삼각비 1. 삼각비 - 숨마쿰라우데 중학수학 개념기본서3 2 해설

VII

01

BC”="√10¤ -8¤ =6이므로 tanA=;8^;=;4#;, sinC=;1•0;=;5$;

∴ tanA+ =;4#;+;4%;=2

02

AB”="√3¤ -2¤ ='5이므로 sinC= , cosC=;3@;, tanC=

∴ (sinC+cosC)(tanC-1)

∴={ +;3@;}{ -1}

∴= _ =;6!;

03

AD”=DC”=a라고 하면 BC”=2a

△BCD가 직각삼각형이므로 BD”="√(2a)¤ +a¤ ='5a

∴ sinx= = = '5 1255 1251

'5 1255a

'5a

12512'5-22 12512'5+23

125'52 125'53

1125sinC1 두 밑면 중 작은 밑면의 둘레의 길이가 2p_4=8p이

므로

μAA'=2p_16_ =8p ∴ y˘=90˘

따라서 구하는 최단 거리는 BM”의 길이이므로

△OBM에서

BM”="√(16+16)¤ √+(16+8)¤ =40 113360˘y˘

테스트BOOK

BC”='5a, AC”=3a(a>0)라고 하면 4¤ +('5a)¤ =(3a)¤ , 4a¤ =16, a¤ =4

∴ a=2 (∵ a>0)

따라서 BC”='5a='5_2=2'5, AC”=3a=3_2=6이므로

∴ CH”="√12¤ -(4'3)¤ =4'6(cm)

∴ BC”=BH”+CH”=4+4'6(cm)

09

sinA=;3!;이므로 오른쪽 그림과 같이 ∠`B=90˘, AC”=3,

BC”=1인 직각삼각형을 그릴 수 있다.

∴ AB”="√3¤ -1¤ =2'2

∴ cosA_tanA= _ 1 =;3!;

125542'2 125542'23 125'33 125544'3AC”

125'32 12554AH”8

125'53 12554BC”

AC”

12554BC”8 125255'6

'∂15 2255155sinBsinA

225510h

3sinA+2cosA=3_ +2_ =

sinA+2cosA= +2_ =

∴ = ÷

∴ = _ =2

12

△ABCª△HBA(AA 닮음)이므로

∠C=∠HAB=∠x

또, 직각삼각형 ABC에서 AB”="√2¤ -1¤ ='3

∴ tanx=tanC='3

13

∠EDC=∠EAD

∠EDC=∠ABC

∴ BE”=BD””+DE””=4'2+2'2=6'2 12554CE”DC”

12554CD”

AC”

12554AD”AB”

12554AC”

BC”

12554AD”DE”

125'54 12512512512525sinA+2cosA

1254 125255'612 12525

직각삼각형 ABE에서

AB”="√(6'2)¤ +(2'2)¤ =4'5

∴ cosx= = =

15

일차함수 y=-;2!;x+5의 그래 프의 x절편은 10, y절편은 5이 므로 직각삼각형 BOA에서 OA”=10, OB”=5, AB”="√10¤ +5¤ =5'5

∴ sinA+cosB= + =

∴ tana= =;2%;÷5=;2%;_;5!;=;2!;

17

일차방정식 3x+4y-12=0의 그래프의 x절편은 4, y절편은 FH”='2_5=5'2, BH”='3_5=5'3이므로

cosx= = =

19

△BDH는 ∠HDB=90˘인 직각삼각형이고,

BD”="√3¤ +4¤ =5(cm) BH”="√3¤ +4¤ +5¤ =5'2(cm) 이므로

sinx= = = '2 1252 125545

5'2 125545'2

5'3 1255FH”

BH”

12555OB”

AB”

12555OA”OB”

-5 125546'24'5

12554AB”BE”

cosx= = =

tanx= = =1

∴ sinx_cosx+tanx= _ +1=;2#;

20

AE”와 ED”는 각각 두 정삼각형 ABC와 DBC의 높이

22

ㄱ. sin30˘+cos60˘=;2!;+;2!;=1

ㄴ. '2 sin45˘+'3 cos30˘='2_ +'3_

ㄴ. '2 sin40˘+'2 cos30˘=1+;2#;=;2%;

