11-2x>0, 6-x>0, 5-y>0, 4-y>0
∴ x< , y<4 yy ㉠ yy ❶ log(11-2x)-log(6-x)=log(5-y)-log(4-y) 에서
log =log
즉, = 이므로
(11-2x)(4-y)=(6-x)(5-y) xy-3x-5y=-14, (x-5)(y-3)=1 이때 x, y가 정수이므로 4logx=5log y yy ㉠ x¥ =y≈ 에 상용로그를 취하면
ylogx=xlog y yy ㉡
㉠에서 log y= logx yy ㉢
㉢을 ㉡에 대입하면
ylogx=x¥ logx, {y- x}logx=0
∴ logx=0 또는 y=4x
11126-x
1125-y4-y 11-2x
11126-x 12112
EXERCISES
⁄logx=0이면 x=1이고
㉠에서 log y=0이므로 y=1
∴ x=1, y=1
¤y= x이면
x› =yfi ={ x}fi ={ }fi xfi
∴ x={ }fi (∵ x>0)
x={ }fi 을 y= x에 대입하면
y={ }›
∴ x={ }fi , y={ }›
⁄, ¤에서 구하는 순서쌍 (x, y)의 개수는 2이다.
2
07
3x(x-2a)<3a(x-2a)에서 밑이 1보다 크므로 x(x-2a)<a(x-2a), (x-a)(x-2a)<0∴ A={x|(x-a)(x-2a)<0}
또 log£(x¤ -2x+6)<2에서 log£(x¤ -2x+6)<log£9
이때 x¤ -2x+6=(x-1)¤ +5에서 (진수)>0이고, 밑 이 1보다 크므로
x¤ -2x+6<9, x¤ -2x-3<0
(x+1)(x-3)<0 ∴ B={x|-1<x<3}
이때 A'B=B HjK A,B가 성립하려면
⁄a>0일 때,
A={x|a<x<2a}, {x|-1<x<3}=B 즉, aæ-1이고 2a…3이므로 -1…a…
그런데 a>0이므로 0<a…
¤a=0일 때, A={x|x¤ <0}=Δ,B
∴ a=0
132
132 154
154 154
145 154
154
145 145
145
‹a<0일 때,
A={x|2a<x<a}, {x|-1<x<3}=B 즉, 2aæ-1이고 a…3이므로 - …a…3
그런데 a<0이므로 - …a<0
⁄~‹에 의하여 - …a… ③
08
주어진 부등식의 양변에 상용로그를 취하면 logxlogx>log(100x)μ(logx)¤ >m(log100+logx)>0 (logx)¤ -mlogx-2m>0
logx=X로 치환하면 X¤ -mX-2m>0 이때 x>0이므로 X는 모든 실수이다.
이 이차부등식이 모든 실수 X에 대하여 성립해야 하므로 이차방정식 X¤ -mX-2m=0의 판별식을 D라 하면
D=m¤ +8m<0, m(m+8)<0
∴ -8<m<0 -8<m<0
09
⁄log™a-log™10æ0, 즉 aæ10일 때,|log™a-log™10|+log™b…1에서
log™a-log™10+log™b…1, log™ …1
…2 ∴ ab…20 a=10이면 b=1, 2
a=11, 12, y, 20이면 b=1
∴ 11…a+b…21
¤log™a-log™10<0, 즉 a<10일 때,
|log™a-log™10|+log™b…1에서
-log™a+log™10+log™b…1, log™ …1
…2 ∴ aæ5b 12310ba
12310ba 133ab10
133ab10 13 12 11
12 112
112
a=5, 6, 7, 8, 9이면 b=1
∴ 6…a+b…10
⁄, ¤에서 a+b의 최댓값은 21이다. 21
10
어느 날의 저수량을 Aº이라 하면 227일 후의 저수량도 Aº이므로 비가 왔던 날을 n일이라 하면Aº_1.62« _0.96227-n=Aº
∴ 1.62« _0.96227-n=1 양변에 상용로그를 취하면
log1.62« +log0.96227-n=log1 nlog1.62+(227-n)log0.96=0 n(log1.62-log0.96)=-227log0.96 nlog =-227log
n(log3‹ -log2› )=-227{log(2fi ¥3)-2}
n(3log3-4log2)=-227(5log2+log3-2) n(3_0.477-4_0.301)
=-227(5_0.301+0.477-2) 0.227n=-227_(-0.018)
∴ n=1000_0.018=18
따라서 비가 온 날은 모두 18일이다. 18일 133310096
1342716
01
[전략]‹ "çnμ =n;;Â3;;이 자연수가 되려면 n이 세제곱수이거나 m이 3의 배수이어야 함을 이용한다.1…m…3, 1…n…8인 두 자연수 m, n에 대하여
‹"çnμ =n;;3;M;이 자연수가 되려면 반드시
n=A‹ 꼴 또는 m=3k 꼴 (단, A, k는 자연수) 이어야 한다. 그래야만 지수의 분모 3이 없어져 자연수가 된다.
