숨마쿰라우데 중학수학 개념기본서3 2 해설

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해설 BOOK

•개념 BOOK 002 •테스트 BOOK 062

튼튼한

개념

흔들리지 않는

실력

!

중학수학

개념기본서

3

2

(2)

S U M M A C U M L A U D E 정 답 및 풀 이

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개념

BOOK

>

>

>

통계

V

0

1

⑴ (평균)=;1¡0;(3000+5000+6000+10000+7000 ⑴ (평균)=+4000+8000+13000+50000+6000) ⑴ (평균)=11200(원) ⑴자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 ⑴3000, 4000, 5000, 6000, 6000, 7000, ⑴8000, 10000, 13000, 50000 ⑴이므로 중앙값은 =6500(원)이다. ⑴한편, 6000원이 2번 나오므로 최빈값은 6000원이다. ⑵ 자료에 아주 큰 값 50000원이 있으므로 평균과 중 앙값 중 중앙값이 대푯값으로 더 적절하다.

0

2

⑴ (평균)= ⑴ (평균)= =8.2(시간) ⑵ 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 10번째와 ⑴11번째 값이 속하는 계급의 계급값이 각각 9시간이 ⑴므로 중앙값은 =9(시간)이다. ⑶ 도수가 가장 큰 계급의 계급값은 9시간이므로 최빈 값은 9시간이다.

0

3

⑵ 최빈값은 없을 수도 있고 2개 이상일 수도 있다. 9+9 3112 164 31220 3_1+5_3+7_5+9_7+11_2+13_2 1131113211311132113155520 6000+7000 11311152 ⑶ 자료의 모든 값을 활용하는 것은 평균이다. ⑸ 20개의 변량이므로 10번째와 11번째 값의 평균이 중앙값이다. 026쪽

개념

CHECK

01⑴ 평균:11200원, 중앙값:6500원, 최빈값:6000원 01⑵ 중앙값, 풀이 참조 02⑴ 8.2시간 ⑵ 9시간 ⑶ 9시간 03⑴ ⑵ _ ⑶ _ ⑷ ⑸ _ ⑹

1. 대푯값

01. 대푯값 027~029쪽

유형

EXERCISES

유형01 평균 : 4.5개, 중앙값 : 3개, 최빈값 : 3개 1-1 중앙값 : 14명, 최빈값 : 15명 1-2 17점 1-3 A동호회 1-4 ⑴ 25권 ⑵ 24권 ⑶ 14권, 35권 1-5 25 유형02 37 2-1 83점 2-22-3 2 유형03 1 3-1 20 3-2 6 3-3 24 유형04 ⑴ 12.5분 ⑵ 12.5분 ⑶ 12.5분 4-1 35점 4-2 3.8 4-3 중앙값:10권, 최빈값:6권 4-4 8 유형

01

자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 2, 2, 3, 3, 3, 5, 8, 10 (평균)= =;;£8§;;=4.5(개) 자료가 8개이므로 중앙값은 4번째와 5번째 값의 평균인 =3(개)이다. 3이 가장 많으므로 최빈값은 3개이다.

1

-1 11개 반의 안경을 낀 학생 수를 작은 값부터 크기순 으로 나열하면 10, 11, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 15, 17이므로 중앙값은 6번째 값인 14명이다. 또한, 안경을 낀 학생 수가 15명인 반이 3개로 가장 많으므로 최빈값은 15명이다.

1

-2 남학생의 점수의 총합은 12_15=180(점)이고 여학생의 점수의 총합은 8_20=160(점)이므로 3+3 1122 2+2+3+3+3+5+8+10 1111111111118

(3)

개념 BOOK 전체 학생 20명의 영어 단어 시험 점수의 총합은 180+160=340(점)이다. 따라서 평균은 :£2¢0º:=17(점)

1

-3 A동호회의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하 면 22, 23, 28, 28, 29이므로 중앙값은 28세이다. B동호회의 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하 면 22, 24, 25, 29, 33, 40이므로 중앙값은 =27(세)이다. 따라서 A동호회의 나이의 중앙값이 더 크다.

1

-4 ⑴ (평균) ⑴= ⑴=;;™1∞0º;;=25(권) ⑵ 줄기와 잎 그림에서 10개의 자료가 크기순으로 나열되어 있다. 중앙값은 5번째 학생과 6번째 학 생이 읽은 책의 수의 평균이므로 ⑴ =24(권)이다. ⑶ 14권이 2명, 35권이 2명이므로 최빈값은 14권, 35권이다.

1

-5 a, b, c의 평균이 10이므로 =10 ∴ a+b+c=30 따라서 2a+5, 2b+5, 2c+5의 평균은 = =111260+153 =25 2(a+b+c)+15 111111123 (2a+5)+(2b+5)+(2c+5) 11111111111113 a+b+c 11113 23+25 11122 12+14+14+20+23+25+27+35+35+45 111111111111111112510 25+29 11122 유형

02

a를 제외한 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 17, 18, 19, 27, 45, 47, 47 이때, 8개의 변량의 중앙값이 32이므로 a는 27과 45 사이 에 있어야 하고, 중앙값은 27과 a의 평균이다. 즉, =32 ∴ a=37 27+a 1112

2

-1 영어 점수를 x점이라고 하면 =87, =87 ∴ x=83

2

-2 ④ a=11이면 최빈값은 11, 12로 2개가 된다.

2

-3 12, 14, 19, x, y의 중앙값이 17이므로 이 5개의 변 량을 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때, 3번째 수가 17이어야 한다. 이때, x<y이므로 x=17 11, 20, 17, y의 중앙값이 18이므로 이 4개의 변량 을 작은 값부터 크기순으로 나열하였을 때, y는 17 과 20 사이에 있어야 한다. 즉, 크기순으로 나열하면 11, 17, y, 20이고, 중앙값은 18이므로 =18 ∴ y=19 ∴ y-x=19-17=2 17+y 1112 352+x 11125 88+96+74+94+x 1111111115 유형03 최빈값이 4개이므로 평균도 4개이다. (평균)= =4, =4 27+x=28 ∴ x=1

3

-1 중앙값은 세 번째 변량인 17이므로 평균도 17이다. (평균)= =17 =17, 65+x=85 ∴ x=20

3

-2 평균이 0이므로 =0 ∴ a+b=3 최빈값이 0이므로 a, b의 값 중 하나는 0이다. 그런데 a<b이므로 a=0, b=3 ∴ a+2b=0+2_3=6

3

-3 x를 제외한 6개의 수를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 18, 20, 23, 24, 28, 31 x…23이면 중앙값은 23, 평균은 25가 되고 xæ24이면 중앙값은 24, 평균은 24가 된다. (-5)+(-2)+a+4+b+0 111111111111246 65+x 1115 13+16+17+19+x 111111115355 27+x 1117 4+2+8+4+5+4+x 111111111157

(4)

a= =;2^0^;=3.3 전체 학생 수가 20명이므로 중앙값은 10번째와 11번 째 학생의 점수의 평균이다. 점수가 낮은 쪽부터 학생 수를 차례로 더하면 1+4+5=10(명), 1+4+5+8=18(명)이므로 10번째와 11번째 학생 의 점수는 각각 3점, 4점이다. ∴ b= =3.5 또한, 점수가 4점인 학생 수가 8명으로 가장 많으므 로 최빈값은 4점이다. ∴ c=4 ∴ a-b+c=3.3-3.5+4=3.8

4

-3 도수의 총합이 20명이므로 2+a+b+5+1=20 ∴ a+b=12 yy`㉠ 또, 평균이 9.2권이므로 =9.2 6a+10b+92=184 ∴ 3a+5b=46 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=7, b=5 중앙값은 읽은 책 수가 적은 쪽에서 10번째와 11번 째인 학생이 속하는 계급, 즉 8권 이상 12권 미만인 계급에 속한다. 따라서 중앙값은 이 계급의 계급값인 =10(권)이다. 또한, 도수가 가장 큰 계급은 4권 이상 8권 미만이므 로 이 계급의 계급값인 6권이 최빈값이다.

4

-4 A, B 두 반의 학생 수가 같으므로 6+7+x+2+1=4+10+3+3 16+x=20 ∴ x=4 따라서 A반에서 가족 수가 4명인 학생 수가 7명으 로 가장 많으므로 최빈값은 4명이다. ∴ a=4 B반에서 중앙값은 가족 수가 적은 쪽에서 10번째와 11번째인 학생의 가족 수의 평균인데 둘 다 가족 수 가 4명이므로 중앙값도 4명이다. ∴ b=4 ∴ a+b=4+4=8 8+12 112532 2_2+6_a+10_b+14_5+18_1 1115511155111551115511555520 3+4 11552 1+8+15+32+10 11111111220 (평균)= (평균)= ⁄x…23일 때, 평균이 25이므로 ⁄ =25 ∴ x=31하지만 x…23이어야 하므로 조건을 만족하지 않 는다. ¤xæ24일 때, 평균이 24이므로 ⁄ =24 ∴ x=24조건을 만족하므로 x=24 144+x 111557 144+x 111557 144+x 111557 18+20+23+24+28+31+x 1111111112411127 유형04 ⑴ (평균) ⑴= ⑴= ⑴=;;£3¶0∞;;=12.5(분) ⑵ 전체 학생 수가 30명이므로 중앙값은 통학 시간이 짧은 쪽에서 15번째와 16번째인 학생이 속하는 계급, 즉 10분 이상 15분 미만인 계급에 속한다. 따라서 중앙값은 이 계 ⑴급의 계급값인 =12.5(분)이다. ⑶ 도수가 가장 큰 계급은 10분 이상 15분 미만이므로 이 계급의 계급값인 12.5분이 최빈값이다.

4

-1 전체 학생 수가 20명이므로 중앙값은 점수가 낮은 쪽에서 10번째와 11번째인 학생이 속하는 계급, 즉 15점 이상 20점 미만인 계급에 속한다. 따라서 중앙 값은 이 계급의 계급값인 =17.5(점)이다. 또한, 도수가 가장 큰 계급은 15점 이상 17점 미만이 므로 이 계급의 계급값인 17.5점이 최빈값이다. 따라서 중앙값과 최빈값의 합은 17.5+17.5=35(점)이다.

4

-2 전체 학생 수가 20명이므로 x+4+5+8+2=20 ∴ x=1 a=1111111111111121_1+2_4+3_5+4_8+5_220 15+20 11132 10+15 11122 7.5+37.5+150+157.5+22.5 1111111111111330 2.5_3+7.5_5+12.5_12+17.5_9+22.5_1 1111111111111111111525530

(5)

개념 BOOK

0

1

③ 자료의 개수가 짝수 개이면 중앙값은 중앙에 위치 한 두 값의 평균이다. ④ (평균)= 이므로 주어진 자료를 모두 ④이용하여 구한다.

