1 대푯값과 산포도

1

대푯값과 산포도

대푯값 ~ 산포도

01① 02① 03② 04②

05⑴ 최빈값 ⑵ 축구 06도보

07평균：13.75분, 중앙값：15분, 최빈값：5분 08⑤ 09^-2 10^{41 kg} 11100점 1223회 13⁸ 14③ 1578점 16⁸⁵ 17⁸

18x=-9, 학생 C의 몸무게：59 kg 19⁷ 20④

21⁴ 22① 23④ 24⑴ 14점 ⑵ '2점

25'∂6.4시간 26'∂1.4시간 2750개 28A=9, B=4000, C=12000

29분산：400, 표준편차：20개 30⑴ 75점 ⑵ :¢;3$;º:

31③ 32³⁶ 33^-3 34신우 35㉣, ㉤ 36^A 37③ 38^B 39평균：18점, 분산：8.8 40^2.6 41'6점 42평균：12, 분산：2

43평균：24, 표준편차：15 44⑤ 45평균：76점, 표준편차：2점

p. 6~12

0 1

^{(평균)= =7.4(시간)}

작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9이므로

(중앙값)= =7.5(시간), (최빈값)=8(시간) 따라서 A=7.4, B=7.5, C=8이므로 A<B<C

0 2

^{(평균)= =8}

작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 5, 5, 8, 9, 9, 9, 11이므로

(중앙값)=9, (최빈값)=9 따라서 a=8, b=9, c=9이므로 a+b+c=26

0 3

팔굽혀펴기 횟수에서 작은 값에서부터 크기순으로 10번째인 수는 15, 11번째인 수는 16이므로

(중앙값)= =15.5(회) ∴ a=15.5

17회를 한 학생이 4명으로 가장 많으므로 최빈값은 17회이다.

∴ b=17

∴ a+b=15.5+17=32.5 15+16

2

8+5+9+11+9+5+9 7

7+8 2

9+7+8+7+8+8+6+6+7+8 10

04

자료 12, 15, 17, 21, 27, 148에서 자료의 값이 모두 다르므로 최 빈값은 없다.

또한 이 자료에 극단적인 값 148이 있어 평균은 그 값에 영향을 받 으므로 대푯값으로 적당하지 않다.

따라서 중앙값이 대푯값으로 적당하다.

05

⑴ 자료가 숫자로 주어지지 않은 경우에는 최빈값을 대푯값으로 이용하는 것이 적절하다.

⑵ 스티커가 가장 많이 붙은 운동은 축구이므로 이 자료의 최빈값 은 축구이다.

06

조사 결과를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 가장 많이 이용하는 등교 방법은 도보이다.

07

^(평균)=

(평균)

=:∞4∞0º:=13.75(분)

크기순으로 20번째, 21번째인 값은 모두 10분 이상 20분 미만인 계급에 속하므로 중앙값은 이 계급의 계급값인 15분이다.

또한 도수가 가장 큰 계급은 0분 이상 10분 미만이므로 최빈값은 이 계급의 계급값인 5분이다.

08

^{(평균)= =49.5 (kg)}

크기순으로 10번째, 11번째인 값은 모두 40 kg 이상 50 kg 미만 인 계급에 속하므로 중앙값은 이 계급의 계급값인 45 kg이다.

또한 도수가 가장 큰 계급은 40 kg 이상 50 kg 미만이므로 최빈 값은 이 계급의 계급값인 45 kg이다.

∴ a=49.5, b=45, c=45

∴ a+b+c=139.5

09

4+x+10+y=20 ∴ x+y=6 yy㉠

도수분포표에서 (평균)= 이므로

=4.4

∴ 3x+7y=34 yy㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=4

∴ x-y=-2

10

학생 C의 몸무게를 x kg이라 하면

=50 ∴ x=41 (kg) 43+58+x+52+56

5

1_4+3_x+5_10+7_y 20

{(계급값)_(도수)}의 총합 (도수)의 총합 35_1+45_11+55_6+65_2

20

5_18+15_14+25_5+35_2+45_0+55_1 40

등교 방법 1.도보 2.버스 3.자전거 4. 자가용 합계

7 5 4 4 20

학생 수`(명)

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11

5회까지의 평균은 4회까지의 평균보다 4점이 올랐으므로 84점이 된다.

이때 5회의 성적을 x점이라 하면

=84

320+x=420 ∴ x=100(점)

12

학생 10명의 윗몸일으키기의 평균이 22회이므로 총 횟수는 10_22=220(회)

그런데 한 학생의 횟수를 20회에서 10회로 잘못 기록했으므로 올바른 총 횟수는 220+10=230(회)

따라서 학생 10명의 실제 평균은 :™1£0º:=23(회)

13

자료의 개수가 6개이므로 중앙값은 3번째 수인 x와 4번째 수인 10의 평균이다. 즉

=9 ∴ x=8

14

^{평균이 7권이므로}

=7 ∴ x=6 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면

4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10이므로 (중앙값)= =6.5(권)

15

학생 수가 8명으로 짝수이므로 중앙값은 한가운데 놓이는 두 값, 즉 4번째와 5번째 점수의 평균이다.

4번째 학생의 점수를 x점이라 하면

=80 ∴ x=76(점)

이때 새로 들어온 학생의 점수 78점은 기존의 4번째(76점)와 5번 째(84점) 사이에 들어가게 되고 그것이 새로운 9명의 중앙값이 된 다. 따라서 구하는 중앙값은 78점이다.

16

^{(평균)= = (점)}

주어진 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값을 가지려면 x는 87, 77, 85, 91 중 하나이다.

이때 최빈값은 x점이고 평균과 최빈값이 같으므로

=x ∴ x=85 340+x

5

340+x 5 87+x+77+85+91

5 x+84

2

6+7 2

10+9+x+5+7+6+6+4+9+8 10

x+10 2 80_4+x

5

17

^{최빈값이 9이므로}

(평균)= =9

64+x=72 ∴ x=8

18

편차의 총합은 0이므로

-4+8+x+10+(-4)+(-1)=0 ∴ x=-9 (편차)=(변량)-(평균)이므로

-9=(학생 C의 몸무게)-68

∴ (학생 C의 몸무게)=59 (kg)

19

편차의 총합은 0이므로

-2+3+x+(-15)+7+y=0

∴ x+y=7

20

편차의 총합은 0이므로

-8+3+(-16)+(-14)+x+20+13=0 -2+x=0 ∴ x=2

(편차)=(변량)-(평균)이므로 2=(금요일에 온 손님 수)-70

∴ (금요일에 온 손님 수)=72(명)

21

^{(평균)= =7(시간)이므로}

∴ (분산)=

∴ (분산)

=:™5º:=4

22

^(분산)= =:™5§:=5.2

∴ (표준편차)='∂5.2(회)

23

^{(평균)= =67}

(분산)= =2.5

(표준편차)='∂2.5

24

⑴ 유라의 편차를 x점이라 하면 편차의 총합은 0이므로 2+0+1+(-2)+x=0 ∴ x=-1 따라서 유라의 성적은

15+(-1)=14(점)

⑵ (분산)= =:¡5º:=2

∴ (표준편차)='2(점)

2¤ +0¤ +1¤ +(-2)¤ +(-1)¤

5

(68-67)¤ +(66-67)¤ +(69-67)¤ +(65-67)¤

4 68+66+69+65

4

(-2)¤ +3¤ +2¤ +0¤ +(-3)¤

5

(10-7)¤ +(6-7)¤ +(7-7)¤ +(8-7)¤ +(4-7)¤

5 10+6+7+8+4

5

12+9+x+9+7+9+8+10 8

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25

(평균)=:¡2•0º:=9(시간), (분산)=:¡2™0•:=6.4

∴ (표준편차)='6∂.4(시간)

26

^(평균)= =;1%0);=5(시간)

이때 편차가 차례로 -2, -1, 0, 1, 2이므로 (분산)=

(분산)

=;1!0$;=1.4

∴ (표준편차)='ƒ1.4(시간)

27

(평균)= =50(개)

29

^{(분산)= =400}, (표준편차)='∂400=20(개)

30

히스토그램을 보고 도수분포표로 정리하면 다음과 같다.