m의 값의 범위가 n의 값의 범위보다 작으므로 m의 값을 기준으로 경우를 나누어 생각하면
⁄ m=1 : m=3k 꼴이 아니므로 반드시 n=A‹ 꼴이 어야 한다. 즉, n=1, 8로 2가지이다.
¤ m=2 : m=3k 꼴이 아니므로 반드시 n=A‹ 꼴이 어야 한다. 즉, n=1, 8로 2가지이다.
‹ m=3 : m=3k 꼴이므로 n은 무엇이든 상관없다.
즉, n=1, 2, y, 8로 8가지이다.
⁄~‹에서 구하는 순서쌍 (m, n)의 개수는
2+2+8=12 ④
02
[전략]‹ '∂m이 자연수가 되려면 m은 세제곱수이어야 하고,› 'n이 자연수가 되려면 n은 네제곱수이어야 함을 이용한다.
f(x)가 자연수이므로 12x는 세제곱수이고, g(x)가 자연수이므로 는 네제곱수이다.
12=2¤ _3이므로 x=2å _3∫ (a, b는 음이 아닌 정수)이 라 하면
12x=2a+2_3b+1, =2a-2_3b-1
따라서 a+2와 b+1은 3의 배수이고, a-2와 b-1은 4의 배수이다.
1212x 1212x
01④ 02156 0320'2 0427 05③ 06125 07④ 08② 09④ 10⑤ 11140 12① 131 1418 1530 16③ 17⑤ 1824 1950 203 Chapter
I
Exercises S U M M A C U M L A U D E 본문 126`~`131쪽EXERCISES
05
[전략]ㄱ, ㄴ, ㄷ이 집합 A를 나타내는 조건제시법에 맞는 지 확인한다.ㄱ. log™2=log£3=1이므로 (2, 3)<A (참)
ㄴ. (x, y)<A이므로 log™x=log£ y log™2x=1+log™x, log£ 3y=1+log£ y 이므로 log™2x=log£ 3y
∴ (2x, 3y)<A (참)
ㄷ. (반례) log™;2!;=log£;3!;=-1이므로 {;2!;, ;3!;}<A이 지만 ;2!;>;3!;이다. (거짓)
따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. ③
06
[전략]a-b, a+b를 로그를 이용하여 나타낸 후 a¤ -b¤ 의 값을 구한다.로그의 정의에 의하여
3a-b=8 HjK a-b=log£8=3log£2 2a+b=5 HjK a+b=log™5
∴ a¤ -b¤ =(a-b)(a+b)
=3log£2¥log™5
=3¥ ¥
=3log£5
∴ 3a¤ -b¤=33log£5=3log£125=125 125
07
[전략]양수 A에 대하여 log A의 정수 부분이 n(næ0)이 면 A는 (n+1)자리 수이고, 정수 부분이 -n(næ1)이 면 A는 소수점 아래 n째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자 가 나타나는 수임을 이용한다.logN=log3¤ ‚ =20log3
=20_0.4771=9.542
즉, logN의 정수 부분이 9이므로 N은 10자리 자연수 이다.