ㄷ. 2'3 sin60˘=2'3_ =3 ㄷ. 3tan45˘=3_1=3 ㄷ. ∴ 2'3 sin60˘=3tan45˘

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

23

sin60˘+cos30˘= + ='3 2x¤ -ax+3=0에 x='3을 대입하면

2_('3)¤ -a'3+3=0, '3a=9 ∴ a=3'3

24

cosx= 이므로 x=30˘

∴ tan2x=tan60˘='3 125'32 125545'2

5'2 1255DH”

BD”

125'22 125545

5'2

테스트BOOK

25

△ABC에서 tan30˘= =

∴ BC”=2'3

△BCD에서 sin45˘= =

∴ BD”=2'3_ =2'6

26

△ABC에서 cos60˘= =;2!;

∴ BC”=20

tan60˘= ='3 ∴ AC”=10'3

△ACD에서 sin30˘= =;2!;

∴ CD”=5'3 cos30˘= =

∴ AD”=10'3_ =15

∴ ( `ABCD의 둘레의 길이)=10+20+5'3+15

∴ ( `ABCD의 둘레의 길이)=45+5'3

27

△ABH에서 sin30˘= =;2!;

∴ BH”==3 cm

cos30˘= = ∴ AH”=3'3 cm 이때, △AHC는 AH”=HC”인직각이등변삼각형이므로 HC”=AH”=3'3 cm

∴ BC”=BH”+HC”=3+3'3(cm)

28

△CDB에서 sin30˘= =;2!;

∴ CD”=4 cos30˘= =

∴ DB”=2'3 AD”=CD”이므로

AB”=AD”+DB”=4+2'3

∴ tan15˘= = =2-'3 125112

4+2'3 252554BC”

AB”

125'32 252554DB”4

12552 CD”

125'32 1255AH”6

1255BH”6 125'32

125'32 125525AD”

10'3

125525CD”

10'3 1255AC”10

1255BC”10 1252

125'22 125542'3BD”

125'33

252554BC”6

29

△BOC에서 cos45˘= =

∴ OB”=3_ =3'2

tan45˘= =1 ∴ CB”=3 OA”=OB”=3'2이므로 △ACB에서

tanx= = ='2-1

30

① cosx= =f ② tanx= =c

③ siny= =b ④ cosy= =e

⑤ tany= =a

31

∠x=∠ABC이므로

cosx=cos(∠ABC)= =BC”

32

① sin52˘=0.7880 ② cos52˘=0.6157

④ sin38˘=0.6157 ⑤ cos38˘=0.7880

33

① sin0˘=tan0˘=0, cos0˘=1

② sin45˘=cos45˘= , tan45˘=1

③ sin90˘=cos0˘=tan45˘=1

④ sin0˘=cos90˘=0, tan45˘=1

⑤ sin90˘=cos0˘=1, tan90˘의 값은 정할 수 없다.

34

① cos90˘÷sin90˘=0÷1=0

② (2-cos0˘)(1+tan45˘)=(2-1)(1+1)=2

③ sin0˘_cos90˘-sin90˘_cos0˘

③=0_0-1_1=-1

④ tan45˘-sin90˘_cos60˘=1-1_;2!;=;2!;

⑤ sin60˘_tan60˘-sin0˘_tan45˘

⑤= _'3-0_1=;2#;

35

(주어진 식)=0_;2!;_1+1_'3='3 125'32

12'22 252554BC”

AB”

252554EG”

OG”

252554OA”OB”

252554AB”OA”

252554FG”

OG”

252554OD”

OC”

125113 3'2+3 252554AC”BC”

1255CB”3 1252

12'22 1255OB”3

36

sin45˘=cos45˘= , tan45˘=1 즉, 45˘<A<90˘에서

<sinA<1, 0<cosA< , tanA>1

∴ cosA<sinA<tanA

37

ㄱ. sin30˘=;2!;

ㄴ. cos0˘=1

ㄷ. sin60˘<sin80˘<sin90˘이므로 ㄷ. <sin80˘<1

ㄹ. tan45˘=1이고 tan45˘<tan50˘이므로 ㄷ. 1<tan50˘

ㅁ. cos60˘=;2!;이고 cos70˘<cos60˘이므로 ㄷ. cos70˘<;2!;

따라서 가장 큰 값은 ㄹ이고, 가장 작은 값은 ㅁ이다.