⑴ (평균)= =75(점)

⑵ (분산)= =440 3 2200

15 1125

15 12000

30 1500

30

(-2)¤ _1+(-1)¤ _3+0¤ _2+1¤ _3+2¤ _1 10

3_1+4_3+5_2+6_3+7_1 10

아이스크림의 개수`(개) 도수`(일) 계급값(개) (계급값)_(도수) (편차)¤ _(도수)

합계 30 1500 C=12000

00^이상 ~ 020^미만 1 10 10 1600

20^이상 ~ 040^이상 10 30 300 B=4000

40^이상 ~ 060^이상 A=9 50 450 0

60^이상 ~ 080^이상 8 70 560 3200

80^이상 ~ 100^이상 2 90 180 3200

독서 시간`(시간) 학생 수`(명) 계급값(시간) (계급값)_(도수) (편차)¤ _(도수)

합계 20 180 128

04^이상~ 06^미만 3 5 15 (-4)¤ _3=48

06^이상~ 08^이상 4 7 28 (-2)¤ _4=16

08^이상~ 10^이상 6 9 54 0¤ _6=0

10^이상~ 12^이상 4 11 44 2¤ _4=16

12^이상~ 14^이상 3 13 39 4¤ _3=48

31

^{평균이 7이므로}

=7 ∴ x+y=13 yy㉠ 각각의 편차가 -3, x-7, 1, y-7, 3이고 분산이 4.2이므로

=4.2

x¤ +y¤ -14(x+y)+117=21 yy㉡

㉡에 ㉠을 대입하면 x¤ +y¤ -14_13+117=21

∴ x¤ +y¤ =86

32

네 수 a, b, c, d의 평균이 10이고 표준편차가 3이므로

=3¤

∴ (a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤ =36

33

편차의 총합은 0이므로 -3+1+x+0+y=0

∴ x+y=2 yy`㉠ 2점

(분산)= =2¤

∴ x¤ +y¤ =10 yy`㉡ ^2점

이때 (x+y)¤ =x¤ +y¤ +2xy이므로

㉠, ㉡을 대입하면 2¤ =10+2xy

∴ xy=-3 2점

34

^{‘불규칙하다.’}라는 뜻은‘고르지 않다.’라는 말과 같고 표준편차가 큰 경우를 말하므로 가장 큰 표준편차를 갖는‘신우’가 공부 시간 이 가장 불규칙적인 사람이다.

35

평균으로 성적의 우수함을 판단할 수 있는데 A, B 두 반의 평균이 서로 같으므로 어느 반이 더 우수하다고 할 수 없다.

표준편차는 자료가 평균으로부터 얼마나 흩어져 있는가를 나타내 는 산포도 중 하나이며 그 값이 클수록 평균으로부터 멀리 떨어져 있고, 성적이 고르지 않다는 것을 의미한다. B반의 표준편차(5.3 점)가 A반의 표준편차(4.1점)보다 크므로 B반이 A반보다 성적이 고르지 않다고 말할 수 있다.

따라서 옳은 것은 ㉣, ㉤이다.

36

^{A：(평균)= =7(점)}

(분산)=

(분산)

=11.6

(2-7)¤ +(5-7)¤ +(7-7)¤ +(9-7)¤ +(12-7)¤

5 2+5+7+9+12

5

(-3)¤ +1¤ +x¤ +0¤ +y¤

5

(a-10)¤ +(b-10)¤ +(c-10)¤ +(d-10)¤

4

(-3)¤ +(x-7)¤ +1¤ +(y-7)¤ +3¤

5 4+x+8+y+10

5

채점 기준 배점

편차의 총합이 0임을 이용하여 x+y의 값 구하기 분산을 이용하여 x¤ +y¤ 의 값 구하기 xy의 값 구하기

2`점 2`점 2`점

계급값`(점) 도수`(명) (계급값)_(도수) 편차(점) (편차)¤ _(도수)

55 2 110 -20 (-20)¤ _2=800

65 3 195 -10 (-10)¤ _3=300

75 5 375 0 0¤ _5=0

85 3 255 10 10¤ _3=300

95 2 190 20 20¤ _2=800

합계 15 1125 2200

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B：(평균)= =7(점) (분산)=

(분산)

=7.2

분산이 클수록 자료가 평균을 중심으로 흩어져 있는 정도가 더 심 하므로 구하는 사람은 A이다.

37

대칭축의 점선은 평균을 의미한다. A반의 점선(대칭축)이 B반의 점선보다 왼쪽에 있으므로 A반의 사용 시간이 B반의 사용 시간 보다 더 짧음을 의미한다. 또한 그 점선으로부터 흩어져 있는 정도 가 A반이 B반보다 심하므로 A반의 분포가 B반의 분포보다 고르 지 않다라고 말할 수 있다.

38

3명의 사격 결과는 다음과 같다.

A：1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 9, 9, 9 B：3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7 C：1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9

평균이 모두 5이므로 5와 가장 가까운 숫자에 많이 사격한 사람이 표준편차가 가장 작다.

따라서 B선수의 표준편차가 가장 작다는 사실을 알 수 있다.

39

^(평균)= =:£2§0º:=18(점)

전체 평균이 각 모둠의 평균과 같으므로 편차 역시 모둠별로 구한 편차와 같다.

또 (분산)= 에서

{(편차)¤ 의 총합}={(도수)의 총합}_(분산) 즉 {A모둠의 (편차)¤ 의 합}=8_16=128,

즉

{B모둠의 (편차)¤ 의 합}=12_4=48

이므로 전체 20명의 (편차)¤ 의 합은 128+48=176

∴ (분산)=:¡2¶0§:=8.8

40

A반 30명과 B반 20명의 평균이 같으므로 전체 학생 50명의 평균 도 같다. 즉 편차 역시 반별로 구한 편차와 같다.

이때 {A반의 (편차)¤ 의 합}=30_3=90, {B반의 (편차)¤ 의 합}=20_2=40

이므로 전체 학생 50명의 (편차)¤ 의 합은 90+40=130

∴ (분산)=;;¡5£0º;;=2.6

41

남학생 4명과 여학생 6명의 평균이 같으므로 전체 10명의 평균도 같다. 즉 편차 역시 남학생과 여학생별로 구한 편차와 같다.

{남학생 4명의 (편차)¤ 의 합}=4_3=12, {여학생 6명의 (편차)¤ 의 합}=6_8=48

이므로 전체 학생 10명의 (편차)¤ 의 합은 12+48=60

∴ (분산)=;1^0);=6 ∴ (표준편차)='6(점) (편차)¤ 의 총합

(도수)의 총합 18_8+18_12

8+12

(4-7)¤ +(4-7)¤ +(8-7)¤ +(8-7)¤ +(11-7)¤

5 4+4+8+8+11

5

42

변량 x¡, x™, x£, x¢, x∞의 평균이 10, 분산이 2이므로

=10

=2 x¡+2, x™+2, x£+2, x¢+2, x∞+2에서

(평균)=

(평균)

=

(평균)

=10+2=12 (분산)=

(분산)

= =2

43

변량 a, b, c, d의 평균이 8이고 표준편차가 5이므로

=8

=5¤ =25 3a, 3b, 3c, 3d에서

(평균)= = =3_8=24

(분산)=

(분산)

=

(분산)

=9_25=225 (표준편차)='∂225=15

44

변량 a, b, c, d, e의 평균이 7이고 표준편차가 3이므로

=7

=3¤ =9 3a+2, 3b+2, 3c+2, 3d+2, 3e+2에서

(평균)=

(평균)

= =3_7+2=23

∴ (분산)=

∴ (분산)

=

∴ (분산)

=9_9=81

9{(a-7)¤ +(b-7)¤ +(c-7)¤ +(d-7)¤ +(e-7)¤ } 5

(3a-21)¤ +(3b-21)¤ +(3c-21)¤ +(3d-21)¤ +(3e-21)¤

5 3(a+b+c+d+e)+10

5

(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)+(3d+2)+(3e+2) 5

(a-7)¤ +(b-7)¤ +(c-7)¤ +(d-7)¤ +(e-7)¤

5 a+b+c+d+e

5

9{(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤ } 4

(3a-24)¤ +(3b-24)¤ +(3c-24)¤ +(3d-24)¤

4

3(a+b+c+d) 4 3a+3b+3c+3d

4

(a-8)¤ +(b-8)¤ +(c-8)¤ +(d-8)¤

4 a+b+c+d

4

(x¡-10)¤ +(x™-10)¤ +y+(x∞-10)¤

5

{(x¡+2)-12}¤ +{(x™+2)-12}¤ +y+{(x∞+2)-12}¤

5 (x¡+x™+x£+x¢+x∞)+10

5

(x¡+2)+(x™+2)+(x£+2)+(x¢+2)+(x∞+2) 5

(x¡-10)¤ +(x™-10)¤ +(x£-10)¤ +(x¢-10)¤ +(x∞-10)¤

5 x¡+x™+x£+x¢+x∞

5

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0 2

^(평균)=

(평균)=

=64

크기순으로 15번째, 16번째인 값은 모두 50 이상 70 미만인 계급 에 속하므로 중앙값은 이 계급의 계급값인 60이다.

또한 도수가 가장 큰 계급은 50 이상 70 미만이므로 최빈값은 이 계급의 계급값인 60이다.

0 3

^=5이므로

2a+4, 2b+4, 2c+4, 2d+4에서 (평균)=

= =2_5+4=14

0 4

^{=4에서 a+b=9 yy`㉠}

a-b=-5이므로 ㉠과 연립하여 풀면 a=2, b=7 이때 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이므로 중앙값은 4번째 값인 4이다.

0 5

㉠`에서 15가 작은 값에서부터 크기순으로 3번째에 있어야 하므로 aæ15

㉡`에서 20과 28이 작은 값에서부터 크기순으로 2번째, 3번째에 있어야 하므로 a…20

㉠, ㉡`에서 15…a…20 6+5+a+3+1+b+4

7

2(a+b+c+d)+16 4

(2a+4)+(2b+4)+(2c+4)+(2d+4) 4

a+b+c+d 4

1920 30

20_2+40_6+60_10+80_8+100_4 30

01③ 02평균：64, 중앙값：60, 최빈값：60 03⑤

04④ 05④ 06②

07편차：-6 cm, 경은이의 키：162 cm 08²¹ 09① 10③ 11평균：75점, 분산：108 12¹⁴

13⑴ 풀이 참조 ⑵ 분산：124, 표준편차：2'3å1분 14평균：9, 표준편차：4

p. 13~14

06

^{(평균)= = (회)}

주어진 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값을 가지려면 x는 40, 34, 26, 36 중 하나이다.