0

2

10개의 변량의 평균이 20이므로 =20 ∴ a+b+c+y+j=200 따라서 12개의 변량 a, b, c, y, j, 24, 28의 평균은 =:™1∞2™:=21

0

3

운동화의 치수를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 225, 230, 230, 235, 240, 240, 240, 240, 245, 250 이다. 많이 팔리는 치수를 가장 많이 준비해야 하므로 주어 진 자료의 최빈값인 240 mm를 가장 많이 준비해야 한다.

0

4

③ 주어진 자료에서 100은 극단적인 값이므로 평균에 영향을 많이 준다. 따라서 중앙값이 대푯값으로 적 절하다.

0

5

전체 회원 수가 20명이므로 중앙값은 시간이 짧은 쪽 에서 10번째와 11번째인 회원의 뛰는 시간의 평균이다. 즉, (중앙값)= =46(분) 또한, 러닝머신을 50분 뛰는 회원 수가 4명으로 가장 많으므로 최빈값은 50분이다. 따라서 a=46, b=50이므로 b-a=4

0

6

전체 학생 수가 10명이므로 a+3+b+1+2=10 45+47 11122 a+b+c+y+j+24+28 111111111112512 a+b+c+y+j 1111111210 (자료의 총합) 111112(자료의 개수) ∴ a+b=4 yy`㉠ 평균이 7.8회이므로 =7.8 6a+8b=28 ∴ 3a+4b=14 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=2 ∴ a-b=0

0

7

① 계급값이 차례로 6점, 8점, 10점, 12점, 14점, 16점 ①이므로 평균은 ① ①=:¢4¢0º:=11(점) ② 점수가 낮은 쪽에서 20번째와 21번째인 학생이 속 하는 계급의 계급값이 각각 10점, 12점이므로 ②중앙값은 =11(점)이다. ③ 도수가 10명인 계급의 계급값은 10점과 12점이므 로 최빈값은 10점, 12점이다. ④ 8점은 평균, 중앙값, 최빈값 중 어느 값도 아니므로 대푯값으로 적절하지 않다. ⑤ 상위 25 % 이내에 있는 학생은 ②40_0.25=10(명)이다. ②이들 중 점수가 낮은 쪽에서 5번째와 6번째인 학생 이 속하는 계급의 계급값은 둘 다 14점이므로 중앙 값도 14점이다.

0

8

마지막 시험에서 받아야 할 수학 성적을 x점이라고 할 때, 성적의 평균이 90점이 되려면 =90, 266+x=360 ∴ x=94 따라서 마지막 수학 시험에서 받아야 할 성적은 94점 이다.

0

9

전학을 간 학생의 몸무게를 x kg이라고 하면 남은 50명의 몸무게의 평균이 50.1 kg이므로 =50.1, 2550-x=2505 ∴ x=45 따라서 전학을 간 학생의 몸무게는 45 kg이다. 51_50-x 11111550 82+90+94+x 111111144 10+12 11122 6_4+8_6+10_10+12_10+14_6+16_4 1111111411111114115555155555540 6_a+7_3+8_b+9_1+10_2 1111111111111233255510 030~031쪽

실력

EXERCISES

01③, ④ 0221 03240 mm 04054 060 07080945 kg 1025 1112④, ⑤

(6)

2. 산포도

01 편차의 총합은 0이므로 2+0+(-3)+(-4)+x=0 ∴ x=5 02 (평균)= (평균)=9(회) 따라서 각 변량의 편차를 차례로 구하면 2, -2, 0, 3,-1, 0, -2, -1, 0, 1이므로 (분산)=;1¡0;{2¤ +(-2)¤ +0¤ +3¤ +(-1)¤ +0¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ } (분산)=;1@0$;=2.4 11+7+9+12+8+9+7+8+9+10 11131113111311131155510 042쪽

개념

CHECK

01 5 02분산:2.4, 표준편차:'∂2.4회 03 16.8 04서울 01. 분산과 표준편차

10

조건 ㈎`에서 a를 제외한 변량을 작은 값부터 크기순으 로 나열하면 25, 35, 48이고 중앙값이 30이므로 a의 값은 25보다 작거나 같아야 한다. Δa…25 조건 ㈏`에서 a를 제외한 변량을 작은 값부터 크기순으 로 나열하면 15, 20, 25, 30이고 중앙값이 25이므로 a의 값은 25보다 크거나 같아야 한다. Δ aæ25 따라서 두 조건을 모두 만족하는 a의 값은 25이다.

11

x를 제외한 변량을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 24, 25, 25, 25, 26, 28 최빈값이 25시간이므로 평균도 25시간이다. (평균)= =25 =25 ∴ x=22

12

a를 제외한 자료를 작은 값부터 크기순으로 나열하면 32, 37, 38, 45, 50, 50이다. 이때, 중앙값이 45이므로 4번째 값이 45이고, a의 값 은 45보다 크거나 같아야 한다. 그런데 최빈값이 50이므로 45는 2번 이상 나올 수 없다. ∴ a>45 따라서 a의 값이 될 수 있는 것은 ④ 49, ⑤ 50이다. 153+x 11127 24+25+25+25+26+28+x 11111111111117 ∴ (분산)=2.4, (표준편차)='∂2.4(회) 03 (평균)=:™2ª1¢:=14(시간) ∴ (분산)=:£2∞1™:=16.8 04 서울의 최고 기온의 평균은 =25(˘C)이므로 편차는 각각 -1˘C, 1˘C, 0˘C, -3˘C, 3˘C (분산)= =:™5º:=4 ∴ (표준편차)='4=2(˘C) 강릉의 최고 기온의 평균은 =23(˘C)이므로 편차는 각각 2˘C, -3˘C, -2˘C, -1˘C, 4˘C (분산)= (분산)=:£5¢:=6.8 ∴ (표준편차)='∂6.8(˘C) 따라서 최고 기온의 표준편차가 더 작은 지역은 서울 이므로 서울의 5일 동안의 최고 기온이 더 고르다. 2¤ +(-3)¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +4¤ 111311131155551115155 25+20+21+22+27 111311131155555 (-1)¤ +1¤ +0¤ +(-3)¤ +3¤ 111311131155551115 24+26+25+22+28 111311131155555 043~045쪽

유형

EXERCISES

유형01 157점 1-1 77점 1-2 7 유형02 1.6 2-1 2.25, 1.5회 2-2 ④ 유형03 -15 3-1 720 3-2 70 3-3 3점 유형04 12점 4-1 19.2 4-2 7.4 유형05 A도시 5-1 B회사 5-2 A선수 5-35-46 10 14 18 22 -8 -4 0 4 8 64 96 0 64 128 352 6 60 112 72 44 294 계급값`(시간) (계급값)_(도수) 편차`(시간) (편차)¤ _(도수)

(7)

개념 BOOK 유형

01

편차의 총합은 0이므로 3+(-2)+x+5+(-2x)=0 ∴ x=6 즉, A의 점수는 74+3=77(점) C의 점수는 74+6=80(점) 따라서 두 학생 A와 C의 점수의 합은 77+80=157(점)

1

-1 편차의 총합은 0이므로 (-2)+5+4+(-3)+(-1)+x=0 ∴ x=-3 평균이 80점이므로 편차가 -3점인 학생의 점수는 80+(-3)=77(점)

1

-2 (편차)_(학생 수)의 총합은 0이므로 (-2)_6+(-1)_4+0_3+1_2+2_x=0 ∴ x=7 유형02 편차의 총합은 0이므로 1+(-1)+2+x+(-1)=0 ∴ x=-1 ∴ (분산)= ∴ (분산)=;5*;=1.6

2

-1 (평균)= (평균)=:•8º:=10(회) (분산)=;8!;{(12-10)¤ +(9-10)¤ +(12-10)¤ (분산)=;8!;{+(11-10)¤ +(8-10)¤ +(10-10)¤ (분산)=;8!;{+(8-10)¤ +(10-10)¤ } (분산)=;8!;{2¤ +(-1)¤ +2¤ +1¤ +(-2)¤ +(-2)¤ } (분산)=:¡8•:=2.25 (표준편차)='ƒ2.25=1.5(회)

2

-2 C학생의 편차를 x점이라고 하면 편차의 총합은 0 이므로 4+(-1)+x+(-1)+9=0 ∴ x=-11 12+9+12+11+8+10+8+10 1111111111111158 1¤ +(-1)¤ +2¤ +(-1)¤ +(-1)¤ 1111111111111125 ① 점수가 가장 낮은 학생은 편차가 가장 작은 C 학생이다. ② A학생의 점수는 평균보다 4점 높고, B학생의 점 수는 평균보다 1점 낮으므로 A학생과 B학생의 점수의 차는 5점이다. ③ (분산)= ③ (분산)=:™;5@;º:=44 ④ (표준편차)='∂44=2'∂11(점) ⑤ 주어진 자료만으로는 점수의 평균을 알 수 없다. 4¤ +(-1)¤ +(-11)¤ +(-1)¤ +9¤ 11111111111111235 유형03 편차의 총합이 0이므로 x+(-4)+3+y+(-1)=0 ∴ x+y=2 이때, 분산이 12이므로 =12 ∴ x¤ +y¤ =34 한편, (x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 이므로 2¤ =34+2xy ∴ xy=-15

3

-1 평균이 18일이므로 =18 a+b+54=90 ∴ a+b=36 이때, 분산이 19.6이므로 ;5!;{(14-18)¤ +(a-18)¤ +(21-18)¤ ;5!;+(b-18)¤ +(19-18)¤ }=19.6 (a-18)¤ +(b-18)¤ =72 a¤ +b¤ -36(a+b)+648=72 a¤ +b¤ =36_36-576 ∴ a¤ +b¤ =720

3

-2 주어진 변량의 평균이 7이므로 =7 ∴ x+y=17 이때, 분산이 5.2이므로 ;5!;{(x-7)¤ +(3-7)¤ +(7-7)¤ +(8-7)¤ ;5!;+(y-7)¤ }=5.2 (x-7)¤ +(y-7)¤ =9 x¤ +y¤ -14(x+y)+98=9 x+3+7+8+y 111111155 14+a+21+b+19 11111111255 x¤ +(-4)¤ +3¤ +y¤ +(-1)¤ 11111111111125

(8)

x¤ +y¤ =14_17-89 ∴ x¤ +y¤ =149 한편, (x+y)¤ =x¤ +2xy+y¤ 이므로 17¤ =149+2xy ∴ xy=70

3

-3 (A모둠의 평균)= =a+5(점) 이때, A모둠의 표준편차가 '∂2.5점이므로 분산은 2.5이다. 즉, =2.5 12a¤ -40a+42=10, 3a¤ -10a+8=0 (a-2)(3a-4)=0 ∴ a=2(∵ a는 자연수) 따라서 B모둠의 점수는 8, 2, 8, 2이므로 (B모둠의 평균)= =5(점) (B모둠의 표준편차) =æ111111111123¤ +(-3)¤ +3¤ +(-3)¤4 =3(점) 8+2+8+2 1111124 (3a-5)¤ +(-a)¤ +(1-a)¤ +(4-a)¤ 11111111111111114 4a+5+6+9 111211254 (평균)= =160(cm) (분산)=:£2•0¢:=19.2

4

-2 도수의 총합이 10이므로 a+2+1+3+b=10 ∴ a+b=4 yy`㉠ 평균이 7이므로 =7 2a+8+6+24+10b=70 ∴ a+5b=16 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=1, b=3 ∴ (분산) ∴= ∴=;1&0$;=7.4 (-5)¤ _1+(-3)¤ _2+(-1)¤ _1+1¤ _3+3¤ _3 111111111111111112510 2_a+4_2+6_1+8_3+10_b 111111111411111110 3200 115520 æ– – ≠ 유형04 (평균)=:™1§0º:=26(점) (분산)= =144 ∴ (표준편차)='∂144=12(점)

4

-1 1440 115510 계급값`(점) 도수`(명)(계급값)_(도수)편차`(점) (편차)¤ _(도수) 10 2 3 3 1 1 10 -16 10_2=20 (-16)¤ _2=512 20 20_3=60 -6 (-6)¤ _3=108 30 30_3=90 4 4¤ _3=48 40 40_1=40 14 14¤ _1=196 50 50_1=50 24 24¤ _1=576 합계 260 1440 유형05 표준편차가 작을수록 변량이 평균을 중심으로 밀집되어 있 다. A도시의 표준편차가 가장 작으므로 오존 농도의 변화 가 가장 고르다.