38

0˘<x<45˘일 때, tanx<1이므로 tanx-1<0, 1-tanx>0

∴ (주어진 식)=-(tanx-1)-(1-tanx)

=-tanx+1-1+tanx

39

0˘<A<45˘일 때, 0<sinA<cosA이므로 cosA-sinA>0, sinA-cosA<0

∴ (주어진 식)

∴=(cosA-sinA)+(sinA-cosA)

∴=0

40

∠ABC=90˘-52˘=38˘

tan38˘= =0.7813 ∴ x=7.813

41

cosx=OC”=0.59이므로 ∠x=54˘

∴ AB”=tan54˘=1.38 15510x

125'32

125'22 125'22

125'22

실력 TEST

^044~046쪽

012'2 02 03-;2!; 04

05('3-1) cm 0648('3-1)

0712'2+8'6 08 cm¤

09 3'3 1070 8

27'3 2

7'6 18 3+'5

01

꼭짓점 A, D에서 변 BC에 내린 수선의 발을 각각 E, F 라고 하면

EF”=5 cm, BE”=CF”=2 cm

△ABE는 직각삼각형이므로 AE”="√6¤ -2¤ =4'2(cm)

∴ tanB= = =2'2

02

점 Q에서 AD”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

△CPQ가 이등변삼각형 이므로

CQ”=CP”=AP”=3 cm

CB'”=AB”=2 cm이므로 △CQB'에서 QB'”="√3¤ -2¤ ='5(cm)

AH”=BQ”=B'Q”='5 cm이므로 PH”=AP”-AH”=3-'5(cm) 따라서 직각삼각형 PHQ에서

tanx= = =

03

tanA=;4#;이므로 직선의 기울기는 ;4#;이다.

∴ m=;4#; ……^❶

AO”=4a, BO”=3a(a>0)라고 하면 AB”="√(4a)¤ +(3a)¤ =5a이므로 직각삼각형 AOB에서

;2!;_5a_1=;2!;_4a_3a ∴ a=;1∞2;

즉, BO”=3a=3_;1∞2;=;4%;이므로 직선의 y절편은 125555243+'52

125555243-'52 1255HQ”PH”

Q H

B' A 3`cm P 2`cm

C xx

x 3`cm

1255554'22 1255AE”BE”

E F C

5`cm

5`cm 2`cm 6`cm

B 2`cm

테스트BOOK

이때, △ABC=;2!;_2'3_2=2'3(cm¤ )이므로 내접원의 반지름의 길이를 r cm라고 하면

△ABC=△ IBC+△ ICA+△ IAB

△ABC=;2!;_2'3_r+;2!;_2_r+;2!;_4_r

△ABC=2'3

(3+'3)r=2'3 ∴ r= ='3-1

06

△DBC에서 tan60˘= ='3

∴ BC”=8'3

225555BC”8 11142'3

3+'3 22555'32

12552'3AB”

22555'33

22555'33 12554AC”

2'3

22555557'618 1251

'6 12552MN”NP”

225555'53 8'3-x='3x, ('3+1)x=8'3

∴ x= =4'3('3-1)

∴ △EBC=;2!;_BC”_EH”

∴ △EBC=;2!;_8'3_4'3('3-1)

∴ △EBC=48('3-1)

△BHF에서 tan60˘= ='3

∴ FH”=6'2_ =2'6

∴ AF”=AH”+FH”=6'2+2'6

△ABC에서 tan60˘= ='3

∴ AC”=12'3

△EACª△FAB(AA 닮음)이므로 AC”:AB”=AE”:AF”

12'3:12=AE”:(6'2+2'6)

∴ AE”=6'6+6'2

∴ EF”=AE”+AF”

∴ EF”=(6'6+6'2)+(6'2+2'6)

∴ EF”=12'2+8'6 52555256'2FH”

125'22 2255555BH”12

125'22 2255555AH”12

52555255258'3 '3+1

8'3-x 5255525512x 2255555BH”EH”

△ABD에서 sin60˘= =

∴ AD”=6'3 cm ……^❶

△ADE에서 ∠DAE=60˘이므로 sin60˘= =

∴ DE”=6'3_ =9(cm)

cos60˘= =;2!;

∴ AE”=3'3 cm ……❷

∴ △ADE=;2!;_9_3'3= (cm¤ ) ……❸

09

sin60˘=BC”= , cos60˘=AC”=;2!;

tan60˘=DE”='3, CE”=1-AC”=;2!;

