유형01 1-1 8 1-2 4p
유형02 2-1 27'3 2-2 24'3
유형03 cm 3-1 48 3-2 17
3-2 126
유형04 3'6 4-1 4'3 4-2 3'3 4-3 18'6 유형05 2 5-1 ⑤ 5-2 4'2 5-3 ④ 유형06 10+5'26-1 2'2 6-2 6-3 8'3 cm 유형07 3'2 7-1 36'3 7-2 54'6 7-3 9'2 cm¤
유형08 8-1 8'∂21 8-2 8'2 8-3 12'∂10 유형09 81'7p cm‹ 9-1 216˘ 9-2 '7 cm
9-3 81p cm‹
유형10 13 10-12'∂17 10-26p 128
3
42'2 11 2'∂14
3 9'3
4 8'5
5
유형
01
△ABD에서 BD”="√8¤ +4¤ =4'5
AB”_AD”=AH”_BD”이므로 4_8=AH”_4'5
∴ AH”=
1
-1 가로, 세로의 길이를 각각 3a, 4a(a>0)라고 하면"√(3a)¤ +(4a)¤ =10, 5a=10 ∴ a=2 따라서 직사각형의 세로의 길이는 4_2=8
1
-2 정사각형의 한 변의 길이를 a라고 하면 '2a=4'2 ∴ a=4따라서 원의 반지름의 길이는 2이므로 그 넓이는 p_2¤ =4p
유형
02
AD”는 정삼각형 ABC의 높이이므로 AD”= _4=2'3
AF”는 정삼각형 ADE의 높이이므로 AF”= _2'3=3
∴ △AFG= _3¤ =
2
-1 무게중심은 중선을 꼭짓점으로부터 2 : 1로 나누므 로 AG” : GD”=2 : 1∴ GD”=;2!;AG”=3 ∴ AD”=6+3=9 따라서 △ABC의 한 변의 길이를 a라고 하면
a=9 ∴ a=6'3
∴△ABC= _(6'3)¤ =27'3
2
-2 주어진 정육각형은 한 변의 길이가 4인 6개의 정삼 각형으로 나눌 수 있다.정삼각형 한 개의 넓이는 _4¤ =4'3이므로 정육각형의 넓이는 6_4'3=24'3
유형
03
BH”=x cm라고 하면 CH”=(6-x)cm '3
4 '3
4 '3
2
9'3 4 '3
4 '3
2 '3
2 8'5
5
⑶ VH”=æ≠10¤ -{ }¤ = (cm)
⑷ △ABC= _10¤ =25'3(cm¤ )
⑸ ;3!;_25'3_ = (cm‹ )
03
⑴ `ABCD에서 BD”='2_BC”=8'2이므로⑴BH”=;2!;BD”=;2!;_8'2=4'2
⑴∴ OH”="√12¤ -(4'2)¤ ='∂112=4'7
⑴따라서 뿔의 높이는 4'7이므로 그 부피는
⑴;3!;_8_8_4'7=
⑵ 원뿔의 높이는 "√8¤ -4¤ ='∂48=4'3
⑴따라서 원뿔의 부피는
⑴;3!;_p_4¤ _4'3=
04
구하는 최단 거리는 오른쪽 그림 에서 AG”의 길이와 같으므로 AG”="√(4+3)¤ +5¤ ='ß74D A
G F
B C 5 4
3
121564'33 256'7 12525223
250'2 252551253 25255110'63
25255'34
25255110'63 25255110'33
△ABH와 △ACH에서 AH”¤ =3¤ -x¤ =5¤ -(6-x)¤
12x=20 ∴ x=;3%;
따라서 △ABH에서
AH”=æ–3¤ -{;3%;}¤ = (cm)
3
-1 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면 △ABC는 이등변삼각형이므로BH”=CH”=6
△ABH에서 AH”="√10¤ -6¤ =8
∴ △ABC=;2!;_12_8=48
3
-2 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선 의 발을 H라고 하면△ABC의 넓이가 120이므로
;2!;_16_AH”=120
∴ AH”=15
이때 BH”=8이므로 △ABH에서 AB”="√8¤ +15¤ =17
3