5

-1 표준편차가 클수록 임금 격차가 크다고 할 수 있다. 즉, 임금 격차가 가장 큰 회사는 표준편차가 가장 큰 B회사이다.

5

-2 A선수가 맞힌 과녁의 점수의 평균은 =8.5(점) ∴ (분산)=;1¡0;{(-1.5)¤ _1+(-0.5)¤ _4 ∴ (분산)=;1¡0;+(0.5)¤ _4+(1.5)¤ _1} ∴ (분산)=0.65 B선수가 맞힌 과녁의 점수의 평균은 =8.5(점) ∴ (분산)=;1¡0;{(-1.5)¤ _2+(-0.5)¤ _3 ∴ (분산)=;1¡0;+(0.5)¤ _3+(1.5)¤ _2} ∴ (분산)=1.05 C선수가 맞힌 과녁의 점수의 평균은 7_2+8_3+9_3+10_2 11111111111110 7_1+8_4+9_4+10_1 11111111111110 계급값``(cm) 도수`(명) (계급값)_(도수)편차`(cm) (편차)¤ _(도수) 152 2 152_2=304 -8 (-8)¤ _2=128 156 4 156_4=624 -4 (-4)¤ _4=64 160 8 160_8=1280 0 0¤ _8=0 164 4 164_4=656 4 4¤ _4=64 168 2 168_2=336 8 8¤ _2=128 합계 20 3200 384

(9)

개념 BOOK =8.5(점) ∴ (분산)=;1¡0;{(-1.5)¤ _3+(-0.5)¤ _2 ∴ (분산)=;1¡0;+(0.5)¤ _2+(1.5)¤ _3} ∴ (분산)=1.45 이때, 분산이 작을수록 점수의 분포가 고르므로 A선 수가 얻은 점수의 분포가 가장 고르다.

5

-3 ① A학생과 B학생의 성적의 평균이 같으므로 어느 학생의 성적이 더 좋다고 말할 수 없다. ② B학생의 표준편차가 더 크므로 분산도 더 크다. ③ A학생의 표준편차가 더 작으므로 A학생의 성적 이 B학생의 성적보다 고르다. ④ A학생의 표준편차가 더 작으므로 A학생의 성적 이 B학생의 성적보다 평균 가까이에 더 많이 모 여 있다. ⑤ 표준편차가 다르므로 산포도는 다르다.

5

-4 ① 평균 소득은 B도시가 더 높지만 주민 수를 알 수 없으므로 총 소득은 어느 도시가 더 높은지 알 수 없다. ②, ④ B도시의 그래프가 A도시의 그래프보다 오 른쪽에 더 치우쳐 있으므로 B도시의 평균 소득 이 높다. ③, ⑤ A도시의 그래프가 평균 주위에 더 밀집되어 있으므로 A도시의 소득 격차가 더 작다. 7_3+8_2+9_2+10_3 11111111111110

0

1

① 변량에서 평균을 뺀 값을 편차라고 한다. ② 편차의 제곱의 평균, 즉 분산을 구해야 산포도를 알 수 있다. ④ 편차의 총합이 0이다. ⑤ 평균이 같다고 해서 산포도가 같은 것은 아니다. 046~048쪽

실력

EXERCISES

010272점 032점 0405063 07081.2 093 10평균:11, 분산:40 11평균:(a+2)점, 표준편차:b점 12131.2 14 486 15 A반 16B선수 17

0

2

편차의 총합은 0이므로 4+(-3)+(-4)+x+5+(-4)=0 x-2=0 ∴ x=2 따라서 상민이의 점수는 70+2=72(점)이다.

0

3

국어 성적을 기준으로 구한 과목별 성적의 과부족의 합이 0이므로 국어 성적이 평균이고, 과부족이 편차가 됨을 알 수 있다. ∴ (분산)= =:™5º:=4 따라서 표준편차는 '4=2(점)이다.

0

4

편차의 총합은 0이므로 2+x+(-4)+7+(-2)=0 ∴ x=-3 ① 자료의 값이 클수록 편차도 크므로 미현이가 가장 많이 읽었다. ② 화영이가 읽은 책의 수는 10-3=7(권) ③ 적게 읽은 순으로 이름을 나열하면 준식, 화영, 재 원, 유리, 미현이다. 따라서 중앙값은 재원이가 읽 은 책의 수로 10-2=8(권) ④ (분산)= ④ (분산)=:•5™:=16.4 ⑤ 편차가 음수인 학생을 찾으면 화영, 준식, 재원으로 3명이다.

0

5

(평균)= (평균)=:∞8§:=7(점) (분산)= (분산)=:¢8¢:=5.5

0

6

(평균)= =7 이때, 표준편차가 2'2이므로 분산은 8이다. 즉, (분산)= =8 2a¤ +6=24, a¤ =9 ∴ a=3 (∵ a>0) (-a-1)¤ +2¤ +(a-1)¤ 111111111113 (6-a)+9+(6+a) 11111111133 1¤ +2¤ +(-4)¤ +(-1)¤ +0¤ +(-3)¤ +2¤ +3¤ 111111111311111112558 8+9+3+6+7+4+9+10 11111111111158 2¤ +(-3)¤ +(-4)¤ +7¤ +(-2)¤ 1113111311131113225 0¤ +(-3)¤ +(-1)¤ +3¤ +1¤ 11111111111155

(10)

0

7

A는 변량 사이의 간격이 1로 일정하고, B, C는 변량 사이의 간격이 2로 일정하므로 표준편차 a, b, c의 대 소 관계는 a<b=c ■ 다른 풀이 ■ 자료 A에 대하여 (평균)= =:™7•:=4 (분산) = =4 ∴ (표준편차)='4=2 자료 B에 대하여 (평균)= =:¢7ª:=7 (분산) = =16 ∴ (표준편차)='∂16=4 자료 C에 대하여 (평균)= =:∞7§:=8 (분산) = =16 ∴ (표준편차)='∂16=4 따라서 a=2, b=4, c=4이므로 a<b=c

0

8

평균이 5이므로 =5 ∴ x+y=11 (분산)= (분산)= (분산)= 이때, x+y=11, xy=30이므로 (분산)= =;5^;=1.2

0

9

편차의 총합은 0이므로 (-2)+a+4+2+b=0 ∴ a+b=-4 11¤ -2_30-10_11+55 111111411141255 (x+y)¤ -2xy-10(x+y)+55 1111111111212125 x¤ +y¤ -10(x+y)+55 111111111125 (-2)¤ +1¤ +(x-5)¤ +(y-5)¤ 111111111111115 3+6+5+x+y 111111135 (-6)¤ +(-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤ +6¤ 111111111111111115557 2+4+6+8+10+12+14 111111111114557 (-6)¤ +(-4)¤ +(-2)¤ +0¤ +2¤ +4¤ +6¤ 111111111111111115557 1+3+5+7+9+11+13 111111111117 (-3)¤ +(-2)¤ +(-1)¤ +0¤ +1¤ +2¤ +3¤ 1111111111111111117 1+2+3+4+5+6+7 11111111117 분산이 6.8이므로 =6.8 ∴ a¤ +b¤ =34-24=10

따라서 (a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤ 에서 (-4)¤ =10+2ab, 2ab=6 ∴ ab=3

10

a, b, c, d, e에서 (평균)= =5이므로 a+b+c+d+e=25 (분산)= (분산)=10 이므로 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ =50 2a+1, 2b+1, 2c+1, 2d+1, 2e+1에서 (평균) = = = =11 (분산) = = = =40

11

주어진 표에서 (평균)= =:£5º:=6(점) (분산) = =:¡5º:=2 (표준편차)='2점 ∴ a=6, b='2 학생의 점수를 모두 2점씩 올려주었을 때 (평균)=111111126+10+9+7+85 =:¢5º:=8(점) (4-6)¤ +(8-6)¤ +(7-6)¤ +(5-6)¤ +(6-6)¤ 1111111111111111111255 4+8+7+5+6 111111155 4_50 11155 4{(a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ } 1111111111111111111255 (2a-10)¤ +(2b-10)¤ +(2c-10)¤ +(2d-10)¤ +(2e-10)¤ 1111111111111111111255 2_25+5 111155555 2(a+b+c+d+e)+5 111111111155 (2a+1)+(2b+1)+(2c+1)+(2d+1)+(2e+1) 11111111115111111111555 (a-5)¤ +(b-5)¤ +(c-5)¤ +(d-5)¤ +(e-5)¤ 11111115511111115511555 a+b+c+d+e 1111111555 (-2)¤ +a¤ +4¤ +2¤ +b¤ 111111111125

(11)

개념 BOOK (분산) = =:¡5º:=2 (표준편차)='2점 따라서 점수를 2점씩 올려주면 평균은 2점 오르지만 표준편차는 변하지 않는다. ∴ (평균)=(a+2)점, (표준편차)=b점

12

(평균)= =29(분) (분산)= =144 ∴ (표준편차)='ƒ144=12(분)

13

(평균)=:¡2£0º:=6.5(L) (분산)=;2@0$;=1.2

14

a, b, c의 평균이 12이므로 =12 ∴ a+b+c=36 yy`㉠ 표준편차가 3'2, 즉 분산이 18이므로 =18에서 (a-12)¤ +(b-12)¤ +(c-12)¤ =54 {(a-12)¤ +(b-12)¤ +(c-12)¤ } 1111111111111123 (a+b+c) 111113 7200 11250 1450 11250 (6-8)¤ +(10-8)¤ +(9-8)¤ +(7-8)¤ +(8-8)¤ 1111111111111111111255 계급값``(분) 도수`(명)(계급값)_(도수)편차``(분) (편차)¤ _(도수) 5 15 25 35 45 합계 4 8 12 16 10 50 5_4=20 15_8=120 25_12=300 35_16=560 45_10=450 1450 -24 -14 -4 6 16 (-24)¤ _4=2304 (-14)¤ _8=1568 (-4)¤ _12=192 6¤ _16=576 16¤ _10=2560 7200 계급값``(L) 도수`(명)(계급값)_(도수)편차`(L) (편차)¤ _(도수) 4.5 5.5 6.5 7.5 8.5 합계 2 4 8 4 2 20 4.5_2=9 5.5_4=22 6.5_8=52 7.5_4=30 8.5_2=17 130 -2 -1 0 1 2 (-2)¤ _2=8 (-1)¤ _4=4 0¤ _8=0 1¤ _4=4 2¤ _2=8 24 a¤ +b¤ +c¤ -24(a+b+c)+432=54 이 식에 ㉠을 대입하여 정리하면 a¤ +b¤ +c¤ -432=54 ∴ a¤ +b¤ +c¤ =486

15

표준편차가 작을수록 영어 성적이 고르다. 5개의 반 A, B, C, D, E의 표준편차는 각각 '∂12점, '∂20점, '∂16점, '∂15점, '∂18점이므로 표준편차가 가장 작은 A반의 성적이 가장 고르다.

