4 1

12

4

11 10 09 08 07 06

3

05

2

04 03 02 01 07 06 05 04 03 02 01

Ⅲ. ^{다항함수의 미분법}

4 14 14 3 28

08 미분가능한 함수의 미정계수 구하기

본문86쪽

미분가능, 연속, f(2), 4, 4, -4

a=6, b=6 a=2, b=-1

②

09 미분의 항등식에의 활용

^본문87쪽

2, -2, 1, 2x¤ -2x+1 a=1, b=0

1, 2, n, n, 2

4, 6, 4, 2, -2, 1, 2x¤ -2x+1

70

10 미분과 다항식의 나눗셈

^본문88쪽

1, 1, -4, 5x-4 17

a=-30, b=40 a=3, b=-7

⑤

11 접선의 방정식

^본문89쪽

2, 4, 4, 4x-5 y=13x-16 y=8x-16 y=-x+3 y=-10x+11

③

-5, -5, -3, 6, 6, -3, -5x-9

07

06 05 04 03 02 01 05 04 03 02 01 05 04 03 02 01 04 03 02 01 13 12 11 10 09

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y=-2x+3 y=2x-2 또는 y=2x+2 y=2x- y=5x-12 a=2, b=-3 2a-3, 2, x y=-2x 또는 y=6x-8 y=x+2 y=9x y=x+3 또는 y=-7x+11

②

1, 2, 2, -4 -16 -8

②

12 롤의 정리

^본문93쪽

0, 0, 3

'3

①

13 평균값 정리

^본문94쪽

f '(c), 2c+3, 1 1

2

④

14 함수의 증가와 감소

본문95쪽

감소 증가

03

감소

02 01 05 04

3

03

2

02 01 06

2'33

05 04

5

03

2

3

02

2

01 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

1

10

8

09

08

증가

-1, 증가, -1, 감소 (-¶, 2)에서 증가, (2, ¶)에서 감소 (-¶, -4), (0, ¶) 에서 증가, (-4, 0)에 서 감소

-3, -3, 3a, - -3…a…6 -1…a…2 -3…k…3 1…k…4 0…k…1 2, 4, 8 a…-9 a…-36 감소, 3, 증가 구간 (-¶, 0)과 (2, 4)에서 감소, 구간 (0, 2)와 (4, ¶)에서 증가

⑤

15 함수의 극대와 극소

본문98쪽

1, 1, 2, 3, 3, -2 극댓값 2, 극솟값 1 극댓값 5, 극솟값 1 2, -2, -1, -1, 2, 1, 1, -2

극솟값 -11, 극댓값 21 극솟값 -1, 극댓값 1 극솟값 1

극솟값 -12 극솟값 -23 극값을 갖지 않는다.

-3, -12, 3

a=-3, b=-24, c=2 22

16 함수의 극대와 극소의 판정

^본문100쪽

-2, 3, -2, 극대, 극

01

13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 09

1

08

3

07 06 05

04

소, 0, -2

x=-3, x=3에서 극 대, x=1에서 극소 2, -1, 3, 3 3개

-4, 극대, 극소, ㄴ, ㅁ ㄷ, ㅁ

ㄴ, ㄹ

①

17 함수의그래프

^본문102쪽

9, 3, 3, 3, 0 해설 참조 해설 참조 해설 참조 0, 1, -1, -1, 0 해설 참조 해설 참조 해설 참조 36, 6, 6, -6, 6 a<-9또는 a>0 0…a…3

a<0 또는 0<a<

-6<a<0 또는 a>0

18 함수의 그래프와 최댓값, 최솟값

본문105쪽

0, 3, 1, -2, -19 최댓값 30, 최솟값 -13 최댓값 2, 최솟값 -15 최댓값 14, 최솟값 10 b, 2, 3, 2

-6

④

-1, -1, -1, -1, 1 P(2, 2)