이때 최빈값은 x회이고 평균과 최빈값이 같으므로

=x ∴ x=34

07

경은이의 키의 편차를 x cm라 하면 편차의 총합이 0이므로 4+x+(-2)+3+1=0 ∴ x=-6

∴ (경은이의 키)=168+(-6)=162 (cm)

08

=4에서 a+b=10 yy`㉠

=5에서

a¤ +b¤ -8(a+b)+42=20 yy`㉡

㉡`에 ㉠`을 대입하면 a¤ +b¤ -8_10+42=20

∴ a¤ +b¤ =58

이때 (a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab이므로 10¤ =58+2ab ∴ ab=21

09

①`~`⑤의 평균은 모두 4로 같다.

①`~`⑤의 표준편차를 각각 구해 찾아도 되지만 표준편차가 가장 크다는 것은 자료가 평균으로부터의 흩어진 정도가 가장 심한 것 을 말하므로 편차가 가장 큰 것을 찾으면 된다.

따라서 표준편차가 가장 큰 것은 ①이다.

10

①, ②, ④, ⑤ 평균과 표준편차만으로는 수학 점수가 가장 높은 학 생이 있는 반이나 각 반의 학생 수 또는 몇 점 이상, 몇 점 이하 의 학생이 몇 명인지 알 수 없다.

③ 5반의 표준편차가 1반의 표준편차보다 작으므로 1반보다 5반 의 성적이 더 고르다.

11

^{(평균)= =75(점)}

전체 평균이 각 반의 평균과 같으므로 편차 역시 반별로 구한 편차 와 같다.

이때 {A반의 (편차)¤ 의 합}=30_100=3000, {B반의 (편차)¤ 의 합}=20_120=2400

이므로 전체 학생 50명의 (편차)¤ 의 합은 3000+2400=5400

∴ (분산)= =108

12

^{(평균)= =;1$0);=4}

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 1, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 7이므로

(중앙값)= =4, (최빈값)=6 `6점

따라서 a=4, b=4, c=6이므로 a+b+c=14 `2점

3+5 2

2+6+3+5+1+7+6+3+1+6 10

5400 50

75_30+75_20 50

(1-4)¤ +(5-4)¤ +(a-4)¤ +(b-4)¤

4 1+5+a+b

4 136+x

5

136+x 5 40+34+26+36+x

45

학생 A, B, C, D, E의 수학 성적을 각각 a점, b점, c점, d점, e점 5 이라 하자. 이때 수학 성적을 4점씩 올려주면

(평균)=

(평균)

= =72+4=76(점)

(분산)=

(평균)

= =2¤ =4

(표준편차)='4=2(점)

(a-72)¤ +(b-72)¤ +y+(e-72)¤

5

{(a+4)-76}¤ +{(b+4)-76}¤ +y+{(e+4)-76}¤

5 (a+b+c+d+e)+20

5

(a+4)+(b+4)+(c+4)+(d+4)+(e+4) 5

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13

^⑴

(평균)=:•4¢0º:=21(분)

⑵ (분산)=:¢ 4(0^ º:=124, (표준편차)=2'∂31(분)

14

변량 a, b, c, d, e의 평균이 6이고 표준편차가 2이므로

=6

=2¤ =4

`3점

2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3, 2e-3에서 (평균)=

(평균)

=

(평균)

=2_6-3=9 (분산)=

(분산)

=

(분산)

=4_4=16

(표준편차)='∂16 =4 ^`6점

4{(a-6)¤ +(b-6)¤ +y+(e-6)¤ } 5

{(2a-3-9)¤ +(2b-3-9)¤ +y+(2e-3-9)¤ } 5

2(a+b+c+d+e)-15 5

(2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3)+(2e-3) 5

(a-6)¤ +(b-6)¤ +(c-6)¤ +(d-6)¤ +(e-6)¤

5 a+b+c+d+e

5

채점 기준 배점

변량 a, b, c, d, e의 평균과 분산을 a, b, c, d, e에 대한 식으로 나타내기 3점 각 3`점 변량 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3, 2e-3의 평균과 표준편차 구하기

01

^{⑴ (평균)=}

⑴ (평균)

=;:!9$:(;(개)

⑵ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 6, 8, 10, 10, 11, 13, 17, 18, 56

이므로 중앙값은 11개이다.

18+11+17+56+10+10+13+8+6 9

p. 15~16

⑶ 10개가 2회로 가장 많으므로 최빈값은 10개이다.

⑷ 자료에 극단적인 값인 56개가 있으므로 평균은 대푯값으로 적 절하지 않다.

⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ×

02

⑴ 이름에서 같은 성이 2명 이상 있는 것을 정 리하면 오른쪽 표와 같다.

따라서 이름에서 성의 최빈값은 김, 이이 다.

⑵ 태어난 달을 표로 나타내면 다음과 같다.

⑴

따라서 태어난 달의 최빈값은 12월이다.

⑴ 김, 이 ⑵ 12월

03

^(평균)=

(평균)

=:£1¶2™:=31 (æ)

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 28, 28, 29, 29, 30, 32, 32, 32, 32, 33, 33, 34이므로 (중앙값)= =32 (æ), (최빈값)=32 (æ)

평균：31 æ, 중앙값：32 æ, 최빈값：32 æ

04

^⑴

⑵ 청주：(평균)=

⑵ 청주：(평균)=:¶8§:=9.5(일)

⑵ 청주：(분산)=

⑵ 청주：(분산)=:∞8™:=6.5

⑵ 청주：

(표준편차)='∂6.5(일)

⑵

목포：(평균)= =:§8•:=8.5(일)

⑵ 청주：(분산)=

⑵ 청주：(분산)=:™8§:=3.25

⑵ 청주：

(표준편차)='∂3.25(일)

⑴ 풀이 참조 ⑵ 풀이 참조 0.5¤ _2+(-0.5)¤ +1.5¤ +(-2.5)¤ +(-1.5)¤ _2+3.5¤

8 9+8+10+9+6+7+12+7

8

0.5¤ _2+(-2.5)¤ _3+1.5¤ +5.5¤ +(-0.5)¤

8

10+7+10+11+7+7+15+9 8

32+32 2

32+32+29+28+28+32+32+33+33+34+29+30 12

1월 2월 3월 4월 5월 6월

2명 1명 4명 2명 3명 1명

7월 8월 9월 10월 11월 12월

4명 2명 2명 3명 1명 5명

2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 연도(년)

10 7 10 11 7 7 15 9

9 8 10 9 6 7 12 7

청주(일) 목포(일) 통학 시간`(분) 도수`(명) (계급값)_(도수) (편차)¤ _(도수)

00^이상 ~ 10^미만 8 5_8=40 (-16)¤ _8=2048 10^이상 ~ 20^이상 10 15_10=150 (-6)¤ _10=360 20^이상 ~ 30^이상 14 25_14=350 4¤ _14=224 30^이상~ 40^이상 6 35_6=210 14¤ _6=1176 40^이상 ~ 50^이상 2 45_2=90 24¤ _2=1152

합계 40 840 4960

채점 기준 배점

자료의 평균, 중앙값, 최빈값 각각 구하기 각 2`점

2`점 a+b+c의 값 구하기

조 2명

김 6명

박 4명

이 6명

최 3명

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01

올바르게 입력된 4명의 몸무게의 합을 x kg, (편차)¤의 합을 y라 하면 잘못 구한 평균에서 =60 ∴ x=241

6명의 실제 몸무게의 평균은

= =60 (kg)

한편 잘못 구한 분산에서 {(편차)¤ 의 총합}=11_6=66이므로 y+(57-60)¤ +(62-60)¤ =66 ∴ y=53

따라서 6명의 실제 몸무게의 분산은

= =9

02

빠진 학생 이외의 5명의 성적을 각각 a, b, c, d, e라 하면

=15

∴ (a-60)¤ +(b-60)¤ +y+(e-60)¤ =90 따라서 5명의 국어 성적의 분산은

=:ª5º:=18

∴ (표준편차)='∂18=3'2`(점)

03

학생 수의 총합이 20명이므로

2+6+x+y+4=20 ∴ x+y=8 yy㉠ 평균이 5회이므로

=5

5x+7y+56=100 ∴ 5x+7y=44 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=6, y=2

∴ (분산)=

∴ (분산)=:¡2™0•:=6.4

(-4)¤ _2+(-2)¤ _6+0¤ _6+2¤ _2+4¤ _4 20

1_2+3_6+5_x+7_y+9_4 20

(a-60)¤ +(b-60)¤ +y+(e-60)¤

5

(a-60)¤ +(b-60)¤ +y+(e-60)¤ +(60-60)¤

6

54 6 53+(60-60)¤ +(59-60)¤

6 360

6 241+60+59

6

x+57+62 6

01④ 023'2점 03^6.4 04a=3, b=6, c=9

05⑤ 06²⁵⁰

p. 17

04

a, b, c (a<b<c)의 중앙값이 6이므로 b=6

평균이 6이므로 =6

a+c=12 ∴ c=12-a yy`㉠

분산이 6이므로 =6

(a-6)¤ +(c-6)¤ =18 위의 식에 ㉠`을 대입하면 (a-6)¤ +(12-a-6)¤ =18

a¤ -12a+27=0, (a-3)(a-9)=0 ∴ a=3 또는 a=9 그런데 a<b<c이므로 a=3, c=9

05

^{준영이의 자료에서}

(평균)= =;1&0);=7(점)

(분산)= =;1§0;=0.6

∴`(표준편차)='ƒ0.6(점) 희선이의 자료에서 (평균)=

(평균)=;1&0);=7(점)

(분산)=

(평균)

=;1&0$;=7.4(점)

∴`(표준편차)='ƒ7.4(점)

④ 준영이의 표준편차가 희선이의 표준편차보다 작으므로 준영이 가 희선이보다 점수의 분포 상태가 고르다.