16

A선수의 점수의 분산은 ;1¡0;{(-3)¤ _2+(-2)¤ _1+(-1)¤ _1+0¤ _2 ;1¡0;+1¤ _1+2¤ _1+3¤ _2}=4.6 B선수의 점수의 분산은 ;1¡0;{(-3)¤ _1+(-2)¤ _1+(-1)¤ _2+0¤ _2 ;1¡0;+1¤ _2+(-2)¤ _1+(-3)¤ _1}=3 C선수의 점수의 분산은 ;1¡0;{(-4)¤ _2+(-3)¤ _1+(-1)¤ _1+0¤ _2 ;1¡0;+1¤ _1+3¤ _1+4¤ _2}=8.4 따라서 분산이 가장 작은 B선수의 점수의 분포가 가장 고르다.

17

① A, B모둠의 평균은 같지만, C모둠의 평균은 A, B 모둠의 평균과 다르다. ② B모둠의 분산이 4, A모둠의 분산이 2이므로 B모 둠의 산포도가 더 크다. ④ 표준편차가 가장 작은 모둠은 A모둠이다. ⑤ A모둠의 분산이 가장 작으므로 A모둠의 성적이 평균에 가깝게 모여 있다. 050~053쪽

대단원

EXERCISES

01026점 037 0405067 07 0876점 09 A=2, B=20 10112 121380 14 141 15 16 17 건영 18 19 6만 원 20 66 %

0

1

① 평균, 최빈값, 중앙값은 대푯값이다.

(12)

② 편차의 제곱의 평균은 분산이다. ③ 표준편차는 분산의 음이 아닌 제곱근이다. ④ 자료 전체를 대표하는 중심적인 경향을 하나의 수 로 나타낸 것은 대푯값이다.

0

2

15명을 조사한 것이므로 중앙값은 작은 쪽에서 8번째 점수인 48점이다. 또한, 54점인 학생 수가 3명으로 가 장 많으므로 최빈값은 54점이다. 따라서 중앙값과 최빈값의 차는 54-48=6(점)

0

3

과학 수행 평가 점수의 총합은 33+35+36+(30+x)+46_2+47+48+49 +54_3+58+61+62=713+x 이때, 평균이 48점이므로 =48 ∴ x=7

0

4

(평균) = =:¡1§6•:=10.5(시간) 중앙값은 작은 쪽에서 8번째, 9번째 시간의 평균이므로 =8(시간) 7시간이 가장 많으므로 최빈값은 7시간이다. 따라서 a=10.5, b=8, c=7이므로 a>b>c

0

5

④ 최빈값은 1, 5이다.

0

6

나머지 3개의 수가 7보다 크거나 같을 경우 중앙값은 최대가 되고 그때의 중앙값의 최댓값은 7이다.

0

7

(평균) = = (점) 이때, 수학 성적의 평균이 80점 이상 83점 미만이므로 80… <83, 800…745+x<830 ∴ 55…x<85 따라서 x의 값으로 적당하지 않은 것은 ⑤ 85이다. 745+x 111210 745+x 111210 75+80+90+85+75+x+85+80+90+85 1111111111111111111310 7+9 1122 4+6_3+7_4+9_2+10_2+11+12+13+44 11111111111111111311316 713+x 111215

0

8

11명에 대한 점수의 평균이 1점 높아졌으므로 점수의 총합은 11점 높아진 것이다. 따라서 동하의 점수를 65+11=76(점)으로 잘못 본 것이다. ■ 다른 풀이 ■ 동하를 뺀 나머지 학생 10명의 점수의 총합을 A점이 라 하고, 잘못 본 동하의 점수를 x점이라고 하면 (잘못 구한 평균)-(바르게 구한 평균)=1이므로 - =1 =1, x-65=11 ∴ x=76 따라서 잘못 본 동하의 점수는 76점이다.

0

9

도수의 총합이 B이므로 2+A+8+5+3=B ∴ 18+A=B yy`㉠ 평균이 5.25이므로 =5.25 ∴ 4A+97=5.25B yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 A=2, B=20

10

① 전체 학생 수는 28명이므로 ①A=28-(2+5+8+6+1)=6 (평균) = =:¡2ª8§:=7(회) ② 전체 학생 수가 28명이므로 중앙값은 턱걸이 횟수 가 적은 쪽에서 14번째, 15번째인 학생의 횟수의 평균으로 5회이다. ③ 5회의 도수가 가장 크므로 최빈값은 5회이다. ④ 자료에 극단적인 값인 52회가 있으므로 평균은 대 푯값으로 적절하지 않다. ⑤ 평균이 7회이므로 편차가 -1회인 학생 수는 턱걸 이 횟수가 6회인 학생 수로 6명이다.

11

중앙값이 5이므로 자료를 작은 값부터 크기순으로 나 3_2+4_5+5_8+6_6+7_6+52_1 11111111111111111555228 3_2+4_A+5_8+6_5+7_3 1111111112111211B x-65 111511 A+65 111311 A+x 111511

(13)

개념 BOOK 열할 때, 4번째 값이 5이어야 한다. 5보다 작은 값이 3개 있고 5가 없으므로 a=5 평균이 5이므로 =5 ∴ b=8 (분산)= (분산)=4 ∴ (표준편차)='4=2

12

편차의 총합은 0이므로 3+x+(-6)+5+(-4)=0 ∴ x=2 (분산)= (분산)=:ª5º:=18 ∴ (표준편차)='∂18=3'2(점)

13

평균이 6이므로 =6 ∴ x+y=12 분산이 2이므로 =2 (x-6)¤ +(y-6)¤ =8 x¤ +y¤ -12(x+y)+72=8 ∴ x¤ +y¤ =12(x+y)-64=144-64=80

14

(평균)= =28(분) (분산)= =141

15

전체 학생 수가 40명이므로

a+18+14+b=40 ∴ a+b=8 yy`㉠

5640 11240 1120 11240 (-1)¤ +(x-6)¤ +(y-6)¤ +1¤ 1111111121111145 5+x+6+y+7 111111135 3¤ +2¤ +(-6)¤ +5¤ +(-4)¤ 11111111111125 (-3)¤ +(-2)¤ +1¤ +0¤ +2¤ +(-1)¤ +3¤ 11111111111111115157 2+3+6+5+7+4+b 11111111117 계급값을 작은 순서대로 나열하면 5, 15, 25, 35(분)이고 통학 시간의 평균이 21분이므로 =21 ∴ a+7b=44 yy`㉡ ㉠, ㉡을 연립하여 풀면 a=2, b=6 (분산)= =64 ∴ (표준편차)='∂64=8(분)

16

④ B반의 분산이 더 작으므로 B반이 A반보다 점수가 더 고르다. 즉, 평균 가까이에 더 많이 모여 있다. ⑤ 최고 점수를 받은 학생이 어느 반인지는 알 수 없다.

17

표준편차가 클수록 자료의 분포가 고르지 않으므로 공부 시간이 가장 고르지 않은 학생은 표준편차가 가 장 큰 건영이다.

18

영어 수행 평가 점수가 평균 가까이에 많이 모여 있는 히스토그램은 ①이다.

19

A, B, C의 저축액의 평균을 구하면 다음과 같다. A : =:£5§:=7.2(만 원) B : =:¢5º:=8(만 원) C : =:™5•:=5.6(만 원) yy❶ 따라서 저축액의 평균이 가장 작은 학생은 C이다. C의 저축액을 작은 값부터 크기순으로 나열하면 3, 4, 6, 7, 8이므로 중앙값은 6만 원이다. yy❷ 6+7+3+4+8 111111155 8+8+8+8+8 111111155 5+8+5+9+9 111111155 2560 11240 5_a+15_18+25_14+35_b 11111111111111540 계급값``(분) 도수`(명)(계급값)_(도수)편차``(분) (편차)¤ _(도수) 10 20 30 40 50 합계 6 11 12 7 4 40 10_6=60 20_11=220 30_12=360 40_7=280 50_4=200 1120 -18 -8 2 12 22 (-18)¤ _6=1944 (-8)¤ _11=704 2¤ _12=48 12¤ _7=1008 22¤ _4=1936 5640 계급값(분) 도수`(명) 편차`(분) (편차)¤ _(도수) 5 15 25 35 합계 2 18 14 6 40 -16 -6 4 14 (-16)¤ _2=512 (-6)¤ _18=648 4¤ _14=224 14¤ _6=1176 2560 ❶A, B, C의 한 달 저축액의 평균 각각 구하기 ❷중앙값 구하기 60 % 40 % 채점 기준 배점

(14)

20

(평균) = =:™5º0º:=4(권) yy❶ (분산) =;5¡0;{(-4)¤ _1+(-3)¤ _2+(-2)¤ _5 =;5¡0;{+(-1)¤ _10+0¤ _15+1¤ _8+2¤ _5 =;5¡0;{+3¤ _4} =:¡5™0•:=;2^5$; ∴ (표준편차)=Æ˚;2^5$;=;5*;=1.6(권) yy❷ 주어진 표에서 읽은 책 수가 4-1.6=2.4(권)보다 많고 4+1.6=5.6(권)보다 적은 학생 수는 10+15+8=33(명)이므로 전체 학생 수의 ;5#0#;_100=66(%)이다. yy❸ 0_1+1_2+2_5+3_10+4_15+5_8+6_5+7_4 111111112111111111123450 ❶평균 구하기 ❷표준편차 구하기 ❸답 구하기 30 % 30 % 40 % 채점 기준 배점

01

(평균)=0_;8!;+1_;4#;+2_;8!;=1 (분산)=(0-1)¤ _;8!;+(1-1)¤ _;4#;+(2-1)¤ _;8!; (분산)=;8@;=;4!; ∴ (표준편차)=;2!;

