EXERCISESy=5-4cosh에서cosh=

이때 sin¤ h+cos¤ h=1이므로 { }¤ +{ }¤ =1

∴ (x+3)¤ +(y-5)¤ =16

즉, 점 (x, y)가 그리는 도형은 점 (-3, 5)를 중심으로 하고 반지름의 길이가 4인 원이다.

따라서 점 (x, y)가 그리는 도형의 길이는

2_p_4=8p 8p

06

^{{sin h+ }¤ +{cos h+ }¤}

-{tan h+ }¤

={sin¤ h+2+ }

+{cos¤ h+2+ }

-{tan¤ h+2+ }

=(sin¤ h+cos¤ h)+{ - }

+{ -tan¤ h}+2

=1+{ - }

+{ - }+2

=1+ + +2

=1+ + +2=5 5

07

sin h+cos h=1의 양변을 제곱하면 sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h=1 sin¤ h+cos¤ h=1이므로

cos¤ h 1124cos¤ h sin¤ h

1124sin¤ h

1-sin¤ h 1124123cos¤ h 1-cos¤ h

1124123sin¤ h

sin¤ h 1124cos¤ h 1124cos¤ h1

cos¤ h 1124sin¤ h 1124sin¤ h1

1124cos¤ h1 1124tan¤ h1 1124sin¤ h1

1124tan¤ h1 1124cos¤ h1 1124sin¤ h1

112tan h1 112cos h1

112sin h1 112y-5-4 112x+34

112y-5-4 sin h cos h=0

⁄sin h=0인 경우 cos h=—1

¤cos h=0인 경우 sin h=—1

그런데 주어진 식에 의하여 f(1)=sin h+cos h=1이 므로

sin h=0, cos h=1 또는 sin h=1, cos h=0

∴ f(3)=1, f(5)=1, f(7)=1, f(9)=1

∴ f(1)+f(3)+f(5)+f(7)+f(9)=5 곱셈 공식의 변형을 이용하자.

sin h=a, cosh=b라 하면 a+b=1, ab=0, a¤ +b¤ =1 이므로

⁄f(1)=a+b=1

¤f(3)=a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)=1‹ -0=1

‹f(5)=afi +bfi =(a¤ +b¤ )(a‹ +b‹ )-a¤ b¤ (a+b)

=1¥1-0=1

›f(7)=a‡ +b‡ =(a¤ +b¤ )(afi +bfi )-a¤ b¤ (a‹ +b‹ )

=1¥1-0=1

fif(9)=a· +b· =(a¤ +b¤ )(a‡ +b‡ )-a¤ b¤ (afi +bfi )

=1¥1-0=1 5

08

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여 sin h+cos h= , sin h cos

h=-sin h+cos h= 의 양변을 제곱하면

sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h=

sin¤ h+cos¤ h=1이므로 sin h cos

h=-∴ k=3 yy ❶

한편

tan h+ = +

= =-8

13 111124sin h cos h1

cos h 112sin h sin h

112cos h 112tan h1

138 114

112

1k8 112

tan h_ =1

이므로 tan h와 을 두 근으로 하고 상수항이 3인 이차방정식은

3x¤ +8x+3=0 yy ❷

3x¤ +8x+3=0

09

OE”=x, EF”=y로 놓으면 OG”=x cos h, G’H”=y cos h 따라서 조건의 두 비례식에 의하여

x : y cos h=2 : 1

∴ x=2y cos h yy ㉠ x cos h : y=3 : 2

∴ 3y=2x cos h yy ㉡

㉠을 ㉡에 대입하면

3y=4y cos¤ h ∴ cos¤ h=

sin¤ h=1-cos¤ h이므로 sin¤ h=1- =

∴ sin h= {∵ 0<h< }

㉠, ㉡을 cos h에 대해 정리하여 연립하면

= , x¤ =3y¤

x='3y (∵ x, y는 양수) yy ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 cos h=

∴ sin h="√1-cos¤ h {∵ 0<h< }

∴ sin h

=æ≠1- = 1

12 112

134

1p2 123'32 123y2x

122yx

1p2 11

12 114 134

134 112tan h1

112tan h1

10

주어진 식 sin h+cos h= 의 양변을 제곱

하면

sin¤ h+2 sin h cos h+cos¤ h=

sin¤ h+cos¤ h=1이므로 2 sin h cos h=-이때

(sin h-cos h)¤

=sin¤ h-2 sin h cos h+cos¤ h

=1-2 sin h cos h=1-{- }=

이고, h가 제2사분면의 각이므로 sin h>0, cos h<0에 서

sin h-cos h>0 ∴ sin h-cos h=

한편

(sin h+cos h)(sin h-cos h)

=sin¤ h-cos¤ h

=sin¤ h+cos¤ h-2 cos¤ h

=1-2 cos¤ h 이므로

2 cos¤ h=1-(sin h+cos h)(sin h-cos h)

2 cos¤ h

=1-{ _

}=1-1- '3 1232 1'3

122332 123'62

123'22

123'62 132 112 112

112 123'22

채점 기준 배점

❶ k의 값 구하기

❷ 이차방정식 구하기

50 % 50 %

EXERCISES

01

⑴ 1, -1, 2p

⑵ 주기

⑶ 원점, y축

⑷ 그래프

⑸ y, x, c, 교점

02

⑴ 함수 y=sinx의 그래프를 x축의 방향으로 2배하면 y=sin 의 그래프가 된다. (거짓)

⑵

⁄0<a<1일 때 sinx=a를 만족시키는 두 근을 a¡, a™(a¡<a™)라 하면 x축 위의 두 근은 x=

에 대하여 대칭이므로 a™=p-a¡이다.