∴ `BCED=;2!;(BC”+DE”)_CE”

∴ `BCED=;2!;{ +'3}_;2!;=

10

△ABD에서 cos55˘= =0.6이므로 BD”=30

sin55˘= =0.8이므로 AD”=40

∠BAD=90˘-55˘=35˘이므로

∠CAD=80˘-35˘=45˘

따라서 △ADC는 직각이등변삼각형이므로 CD”=AD”=40

∴ BC”=BD”+CD”=30+40=70 225555AD”50

225555BD”50

52555253'38 125'32

125'32

52555255227'32 2225555AE”

6'3 225555'32

225555'32 2225555DE”

6'3

225555'32 1255AD”12

❶AB”, AD”의 길이 구하기

❷DE”, AE”의 길이 구하기

❸△ADE의 넓이 구하기

40 % 40 % 20 %

채점 기준 배점

01

BC”=20sin37˘=20_0.6=12 AB”=20cos37˘=20_0.8=16 따라서 △ABC의 둘레의 길이는 AB”+BC”+CA”=16+12+20=48

02

AO”=6tan60˘=6_'3=6'3(cm)

∴ (원뿔의 부피)=;3!;_p_6¤ _6'3=72'3p(cm‹ )

03

AC”=10sin62˘=10_0.88=8.8(m)

04

AC”=10tan44˘=10_0.97=9.7(m)

05

△ABC에서 AC”=20tan50˘=20_1.19=23.8(m)

∴ (건물의 높이)=1.5+23.8=25.3(m)

06

AB”=10cos57˘=10_0.54=5.4(m) AC”=10sin57˘=10_0.84=8.4(m) 따라서 나무가 부러지기 전의 높이는 AB”+AC”=5.4+8.4=13.8(m)

07

△ABD에서 ∠ABD=45˘이므로 BD”=AD”=EC”=30 m

△ACD에서 CD”=AD”tan30˘

CD=30_ =10'3(m)

∴ BC”=BD”+CD”=30+10'3(m) 52255'33

30`m 30©

45©

C E

D B 047~050쪽

유형 TEST

0148 0272'3p cm‹038.8 m 049.7 m 0525.3 m 0613.8 m 07(30+10'3)m 085 093'7 km 102'∂17 cm 114'6 cm 1220+30'2+10'6 132'3 142.5 km 1510'3 m 16② 1712'2 cm¤ 1830'3 cm¤

198'2 cm¤ 2011.4 2115p-9 227 cm¤

2330'3 cm¤2472'2 cm¤ 2512 cm¤ 263'3 cm¤

271555'22 ab 2816'2 cm¤ 2960˘

2. 삼각비의 활용

테스트BOOK

∴ BC”= =10'2_2=20'2

CH”= =10'2_'3=10'6

∴ (△ABC의 둘레의 길이)

∴=AB”+BC”+AC”=20+20'2+(10'2+10'6)

∴=20+30'2+10'6

13

AH”=h라고 하면

BH”=htan60˘='3h, CH”=htan30˘= h

BC”=BH”+CH”= h=8

∴ h=8_ =2'3

14

비행기가 있는 C지점에서 지면에 내린 수선의 발을 H, CH”=h km라고 하면

∠ACH=32˘, ∠BCH=30˘

이므로

AH”=htan32˘=0.62h(km) BH”=htan30˘=0.58h(km)

AB”=AH”+BH”=(0.62+0.58)h=3(km)

∴ h= =2.5

15

∠BAH=60˘, ∠CAH=30˘이므로 AH”=h m라고 하면

CH”=htan30˘= h(m) BH”=htan60˘='3h(m)

BC”=BH”-CH”='3h- h=20(m)

∴ h=20_ =10'3

16

∠AOH=25˘, ∠BOH=18˘이므로 OH”=h m라고 하면

AH”=htan25˘ m, BH”=htan18˘ m AB”=AH”-BH”=htan25˘-htan18˘

AB”=h(tan25˘-tan18˘)=100(m)

∴ h= 100 5222551111155tan25˘-tan18˘

1133

5222553 4'3

5222554'33

52255'33 1325153tan30˘10'2

132515sin30˘10'2

08

꼭짓점 A에서 BC”에 내린

수선의 발을 H라고 하면 AH”=3'2sin45˘

AH=3'2_ =3

∠BAH=45˘이므로 BH”=AH”=3

∴ CH”=BC”-BH”=7-3=4

∴ AC”="√3¤ +4¤ =5

09

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AH”=6sin60˘=6_

AH”=3'3(km)