02

2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3, 2e+3의 평균은 2_8+3=19, 표준편차는 2_4=8이다. 따라서 2a+3, 2b+3, 2c+3, 2d+3, 2e+3의 분산 은 8¤ =64이다. 054~055쪽

Advanced Lecture

[유제] 01평균:1, 표준편차:;2!; 0264

(15)

개념 BOOK

피타고라스 정리

VI

068쪽

개념

CHECK

01⑴ '∂13 ⑵ 9 ⑶ '7 02⑴ 64 cm¤ ⑵ 8 cm 03⑴ 5 cm ⑵ 25 cm¤ 04⑴ 13 ⑵ 49

1. 피타고라스 정리

01. 피타고라스 정리`⑴

0

1

⑴ x¤ =3¤ +2¤ =13 ∴ x='∂13 (∵ x>0) ⑵ x¤ =15¤ -12¤ =81∴ x=9 (∵ x>0) ⑶ x¤ =4¤ -3¤ =7∴ x='7 (∵ x>0)

0

2

⑴ ADEB+ ACHI= BFGC이므로 ADEB+17=81 ⑵∴ ADEB=64 cm¤

⑵ AB”¤ =64이므로 AB”=8 cm (∵ AB”>0)

0

3

⑴ EH” ¤ =3¤ +4¤ =25 ∴ EH”=5 cm (∵ EH”>0) ⑵ EFGH=5¤ =25(cm¤ )

0

4

⑴ 직각삼각형 ABC에서 ⑴AB”¤ =12¤ +5¤ =169 ∴ AB”=13 (∵ AB”>0) ⑵ CH”=12-5=7이므로 CFGH=7¤ =49

0

1

가장 긴 변의 길이가 13 cm일 때,13¤ =5¤ +x, x¤ =144∴ x=12(∵ x>0) ¤가장 긴 변의 길이가 x cm일 때,x¤ =5¤ +13¤ =194∴ x='∂194(∵ x>0) ¤, ¤에서 x=12, '∂194

0

2

⑴ 4¤ +5¤ <7¤ Δ 둔각삼각형 ⑵ 9¤ +12¤ =15¤ Δ 직각삼각형 ⑶ (3'2)¤ +5¤ >6¤ Δ 예각삼각형 ⑷ (2'2)¤ +7¤ <8¤ Δ 둔각삼각형

0

3

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 10<x<6+10 ∴ 10<x<16 yy`㉠ 둔각삼각형이므로 x¤ >6¤ +10¤ , x¤ >136 ∴ x>2'∂34(∵ x>0) yy`㉡ ㉠, ㉡에서 2'∂34<x<16

0

4

⑴ x¤ +x¤ =3¤ +('∂39)¤ x¤ =24 ∴ x=2'6(∵ x>0) ⑵ 8¤ +4¤ =x¤ +7¤ x¤ =31 ∴ x='∂31(∵ x>0)

0

5

(색칠한 부분의 넓이)=△ABC (색칠한 부분의 넓이)=;2!;_4_3=6 077쪽

개념

CHECK

0112, '∂194 02⑴ 둔각삼각형 ⑵ 직각삼각형 01⑶ 예각삼각형 ⑷ 둔각삼각형 032'∂34<x<16 04⑴ 2'6 ⑵ '∂31 05 6 02. 피타고라스 정리`⑵

(16)

유형01 △ABD에서 AD”="√20¤ -16¤ =12 △ADC에서 CD”="√13¤ -12¤ =5

1

-1 △ADC에서 CD”="√17¤ -15¤ =8 △ABC에서 BC”=12+8=20 ∴ AB”="√20¤ +15¤ =25

1

-2 AC”="√2¤ +2¤ =2'2 AD”="√(2'2)¤ +2¤ =2'3 ∴ AE”="√(2'3)¤ +2¤ =4 078~081쪽

유형

EXERCISES

유형015 1-1 25 1-2 4 유형024'5 2-1 2'5 2-2 10'3 유형033-1 5 3-2 32 유형042'5, 2'∂13 4-14-2 17 4-3 15, -1+'∂31 유형05'∂41<x<9 5-15-25-3 18 유형0651 6-1 8 6-2 ;;¡5™;; 유형072'∂22 7-1 3 7-2 21 7-3 20 cm 유형085 8-1 ;;¡3º;; 8-2 ;;¡4∞;;

2

-2 꼭짓점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 E, F 라고 하면 BE”=FC” BE”=;2!;_(7-3)=2 △ABE에서 AE”="√4¤ -2¤ =2'3 따라서 등변사다리꼴 ABCD의 넓이는 ;2!;_(3+7)_2'3=10'3 A C E F D B 4 3 7 유형02 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 E라고 하면 △ABE에서 BE”=8-5=3이므로 AE”="√5¤ -3¤ =4 △DBC에서 DC”=AE”=4이므로 BD”="√8¤ +4¤ =4'5

2

-1 BD”를 그으면 △ABD에서 BD”="√3¤ +(3'3)¤ =6 따라서 △BCD에서 BC”="√6¤ -4¤ =2'5 A C D B 3 4 3'3 A C E D B 8 5 5 유형03 EB”∥DC”이므로 △EBC=△EBA yy`㉠ △EBC와 △ABF에서 EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF ∴ △EBC™△ABF (`SAS 합동) yy`㉡ BF”∥AK”이므로 △BFA=△BFJ yy`㉢ ㉠, ㉡, ㉢에 의하여 △EBC=△EBA=△ABF=△BFJ

3

-1 △APS™△BQP™△CRQ™△DSR이므로 `PQRS는 정사각형이다. △APS에서 AS”=3-1=2이므로 PS”="√1¤ +2¤ ='5 ∴ `PQRS=('5)¤ =5

3

-2 △ABC에서 AB”="√10¤ -6¤ =8 ∴ △LFM=;2!; BFML=;2!; ADEB ∴ △LFM=;2!;_8¤ =32 유형

04

가장 긴 변의 길이가 x일 때, x¤ =4¤ +6¤ =52 ∴ x=2'∂13 (∵ x>0) ¤가장 긴 변의 길이가 6일 때, 6¤ =4¤ +x¤ , x¤ =20 ∴ x=2'5 (∵ x>0), ¤에 의하여 x의 값은 2'5, 2'∂13이다.

4

-1 ① ('7)¤ +2¤ +('5)¤ ② 6¤ +3¤ +4¤ ③ 25¤ =7¤ +24¤ ④ ('5)¤ +1¤ +('2)¤

(17)

개념 BOOK ⑤ 10¤ +6¤ +7¤ 따라서 직각삼각형은 ③이다.

4

-2 가장 긴 변의 길이가 x+2이므로 (x+2)¤ =x¤ +(x-7)¤ x¤ -18x+45=0, (x-3)(x-15)=0 ∴ x=3 또는 x=15 이때, (x-7)+x>x+2이므로 x>9 따라서 x=15이므로 빗변의 길이는 x+2=15+2=17

4

-3가장 긴 변의 길이가 x+2일 때, (x+2)¤ =x¤ +8¤ , 4x=60 ∴ x=15 ¤가장 긴 변의 길이가 8일 때, 8¤ =x¤ +(x+2)¤ , 2x¤ +4x-60=0 x¤ +2x-30=0 ∴ x=-1+'∂31 (∵ x>0), ¤에 의하여 x의 값은 15, -1+'∂31이다. 10<x+6 ∴ x>4 yy㉠ 둔각삼각형이므로 10¤ >x¤ +6¤ , x¤ <64 ∴ x<8 (∵ x>0) yy㉡ ㉠, ㉡에서 4<x<8 따라서 이를 만족시키는 자연수 x의 값은 5, 6, 7이 므로 5+6+7=18 유형05 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 5<x<5+4 ∴ 5<x<9 yy`㉠ 둔각삼각형이므로 x¤ >4¤ +5¤ , x¤ >41 ∴ x>'∂41 (∵ x>0) yy`㉡ ㉠, ㉡에서 '∂41<x<9

5

-1 ① 3¤ +4¤ =5¤ (직각삼각형) ② 4¤ +6¤ <8¤ (둔각삼각형) ③ 5¤ +8¤ <10¤ (둔각삼각형) ④ 5¤ +10¤ >11¤ (예각삼각형) ⑤ 5¤ +12¤ =13¤ (직각삼각형)

5

-2 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 7<x<4+7 ∴ 7<x<11 yy`㉠ 예각삼각형이 되어야 하므로 x¤ <4¤ +7¤ , x¤ <65 ∴ x<'∂65 (∵ x>0) yy`㉡ ㉠, ㉡에서 7<x<'∂65 따라서 이를 만족시키는 자연수 x의 값은 8이다.

5

-3 ∠C>90˘이므로 가장 긴 변의 길이는 10이다. 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 유형

06

△ABD에서 x="√9¤ +12¤ =15(∵ x>0) AD”¤ =BD”_CD”이므로 12¤ =9_y ∴ y=16 AC”¤ =CD”_CB”이므로 z¤ =16_(9+16) ∴ z=20(∵ z>0) ∴ x+y+z=15+16+20=51

6

-1 △ABH에서 BH”="√(4'3)¤ -(4'2)¤ =4 AH”¤ =BH”_CH”이므로 (4'2)¤ =4_CH” ∴ CH”=8

6

-2 △ABC에서 AC”="√5¤ -3¤ =4 AB”_AC”=BC”_AH”이므로 3_4=5_AH” ∴ AH”=:¡5™: 유형07 △AOD에서 AD”="√4¤ +3¤ =5 AD”¤ +BC”¤ =AB”¤ +CD”¤ 이므로 5¤ +BC”¤ =7¤ +8¤ , BC”¤ =88 ∴ BC”=2'∂22 (∵ BC”>0)

7

-1 DE”¤ +BC”¤ =BE”¤ +CD”¤ 이므로 DE”¤ +6¤ =(2'5)¤ +5¤

DE”¤ =9 ∴ DE”=3 (∵ DE”>0)

7

-2 AP”¤ +CP”¤ =BP”¤ +DP”¤ 이므로 ('5)¤ +4¤ =BP”¤ +DP”¤ ∴ BP”¤ +DP”¤ =5+16=21

7

-3 BC”를 지름으로 하는 반원의 넓이는 20p+30p=50p(cm¤ )

(18)

;2!;_p_{ }2 =50p이므로 BC”¤ =400 ∴ BC”=20(cm)(∵ BC”>0) BC” 2 082~084쪽

실력

EXERCISES

016'7 02'∂31 03'∂61 04;2(0!; m 054 064 07083'5 cm 09289 cm¤ 1016-6'7 11 3 cm 12 13 14 2'6 15①, ③ 1624<x<25 1718;;™5•;; 19 '7 20 125558'55 cm 215 cm

0

1

직각삼각형의 나머지 한 변의 길이는 "√8¤ -(2'7)¤ =6 따라서 직각삼각형의 넓이는 ;2!;_2'7_6=6'7

0

2

오른쪽 그림과 같이 BD”를 그 으면 △ABD에서 BD”="√2¤ +6¤ =2'∂10 따라서 △BCD에서 CD”="√(2'∂10)¤ -3¤ ='∂31

0

3

△ABC에서 BC”="√13¤ -5¤ =12이므로 MC”=;2!;_12=6 △AMC에서 A’M”="√6¤ +5¤ ='∂61

0

4

오른쪽 그림에서 AB”=x m 라고 하면 AC”=(10-x) m, BC”=3 m이므로 (10-x)¤ =x¤ +3¤ 20x=91 ∴ x=;2(0!; 따라서 지면으로부터 나무가 부러진 부분까지의 높이는 ;2(0!; m이다.

