개념 CHECK 201쪽 - 숨마쿰라우데 중학수학 개념기본서3 2 해설

r r-8 12

M C

A B

개념 CHECK

201쪽

01 4'5 cm¤ 0218+6'3 03 ;;™2£;; 044p 05 72

02. 원의 접선

01

∠PTO=90˘이므로 △POT는 직각삼각형이다.

∴ PT”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)

∴ △POT=;2!;_2'5_4=4'5(cm¤ )

02

∠PAO=90˘이므로 △APO에서

PA”=6'3cos30˘=6'3_ =9

AO”=6'3sin30˘=6'3_;2!;=3'3 또한, PB”=PA”=9, BO”=AO”=3'3이므로

`APBO의 둘레의 길이는 9+9+3'3+3'3=18+6'3

03

AE”=;2!;_(AB”+BC”+AC”) AE=;2!;_(9+6+8)=:™2£:

04

원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 AB”=r+6, AC”=r+4

△ABC가 직각삼각형이므로 (r+6)¤ +(r+4)¤ =10¤

r¤ +10r-24=0, (r+12)(r-2)=0

∴ r=2 (∵ r>0)

따라서 원 O의 넓이는 p_2¤ =4p

05

CD”=8+8=16

∴ ( `ABCD의 둘레의 길이)

∴=AB”+BC”+CD”+AD”=2(AB”+CD”)

∴=2_(20+16)=72 251'32

202~205쪽

유형 EXERCISES

유형01 8 cm 1-1 4'5 1-2 5 1-3 ;;™3∞;; cm

유형02 ;;¡2£;; 2-1 2 cm 2-2 6'3 cm 유형03 3'2 3-1 9 3-2 12 cm¤

3-3 108p cm¤

유형04 69˘ 4-1 50˘ 4-2 60˘ 4-3 12p cm¤

유형05 50˘ 5-1 2'∂21 cm 5-2 ④ 유형06 5 cm 6-1 6 6-2 6'3

유형07 6 cm 7-1 16 cm 7-2 1 cm 7-3 60 유형08 2 8-1 4 8-2 2 8-3 ;;™2∞;; cm

개념BOOK

유형

01

직각삼각형 OAM에서 AM”="√5¤ -3¤ =4(cm) AB”⊥OM”이므로 AM”=BM”

∴ AB”=2AM”=2_4=8(cm)

1

-1 DN”=;2!; CD”=6이므로 직각삼각형 DON에서 OD”="√6¤ +3¤ =3'5

OA”=OD”=3'5이므로 직각삼각형 OAM에서 AM”="√(3'5)¤ -5¤ =2'5

∴ AB”=2AM”=2_2'5=4'5

1

-2 AB”⊥OD”이므로 AC”=BC”=4 원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면 OA”=r, OC”=r-2

직각삼각형 OAC에서 r¤ =4¤ +(r-2)¤

4r=20 ∴ r=5

따라서 원 O의 반지름의 길이는 5이다.

1

-3 AB”⊥OC”이므로

AM”=BM”=;2!; AB”=;2!;_16=8(cm) 직각삼각형 BCM에서

CM”="√10¤ -8¤ =6(cm) 이때, OA”=OC”=r cm라고 하면 OM”=OC”-CM”

OM”=r-6(cm) 직각삼각형 OMA에서 r¤ =(r-6)¤ +8¤

12r=100 ∴ r=:™3∞:

∴ OA”=:™3∞: cm

∴ r=:¡2£:

따라서 원의 반지름의 길이는 :¡2£:이다.