즉 희선이가 준영이보다 점수의 분포 상태가 고르지 않다.

06

x¡, x™, y, x«에서 (분산)= -(평균)¤ 이므로

-10¤ =5¤

∴ x¡¤ +x™¤ +y+x«¤ =125n 따라서 2x¡¤ , 2x™¤ , y, 2x«¤ 의 평균은

=2_125n=250 n

2(x¡¤ +x™¤ +y+x«¤ ) n

x¡¤ +x™¤ +y+x«¤

n

(변량)¤ 의 총합 (변량의 개수)

(-4)¤ _1+(-3)¤ _2+(-2)¤ _1+(-1)¤ _1+2¤ _2+3¤ _3 10

3_1+4_2+5_1+6_1+9_2+10_3 1+2+1+1+2+3

(-1)¤ _3+0¤ _4+1¤ _3 10

6_3+7_4+8_3 3+4+3

(a-6)¤ +(6-6)¤ +(c-6)¤

3 a+6+c

3

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⑵ △ACD에서 x="√5¤ -4¤ =3

⑴

△ABD에서 y="√8¤ +4¤ =4'5

06

△ABD에서 AB”=BD”이므로 2BD”¤ =(5'2 )¤

BD”¤ =25 ∴ BD”=5 (cm) (∵ BD”>0) 3점

△ABC에서 AC”="√5¤ +12¤ =13 (cm) ^3점

07

BD”=DC”=AD”=3GD”=6이므로 BC”=2BD”=12

따라서 △ABC에서 AC”="√12¤ -(4'5)¤ =8

08

△ABC에서 BC”="√5¤ -3¤ =4이므로 DC”=x라 하면 BD”=4-x

AB”：AC”=BD”：DC”에서 5：3=(4-x)：x ∴ x=;2#;

따라서 △ADC에서 AD”=æ≠{;2#;}2 +3¤ =

09

AC”="√3¤ +3¤ =3'2 AD”="√(3'2 )¤ +3¤ =3'3 AE”="√(3'3 )¤ +3¤ =6

∴ AF”="√6¤ +3¤ =3'5

10

AB”=x cm라 하면

AC”='2x cm, AD”='3x cm, AE”=2x cm, AF”='5x cm 이때 AF”=10 cm이므로 '5x=10

∴ x=2'5

11

PB”="√1¤ +1¤ ='2 PC”="√('2 )¤ +1¤ ='3 PD”="√('3 )¤ +1¤ ='4=2 PE”="√2¤ +1¤ ='5

∴ △PEF=;2!;_'5_1=

12

AC”="√1¤ +1¤ ='2이므로 AE”=AC”='2

AF”="√('2 )¤ +1¤ ='3이므로 AG”=AF”='3

AH”="√('3 )¤ +1¤ ='4=2이므로 AI”=AH”=2

'5 2 3'5

2

2

피타고라스 정리

피타고라스 정리~

피타고라스 정리를 이용한 성질

0114 02⑴ '∂41 ⑵ 12 03③ 04'∂11 05⑴ x=12, y=9 ⑵ x=3, y=4'5 06^{13 cm} 07⁸

08 093'5 10⑤ 11 12²

13_2'3 14_2-'3 1515 cm¤ 16_{4'∂10 cm} 17⑤ 1818'3 cm¤ 19^{9 cm} 20^{4 cm} 21^{10 cm} 22^{6 cm¤}

23^{8 cm¤} 24② 25^{169 cm¤}

26^{144 cm¤} 27㉠ FCDE㉡ c¤` ㉢ ;2!;ab ㉣ a¤ +b¤ 28② 2910'2 30㉠ a+b ㉡ ;2!;c¤ 31^{50 cm¤} 32^{49 cm¤}

33^{80 cm¤} 34④ 35¹⁵ 36②, ⑤ 37④ 38²⁰ 39③, ⑤ 40:¡3º: 41⁶ 425'5 cm 43① 44;5(; cm 45; ™4¶ ; 46;2#; 47:™8¡:

48:¶8∞: 49① 50② 51① 52⁶

53¹⁵ 54③ 55④ 564개 57⑤ 58^{12 cm} 59⑴ 2'∂15 ⑵ ;1^3); 60:™5¡: 61:¡5™: cm 62 63'∂19 cm 64⁸⁰ 65⁴⁶ 662'3 cm 67'∂57 cm 68x=5, y=3 69'5 cm 7013 713'2 km 72'∂39 73^{16p cm¤} 74²⁰ 75① 76^{60 cm¤} 77^{54 cm¤} 78② 79④ 805'3 81^{4 cm} 82② 839'3 84'6

85(6+6'3 ) cm¤ 8640'3 cm¤87③ 8812'3 cm¤

4'5 5

'5 2 3'5

2

p. 20~32

0 1

△ABD에서 x="√17¤ -15¤ =8

△ADC에서 y="√10¤ -8¤ =6

∴ x+y=8+6=14

0 2

⑴ x="√4¤ +5¤ ='4å1

⑵ x="√13¤ -5¤ ='∂144=12

0 3

x¤ =(x-2)¤ +8¤에서 4x=68 ∴ x=17

0 4

△BCD에서 BD”="√10¤ -8¤ =6 (cm)

△ABD에서 x="√6¤ -5¤ ='1å1

0 5

⑴ △ADC에서 x="√13¤ -5¤ =12

⑴

△ABD에서 y="√15¤ -12¤ =9

채점 기준 배점

BD”의 길이 구하기 3`점

AC”의 길이 구하기 3`점

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13

OC”="√2¤ +2¤ =2'2이므로 OD”=OC”=2'2 OE”="√(2'2 )¤ +2¤ =2'3이므로 OF”=OE”=2'3

∴ △OFG=;2!;_OF”_GF”

∴ △OFG=;2!;_2'3_2=2'3

14

OQ”="√1¤ +1¤ ='2이므로 OB”=OQ”='2 OR”="√('2 )¤ +1¤ ='3이므로 OC”=OR”='3 OS”="√('3 )¤ +1¤ =2이므로 OD”=OS”=2

∴ CD”=OD”-OC”=2-'3

15

오른쪽 그림과 같이 점 C에서 AD”에 내 린 수선의 발을 H라 하면 △CDH에서 HD”=7-3=4 (cm)이므로 HC”="√5¤ -4¤ =3 (cm)

∴ ABCD=;2!;_(7+3)_3=15 (cm¤ )

16

^BD”를 그으면 △ABD에서 BD”="√12¤ +5¤ =13 (cm)

△DBC에서 BC”="√13¤ -3¤ =4'∂10 (cm)

17

오른쪽 그림의 △ABH에서 BH”=10-6=4이므로 AH”="√8¤ -4¤ =4'3

△DBC에서 DC”=AH”=4'3이므로 x=øπ10¤ +(4'3)¤ =2'3å7

18

오른쪽 그림과 같이 두 점 A, D에 서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라 하면 △ABP™△DCQ (RHA 합동)이므로

BP”=CQ”=;2!;_(11-7)=2 (cm)

∴ AP”="√4¤ -2¤ =2'3 (cm)

∴ ABCD=;2!;_(7+11)_2'3

∴ ABCD

=18'3 (cm¤ )

19

^{오른쪽 그림에서}

HC”=;2!;_(9-5)=2 (cm)

∴ DH”="√6¤ -2¤ =4'2 (cm) 이때 BH”=9-2=7 (cm)이므로 BD”="√7¤ +(4'2)¤ =9 (cm)

A

B

9`cm

6`cm 6`cm

5`cm

H C D 11`cm

7`cm

4`cm 4`cm

A

B P Q C

D x A

B H C

D

10 8

6 7`cm

5`cm 3`cm

A

B C

H D

20

^{오른쪽 그림에서}

BE”=CF”=;2!;_(10-6)

BE”=2 (cm)

이때 ABCD=16'3 cm¤ 이므로

;2!;_(6+10)_DF”=16'3 ∴ DF”=2'3 (cm)

∴ DC”="√(2'3 )¤ +2¤ =4 (cm)

21

^{AFGB= ACDE+} CBHI=64+36=100 (cm¤ ) 이때 AFGB는 정사각형이므로 AB”¤ =100

∴ AB”=10 (cm) (∵ AB”>0)

22

ADEB=25 cm¤이므로 AB”=5 (cm) (∵ AB”>0) ACHI=16 cm¤이므로 AC”=4 (cm) (∵ AC”>0)

△ABC에서 BC”="√5¤ -4¤ =3 (cm)

∴ △ABC=;2!;_3_4=6 (cm¤ )

23

AB”="√5¤ -3¤ =4 (cm) ^2점

△EBC=△EBA (∵ DC”∥EB”) 2점

△EBC=;2!; ADEB

△EBC=;2!;_4_4=8 (cm¤ )

2점

24

① △EBC와 △ABF에서 EB”=AB”, BC”=BF”,

∠EBC=90˘+∠ABC=∠ABF이므로

△EBC™△ABF (SAS 합동)

③ △EBA=△EBC=△ABF=△LBF

④ ACHI=2△ACH, LMGC=2△LGC이고

△ACH=△BCH=△GCA=△LGC이므로 ACHI= LMGC

⑤ ADEB=2△EBA=2△EBC=2△ABF

=2△LBF=2△FML 따라서 옳지 않은 것은 ②이다.