'2, '2, '2, '2, 4 2

, , , 2 3 2 3 2 3 2

12

3

11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 13

3

12

2

11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 08 07 06 05 04 03 02

2 cm 2, 2, 2, 2, 2 4 cm‹

4, 4, 2 96p cm‹

19 함수의 그래프와 방정식의실근

^본문109쪽

3 2개 1개 2개 4, 0, 4 0<a<2 a<0또는 a>4

②

20 삼차방정식의 근의 판별

^본문111쪽

1, -1, 세 서로 다른 두 실근 서로 다른 두 실근 한 실근과 두 허근 2, - , -2 -4<a<0 0<a<4 0<a<4 -27<a<5

④

21 부등식에의 활용

본문113쪽

1, 1, 1, 0, 0, 0 해설 참조 해설 참조 해설 참조 해설 참조 해설 참조 0, 0, k, k

08

kæ3

07 06 05 04 03 02 01 10 09 08 07 06

5

05

2

04 03 02 01 08 07 06 05 04 03 02 01 17 16 15 14 13

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k…-1 kæ20 kæ11 k…-4

22 속도와 가속도

본문115쪽

⑴ 속도 24, 가속도 18

⑵ 1

⑴ 속도 -9, 가속도 12

⑵ 4 24 30 10

⑴ 속도 10 m/초, 가속도 -10 m/초¤

⑵ 2초, 35 m

⑴ 속도 10 m/초, 가속도 -10 m/초¤

⑵ 3초, 45 m

⑴ 속도 23.4 m/초, 가속도 -1.3 m/초¤

⑵ 20초, 260 m

⑴ 속도 9 m/초, 가속도 -1.8 m/초¤

⑵ 15초, 202.5 m 150 m/분 3.0 m/초 2'3 cm¤ /초 48 cm‹ /초 ㄴ, ㄹ ㄱ, ㄷ ㄱ, ㄷ

⑤

17 16 15 14 13 12 11 10 09 08 07 06 05 04 03 02 01 12 11 10 09

01 부정적분의뜻

^본문124쪽

6x+4 3

03

8x+2

02 01

Ⅳ. ^{다항함수의 적분법}

9x¤ -4x+5 20x‹ +8x-3 x+C x¤ +C x‹ +C x› +C

a=2, b=3, c=1

02 부정적분의 계산

본문125쪽

x‹ +C

x› +C

x‡ +C

x⁄ ⁄ +C 3x+C x¤ +C x° +C

2x› -x¤ +5x+C xfl -3x› +2x¤ +C 2,

2x‹ -2x¤ -2x+C 4x‹ -3x+C x‹ +3x¤ -x+C -2x¤ +C 1, 1

2x‹ +x¤ -3x+1 x‹ -3x

5x‹ -7x¤ +3x+1

⑤

3, x¤ -x+3 -2x¤ +3x+1 2x‹ -4x¤ +1 x¤ -x-2, 2, 4 8

⑤

03 부정적분과 미분의 관계

^본문128쪽

x+1, 6x+6

01

25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 11

2

10

3

09 08 07 06 05

1

04

11

1

03

7

1

02

4

1

01

3

10 09 08 07 06 05

04

x-2

x+2

3x-2, 3x-2, 10

③ 7, -9

-x‹ +3x¤ +1

①

04 구분구적법

^본문130쪽

,

a¤ h

pr¤ h ㄷ ㄴ

05 정적분의정의

^본문132쪽

2, 4 9 6 12

06 정적분과 미분의 관계

^본문133쪽

0, 1, 3x¤ , 1, 3x¤

a=2, f(x)=2x-4 3

4

07 정적분의 기본 정리

본문134쪽

7

02

2

01 04 03 02 01 04 03 02 01 06 05

1

04

3

1

03

3

4

02

3

1 4 n(n+1)

01

2

11

26

10

3

09

4

08

3

07 06 05

19

04

2

03

02

_-

0 - -15

①

08 함수의 실수배, 합, 차의 정적분

^본문135쪽

-2, -2x, 2, -6 2

16

-2

⑤

09 정적분의성질

^본문136쪽

2, -2, 2, -2, 8 12

0 3 52

⑤

10 구간에 따라 다르게 정의된 함수의 정적분

^본문137쪽

+, -, +, -, 5

10 2 6

⑤

-x¤ +1, x-1, ;6&;

;3$;

-1 -;2!;

10 09 08 07 06 05 04 03 02

5

01

2

06 05 04 03 02 01 06 05

32

04

3

03 02 01 08 07

5

06

6

05

26

04

3

1

03

2

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- 4

11 그래프의 대칭을 이용한정적분

^본문139쪽

2, 2, 10 0 6 4

4 ㄱ, ㄴ

12 정적분으로 나타내 어진 함수

^본문140쪽

k, k, -10, 10, -6 3

① - , 2 16 11

③

13 정적분으로 정의된 함수의 극대・극소, 최대・최소

^본문142쪽

극대, 극소, -1, -1, -1, -1,

F(0)

