6 -6 ∠ABT=∠ATP=30˘

개념 CHECK 224쪽

AB”가 지름이므로 ∠ATB=90˘

따라서 직각삼각형 ATB에서 AB”=12 cm이므로

AT”=12sin30˘=12_;2!;=6(cm) BT”=12cos30˘=12_ =6'3(cm)

∴ △ATB=;2!;_6_6'3=18'3(cm¤ )

6

-7 ∠TAB=∠BTQ=∠PTD=∠DCT=40˘

따라서 △DTC에서

∠DTC=180˘-(60˘+40˘)=80˘

14555'32

B Q

A C

P x x 48©

유형

06

∠BCA=∠BAT=50˘

∴ ∠BOA=2∠BCA=2_50˘=100˘

△OAB는 OA”=OB”인 이등변삼각형이므로

∠x=;2!;_(180˘-100˘)=40˘

6

-1 DB”가 원 O의 지름이므로 ∠DCB=90˘

따라서 ∠ACD=90˘-50˘=40˘이므로

∠ABD=∠ACD=40˘

ATÍ가 원 O의 접선이므로 ∠ABC=∠SAC=70˘

∴ ∠x=70˘-40˘=30˘

6

-2 AC”를 그으면

∠DCA=∠DAT=50˘

∠ACB=∠ADB=35˘

∴ ∠x=50˘+35˘=85˘

6

-3 PA”=PB”이므로

∠PAB=∠PBA=;2!;_(180˘-40˘)=70˘

이때, PA≥는 원 O의 접선이므로

∠BCA=∠PAB ∴ ∠x=70˘

6

-4 △APB에서 PA”=PB”이므로

∠PAB=∠PBA=;2!;_(180˘-58˘)=61˘

∴ ∠CAB=180˘-(61˘+73˘)=46˘

이때, PE≥는 원 O의 접선이므로

∠CBE=∠CAB=46˘

T A

B D

35©

50©

30©

T A

O 6`cm

유형

07

원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 PB”=AB”-AP”=2r-3(cm) 이때, PA”_PB”=PC”_PD”이므로 3_(2r-3)=6_4 ∴ r=:¡2¡:

따라서 원 O의 반지름의 길이는 :¡2¡: cm이다.

7

-1 PB”=x라고 하면 PA”=PB”+2=x+2 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 (x+2)_x=3_8 x¤ +2x-24=0, (x-4)(x+6)=0

∴ x=4(∵ x>0)

∴ AB”=PA”+PB”=(4+2)+4=10

7

-2 OP”=x cm라고 하면

AP”=(4+x)cm, PB”=(4-x)cm AP” : BP”=3 : 1이므로 AP”=3BP”

4+x=3(4-x) ∴ x=2

∴ AP”=4+2=6(cm), PB”=4-2=2(cm) 한편, OB”⊥CD”이므로 PC”=PD”

8

-1 PB”¤ =PA”_PC”이므로 PB”¤ =4_(4+5)=36

∴ PB”=6 cm(∵ PB”>0)

∴ △PBA=;2!;_AP”_PB”_sin30˘

∴ △PBA=;2!;_4_6_;2!;=6(cm¤ )

8

-2 PA”¤ =PC”_PB”이므로 4¤ =2_(2+BC”) ∴ BC”=6 PA”가 원 O의 접선이므로 PA”⊥AB”

즉, △APB는 직각삼각형이고 AP”=4, PB”=2+6=8이므로 AB”="√8¤ -4¤ =4'3

따라서 원 O의 반지름의 길이는 2'3이므로 (원 O의 둘레의 길이)=2p_2'3=4'3p

8

-3 QA”_QB”=QC”_QT”이므로 QA”_4=2_6 ∴ QA”=3

또, PT”¤ =PA”_PB”이므로 PA”=x라고 하면 (7'2)¤ =x(x+7), x¤ +7x-98=0 (x-7)(x+14)=0 ∴ x=7(∵ x>0)

∴ PA”=7

8

-4 PT”¤ =PA”_PB”이므로 PT”¤ =3_(3+12)=45

∴ PT”=3'5 cm(∵ PT”>0)

△PTA와 △PBT에서

∠PTA=∠PBT, ∠P는 공통이므로

△PTAª△PBT(AA 닮음) 따라서 PA” : TA”=PT” : BT”이므로 3 : 4=3'5 : BT” ∴ BT”=4'5 cm

8

-5 ∠DAB=∠DBC이므로 BC”는 세 점 A, B, D를 지나는 원의 접선이고 점 B는 접점이다.