BH”=6cos60˘=6_;2!;=3(km)

∴ CH”=BC”-BH”=9-3=6(km)

△AHC에서 AC”="√(3'3)¤ +6¤ =3'7(km)

10

꼭짓점 A에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 BH”=6cosB

BH=6_ =3'2(cm) AH”="√6¤ -(3'2)¤ =3'2(cm)

CH”=BC”-BH”=8'2-3'2=5'2(cm)

∴ AC”="√(5'2)¤ +(3'2)¤ =2'∂17(cm)

11

꼭짓점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 CH”=12sin45˘

CH=12_ =6'2(cm)

∴ AC”= =6'2_ =4'6(cm)

12

꼭짓점 B에서 AC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 AH”=20cos45˘=20_

AH”=10'2

BH”=20sin45˘=20_52255'22 =10'2 52255'22

1532 '3 132515sin60˘6'2

153'22

17

∠B=180˘-85˘-50˘=45˘

∴ △ABC=;2!;_6_8_sin45˘

∴ △ABC=;2!;_6_8_ =12'2(cm¤ )

18

AE”∥DC”이므로 △AED=△AEC

∴ `ABED=△ABE+△AED

∴ `ABED=△ABE+△AEC

∴ `ABED=△ABC

∴ `ABED=;2!;_10_12_sin60˘

∴ `ABED=;2!;_10_12_ =30'3(cm¤ )

19

점 C에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라고 하면 CH”=4 cm이므로 BC”= =4'2(cm) 이때, ∠ACD=∠ACB(접은 각),

∠ACD=∠CAB(엇각)이므로 ∠ACB=∠CAB 따라서 △ABC는 이등변삼각형이므로

BC”=AB”=4'2 cm

∴ △ABC=;2!;_4'2_4'2_sin45˘

∴ △ABC=;2!;_4'2_4'2_ =8'2(cm¤ )

20

△ABC=;2!;_8_5_sin(180˘-145˘)

△ABC=;2!;_8_5_0.57=11.4

21

오른쪽 그림과 같이 OC”를 그으면 △AOC는 이등변삼각 형이므로

∠ACO=∠CAO=15˘

∴ ∠AOC=180˘-(15˘+15˘)=150˘

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=(부채꼴 AOC의 넓이)-△AOC

=p_6¤ _ -;2!;_6_6_sin(180˘-150˘) =15p-9

522552150˘360˘

O B

15©

150©

52255'22 5225512sin45˘4

D A

C 4`cm B 45©

52255'32 52255'22

22

`ABCD

=△ABC+△ACD

=;2!;_4_3'2_sin45˘

=+;2!;_'2_2_sin(180˘-135˘)

=;2!;_4_3'2_ +;2!;_'2_2_

=6+1=7(cm¤ )

23

△ABC에서 AC”=6tan60˘=6_'3=6'3(cm)

∴ `ABCD=△ABC+△ACD

∴ `ABCD=;2!;_6_6'3+;2!;_6'3_8_sin30˘

∴ `ABCD=18'3+12'3=30'3(cm¤ )

24

원 O에 내접하는 정팔각형은 오른쪽 그림과 같이 합동인 삼각형 8개로 나누어지므로

△AOB에서

∠AOB= =45˘

OA”=OB”=6 cm

∴ (정팔각형의 넓이)=8_△AOB

∴ (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_6_6_sin45˘}

∴ (정팔각형의 넓이)=8_{;2!;_6_6_ }

∴ (정팔각형의 넓이)=72'2(cm¤ )

25

`ABCD=6_2'2_sin(180˘-135˘)

`ABCD=6_2'2_ =12(cm¤¤ )

26

△APD=;4!; `ABCD

△APD=;4!;_(4_6_sin60˘)

△APD=;4!;_12'3=3'3(cm¤ )

27

∠ABC=∠ADC=55˘

∴ ∠ACB=180˘-80˘-55˘=45˘

52255'22

52255'22 522552360˘8

O A

6`cm B

52255'22 52255'22

테스트BOOK

∴ `ABCD=2_△ABC

∴ `ABCD=2_;2!;absin45˘

∴ `ABCD= ab

28

`ABCD=;2!;_8_8_sin(180˘-135˘)