-

14 정적분으로 정의된 함수의 극한

^본문143쪽

f(2), 4

02

-1

01

1

04

6

03

20

02

3

5 3

01

08 07 06

1

05

2

04

2

03

7

02 01 07 06

4

05

5

04 03 02 01 12

1

11

3 x+2, 4, 4, 4, 2

1 1 14

15 정적분과급수

^본문144쪽

1 3 3 x¤

8

, , , 90

13

④

3

②

16 곡선과 xx축 사이의 넓이

^본문146쪽

-1, 2, -1, 2,

-x‹ +x, - x› + x¤,

x¤ -2x, ;3!;x‹ -x¤ , 3

2

24

11

③

10

3

09

2

08 07

8

06

3

1

05

2

1 2 1 2 1 4

04

4

03

3

4

02

3

9

01

2

13 12

7

11

3

19

10

3

09 08 07

4 3 1 2 1 2 1

06

2

05 04 03 02 01 06 05 04

03 17 곡선과 yy축 사이의

넓이

^본문148쪽

-y¤ +2y, - y‹ +y¤ ,

2

18 두 곡선 사이의 넓이

본문149쪽

-x‹ +4x+3, x+1,

④ 9 36 4

8 3, 9

-x¤ +4, x-2,

-x¤ +x, x¤ +x-2, -2,

19 역함수의 그래프로 둘러싸인넓이

^본문152쪽

2, 2, 2,

02

2

4

01

3

8

15

3

8 3

14

9

13

2

125

12

6

11

4

10

3

09

37

08

12

07 06 05 04

4

03

3

1

02

6

27 4

01 04

8 3

1

03

3

32

02

3

7

01

3

B', A, 19

20 속도와 거리

^본문153쪽

t‹ - t¤ +2t+3

1 5, 5, 5 6초 후

10, 10, 10, 10, 100 600 m

225 m

③ 175 m 180 m -60 m/초 90 m 64.1 m

초

21 속도 그래프의 해석

본문156쪽

×

×

×

ㄴ, ㄷ ㄱ, ㄴ

⑴ -19

⑵ 27

⑶ t=a일 때 2, t=b일 때 6, t=c일 때 -14

16

11

12초

10

11

09

2

08 07 06 05 04 03 02 01

10+'∂114

16

7

15 14 13 12 11 10

4

09

3

08 07 06 05 04 03

2

02

3

3 2 1

01

3

04

51

03

4

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수열 {3+(-1)« }은 2, 4, 2, 4, 2, y이므로 진동한다. 즉 발 산한다.

n이 한없이 커질 때, 일반항 의 값은 0에 한없이 가까워 지므로 이 수열은 수렴한다.

∴ lim

nڦ =0

n이 한없이 커질 때, 일반항 = 의 값은 양의 무한대 로 발산한다.

∴ lim

n⁄¶ =¶

n이 한없이 커질 때, 일반항 5+{- }n 의 값은 5에 한없이 가까워진다.

∴ lim

nڦ[5+{- }

n

]=5

n이 한없이 커질 때, 일반항 의 값은 0에 한없이 가 까워진다.

∴ lim_n⁄¶[ ]=0

n이 한없이 커질 때, 일반항 n¤ -n의 값은 양의 무한대로 발 산한다.

∴ lim_n⁄¶{n¤ -n}=¶

n이 한없이 커질 때, 분모 2« +(-1)« 의 값이 한없이 커지므 로 일반항 의 값은 0에 한없이 가까워진다.

∴ lim

nڦ[ ]=0

ㄱ. n⁄¶일 때, 1.03« ⁄ ¶ ㄴ. n⁄¶일 때, (-0.9)« ⁄ 0 ㄷ. n⁄¶일 때, { }n ⁄ 0 ㄹ. n⁄¶일 때, -n¤ +3 ⁄ -¶

따라서 수렴하는 수열은 ㄴ, ㄷ이다.