∴ m=10
log 1 =-logN=-9.542=-10+0.458 14N
1125log5log2 1125log2log3 이러한 조건을 만족하는 a, b의 최솟값을 구하면
a=10, b=5이다. 즉, a=2⁄ ‚ _3fi
∴ f(a)+g(a)=‹"√2⁄ ¤ _≈3flΩ +›"√2° _≈3›Ω
∴ f(a)+g(a)=‹"√(2› _3¤ )‹ +›"√(2¤ _3)›
∴ f(a)+g(a)
=144+12=156 15603
[전략]a2x=5+2'6임을 이용하여 a2x+a-2x, a2x-a-2x, ax+a-x의 값을 구해 본다.a¤ ≈ =5+2'6이므로 a—¤ ≈ = =
= =5-2'6
∴a¤ ≈ +a—¤ ≈ =(5+2'6)+(5-2'6)=10 a¤ ≈ -a—¤ ≈ =(5+2'6)-(5-2'6)=4'6 (a≈ +a—≈ )¤ =a¤ ≈ +a—¤ ≈ +2=10+2=12이므로
a≈ +a—≈ ='∂12=2'3 (∵ a>0)
∴ =
= =20'2 20'2
04
[전략]a>0, x+0일 때, a≈ =b이면 a=b;[!;임을 이용한 다.aπ =Nß 에서 a;s!;=N;p!;
bœ =Nß 에서 b;s!;=N;q!;
c® =Nß 에서 c;s!;=N;r!;
이므로 세 식을 변끼리 곱하면 (abc);s!;=N;p!;+;q!;+;r!;
조건에서 = + + 이므로
(abc);s!;=N;2¡s; ∴ N=(abc)¤
그런데 a, b, c는 서로 다른 소수이므로 N을 소인수분 해하면 N=a¤ b¤ c¤
따라서 N의 양의 약수의 개수는
(2+1)(2+1)(2+1)=27 27
11r 11q 11p 122s1
10¥4'6 1444444442
2'3
(a¤ ≈ +a—¤ ≈ )(a¤ ≈ -a—¤ ≈ ) 144444444444441111222a≈ +a—≈
a› ≈ -a—› ≈ 14444444444444a≈ +a—≈
5-2'6 14444444444444444444444444444444
(5+2'6)(5-2'6) 1444444444441
5+2'6 144a¤ ≈1
즉, log 의 정수 부분이 -10이므로 은 소수점 아 래 10째 자리에서 처음으로 0이 아닌 숫자가 나타난다.
∴ n=10
∴ m+n=10+10=20 ④
08
[전략]10° <x<10·임을 이용하여 먼저 log x의 범위를 구 한 후 조건 ㈏를 적용한다.10° <x<10· 이므로 8<logx<9 yy ㉠ logx+log‹'x=;3$;logx
㉠의 각 변에 ;3$;를 곱하면
:£3™:<;3$;log x<12
이때 ;3$;logx가 정수이므로 ;3$;log x=11 logx=:£4£:, x=10:£4£:
∴ x› =10‹ ‹ ②
09
[전략]1<x<100에서 log x의 범위를 구한 후, 이를 이 용하여 log x‹ -log 'ßx의 범위를 구한다.1<x<100이고 log1=0, log100=2이므로 0<logx<2 yy ㉠
logx‹ -log'x=3logx-;2!;logx=;2%;logx
㉠의 각 변에 ;2%;를 곱하면 0<;2%;logx<5 이때 ;2%;logx가 정수이므로
;2%; log x=1 또는 ;2%; log x=2 또는 ;2%; log x=3 또는
;2%; log x=4
∴ logx=;5@; 또는 logx=;5$; 또는 logx=;5^; 또는 logx=;5*;
∴ x=10;5@;또는 x=10;5$;또는 x=10;5^;또는 x=10;5*;
14N1
14N1 따라서 모든 x의 값의 곱은
10;5@;¥10;5$;¥10;5^;¥10;5*;=10;5@;+;5$;+;5^;+;5*;
=10›=10000 ④
10
[전략]x=R;2@3&;일 때, v=;2!;vç임을 이용하여 k를 logR에대한 식으로 나타낸다.