0

5

OB”=OQ”="√2¤ +2¤ =2'2 OC”=OR”="√(2'2)¤ +2¤ =2'3 ∴ OS”="√(2'3)¤ +2¤ =4

0

6

AP”=x라고 하면 △ABP에서 BP”="√x¤ +x¤ ='2x △BCP에서 CP”="√('2x)¤ +x¤ ='3x 같은 방법으로 DP”="√('3x)¤ +x¤ =2x EP”="√(2x)¤ +x¤ ='5x FP”="√('5x)¤ +x¤ ='6x 즉, '6x=4'6이므로 x=4

0

7

① △EBC와 △ABF에서 EB”=AB”, BC”=BF”, ∠EBC=∠ABF A B 3`m C x`m {10-x}`m A B D C 2 3 6 유형

08

△ABQ에서 AQ”=AD”=15이므로 BQ”="√15¤ -9¤ =12 ∴ CQ”=15-12=3 PQ”=x라고 하면 DP”=PQ”=x이므로 PC”=9-x △PQC에서 x¤ =(9-x)¤ +3¤ , 18x=90 ∴ x=5

8

-1 △ABP와 △QDP에서 AB”=QD”, ∠A=∠Q=90˘, ∠APB=∠QPD이므로 ∠ABP=∠QDP ∴ △ABP™△QDP (ASA 합동) △ABP에서 AP”=x라고 하면 PB”=PD”=12-x이므로 (12-x)¤ =x¤ +8¤ , 24x=80 ∴ x=

8

-2 BE”=;2!;_10=5 BD”=x라고 하면 DE”=AD”=10-x이므로 △DBE에서 (10-x)¤ =x¤ +5¤ 20x=75 ∴ x=:¡4∞: 10 3

(19)

개념 BOOK ∴ △EBC™△ABF (SAS 합동) ∴ EC”=AF” ② △BCH와 △GCA에서 BC”=GC”, CH”=CA”, ∠BCH=∠GCA ∴ △BCH™△GCA (SAS 합동) ③ △AEB=△CEB=△ABF=△LBF ④ AEBC가 평행사변형일 때만 성립한다. ⑤ △ACH=△BCH=△AGC=△LGC=△LMG 이므로 ACHI=2△ACH=2△LMG

0

8

△EBC=△EBA=;2!; ADEB=18(cm¤ )이므로 ADEB=36 cm¤ ∴ AB”=6(cm) △ABC에서 BC”="√6¤ +3¤ =3'5(cm)

0

9

EFGH=169 cm¤ 이므로 EH”=13 cm △EHD에서 DH”="√13¤ -12¤ =5(cm) 따라서 AE”=DH”=5 cm이므로 AD”=12+5=17(cm) ∴ ABCD=17¤ =289(cm¤ )

10

△ABE에서 BE”="√4¤ -3¤ ='7 4개의 직각삼각형이 모두 합동이므로 HE”=3-'7 ∴ EFGH=(3-'7)¤ =16-6'7

11

△ABE™△CDB이므로 BE”=DB”, ∠EBD=90˘ 따라서 △BDE는 직각이등변삼각형이다. △BDE의 넓이가 17cm¤ 이므로 ;2!;_BE”¤ =17 BE”¤ =34 ∴ BE”='∂34(cm)(∵ BE”>0) △ABE에서 AE”="√('∂34)¤ -5¤ =3(cm)

12

⑤ 26¤ +7¤ +24¤ 이므로 피타고라스 정리를 만족하지 않는다.

13

△ABD에서 AB”="√16¤ +12¤ =20 △ADC에서 AC”="√12¤ +9¤ =15

△ABC에서 BC”=25, AC”=15, AB”=20이고 25¤ =15¤ +20¤ 이므로 △ABC는 ∠A=90˘인 직각삼 각형이다.

14

가장 긴 변의 길이가 7이므로 7¤ =5¤ +x¤ , x¤ =24 ∴ x=2'6 (∵ x>0)

15

① 삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 a<b+c ③ ∠A<90˘이므로 a¤ <b¤ +c¤

16

삼각형의 세 변의 길이 사이의 관계에 의하여 25-7<x<25 ∴ 18<x<25 yy`㉠ 예각삼각형이므로 25¤ <7¤ +x¤ , x¤ >576 ∴ x>24 (∵ x>0) yy`㉡ ㉠, ㉡에서 24<x<25

17

② 4¤ +5¤ >6¤ 이므로 예각삼각형이다.

18

△ABC에서 BC”="√4¤ +3¤ =5 AB”_AC”=BC”_AD”이므로 4_3=5_x ∴ x=:¡5™: AB”¤ =BD”_BC”이므로 4¤ =y_5 ∴ y=:¡5§: ∴ x+y=:¡5™:+:¡5§:=:™5•:

19

AB”¤ +DC”¤ =AD”¤ +BC”¤ 이므로 AB”¤ +DC”¤ =('5)¤ +3¤ =14 그런데 ABCD는 등변사다리꼴이므로 AB”=DC” 따라서 2AB”¤ =14이므로 AB”¤ =7 ∴ AB”='7 (∵ AB”>0)

20

(색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_8_AC”=16 이므로 AC”=4 cm △ABC에서 BC”="√8¤ +4¤ =4'5(cm) AB”_AC”=BC”_AH”이므로 8_4=4'5_AH” ∴ AH”= (cm)

21

점 F가 AC”의 중점이므로 AF”=CF”=4 cm EF”=x cm라고 하면 AE”=x cm이므로 BE”=(8-x) cm △EBF에서 x¤ =4¤ +(8-x)¤ 16x=80 ∴ x=5 8'5 5

(20)

095쪽

개념

CHECK

01⑴ 2'7 ⑵ 5'2 02⑴ 4 cm ⑵ 4'3 cm 03⑴ 8'5 ⑵ 6'6 04 x=2'3, y='6 05 -2

2. 피타고라스 정리의 활용

01. 평면도형에서의 활용

0

1

⑴ x¤ +6¤ =8¤ 이므로 x¤ =8¤ -6¤ =28 ∴ x='∂28=2'7 (∵ x>0) ⑵ '2x=10이므로x= =5'2

0

2

⑴ 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면x=2'3 ∴ x=4따라서 이 정삼각형의 한 변의 길이는 4 cm이다. ⑵ 정삼각형의 한 변의 길이를 x cm라고 하면x¤ =16'3, x¤ =16'3_ =64∴ x=8(∵ x>0) ⑵따라서 이 삼각형의 높이는 ⑵ x= _8=4'3(cm)

0

3

⑴ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수 ⑴선의 발을 H라고 하면 ⑴BH”=;2!;BC”=;2!;_8=4 ⑴직각삼각형 ABH에서 ⑴AH”="√6¤ -4¤ ='∂20=2'5 ⑴∴ △ABC=;2!;_8_2'5=8'5 ⑵ 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 ⑴의 발을 H, BH”=x라고 하면CH”=7-xAH”=h라고 하면 ⑴직각삼각형 ABH에서 ⑴h¤ =6¤ -x¤ yy`㉠ '3 1252 '3 1252 4 125 '3 '3 1254 '3 1252 10 125 '2 A C B 6 6 8 H A C H B 5 6 7 x y

0

1

⑴ "√8¤ +4¤ +6¤ ='ƒ116=2'∂29(cm)

0

2

⑴ △ABC에서 CD”= _10=5'3(cm) ⑵ CH”=;3@;CD”=;3@;_5'3=25255110'3 (cm) 3 '3 252552 ⑴직각삼각형 ACH에서 ⑴h¤ =5¤ -(7-x)¤ yy`㉡ ⑴㉠, ㉡에서 6¤ -x¤ =5¤ -(7-x)¤36-x¤ =-24+14x-x¤14x=60 ∴ x=:£7º: ㉠에 x=:£7º:을 대입하면h¤ =6¤ -{:£7º:}¤ =:•4§9¢:∴ h= (∵ h>0) ⑴∴ △ABC=;2!;_7_ =6'6

0

4

△ABC에서 AB” : BC”=1 : '3이므로 2 : x=1 : '3 ∴ x=2'3 △DBC에서 BC” : CD”='2 : 1이므로 2'3 : y='2 : 1 ∴ y='6

0

5

AB”¤ ={3-(-2)}¤ +(x-3)¤ =(5'2)¤ 이므로 25+x¤ -6x+9=50, x¤ -6x-16=0 (x-8)(x+2)=0 ∴ x=-2(∵ x<0) 12'6 125257 12'6 125257 106쪽

개념

CHECK

01⑴ 2'∂29 cm ⑵ 3'3 cm 02⑴ 5'3 cm ⑵ cm ⑶ cm 02⑷ 25'3 cm¤ ⑸ cm‹ 03⑴ 높이 : 4'7, 부피 : 02⑵ 높이 : 4'3, 부피 : 04 '∂74 64'3 115553 256'7 1113 250'2 11555253 10'6 115553 10'3 115553 02. 입체도형에서의 활용

(21)

개념 BOOK 107~111쪽

유형

EXERCISES

유형01 1-1 8 1-2 4p 유형02 2-1 27'3 2-2 24'3 유형03 cm 3-1 48 3-2 17 3-2 126 유형04 3'6 4-1 4'3 4-2 3'3 4-3 18'6 유형05 2 5-15-2 4'2 5-3 ④ 유형06 10+5'26-1 2'2 6-2 6-3 8'3 cm 유형07 3'2 7-1 36'3 7-2 54'6 7-3 9'2 cm¤ 유형08 8-1 8'∂21 8-2 8'2 8-3 12'∂10 유형09 81'7p cm‹ 9-1 216˘ 9-2 '7 cm 9-3 81p cm‹ 유형10 13 10-12'∂17 10-26p 128 3 42'2 11 2'∂14 3 9'3 4 8'5 5 유형

01

△ABD에서 BD”="√8¤ +4¤ =4'5 AB”_AD”=AH”_BD”이므로 4_8=AH”_4'5 ∴ AH”=

1

-1 가로, 세로의 길이를 각각 3a, 4a(a>0)라고 하면 "√(3a)¤ +(4a)¤ =10, 5a=10 ∴ a=2 따라서 직사각형의 세로의 길이는 4_2=8