02 수열의 극한에 대한 기본 성질

^본문8쪽

limn⁄¶(2a«+b«)=lim

n⁄¶2a«+lim

n⁄¶b«

=2lim

n⁄¶a«+lim

n⁄¶b«

=2¥3+2=8 limn⁄¶(3b«-a«)=lim

n⁄¶3b«-lim

n⁄¶a«

=3lim

n⁄¶b«-lim

n⁄¶a«

=3¥2-3=3 limn⁄¶a«b«=lim_n⁄¶a«_lim_n⁄¶b«=3_2=6

limnڦ = =2_3=1 3_2

nlim⁄¶2a«

limn⁄¶3b«

2a«

04

3b«

03 02 01

2 5

21

1 2« +(-1)«

1 2« +(-1)«

20 19

(-1)«

n¤

(-1)«

18

n¤

1 2

1

17

2

n¤

5n

n 5 n¤

16

5n

7 n¤

7

15

n¤

14

친절한 해설

01 수열의 수렴과 발산

^본문8쪽

n이 한없이 커질 때, 일반항 의 값은 0에 한없이 가까워 진다.

∴ lim_n⁄¶ =0

n이 한없이 커질 때, 일반항 의 값은 0에 한없이 가까워 진다.

∴ lim

nڦ =0

n이 한없이 커져도 주어진 수열의 일반항의 값은 항상 2로 일정하다. 따라서 이 수열은 2로 수렴한다.

∴ lim

nڦ2=2

n이 한없이 커질 때, 일반항 =1+;n!;의 값은 1에 한 없이 가까워진다.

∴ lim

nڦ =1

n이 한없이 커질 때, 일반항 =1+;n@;의 값은 1에 한 없이 가까워진다.

∴ lim

nڦ =1

n이 한없이 커질 때, 일반항 의 값은 0에 한없이 가 까워진다.

∴ lim_n⁄¶ =0

n이 한없이 커질 때, 일반항 (-1)« 의 값은 0에 한없 이 가까워진다.

∴ lim

n⁄¶(-1)« =0

n이 한없이 커져도 주어진 수열의 일반항의 값은 항상 -3 으로 일정하다. 따라서 이 수열은 -3으로 수렴한다.

∴ lim

nڦ(-3)=-3

n이 한없이 커질 때, 일반항 (-1)ⁿ⁺¹¥5의 값은 5와 -5의 값이 주기적으로 반복하며 진동하므로 발산한다.

수열 {-2n+3}은 1, -1, -3, y이므로 음의 무한대로 발 산한다.

∴ lim

n⁄¶(-2n+3)=-¶

n이 한없이 커질 때, 일반항 2+{- }n 의 값은 2에 한없이 가까워지므로 이 수열은 수렴한다.

∴ lim_n⁄¶[2+{- }

n

]=2 1 3

1

13

3

12 10 09

1 2^n-1

1 2^n-1

08

(-1)«

n¤

(-1)«

07

n¤

n+2 n

n+2

06

n

n+1 n

n+1

05

n

03

1 2n

1

02

2n

1 n

1

01

n

Ⅰ. ^{수열의 극한}

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limn⁄¶(a«-2b«)¤

=limn⁄¶(a«¤ -4a«¥b«+4b«¤ )

=limn⁄¶a«¤ -4lim

n⁄¶a«¥b«+4lim

n⁄¶b«¤

=limn⁄¶a«¥lim_n⁄¶a«-4lim_n⁄¶a«¥lim_n⁄¶b«+4lim_n⁄¶b«¥lim_n⁄¶b«

=3¥3-4¥3¥2+4¥2¥2=1

limnڦ =

= =2

① lim

n⁄¶(a«-2b«)=2-2_(-3)=8

② lim_n⁄¶(2a«+b«)=2_2+(-3)=1

③ lim_n⁄¶a«b«=2_(-3)=-6

④ lim_n⁄¶2(a«-b«)=2{2-(-3)}=10

⑤ lim

nڦ = =-1

limnڦ{3+ }=lim_nڦ3+lim

nڦ

=3+0=3 limnڦ{5- }=lim_nڦ5-lim

nڦ

=5-0=5 limnڦ{;n#;+ }=lim_nڦ;n#;+lim_nڦ

=0+0=0 limnڦ{;n!;- }=lim_nڦ;n!;-lim_nڦ

=0-0=0

limnڦ{1+ }{3- }=lim_nڦ{1+ }_lim_nڦ{3- }

={lim_nڦ1+lim

nڦ }_{lim_nڦ3-lim

nڦ }

=(1+0)_(3-0)=1_3=3 limnڦ{2- }{3+ }=lim_nڦ{2- }_lim_nڦ{3+ }

={lim_nڦ2-lim

nڦ }_{lim_nڦ3+lim

nڦ }

=(2-0)_(3+0)=2_3=6

limnڦ = =

= =

limnڦ = =

= =

limnڦ{;n@;- }=lim_nڦ;n@;-lim_nڦ

=0-0=0 4 nfi 4

16

nfi

1 4 1+0 4-0

nlimڦ1+lim

n⁄¶;n#¤;;

limnڦ4-lim

nڦ;n@;

nlim⁄¶{1+;n#¤;;}

limnڦ{4-;n@;}

1+;n#¤;;