25

GC”=17-12=5 (cm)이므로

△GFC에서 GF”="√5¤ +12¤ =13 (cm)

이때 △AEH™△BFE™△CGF™△DHG이므로 EFGH 는 정사각형이다.

∴ EFGH=GF” ¤ =13¤ =169 (cm¤ )

E F C

B

A D

10`cm 6`cm

채점 기준 배점

AB”의 길이 구하기

△EBC와 넓이가 같은 삼각형 찾기

△EBC의 넓이 구하기

2점 2점 2점

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32

AH”=BE”=CF”=DG”=5 cm이므로

△ABH에서 BH”="√13¤ -5¤ =12 (cm)

∴ EH”=BH”-BE”=12-5=7 (cm)

이때 △ABH™△BCE™△CDF™△DAG이므로 EFGH 는 정사각형이다.

∴ EFGH=EH” ¤ =7¤ =49 (cm¤ )

33

CFGH는 정사각형이고 넓이가 16 cm¤ 이므로

CF”=4 (cm)(∵ CF”>0) ∴ BC”=BF”+CF”=8 (cm)

△ABC에서 AC”=BF”=4 cm이므로 AB”="√4¤ +8¤ =4'5 (cm)

∴ ABDE=AB” ¤ =(4'5)¤ =80 (cm¤ )

34

△ABQ™△BCR™△CDS™△DAP(RHS 합동)이므로 AQ”=BR”=CS”=DP”

① △BCR에서 BR”="√4¤ -2¤ =2'3

② AQ”=BR”=2'3이므로 △ABQ=;2!;_2_2'3=2'3

④ PQ”=AQ”-AP”=2'3-2

⑤ PQRS=PQ” ¤ =(2'3-2)¤ =16-8'3

35

변의 길이는 양수이므로 x-7>0에서 x>7

가장 긴 변의 길이가 x+2이므로 직각삼각형이 되려면 (x+2)¤ =x¤ +(x-7)¤ , x¤ -18x+45=0 (x-15)(x-3)=0 ∴ x=15 (∵ x>7)

36

삼각형에서 가장 긴 변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길이의 제 곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.

② 4¤ +(2'3)¤ =28=(2'7)¤ 이므로 직각삼각형이다.

⑤ ('2å3)¤ +11¤ =144=12¤ 이므로 직각삼각형이다.

37

④ 9¤ +12¤ =225+16¤ 이므로 직각삼각형이 아니다.

38

변의 길이는 양수이므로 x-13>0에서 x>13

x+5, x+4, x-13 중 가장 긴 변의 길이가 x+5이므로 2점

직각삼각형이 되려면 (x+5)¤ =(x+4)¤ +(x-13)¤ 2점

x¤ -28x+160=0, (x-8)(x-20)=0

∴ x=20 (∵ x>13) 2점

26

EFGH는 정사각형이고 넓이가 74 cm¤ 이므로 EH”='7å4 (cm) (∵ EH”>0)

△AEH에서 AH”=øπ('7å4)¤ -5¤ =7 (cm)이므로 AD”=AH”+D’H”=7+5=12 (cm)

∴ ABCD=AD” ¤ =12¤ =144 (cm¤ )

27

^{㉠ FCDE ㉡ c¤} ㉢ ;2!;ab ㉣ a¤ +b¤

28

작은 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면

7¤：x¤ =49：25에서 x¤ =25 ∴ x=5 (cm) (∵ x>0) 이때 b=7-a이므로 a¤ +(7-a)¤ =5¤`

2a¤ -14a+24=0, a¤ -7a+12=0 (a-3)(a-4)=0 ∴ a=4 (∵ a>b)

29

△ABD™△CEB이므로 BC”=DA”=6, AB”=CE”=8

∴ BD”=EB”="√6¤ +8¤ =10 또한 ∠DBA=∠BEC이므로

∠DBE=180˘-(∠DBA+∠EBC)

=180˘-(∠BEC+∠EBC)

=180˘-90˘=90˘

따라서 △DBE는 BD”=EB”이고 ∠DBE=90˘인 직각이등변삼 각형이므로 DE”="√10¤ +10¤ =10'2

30

사다리꼴 BCDE의 넓이 S는

S=;2!;_(a+b)_(a+b)=;2!;( )¤

또 BCDE=2△ABC+△AEB 이때 △ABC™△EAD (SAS 합동)에서

∠BAC+∠EAD=90˘이므로 ∠BAE=90˘

즉 S=2_;2!;ab+

따라서 ;2!;(a+b)¤ =ab+;2!;c¤ 이므로 a¤ +b¤ =c¤

31

△ABC™△DEB이므로 BC”=EB”, DE”=AB”=4 cm 또한 ∠CBA+∠EBD=90˘이므로 △CBE는 ∠CBE=90˘인 직각이등변삼각형이다.

이때 △CBE=;2!;_BC”¤ =26 (cm¤ )에서 BC”=2'1å3 (cm) (∵ BC”>0)이므로 AC”=DB”="√(2'1å3)¤ -4¤ =6 (cm)

∴ CADE=;2!;_(6+4)_10=50 (cm¤ )

;2!;c¤`

a+b

채점 기준 배점

세 변의 길이 중 가장 긴 변의 길이 찾기 직각삼각형이 되기 위한 x에 대한 식 세우기 x의 값 구하기

2점 2`점 2점

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39

^⁄가장 긴 변의 길이가 x cm일 때

x¤ =6¤ +8¤ =100 ∴ x=10 (∵ x>0)

¤가장 긴 변의 길이가 8 cm일 때

8¤ =6¤ +x¤ , x¤ =28 ∴ x=2'7 (∵ x>0)

40

△ABE에서 AE”=AD”=10이므로 BE”="√10¤ -6¤ =8

∴ EC”=10-8=2 EF”=x라 하면

DF”=EF”=x이므로 FC”=6-x

△FEC에서 x¤ =(6-x)¤ +2¤ , 12x=40

∴ x=:¡3º:

41

△ABQ에서AQ”=AD”=15이므로 BQ”="√15¤ -9¤ =12

∴ QC”=15-12=3 PC”=x라 하면

PQ”=DP”=9-x이므로

△PQC에서 (9-x)¤ =x¤ +3¤ , 18x=72 ∴ x=4

∴ △PQC=;2!;_3_4=6

42

^△ECD에서

CE”=BC”=10 cm이므로 DE”="√10¤ -8¤ =6 (cm)

∴ AE”=10-6=4 (cm) 2점

EF”=x라 하면

BF”=EF”=x이므로 AF”=8-x 1점

△AFE에서 x¤ =4¤ +(8-x)¤ , 16x=80

∴ x=5 (cm) 3점

따라서 △CEF에서

CF”="√5¤ +10¤ =5'5 (cm) 2점

43

EF”=AE”=x라 하면 BE”=8-x BF”=;2!;_8=4 (cm)이므로

△EBF에서 4¤ +(8-x)¤ =x¤

16x=80 ∴ x=5 (cm)

A

B E

C F

D

10`cm

8`cm 6`cm

10`cm x x 8-x

4`cm 9

3 A

B

D

C P Q 15

15 12

x 9-x 9-x A

B C

F

E 6

8

6-x x x

2 10

10

D

44

CF”=x라 하면 DF”=BF”=10-x

△CDF에서 x¤ +8¤ =(10-x)¤

20x=36 ∴ x=;5(; (cm)

45

^{BE”=x라 하면}

DE”=AE”=18-x이고 BD”=;2!; BC”=9이므로

△BDE에서 (18-x)¤ =x¤ +9¤

36x=243 ∴ x=:™4¶:

46

^{CF”=x라 하면}

DF”=AF”=4-x이고 CD”=;2!; BC”=2이므로

△CFD에서 (4-x)¤ =2¤ +x¤

8x=12 ∴ x=;2#;

47

AF”=x라 하면 DF”=12-x

이때 ∠FBD=∠DBC (접은 각), ∠FDB=∠DBC (엇각) 이므로 ∠FBD=∠FDB

∴ BF”=DF”=12-x

△ABF에서 (12-x)¤ =x¤ +9¤ , 24x=63

∴ x=:™8¡:

48

DF”=x라 하면 FC”=10-x

이때 ∠BAC=∠FAC (접은 각), ∠BAC=∠FCA (엇각) 이므로 ∠FAC=∠FCA

∴ FA”=FC”=10-x

△AFD에서 (10-x)¤ =x¤ +5¤ , 20x=75 ∴ x=:¡4∞:

∴ △AFD=;2!;_:¡4∞:_5=:¶8∞:

49

^{오른쪽 그림에서}

∠ABC=∠CBD`(접은 각),

∠ACB=∠CBD`(엇각)이므로

∠ABC=∠ACB

∴ AC”=AB”=10 cm

△HBA에서 HA”="√10¤ -8¤ =6 (cm)

△HBC에서 CH”=10+6=16 (cm)이므로 BC”="√16¤ +8¤ =8'5 (cm)

8`cm

10`cm H A

B D

C

채점 기준 배점

AE”의 길이 구하기

EF”=x라 할 때, AF”의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 x의 값 구하기

CF”의 길이 구하기

2`점 1점 3`점 2`점

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50

삼각형이 결정되는 조건에 의하여 5-3<a<5+3, 즉 2<a<8

이때 a<5이므로 2<a<5 yy`㉠

또한 가장 긴 변의 길이가 5이므로 둔각삼각형이 되려면

5¤ >3¤ +a¤에서 a¤ <16 ∴ 0<a<4 (∵ a>0) yy`㉡

㉠, ㉡`에서 2<a<4

51

삼각형이 결정되는 조건에 의하여 8-5<x<8+5, 즉 3<x<13

이때 x<8이므로 3<x<8 yy`㉠

또한 가장 긴 변의 길이가 8이므로 예각삼각형이 되려면

8¤ <5¤ +x¤에서 x¤ >39 ∴ x>'3å9 (∵ x>0) yy`㉡

㉠, ㉡`에서 '3å9<x<8

따라서 조건을 만족하는 자연수 x의 값은 7이다.

52

삼각형이 결정되는 조건에 의하여

5-2<x<5+2, 즉 3<x<7 yy㉠ 1점

∠A>90˘이려면 `BC”가 가장 긴 변이어야 하므로 x¤ >2¤ +5¤, x¤ >29

∴ x>'∂29 (∵ x>0) yy㉡ 2점

㉠, ㉡에서 '∂29<x<7 ^2점

따라서 구하는 정수 x의 값은 6이다. 1점

53

AC”=x라 하면 삼각형이 결정되는 조건에 의하여

6-3<x<6+3, 즉 3<x<9 yy`㉠

∠B<90˘이므로 x¤ <3¤ +6¤ , x¤ <45

∴ 0<x<3'5 (∵ x>0) yy`㉡

㉠, ㉡`에서 3<x<3'5

따라서 x의 값이 될 수 있는 자연수는 4, 5, 6이므로 4+5+6=15

54

① 1¤ +('1å5)¤ =16=4¤ 직각삼각형

② 2¤ +3¤ =13<4¤ 둔각삼각형

③ 4¤ +6¤ =52>7¤ 예각삼각형

④ 6¤ +8¤ =100=10¤ 직각삼각형

⑤ 9¤ +10¤ =181<15¤ 둔각삼각형

55

6¤ +9¤ =117>10¤이므로 △ABC는 예각삼각형이다.

56

㉠ 2¤ +4¤ =20<5¤ 둔각삼각형

㉡ ('∂10 )¤ +(2'3 )¤ =22>('∂21 )¤ 예각삼각형

㉢ 5¤ +7¤ =74<9¤ 둔각삼각형

㉣ (3'3 )¤ +3¤ =36=6¤ 직각삼각형

㉤ 7¤ +8¤ =113<11¤` 둔각삼각형

㉥ 12¤ +4¤ =160<13¤` 둔각삼각형 따라서 둔각삼각형은 ㉠, ㉢, ㉤, ㉥의 4개이다.

57

⑤ c¤ >a¤ +b¤ 이면 ∠C가 둔각인 둔각삼각형이다.

58

AC”="√25¤ -15¤ =20 (cm)이므로 AB”_AC”=BC”_AH”에서 15_20=25_AH”

∴ AH”=12 (cm)

59

⑴ AC”¤ =CD”_CB”에서 x¤ =6_10=60

⑴

∴ x=2'1å5 (∵ x>0)

⑵ AB”="√12¤ +5¤ =13이므로

⑴

AC”_BC”=AB”_CD”에서

⑴

5_12=13_x

⑴

∴ x=;1^3);

60

AB”="√12¤ +9¤ =15이므로 b=15-a AC” ¤ =AH”_AB”에서 12¤ =15a

∴ a=:¢5•:, 즉 b=15-:¢5•:=:™5¶:

∴ a-b=:¢5•:-:™5¶:=:™5¡:

61

AH”¤ =BH”_CH”에서

AH”¤ =8_2=16 ∴ AH”=4 (cm) (∵ AH”>0)

이때 CD”=;2!; BC”=5 (cm)이고 점 D는 빗변 BC의 중점이므로 AD”=BD”=CD”=5 (cm), DH”=5-2=3 (cm)

한편 △ADH에서 AH”_DH”=AD”_QH”이므로 4_3=5_QH” ∴ QH”=:¡5™: (cm)

62

직선 x+2y-4=0, 즉 y=-;2!;x+2에서 x절편은 4, y절편은 2이므로

△AOB에서 AB”="ç4¤ +2¤ =2'5 이때 AO”_OB”=AB”_OH”이므로 2_4=2'5_OH” ∴ OH”=4'5

5

채점 기준 배점

삼각형이 결정되는 조건에 의한 x의 값의 범위 구하기

∠A>90˘임을 이용하여 x의 값의 범위 구하기

㉠, ㉡`의 공통 범위 구하기 정수 x의 값 구하기

1`점 2점 2`점 1점

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63

9¤ +DE” ¤ =6¤ +8¤, DE”¤ =19

∴ DE”='1å9 (cm) (∵ DE”>0)

64

DE”는 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분이므로 DE”=;2!; AB”=;2!;_8=4

8¤ +4¤ =AE” ¤ +BD” ¤

∴ AE”¤ +BD”¤ =80

65

△ABC에서 AC”="√8¤ +6¤ =10 이때 AC”¤ +DE”¤ =AE”¤ +DC”¤ 에서 10¤ +DE”¤ =AE”¤ +(3'6 )¤

∴ AE”¤ -DE”¤ =10¤ -(3'6 )¤ =46

66

5¤ +6¤ =7¤ +BC” ¤ , BC” ¤ =12

∴ BC”=2'3 (cm) (∵ BC”>0)

67

(4'5)¤ +11¤ =AD”¤ +12¤ , AD”¤ =57

∴ AD”='∂57 (cm) (∵ AD”>0)

68

7¤ +(2'1å0)¤ =8¤ +x¤ , x¤ =25

∴ x=5 (∵ x>0)

△AOD에서 y="√5¤ -4¤ =3

69

5¤ +4¤ =6¤ +DP” ¤ , DP” ¤ =5

∴ DP”='5 (cm) (∵ DP”>0)

70

6¤ +CP” ¤ =7¤ +DP” ¤

∴ CP”¤ -DP”¤ =7¤ -6¤ =13

71

학교, 놀이터, 도서관, 문방구를 각각 A, B, C, D라 하고 집을 P 라 하면 AP”¤ +CP”¤ =BP”¤ +DP”¤ 이므로

AP” ¤ +4¤ =5¤ +3¤ , AP ”¤ =18

∴ AP”=3'2 (km) (∵ AP”>0)

따라서 집에서 학교까지의 거리는 3'2 km이다.

72

BD”="√(3'2 )¤ +(3'7 )¤ =9 이때 AB”_AD”=BD”_AE”이므로 3'2_3'7=9_AE” ∴ AE”='∂14

△ABE에서 BE”="√(3'2 )¤ -('∂14 )¤ =2이므로 DE”=7 따라서 AE”¤ +CE”¤ =BE”¤ +DE”¤ 에서

('∂14 )¤ +CE”¤ =2¤ +7¤ , CE”¤ =39

∴ CE”='∂39 (∵ CE”>0)

73

S¡+S™=S£이므로

S¡+S™+S£=2S£=2_{;2!;_p_4¤ }=16p (cm¤ )

74

S¡+S™=S£에서 S™=S£-S¡=36-16=20

75

오른쪽 그림과 같이 AB”를 지름으로 하는 반 원을 그리면

(색칠한 두 반원의 넓이의 합)

=(AB”를 지름으로 하는 반원의 넓이)

=;2!;_p_2¤ =2p (cm¤ )

76

△ABC에서 AC”="√17¤ -8¤ =15 (cm)

∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=;2!;_8_15=60 (cm¤ )

77

△ABC에서 AB”="√15¤ -9¤ =12 (cm)

∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=;2!;_12_9=54 (cm¤ )

78

^{오른쪽 그림에서}

S¡+S™=△ABD, S£+S¢=△DBC

∴ S¡+S™+S£+S¢

=△ABD+△DBC

= ABCD

=4_6=24

79

△ABC에서 8：AC”=2：'3 ∴ AC”=4'3 (cm)

△ACD에서 4'3：CD”='2：1 ∴ CD”=2'6 (cm)