급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 R;2@3&;만큼 떨어진 지점에서의 물의 속력이 중심에서의 물의 속력 vç의 ;2!;이 므로 x=R;2@3&;, v=;2!;vç를 =1-klog 에 대입하면
=1-klog , 2=1-klogR;2¢3;
k¥;2¢3;log R=-1 ∴
k=-급수관의 벽면으로부터 중심 방향으로 Rå 만큼 떨어진 지 점에서의 물의 속력이 중심에서의 물의 속력 vç의 ;3!;이므
로 x=Rå , v=;3!;vç를 =1+ ¥log 에 대 입하면
=1+ ¥log
3=1+ ¥(a-1)logR
;;™4£;;(a-1)=2, a-1=;2•3; ∴ a=;2#3!; ⑤
11
[전략]f(a)=3a-3-a=5와 곱셈 공식의 변형을 이용하여 f(3a)의 값을 구한다.`f(a)=5이므로 3å -3—å =5
∴ f(3a)=3‹ å -3—‹ å
=(3å -3—å )‹ +3¥3å ¥3—å (3å -3—å )
=5‹ +3¥1¥5=140 140
13114logR23
13RåR 13114logR23
131vç
;3!;vç
14Rx 1413344logR23 13vçv
13114logR23 R;2@3&;
1325R 131vç
;2!;vç
14Rx 13vçv
EXERCISES
14
[전략](3+2'2);3{;=t로 치환한 후, 주어진 방정식을 t에 대한 방정식으로 나타낸다.(3+2'ß2);3{;=t로 치환하면 (3-2'ß2);3{;={ }
;3{;= = 이므
로 주어진 방정식은 t+ =6 t¤ -6t+1=0 ∴ t=3—2'ß2 (3+2'ß2);3{;=3+2'ß2일 때
=1 ∴ x=3
(3+2'ß2);3{;=3-2'ß2= =(3+2'ß2)—⁄ 일 때
=-1 ∴ x=-3
∴ a¤ +b¤ =3¤ +(-3)¤ =18 18
15
[전략]함수 y=log˚x의 그래프가 삼각형 ABC와 만나려 면 함수 y=log˚ x의 그래프가 어떤 모양이 되어야 하는지 그림을 그려서 알아본다.세 점 A(20, 4), B(20, 1), C(32, 1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형과 함수 y=logkx의 그래프가 만나도록 하 려면 다음 그림과 같이 함수 y=logkx의 그래프가 변 AC와 만나도록 하면 된다.
한편 k>1일 때 함수 y=logkx는 증가함수이고, 그래프 는 k의 값이 커질수록 x축에 가까워진다.
따라서 함수 y=logkx의 그래프가 점 C(32, 1)을 지날 때 k의 값이 최대, 점 A(20, 4)를 지날 때 k의 값이 최소 가 된다. 즉,
y=logk`x
1 1 4
20 32
O
A
B C
x y
1x3
111233+2'ß21 1x3
11t
11t 1111121
(3+2'ß2);3{;
111251 3+2'ß2
12
[전략]먼저 주어진 그래프를 보고 a, b의 범위를 알아본다.함수 y=a¥b≈ 의 그래프에서 x=0일 때 y>1이므로 a>1이고, 함수 y=a¥b≈ 이 감소함수이므로 0<b<1 이다.
즉, 함수 y=b¥a≈ 에서 x=0일 때 y=b이고 0<b<1이 므로 그래프에서 0<(y절편)<1 yy ㉠ 또 a>1이므로 함수 y=b¥a≈ 은 증가함수이다. yy ㉡ 따라서 ㉠, ㉡을 만족하는 그래프는 ①이다. ①
13
[전략]지수함수 y=2x-a+4b, y=-22b-x+2a의 그래프는 각각 지수함수 y=2≈ , y=-2—≈ 의 그래프를 어떻게 평 행이동한 것인지 알아본다.