`ABCD=;2!;_8_8_

`ABCD=16'2(cm¤ )

29

두 대각선이 이루는 각 중 예각의 크기를 x라고 하면

;2!;_12_9_sin x=27'3 sinx=52255'32 ∴ x=60˘

52255'22 52255'22

051~053쪽

실력 TEST

0112'3 cm¤ 026.8 cm 03

04 a 0569 m 0620 cm 073('3-1)

0836(3+'3)cm¤ 09 m

10;5#; 113('3-1)

2400'7 7 '3

'∂15 3

01

AE”를 그으면 AD”=AB'”이므로

△AED™△AEB' (RHS 합동)

∠DAE=∠B'AE

∠DAE=;2!;_60˘=30˘

이므로 △AEB'에서

EB'”=AB'” tan30˘=6_ =2'3(cm)

△AEB'=;2!;_6_2'3=6'3(cm¤ )

∴ `DAB'E=2_△AEB'

∴ `DAB'E=2_6'3=12'3(cm¤ ) 2551'33

A B

C C'

D' D E

B' 30©

6`cm

02

이등변삼각형 OAB에서

∠AOB= =40˘

점 O에서 AB”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

∠AOH=;2!;∠AOB=;2!;_40˘=20˘

직각삼각형 OAH에서

AH”=OA”sin20˘=10_0.34=3.4(cm)

∴ AB”=2AH”=2_3.4=6.8(cm)

따라서 정구각형의 한 변의 길이는 6.8 cm이다.

03

△DGH에서 DH”=12tan60˘=12_'3=12'3 DG”= =12_2=24

△CFG에서 CG”=DH”=12'3이므로 FC”= =12'3_'2=12'6 BC”=FG”=CG”=12'3이므로 △ABC에서 AC”="√12¤ +(12'3)¤ =24

AF”=DG”=24 yy❶

이등변삼각형 AFC의 꼭짓점 A 에서 FC”에 내린 수선의 발을 M이라고 하면

FM”=CM”=6'6

△AFM에서

AM””="√24¤ -(6'6)¤ =6'∂10

∴ tanx= = = yy❷

04

EC”=x라고 하면 △ABC는 직각 이등변삼각형이므로 AC”=a+x

△AEC에서

tan75˘= =2+'3

+1=2+'3

∴ x= =5225515'3-12 a 5225515a

'3+1 515ax

5251552a+xx

B C

E a 30© 75©

45©

525155'∂153 6'∂10

5225515 6'6 5225522AM”FM”

5225512sin45˘12'3 5225512cos60˘12 522552360˘9

O B H

❶FC”, AC”, AF”의 길이 구하기

❷tanx의 값 구하기

50 % 50 %

채점 기준 배점

F x C

24 24

12'6 M

DC”=BC”tan30˘= (a+x)

∴ AD”=AC”-DC”

∴ AD”=(a+x)- (a+x)

∴ AD”={1- }(a+x)

∴ AD”= {a+ a}

∴ AD”= _ a

∴ AD”= a= a

05

∠ACD=45˘, ∠BCD=60˘이므로 CD”=h m라고 하면 AD”=CD”=h m

∠CAH=20˘, ∠DAH=10˘

AH”=h cm라고 하면

BC”='6_'2=2'3

점 E에서 BC”에 내린 수선의 발을 H라고 하면

∠BEH=45˘, ∠CEH=60˘

EH”=h라고 하면

BH”=EH”=h, HC”=htan60˘='3h 5251225sin45˘'6

52515555550 '3-1

2551'33 52255552'36

52255153'3+12 522551533-'33

52255153'3-12 522551533-'33

2551'33 2551'33 2551'33

BC”=BH”+HC”=h+'3h=2'3

∴ h= =3-'3

∴ △EBC=;2!;_2'3_(3-'3)=3('3-1)

08

^μAB:μ BC:μ CA=3:4:5이고 한 원에서 호의 길이는 중심각의 크기에 정비례하므로

∠AOB=90˘, ∠BOC=120˘,

∠COA=150˘ yy❶

∴ △ABC=△OAB+△OBC+△OCA

∴ △ABC=;2!;_12_12

∴ △ABC=+;2!;_12_12_sin(180˘-120˘)

∴ △ABC=+;2!;_12_12_sin(180˘-150˘)