따라서 BC”¤ =CD”_CA”

이므로 8¤ =CD”_16

∴ CD”=4 cm

B A

C D 16`cm

8`cm

따라서 PA”_PB”=PC”_PD”=PC”¤ 이므로 6_2=PC”¤ ∴ PC”=2'3 cm(∵ PC”>0)

7

-3 PA”=x라고 하면 PB”=2x

PA”_PB”=PC”_PD”에서 x_2x=4_9 x¤ =18 ∴ x=3'2(∴ x>0)

∴ PB”=6'2

7

-4 PO”의 연장선과 원 O의 교점을 D라 하고, 원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

PC”=(7-r)cm, PD”=(7+r)cm 이때, PA”_PB”=PC”_PD”이므로 3_(3+5)=(7-r)_(7+r) r¤ =25 ∴ r=5(∵ r>0)

따라서 원 O의 반지름의 길이는 5 cm이다.

7

-5 △DPO가 직각삼각형이므로 PD”="√12¤ +5¤ =13

이때, PA”_PB”=PC”_PD”이므로 7_(7+10)=(13-CD”)_13 13CD”=50 ∴ CD”=;1%3);

7

-6 CA”_CD”=CB”_CE”이므로 9_2=BC”_(2+6) ∴ BC”=;4(;

7

-7 ABCD가 원에 내접하려면 PA”_PD”=PB”_PC”이어야 한다.

3_(3+5)=2_(2+x) 24=4+2x, 2x=20 ∴ x=10

A B C

P3`cm 5`cm r`cm 7`cm

유형

08

원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 PB”=(2r+3)cm

이때, PT”¤ =PA”_PB”이므로 6¤ =3(2r+3) ∴ r=;2(;

따라서 원 O의 반지름의 길이는 ;2(; cm이다.

개념BOOK BQ”¤ =3_(3+5)=24

∴ BQ”=2'6 cm(∵ BQ”>0)

실력 EXERCISES

01③ 0238˘ 0314˘ 04②

∴ ∠APB=∠AQB=25˘

02

BD”가 지름이므로 ∠BAD=90˘

∠ADB=∠ACB=52˘이므로

∠x=90˘-52˘=38˘

03

μAC에 대한 원주각의 크기가 같으므로 ∠ADC=∠x

△PCB에서 ∠BCD=∠x+40˘

△QCD에서 ∠QCD+∠QDC=68˘이므로 (∠x+40˘)+∠x=68˘ ∴ ∠x=14˘

04

△ACE에서

∠BAC=∠x+32˘

μAB=μBC=μCD이므로

∠BCA=∠CBD=∠BAC

한편, ∠ABD=∠ACD=∠x이므로

△BCE에서

(∠x+32˘+∠x)+(∠x+32˘+∠x)+32˘=180˘

4∠x+96˘=180˘ ∴ ∠x=21˘

05

BC”를 그으면 μCD의 길이가 원주의 ;1¡0;이므로

∠DBC=;1¡0;_180˘=18˘

μAB : μ CD=5 : 3이므로

∠ACB : ∠DBC=5 : 3

∴ ∠ACB=;3%;∠DBC

∴ ∠ACB=;3%;_18˘=30˘

따라서 △PBC에서 ∠x=18˘+30˘=48˘

06

AC”를 그으면

∴ ∠x+∠y=∠ABE+∠EBC+∠CDE

∴ ∠x+∠y=36˘+180˘=216˘

08

∠BCE=∠BDE=60˘이므로 △BCF에서

∠x=25˘+60˘=85˘

`ABDE가 원 O에 내접하므로

∠y+60˘=180˘ ∴ ∠y=120˘

∴ ∠x+∠y=85˘+120˘=205˘

09

① 100˘+∠BQP=180˘ ∴ ∠BQP=80˘

③ ∠PQC=∠PAB=100˘이므로

② 100˘+∠CDP=180˘ ∴ ∠CDP=80˘

④ ∠PAB+∠CDP=100˘+80˘=180˘이므로

② AB”∥DC”

⑤ ∠ABQ=∠DPQ이므로

② ∠DPQ+∠DCQ=180˘에서

② ∠ABQ+∠DCQ=180˘

10

μAB=μBC=4 : 3이고, ∠ABC=40˘이므로

∠BAC=(180˘-40˘)_ =60˘

이때, BT≥가 원의 접선이므로

∠CBT=∠BAC=60˘

11

AD”를 그으면 DT”가 원 O의 접선이므로

∠BAD=∠BDT=45˘

μAC : μ BD=1 : 3이므로

∠CDA : ∠BAD=1 : 3

∴ ∠CDA=;3!;∠BAD=15˘

△APD에서 ∠BPD=45˘-15˘=30˘

12

BT”를 그으면

∠ABT=∠ATT'=30˘이고

∠BTA=90˘이므로

∠BAT=180˘-(90˘+30˘)=60˘

∴ ∠BCT=∠BAT=60˘

BC”∥TT'Í이므로 ∠CTT'=∠BCT=60˘(엇각)