지수함수 y=2x-a+4b의 그래프는 지수함수 y=2≈ 의 그 래프를 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향으로 4b만큼 평행이동한 것이다.
또 지수함수 y=-22b-x+2a=-2-(x-2b)+2a의 그래 프는 지수함수 y=-2-x의 그래프를 x축의 방향으로 2b만큼, y축의 방향으로 2a만큼 평행이동한 것이다.
그런데 두 지수함수 y=2x, y=-2-x의 그래프는 원점 에 대하여 대칭이므로 두 지수함수 y=2x-a+4b, y=-22b-x+2a의 그래프는 점 { , } 에 대하여 대칭이다.
따라서 p= = 이므로
q= =2¥ =2¥ =1
[참고]
원점에 대하여 대칭인 두 곡선 y=f(x), y=g(x) 를 곡선 y=f(x)는 x축의 방향으로 a만큼, y축의 방향 으로 b만큼 평행이동하고, 곡선 y=g(x)는 x축의 방향 으로 c만큼, y축의 방향으로 d만큼 평행이동하면, 평행 이동한 두 그래프의 대칭의 중심은 { , }가된다. 1
1133b+d2 1133a+c2 112 11233a+2b2 4b+2a
111332
112 11233a+2b2
4b+2a 111332 11233a+2b2
k의 값이 최대일 때 1=logk32 ∴ k=32 k의 값이 최소일 때
4=logk20, k› =20
∴ k=›'∂20=2.y
따라서 2.y…k…32에서 자연수 k는 3, 4, y, 32이므
로 그 개수는 30이다. 30
16
[전략]3≈ =X, 3¥ =Y(X>0, Y>0)로 치환한 후, 주어 진 연립방정식을 X, Y에 대한 연립방정식으로 나타낸다.3≈ =X, 3¥ =Y(X>0, Y>0)로 치환하면 주어진 연 립방정식은
㉡에서
(X-Y)(X+Y)=t¤ (1-t¤ )=t¤ (1+t)(1-t)
㉠에 의하여 (X-Y)t(t+1)=t¤ (1+t)(1-t)
∴ X-Y=t(1-t) yy ㉢
㉠, ㉢을 연립하여 풀면 X=t, Y=t¤
즉, 3≈ =t, 3¥ =t¤ 이므로
x=log£t, y=2log£t ∴ y=2x
이때 1…t…9이므로 0…x…2이고, 0…y…4가 된다.
따라서 주어진 범위에서 점 (x, y)가 나타내는 도형의 길이는 "√2¤ +≈4Ω¤ =2"≈5 ③
17
[전략]세 양수 a, b, c에 대하여 a<b<c이면log a<log b<log c이므로 log X, log Y, log Z의 대소 관계를 알아본다.
비교하려는 세 양수에 상용로그를 취해도 세 수의 대소 관계는 변하지 않음을 이용하자.
logX=log(A+1);a!;=
logY=log(B+1);b!;=log(B+1) 111112B
log(A+1) 111112A X+Y=t(t+1) yy ㉠ gX¤ -Y¤ =t¤ (1-t¤ ) yy ㉡
logZ=log{ }
logZ
=이때 0<A<B이므로 y=log(x+1)의 그래프 위에 두 점 P(A, log(A+1)), Q(B, log(B+1))을 나 타내면 다음 그림과 같다.
이 그래프를 보면
은 원점과 점 P를 지나는 직선의 기울기,
은 원점과 점 Q를 지나는 직선의 기울기,
은 두 점 P, Q를 지나는 직 선의 기울기임을 알 수 있다.