4-;n@;

15

2 5 2+0 5-0

limnڦ2+lim

nڦ;n#;

limnڦ5-lim

nڦ;n$;

nlimڦ{2+;n#;}

nlimڦ{5-;n$;}

2+;n#;

5-;n$;

14

6 n 4

n

6 n 4

n 6

n 4

13

n

4 n 2

n

4 n 2

n 4

n 2

12

n

4 n¤

4

11

n¤

2 n¤

2

10

n¤

1 n+2 1

09

n+2

5 n 5

08

n

3_2 2_(-3) 3a«

2b«

07

3¥3-2+5 3¥2 3limn⁄¶a«-lim

n⁄¶b«+lim

n⁄¶5 limn⁄¶a«¥lim_n⁄¶b«

3a«-b«+5

06

a«b«

05 03 유리식의 극한

^본문12쪽

nlimڦ =lim

nڦ = =2

nlimڦ =lim

nڦ = =0

nlimڦ =lim

nڦ = =3

nlimڦ =lim

nڦ =

nlimڦ =lim

nڦ

=limnڦ

= =2

nlimڦ =lim

nڦ

=limnڦ =

nlimڦ =lim

nڦ

=limnڦ =

nlimڦ =lim

nڦ

=limnڦ =

1¤ +2¤ +y+n¤ =

nlimڦ =lim

nڦ

nlimڦ =lim

nڦ

nlimڦ =lim

nڦ

nlimڦ =;6@;=

nlimڦ

=limnڦ

[;2!;n(n+1)]2 (n+1);6!;n(n+1)(2n+1)

(1+2+y+n)¤

(n+1)(1¤ +2¤ +y+n¤ )

10

1 3

1¥{1+;n!;}{2+;n!;}

6 n(n+1)(2n+1)

6n‹

n(n+1)(2n+1) 6 n‹

1¤ +2¤ +3¤ +y+n¤

n‹

n(n+1)(2n+1)

09

6

1 2

;2!;¥1¥{1+;n!;}

1-;n@;

;2!;n(n+1) n¤ -2n 1+2+3+y+n

n¤ -2n

08

3 2 3+;n@;-;n!¤;;

2+;n!¤;;

3n¤ +2n-1 2n¤ +1 (n+1)(3n-1)

2n¤ +1

07

1 3 1-;n!;

3-;n!;

n¤ -n 3n¤ -n n¤ -n

n(3n-1)

06

2+0-0 1-0+0

2+;n#;-;n@¤;;

1-;n#;+;n@¤;;

2n¤ +3n-2 n¤ -3n+2 2n¤ +3n-2

(n-1)(n-2)

05

1 4 1-;n$¤;;+;n!‹;;

4-;n!¤;;

n‹ -4n+1 4n‹ -n

04

6 2 6-;n@;+;n!¤;;

2+;n#¤;;

6n¤ -2n+1 2n¤ +3

03

0 1

;n#;+;n@¤;;

1+;n#;-;n!¤;;

3n+2 n¤ +3n-1

02

4+0 2-0 4+;n!;

2-;n#;

4n+1

01

2n-3

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=limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ =

limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ

=limnڦ =lim

nڦ

=limnڦ =

limn⁄¶ ;Kn+!k(k+2)=lim_n⁄¶ {;Kn+!k¤ +2;Kn+!k}

=limnڦ [;6!;n(n+1)(2n+1)+n(n+1)]

=limn⁄¶;6!;¥1¥{1+ }{2+;n!;}+1¥{1+;n!;};n!;

= ¥1¥1¥2+1¥1¥0=

limn⁄¶[{1+ }{1+;3!;}y{1+ }]2 ¥

=limn⁄¶{ ¥ ¥ ¥y¥ }2 ¥

=limn⁄¶{ }2 ¥ =

04 무리식의 극한

^본문14쪽

"√n¤ +5n-n= 으로 보고 분자를 유리화하면 limn⁄¶("√n¤ +5n-n)

=limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ

=limnڦ = =

limn⁄¶"√9n¤ +6n-3n

=limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ = =1

limn⁄¶("√n¤ +2n+3-n)

=limnڦ

("√n¤ +2n+3-n)("√n¤ +2n+3+n)

"√n¤ +2n+3+n

03

6 3+3 6

Æ…9+;n^;+3 6n

"√9n¤ +6n+3n

("√9n¤ +6n-3n)("√9n¤ +6n+3n)

"√9n¤ +6n+3n

02

5 2 5 1+1 5

Æ…1+;n%;+1

5n

"√n¤ +5n+n (n¤ +5n)-n¤

"√n¤ +5n+n

("√n¤ +5n-n)("√n¤ +5n+n)

"√n¤ +5n+n

"√n¤ +5n-n

01

1

1 2 2 n(n+1) n+2

2

2 n(n+1) n+2

n+1 5

4 4 3 3 2

1 1+2+y+n 1

n+1 1

13

2

1 3 1

6

1 n 1

n‹

1 n‹

1

12

n‹

1 4 1 4+;n!¤;;

n¤

4n¤ +1 n(n+1)

2¥1111-n2 4n¤ +1

2;Kn+!k-n 4n¤ +1

;Kn+!(2k-1) 4n¤ +1

1+3+5+y+(2n-1) 4n¤ +1

11

3 4

;4!;

;6!;{2+;n!;}

;4!;n

;6!;(2n+1)

;4!;n¤ (n+1)¤

(n+1);6!;n(n+1)(2n+1)

=limnڦ =lim

nڦ =1

nlim⁄¶("√n¤ +1-"√n¤ -5)

=limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ

=limnڦ =0

nlim⁄¶("√n¤ +3n-"√n¤ -n)

=limnڦ

=limnڦ

=limnڦ =2

nlim⁄¶("√4n¤ +2n-3-2n)

=limnڦ

=limnڦ =

nlimڦ

=limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ

=limnڦ = =

nlimڦ

=limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ

=limnڦ =

nlimڦ

=limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ

=limnڦ =2=1

2 Æ…1+;n!;+Æ…1-;n!;

2

"√n¤ +n+"√n¤ -n 2n

"√n¤ +n+"√n¤ -n (n¤ +n)-(n¤ -n)

"√n¤ +n+"√n¤ -n

("√n¤ +n-"√n¤ -n)("√n¤ +n+"√n¤ -n) 1

"√n¤ +n-"√n¤ -n

09

8 3 4{1+Æ…1-;n#;}

3

4(n+"√n¤ -3n) 3n 4(n+"√n¤ -3n)

n¤ -(n¤ -3n) 4(n+"√n¤ -3n) (n-"√n¤ -3n)(n+"√n¤ -3n)

4 n-"√n¤ -3n

08

1 2 1+1

4 Æ…1+;n$;+1

4

"√n¤ +4n+n 4n

"√n¤ +4n+n (n¤ +4n)-n¤

"√n¤ +4n+n ("√n¤ +4n-n)("√n¤ +4n+n)

1

"√n¤ +4n-n

07

1 2 2-;n#;

Æ…4+;n@;-;n#¤;;+2 2n-3

"√4n¤ +2n-3+2n

06

4 Æ…1+;n#;+Æ…1-;n!;

4n

"√n¤ +3n+"√n¤ -n (n¤ +3n)-(n¤ -n)

"√n¤ +3n+"√n¤ -n

05

;n^;

Æ…1+;n!¤;;+Æ…1-;n%¤;;

6

"√n¤ +1+"√n¤ -5 (n¤ +1)-(n¤ -5)

"√n¤ +1+"√n¤ -5

("√n¤ +1-"√n¤ -5)("√n¤ +1+"√n¤ -5)

"√n¤ +1+"√n¤ -5

04

2+;n#;