2

-1 원의 중심을 O라고 하면 OM”⊥AB”이므로 AM”=BM”=;2!;AB”

AM”=;2!;_12=6(cm) 직각삼각형 OMA에서 OM”="√10¤ -6¤ =8(cm)

∴ CM”=OC”-OM”=10-8=2(cm)

2

-2 원의 중심 O에서 AB”에 내린 수 선의 발을 M, OM”의 연장선이 호 AB와 만나는 점을 C라고 하면 원의 반지름의 길이가 6 cm이므로

OA”=OC”=6 cm 이때, OM”=CM”이므로 OM”=;2!; OC”=;2!;_6=3(cm) 직각삼각형 OAM에서 AM”="√6¤ -3¤ =3'3(cm) AB”⊥OC”이므로 AM”=BM”

∴ AB”=2 AM”=6'3(cm)

A B

C O M

A B

O M 10`cm 12`cm

유형

02

원의 반지름의 길이를 r라고 하면 OM”=OC”-CM”=r-4 직각삼각형 OMA에서 OA”¤ =AM”¤ +OM”¤ 이므로 r¤ =6¤ +(r-4)¤ , 8r=52

O 6

r r-4

A M B

C 4

유형

03

OM”=ON”=3이므로 CD”=AB”=6 이때, ON”⊥CD”이므로 CN”=DN”=3

따라서 직각삼각형 OCN에서 x="√3¤ +3¤ =3'2

3

-1 AM”=BM”이므로 x=3

OM”=ON””이므로 CD”=AB”=6 cm ∴ y=6

∴ x+y=3+6=9

3

-2 원의 중심 O에서 CD”에 내린 수선의 발을 N이라고 하면 AB”=CD”이므로 ON”=OM”=3 cm

B C

D M

N O 3`cm 5`cm

직각삼각형 OCN에서 CN”="√5¤ -3¤ =4(cm) 즉, CD”=2CN”=8(cm)이므로

△OCD=;2!;_8_3=12(cm¤ )

3

-3 OE”=OF”이므로 AB”=CD””=18(cm)

∴ EB”=;2!; AB”=9(cm) 따라서 직각삼각형 OBE에서

OB”= =9_ =6'3(cm)

∴ (원 O의 넓이)=p_(6'3)¤ =108p(cm¤ ) 1522

'3 1113cos30˘9

원의 중심 O는 △ABC의 무게중심이므로 AO”=3'3_;3@;=2'3(cm)

유형

04

OM”=ON”이므로 AB”=AC”이다. 따라서 △ABC는 이등 변삼각형이므로

∠x=;2!;_(180˘-42˘)=69˘

4

-1 `MBHO에서

∠B=360˘-(90˘+90˘+115˘)=65˘

한편, OM”=ON”에서 AB”=AC”, 즉 △ABC는 이등변삼각형이므로 ∠C=∠B=65˘

∴ ∠x=180˘-65˘_2=50˘

4

-2 OL”=OM”=ON”이므로 AB”=BC”=CA”

따라서 △ABC는 정삼각형이므로 ∠x=60˘

4

-3 OD”=OE”=OF”이므로 BC”=CA”=AB”=6 cm 즉, △ABC는 정삼각형이므로 ∠CAB=60˘

∴ ∠OAF=;2!;_60=30˘

AF”=;2!;AB”=3(cm)이고, 직각삼각형 AFO에서

AO”= =3_ =2'3

따라서 구하는 원 O의 넓이는 p_(2'3)¤ =12p(cm¤ )

■ 다른 풀이 ■

△ABC는 정삼각형이므로 AD”=125'32 _6=3'3(cm)

1522 '3 1113cos30˘AF”

유형

05

PA”=PB”이므로 △APB는 이등변삼각형이다.

∴ ∠PBA=∠PAB=65˘

∴ ∠x=180˘-(65˘+65˘)=50˘

5

-1 OQ”=AO”=4 cm

∠PAO=90˘이므로 △APO는 직각삼각형이다.