∴ a¡+a™=p

¤-1<a<0일 때 sinx=a를 만족시키는 두 근을 b¡, b™(b¡<b™)라 하면 x축 위의 두 근은 x= p에 대하여 대칭이므로

b¡=p+k{0<k< }

라 하면 b™=2p-k이므로 두 근의 합은 b¡+b™=3p가 된다.

1p2 132

1p2 2π π

π

-1 1

x k

y

y=a{0<a<1}

y=a{-1<a<0}

y=sinx

O å¡

∫¡ ∫™

å™

k π2

-23 -1x2

01 ⑴ 1, -1, 2p ⑵ 주기 ⑶ 원점, y축 ⑷ 그래프

⑸ y, x, c, 교점

02 ⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 참 03 풀이 참조

Review Quiz S U M M A C U M L A U D E 본문 211쪽

‹a=0일 때 sinx=0을 만족시키는 세 근은 0, p, 2p이므로 그 합은 3p이다. (거짓)

⑶

cosx=a를 만족시키는 두 근을 a¡, a™(a¡<a™)라 하 면 y=cosx의 그래프는 0…x…2p에서 x=p에 대 하여 대칭이므로 a¡=p-k (0<k<p)일 때 a™=p+k이다.

따라서 a¡+a™=2p이다. (참)

⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 참

03

⑴ y=sin x의 그래프를 x축의 방향으로

⑴

- 만큼 이동하면 y=cos x의 그래프와 겹쳐지고,

⑴

y=cos x의 그래프를 x축의 방향으로 만큼 평행이

⑴

동하면 y=sin x의 그래프와 겹쳐진다.

⑵ y=tan x의 경우 tan x의 값은 단위원 위의 점과 원

⑴

점을 지나는 직선의 기울기를 의미한다. 그런데 `

⑴

x=np+ 일 때에는 직선의 기울기가 정의되지 않

⑴

는다. 따라서 y=tan x는 x=np+ (`n은 정수)에서

⑴

정의되지 않는다.

⑶ y=sin x의 그래프를 x축의 방향으로 배 확대 또는

⑶

축소한 후 y축의 방향으로 a배 확대 또는 축소하면

⑶

y=a sin bx의 그래프를 만들 수 있다.

⑶

그래프의 최댓값과 최솟값은 sin x의 계수의 영향을

⑶

받아 a배 만큼 변화하며 주기는 인 그래프가 된다.

⑶

풀이 참조

122pb 11b 1p2 1p2

1p2 1p2

2π π

-1 1

x y

y=cosx y=a

O å¡ å™

k k

2. 삼각함수의 그래프

01

f(x-a)=f(x+a)에서 x대신 x+a를 대입 하면

f(x)=f(x+2a)

이고, 이를 만족시키는 가장 작은 양수 a가 1인 함수는 주기가 2인 함수이다.

보기의 각 함수의 주기를 구해 보면

① = ② =2'2

③ ='2 ④ ='2

⑤ =2

따라서 조건을 만족시키는 함수는 ⑤이다. ⑤

02

그래프에서 주기는 4p이다. 또한 y의 값이 가장 클 때는 3이고 가장 작을 때는 -3이므로 최댓값은 3, 최 솟값은 -3이다.

주기가 4p이므로

=4p ∴ b=

최댓값이 3이므로

|a|=3 ∴ a=3(`∵ a>0)

a=3, b=1 12 11

12 122pb

122pp

1122p '2p 112p

12p'22

1122p 12p'22 12'22

1122'2p2p

01 ⑤ 02 a=3, b= 03 - p 04 ③

05 최댓값：1, 최솟값：- 06 2 07 4 08 ② 09 ④

10 <h< 또는 p<h<153p 132

1p2 1p3

112

123 112

EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 212`~`213쪽

03

주어진 그래프에서 함수의 최댓값이 4이므로

|a|+2=4 ∴ a=2 (∵ a>0) 그래프의 주기는 { p- }_2=p이므로

p=p ∴ b=2 (∵ b>0)

한편 함수 y=2sin(2x-c)+2의 그래프는 점 { p, 0}을 지나므로

2sin { p-c}+2=0, sin { p-c}=-1

p-c=2kp+ p (단, k는 정수)

∴ c= p

이때 - <c< 이므로 k=0,

c=-∴ abc=2_2_{- }=- p - p

문서에서 숨마쿰라우데_수학1 서브노트 (페이지 101-104)