-3 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라 하고 BH”=x라고 하면 CH”=21-x△ABH와 △ACH에서 AH”¤ =20¤ -x¤ =13¤ -(21-x)¤
42x=672 ∴ x=16
따라서 △ABH에서 AH”="√20¤ -16¤ =12이므로
△ABC=;2!;_21_12=126
유형
04
△ABC에서 AB” : BC”=1 : '3이므로 6 : BC”=1 : '3 ∴ BC”=6'3
△DBC에서 BD” : BC”=1 : '2이므로 BD” : 6'3=1 : '2 ∴ BD”=3'6
4
-1 △ABH에서 AB” : A’H”=2 : '3이므로21 x
20 13
A
B H C
8 A
B C
H 8 A
B 6 H 6 10 10
C
2'∂14 3
4 : A’H”=2 : '3 ∴ A’H”=2'3 AB” : BH”=2 : 1이므로
4 : BH”=2 : 1 ∴ BH”=2 CH”=8-2=6이므로
△AHC에서 AC”="√6¤ +(2'3`)¤ =4'3
4
-2 △ABD에서 AB” : BD”=1 : '2이므로 3'2 : BD”=1 : '2 ∴ BD”=6△DBC에서 DB” : CD”=2 : '3이므로 6 : CD”=2 : '3 ∴ CD”=3'3
4
-3 꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면△ABH에서 AH” : AB”='3 : 2 이므로 4'3 : AH”=2 : '3
∴ AH”=6
∴ ABCD=3'6_6=18'6
유형
05
AB”="√(3a+2)¤ +(a+2)¤ =4'5이므로 (3a+2)¤ +(a+2)¤ =80, 5a¤ +8a-36=0 (a-2)(5a+18)=0 ∴ a=2 (∵ a>0)
5
-1 원점과 각 점 사이의 거리를 구하면 다음과 같다.① "√4¤ +2¤ =2'5
② "√3¤ +5¤ ='∂34
③ "√(-1)¤ +(-3)¤ ='∂10
④ "√5¤ +1¤ ='∂26
⑤ "√(-6)¤ +1¤ ='∂37
따라서 원점으로부터 거리가 가장 먼 것은 ⑤이다.
5
-2 x¤ -x=x+3에서 x¤ -2x-3=0(x+1)(x-3)=0 ∴ x=-1 또는 x=3 x=-1일 때 y=2, x=3일 때 y=6이므로 A(-1, 2), B(3, 6) 또는 A(3, 6), B(-1, 2)
∴ AB”="√{3-(-1)}¤ +√(6-2)¤ =4'2
5
-3 AB”="√{2-(-1)}¤ +√(1-3)¤ ='∂13 BC”="√(4-2)¤ +(4-1)¤ ='∂13 CA”="√{4-√(-1√)}¤ +√(4-ç3)Ω¤ ='∂263'6
4'3 60©
A
B H C
D
개념BOOK
이므로 AB”=BC”와 AB”¤ +BC”¤ =CA”¤ 이 성립한다.
따라서 △ABC는 ∠B=90˘인 직각이등변삼각형 이다.
유형
06
AC”="√4¤ +3¤ =5 AG”="√4¤ +3¤ +5¤ =5'2 따라서 △AGC의 둘레의 길이는 5+5+5'2=10+5'2
6
-1 정육면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 '3a='6 ∴ a='2따라서 정육면체의 부피는 ('2)‹ =2'2
6
-2 AG”="√6¤ +6¤ +7¤ =11, EG”=6'2이때, △AEG에서 AE”_EG”=AG”_E’I’이므로 7_6'2=11_E’I’ ∴ EI”=
6
-3 정육면체의 한 모서리의 길이를 a cm라고 하면 EG”='2a cm이므로△AEG=;2!;_a_'2a= a¤
따라서 a¤ =32'2이므로 a¤ =64
∴ a=8 (∵ a>0)
∴ AG”='3a=8'3(cm)
유형
07
정삼각형 BCD에서 D’M”= _6=3'3
점 H는 삼각형 BCD의 무게중심이므로 MH”=;3!;D’M”=;3!;_3'3='3 A’H”= _6=2'6
∴ △AMH=;2!;_'3_2'6=3'2
7