80

¹⁰：x=2：'3 ∴ x=5'3

81

^△ABD에서

2'6：AD”='2：1 ∴ AD”=2'3 (cm) ^3점

△ADC에서

2'3：AC”='3：2 ∴ AC”=4 (cm) ^3점 A

4 6

B S¡

S™

S£

S¢

D

C 4`cm

A

B C

채점 기준 배점

AD”의 길이 구하기 AC”의 길이 구하기

3점 3`점

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82

^MC”：3=1：'3 ∴ MC”='3

따라서 BC”=2MC”=2'3이므로 △ABC에서 AB”="√(2'3)¤ +3¤ ='2å1

83

△ABC에서 6：x=1：'3 ∴ x=6'3

△BCD에서 6'3：y=2：1 ∴ y=3'3

∴ x+y=6'3+3'3=9'3

84

△ABC에서 3：BC”=1：'2 ∴ BC”=3'2

△DBC에서 3'2：CD”='3：1 ∴ CD”='6

85

오른쪽 그림과 같이 점 A, D에서 BC”에 내린 수선의 발을 각각 E, F라 하면 EF”=AD”=2 cm

△ABE에서 4 : BE”=2 : 1

∴ BE”=2 (cm)

4 : AE”=2 : '3 ∴ AE”=2'3 (cm)

△CDF에서 2'3 : FC”=1 : 1 ∴ FC”=2'3 (cm)

∴ ABCD=;2!;_{2+(2+2+2'3 )}_2'3

∴ ABCD

=6+6'3 (cm¤ )

86

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면 8: AH”=2 : '3에서

AH”=4'3 (cm)

∴ ABCD=10_4'3=40'3 (cm¤ )

87

정팔각형의 한 외각의 크기는 =45˘

오른쪽 그림의 △ABC에서

∠ABC=∠ACB=45˘이므로

AC”：6=1：'2 ∴ AC”=3'2 (cm) 따라서 처음의 정사각형의 한 변의 길이는 3'2+6+3'2=6(1+'2 ) (cm)

88

오른쪽 그림과 같이 점 E에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

∠ACE=180˘-(∠ACB+∠ECD)

=180˘-(60˘+60˘)=60˘

이므로 △EHC에서

6：EH”=2：'3 ∴ EH”=3'3 (cm)

∴ △ACE=;2!;_8_3'3=12'3 (cm¤ )

60˘

A

B C D

E H

6`cm 8`cm A C 6`cm B 6`cm 360˘

8

D A

C H 10`cm 60˘

8`cm

B 60˘

B

A D

60˘ 45˘ C 4`cm

2`cm

E F

01

② "√7¤ -4¤ ='3å3

02

OB”="√1¤ +1¤ ='2, OC”="√('2 )¤ +1¤ ='3 OD”="√('3 )¤ +1¤ ='4=2

∴ OE”="√2¤ +1¤ ='5

03

ABCD의 넓이가 144이므로 AB”=BC”=12 또 ECGF의 넓이가 16이므로 CG”=4

△ABG에서 BG”=BC”+CG”=12+4=16이므로 AG”="√12¤ +16¤ =20

04

^{오른쪽 그림에서}

AB”="√('2å1)¤ -4¤ ='5 (cm)이므로 BDNM= AFGB

=('5)¤ =5 (cm¤ )

∴ △ABD=△MBD

∴ △ABD=;2!;

BDNM=;2%; (cm¤ )

05

ABCD는 넓이가 64 cm¤ 인 정사각형이므로 AB”=8 cm

∴ EB”=8-5=3 (cm)

△BFE에서 EF”="√3¤ +5¤ ='3å4 (cm) 이때 EFGH는 정사각형이므로

EFGH=('3å4)¤ =34 (cm¤ )

06

세 변의 길이 중 가장 긴 변의 길이는 x+5이므로

△ABC가 직각삼각형이 되려면 (x+5)¤ =(x-3)¤ +(x+1)¤

x¤ -14x-15=0, (x+1)(x-15)=0

∴ x=15 (∵ x>3)

07

△ABC는 ∠C>90˘인 둔각삼각형이다.

∴ ∠A+∠B<90˘

08

직선 y=;4#;x+3에서 x절편은 -4, y절편은 3이므로

△AOB에서 AB”="√4¤ +3¤ =5 이때 BO”_AO”=AB”_OH”이므로 4_3=5_OH” ∴ OH”=:¡5™:

E A F

4`cm B

G

C

D M

N 21`cm 5`cm

01② 02② 03²⁰ 04② 05^{34 cm¤}

06¹⁵ 07① 08:¡5™: 092'3 10'5

11③ 12② 1333'3 cm¤ 14:™3§:

1518, 19, 20, 21, 22

p. 33~34

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09

7¤ +DE” ¤ =6¤ +5¤ , DE” ¤ =12 ∴ DE”=2'3 (∵ DE”>0)

10

6¤ +CD” ¤ =4¤ +5¤ , CD” ¤ =5 ∴ CD”='5 (∵ CD”>0)

11

;2!;_p_{;2!;AB”}¤ =8p, AB”¤ =64

∴ AB”=8 (cm) (∵ AB”>0)

△ABC에서 AC”="√10¤ -8¤ =6 (cm)

∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABC=;2!;_6_8=24 (cm¤ )

12

6：BC”=2：1에서 BC”=3 (cm) 3：CD”=2：'3에서 CD”= (cm)

13

BH”=;2!;_(14-8)=3(cm) 이므로 △ABH에서

AH”="√6¤ -3¤ =3'3 (cm) 4점

따라서 등변사다리꼴 ABCD의 넓이는

;2!;_(8+14)_3'3=33'3 (cm¤ ) 4점

14

AF”=x라 하면 FD”=6-x 2점

이때 ∠FBD=∠DBC (접은 각), ∠FDB=∠DBC (엇각)이므 로 ∠FBD=∠FDB ∴ FB”=FD”=6-x 2점

△ABF에서

(6-x)¤ =x¤ +4¤ , 12x=20 ∴ x=;3%; ^3점

∴ △FBD=;2!;_FD”_AB”

∴ △FBD=;2!;_{6-;3%;}_4=:™3§:

2점

15

삼각형이 결정되는 조건에 의하여 15-8<x<15+8 ∴ 7<x<23

B H C

6`cm

14`cm A 8`cm D 3'3

2

이때 x>15이므로 15<x<23 yy`㉠ 3점

가장 긴 변의 길이가 x이므로 x¤ >8¤ +15¤` , x¤ >289

∴ x>17 (∵ x>0) yy`㉡ 3점

㉠, ㉡에서 17<x<23 2점

따라서 x의 값이 될 수 있는 자연수는 18, 19, 20, 21, 22이다.

2점

채점 기준 배점

AF”=x라 할 때, FD”의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기 FB”의 길이를 x에 대한 식으로 나타내기

x의 값 구하기

△FBD의 넓이 구하기

2`점 2점 3`점 2점

채점 기준 배점

등변사다리꼴 ABCD의 높이 구하기 등변사다리꼴 ABCD의 넓이 구하기

4점 4`점

채점 기준 배점

삼각형이 결정되는 조건에 의한 x의 값의 범위 구하기 가장 긴 변의 길이가 x일 때, x의 값의 범위 구하기

㉠, ㉡의 공통 범위 구하기 자연수 x의 값 모두 구하기

3`점 3점 2`점 2점

01

BC”=x m라 하면 AC”=120-(30+x)=(90-x) m

△ABC에서 30¤ +x¤ =(90-x)¤

180x=7200 ∴ x=40

∴ △ABC=;2!;_30_40=600 (m¤ )

600 m¤

02

㉠ 17¤ =8¤ +15¤ 이므로 직각삼각형이다.

㉡ ('1å7)¤ >2¤ +(2'3 )¤ 이므로 둔각삼각형이다.

㉢ 4¤ <('7 )¤ +('1å3)¤ 이므로 예각삼각형이다,

㉣ ('1å4)¤ >('6)¤ +('7)¤ 이므로 둔각삼각형이다.

㉤ ('6)¤ =('2)¤ +2¤ 이므로 직각삼각형이다.

따라서 옳지 않은 말을 한 학생은 윤정, 은지이다.

윤정, 은지 p. 35

01

BC”="√6¤ +4¤ =2'∂13 `(cm)

∴ (색칠한 부분의 넓이)=△ABD+△AEC=△FBD+△FEC

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=;2!; BDEC=;2!;_(2'∂13)¤

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=26 (cm¤ )

01③ 02;3@; cm 03 2'5^cm 04 3'7 05^{6 cm} 06¹⁸

p. 36

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02

△ABC에서 점 D는 빗변 BC의 중점이므로 BC”=2AD”=2_6=12 (cm)

이때 AC”¤ =CE”_BC”이므로

(4'3)¤ =CE”_12 ∴ CE”=4 (cm)

∴ DE”=DC”-CE”=6-4=2 (cm) 또한 DE”¤ =DF”_DA”에서

2¤ =DF”_6 ∴ DF”=;3@; (cm)

03

DE”를 긋고 AC”=x cm라 하면

DE”는 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분이므로 DE”= cm

AD” ¤ +EC” ¤ =DE” ¤ +AC” ¤에서 3¤ +4¤ ={ }¤ +x¤ , x¤ =20

∴ x=2'5 (∵ x>0)

04

^AB”: AC”=BD” : DC”이므로 AB”: AC”=7'2 : 3'2=7 : 3 따라서 AB”=7k, AC”=3k라 하면

△ABC에서 (7k)¤ =(7'2 +3'2 )¤ +(3k)¤

k¤ =5 ∴ k='5 (∵ k>0)