∴ PA”="√(6+4)¤ -4¤ ='∂84=2'∂21(cm)

5

-2 △PAO와 △PBO에서

PO”는 공통, PA”, PB”는 원 O의 접선이므로

∠PAO=∠PBO=90˘, OA”=OB”

∴ △PAO™△PBO (RHS 합동)

△PAO에서 ∠APO=30˘, AO”=BO”=3 cm 이므로

④ PA”= =3_ =3'3(cm)

⑤ PO”= 3 =3_2=6(cm) 1113sin30˘

1523 '3 1113tan30˘3

유형

06

(△ABC의 둘레의 길이)=2AD”이므로 7+BC”+6=2_9 ∴ BC”=5 cm

6

-1 AB”=AE”, DC”=DE”이므로 AD”=4+9=13

점 A에서 DC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AH”=BC”이 고, DH”=9-4=5이므로 BC”=AH”="√13¤ -5¤ =12

따라서 반원 O의 반지름의 길이는 ;2!;_12=6이다.

6

-2 OM”⊥AB”이므로 직각삼각형 OAM에서 AM”="√6¤ -3¤ =3'3

∴ AB”=2AM”=2_3'3=6'3

B O

9 4

H C A

개념BOOK

∴ DE”=12-4=8 점 C에서 AD”에 내린 수선 의 발을 I라 하고

GC”=x라고 하면 직각삼각형 CDI에서

DI”=8-x, CD”=x+8이므로

(x+8)¤ =8¤ +(8-x)¤ , 32x=64 ∴ x=2 이때, BC”=CQ”+BQ”이므로 6=(8-x)+(10-x)

∴ AC”=AF”+CF”

∴ AC”=10+6=16(cm)

7

-2 직각삼각형 ABC에서 AB”="√5¤ -4¤ =3(cm) 원 O의 반지름의 길이를 r cm라고 하면 BD”=BE”=r cm CF”=CE”=(4-r)cm AF”=AD”=(3-r)cm 이때, AC”=AF”+CF””이므로 5=(3-r)+(4-r) ∴ r=1 따라서 원 O의 반지름의 길이는 1 cm이다.

7

-3 BF”=x라고 하면 직각삼각형 ABC에서 17¤ =(x+3)¤ +(20-x)¤

x¤ -17x+60=0 (x-5)(x-12)=0

∴ x=5 또는 x=12

∴ △ABC=;2!;_8_15=60

실력 EXERCISES

01② 02① 0332 cm¤ 04⑤ 056'3 06⑤ 076 cm 08④ 094'3-;3$;p102 cm 11 ② 12 16 cm

13 3 cm 14 ⑤ 154p 162 cm

17③ 182'6 cm 19;2#; cm

01

BH”=;2!;AB”=4(cm)

직각삼각형 OHB에서 OH”="√6¤ -4¤ =2'5(cm)

02

AM”=BM”=;2!;AB”=12

직각삼각형 AOM에서 OA”="√12¤ +5¤ =13 이때, OC”=OA”=13이므로 CM”=8 직각삼각형 BCM에서 BC’”="√12¤ +8¤ =4'∂13

03

원의 중심을 O라 하면 직각삼각형 OAH에서 AH”="√10¤ -6¤ =8 따라서 AB”=2AH”=16(cm) 이므로

△APB=;2!;_16_4=32(cm¤ )

04

직각삼각형 OMA에서 AM”="√6¤ -3¤ =3'3(cm)

∴ AB”=2AM”=6'3(cm)

이때, OM”=ON”이므로 CD”=AB”=6'3 cm

05

원의 중심 O에서 CD”에 내린 수선의 발을 M이라고 하면 CM”=;2!; CD”=9

OC”=6'3이므로 직각삼각형 OMC에서

OM”="√(6'3)¤ -9¤ =3'3

이때, AB”∥CD”이고 원의 중심 O에서 AB”, CD”까지의 거리는 같으므로 두 현 사이의 거리는 6'3이다.

06

OD”=OE”이므로 BC”=AC”이고∠B=∠A=55˘

△ABC에서 ∠x=180˘-2_55˘=70˘

07

ADOE에서

∠EAD=360˘-(90˘+120˘+90˘)=60˘

OD”=OE”이므로 AB”=AC”

∴ ∠B=∠C=;2!;_(180˘-60˘)=60˘

따라서 △ABC는 정삼각형이므로 BC”=AB”=2AD”=6(cm)

08

PBØ가 원 O의 접선이므로 OB”⊥PB”

즉, ∠OBP=90˘이므로

∠ABP=90˘-24˘=66˘

이때, PB”=PA”이므로 △ABP는 이등변삼각형이다.