Æ…1+;n@;+;n#¤;;+1 2n+3

"√n¤ +2n+3+n

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limnڦ

=limnڦ

=limnڦ

=limnڦ

= =-4

limnڦ

=limnڦ

=limnڦ

= =

limnڦ =lim

nڦ

= =1

05 수열의 수렴, 발산 판별

^본문16쪽

nlimڦ =lim

n⁄¶ = =¶

nlimڦ =lim

n⁄¶ = =-¶

nlimڦ =lim

nڦ = =0

nlimڦ =lim

n⁄¶ =¶

nlimڦ =lim

nڦ =;2!;

nlimڦ =lim

nڦ

=limnڦ

=¶=¶

3

'n('ƒn+3+'n) 3

'n('ƒn+3+'n) ('ƒn+3-'n)('ƒn+3+'n) 'n

'ƒn+3-'n

06

2+;n!;

4+;n#;

2n+1

05

4n+3

n-;n%;

2+;n#;

n¤ -5

04

2n+3

0 1

;n@;+;n!¤;;

1-;n$¤;;

2n+1 n¤ -4

03

-¶

3

;n!;-4-2n¤

;n!;+3 1-4n-2n‹

02

1+3n

¶ 2 3n-2 2+;n$;

3n¤ -2n

01

2n+4

2 3-1

2+;n!;

Æ…9+;n!¤;;-1 2n+1

"√9n¤ +1-n

12

3 2 5+1

4

Æ…25-;n!¤;;+Æ…1-;n$¤;;

4

"√25n¤ -1+"√n¤ -4 4n

'ƒ5n+1'ƒ5n-1+'ƒn+2'ƒn-2

11

4n

6(1+1) -3

6{Æ…1-;n#;+Æ…1-;n!¤;;}

-3+;n!;

6("√n¤ -3n+"√n¤ -1) -3n+1 6("√n¤ -3n+"√n¤ -1)

(n¤ -3n)-(n¤ -1) 6

"√n¤ -3n-"√n¤ -1

10

lim

nڦ =lim

nڦ

= =

nlimڦ =lim

nڦ = =2

n⁄¶lim('ƒn+1-n)

=limnڦ =lim

nڦ

=limn⁄¶ = =-¶

nlim⁄¶("√n¤ -2n-"√n¤ +2n)

=limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ

=limnڦ = =-2

06 미정계수의 결정

^본문17쪽

n⁄¶lim 의 극한값이 유한 확정값이므로 a=0

nlimڦ =lim

n⁄¶ =;5B;=4이므로 b=20

∴ a=0, b=20

nlim⁄¶ 의 극한값이 유한 확정값이므로 a=0

nlimڦ =lim

n⁄¶ = =2이므로 b=-14

∴ a=0, b=-14

nlimڦ

=limnڦ

=limnڦ

=limnڦ

= ='k

'k=4이므로 k=16

nlimڦ

'ƒn+k-'n 'ƒn+2-'n

05

'k('1+'1) 2

Æ…k+;n!;{Æ…1+;n!;+Æ…1-;n!;}

2

'ƒkn+1('ƒn+1+'ƒn-1) 2n

'ƒkn+1('ƒn+1+'ƒn-1) n(n+1-n+1) 'ƒkn+1

n('ƒn+1-'ƒn-1)

04

b -7 b+;n#;

-7+;n%;

bn+3 -7n+5

bn+3 an¤ -7n+5

03

b+;n!;

5-;n@;

bn+1 5n-2 an¤ +bn+1

02

5n-2

-4 2 -4

Æ…1-;n@;+Æ…1+;n@;

-4n

"√n¤ -2n+"√n¤ +2n n¤ -2n-(n¤ +2n)

"√n¤ -2n+"√n¤ +2n

("√n¤ -2n-"√n¤ +2n)("√n¤ -2n+"√n¤ +2n)

"√n¤ -2n+"√n¤ +2n

10

-¶

1 1+;n!;-n

Æ…;n!;+;n!¤;;+1

n+1-n¤

'ƒn+1+n ('ƒn+1-n)('ƒn+1+n)

'ƒn+1+n

09

4 3-1 4

Æ…9+;n!¤;;-1 4n

"√9n¤ +1-n

08

5 3 3+2 2+1

Æ…9+;n!;+Æ…4-;n!;

Æ…4+;n!;+Æ…1-;n!;

'ƒ9n+1+'ƒ4n-1 'ƒ4n+1+'ƒn-1

07

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=limnڦ

=limnڦ =lim

nڦ

=;2K;lim_nڦ =;2K;

=3이므로 k=6

nlim⁄¶n("√n¤ -an+1-n)

=limnڦ =lim

nڦ

=limn⁄¶ =b이므로 a=0

nlim⁄¶ =b이므로 b=;2!; ∴ a+b=;2!;