∴ AC”=3'5

△ADC에서 AD”="√(3'2 )¤ √+(3'5 )¤ =3'7 x

2 x 2

05

AP”=AD”=10 cm이므로

△ABP에서 BP”="√10¤ -8¤ =6 (cm)

∴ PC”=10-6=4 (cm)

CQ”=x cm라 하면 PQ”=DQ”=(8-x) cm이므로

△PCQ에서 (8-x)¤ =4¤ +x¤

16x=48 ∴ x=3

이때 △AQDª△RQC (`AA 닮음`)이므로 DQ”: CQ”=DA” : CR”에서

5: 3=10 : CR”, 5CR”=30 ∴ CR”=6``(cm)

06

오른쪽 그림과 같이 점 D, E에서 각 변에 수선의 발을 내리면 △ABC가 직각이등 변삼각형이므로

BF”=FG”=GC”=CH”=HIÚ=AIÚ 이다. 이때 BF”=a라 하면 △EFC에서 (2'5)¤ =a¤ +(2a)¤

a¤ =4 ∴ a=2 (∵ a>0)

∴ AC”=BC”=3_2=6

따라서 △ABC의 넓이는 ;2!;_6_6=18

a a a

a a a A

B F G C

H I E

D

5 2

5 2

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3

피타고라스 정리의 활용

평면도형에서의 활용 ~ 입체도형에서의 활용

01^{17 cm} 02③ 0312'2 cm 04 ^cm 0512'2 cm

06② 076p 08_4'3 09:™5¢: 10 cm

11;5&; cm 124：3 13⑴ 5'3 cm ⑵ 25'3 cm¤

14④ 15⁶ 162'3 cm¤ 1754'3 cm¤ 187'3 cm¤

19^{12 cm¤} 20¹² 21② 22⁸⁴ 23¹² 246'6 25④ 264'3 cm 27:¢5•: cm 28⁷ 29'∂34 30③ 31①, ④ 32P(2, 0) 33④

34예각삼각형 35④ 36④ 372

38_6'2 39_3'5 40③ 4117 cm 42_2'∂41

4310'2 km 44⁷⁸⁰ 45④ 46⁴ 47 ^cm

48 49① 50④ 51③ 52②

5350'3 cm¤ 54 ^cm 55⁴⁰ 56^{6 cm¤} 57^{6 cm}

58③ 59③ 60 ^cm¤

61⑴ 3'3 ⑵ 3'2 ⑶ 9'2 6236'7 cm‹ 634'7 cm 64① 65②, ④ 66576'2 67^{324p cm‹} 68^{8 cm} 69② 7024'7p cm‹ 71 ^p 72^{4 cm} 73⑤ 74⑤ 75^{48p cm¤} 76^{64p cm¤} 77^{5 cm} 784'5 cm 794'1å0 cm 80② 81^{13 cm} 824'∂13p cm

83⑤ 84② 85⁶ 8612'2 cm 878'5 cm 88②

16'2 3 27'2

2 8'3

3 9'2

2

5'2 2 4'5

3 5'2

2

p. 39~52

0 1

BD”="√15¤ +8¤ =17 (cm)

0 2

(대각선의 길이)="√3¤ +5¤ ='∂34

0 3

직사각형의 가로의 길이를 x cm(x>0)라 하면 세로의 길이는 2x cm이다.

"√x¤ +(2x)¤ =2'1å0에서 양변을 제곱하여 정리하면 x¤ =8 ∴ x=2'2 (∵ x>0)

따라서 직사각형의 가로의 길이는 2'2 cm, 세로의 길이는 4'2 cm이므로 구하는 둘레의 길이는

2_(2'2+4'2)=12'2 (cm)

04

정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면

"√(3x)¤ +x¤ =5, 10x¤ =25, x¤ =;2%;

∴ x=Æ;2%;= (∵ x>0)

∴ AC”=æ≠{2_ }¤ +{ }¤

∴ AC”=Æ…:™2∞:=

(cm)

05

정사각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면

정사각형의 대각선의 길이가 2_3=6 (cm)이므로 '2a=6 ∴ a=3'2

따라서 구하는 정사각형의 둘레의 길이는 3'2_4=12'2 (cm)

06

정사각형 모양의 색종이의 한 변의 길이를 x cm라 하면 '2x=8 ∴ x=4'2

∴ (색종이의 둘레의 길이)=4_4'2=16'2 (cm)

07

^{BC”=x라 하면}

'2x=6'2 ∴ x=6 ^2점

따라서 원의 반지름의 길이가 ;2^;=3이므로 ^2점

원의 둘레의 길이는 2p_3=6p 2점

08

오른쪽 그림에서 BC”=2'6이므로 AB”='2_2'6=4'3

따라서 구하는 큰 원의 지름의 길이는 4'3이다.

09

△ABD에서 BD”="√8¤ +6¤ =10 AB”_AD”=BD”_AH”에서 6_8=10_AH” ∴ AH”=:™5¢:

10

△DBC에서 CD”="√6¤ -4¤ =2'5 (cm) BC”_CD”=BD”_CH”에서 4_2'5=6_CH”

∴ CH”= (cm)

11

△DBC에서 BD”="√4¤ +3¤ =5 (cm)

△DBC에서 CD”¤ =DF”_DB”이므로 3¤ =DF”_5 ∴ DF”=;5(; (cm)

4'5 3

6 O

A C

B 5'2

2

'1å0 2 '1å0

2 '1å0

2

채점 기준

정사각형 ABCD의 한 변의 길이 구하기 2점

원의 반지름의 길이 구하기 2점

원의 둘레의 길이 구하기 2점

배점

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이때 △ABE™△CDF( RHA 합동)이므로 BE”=DF”=;5(; cm

∴ EF”=BD”-(BE”+DF”)=5-{;5(;+;5(;}=;5&; (cm)

AB” ¤ =BE”_BD”에서 3¤ =BE”_5 ∴ BE”=;5(; (cm) CD” ¤ =DF”_BD”에서 3¤ =DF”_5 ∴ DF”=;5(; (cm)

∴ EF”=5-{;5(;+;5(;}=;5&; (cm)

12

△ABC의 한 변의 길이를 a라 하면

△ABC= a¤

이때 AD”= a이므로

△ADE= _{ a}¤ = a¤

∴ △ABC：△ADE= a¤： a¤ =4：3

13

^{⑴ (높이)=} _10=5'3 (cm)

⑵ (넓이)= _10¤ =25'3 (cm¤ )

14

정삼각형의 한 변의 길이를 a cm라 하면 a¤ =16'3, a¤ =64

∴ a=8 (∵ a>0)

15

정삼각형 ABC의 한 변의 길이를 x라 하면 점 G는 무게중심이므로 AD”=3GD”=3'3 이때 AD”= x이므로 x=3'3에서 x=6

16

BD”='2_2=2'2 (cm)

∴ △DBE= _(2'2)¤ =2'3 (cm¤ )

17

정육각형 ABCDEF는 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형 6개로 이루어져 있다.

∴ (정육각형 ABCDEF의 넓이)

=6△OAB

=6_{ _6¤ }

=54'3 (cm¤ ) '3

4

60˘

B E

12`cm

O

A F

C D

'3 4

'3 2 '3

2 '3

4

'3 4 '3

2

3'3 16 '3

4 3'3

16 '3

2 '3

4 '3

2 '3

4 다른 풀이

18

겹쳐진 작은 삼각형은 한 변의 길이가 2 cm인 정삼각형이다.

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=2_(큰 정삼각형의 넓이)-(작은 정삼각형의 넓이)

=2_{ _4¤ }- _2¤

=8'3-'3=7'3 (cm¤ )

19

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하면

BH”=;2!;BC”=3 (cm)이므로 AH”="√5¤ -3¤ =4 (cm)

∴ △ABC=;2!;_6_4=12 (cm¤ )

20

BH”=;2!;BC”=5이므로 AH”="√13¤ -5¤ =12

21

오른쪽 그림에서 △ABD는 이등변삼 각형이므로

BH”=;2!;BD”=5 (cm)

∴ AH”="√6¤ -5¤ ='1å1 (cm)

이때 △ABD™△CBD (SSS 합동)이므로 ABCD=2△ABD

ABCD

=2_{;2!;_10_'1å1}

ABCD

=10'1å1 (cm¤ )

22

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BC”에 내 린 수선의 발을 H라 하고 AH”=h, BH”=x라 하면

h¤ =13¤ -x¤ yy`㉠

h¤ =15¤ -(14-x)¤ yy`㉡

㉠, ㉡`에서 13¤ -x¤ =15¤ -(14-x)¤

169-x¤ =225-196+28x-x¤ , 28x=140

∴ x=5, 즉 h="√13¤ -5¤ =12

∴ △ABC=;2!;_14_12=84

23

^{BD”=x라 하면}

△ABD에서 AD”¤ =20¤ -x¤ yy㉠

△ACD에서 AD”¤ =13¤ -(21-x)¤ yy㉡

㉠, ㉡에서 20¤ -x¤ =13¤ -(21-x)¤

400-x¤ =169-441+42x-x¤, 42x=672

∴ x=16, 즉 AD”="√20¤ -16¤ =12 13

14

14-x x

15 A

B H C

h A

B D

H C 6`cm 6`cm

10`cm 6`cm 6`cm

5`cm 5`cm

6`cm A

B H C

'3 4 '3

4

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