1

-2 정사각형의 한 변의 길이를 a라고 하면 '2a=4'2 ∴ a=4 따라서 원의 반지름의 길이는 2이므로 그 넓이는 p_2¤ =4p 유형

02

AD”는 정삼각형 ABC의 높이이므로 AD”= _4=2'3 AF”는 정삼각형 ADE의 높이이므로 AF”= _2'3=3 ∴ △AFG= _3¤ =

2

-1 무게중심은 중선을 꼭짓점으로부터 2 : 1로 나누므 로 AG” : GD”=2 : 1 ∴ GD”=;2!;AG”=3 ∴ AD”=6+3=9 따라서 △ABC의 한 변의 길이를 a라고 하면 a=9 ∴ a=6'3 ∴△ABC= _(6'3)¤ =27'3

2

-2 주어진 정육각형은 한 변의 길이가 4인 6개의 정삼 각형으로 나눌 수 있다. 정삼각형 한 개의 넓이는 _4¤ =4'3이므로 정육각형의 넓이는 6_4'3=24'3 유형

03

BH”=x cm라고 하면 CH”=(6-x)cm '3 4 '3 4 '3 2 9'3 4 '3 4 '3 2 '3 2 8'5 5 ⑶ VH”=æ≠10¤ -{ }¤ = (cm) ⑷ △ABC= _10¤ =25'3(cm¤ ) ⑸ ;3!;_25'3_ = (cm‹ )

0

3

⑴ `ABCD에서 BD”='2_BC”=8'2이므로 ⑴BH”=;2!;BD”=;2!;_8'2=4'2 ⑴∴ OH”="√12¤ -(4'2)¤ ='∂112=4'7 ⑴따라서 뿔의 높이는 4'7이므로 그 부피는 ⑴;3!;_8_8_4'7= ⑵ 원뿔의 높이는 "√8¤ -4¤ ='∂48=4'3 ⑴따라서 원뿔의 부피는 ⑴;3!;_p_4¤ _4'3=

0

4

구하는 최단 거리는 오른쪽 그림 에서 AG”의 길이와 같으므로 AG”="√(4+3)¤ +5¤ ='ß74 D A G F C B 5 4 3 64'3 12153 256'7 12525223 250'2 252551253 10'6 2525513 '3 252554 10'6 2525513 10'3 2525513

(22)

△ABH와 △ACH에서 AH”¤ =3¤ -x¤ =5¤ -(6-x)¤ 12x=20 ∴ x=;3%; 따라서 △ABH에서 AH”=æ–3¤ -{;3%;}¤ = (cm)

3

-1 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 △ABC는 이등변삼각형이므로 BH”=CH”=6 △ABH에서 AH”="√10¤ -6¤ =8 ∴ △ABC=;2!;_12_8=48

3

-2 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 △ABC의 넓이가 120이므로 ;2!;_16_AH”=120 ∴ AH”=15 이때 BH”=8이므로 △ABH에서 AB”="√8¤ +15¤ =17

3

-3 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 BH”=x라고 하면 CH”=21-x △ABH와 △ACH에서 AH”¤ =20¤ -x¤ =13¤ -(21-x)¤ 42x=672 ∴ x=16 따라서 △ABH에서 AH”="√20¤ -16¤ =12이므로 △ABC=;2!;_21_12=126 유형04 △ABC에서 AB” : BC”=1 : '3이므로 6 : BC”=1 : '3 ∴ BC”=6'3 △DBC에서 BD” : BC”=1 : '2이므로 BD” : 6'3=1 : '2 ∴ BD”=3'6

4

-1 △ABH에서 AB” : A’H”=2 : '3이므로

21 x 20 13 A B H C 8 A B C H 8 A B H 6 6 10 10 C 2'∂14 3 4 : A’H”=2 : '3 ∴ A’H”=2'3 AB” : BH”=2 : 1이므로 4 : BH”=2 : 1 ∴ BH”=2 CH”=8-2=6이므로 △AHC에서 AC”="√6¤ +(2'3`)¤ =4'3

4

-2 △ABD에서 AB” : BD”=1 : '2이므로 3'2 : BD”=1 : '2 ∴ BD”=6 △DBC에서 DB” : CD”=2 : '3이므로 6 : CD”=2 : '3 ∴ CD”=3'3

4

-3 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 AH” : AB”='3 : 2 이므로 4'3 : AH”=2 : '3 ∴ AH”=6 ∴ ABCD=3'6_6=18'6 유형05 AB”="√(3a+2)¤ +(a+2)¤ =4'5이므로 (3a+2)¤ +(a+2)¤ =80, 5a¤ +8a-36=0 (a-2)(5a+18)=0 ∴ a=2 (∵ a>0)

5

-1 원점과 각 점 사이의 거리를 구하면 다음과 같다. ① "√4¤ +2¤ =2'5 ② "√3¤ +5¤ ='∂34 ③ "√(-1)¤ +(-3)¤ ='∂10 ④ "√5¤ +1¤ ='∂26 ⑤ "√(-6)¤ +1¤ ='∂37 따라서 원점으로부터 거리가 가장 먼 것은 ⑤이다.

5

-2 x¤ -x=x+3에서 x¤ -2x-3=0 (x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 x=-1일 때 y=2, x=3일 때 y=6이므로 A(-1, 2), B(3, 6) 또는 A(3, 6), B(-1, 2) ∴ AB”="√{3-(-1)}¤ +√(6-2)¤ =4'2

5

-3 AB”="√{2-(-1)}¤ +√(1-3)¤ ='∂13 BC”="√(4-2)¤ +(4-1)¤ ='∂13 CA”="√{4-√(-1√)}¤ +√(4-ç3)Ω¤ ='∂26 3'6 4'3 60© A B H C D

(23)

개념

BOOK

이므로 AB”=BC”와 AB”¤ +BC”¤ =CA”¤ 이 성립한다. 따라서 △ABC는 ∠B=90˘인 직각이등변삼각형 이다. 유형

06

AC”="√4¤ +3¤ =5 AG”="√4¤ +3¤ +5¤ =5'2 따라서 △AGC의 둘레의 길이는 5+5+5'2=10+5'2

6

-1 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 '3a='6 ∴ a='2 따라서 정육면체의 부피는 ('2)‹ =2'2

6

-2 AG”="√6¤ +6¤ +7¤ =11, EG”=6'2 이때, △AEG에서 AE”_EG”=AG”_E’I’이므로 7_6'2=11_E’I’ ∴ EI”=

6

-3 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라고 하면 EG”='2a cm이므로 △AEG=;2!;_a_'2a= 따라서 a¤ =32'2이므로 a¤ =64 ∴ a=8 (∵ a>0) ∴ AG”='3a=8'3(cm) 유형

07

정삼각형 BCD에서 D’M”= _6=3'3 점 H는 삼각형 BCD의 무게중심이므로 MH”=;3!;D’M”=;3!;_3'3='3 A’H”= _6=2'6 ∴ △AMH=;2!;_'3_2'6=3'2

7

-1 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 a=2'6 ∴ a=6 따라서 정사면체의 겉넓이는 '6 3 '6 3 '3 2 '2 2 '2 2 42'2 11 4_△ABC=4_{ _6¤ }=36'3

7

-2 점 H는 정삼각형 DBC의 무게중심이므로 D’H”=2HM”=2_3=6, D’M”=3+6=9 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 a=9 ∴ a=6'3 따라서 정사면체의 부피는 a‹ = _(6'3`)‹ =54'6

7

-3 B’M”, C’M”은 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형의 높 이이므로 B’M”=C’M”= _6=3'3(cm) 꼭짓점 M에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △MBH에서 MH”="√(3'3`)¤ -3¤ MH”=3'2(cm) ∴ △BCM=;2!;_6_3'2=9'2(cm¤ ) 유형08 AC”="√(4'2)¤ +(4'2)¤ =8이므로 HC”=;2!;AC”=4 △OHC에서 OH”="√(4'2`)¤ -4¤ =4 따라서 정사각뿔의 부피는 ;3!;_(4'2)¤ _4=:¡;3@:*;

8

-1 꼭짓점 O에서 CD”에 내린 수선의 발을 E라고 하면 HE”=;2!;BC”=4이므로 △OHE에서 OE”="√(2'∂17`)¤ +4¤ OE”=2'∂21 ∴ △OCD=;2!;_8_2'∂21=8'∂21

8

-2 AC”="√(2'2 `)¤ +(2'2`)¤ =4이므로 HC”=;2!;AC”=2 C O B D E 8 2'17 A H B C M H 3'3`cm 3'3`cm 3`cm 3`cm '3 2 '2 12 '2 12 '3 2 '3 4

(24)

△OHC에서 OH”="√6¤ -2¤ =4'2 ∴ △OAC=;2!;_4_4'2=8'2

8

-3 주어진 전개도로 만들어지 는 정사각뿔은 오른쪽 그림 과 같다. BD”="√(3'2`)¤ +(3'2`)¤ =6 이므로 D’H”=;2!; BD”=3 △OHD에서 OH”="√7¤ -3¤ =2'∂10 따라서 정사각뿔의 부피는 ;3!; _(3'2)¤ _2'∂10=12'∂10 유형

09

주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른 쪽 그림과 같으므로 원뿔의 높이를 h cm라고 하면 h="√12¤ -9¤ =3'7 따라서 원뿔의 부피는 ;3!; _p_9¤ _3'7=81'7p(cm‹ )

9

-1 원뿔의 모선의 길이를 l이라고 하면 l="√8¤ +6¤ =10 오른쪽 그림의 전개도에서 부 채꼴의 중심각의 크기를 x˘라 고 하면 2p_10_ =2p_6 ∴ x˘=216˘

9

-2 밑면의 반지름의 길이를 r cm, 높이를 h cm라고 하면 pr¤ =9p, r¤ =9 ∴ r=3 (∵ r>0) ∴ h="√4¤ -3¤ ='7 따라서 원뿔의 높이는 '7 cm이다.