07 일반항 aa««을 포함한 식의 극한값

^본문18쪽

nlimڦ(2an-5bn)=2lim

nڦan-5lim

n⁄¶bn=-3이므로 2limn⁄¶an-5¥3=-3

∴ lim_n⁄¶an= =6

nlim⁄¶ = =5이므로

=5

∴ lim_n⁄¶an= =22

nlim⁄¶an=a로 놓으면 =4 2a+4=4a-4, 2a=8 ∴ a=4

∴ lim_n⁄¶an=4

nlim⁄¶an=a로 놓으면 =3 2a+1=3a+12 ∴ a=-11

∴ lim_n⁄¶an=-11

nlim⁄¶an=a로 놓으면 =2 3a+5=12-4a ∴ a=1

∴ lim_n⁄¶an=1

nlim⁄¶an=a로 놓으면 =2 2a+6=6a+2, 4a=4 ∴ a=1

∴ lim_n⁄¶an=1

=bn이라고 하면 lim_n⁄¶bn=2

an을 bn으로 나타내면 2an-1=bn(3an-2)에서 2a«-1

3a«-2

08

2a+6

06

3a+1

3a+5

05

6-2a

2a+1

04

a+4

2a+4

03

a-1

5¥3¤ -1 2 2limn⁄¶a«+1

3¤

2limn⁄¶a«+lim

nڦ1

nlim⁄¶b«¥lim_n⁄¶b«

2a«+1

02

b«¤

-3+5¥3 2

01

1 Æ…1+;n!¤;;+1

-an+1 Æ…1-;nA;+;n!¤;;+1

-an¤ +n

"√n¤ -an+1+n n{(n¤ -an+1)-n¤ }

"√n¤ -an+1+n

06

k 2

Æ…1+;n@;+1 Æ…1+;nK;+1

k('ƒn+2+'n) 2('ƒn+k+'n) (n+k-n)('ƒn+2+'n)

(n+2-n)('ƒn+k+'n)

('ƒn+k-'n)('ƒn+k+'n)('ƒn+2+'n)

('ƒn+2-'n)('ƒn+2+'n)('ƒn+k+'n) an=

∴ lim

nڦan=lim

nڦ = = =;4#;

다른 풀이 I lim

n⁄¶an=a로 놓으면 =2 2a-1=6a-4 ∴ a= ∴ lim_n⁄¶an=

=bn이라고 하면 lim_n⁄¶bn=3

an을 bn으로 나타내면 2an+1=bn(an+1)에서 an=

∴ lim

nڦan=lim

nڦ = =-2

다른 풀이 I lim

n⁄¶an=a로 놓으면 =3 2a+1=3a+3 ∴ a=-2

∴ lim_n⁄¶an=-2

(2n+1)an=bn이라고 하면 lim_n⁄¶bn=8 an= 이므로

nlimڦnan=lim

nڦ{n_ }

=limnڦ _lim

nڦbn=;2!;_8=4

다른 풀이 I lim

nڦnan=lim

nڦ[ _(2n+1)an]

=limnڦ _lim

nڦ(2n+1)an

= _8=4

nlimڦnan=lim

nڦ (2n+1)an

=limnڦ _lim

nڦ(2n+1)an

= _6=3

08 수열의 극한값의 대소 관계

^본문20쪽

…an… 에서

nlim⁄¶ =3, lim_n⁄¶ =3이므로

nlimڦan=3

<an< 에서

nlimڦ =4, lim

n⁄¶ =4이므로

nlimڦan=4

nlimڦ =lim

n⁄¶ =5이므로

nlimڦan=5

5n+1 n-2 5n-2

03

n+1

4n¤ +3n+1 n¤

4n-1 n

4n¤ +3n+1 n¤

4n-1

02

n

3n+4 n 3n-1

n

3n+4 n 3n-1

01

n

1 2

n 2n+1

n

12

2n+1

1 2

n 2n+1

n 2n+1 n 2n+1

b«

2n+1 b«

2n+1

11

2a+1 a+1 1-3 3-2 1-b«

b«-2

1-b«

b«-2 2a«+1

09

a«+1

3 4 3

4 2a-1 3a-2

2_2-1 3_2-2 2limn⁄¶b«-1

3limn⁄¶b«-2 2b«-1

3b«-2 2b«-1

3b«-2

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