∴ ∠x=180˘-2_66˘=48˘

O A

B D

M 9 6'3 C O 10`cm 6`cm

A H B

P 4`cm

09

∠OTP=∠OT'P=90˘이므로

∠T'OT=360˘-(90˘+60˘+90˘)=120˘

이때, ∠T'OP=;2!;∠T'OT=60˘이므로 OT'”=4cos60˘=4_;2!;=2

T'P”=4sin60˘=4_ =2'3

∴ (색칠한 부분의 넓이)

∴= `OTPT'-(부채꼴 T'OT의 넓이)

∴=2_{;2!;_2'3_2}-p_2¤ _;3!6@0);

∴=4'3-;3$;p

10

원의 외부의 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같 으므로

PA”=PB”, CA”=CE”, DB”=DE”

∴ PA”+PB”=(PC”+CA”)+(PD”+DB”)

=PC”+CE”+PD”+DE”

=PC”+PD”+CD”

=7+8+5=20(cm) 따라서 PB”=;2!;_20=10(cm)이므로 DB”=10-8=2(cm)

11

BC”=x라 하고 점 D에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 BH”=AD”=4이므로 CH”=x-4

CD”=DE”+CE”

CD”=AD”+BC”=4+x

직각삼각형 CDH에서 DH”=AB”=12이므로 (4+x)¤ =12¤ +(x-4)¤ , 16x=144

∴ x=9

따라서 BC”의 길이는 9이다.

12

큰 원과 작은 원의 반지름의 길이를 각각 R cm, r cm 라고 하면 색칠한 부분의 넓이는 64p cm¤ 이므로 pR¤ -pr¤ =64p ∴ R¤ -r¤ =64

한편, 직각삼각형 OTB에서

BT”=

"√

^OB”¤

√

^-OT”¤ ="√R¤ -r¤ =8

ç

∴ AB”=2BT”=16(cm)

A 12

C E

B D H

125'32

개념BOOK

13

직각삼각형 ABC에서 AC”="√12¤ +5¤ =13(cm) AD”

EC”=FC”=12-a, AD”=AF”=10-a 이때, AC”=AF”+FC”이므로

(10-a)+(12-a)=6 ∴ a=8

△BOD는 직각삼각형이므로 BO”="√8¤ +3¤ ='∂73

15

원 O의 반지름의 길이를 r라고 하면

CF”=CE”=r, AD”=AF”=6, BD”=BE”=4이므로

AC”=r+6, BC”=r+4

직각삼각형 ABC에서 (r+6)¤ +(r+4)¤ =10¤ 이므로 r¤ +10r-24=0, (r+12)(r-2)=0

∴ r=2(∵ r>0)

따라서 원 O의 넓이는 p_2¤ =4p

16

BR”=BQ”=3 cm, CS”=CR”=8-3=5(cm)

∴ PD”=DS”=7-5=2(cm)

17

DS”=4 cm이므로 DR”=4 cm

ER”=EQ”=x cm라고 하면 EC”=(4-x)cm, DE”=(4+x)cm

2`cm 4`cm 2`cm

12`cm 13`cm

5`cm

EC”=4-1=3(cm), DC”=4 cm이므로

△DEC=;2!;_3_4=6(cm¤ )

18

점 O'에서 OA”에 내린

O'H”="√10¤ -2¤ =4'6(cm) 한편 PA”=PT”=PB”이므로 PT”=;2!;AB”=;2!;O'H”=2'6(cm)

01

∠AOB=2∠ACB=2_50˘=100˘

△OAB에서 OA”=OB”이므로

∠OAB=∠OBA=;2!;_(180˘-100˘)=40˘

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