-1 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면 a=2'6 ∴ a=6따라서 정사면체의 겉넓이는 '6
3 '6
3 '3
2 '2
2
'2 2
42'2 11
4_△ABC=4_{ _6¤ }=36'3
7
-2 점 H는 정삼각형 DBC의 무게중심이므로 D’H”=2HM”=2_3=6, D’M”=3+6=9 정사면체의 한 모서리의 길이를 a라고 하면a=9 ∴ a=6'3 따라서 정사면체의 부피는
a‹ = _(6'3`)‹ =54'6
7
-3 B’M”, C’M”은 한 변의 길이가 6 cm인 정삼각형의 높 이이므로 B’M”=C’M”= _6=3'3(cm) 꼭짓점 M에서 BC”에 내린수선의 발을 H라고 하면
△MBH에서 MH”="√(3'3`)¤ -3¤
MH”=3'2(cm)
∴ △BCM=;2!;_6_3'2=9'2(cm¤ )
유형
08
AC”="√(4'2)¤ +(4'2)¤ =8이므로 HC”=;2!;AC”=4
△OHC에서 OH”="√(4'2`)¤ -4¤ =4 따라서 정사각뿔의 부피는
;3!;_(4'2)¤ _4=:¡;3@:*;
8
-1 꼭짓점 O에서 CD”에 내린 수선의 발을 E라고 하면 HE”=;2!;BC”=4이므로△OHE에서 OE”="√(2'∂17`)¤ +4¤
OE”=2'∂21
∴ △OCD=;2!;_8_2'∂21=8'∂21
8
-2 AC”="√(2'2 `)¤ +(2'2`)¤ =4이므로 HC”=;2!;AC”=2C O
B
D E 8
2'17 A
H
B C
M
H 3'3`cm 3'3`cm
3`cm 3`cm
'3 2 '2
12 '2 12 '3 2
'3 4
△OHC에서 OH”="√6¤ -2¤ =4'2
∴ △OAC=;2!;_4_4'2=8'2
8
-3 주어진 전개도로 만들어지 는 정사각뿔은 오른쪽 그림 과 같다.BD”="√(3'2`)¤ +(3'2`)¤ =6 이므로
D’H”=;2!; BD”=3
△OHD에서 OH”="√7¤ -3¤ =2'∂10 따라서 정사각뿔의 부피는
;3!; _(3'2)¤ _2'∂10=12'∂10
유형
09
주어진 전개도로 원뿔을 만들면 오른 쪽 그림과 같으므로 원뿔의 높이를 h cm라고 하면
h="√12¤ -9¤ =3'7 따라서 원뿔의 부피는
;3!; _p_9¤ _3'7=81'7p(cm‹ )
9
-1 원뿔의 모선의 길이를 l이라고 하면 l="√8¤ +6¤ =10오른쪽 그림의 전개도에서 부 채꼴의 중심각의 크기를 x˘라 고 하면
2p_10_ =2p_6
∴ x˘=216˘
9
-2 밑면의 반지름의 길이를 r cm, 높이를 h cm라고 하면 pr¤ =9p, r¤ =9∴ r=3 (∵ r>0)
∴ h="√4¤ -3¤ ='7
따라서 원뿔의 높이는 '7 cm이다.
9
-3 △OHA에서 AH” : OA”=1 : 2이므로4`cm
r`cm h`cm
x˘
360˘ 6
10
x©
12`cm
9`cm h`cm
C O
B
D 7
3'2
3'2 A
H
AH” : 6'3=1 : 2 ∴ AH”=3'3 cm AH” : OH”=1 : '3이므로
3'3 : OH”=1 : '3 ∴ OH”=9 cm 따라서 원뿔의 부피는
;3!; _p_(3'3)¤ _9=81p(cm‹ )
유형
10
오른쪽 그림의 전개도에서 최 단 거리는 AG”의 길이이므로 AG”="√(8+4)¤ +5¤ =13
10
-1다음 그림의 전개도에서 최단 거리는 EA'”의 길이이 므로EA'”=
"√
E’E'”¤ +A'E'” ¤ ="√8¤ +2¤ =2'∂1710
-2밑면인 원의 둘레의 길이는 2p_4=8p원기둥의 높이를 h라고 하면 오른쪽 전개도에서 h="√(10p)¤ -(8p)¤ =6p
A
B B'
10p h
8p A'
B
A C D A'
F
E G H E'
2 2
2 2 2
D
A
C G
8 B 4
5 F
112~115쪽