∴ △ABC=72+36'3+36

∴ △ABC=36(3+'3)(cm¤ ) yy❷

DC”=600'3(m)

BD”=960-600=360(m)

△DBC에서

BC”="√360¤ +(600'3)¤ =240'∂21(m) 따라서 △ABC의 넓이는

;2!;_240'∂21_AH”=;2!;_960_1200_sin 60˘

∴ AH”= m 5251555552457

B H

C D

학원

52512252'3 '3+1

테스트BOOK

∴ `ABCD

∴=△ABM+△BMN+△NBC+△DMN

∴=;2!;_2a_a+;2!;_'5a_'5a_sinx

∴ =+;2!;_2a_a+;2!;_a_a 따라서 4a¤ =;2%;a¤ +;2%;a¤ sinx이므로

;2%; sin x=;2#; ∴ sinx=;5#;

01

AB”="√2¤ +1¤ ='5(cm)이므로 sinA= , sinB=

∴ sinA_sinB= _ =;5@;

02

^sinB= =;4#; ∴ x=6 y="√8¤ -6¤ =2'7

∴ xy=6_2'7=12'7

03

△ABCª△EBD(AA 닮음)이므로

∠C=∠BDE=∠x

△ABC에서 BC”="√12¤ +5¤ =13

∴ cosx+cosy=cosC+cosB

∴ cosx+cosy=;1∞3;+;1!3@;=;1!3&;

04

ㄱ. sin¤ 30˘+cos¤ 30˘={;2!;}¤ +{5255555'32 }¤ =1 1x8

52555551 '5 52555552

'5 52555551

'5 52555552

054~056쪽

대단원 TEST

01② 0212'7 03;1!3&; 04④

05 06 073+3'3 08①

09④ 10④ 1111.5 m 12④ 13 ② 142'∂31 km 15;1ª7;

16100('3-1) 17③

18(6'3+6p)cm¤ 193'3 cm¤ 204'7 251'33

251'63

ㄴ. sin30˘=;2!;

ㄴ. cos30˘_tan30˘= _ =;2!;

ㄴ. ∴ sin30˘=cos30˘_tan30˘

ㄷ. sin30˘+sin60˘=;2!;+

ㄴ. sin90˘=1

ㄴ. ∴ sin30˘+sin60˘+sin90˘

ㄹ. tan30˘=

ㄴ. tan60˘='3이므로 = =

ㄴ. ∴ tan30˘=

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄹ이다.

05

x sin30˘+ysin45˘=1 HjK ;2!;x+ y=1

x sin30˘+ysin45˘=1 HjK y=- x+'2 이 직선의 x절편은 2, y절편은 '2

이므로 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

직각삼각형 AOB에서 OA”='2, OB”=2이므로 AB”="√('2)¤ +2¤ ='6

∴ cosa= = =

06

점 D는 △ABC의 외심이므로 AD”=BD”=CD”

따라서 △ADC는 이등변삼각형이므로

∠A=;2!;_(180˘-120˘)=30˘ yy❶

∴ tanA=tan30˘= yy❷

07

△AHC에서 tan30˘=

∴ y=9tan30˘=9_ =3'3

∠B=60˘이므로 △ABH에서 tan60˘=525555523'3x 5255555'33

5255y9 5255555'33

5255555'63 52555552

'6 52515OB”

AB”

B '2

O a 2 x

5255555'22 5255555'22 5255555125tan60˘1

5255555'33 52555551

'3 5255555125tan60˘1 5255555'33

5255555'32 5255555'33 5255555'32

❶∠A의 크기 구하기

❷tanA의 값 구하기

60 % 40 %

채점 기준 배점

∴ x= =3'3_ =3

∴ x+y=3+3'3

08

△ABC에서 cos60˘=

∴ AC”= =2

△ACD는 이등변삼각형이므로 DC”=AC”=2

∴ DB”=DC”+CB”=2+'3

△DAB에서

tanA=tan75˘= =2+'3

09

④ OF”=cosx이므로 FC”=OC”-OF”=1-cosx

10

④ sin 45˘=cos 45˘= 이고 45˘<A<90˘에서 A의 값이 커지면 sinA의 값은 증가하고, cosA의

값은 감소하므로 sinA>cosA

문서에서 숨마쿰라우데 중학수학 개념기본서3 2 해설 (페이지 88-100)