∴ >
따∴
>즉,
log(A+1);a!;>log(B+1);b!;>log{ } HjK logZ<logY<logX
∴ Z<Y<X ⑤
18
[전략] f(x)=log;4!;x는 감소함수이고, g(x)=log£ x는 증가함수임을 이용하여 두 집합 A, B의 원소를 알아본다.`f(x)=log;4!;x이므로
11233B-A1
111B+1A+1 log(B+1)-log(A+1) 111111111113B-A
log(B+1) 1111145B log(A+1)
1111145A log(B+1)-log(A+1) 111111111115B-A
log(B+1) 1111145B
log(A+1) 1111145A
y=log`{x+1}
O A B
Q
P
x y
log(B+1)-log(A+1) 111111111113B-A
11233B-A1
111B+1A+1
EXERCISES
¤t<-3일 때,
⁄
-t-3< t+3, t>-4⁄
∴ -4<t<-3⁄, ¤에서 주어진 부등식을 만족하는 t의 값의 범위는 -4<t<0
즉, -4<log™ x<0이므로 <x<1
따라서 a= , b=1이므로
800ab=800¥ ¥1=50 50
20
[전략]주어진 식의 양변에 모두 상용로그를 취한 후, 이 식 들을 이용하여 log x, log y, log z의 값을 구한다.주어진 식의 양변에 모두 상용로그를 취하면
logxæ0, log yæ0, logzæ0 yy ㉠ logx+log y+logz=1 yy ㉡ (logx)¤ +(log y)¤ +(logz)¤ æ1 yy ㉢
㉡의 양변을 제곱하면
(logx)¤ +(log y)¤ +(logz)¤
+2(logx¥log y+log y¥logz+logz¥logx)=1 yy ㉣
㉢, ㉣에서
logx¥log y+log y¥logz+logz¥logx…0 yy ㉤
㉠, ㉤에서
logx¥log y=log y¥logz=logz¥logx=0 yy ㉥
㉥에서 logx, log y, logz 중 적어도 2개는 0임을 알 수 있다.
그런데 ㉡에서 logx+log y+logz=1이므로 (logx, log y, logz)
=(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)
∴ (x, y, z)=(10, 1, 1), (1, 10, 1), (1, 1, 10) 따라서 구하는 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 3이다. 3
12161 12161
12161 112
`f(f(f(k)))…0HjK f(f(k))æ1
`f(f(f(k)))…0
HjK 0< f(k)…(∵ 진수의 조건에 의해 f(k)>0)
`f(k)= 이라 하면 log;4!;k= 에서
k={ };4!;={ }
;2!;
= = 이므로
0<f(k)… HjK …k<1
∴ A=[k| …k<1]
g(x)=log£x이므로
g(g(g(k)))…0HjK 0<g(g(k))…1
(∵ 진수의 조건에 의해 g(g(k))>0) g(g(g(k)))…0HjK 1<g(k)…3
g(g(g(k)))…0HjK 3<k…27
∴ B={k|3<k…27}
따라서 A'B에 속하는 자연수는 4, 5, y, 27이므로 그
개수는 24이다. 24
19
[전략]주어진 부등식의 양변을 간단히 한 후, log™ x=t로 치환하여 t에 대한 부등식으로 나타낸다."√(log™ 4x)¤ +√log™4x¤ +3
="√(2+log™x)¤ +2√+2log™x+3
="√(log™x)¤ +√6log™x+9
="√(log™x+3)¤
log™8'x= log™x+3
log™x=t로 치환하면 주어진 부등식은
|t+3|< t+3
⁄tæ-3일 때,
⁄
t+3< t+3, t<0⁄
∴ -3…t<0 112 112 112123'22 123'22 114
123'22 1231
'2 112 114
114 114
114
01
⑴ 360˘_n+a˘ (단, n은 정수)⑵ 호, 1라디안
⑶ ① + ② ③ + ④ + ⑤ + ⑥
-⑷ 좌표
⑸ cos¤ h, sinh
02
⑴ p라디안에서 p는 실수이므로 원주율 p와 같 다. (거짓)⑵ tan h는 h= 일 때, 정의되지 않는다. (거짓)
⑶ sinh tanh>0에서 sinh와 tanh는 서로 같은 부호 이므로 h는 제1사분면 또는 제4사분면의 각이다.