9

-3 △OHA에서 AH” : OA”=1 : 2이므로

4`cm r`cm h`cm 360˘ 6 10 x© 12`cm 9`cm h`cm C O B D 7 3'2 3'2 A H AH” : 6'3=1 : 2 ∴ AH”=3'3 cm AH” : OH”=1 : '3이므로 3'3 : OH”=1 : '3 ∴ OH”=9 cm 따라서 원뿔의 부피는 ;3!; _p_(3'3)¤ _9=81p(cm‹ ) 유형10 오른쪽 그림의 전개도에서 최 단 거리는 AG”의 길이이므로 AG”="√(8+4)¤ +5¤ =13

10

-1다음 그림의 전개도에서 최단 거리는 EA'”의 길이이 므로

EA'”=

"√

E’E'”¤ +A'E'” ¤ ="√8¤ +2¤ =2'∂17

10

-2밑면인 원의 둘레의 길이는 2p_4=8p 원기둥의 높이를 h라고 하면 오른쪽 전개도에서 h="√(10p)¤ -(8p)¤ =6p A B B' h 10p 8p A' B A C D A' F E G H E' 2 2 2 2 2 D A G C B 8 4 5 F 112~115쪽

실력

EXERCISES

0116'3 cm¤ 02 cm 034'5 cm 042'3 cm 052'6 06'3 cm¤ 078'5 cm¤ 08 cm 0912 cm 10(3'3-3) cm 11 cm 12 -10 13 14 156 cm 162'5 172'6 cm 1850'6 cm¤ 1920 4'2 cm¤ 21 72'5 cm‹2212'∂11 cm¤ 239p cm‹ 2427p cm¤ 252'∂58 cm268'2 cm 16 3 8'2 3 14 5

(25)

개념 BOOK 따라서 △GEC는 한 변의 길이가 2 cm인 정삼각형이 므로 △GEC= _2¤ ='3(cm¤ )

0

7

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 BH”=4 cm이므로 △ABH에서 AH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm) ∴ △ABC=;2!;_8_2'5=8'5(cm¤ )

0

8

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 △ABH에서 AH”="√6¤ -2¤ =4'2(cm) ∴ △ABC=;2!;_4_4'2 ∴ △ABC=8'2(cm¤ ) 또, AP”를 그으면 △ABC=△ABP+△APC이므로 8'2=;2!;_6_PQ”+;2!;_6_PR” 8'2=;2!;_6_(PQ”+PR”) ∴ PQ”+PR”= cm

0

9

BH”=x cm라고 하면 CH”=(14-x)cm △ABH와 △ACH에서 AH”¤ =15¤ -x¤ =13¤ -(14-x)¤ 28x=252 ∴ x=9 따라서 △ABH에서 A’H”="√15¤ -9¤ =12(cm)

10

△ABC에서 BC”=AB”=3'3 cm △ABD에서 AB” : BD”='3 :1이므로 3'3 : BD”='3 : 1 ∴ BD”=3 cm ∴ CD”=BC”-BD”=3'3-3(cm)

11

△ABC에서 AB” : AC”='3 : 2이므로 3 : AC”='3 : 2 ∴ AC”=2'3 cm △ACD에서 AC” : AD”='3 : 2이므로 2'3 : AD”='3 : 2 ∴ AD”=4 cm 8'2 3 A B C Q R 6`cm 6`cm 2`cmP H A B H C 6`cm 6`cm 4`cm '3 4

0

1

△ABC에서 AB”="√8¤ -4¤ =4'3(cm) ∴ ABCD=4_4'3=16'3(cm¤ )

0

2

△ABC에서 AC”="√6¤ +8¤ =10(cm) AB”¤ =AQ”_AC”이므로 6¤ =AQ”_10 ∴ AQ”=:¡5•: cm CD”¤ =CP”_CA”이므로 6¤ =CP”_10 ∴ CP”=:¡5•: cm ∴ PQ”=AC”-(AQ”+CP”) ∴ PQ”=10-{:¡5•:+:¡5•:}=:¡5¢:(cm)

0

3

정사각형 ABCD의 한 변의 길이를 x cm라고 하면 AO”=10 cm, BO”=;2{; cm이므로 직각삼각형 ABO에서 10¤ =x¤ +{;2{;}2 , ;4%;x¤ =100 x¤ =80 ∴ x=4'5 (∵ x>0) 따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 4'5 cm 이다.

0

4

정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라고 하면 a¤ =4'3, a¤ =16 ∴ a=4(∵ a>0) 따라서 정삼각형의 높이는

_4=2'3(cm)

0

5

AE”를 그으면 ∠DEA=45˘, 즉 ∠AEB=90˘이므 로 AE”는 정삼각형 ABC의 높이이다. ∴ AE”= _8=4'3 정사각형 ADEF의 대각선의 길이가 4'3이므로 '2x=4'3 ∴ x=2'6

0

6

BE”=EC”=CF”=;2!;_4=2(cm) ∠GEC=∠GCE=60˘ '3 2 '3 2 '3 4 B A C O 10`cm D cm x 2 x`cm

(26)

FI”= _4'2=2'6(cm)

18

FN”=ND”=D’M”=MF”="√10¤ +5¤ =5'5(cm)이 므로 FNDM은 마름모이다. MN”=AC”=10'2 cm이고 FD”=10'3 cm이므로 FNDM=;2!;_MN”_FD” FNDM=;2!;_10'2_10'3=50'6(cm¤ )

19

정사면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면

a¤ =9'3, a¤ =36 ∴ a=6(∵ a>0)

따라서 정사면체의 부피는 _6‹ =18'2

20

A’M”, D’M”은 각각 한 변의 길이가 4 cm인 정삼각형 의 높이이므로 A’M”=D’M”= _4=2'3(cm) 꼭짓점 M에서 AD”에 내린 수 선의 발을 H라고 하면 △MAH에서 MH”="√(2'3)¤ -2¤ =2'2(cm) ∴ △MAD=;2!;_4_2'2=4'2(cm¤ )

21

주어진 전개도로 정사각뿔을 만들면 오른쪽 그림과 같으므로 AC”="√(6'2)¤ +(6'2)¤ AC”=12(cm) AH”=;2!;AC”=6(cm) △OAH에서 OH”="√9¤ -6¤ =3'5(cm) 따라서 정사각뿔의 부피는 ;3!;_(6'2)¤ _3'5=72'5(cm‹ )

22

MA”, NB”는 각각 한 변의 길이가 8 cm인 정삼각형의 높이이므로 MA”=NB”= _8=4'3(cm) △ODC에서 삼각형의 중점연결정리에 의해 '3 2 O A D B H C 6'2`cm 6'2`cm 9`cm '3 2 '2 12 '3 4 '3 2 M A D H 2'3`cm 2'3`cm 2`cm 2`cm

△ADE에서 AD” : AE”='3 : 2이므로 4 : AE”='3 : 2 ∴ AE”= cm △AEF에서 AE” : AF”='3 : 2이므로

: AF”='3 : 2 ∴ AF”=:¡3§: cm

12

AB”="√(-√3-3√)¤ +√(-2√-a)¤ =10이므로 36+a¤ +4a+4=100, a¤ +4a-60=0 (a+10)(a-6)=0 ∴ a=-10 (∵ a<0)

13

y=x¤ -2x+4=(x-1)¤ +3이므로 꼭짓점의 좌표는 (1, 3)이고, y=-3x¤ -6x+4=-3(x+1)¤ +7이므로 꼭짓점의 좌표는 (-1, 7)이다. 따라서 두 꼭짓점 사이의 거리는 "√{1-(-1)}¤ +(3-7≈)¤ =2'5

14

① AC”="√{0-(-4)}¤ +√(3-0)¤ =5 ② AB”="√{3-(-4)}¤ +√(-1-0)¤ =5'2 ③ BC”="√(0-3)¤ +{3-√(-1)}¤ =5이므로 AC”=BC” ④ AC”=5, AB”=5'2, BC”=5이므로 AC”=BC”, AB”¤ =AC”¤ +BC”¤

즉, △ABC는 ∠C=90˘인 직각이등변삼각형이다. ⑤ △ABC=;2!;_5¤ =:™2∞:

15

직육면체의 높이를 x cm라고 하면 AG”="√3¤ +3¤ +x¤ =3'6(cm) 18+x¤ =54, x¤ =36 ∴ x=6(∵ x>0) 따라서 직육면체의 높이는 6 cm이다.

16

정육면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 AG”='3a=4'3 ∴ a=4 ∴ C’M”=;2!;_4=2 따라서 △MGC에서 MG”="√4¤ +2¤ =2'5

17

AC”=AF”=FC”=4'2 cm이므로 △AFC는 정삼각 형이다. FI”는 정삼각형 AFC의 높이이므로 8'3 3 8'3 3

(27)

개념 BOOK 2p_8_ =2p_2 ∴ x˘=90˘ 따라서 구하는 최단 거리는 A’A'”의 길이이므로 A’A'”="√8¤ +8¤ =8'2(cm) 360˘ MN”=;2!;DC”=;2!;_8=4(cm) 즉, ABNM은 등변사다리꼴이다. 두 점 M, N에서 AB”에 내린 수선의 발을 각각 M', N'이라 하면 M'N'”=MN”=4 cm이므로 A’M'”=B’N'” A’M'”=;2!;_(8-4)=2(cm) 따라서 △MAM'에서 MM'”="√(4'3)¤ -2¤ =2'∂11(cm) ∴ ABNM=;2!;_(4+8)_2'∂11=12'∂11(cm¤ )

23

주어진 도형으로 만들어지는 입체도형은오른쪽그림과같다. △ABD에서 AD”="√5¤ -3¤ =4(cm) 따라서 구하는 입체도형의 부피는 (큰 원뿔의 부피)-(작은 원뿔의 부피) = _p_3¤ _4- _p_3¤ _1 =9p(cm‹ )

24

단면인 원의 반지름의 길이는 △OHP에서 HP”="√6¤ -3¤ =3'3(cm) 따라서 단면인 원의 넓이는 p_(3'3)¤ =27p(cm¤ )

25

전개도를 그리면 오른쪽 그림과 같다. 이때, 구하는 최단 거리는 A’H”의 길 이이므로 AH”="√6¤ +(5+4+5)¤ =2'∂58(cm)

26

전개도를 그리면 오른쪽 그림 과 같다. 부채꼴의 호의 길이 는 2p_2=4p(cm)이고, 부채꼴의 중심각의 크기를 x˘라고 하면 2`cm 8`cm 8`cm A P O A' x© A B F E D C G H 6`cm 5`cm 5`cm 4`cm 1 3 1 3 A B C D 5`cm 3`cm 1`cm A M N M' N' B 8`cm 4`cm 4`cm 4'3`cm 118~121쪽

대단원

EXERCISES

01x=12, y=6'3 0220 cm 032'∂14 cm 04055-2'5 06 074, 13 0890˘ 093 1048 cm¤ 118 cm 12 cm 13(4'3-4) cm 14(16+4'3 ) cm¤ 1572+72'3 16 17 18 17 cm 19 32'6 cm¤ 20 '∂19å4 cm21 pcm‹ 22 20'5 23 3'5 24 4'∂11 cm¤ 16'2 3 63 5

0

1

△DBC에서 x="√15¤ -9¤ =12 △ABD에서 y="√12¤ -6¤ =6'3

0

2

ABCD=144 cm¤ 이므로 BC”=AB”='∂14å4=12(cm) ECFG=16 cm¤ 이므로 CF”='1å6=4(cm) 따라서 △ABF에서 BF”=12+4=16(cm)이므로 AF”="√16¤ +12¤ =20(cm)

0

3

AG”의 연장선이 BC”와 만나는 점을 M이라고 하면 점 G가 △ABC의 무게중심이므로 A’M”=;2#;_3=;2(;(cm) 점 M은 직각삼각형 ABC의 외심이므로 A’M”=B’M”=C’M” ∴ BC”=2_;2(;=9(cm) 따라서 △ABC에서 AB”="√9¤ -5¤ =2'1å4(cm) A G M B C 5`cm 3`cm

수치

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참조

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