∠CTA=60˘-30˘=30˘

△PTA에서

∠x=∠APT=180˘-(30˘+60˘)=90˘

13

∠ABC=∠a,

∠ADE=∠BDE=∠b라고 하면 DA≥가 원의 접선이므로

∠CAD=∠ABC=∠a

△ABD에서

(40˘+∠a)+∠a+2∠b=180˘

∴ ∠a+∠b=70˘

△EBD에서 ∠x=∠a+∠b=70˘

14

PA”=x라고 하면 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 x_(x+11)=10_(10+8), x¤ +11x-180=0 (x+20)(x-9)=0 ∴ x=9(∵ x>0)

C D A E

F B

40©

a bb

a T 30©

60© 60©

T' P

A B

30©

x A

D T

C P

45©

15©

11554+33

∴ PA”=9

△PAC와 △PDB에서

∠PAC=∠PDB이고, ∠P는 공통이므로

△PACª△PDB(AA 닮음) 따라서 PC”:PB”=AC””:DB”이므로 10:(9+11)=AC””:14, 20AC”=140

∴ AC”=7

15

AB”가 작은 원에 접하므로 OP”⊥AB”

큰 원에서 OP”⊥AB”이므로 PA”=PB”

PA”_PB”=PC”_PD”에서 PA”¤ =3_8=24

∴ PA”=2'6(∵ PA”>0)

∴ AB”=2PA”=4'6

16

O"P”⊥CD”이므로 PC”=PD”=;2!;CD”=;2!;_12=6 두 원 O와 O'의 반지름의 길이를 각각 r, R라고 하면 PA”=2r, PB”=2R

원 O"에서 PA”_PB”=PC”_PD”이므로 2r_2R=6_6 ∴ rR=9

따라서 작은 두 원의 둘레의 길이의 곱은 2pr_2pR=4p¤ rR=36p¤

17

원 O'에서 PB”_PC”=PD”_PE”이므로 2PB”='2 PE” ∴ ='2 원 O에서 PB”_PA”=PE”_PF”이므로 PA”= _PF”='2_8'2=16

18

PT”가 원 O의 접선이므로

∠PTA=∠TBA=∠APT 따라서 AP”=AT”=5 cm이고 PT”¤ =PA”_PB”이므로

PT”¤ =5_(5+10)=75 ∴ PT”=5'3 cm

19

PT”¤ =4_(4+5)=36이므로 PT”=6 cm

△PAT와 △PTB에서

∠PAT=∠PTB, ∠P는 공통이므로

△PATª△PTB(AA 닮음) 따라서 PA” : AT”=PT” : TB”이므로 9 : AT”=6 : 3 ∴ AT”=;2(; cm

1255PE”

PB”

1255PE”

PB”

개념BOOK

20

원 O에서 PA”_PB”=PC”_PD”

원 O'에서 PT”¤ =PC”_PD”

따라서 PT”¤ =PA”_PB”이므로 PT”¤ =3_(3+6)=27

∴ PT”=3'3 cm

21

AB”=AC”이므로 ∠ABC=∠ACB QC”를 그으면

∠ABC=∠AQC(원주각) 따라서 ∠ACB=∠AQC이므로 AC”는 세 점 P, Q, C를 지나는 원의 접선이다.

따라서 AC” ¤` =AP”_AQ”이므로 12¤ =10_(10+PQ”) ∴ PQ”=:™5™:

P C Q A

B 12

10 O

244~247쪽

대단원 EXERCISES

01²⁴ 02⑤ 03③ 04^{40 cm¤}

059'3 cm¤ 06① 07 8 cm

0820-2'∂70 09^35˘ 10^110˘

11④ 12③ 13;2%; 14^{11 cm} 15 ^84˘ 16 ^{②, ③} 17 ^① 18 ^③ 19 70˘ 20 4 21 60˘ 22 ③ 23 ^{10 cm} 24 2'3 25 ^144p

01

OA”=OD”=15, OM”=15-6=9

직각삼각형 AOM에서 AM”="√15¤ -9¤ =12

∴ AB”=2AM”=24

02

MBHO에서 ∠BMO=∠BHO=90˘이므로

∠B=360˘-(90˘+125˘+90˘)=55˘

또, OM”=ON”에서 AB”=AC”

즉, △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠B=∠C=55˘

∴ ∠A=180˘-(55˘+55˘)=70˘

이때, 호의 길이는 중심각의 크기에 비례하므로 μAC :μ BC=55:70, 11:μ BC=55:70

∴ μ BC=14 cm

03

OT”를 그으면 OT”⊥TP”이다.