또 sinh cosh<0에서 sinh와 cosh는 서로 다른 부 호이므로 h는 제2사분면 또는 제4사분면의 각이다.
따라서 h는 제4사분면의 각이다. (참)
⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 참
03
⑴ 삼각비는 직각삼각형 위에서만 정의되므로 각 h가 0˘에서 90˘까지인 경우에 대해서만 sin, cos, tan를 정의하였다. (단, tan90˘는 제외)반면 삼각함수는 단위원 위에서 정의되므로 90˘보다 큰 각이나 음의 각에서도 sin, cos, tan를 잘 정의할 수 있고, 그 함숫값이 음수일 수도 있다.
1p2
⑵ 점 P(x, y)와 각 h에 대해
⑵
cosh= , sinh= 이므로⑵
x=rcosh, y=rsinh임을 알 수 있다.⑵
∴ P(x, y)=P(rcosh, rsinh)풀이 참조 1yr
1xr
01 ⑴ 360˘_n+a˘(단, n은 정수) ⑵ 호, 1라디안
⑶ ① + ② - ③ + ④ + ⑤ + ⑥ - ⑷ 좌표
⑸ cos¤ h, sinh
02 ⑴ 거짓 ⑵ 거짓 ⑶ 참 03 풀이 참조
Review Quiz S U M M A C U M L A U D E 본문 167쪽
1. 삼각함수의 뜻
II 삼각함수
EXERCISES 01 14 02 ③ 03 p 04
05 -3 06 07 ③ 08
-09 -2 10 x¤ +2x+1=0
134 154
143 12185
EXERCISES S U M M A C U M L A U D E 본문 168`~`169쪽
01
100˘는 제`2사분면의 각이므로 f(100˘)=2160˘는 제`2사분면의 각이므로 f(160˘)=2 240˘는 제`3사분면의 각이므로 f(240˘)=3 320˘는 제`4사분면의 각이므로 f(320˘)=4 570˘는 제`3사분면의 각이므로 f(570˘)=3
∴ f(100˘)+f(160˘)+f(240˘)+f(320˘)+f(570˘)
=2+2+3+4+3=14 14
02
2h가 제1사분면의 각이므로360˘_n<2h<360˘_n+90˘ (단, n은 정수)
∴ 180˘_n<h<180˘_n+45˘
⁄n=2k(k는 정수)일 때,
180˘_2k<h<180˘_2k+45˘
∴ 360˘_k<h<360˘_k+45˘
¤n=2k+1(k는 정수)일 때,
180˘_(2k+1)<h<180˘_(2k+1)+45˘
∴ 360˘_k+180˘<h<360˘_k+225˘
따라서 h를 나타내는 동경이 속하는 영역은 다음 그림의 색칠한 부분과 같다. (단, 경계선은 제외)
③ O
45æ
¤
⁄
45æ x
y
03
두 각 와 2h를 나타내는 동경을 각각 반직선 OP, OQ라 하자.⁄ 반직선 OP, OQ가 같은 방향일 때,
⁄
2h- =2np (n은 정수)⁄
=2np, h= np⁄
이때 0<h<2p이므로 n=1일 때 h= p¤ 반직선 OP, OQ가 반대 방향일 때,
⁄
2h- =2np+p (n은 정수)⁄
h=2np+p, h= np+ p⁄
이때 0<h<2p이므로⁄
n=0 또는 n=1일 때⁄
h= p 또는 h= p따라서 ⁄, ¤로부터 모든 h의 값의 합은
p+ p+ p= p p
04
중심각의 크기를 h라 하면 이 부채꼴의 둘레의 길이 a는a=2_(반지름의 길이)+(호의 길이) a=2_5+5h=10+5h
또 이 부채꼴의 넓이 b는 b= _5¤ _h= h 이때 a=b이므로
10+5h= h, h=10
∴ h= 4
13 14
13
13152 13252
13252 112
13185 118
1335 195 135 165
195 135
135 165 153
1h3
165 165
135h3 1h3
1h3