TP”=x라고 하면 직각삼각형 OTP에서 OT”="√15¤ -x¤

직각삼각형 HTP에서 TH”="√x¤ -10¤ `

직각삼각형 OTH에서 OT”¤ =OH”¤ +TH”¤ 이므로 15¤ -x¤ =5¤ +x¤ -10¤ , x¤ =150

∴ x=5'6 (∵ x>0)

∴ TP”=5'6

04

AC”+BD”=CD”=10(cm)이므로

`ABCD=;2!;_10_8=40(cm¤ )

05

PT”가 원 O의 접선이므로 OT”⊥PT”

△OTP가 직각삼각형이므로 원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

sin30˘= , ;2!;= ∴ r=6

OT”=OA”, ∠AOT=60˘이므로 △OTA는 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형이다.

∴ △OTA= _6¤ =9'3(cm¤ )

06

AC”="√17¤ -15¤ =8

원 O의 반지름의 길이를 r라 하고 점 O에서 AB”, BC”, CA”에 내린 수선의 발을 각각 D, E, F라고 하면 CE”=CF”=r

BD”=BE”=15-r AD”=AF”=8-r 이때, AB”=BD”+AD”

이므로

17=(15-r)+(8-r) ∴ r=3 따라서 원 O의 반지름의 길이는 3이다.

07

BD”=BE”=5 cm, CF”=CE”=7 cm

AD”=AF”=x cm라고 하면 △ABC의 둘레의 길이가 30 cm이므로

2_(5+7+x)=30 ∴ x=3

∴ AB”=AD”+BD”=3+5=8(cm)

O A

E C D

F B

15 r

5153'34

1153r+6r 1153r+6r

T 10

x 5 O H

08

점 O에서 BC”에 내린 수

∴ r=20-2'∂70 (∵ 0<r<5)

따라서 원 O'의 반지름의 길이는 20-2'∂70이다.

09

∠x=∠BAC=35˘

△DBC에서 ∠x+∠y=105˘이므로

∠y=105˘-35˘=70˘

∴ ∠y-∠x=70˘-35˘=35˘

10

^μAD=μ DE=μBE이므로

∴ ∠x+∠y=30˘+80˘=110˘

11

`BAC=μ``BPA+μARC^μ BAC=2μ PA+2μAR=2μPAR 즉, μ``BAC=2μ`PAR이므로

∠BQC=2∠PQR

∠BQC=2_65˘=130˘

`ABQC는 원에 내접하므로

∠BAC+∠BQC=180˘, ∠x+130˘=180˘

∴ ∠x=50˘

∴=(∠FAD+∠DAB) +∠BCD+∠FED

∴=180˘+180˘=360˘

13

두 원 O와 O'의 반지름의 길이를 각각 R, r라고 하자.

CD”의 연장선과 원 O'과의 교점 을 F라고 하면

BO”⊥DF”이므로 DO”=FO”

AO”_OE”=DO”¤ 에서

R(R-5)=(R-3)¤ ∴ R=9

또, AE”=AB”-5, 즉 2r=2R-5이므로 r=:¡2£:

∴ OO'”=R-r=9-:¡2£:=;2%;

14

∠PBQ=∠PDQ=90˘이므로 네 점 P, D, B, Q는 한 원 위에 있다.

따라서 CB”_CQ”=CD”_CP”이므로

4_(4+QB”)=5_(5+7) ∴ QB”=11 cm

15

BT”=BP”이므로 ∠BTP=∠BPT=32˘

TP”가 원의 접선이므로 ∠TAB=∠BTP=32˘

△BTP에서

∠ABT=∠BTP+∠BPT=32˘+32˘=64˘

∴ ∠x=180˘-(32˘+64˘)=84˘

16

PA”_PB”=PC”_PD”가 성립해야 한 원 위에 있다.

① 3_10=5_6

② 10_10+8_12

③ 2_(2+5)+4_(4+3)

④ 2_(2+7)=3_(3+3)

⑤ 3_(3+5)=4_(4+2)

O E

개념BOOK

따라서 △APT에서 ∠x=55˘-35˘=20˘

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